Clase 07 - Método de Pendiente Deflexión.pdf - Facultad de Ingeniería

Análisis Estructural
Método de Pendiente Deflexión
Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 3
Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los
soportes son:
A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm
E=210GPa I=800 (10^6) mm4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS:
• Tramo AB:
• Tramo BC:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
2
(Pab )
2
(300)(3)(3 )
AB 2 2
2
(Pab )
2
(300)(3)(3 )
BA 2 2
Solución 3
FEM =- =- = -225 kNm
l 6
FEM = = =225 kNm
l 6
2
Pab
2
(200)(3)(3 )
BC 2 2
FEM =- =- = -150 kNm
l 6
2
(Pab )
2
(200)(3)(3 )
BA 2 2
FEM = = =150 kNm
l 6
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

• Tramo CD(igual al tramo AB):
EFECTOS DE ASENTAMIENTO:
• Tramo AB:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
2
(Pab )
2
(300)(3)(3 )
CD 2 2
FEM =- =- = -225 kNm
l 6
2
(Pab )
2
(300)(3)(3 )
DC 2 2
FEM = = =225 kNm
l 6
△
l
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
0.03m
= =0.005
6m

• Tramo BC:
• Tramo CD:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
△
l
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
0.008m
= =0.00133
6m
△
l
0.042m
= =0.007
6m

MÉTODO PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 3
ECUACIÓN DE MOMENTO:
Sabiendo que EI=16800 kNm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2EI 3△
M AB =FEM AB + (2θ A +θB - )
L L
M =-225+56000(2θ +θ -0.015)
AB A B
2EI 3△
M BA =FEM BA + ( θA +2θB - )
L
L
M =225+56000( θ +2θ -0.015)
BA A B
2EI 3△
M BC =FEM BC + (2 θB + θC
- )
L
L
M =-150+56000(2 θ + θ -0.00399)
BC B C
2EI 3△
M CB=FEM CB+ ( θB +2θC - )
L L
M =150+ 56000( θ +2θ -0.00399)
CB
B C
2EI 3△
M CD =FEM CD + (2 θC + θD
- )
L L
M =-225+56000(2 θ + θ +0.021)
CD C D
2EI 3△
M DC =FEM DC + ( θC +2θD - )
L
L
M =225+56000(2 θ + θ +0.021)
DC C D

• Ecuaciones de equilibrio:
luego como las rotulas y las articulaciones no soportan
momentos; se tiene:
Luego de (1):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
M =0 (1)
AB
M +M =0 (2)
BA BC
M +M =0 (3)
CB CD
M =0 (4)
DC
-225+56000(2 θA + θB
-0.015)=0 (a)
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De (2):
De (3):
De (4):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
225+56000( θA +2θB -0.015)-150+56000(2 θB + θC
-0.00399)=0 ( b)
150+56000( θB +2θC -0.00399)-225+56000(2 θC + θD
-0.021)=0 (c)
225+56000(2 θC + θD
-0.021)=0 (d)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Resolviendo (a), (b), (c) y (d):
M =0
AB
M =153.88 kNm
BA
M =-153.88 kNm
BC
M =-107.08 kNm
CB
M =107.08 kNm
CD
M =0
DC
Solución 3
θ
A
B
C
D
=0.0081 rad
θ =0.0028 rad
θ =-0.0017 rad
θ
=-0.0117 rad

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 4
Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga
continúa de dos luces de igual longitud .
W
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
-WL
FEM AB =
12
-WL
FEM BC =
12
WL
FEM CB =
12
WL
FEM BA =
12
2 2
2 2
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

ASENTAMIENTOS:
Δ=0
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION:
2
2EI WL
M AB = (2 θA + θB
)- (1)
L 12
2
2EI WL
M BA = ( θA +2 θB
)+ (2)
L 12
2
2EI WL
M BC = (2 θB + θC
)- (3)
L 12
2
2EI WL
M CB= ( θB +2 θC
)+ (4)
L 12
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:
De (2):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
M +M =0 (5)
BA BC
M =0 (6)
AB
M =0 (7)
CB
2
4EI 2EI WL
θA + θB
- =0
L L 12
(8)
2
2EI 4EI WL
θB + θC
+ =0
L L 12
(9)
2
2EI 4EI WL
M BA =
θA + θB
+ (10)
L L 12
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

