Capítulo 3 - OPERADORES DIFERENCIALES Teoríade Campos ...

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALESdesplazamiento elemental dr en esféricasddrRsende = dg QPdrdre rdr = PQRde = dg r dr d ug( u, u , u) d rg( r,φ,θ) dφgdθgi 1 2 3i rφ θ§3.1 OPERADORES DIFERENCIALESa) Gradiente de un c. escalar, U:– 1) definición: dado U : 3 , en 3 con referª. cartesiana {O; x i } ycurvilínea {O; x i } asociadas en un punto origen O de cierta región . Se estudia lavariación de U respecto del punto P, o sea, al variar la posición del punto en elespacio. Como hemos repasado, sabemos:– el incr. de U: U := U(x+dx, y+dy, z+dz) – U(x,y,z) dU = U U U:xdx ydy zdz– es análogo en curvilíneas, con dU = U U Udu dv dwU.u v w– en ambos casos se puede entender dU como resultado (escalar) de la acción de untensor de orden 1 (forma lineal) sobre el vector dr:• en cart.: dU = ( x U i+ y U j+ z U k) · dr• y en curv. : dU = ( x 1Ug 1 + x 2Ug 2 + x 3Ug 3 )·(dx i g i ) (¡Obs.: prefactor en covas!)Se observa que se trata del mismo vector expresado en los dos sist. Se llama vectorgradiente de U y es el vector:filai de Ja covasU U U U U xkiU xi k UkU i+ j k ei g k k g gkx y z xi xi x xix xel símbolo “nabla”, , (o “atled”) es la delta may. griega invertida, debido a Hamilton (1805-65)Teoríade Campos 2012-13 2