Capítulo 3 - OPERADORES DIFERENCIALES Teoríade Campos ...

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALES‒ 2) Propiedades del gradiente de un c. escalar de clase C 1 :i) Prop. fundamental: el vector U regula la variación de U en el espacio,porque U dU=U ·dr , como se ha visto.ii) Naturaleza tensorial: porque la derivada direccional e U(P) de un c. esc. de clase 1 Uen cualquier dirección e tomada en P es: ( P) U ( P)·e edem:UU( Pλ e) U( P) U( P)·λee( P): lim lim U( P)·eλ0 λλ0λy esto sugiere considerarlo como un campo tensorial de primer orden: U(P) Î (1) .iii) las lín. de campo de U son ortogonales a las isocuantas de U, U = cte.dem: si e es tangte. a la sup. {U = c} en P, entonces e U(P) = 0, luego U(P)·e = 0Como ocurre "e tangte. a la sup., resulta que U(P) tgte(isocuanta U = U(P) = c te )iv) la máxima derivada direccional de UenP es | U(P) | en la propia dir. e U delgradiente U(P).dem: e U(P) = U(P) ·e = |U(P)|cosU(P), e máximo si el ángulo es 0. i‒3) El operador diferencial nabla: : ix ei gi x–Es ventajoso considerar como un operador diferencial vectorial que produce elgradiente al "multiplicarse" por campos escalares.–Las Reglas de actuación de sobre campos escalares que se operan entre sí: son lasmismas de la derivada, es decir:…/…–linealidad frente a comb. lin. con coef. constantes, a, b:(aU+bV) = a U + b V–gradiente del producto o cociente de campos escalares(UV) = (U) V + U (V) ,(U/V) = [(U)V U (V)]/V 2–gradiente de una potencia: (U m ) = mU m-1 U–otras reglas de actuación → en b) operadores relacionados con – Ejemplos:1) En cartesianas se cumple x i = e i2) En curvilíneas: x i = x ixg j i j i(alternativa para calcular g i j g g)3) x en cil.:4) (a·r+c), donde a es un vec. cte. y c = cte. escalar: (a·r+c) = a5) (a·r/r 2 ) = ...x x xzx g g g cosg seng zDe Pr2.9, apartados:1, 2, 3, y 7j Teoríade Campos 2012-13 3