De (3) :
De (5):
De (8) se tiene que:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
De (13) en (12) se tiene que:
Solución 4
2
4EI 2EI WL
M BC = θB + θC
- (11)
L L 12
2 EI 8EI 2EI
θA + θB + θC
=0 (12)
L L L
θ
WL θ
48EI 2
3
A = - B
(13)
3
WL 2
B C
θ =- - θ
(14)
168EI 7
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MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
De (14) en (9) se tiene que:
De (15) en (14) se tiene que:
De (16) en (13) se tiene que:
Solución 4
3
WL
θC
=- (15)
48EI
B =0 (16)
θ
3
WL
θA
= (17)
48EI
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• Momentos:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene:
2
WL
M BA = (18)
8
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:
2
WL
M BC =- (19)
8
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MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 4
Diagrama de
cortante y
momentos
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de
la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12
mm.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
En este caso no se presentan momentos de empotramiento.
ASENTAMIENTOS:
Δc=12mm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 5
2EI
M AB = (2 θA + θB
) (1)
L
2EI
M BA = ( θA +2 θB
) (2)
L
2EI 3△
M BC = (2 θB + θC
- ) (3)
L
L
2EI 3△
M CB = ( θB +2θC - ) (4)
L
L
2EI 3△
M CD = (2 θC + θD
+ ) (5)
L
L
2EI 3△
M DC = ( θC +2 θD
+ ) (6)
L L
2EI
M DE = (2 θD + θE
) (7)
L
2EI
M ED = ( θD +2 θE
) (8)
L
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Además se sabe que:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
M +M =0 (9)
BA BC
M +M =0 (10)
CB CD
M +M =0 (11)
DC DE
M =0 (12)
AB
M =0 (13)
ED
Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en
(1) y (13) en (8) se obtiene:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
4EI 2EI
θA + θB
=0
7 7
(14)
2EI 4EI
θA + θB
-M BA =0
7 7
(15)
4EI 2EI 9EI
θB + θC
- -M BC =0
7 7 6125
(16)
2EI 4EI 9EI
θB + θC
- -M CB=0
7 7 6125
(17)
4EI 2EI 9EI
θC + θD
+ -M CD =0
7 7 6125
(18)
2EI 4EI 9EI
θC + θD
+ -M DC =0
7 7 6125
(19)
4EI 2EI
θD + θE
-M DE =0
7 7
(20)
2EI 4EI
θD + E =0
7 7
(21)
θ
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
• (2) y (3) en (9):
• (4) y (5) en (10):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
2EI 4EI 4EI 2EI 9EI
θA + θB + θB + θC
- =0
7 7 7 7 6125
2 8 2 9
θA + θB + θC
- =0 (22)
7 7 7 6125
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI
θB + θC - + θC + θD
+ =0
7 7 6125 7 7 6125
2 8 2
θB + θC + θD
=0 (23)
7 7 7
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

• (6) y (7) en (11):
• Despejando θA de (14) y remplazando en (22):
• (25) en (23):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI
θC + θD + + θD + θE
=0
7 7 6125 7 7
2 8 9 2
θC + θD + + θE
=0 (24)
7 7 6125 7
1 8 2 9
- θB + θB + θC
- =0
7 7 7 6125
2 9
θB =- θC
+ (25)
7 6125
24 18 8 2
- θC + + θC + θD
=0
49 42875 7 7
7 9
θC =- θD
- (26)
26 22750
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• (26) en (24):
• (27) en (21):
• (28) en (27)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
1 9 8 9 2
- θD - + θD + + θE
=0
13 79625 7 6125 7
26 108
θD =- θE
- (27)
97 84875
52 216 4
- θE - + θE
=0
679 594125 7
9
θE
= (28)
12250
9
θD
=- (29)
6125
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• (29) en (26):
C
• (30) en (25):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
=0 (30)
θ
9
θB
= (31)
6125
• (31) en (14)
9
θA
=- (32)
12250
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
CALCULO DE LOS MOMENTOS:
• (32) y (31) en (15):
• (31) y (30) en (16):
• (31) y (30) en (17):
Ejemplo 5
27
M BA = (33)
42875
27
M BC =- (34)
42875
9
M CB =- (35)
8575
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
• (30) y (29) en (18):
• (30) y (29) en (19):
• (29) y (28) en (20):
Ejemplo 5
9
M CD = (36)
8575
27
M DC = (37)
42875
27
M DE =- (38)
42875
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

CALCULO DE LAS REACCIONES:
Tramo AB: ∑ B AB BA
Tramo BC:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
∑
∑
∑
Ejemplo 5
M =0: -R (7)-M =0
27
-R AB (7)- =0
300125
27
R AB =-
300125
F =0: -R +R =0
Y AB BA
27
R BA =
300125
M =0: - R (7)+M +M =0
C BC BC CB
R BC =
300125
F =0: R +R =0
Y BC CB
27 9
-R BC(7)+
+ =0
42875 8575
72
72
R CB =-
300125
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

• Tramo CD:
• Tramo DE:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
∑
∑
∑
∑
Ejemplo 5
M =0: -R (7)-M -M =0
D CD CD DC
9 27
-R CD(7)-
- =0
8575 42875
72
R CD =-
300125
F =0: -R +R =0
Y CD DC
72
R DC =
300125
M =0: R (7)+M =0
D ED DE
27
R ED (7)+ =0
300125
27
R ED =-
300125
F =0: -R +R =0
Y ED DE
27
R DE =
300125
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA