resuélvelos tú mismo - Colombia Aprende
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COLOMBIA<br />
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL<br />
COORDINACIÓN PEDAGÓGICA Y EDITORIAL<br />
Mary Luz Isaza Ramos<br />
ASESORÍA PEDAGÓGICA Y DIDÁCTICA<br />
Edith Figueredo de Urrego Ciencias Naturales y Educación Ambiental:<br />
(Biología, Física, Química, Educación Ambiental)<br />
Cecilia Casasbuenas Santamaría Matemáticas<br />
ADAPTACIONES Y/O PRODUCCIONES NACIONALES MATERIAL IMPRESO<br />
Edith Figueredo de Urrego<br />
Ana María Cárdenas Navas Biología y Educación Ambiental<br />
Cecilia Casasbuenas Santamaría<br />
Virginia Cifuentes de Buriticá Matemáticas<br />
Patricia Arbeláez Figueroa Educación en Tecnología<br />
Eucaris Olaya Educación Ética y en Valores Humanos<br />
Alejandro Castro Barón Español<br />
Mariela Salgado Arango<br />
Alba Irene Sáchica Historia Universal<br />
Antonio Rivera Serrano<br />
Javier Ramos Reyes Geografía Universal<br />
Edith Figueredo de Urrego<br />
Alexander Aristizábal Fúquene<br />
César Herreño Fierro<br />
Augusto César Caballero<br />
Adiela Garrido de Pinzón Física, Química y Ambiente<br />
Betty Valencia Montoya<br />
Enoc Valentín González Palacio<br />
Laureano Gómez Ávila Educación Física<br />
Edith Figueredo de Urrego<br />
Mary Luz Isaza Ramos Horizontes de Telesecundaria<br />
Mary Luz Isaza Ramos<br />
Edith Figueredo de Urrego Perspectivas del Camino Recorrido
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICO<br />
COORDINACIÓN GENERAL PARA LA<br />
MODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN<br />
UNIDAD DE TELESECUNDARIA<br />
COORDINACIÓN Guillermo Kelley Salinas<br />
GENERAL Jorge Velasco Ocampo<br />
ASESORES DE Pedro Olvera Durán<br />
TELESECUNDARIA<br />
PARA COLOMBIA<br />
COLABORADORES<br />
ESPAÑOL María de Jesús Barboza Morán, María Carolina<br />
Aguayo Roussell, Ana Alarcón Márquez, María<br />
Concepción Leyva Castillo, Rosalía Mendizábal<br />
Izquierdo, Pedro Olvera Durán, Isabel Rentería<br />
González, Teresita del Niño Jesús Ugalde García,<br />
Carlos Valdés Ortíz.<br />
MATEMÁTICAS Miguel Aquino Zárate, Luis Bedolla Moreno, Martín<br />
Enciso Pérez, Arturo Eduardo Echeverría Pérez,<br />
Jossefina Fernández Araiza, Esperanza Issa<br />
González, Héctor Ignacio Martínez Sánchez, Alma<br />
Rosa Pérez Vargas, Mauricio Rosales Avalos,<br />
Gabriela Vázquez Tirado, Laurentino Velázquez<br />
Durán.<br />
HISTORIA UNIVERSAL Francisco García Mikel, Ivonne Boyer Gómez,<br />
Gisela Leticia Galicia, Víctor Hugo Gutiérrez Cruz,<br />
Sixto Adelfo Mendoza Cardoso, Alejandro Rojas<br />
Vázquez.<br />
GEOGRAFÍA GENERAL Rosa María Moreschi Oviedo, Alicia Ledezma<br />
Carbajal, Ma. Esther Encizo Pérez, Mary Frances<br />
Rodríguez Van Gort, Hugo Vázquez Hernández,<br />
Laura Udaeta Collás, Joel Antonio Colunga Castro,<br />
Eduardo Domínguez Herrera, Alma Rosa María<br />
Gutiérrez Alcalá, Lilia López Vega, Víctor López<br />
Solano, Ma. Teresa Aranda Pérez.
BIOLOGÍA Evangelina Vázquez Herrera, César Minor Juárez,<br />
Leticia Estrada Ortuño, José Luis Hernández<br />
Sarabia, Lilia Mata Hernández, Griselda Moreno<br />
Arcuri, Sara Miriam Godrillo Villatoro, Emigdio<br />
Jiménez López, Joel Loera Pérez, Fernando<br />
Rodríguez Gallardo, Alicia Rojas Leal.<br />
INTRODUCCIÓN A LA Ricardo León Cabrera, Ma. del Rosario Calderón<br />
FÍSICA Y QUÍMICA Ramírez, Ma. del Pilar Cuevas Vargas, Maricela<br />
Rodríguez Aguilar, Joaquín Arturo Melgarejo<br />
García, María Elena Gómez Caravantes, Félix<br />
Murillo Dávila, Rebeca Ofelia Pineda Sotelo, César<br />
Minor Juárez, José Luis Hernández Sarabia, Ana<br />
María Rojas Bribiesca, Virginia Rosas González.<br />
EDUCACIÓN FÍSICA María Alejandra Navarro Garza, Pedro Cabrera<br />
Rico, Rosalinda Hernández Carmona, Fernando<br />
Peña Soto, Delfina Serrano García, María del<br />
Rocío Zárate Castro, Arturo Antonio Zepeda<br />
Simancas.<br />
PERSPECTIVAS DEL Rafael Menéndez Ramos, Carlos Valdés Ortíz,<br />
CAMINO RECORRIDO Carolina Aguayo Roussell, Ma. de Jesús Barbosa<br />
Morán, Ana Alarcón Márquez.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA - MÉXICO<br />
COORDINACIÓN GENERAL PARA LA<br />
MODERNIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN<br />
UNIDAD DE TELESECUNDARIA<br />
ASESORÍA DE CONTENIDOS<br />
ESPAÑOL María Esther Valdés Vda. de Zamora<br />
MATEMÁTICAS Eloísa Beristáin Márquez<br />
INTRODUCCIÓN A LA Benjamín Ayluardo López,<br />
FÍSICA Y QUÍMICA Luis Fernando Peraza Castro<br />
BIOLOGÍA Rosario Leticia Cortés Ríos<br />
QUÍMICA Luis Fernando Peraza Castro<br />
EDUCACIÓN FÍSICA José Alfredo Rutz Machorro<br />
CORRECCIÓN DE Alejandro Torrecillas González, Marta Eugenia<br />
ESTILO Y CUIDADO López Ortíz, María de los Angeles Andonegui<br />
EDITORIAL Cuenca, Lucrecia Rojo Martínez, Javier Díaz<br />
Perucho, Esperanza Hernández Huerta, Maricela<br />
Torres Martínez, Jorge Issa González<br />
DIBUJO Jaime R. Sánchez Guzmán, Juan Sebastián<br />
Nájera Balcázar, Araceli Comparán Velázquez,<br />
José Antonio Fernández Merlos, Maritza Morillas<br />
Medina, Faustino Patiño Gutiérrez, Ignacio Ponce<br />
Sánchez, Aníbal Angel Zárate, Gerardo Rivera M. y<br />
Benjamín Galván Zúñiga.
ACUERDO DE COOPERACIÓN MINISTERIO<br />
DE EDUCACIÓN DE COLOMBIA Y LA SECRETARÍA<br />
DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE MÉXICO<br />
<strong>Colombia</strong> ha desarrollado importantes cambios cualitativos en los últimos años como espacios<br />
generadores de aprendizaje en los alumnos. En este marco el Ministerio de Educación de<br />
<strong>Colombia</strong> firmó con la Secretaría de Educación Pública de México un ACUERDO DE<br />
COOPERACIÓN EDUCATIVA, con el propósito de alcanzar mayores niveles de cooperación<br />
en el ámbito educativo.<br />
En el acuerdo, el Gobierno de México a través de la Secretaría de Educación Pública, ofrece<br />
al Gobierno de <strong>Colombia</strong> el Modelo Pedagógico de TELESECUNDARIA, como una modalidad<br />
educativa escolarizada apoyada en la televisión educativa como una estrategia básica de<br />
aprendizaje a través de la Red Satelital Edusat.<br />
El Ministerio de Educación de <strong>Colombia</strong> ha encontrado en el modelo de TELESECUNDARIA,<br />
una alternativa para la ampliación de la cobertura de la Educación Básica Secundaria en el<br />
área rural y una estrategia eficiente para el aprendizaje de los alumnos y las alumnas.<br />
El programa se inicia en <strong>Colombia</strong> a través de una ETAPA PILOTO, en el marco del<br />
PROYECTO DE EDUCACIÓN RURAL, por oferta desde el Ministerio de Educación de<br />
<strong>Colombia</strong> en el año 2000, realizando las adaptaciones de los materiales impresos al contexto<br />
colombiano, grabando directamente de la Red Satelital Edusat los programas de televisión<br />
educativa, seleccionando los más apropiados a las secuencias curriculares de sexto a noveno<br />
grado, organizando 41 experiencias educativas en los departamentos de Antioquia, Cauca,<br />
Córdoba, Boyacá, Cundinamarca y Valle del Cauca, capacitando docentes del área rural y<br />
atendiendo cerca de 1 200 alumnos en sexto grado. El pilotaje continuó en el año 2001 en<br />
séptimo grado, 2002 en octavo grado, y en el año 2003 el pilotaje del grado noveno.<br />
En la etapa de expansión del pilotaje se iniciaron por oferta en el presente año 50 nuevas<br />
experiencias en el marco del Proyecto de Educación Rural. Otras nuevas experiencias se<br />
desarrollaron con el apoyo de los Comités de Cafeteros, el FIP y la iniciativa de Gobiernos<br />
Departamentales como el del departamento del Valle del Cauca que inició 120 nuevas<br />
Telesecundarias en 23 municipios, mejorando los procesos de ampliación de cobertura con<br />
calidad.<br />
El Proyecto de Educación para el Sector Rural del Ministerio de Educación Nacional - PER,<br />
inició acciones en los diez departamentos focalizados y en ocho de ellos: Cauca, Boyacá,<br />
Huila, Antioquia, Córdoba, Cundinamarca, Bolívar y Norte de Santander se organizaron por<br />
demanda 40 nuevas experiencias del programa de Telesecundaria a partir del año 2002.<br />
Al presentar este material hoy a la comunidad educativa colombiana, queremos agradecer de<br />
manera muy especial al Gobierno de México, a través de la Secretaría de Educación Pública<br />
de México - SEP y del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa - ILCE,<br />
el apoyo técnico y la generosidad en la transmisión de los avances educativos y tecnológicos<br />
al Ministerio de Educación de <strong>Colombia</strong>.
