Composición de relaciones

RELACIONES
1. Introducción
2. Relaciones Binarias
3. Dominio y Rango
4. Propiedades de relaciones homogéneas
5. Inversa de una relación
6. Composición de relaciones
7. Cierres
Introducción
• En una especificación formal se necesita poder
establecer relaciones entre objetos.
• En este tema se verá:
– Cómo definir relaciones
– Cómo obtener información de estas relaciones
– Cómo se pueden clasificar y qué propiedades tienen las
relaciones
– Qué operaciones se pueden realizar sobre relaciones

Relaciones Binarias
• El caso más simple de relación es el que se establece entre
pares de objetos.
• Definición: una relación es un conjunto de pares ordenados,
esto es, un subconjunto del producto cartesiano.
• Sintaxis: X ↔ Y. Siendo X e Y dos conjuntos cualesquiera.
• Se tiene que X ↔ Y = = P(X xY)
• Para indicar uno de los elementos de la relación podremos
escribir (x,y) o bien x ├→y
Dominio y Rango
• Se definen una serie de funciones para poder obtener la
información que necesitamos de las relaciones
• Dada una relación R de tipo X ↔ Y, se define:
– dom R = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R • x}
– ran R = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R • y}
– Restricción de dominio, dado un conjunto A ⊆ X
A R = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R ∧ x∈ A• x ├→y }
– Restricción de rango, dado un conjunto B ⊆ Y
R B = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R ∧ y∈ B• x ├→y }
– Substracción de dominio, equivalente a (X \ A) R
A R = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R ∧ x∉A• x ├→y }
– Substracción de rango
R B = {x:X, y:Y | x ├→y ∈ R ∧ y∉ B• x ├→y }
– Imagen relacional
R (| A |) = ran (A R )

Inversa de una relación
• Dada una relación R de tipo X ↔ Y, el conjunto X se
denomina origen e Y destino.
• La operación de inversa intercambia dichos conjuntos,
invirtiendo la relación de los elementos. Es decir:
∀ x:X, y:Y • x ├→y ∈ R y├→x ∈ R ∼
• Relación homogénea: el conjunto origen y destino tienen el
mismo tipo.
• Relación heterogénea: el conjunto origen y destino son de
distinto tipo.
• Una relación homogénea importante es la Identidad
Id X = = {x: X • x ├→x }
• Reflexiva
Propiedades de relaciones
homogéneas
Reflexive [X] == {R: X ↔ X | Id X ⊆ R}
• Simétrica
Symmetric [X] == {R: X ↔ X |∀ x:,y:X • x ├→y∈ R y├→x ∈ R }
• Antisimétrica
Antisymmetric[X] == {R: X ↔ X |(∀ x,y:X • x ├→y∈ R ∧ y├→x ∈ R x = y)}
• Asimétrica
Asymmetric [X] == {R: X ↔ X |∀ x, y:X •( x ├→y∈ R) y├→x ∉ R }
• Estas tres últimas no son exhaustivas, es decir, es posible que una relación
no sea de ninguno de los 3 tipos.

Composición de relaciones
• Se puede construir una relación a partir de otras dos.
• Sintaxis: R;S , dadas R relación de tipo X ↔ Y y S de Y ↔ Z
x├→z ∈ R;S ⇔ ∃ y: Y • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ S
• Transitividad. La relación R debe ser homogénea
Transitive[X] == {R: X ↔ X |∀ x,y,z:X • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ R x├→z ∈ R}
• Relación de equivalencia
Equivalence [X] = = Reflexive [X] ∩Symmetric [X] ∩Transitive[X]
• Clase de equivalencia. Sea una relación de equivalencia E
sobre el conjunto X, para cada elemento a la clase de
equivalencia de a es el conjunto:{x: X • x ├→a ∈ E}
Cierres
• Un cierre se obtiene añadiendo a una relación nuevos
elementos de forma bien definida.
• Cierre reflexivo: R r = R ∪ Id X
• Cierre simétrico: R s = R ∪ R ∼
• Cierre enésimo. R n , composición de n copias de R. Siendo
R 0 la relación identidad.
• Cierre transitivo. Resultado de la composición iterativa
finita de R
R + = ∪ {n : N | n ≥ 1 • R n}
• Cierre transitivo y reflexivo:R* = R + ∪ Id X