exercicis de TRIGONOMETRIA - IES CAR de Sant Cugat

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
UNITATS DE MESURA D’ANGLES
1. Escriviu els angles següents de les cinc maneres possibles: (Radians, forma decimal; Graus sexagesimals,
formes complexa i decimal; Graus centesimals, formes complexa i decimal).
a. 214,1672 g b.
c. 132,234º d. 3,675 rad
e. 23º 18’ 34’’ f. 112 g 77 m 80 s
2. Calculeu, en radians, la mesura de cascun dels angles interiors d’un pentàgon regular. Quan mesura l’angle
central corresponent a un costat del pentàgon.
3. Raoneu si un angle de 2 radians és més gran o més petit que un angle recte.
RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
4. Construïu un angle tal que:
a. b. c.
5. Trobeu tots els angles x tals que:
a. b. c.
d. e. f.
6. Calculeu, sense fer servir calculadora, les raons trigonomètriques de:
a. 1035º b. c.
7. Expresseu en funció de o de :
a. b. c.
8. Expresseu en funció de :
a. b. c.
9. Sabent que i que , calculeu les raons de , de i de .
10. Si i , trobeu les raons de , de i de .
FÓRMULES D’ADICIÓ
11. Calculeu, utilitzant fórmules i angles de raons conegudes, el valor exacte de les raons trigonomètriques
dels angles següents:
a. 75º i 15º b. 195º i 285º c. 165º i 345º
12. Donats i , calculeu en funció de i : ; ; ; ; ;
; ; i .
1

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
13. Calculeu sabent que , i .
14. Calculeu les raons de , sabent que i són aguts i que i .
15. Expresseu el sinus, el cosinus i la tangent de en funció del sinus, el cosinus i la tangent d’ .
16. Agrupant convenientment demostreu que:
IDENTITATS TRIGONOMÈTRIQUES
Demostreu:
17. 18.
19.
20.
21. 22.
23. 24.
EQUACIONS TRIGONOMÈTRIQUES
Resoleu:
25.
26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
2

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
UNITATS DE MESURA D’ANGLES
1. Escriviu els angles següents de les cinc maneres possibles: (Radians, forma decimal; Graus sexagesimals, formes
complexa i decimal; Graus centesimals, formes complexa i decimal).
a. 214,1672 g = 214 g 16 m 72 s = 192,75048º = 192º45’1,73’’ = 3,3641rad
b. = 25,7143º = 25º42’51,43’’ = 28,5714 g = 28 g 57 m 14 s
c. 132,234º = 132º14’2,4’’ = 146,9267 g = 146 g 92 m 67 s = 2,3079 rad
d. 3,675 rad = 210,56199º = 210º33’43,16’’ = 233,957766 g = 233 g 95 m 77,66 s
e. 23º 18’ 34’’ = 23,30944º = 25,89938g = 25g89m93,8s = 0,40683 rad
f. 112 g 77 m 80 s = 112,7780 g = 101,5002º = 101º30’0,7’’ = 1,7715 rad
2. Calculeu, en radians, la mesura de cascun dels angles interiors d’un pentàgon regular. Quan mesura l’angle central
corresponent a un costat del pentàgon.
L’angle central mesura rad. (cal dividir la volta sencera en cinc parts iguals)
Cadascun dels angles interiors mesura (l’angle interior i l’angle central són suplementaris, és a dir,
sumen un angle pla. Dibuixeu els triangles interiors i el centre del pentàgon i veureu aquesta propietat fàcilment).
3. Raoneu si un angle de 2 radians és més gran o més petit que un angle recte.
L’angle recte mesura rad, que és aproximadament 1’57 rad, per tant, menys de 2 rad.
L’arc d’un angle recte mesura menys de 2 radis.
RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
4. Construïu un angle tal que:
a.
b.
5. Trobeu tots els angles x tals que:
a.
c.
3

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
b.
c.
d.
e.
f.
;
;
;
6. Calculeu, sense fer servir calculadora, les raons trigonomètriques de:
a. 1035º
b.
c.
Fórmules de
l’angle meitat
Racionalitzant
- -
- -
4

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
7. Expresseu en funció de o de :
a.
b.
c.
8. Expresseu en funció de :
a.
b.
c.
9. Sabent que i que , calculeu les raons de , de i de .
De la relació fonamental de la trigonometria obtenim el valor del sinus i després de la
relació n’ obtindrem el valor de la tangent. Decidirem els signes pel fet que sabem que és del
segon quadrant. Així:
Les raons de i de les obtenim de les fórmules de reducció:
10. Si i , trobeu les raons de , de i de .
La tangent negativa es dona al segon i quart quadrants, si a més el cosinus també és negatiu només pot ser al
segon quadrant, per tant, com que resulten i (En el segon quadrant la és
negativa i la positiva).
i
5

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
De la relació pitagòrica obtenim el radi de la circumferència:
Finalment, amb la imatge, deduïm les coordenades dels punts de la circumferència determinats pels angles
, i . Per tant:
FÓRMULES D’ADICIÓ
11. Calculeu, utilitzant fórmules i angles de raons conegudes, el valor exacte de les raons trigonomètriques dels angles
següents:
a. 75º i 15º
75 = 45 + 30, per tant:
Sin 75º = sin(45º+30º) = sin 45º cos 30º + cos 45º sin 30º =
Cos 75º = cos 45º cos 30º - sin 45º sin 30º =
Tan 75º= : =
15 = 45 – 30, per tant:
Sin 15º = sin(45º-30º) = sin 45º cos 30º - cos 45º sin 30º =
Cos 15º = cos 45º cos 30º + sin 45º sin 30º =
Tan 15º= : =
b. 195º i 285º
195 = 180 + 15, així:
Sin 195º = - sin 15º =
Cos 195º = - cos 15º =
Tan 195º= - tan15º =
285 = 270 + 15, per tant:
Sin 285º = - cos 15º =
Cos 285º = sin 15º =
Tan 285º= - cot 15º =
6

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
c. 165º i 345º
165 = 180 - 15, així:
Sin 165º = sin 15º =
Cos 165º = - cos 15º =
Tan 165º= - tan 15º =
345 = 360 - 15, per tant:
Sin 345º = - sin 15º =
Cos 345º = cos 15º =
Tan 345º= - tan 15º =
12. Donats i , calculeu en funció de i : ; ; ; ; ; ; ;
i .
Cos 31º = cos(37º - 6º) = cos 37º cos 6º + sin 37º sin 6º =
Sin 8º = sin(45º - 37º) = sin 45º cos 37º - cos 45º sin 37º =
Cos 39º = cos(45º - 6º) = cos 45º cos 6º + sin 45º sin 6º =
Sin 7º = sin(37º - 30º) = sin 37º cos 30º + cos 37º sin 30º =
Cos 84º = cos(90º - 6º) = sin 6º =
Sin 53º = sin(90º - 37º) = cos 37º =
Cos 54º = cos(60º - 6º) = cos 60º cos 6º + sin 60º sin 6º =
Sin 23º = sin(60º - 37º) = sin60º cos37º - cos60º sin37º =
Cos 317º = cos(360º - 43) = cos 43º = cos(37º + 6º) = cos 37º cos 6º – sin 37º sin 6º =
13. Calculeu sabent que , i .
Cal calcular els cosinus dels tres angles:
Finalment:
7

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
14. Calculeu les raons de , sabent que i són aguts i que i .
Anàlogament:
i
i
i amb la relació pitagòrica calculem el radi
, per tant,
Finalment calculem les raons demanades:
O bé
15. Expresseu el sinus, el cosinus i la tangent de en funció del sinus, el cosinus i la tangent d’ .
16. Agrupant convenientment demostreu que:
=
=
com volíem comprovar
8

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
IDENTITATS TRIGONOMÈTRIQUES
Demostreu:
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Fórmules de la
suma i la resta
de dos sinus
Fórmules de la suma de dos
sinus i de dos cosinus
Fórmules de la tangent de la
suma i la resta de dos angles
Fórmules del sinus de la suma
i la resta dos angles
Fórmula de la tangent
de l’angle doble
Fórmula del cosinus
de l’angle doble
Fórmula del cosinus de
l’angle doble
En aquest cas cal il·luminació “divina”. De la relació fonamental , elevant al cub, obtenim:
; ;
Fórmula de la tangent
de l’angle doble
; ;
9

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
24.
EQUACIONS TRIGONOMÈTRIQUES
Resoleu:
25.
26.
27.
28.
29.
; ;
com volíem comprovar.
Així les solucions de la primera volta s’obtenen assignant a els valors 0, 1, 2, 3 i 4. Resulta d’aquesta manera:
I les solucions de la primera volta són
Angles amb el mateix sinus o són iguals (voltes a part) o són suplementaris, per tant:
O bé
O bé
I, en total, hi ha 2+4=6 solucions per volta.
Angles amb el cosinus d’un igual al sinus de l’altre o són complementaris o difereixen en 3 angles rectes, per tant:
O bé (4 solucions per volta)
O bé (4 solucions més per volta)
O bé
O bé
Fórmula del cosinus de
l’angle doble
Fórmula del cosinus de
l’angle doble
Cada vegada que apareix l’hem de incloure en el terme
o afegir-lo a la solució particular per fer-la positiva.
Fórmula del sinus de
l’angle doble
; ; ; ;
10

Carles Mallol Problemes i exercicis de TRIGONOMETRIA IES CAR
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
O bé
O bé
O bé
O bé
I trobem sis solucions per volta.
Fórmula del cosinus
de l’angle doble
(4 solucions per volta)
; ; ; ;
O bé ; o bé que suposa tres solucions per volta.
que fan un total de sis solucions per volta.
i obtenim sis solucions per volta.
Fórmula del sinus de
l’angle doble
(quatre solucions per volta).
11