CONTENIDO<br />
NÚCLEO BÁSICO 1 - HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS<br />
Sesiones Pág. Conceptos Básicos<br />
1. ¿Tanto se puede hacer? 20 Las matemáticas actuales<br />
2. ¡Así se hace! 23 Metodología de las matemáticas<br />
3. La base de las matemáticas 26 Aritmética<br />
4. La columna más fuerte 29 Álgebra (iniciación)<br />
5. La línea en las figuras y en<br />
los cuerpos 31 Geometría<br />
6. Azares y certezas 33 Estadística y probabilidad<br />
7. Lo sé todo 34 Evaluación diagnóstica<br />
8. Bueno... eso creía 37 Análisis de resultados<br />
9. iTambién con éste puedo! 39 Proyecto personal<br />
10. iDemuestra que sabes! 41 Evaluación personal<br />
NÚCLEO BÁSICO 2 - ARITMÉTICA<br />
11. ¿Qué tan grande o tan pequeño eres? 44 Estimación del orden de magnitud<br />
de un resultado<br />
12. Generaciones interminables 50 Múltiplos de un número natural<br />
13. Siempre los <strong>mismo</strong>s 54 Divisores de un número natural<br />
14. Todo queda en familia 57 Números primos y compuestos<br />
15. Desintegración familiar 61 Factorización<br />
16. Todos tienen algo en común 64 Mínimo común múltiplo<br />
17. Radiografía de un número 68 Algoritmo del mcm<br />
18. Uno de tantos 72 Máximo común divisor<br />
19. Anatomía de un número 74 Algoritmo del MCD<br />
20. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 77 Problemas de mcm y MCD<br />
11<br />
MATEMÁTICAS
NÚCLEO BÁSICO 3 - INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA<br />
Sesiones Pág. Conceptos Básicos<br />
21. Antes y después del cero 80 Los números enteros<br />
22. Sentidos opuestos 83 Números y cantidades con sentido<br />
23. No es lo <strong>mismo</strong> → que 90 Ubicación en la recta numérica<br />
24. El cero es mayor que muchos 95 El orden entre los enteros<br />
25. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 99 Problemas en que se requiere sumar<br />
o restar enteros<br />
26. En el <strong>mismo</strong> sentido 101 Adición de enteros con el <strong>mismo</strong> signo<br />
27. Sumando ganancias y pérdidas 107 Adición de enteros con diferente signo<br />
28. ¿Desaparece la sustracción? 113 Sustracción de enteros<br />
29. Un teclado sin música 119 La adición y la sustracción en la<br />
calculadora<br />
30. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 123 Problemas de adición y sustracción<br />
31. Comprender, más que recordar,<br />
es dominar las matemáticas 124 Repaso parcial<br />
32. Interpreta la agrupación 126 Los paréntesis y su uso<br />
33. Cuál se resuelve primero 129 Jerarquía de operaciones<br />
34. Otra forma de representación 133 Literales<br />
35. Simplificación del lenguaje 137 Escritura algebraica<br />
36. Un sumando desconocido 142 Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = c<br />
37. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 149 Problemas que se resuelven planteando<br />
una ecuación<br />
38. Un factor desconocido 150 Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = c<br />
39. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 154 Problemas que se resuelven planteando<br />
una ecuación<br />
40. Comprender, más que recordar,<br />
es dominar las matemáticas 156 Repaso parcial<br />
41. ¡Demuestra que sabes! 158 Demostración del aprendizaje dado<br />
42. Siempre positivos 160 Producto de enteros<br />
43. ¿Positivo o negativo? 165 Ley de los signos<br />
44. Repartir pérdidas y ganancias 169 Cociente de enteros<br />
45. Resuélvelos <strong>tú</strong> <strong>mismo</strong> 174 Problemas con enteros<br />
46. Comprender, más que recordar,<br />
es dominar las matemáticas 175 Evaluación parcial<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
→<br />
12
NÚCLEO BÁSICO 4 - ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS<br />
Sesiones Pág. Conceptos Básicos<br />
47. Comunicación con símbolos 179 Introducción al lenguaje algebraico<br />
48. Conviene identificarlas 184 Variables y constantes<br />
49. Un lenguaje diferente 188 Lenguaje algebraico<br />
50. Otra forma de comunicación 191 Significado del lenguaje algebraico<br />
51. Uno o varios 196 Expresiones algebraicas<br />
52. Potencialmente hablando 201 Producto de potencias<br />
53. Para hacernos más pequeños 206 Cociente de potencias<br />
54. Las superpotencias 211 Potencia de una potencia<br />
55. Una raiz que no crece 214 Raíz de una potencia<br />
56. El graduado 218 Grado de un polinomio<br />
57. Algo se conserva 222 Términos semejantes con coeficiente<br />
entero<br />
58. Instinto de conservación 226 Términos semejantes con coeficiente<br />
racional<br />
59. Valor constante 230 Valor numérico de un polinomio<br />
60. Uno depende de otro 233 Tabulación de polinomios<br />
61. Comprender, más que recordar,<br />
es dominar las matemáticas 237<br />
62. Una reunión peculiar 239 Adición de polinomios<br />
63. Sumar para restar 242 Sustracción de polinomios<br />
64. Surtido rico 245 Operaciones combinadas<br />
65. Son de la misma especie 248 Producto de monomios<br />
66. El grande se come al pequeño 252 Producto de un monomio por<br />
un polinomio<br />
67. La unión hace la fuerza 255 Producto de dos polinomios<br />
68. Un “entre” parejo 259 Cociente de monomios<br />
69. Todo entre lo <strong>mismo</strong> 263 Cociente de un polinomio entre<br />
un monomio<br />
70. Gran distribución 267 Cociente de dos polinomios I<br />
71. Entre dos grandes 270 Cociente de dos polinomios II<br />
72. Comprender, más que recordar, es<br />
dominar las matemáticas 272<br />
73. ¡Demuestra que sabes! 274<br />
74. Armando las piezas I 276<br />
13<br />
MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS<br />
0 1<br />
3 -2<br />
-1 2 3
INTRODUCCIÓN<br />
Has subido un escalón más en tu preparación. Seguramente que dedicación y esfuerzo te<br />
han impulsado para llegar hasta aquí, tienes en tus manos una obra impresa que te servirá<br />
de apoyo para que afirmes tus conocimientos a través del trabajo individual y colectivo.<br />
Las situaciones problemáticas, cuestiones y ejercicios que se te plantean contribuirán a que<br />
desarrolles tus habilidades intelectuales, y estés cada día mejor preparado para resolver y<br />
formular problemas, lo <strong>mismo</strong> que para continuar tus estudios y desenvolverte con acierto en<br />
la vida diaria.<br />
Nuestra meta es colaborar a tu desarrollo integral para que en el futuro puedas llegar a tu<br />
realización como ser humano y contribuir al mejoramiento de la calidad de vida de tu familia<br />
y de tu comunidad.
Núcleo Básico 1<br />
HORIZONTES DE LAS MATEMÁTICAS<br />
ax+b = c<br />
El propósito del primer núcleo del séptimo grado de matemáticas es hacer una reflexión<br />
sobre la importancia de las matemáticas y sus aplicaciones. Conocer el tratamiento que se<br />
le dará a la aritmética, a la introducción al álgebra, a la geometría y al manejo de la información<br />
y de la probabilidad. Conocer cuál será la metodología para el estudio de las matemáticas<br />
y cuáles son las actividades permanentes que deben realizarse.<br />
Efectuar una evaluación diagnóstica y hacer un análisis para detectar deficiencias. Elaborar<br />
tu proyecto personal.<br />
19<br />
MATEMÁTICAS
¿TANTO SE PUEDE HACER?<br />
1 Las matemáticas actuales<br />
Influencia de la matemática actual en la vida del hombre<br />
Todo lo que existe en el universo funciona con gran precisión. Los conocimientos matemáticos<br />
nos ayudan a entender cómo funciona.<br />
En esta sesión comprenderás la influencia que tienen las matemáticas en la vida del hombre.<br />
Observa el video y analiza la idea principal, posteriormente comenta tus inquietudes<br />
con el grupo en general, en forma ordenada.<br />
Con un compañero o compañera lee el siguiente texto:<br />
LAS MATEMÁTICAS ACTUALES<br />
El mundo se ha transformado debido a la gran influencia que las matemáticas han tenido en<br />
la vida del hombre.<br />
Los cambios vertiginosos que ha tenido la humanidad en los últimos 50 años se han reflejado<br />
en avances tecnológicos dentro de los cuales se puede identificar la televisión en colores,<br />
los satélites artificiales, los aviones supersónicos, la computación, la telefonía celular, etcétera.<br />
Estos avances son en buena medida resultado de la aplicación de las matemáticas, las<br />
cuales han provocado un desarrollo constante en diversas áreas de la tecnología y la ciencia.<br />
Las matemáticas actuales han dado lugar a cambios sustanciales en el desarrollo del ser<br />
humano, ya que sin ellas no habría el progreso que se observa en los diversos sectores<br />
económicos, tecnológicos, estéticos, etc.<br />
Por ejemplo, el agua potable, desde que ha existido el hombre, ha sido el elemento fundamental<br />
para su subsistencia, pero requiere ser almacenada y transportada a los centros de<br />
población, para lo cual es necesario construir, entre otros, presas, tuberías y canales para<br />
riego.<br />
El hombre necesita saber cuánta agua se requiere para cubrir las necesidades de la población<br />
y qué cantidad se debe cobrar por m 3 durante un semestre, para poder cubrir las inversiones<br />
necesarias para el suministro.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
20
Estos problemas y otros se pueden resolver si se aplican correctamente las matemáticas.<br />
Como se puede observar, la influencia de las matemáticas es grande, ya que se encuentra<br />
presente en muchas actividades cotidianas por sencillas que parezcan.<br />
Las matemáticas son el resultado de la actividad pensante de hombres y mujeres, y<br />
están presentes en mucho de lo que hacemos y de lo que nos rodea.<br />
METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS<br />
Toda metodología tiene como finalidad señalar los procedimientos más adecuados para realizar<br />
un trabajo en forma eficaz.<br />
La metodología propuesta para el área de matemáticas ya la has vivenciado en los grados<br />
anteriores.<br />
Esta metodología sirve para propiciar la reelaboración del conocimiento en sus diferentes<br />
temas: aritmética, álgebra, geometría y medición, nociones de probabilidad y procesamiento<br />
de información. Así como el desarrollo de habilidades intelectuales. Por ejemplo:<br />
• La imaginación espacial que implica, en primer lugar, la exploración del espacio<br />
tridimensional y el desarrollo de las competencias básicas para desenvolverse en él: la<br />
realización de una serie de actividades como el empleo de modelos geométricos para<br />
representar problemas, para establecer relaciones entre figuras planas; para llegar a<br />
generalizaciones y expresarlas mediante fórmulas que involucran medidas de longitud,<br />
área y volumen.<br />
• La estimación de resultados proporciona elementos para detectar y corregir errores de<br />
procedimientos o apreciar si la solución obtenida corresponde a lo esperado.<br />
• Las estrategias para resolver problemas involucran actividades que permiten establecer<br />
ciertas hipótesis en función de un problema y comprobarlas, solucionándolo.<br />
Reflexiona sobre lo leído y comenta con un compañero(a) los siguientes aspectos:<br />
1. En las actividades productivas que realiza el ser humano, ¿se aplican las matemáticas?<br />
¿Por qué?<br />
2. Explica tres ejemplos de actividades de tu comunidad en las cuales se aplican las<br />
matemáticas.<br />
Con tu compañero(a), comenta la siguiente pregunta. Después escribe en tu<br />
cuaderno aquello que más te interesa.<br />
21<br />
MATEMÁTICAS
¿Qué influencias tienen las matemáticas en el desarrollo de tu comunidad?<br />
El profesor preguntará a dos o tres integrantes de las parejas y los demás grupos participarán.<br />
Continúa trabajando con tu compañero(a). Haz un dibujo como el de la ilustración,<br />
agrega un puente y una casa. Posteriormente responde las preguntas.<br />
1. Según tu punto de vista, ¿qué conocimientos se requieren para construir una carretera?<br />
Explica...<br />
2. ¿Cómo contribuyen las matemáticas a la satisfacción de las necesidades del hombre?<br />
Compara tus respuestas con las de otra pareja y, si tienes más aportaciones, coméntalas.<br />
De manera individual, contesta en tu cuaderno las siguientes cuestiones:<br />
1. Escribe tres ejemplos de avances tecnológicos.<br />
2. ¿Para asistir a la escuela aplicas las matemáticas? ¿Cómo?<br />
3. ¿Cuándo se aplican las matemáticas en la cocina?<br />
Comenta tus respuestas en sesión plenaria.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
22<br />
CAMINO SIN TERMINAR<br />
CARRETERA<br />
RíO
¡ASÍ SE HACE!<br />
2 Metodología de las matemáticas<br />
Tratamiento de las matemáticas en 7º grado<br />
Tu experiencia como estudiante te ha permitido observar que cada materia tiene sus peculiaridades.<br />
Una de ellas es su metodología. ¿Qué es la metodología? ¿Para qué sirve?<br />
Observa el video. En él encontrarás comentarios a las preguntas formuladas, así<br />
como una propuesta de metodología de las matemáticas y de habilidades intelectuales<br />
que se pretenden desarrollar, además de las actividades que permanentemente<br />
deben realizarse.<br />
Trabaja en equipo de tres personas y efec<strong>tú</strong>a una lectura comentada del siguiente<br />
texto:<br />
METODOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS<br />
1. Se inicia con una situación problemática, eje del trabajo, que puede estar orientada<br />
tanto a la construcción de conceptos como a la resolución de problemas.<br />
2. En este último caso, un vez comprendido el problema, se procede a la búsqueda del<br />
resultado, en forma individual o en equipo.<br />
a) Según el significado del problema se escogen las operaciones pertinentes.<br />
b) Se visualiza un plan, proponiendo diversas formas de solución (flexibilidad del<br />
pensamiento).<br />
c) Se hace una estimación del resultado.<br />
3. Se prueban las diversas formas de solución; se cambian las condiciones, usando los<br />
<strong>mismo</strong>s datos, pero modificando el contexto.<br />
4. Se presentan y se evalúan los procedimientos empleados, resaltando sus alcances y<br />
limitaciones. (Aquí surge la necesidad de introducir nuevos conocimientos.)<br />
5. Se entabla una discusión grupal para disipar dudas y resaltar dificultades cuando:<br />
a) Los conocimientos previos no son suficientes y/o<br />
b) La estrategia de solución no da resultado.<br />
6. Se construye un modelo de solución.<br />
23<br />
MATEMÁTICAS
7. Se verifica el modelo de solución, formulando preguntas y analizando los casos en los<br />
que funciona y en los que no funciona.<br />
8. Una vez solucionado el problema, se puede partir del resultado y preguntar los datos<br />
necesarios para obtener esa solución (reversibilidad del pensamiento).<br />
9. Para completar la comprensión del problema se presentan problemas similares en diferentes<br />
situaciones y se intenta generalizar los procedimientos de solución (memoria<br />
generalizada o generalización).<br />
Es importante el trabajo en equipo porque éste permite generar una comunicación intensa<br />
en la que se aprende a argumentar, escuchar, tener orden y respeto por los demás integrantes.<br />
Durante el desarrollo del proceso de aprendizaje es necesario efectuar actividades permanentes<br />
que permiten una mejor comprensión. Éstas son:<br />
a) Situaciones problemáticas para enriquecer los conocimientos anteriores y avanzar hacia<br />
la adquisición de otros nuevos que puedan ser útiles para enfrentar y resolver nuevos<br />
problemas.<br />
b) El cálculo mental, que permite obtener de manera rápida la solución de ejercicios y<br />
problemas, además de abreviar tiempo y esfuerzo.<br />
c) El uso de la calculadora en forma inteligente, lo cual nos permite el ahorro de tiempo,<br />
verificar resultados, encontrar nuevas relaciones entre números, comprobar un modelo<br />
de solución, etcétera.<br />
d) El uso de los instrumentos de dibujo para representar gráficamente una situación con el<br />
fin de tener una visión más clara de la misma, y elaborar diagramas, cuadros, etcétera.<br />
Continúa trabajando en equipo y comenta con tus compañeros(as) los aspectos<br />
señalados en esta propuesta de metodología para las matemáticas.<br />
Compartan sus opiniones con las de otro equipo, discútanlas y enriquézcanlas con los aportes<br />
de todos.<br />
Continúa trabajando con tu equipo y resuelve el siguiente problema:<br />
La calculadora irremplazable<br />
Un día compré una calculadora de bolsillo en $5 500, más tarde la vendí a un compañero en<br />
$6 500. Poco después, al darme cuenta de que no conseguía otra calculadora igual, decidí<br />
comprársela al <strong>mismo</strong> compañero, quien me la vendió en $7 500. Le sucedió lo <strong>mismo</strong> que<br />
a mí, y después de que me suplicó, finalmente le vendí la calculadora en<br />
$ 8 500.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
24
¿Gané o perdí? ¿Cuánto gané o cuánto perdí?<br />
Lee el problema nuevamente, subraya los datos y las preguntas del <strong>mismo</strong>.<br />
Sin hacer ninguna operación, escribe una posible respuesta:<br />
Plantea dos formas diferentes para resolver el problema.<br />
Efec<strong>tú</strong>a las operaciones de cada procedimiento y escribe el resultado obtenido en cada una<br />
de ellas.<br />
¿Cómo son los resultados obtenidos? ¿Qué opinas sobre esto?<br />
Verifica nuevamente tus procedimientos:<br />
¿Qué sucedió?<br />
Si no resolviste el problema en forma concreta, esto es, utilizando papeles que simulen el<br />
dinero, ¡inténtalo de esta forma!<br />
¿Cuál fue el resultado obtenido?<br />
Si los resultados que obtuviste en los tres procedimientos fueron diferentes, escribe cuál de<br />
ellos es el correcto y por qué.<br />
Comenta con otro equipo las respuestas obtenidas; complétalas o corrígelas.<br />
El gato en el pozo<br />
Individualmente, resuelve el siguiente problema.<br />
Por cierta desgracia, un gato cayó en un pozo de 7.8 metros de profundidad. El gato logró<br />
salir después de haber enfrentado varias dificultades, ya que los lados del pozo estaban<br />
húmedos y resbaladizos. Por cada minuto de esfuerzo, el gato adelantaba 3 metros. Entonces<br />
quedaba demasiado cansado para esforzarse nuevamente y descansaba. Durante 1<br />
minuto de descanso, el gato resbalaba 2 metros. ¿Cuánto tiempo le llevó al gato salir del<br />
pozo?<br />
Escribe tu estimación del resultado.<br />
Plantea dos formas de resolver el problema. Una gráfica podría ayudarte.<br />
Elige una de ellas y resuélvelo.<br />
Compara tu resultado con el de otro compañero y completa si es necesario.<br />
25<br />
MATEMÁTICAS
LA BASE DE LAS MATEMÁTICAS<br />
3 Aritmética<br />
Tratamiento de los conocimientos aritméticos<br />
Los conocimientos de aritmética son básicos en el desarrollo del pensamiento matemático y<br />
en el aprendizaje de las matemáticas. ¿Qué debes aprender para lograr la comprensión de<br />
otras ramas de las matemáticas?<br />
ARITMÉTICA<br />
Si observas atentamente el video, tendrás idea de lo que es fundamental en este<br />
aspecto. Al finalizar, comenta con dos compañeros lo que consideres más importante.<br />
Lee con dos compañeros(as) el texto:<br />
Cuando una persona se introduce de manera formal en el estudio de las matemáticas, comienza<br />
su aprendizaje con la aritmética.<br />
La aritmética es una rama de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de los números.<br />
Esta palabra, precisamente, tiene su origen en el vocablo griego arithmos, que significa números.<br />
En el séptimo grado, continúa el estudio de la aritmética. Por lo tanto, resulta conveniente<br />
tener un avance del contenido del curso, así como de algunos aspectos importantes en que<br />
el programa de estudio hace hincapié y de las actividades permanentes que se consideran<br />
necesarias para lograr los objetivos que propone el citado programa.<br />
Lo que se estudiará de aritmética en este curso es:<br />
1. La obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor, a través de la<br />
descomposición de los diversos números en sus factores primos.<br />
2. La equivalencia y el orden de las fracciones (positivas y negativas).<br />
3. Operaciones con fracciones y decimales (positivos y negativos).<br />
4. Potencias de diez (con exponente positivo y negativo), así como la notación científica.<br />
5. Estimación del orden de magnitud de un resultado (aproximación y redondeo).<br />
6. Números con signo (operaciones).<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
26
Ahora bien, el conocimiento y manejo de las operaciones y los conceptos es importante<br />
hacerlo a partir de la solución de diferentes problemas.<br />
El objetivo de este curso es lograr un avance importante en la adquisición de diversas técnicas<br />
que facilitan la realización de operaciones con los diferentes números.<br />
El manejo adecuado de los números con signo (positivo o negativo) servirá como antecedente<br />
para el estudio del álgebra.<br />
También será útil manejar el uso de expresiones en las que se representa con un símbolo<br />
una cantidad desconocida, pues será menos difícil el acercamiento a esa rama de las matemáticas.<br />
Cabe aclarar que al hablar de expresiones simbólicas para representar cantidades desconocidas,<br />
se hace referencia a algo que ya ha sido utilizado antes:<br />
5 + x = 8 3 • x = 24<br />
x<br />
2<br />
= 9<br />
Expresiones de este tipo serán un antecedente valioso para el estudio del álgebra en este<br />
curso.<br />
El programa señala que durante el desarrollo del curso se practicará constantemente el<br />
cálculo mental y la estimación de resultados. Además se usará como valioso auxiliar la calculadora<br />
de bolsillo. El uso de dicho instrumento deberá ser racional y moderado.<br />
El cálculo mental es aquel que se realiza sin escribir los números con que se está operando;<br />
es muy útil porque ayuda a economizar tiempo y hace más ágil la obtención de resultados<br />
cuando se opera con números de pocas cifras.<br />
La estimación de resultados es importante cuando se trabaja para solucionar problemas,<br />
porque desde un principio se estima entre qué cantidades estará la respuesta, y así se tiene<br />
la posibilidad de encontrar la estrategia más adecuada para llegar al resultado buscado.<br />
La calculadora de bolsillo es un recurso de gran utilidad. Su uso es recomendable en los<br />
siguientes aspectos:<br />
1. Operaciones en que se manejan números con muchas cifras y/o punto decimal.<br />
2. Elaboración de tablas de cuadrados y cubos.<br />
3. Notación exponencial.<br />
4. Verificación de resultados.<br />
5. Comparación de decimales.<br />
27<br />
x<br />
3<br />
=<br />
4<br />
6<br />
MATEMÁTICAS
Desde luego, la calculadora debe usarse una vez que se han dominado los algoritmos de las<br />
operaciones.<br />
Es muy importante insistir en que el séptimo grado tiene un gran contenido de álgebra y que<br />
se trata de una rama de las matemáticas que estudia las cantidades de la manera más<br />
general posible; por lo cual, para tener éxito en todo lo algebraico, es necesario poseer<br />
conocimientos muy sólidos de aritmética.<br />
Reúnete ahora con dos compañeros(as) para discutir las siguientes cuestiones.<br />
1. ¿Qué se estudia en aritmética?<br />
2. La palabra aritmética tiene su origen en el vocablo arithmos, ¿qué significa esto?<br />
Muestra tus respuestas a otro equipo, defiéndelas y, si te equivocas, corrige.<br />
Con tus compañeros de grupo analiza la importancia de practicar el cálculo mental<br />
en el estudio de la aritmética y resume en tu cuaderno la conclusión a la que<br />
hayas llegado.<br />
Comenta tu resumen con otros grupos y enriquécelo con algo que te parezca importante del<br />
resumen de los otros compañeros.<br />
Con el <strong>mismo</strong> grupo lee y discute las siguientes cuestiones, antes de resolverlas.<br />
1. Presenten tres situaciones que requieran el uso de una fracción. En cada una de ellas<br />
el significado de dicha fracción debe ser diferente.<br />
2. ¿Cómo orientarían a un compañero para que comprenda que dos o tres fracciones son<br />
equivalentes?<br />
3. Formulen dos problemas en cuya solución sea necesario realizar operaciones con fracciones.<br />
4. Al realizar operaciones, ¿les gusta más trabajar con fracciones o con expresiones decimales?<br />
¿Por qué?<br />
Comparen sus respuestas con las de otro grupo y coméntenlas. Tomen lo mejor de las<br />
respuestas de sus compañeros, si lo consideran adecuado.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
28
LA COLUMNA MÁS FUERTE<br />
4 Álgebra (iniciación)<br />
Pensamiento algebraico en la secundaria<br />
Hay aspectos de las matemáticas cuyo estudio no has iniciado todavía sistemáticamente.<br />
Una de esas ramas de las matemáticas se introduce en este grado. Su importancia es<br />
enorme dentro del aprendizaje de las matemáticas.<br />
ÁLGEBRA<br />
Observa cuidadosamente el video. Conocerás algunas características notables<br />
del álgebra. Después, intégrate a un equipo de trabajo e intercambia ideas respecto<br />
a lo observado.<br />
Lee con otros compañeros(as) el texto:<br />
Cuando se cursa el séptimo grado, ya se ha estudiado aritmética durante todos los años de<br />
vida escolar anteriores.<br />
Ahora se estudiará otra rama de las matemáticas, que se llama álgebra y que es considerada<br />
como una generalización y extensión de la aritmética.<br />
El conocimiento y uso de los números enteros (positivos y negativos), así como del lenguaje<br />
simbólico que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas,<br />
y el manejo de las fórmulas en geometría sirven como antecedente para introducirse<br />
en el estudio del álgebra.<br />
La palabra álgebra proviene del árabe; se origina en el vocablo alchebr, que significa reducción.<br />
Una forma de definir esta rama de las matemáticas es:<br />
Álgebra es una parte de las matemáticas cuyos objetivos son simplificar y generalizar<br />
las cuestiones relativas a los números.<br />
Para lograr sus objetivos, el álgebra requiere de un lenguaje especial que se conoce como<br />
lenguaje algebraico.<br />
En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos que generalmente son letras del alfabeto, a los<br />
cuales se les da el nombre de literales y cuyo valor puede ser desconocido y/o variable,<br />
según la situación de que se trate.<br />
29<br />
MATEMÁTICAS
Ejemplos:<br />
1. La edad de Pedro es el doble de la edad de Juan.<br />
En el lenguaje algebraico, como no se conoce la edad de ninguno de los dos, se puede<br />
representar cualquiera de las edades con una literal y la representación de la otra dependerá<br />
de cuál se haya escogido como base para la representación simbólica.<br />
Edad de Juan: x<br />
Edad de Pedro (doble de la edad de Juan): 2x<br />
O bien,<br />
Edad de Pedro: x<br />
Edad de Juan (mitad de la edad de Pedro): x<br />
2<br />
2. Se han comprado dos prendas de vestir y se han pagado en total $450 000.<br />
Como no se conoce el costo de cada prenda, se utiliza una literal para representar cada<br />
precio. Entonces:<br />
costo de una prenda: x<br />
costo de la otra: y<br />
Por lo tanto:<br />
x + y = 450 000<br />
El progreso que se logre en el aprendizaje del álgebra hará que cada vez se realice mejor el<br />
planteo y solución de problemas. Lo cual requerirá que se empleen conocimientos adquiridos<br />
con anterioridad y tratará de hacer más accesible la comprensión de nuevos procedimientos.<br />
El contenido de álgebra en el programa de séptimo grado de matemáticas es el siguiente:<br />
1. Iniciación al lenguaje algebraico.<br />
2. Monomios y polinomios.<br />
3. El plano cartesiano.<br />
4. Ecuaciones lineales de primer grado.<br />
Es importante considerar que el álgebra ha sido, durante muchos años, uno de los temas<br />
centrales de la enseñanza de las matemáticas en la secundaria.<br />
Algo que se debe tomar en cuenta es que en el ciclo de secundaria y en el nivel de educación<br />
media se cursarán materias como física, química, estadística, probabilidad, cálculo, etc., que<br />
requieren en particular un uso adecuado y funcional del álgebra.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
30
Una deficiente preparación en esta área del conocimiento trae como consecuencia que muchos<br />
alumnos repitan algunas materias o incluso pierdan el año.<br />
Sin embargo, los conocimientos de álgebra que se deben adquirir en la secundaria están al<br />
alcance de cualquier alumno que se dedique con empeño y constancia al aprendizaje de<br />
esta fascinante rama de las matemáticas.<br />
Con base en la lectura anterior y con el <strong>mismo</strong> equipo de trabajo comenten cuáles conocimientos<br />
de los que ya tienen pueden considerarse como de iniciación al álgebra.<br />
LA LÍNEA EN LAS FIGURAS Y EN LOS CUERPOS<br />
5 Geometría<br />
Tratamiento de los conceptos geométricos<br />
Si observas a tu alrededor, podrás notar que los objetos tienen gran parecido con algunas<br />
formas geométricas que ya has conceptualizado.<br />
Observa el programa de video donde apreciarás que la geometría ha tenido un<br />
papel muy importante a lo largo de la historia.<br />
Comenta en grupo cómo ayuda la geometría a la solución de problemas cotidianos.<br />
GEOMETRÍA<br />
Lee el texto.<br />
La geometría es de gran importancia para el estudio de las matemáticas, pues es la puerta<br />
que facilita la construcción de modelos para ciertos conocimientos matemáticos porque desarrolla<br />
habilidades y competencias que enriquecen nuestra forma de actuar y pensar.<br />
En este grado, se pretende que la geometría integre los conocimientos adquiridos de manera<br />
que su estudio no sea el de un tema más, sino una ayuda durante todo el año para que<br />
entiendas y analices otros conocimientos.<br />
Para ello, es importante que aprendas a observar todo cuanto te rodea y analices las semejanzas<br />
y diferencias que guardan las figuras y los objetos entre sí; esta observación será de<br />
gran ayuda para que construyas conceptos, los modeles y, de esa forma, representes gráficamente<br />
situaciones reales. Avanzarás en el trazado de formas geométricas con la ayuda de<br />
los instrumentos básicos, como son las escuadras, el compás y el transportador.<br />
Asi<strong>mismo</strong>, la observación y manipulación de figuras y cuerpos te será de gran utilidad para<br />
entender sus propiedades y aplicarlas en situaciones similares, de modo tal que propicien la<br />
resolución de problemas, no sólo de tu entorno, sino de lugares cercanos y lejanos. Por ello,<br />
31<br />
MATEMÁTICAS
es conveniente que relaciones las cosas que te rodean con las formas geométricas que<br />
conoces, y resuelvas los problemas en el papel para trasladarlos, posteriormente, a situaciones<br />
palpables.<br />
Así, cuando debas conocer la mejor forma de aprovechar un terreno, trazar canchas deportivas,<br />
conocer la capacidad de un estanque, etcétera, recordarás que resolviste problemas<br />
teóricos y podrás relacionarlos con lo que en ese momento se te presente.<br />
Temas como el Teorema de Pitágoras, el dibujo a escala y otros te ayudarán a descubrir<br />
estrategias para la resolución de problemas.<br />
Por otra parte, recordarás y aplicarás los conceptos y las fórmulas sobre perímetro, área y<br />
volumen, que te serán de gran utilidad en la vida práctica.<br />
Por lo tanto, debes recordar que la geometría no es solamente un aspecto más de las matemáticas,<br />
sino un artificio que te ayudará a comprender mejor algunos aspectos del saber<br />
humano.<br />
Ahora discute con tus compañeros(as) por qué es importante que la geometría sea objeto de<br />
estudio.<br />
Uno de los aspectos importantes de la geometría es la composición y descomposición<br />
de figuras. Copia en una hoja, con la ayuda de una escuadra, el siguiente<br />
cuadro; recórtalo por las líneas punteadas.<br />
De acuerdo con las indicaciones de tu profesor, intégrate en un equipo. Con tu equipo de<br />
trabajo forma figuras, utilizando las siete fichas. Algunas de ellas podrían ser:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
32
¡Ensaya y trata de hacerlas!<br />
¿Pudiste? ¿No? Inténtalo nuevamente. ¿Sí? Felicitaciones.<br />
Trabaja individualmente y pon en juego tu creatividad.<br />
1. Con regla y compás haz una composición geométrica.<br />
2. Imagina que debes decidir cómo construir una casa y te solicitan hacer un plano. ¡Hazlo!<br />
3. Se va a comprar el alambre para cercar un potrero de forma cuadrada. ¿Qué datos<br />
serían necesarios para decidir la cantidad de alambre que debe comprarse?<br />
4. Dibuja dos círculos de tal manera que uno tenga el doble del diámetro del otro.<br />
a) ¿Qué relación hay entre sus perímetros? b)¿Qué relación hay entre sus áreas?<br />
AZARES Y CERTEZAS<br />
6 Estadística y probabilidad<br />
Tratamiento de la estadística y la probabilidad<br />
La radio, la televisión y el periódico manejan una serie de informaciones que son o pueden<br />
ser motivo de estudio para la estadística y la probabilidad. Por ejemplo, los resultados del<br />
censo de población o del campeonato de fútbol, las predicciones climatológicas, etcétera.<br />
Observa el programa de video en el cual se mostrará el cómo y el para qué del<br />
estudio de la presentación y tratamiento de la información, así como de las nociones<br />
de probabilidad en este grado.<br />
Lee cuidadosamente el texto Estadística y probabilidad e identifica en él los temas<br />
y propósitos del curso séptimo grado para estas dos ramas de las matemáticas.<br />
33<br />
MATEMÁTICAS
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD<br />
Actualmente, los procedimientos utilizados en la teoría de la probabilidad, así como en la<br />
estadística, han adquirido gran relevancia, pues son instrumentos muy útiles tanto en investigaciones<br />
científicas como en el estudio de fenómenos sociales, económicos, agrícolas, etc.<br />
Aún en la vida cotidiana con frecuencia se aplican los principios de estas disciplinas.<br />
La noción de probabilidad surge de considerar la diferencia esencial entre los fenómenos<br />
deterministas y los azarosos, de modo que la comprensión de estos últimos se logra a través<br />
de los resultados posibles en experimentos sencillos, con el propósito de orientar una acertada<br />
toma de decisiones.<br />
En el tratamiento de estas dos disciplinas es importante considerar el entorno económico,<br />
social y cultural, así como aprovechar la información que presentan la radio, la televisión, el<br />
periódico, etc., mediante un análisis de esas situaciones.<br />
Reúnete con un compañero y busquen en una revista, en un periódico, o en un<br />
texto de la biblioteca información que esté presentada en una tabla o en una gráfica<br />
estadística. Analícenla y escriban algunas conclusiones que puedan obtenerse<br />
con base en esa información.<br />
Comparen su trabajo con el de otro equipo y discutan acerca de la importancia de las conclusiones<br />
obtenidas con base en la interpretación de la información.<br />
LO SÉ TODO<br />
7 Evaluación diagnóstica<br />
Resolución de un cuestionario<br />
Una vez que ya cursaste el 6º grado, es necesario saber qué tantos conocimientos asimilaste,<br />
debido a que varios de ellos sirven como base en este grado.<br />
Es necesario que tengas en cuenta que en la medida en que más conceptos domines, más<br />
se te facilitará la comprensión de los temas de este nuevo curso.<br />
Observa el video, ya que en él se te orientará sobre la forma de resolver el cuestionario;<br />
posteriormente comenta ante el grupo cuál fue la idea principal del programa.<br />
En forma individual, contestarás un cuestionario que debes fotocopiar, cuya única<br />
finalidad es determinar el manejo de algunos temas vistos en el curso anterior. Es<br />
importante que tanto <strong>tú</strong> como tu profesor sepan qué temas dominas y cuáles no,<br />
para poder iniciar el séptimo grado.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
34
Nombre del alumno:<br />
EVALUACIÓN DIAGNóSTICA<br />
Número de aciertos: Recomendaciones:<br />
Para resolver este cuestionario, lee atentamente cada enunciado y subraya la respuesta<br />
correcta.<br />
1. En el número 586 027 398, ¿a qué orden pertenece el cero?<br />
a) Unidades de millón b) Decenas de millar c) Centenas de millar<br />
2. Las gráficas en las cuales los datos se representan en forma de porcentajes son:<br />
a) Las de barras b) Las circulares c) Los histogramas<br />
3. Si la base de un rectángulo mide 6 m y su altura 4 m, ¿cuál es su perímetro?<br />
a) 24 m 2 b) 20 m c) 20 m 2<br />
4. La suma de 4<br />
3<br />
a) 67<br />
30<br />
+<br />
2<br />
5<br />
+<br />
1<br />
es:<br />
2<br />
b) 67<br />
15<br />
c) 7<br />
30<br />
5. Un número que no es divisor de 114 es:<br />
a) 19 b) 12 c) 2<br />
6. Si el diámetro de un círculo mide 4 cm, ¿cuál es su área?<br />
a) 50.2656 cm 2 b) 6.2832 cm 2 c) 12.5664 cm 2<br />
7. En una sustracción, el sustraendo es 1 208 y la diferencia, 197, ¿cuál es el valor del<br />
minuendo?<br />
a) 1 405 b) 1 011 c) 1 101<br />
8. ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar un dado, se obtenga un número par?<br />
a) 1<br />
4<br />
b) 1<br />
3<br />
35<br />
c) 1<br />
2<br />
MATEMÁTICAS
9. Al simplificar a su mínima expresión 54<br />
, se obtiene:<br />
24<br />
a) 21<br />
12<br />
10. De las fracciones decimales 0.0392, 0.0394 y 0.1, la mayor es:<br />
a) 0.0392 b) 0.1 c) 0.0394<br />
11. Al redondear a centésimos 3.09732, se obtiene:<br />
a) 3.1 b) 3.09 c) 3.097<br />
12. Si se necesitan 9<br />
4<br />
b) 7<br />
2<br />
13. El producto de 302 . × 026 . es:<br />
a) 0.7842 b) 0.7862 c) 0.7852<br />
14. Las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades son:<br />
a) m, kg, s b) km, kg, s c) m, g, s<br />
15. Una persona compró las siguientes cantidades de tela: 3<br />
m,<br />
2<br />
m y<br />
7<br />
2 5 8 m.<br />
Si necesitaba comprar 5 m de tela, ¿cuánto le faltó?<br />
a) 2 1<br />
m<br />
40<br />
b) 2<br />
3<br />
m<br />
40<br />
c) 2<br />
39<br />
40 m<br />
16. La fracción equivalente a 8<br />
9 es:<br />
a) 0.876 b) 0.8 c) 0.9<br />
17. En un rectángulo cuya base mide 5 cm y tiene de altura 7 cm, se traza una diagonal,<br />
¿cuál es el área de uno de los triángulos que se obtienen?<br />
a) 12 cm 2 b) 35 cm 2 c) 17.5 cm 2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
c) 9<br />
4<br />
de cierta cantidad de pintura, la cantidad requerida es:<br />
a) Menor de la que hay b) Igual a la que hay<br />
c) Mayor de la que hay<br />
36
18. El cociente de 4.2 ÷ 0.03 es:<br />
a) 140 b) 14 c) 1.4<br />
Compara el cociente con el dividendo, ¿qué puedes decir?<br />
19. Si se les pregunta a diferentes personas en qué mes del año nacieron, ¿cuál es su<br />
espacio muestral?<br />
a) Febrero b) Agosto c) Los meses del año<br />
20. La mamá de Juan compró un litro de leche; si ella tomó en el desayuno<br />
¿qué cantidad de leche tomaron entre los dos?<br />
a)<br />
21. Una fracción común menor que 9<br />
4 es:<br />
a) 8<br />
3<br />
5<br />
l b)<br />
6<br />
b) 7<br />
2<br />
1<br />
l c)<br />
6<br />
37<br />
1<br />
2 l<br />
c) 4<br />
9<br />
22. Al redondear a centenas el número 73 968 queda indicado como:<br />
a) 7 300 b) 73 970 c) 74 000<br />
2<br />
ly su hijo<br />
6<br />
Una vez que hayas terminado, intercambia tu trabajo con el de otro compañero para que él le<br />
haga cuidadosamente y a lápiz algunas anotaciones. El profesor o la profesora recogen los<br />
trabajos hasta la siguiente sesión, en la que se analizará el examen. El trabajo te será<br />
devuelto al principio de la siguiente sesión.<br />
BUENO... ESO CREÍA<br />
8 Análisis de resultados<br />
Determinación del nivel de conocimientos del sexto grado<br />
El día de hoy analizarás los errores y aciertos que tuviste en la evaluación diagnóstica, pues<br />
te ayudarán a conocer los aspectos en los que tienes deficiencias.<br />
4<br />
8 l,<br />
Observa el programa de video. Comenta en tu grupo cómo puede ayudarte la<br />
revisión de tus conocimientos para iniciar los estudios de séptimo grado. Comenta,<br />
en grupo, las respuestas a las siguientes preguntas:<br />
MATEMÁTICAS
1. ¿Has realizado anteriormente una prueba diagnóstica?<br />
2. ¿En qué momento crees conveniente realizarla?<br />
3. ¿Para qué crees que te pueda servir?<br />
4. Ahora toma tu evaluación diagnóstica:<br />
a) Marca cada respuesta con una paloma ( ✓ ) si es correcta, y con una equis (X)<br />
los errores, de acuerdo con la clave que dará el profesor.<br />
b) Anota en la parte superior el número de aciertos.<br />
c) Escribe algunas recomendaciones que te guíen para la superación de los errores,<br />
si los hubo.<br />
De acuerdo con el siguiente cuadro, puedes ubicar algunos de los temas donde<br />
tuviste éxito y también donde debes mejorar.<br />
Después de observar la tabla anterior, contesta las preguntas y coméntalas en el grupo.<br />
1. ¿En qué temas tuviste más errores?<br />
2. ¿Qué temas dominas según los resultados obtenidos?<br />
3. ¿Crees necesario realizar un repaso individual de los temas que no dominas?<br />
Observa la siguiente escala y, de acuerdo con el número de aciertos que hayas<br />
tenido, determina tu calificación.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
TEMA NÚMERO DE LA PREGUNTA<br />
Lectura y escritura de números 1<br />
Múltiplos y divisores 5<br />
Operaciones con racionales 4, 7, 13, 15, 18, 20<br />
Simplificación y relación de orden entre fracciones 9, 10, 12, 16, 21<br />
Sistemas de medidas 14<br />
Redondeo 11, 22<br />
Perímetro, área y volumen 3, 6, 17<br />
Probabilidad y estadística 2, 8,19<br />
38
ESCALA ESTIMATIVA<br />
22 – 21 EXCELENTE<br />
20 – 18 MUY BIEN<br />
17 – 15 BIEN<br />
14 – 12 REGULAR<br />
11 – 0 MAL<br />
Si tu calificación fue muy bien o excelente, ¡felicidades! Si fue regular o bien, debes considerarlo<br />
para que realices un repaso de los temas en que hayas tenido problemas. Si fue mal,<br />
tus conocimientos son muy deficientes y deberás hacer un análisis detallado de los resultados<br />
obtenidos.<br />
Para ello, intégrate en un equipo de estudio e investiga en las fuentes de consulta cercanas<br />
los conocimientos en que tengas fallas. ¡Suerte!<br />
iTAMBIÉN CON ÉSTE PUEDO!<br />
9 Proyecto personal<br />
Elaboración de un proyecto personal<br />
Todo proyecto requiere de esfuerzo y perseverancia para lograr los objetivos propuestos,<br />
¡hay que vencer los obstáculos y no darse por vencido!<br />
Observa con atención el video.<br />
Contesta individualmente, en tu cuaderno, las siguientes preguntas, basándote en el programa.<br />
1. ¿Cuál fue la idea principal del programa?<br />
2. ¿Cuál es tu meta para el 7º grado de matemáticas?<br />
Para lograr una mejor comprensión del proyecto que debes elaborar, lee cuidadosamente<br />
el texto:<br />
PROYECTO PERSONAL<br />
El ser humano siempre ha tenido la inquietud de propósitos para poder satisfacer necesidades<br />
físicas, económicas, políticas, profesionales o de otra índole. Así como tiene propósitos,<br />
también busca la manera de realizarlos y que no queden como un “buen intento”.<br />
Por lo tanto, es bueno fijarse metas que se puedan alcanzar a corto plazo con el objeto de<br />
cumplir los propósitos.<br />
39<br />
MATEMÁTICAS
De lo anterior se deduce la necesidad de establecer un plan para alcanzar un objetivo determinado,<br />
lo que se convierte finalmente en un proyecto.<br />
¿Qué es un proyecto?<br />
Proyecto es la elaboración de un plan o de un programa de actividades que conduzcan a<br />
alcanzar un objetivo.<br />
Así pues, puede decirse que un proyecto personal para el séptimo grado de matemáticas<br />
contendrá algunos de los siguientes elementos:<br />
1. El nombre del proyecto<br />
2. El objetivo<br />
3. El plan<br />
4. Las metas específicas<br />
Ejemplo de un proyecto personal:<br />
NOMBRE: “Mi proyecto para séptimo grado de matemáticas”.<br />
OBJETIVO: Comprender el significado de las operaciones y aprender a razonar para solucionar<br />
los problemas que se plantean en cada núcleo y en la vida cotidiana.<br />
PLAN: a) Asistir regularmente a las clases.<br />
b) Seguir las indicaciones del libro de matemáticas.<br />
c) Poner atención a los videos.<br />
d) Leer atentamente los textos.<br />
e) Atender las indicaciones del profesor.<br />
f) Resolver los problemas propuestos.<br />
METAS: Adquirir el mayor cúmulo de conocimientos matemáticos en beneficio propio y de<br />
mi comunidad.<br />
Finalmente, es importante considerar el hecho de que no siempre lo que se planea se cumple<br />
al cien por ciento, pero también es cierto que la perseverancia nos lleva al éxito.<br />
En tu cuaderno escribe tu “proyecto” para el séptimo grado de matemáticas. Considera<br />
los aspectos enumerados.<br />
1. Nombre 2. Objetivos 3. Plan 4. Metas<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
40
Comenta tu proyecto con tu profesor(a), él(ella) escogerá dos proyectos o los que considere<br />
convenientes y les dará lectura. El grupo participará escuchando.<br />
Haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente para que anotes las calificaciones<br />
que obtengas en cada núcleo y el promedio correspondiente.<br />
Esta actividad te ayudará a evaluar tu aprovechamiento después de cada núcleo, de esta<br />
manera vigilarás si tu proyecto personal se está realizando.<br />
Considera también que si la calificación no es satisfactoria, tendrás que esforzarte para<br />
mejorarla.<br />
Núcleo Calificación Promedio Observaciones<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
Registra tus promedios después de cada núcleo, si notas que hay que mejorar tu calificación,<br />
pregúntale a tu profesor(a) qué puedes hacer para ello, y él(ella) te orientará.<br />
iDEMUESTRA QUE SABES!<br />
10 Evaluación personal<br />
Demostración del aprendizaje logrado<br />
En esta sesión se pretende que tengas un conocimiento general de los contenidos de los<br />
temas que se tratarán en este nuevo curso que vas a llevar.<br />
Observa el programa de televisión, ya que en él se te dará información de los<br />
contenidos del segundo curso. Posteriormente, efec<strong>tú</strong>a comentarios al respecto.<br />
En forma individual, resuelve el siguiente cuestionario. Fotocópialo.<br />
41<br />
MATEMÁTICAS
Alumno(a):<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
EVALUACIÓN DEL NÚCLEO<br />
Número de aciertos: Calificación:<br />
Contesta cada una de las preguntas que se te hacen:<br />
1. ¿En dónde se aplican las matemáticas?<br />
2. ¿Qué conocimientos son básicos para el estudio de las matemáticas?<br />
3. Escribe con tus palabras lo que entiendes por un proyecto personal.<br />
4. En aritmética emplearás la calculadora, ¿anteriormente la has usado? ¿En dónde?<br />
5. ¿Para qué crees que te sirve el efectuar operaciones mentalmente, aparte de ayudarte<br />
a resolver rápidamente algunas operaciones y problemas?<br />
6. ¿Por qué consideras que es necesario efectuar una evaluación diagnóstica al inicio de<br />
cada curso?<br />
7. ¿Qué temas de los que estudiaste en el curso anterior te parecieron más difíciles?<br />
8. ¿De qué manera puedes vencer este obstáculo?<br />
9. Escribe los objetivos y las metas que te fijaste, y debes tratar de alcanzar, para aprovechar<br />
todos los conocimientos de este nuevo curso.<br />
Una vez que termines tu evaluación, entrégala al profesor; él indicará la forma de revisarla.<br />
42
Núcleo Básico 2<br />
ARITMÉTICA<br />
El estudio de los números y sus relaciones no es para ti un conocimiento nuevo; sin embargo,<br />
su análisis y aplicación a situaciones concretas te ayudará a profundizar en temas básicos<br />
de las matemáticas y, así, comprender cuantitativamente el mundo que te rodea; establecer<br />
las operaciones fundamentales con los números naturales, enteros y racionales, aplicándolas<br />
en diferentes contextos, no sólo de tu vida diaria sino del saber humano en general.<br />
43<br />
MATEMÁTICAS
¿QUÉ TAN GRANDE O TAN PEQUEÑO ERES?<br />
11 Estimación del orden de magnitud de un resultado<br />
Uso de la estimación del orden de magnitud<br />
¿Te consideras un buen estimador? ¿Sabías que la estimación resulta una herramienta muy<br />
poderosa y ha sido usada y reconocida en todo el mundo? En seguida verás qué es la<br />
estimación en matemáticas.<br />
RECUERDA. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema:<br />
¡De las 24 horas del día, Amalia dedica 1<br />
3<br />
1<br />
12<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
a dormir, 1<br />
4<br />
44<br />
a trabajar, 1<br />
16<br />
para transportarse,<br />
a ver televisión y el resto a hacer ejercicio. ¿Cuántas horas dedica al ejercicio?<br />
Observa el video y descubre las estrategias de los buenos estimadores y para<br />
qué sirve la estimación.<br />
Comenta con tus compañeros la idea central del programa.<br />
Agrúpate en equipos de tres personas y efec<strong>tú</strong>a una lectura comentada del texto:<br />
ESTIMACIÓN DEL ORDEN DE MAGNITUD DE UN RESULTADO<br />
Actualmente en muchas situaciones cotidianas resulta muy útil la estimación de resultados.<br />
Por ejemplo, al efectuar compras es necesario hacer una estimación de lo que se va a pagar,<br />
para saber si el dinero alcanza o para evitar un cobro indebido. En matemáticas resulta una<br />
herramienta muy valiosa, ya que se puede prever el resultado aproximado de las operaciones<br />
aritméticas, o, si el cálculo estimado es cuidadoso, permite con frecuencia detectar<br />
errores.<br />
En primer lugar veamos cómo estimar el orden de magnitud de un número.<br />
Para poder desarrollar habilidades y actitudes que nos permitan hacer estimaciones, es importante<br />
tener presente la estructura del Sistema de Numeración Decimal.<br />
Obsérvese el siguiente cuadro y los números que en él aparecen.
45<br />
Períodos<br />
Clases<br />
Órdenes<br />
El número 78 453 tiene una magnitud de quinto orden o un orden de magnitud en decenas<br />
de millar.<br />
El número 956 tiene una magnitud de tercer orden o un orden de magnitud en centenas.<br />
El orden de magnitud de un número se relaciona con el número de cifras que lo componen.<br />
Este orden se enuncia con el número o nombre de ese orden.<br />
4 312 tiene una magnitud de cuarto orden o un orden de magnitud en unidades de millar.<br />
96 tiene una magnitud de segundo orden o un orden de magnitud en decenas.<br />
Veamos ahora cómo estimar el orden de magnitud del resultado de las operaciones aritméticas<br />
básicas.<br />
Adición<br />
Y sigue...<br />
MILLONES UNIDADES<br />
MILLARES<br />
DE<br />
MILLÓN<br />
C<br />
E<br />
N<br />
T<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
D<br />
E<br />
C<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
U<br />
N<br />
I<br />
D<br />
A<br />
D<br />
E<br />
S<br />
UNIDADES<br />
DE<br />
MILLÓN<br />
C<br />
E<br />
N<br />
T<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
D<br />
E<br />
C<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
Obsérvense las siguientes adiciones cuya suma ha sido obtenida por aproximación.<br />
426 32 652<br />
+ 350 + 87 463<br />
215 Resultado 4 278<br />
900 estimado ➔ 123 000<br />
➔<br />
U<br />
N<br />
I<br />
D<br />
A<br />
D<br />
E<br />
S<br />
MILLARES<br />
C<br />
E<br />
N<br />
T<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
D<br />
E<br />
C<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
U<br />
N<br />
I<br />
D<br />
A<br />
D<br />
E<br />
S<br />
C<br />
E<br />
N<br />
T<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
SIMPLES<br />
D<br />
E<br />
C<br />
E<br />
N<br />
A<br />
S<br />
U<br />
N<br />
I<br />
D<br />
A<br />
D<br />
E<br />
S<br />
7 8 4 5 3<br />
9 5 6<br />
MATEMÁTICAS
En la primera adición el orden de magnitud de todos los sumandos es en centenas (tercer<br />
orden) y la suma aproximada también tiene el <strong>mismo</strong> orden de magnitud; se sumaron centenas<br />
y la suma fue en centenas.<br />
En la segunda adición los sumandos mayores tienen un orden de magnitud en decenas de<br />
millar (quinto orden), pero la suma aproximada es en centenas de millar; tiene un orden de<br />
magnitud mayor que el de los sumandos. Con estas adiciones se ejemplifica la forma de<br />
obtener el orden de magnitud de la suma.<br />
El orden de magnitud de la suma siempre es igual o mayor que el orden de magnitud del<br />
sumando mayor.<br />
Multiplicación<br />
Véanse las siguientes multiplicaciones cuyos factores han sido redondeados para obtener<br />
un producto aproximado.<br />
a) 1 825 1 800 b) 625 600<br />
× 4 × 4 × 29 × 30<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
7 200 18 000<br />
En la multiplicación se observa que el factor mayor (1 825) y el producto (7 200) tienen el<br />
<strong>mismo</strong> orden de magnitud (cuatro cifras cada uno).<br />
En la segunda multiplicación puede observarse que el producto (18 000) tiene mayor orden<br />
de magnitud que el factor mayor (600).<br />
Con la observación de estos dos productos se puede concluir que:<br />
El orden de magnitud de un producto es igual o mayor (uno o más órdenes) que el orden de<br />
magnitud del factor de mayor orden de magnitud.<br />
Sustracción<br />
Resultado<br />
estimado<br />
Analícense las siguientes sustracciones cuya resta es aproximada:<br />
46
a) 62 438 b) 138<br />
– 7 826 – 94<br />
55 000 40<br />
En la primera sustracción se puede observar que la resta tiene el <strong>mismo</strong> orden de magnitud<br />
que el minuendo (5 cifras cada uno).<br />
En la segunda sustracción se observa que la resta (40) tiene un orden de magnitud menor<br />
que el minuendo (138).<br />
De lo anterior se tiene que:<br />
El orden de magnitud de una resta es igual o menor que el orden de magnitud del<br />
minuendo.<br />
División<br />
Obsérvense las siguientes divisiones cuyos términos han sido redondeados para obtener el<br />
cociente aproximado:<br />
a) 78 ÷ 4 b) 936 ÷ 26<br />
80 4 900 30<br />
00 20 00 30<br />
En la primera división se puede observar que el cociente tiene un orden de magnitud igual al<br />
del dividendo.<br />
En la segunda división se observa que el cociente tiene un orden de magnitud menor que el<br />
del dividendo, por lo que se tiene:<br />
El orden de magnitud de un cociente es igual o menor que el orden de magnitud del<br />
dividendo.<br />
La estimación que se haga para el orden de magnitud del resultado en las operaciones<br />
de adición y multiplicación deberá ser mayor o igual que el orden de magnitud del<br />
sumando o factor de mayor valor. Y en las operaciones de sustracción y división el<br />
orden de magnitud del resultado deberá ser igual o menor que el orden de magnitud<br />
del minuendo o cociente.<br />
La estimación del orden de magnitud de un resultado permite calcularlo aproximadamente,<br />
en forma mental y rápida.<br />
Continúa trabajando en equipo para discutir las respuestas a:<br />
47<br />
MATEMÁTICAS
1. ¿Por qué nuestro Sistema de Numeración está estructurado en clases?<br />
2. En la clase que llamamos Unidades Simples, ¿cuál es el orden de cada una de dichas<br />
unidades?<br />
3. a) Escribe un número cuya magnitud sea de quinto orden y que en el lugar de las<br />
unidades sueltas y en el de las centenas tenga la cifra 0.<br />
b) Escribe un número en el que haya 36 decenas y solamente ésas.<br />
c) Escribe tres números menores que 5 000 y mayores que 4 920.<br />
4. ¿Qué relación puede existir entre el orden de magnitud de los sumandos y el de la<br />
suma?<br />
5. ¿Qué relación puede haber entre el orden de magnitud del cociente y el orden de<br />
magnitud del dividendo (en los números naturales)?<br />
Comenta tus respuestas con compañeros de otro equipo, en caso de dudas consulta la<br />
lectura: Estimación del orden de magnitudes de un resultado.<br />
Continúa con tu equipo y resuelve los siguientes ejercicios.<br />
1. Completa el siguiente cuadro:<br />
Número<br />
38 462 721<br />
672 428<br />
1 263 281<br />
Número de cifras Oden de magnitud<br />
2. Escribe en tu cuaderno las operaciones propuestas y haz una estimación del orden de<br />
magnitud del resultado de cada una de ellas.<br />
a) 48 + 367 + 2 458<br />
b) 2 864 × 97<br />
c) 684 ÷ 26<br />
3. Analiza el siguiente cuadro, fotocópialo o hazlo en tu cuaderno; complétalo y responde<br />
las preguntas propuestas al final.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
48
Los números bengalíes siguen el <strong>mismo</strong> principio del sistema usado internacionalmente. Sin<br />
embargo, los dígitos son diferentes y pueden confundirse algunas veces con numerales del<br />
Sistema Internacional. En particular, el cuatro bengalí parece más bien el ocho del Sistema<br />
Internacional; lo <strong>mismo</strong> que el siete bengalí, que se parece al nueve.<br />
a) ¿Cuál es la base del sistema de numeración bengalí?<br />
b) ¿Cómo se representa en este sistema el 47 y el 74?<br />
c) ¿Por qué se utiliza el cero?<br />
Sistema de numeración bengalí<br />
Bengala es una región de la India<br />
d) Representa en bengalí el 208 y el 4 507.<br />
Tomado de un texto escolar de M. Brown.<br />
En forma individual, realiza en tu cuaderno lo que se te indica.<br />
49<br />
MATEMÁTICAS
1. Considerando los números de cada rectángulo, encuentra el resultado aproximado de<br />
cada una de las siguientes operaciones y escribe en tu cuaderno el orden de magnitud<br />
que tienen.<br />
a) 84 327 b) 7 8693<br />
+ 1 764 – 2 4365<br />
24 762<br />
Redondea los números que intervienen en cada operación para encontrar el resultado<br />
aproximado y escribe el orden de magnitud del <strong>mismo</strong>.<br />
c) 360 × 485 × 23 = d) 63 934 ÷ 69 =<br />
2. Escribe tu opinión acerca de la utilidad de la estimación de resultados y anota dos<br />
situaciones diferentes en donde se aplique.<br />
¿Terminaste? Compara tus respuestas con la clave que se da. Detecta cuáles son tus<br />
errores y corrígelos.<br />
CLAVE<br />
a) 109 000, sexto orden; b) 50 000, quinto orden; c) 4 000 000, séptimo orden;<br />
d) 900, tercer orden.<br />
GENERACIONES INTERMINABLES<br />
12 Múltiplos de un número natural<br />
Precisión del concepto de múltiplo de un número<br />
Cuando el valor de un número es varias veces mayor que el de otro, esto no indica que valga<br />
más, sino que su valor numérico es mayor y, si además es divisible entre el menor, al segundo<br />
se le conoce como múltiplo del primero.<br />
Observa el video; procura no distraerte ya que en él hallarás información interesante.<br />
Comenta con tus compañeros y tu profesor los aspectos del video que consideres más relevantes.<br />
Para que comprendas mejor el tema, lee en grupo el texto:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
50
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO NATURAL<br />
Dentro de las matemáticas pueden establecerse relaciones entre los números como la de<br />
ser mayor, menor o igual que otro, o como las de ser múltiplo o ser divisor de otro u otros<br />
números. Aquí se verán aquellas que tienen que ver con la situación multiplicativa y especialmente<br />
los conocimientos relacionados con múltiplos de un número natural.<br />
• Si se tienen los números 3,12 y 27, ¿qué relaciones puedes establecer entre ellos?<br />
• Las frases “12 es un múltiplo de 3” y “27 es un múltiplo de 3” ¿son verdaderas? Explica<br />
tu respuesta.<br />
De lo anterior se concluye que 12 y 27 son múltiplos de 3. Ya sabes que para hallar múltiplos<br />
de un número se debe multiplicar el número dado por cualquier natural, incluyendo el cero,<br />
puesto que este también es un número natural.<br />
Así algunos múltiplos de siete son:<br />
7 × 0 = 0<br />
7 × 1 = 7<br />
7 × 2 = 14<br />
7 × 3 = 21<br />
7 × 4 = 28<br />
Como se observa, el siete se multiplicó por números naturales y los productos obtenidos son<br />
los múltiplos de siete.<br />
Con base en el ejemplo anterior, se tiene que:<br />
1. Todo número natural es múltiplo de sí <strong>mismo</strong>.<br />
7 × 1 = 7, siete es múltiplo de siete, es decir, es múltiplo de sí <strong>mismo</strong>.<br />
2. Cualquier número natural es múltiplo de uno.<br />
7 × 1 = 7, siete es múltiplo de uno, ya que es mayor y divisible exactamente.<br />
3. El único número natural que no es múltiplo de otro, sino únicamente de sí <strong>mismo</strong> es el<br />
uno. Esto se debe a que el uno no es mayor ni divisible entre otro número natural<br />
diferente de 1.<br />
4. Cero es múltiplo de cualquier número natural.<br />
7 × 0 = 0, esto se debe a que 0 es un número natural. Es el único caso en que el<br />
múltiplo es menor que el número.<br />
51<br />
MATEMÁTICAS
5. La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.<br />
Si se suman 0 + 7 + 14 + 21 + 28, la suma que se obtiene es 70; 70 cumple con las características<br />
de ser mayor que siete y además divisible exactamente entre él.<br />
Con base en lo expuesto, se tiene:<br />
Para hallar los múltiplos de un número, se multiplica el número dado por cualquier<br />
número natural, y para determinar si un número es múltiplo de otro, exceptuando el<br />
caso del cero, se realiza una división: si ésta es exacta, el segundo número es múltiplo<br />
del primero. Asi<strong>mismo</strong>, se debe tomar en cuenta que un número tiene un número infinito<br />
de múltiplos.<br />
Ahora comenta y responde las siguientes preguntas:<br />
1. ¿Qué entiendes por múltiplo de un número?<br />
2. ¿Qué determina si un número es múltiplo de otro?<br />
3. ¿Por qué el cero es un múltiplo de cualquier número?<br />
Lee tus opiniones ante el grupo, escucha las de los demás y enriquécelas con lo que consideres<br />
importante.<br />
Forma un equipo de trabajo y contesta las siguientes preguntas:<br />
1. ¿Cómo se determinan algunos múltiplos de un número natural dado?<br />
2. ¿Cuál es el quinto múltiplo de 9, 13 y 38?<br />
3. ¿Cómo sabes que un número es múltiplo de otro?<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo; de existir duda, consulta con tu profesor.<br />
Continúa con tu equipo de trabajo para que contestes lo que se te pide en cada<br />
caso.<br />
1. Con base en el siguiente esquema, di cuáles son los números que no son múltiplos de<br />
25.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
52
60<br />
40<br />
3<br />
175<br />
25<br />
0<br />
45<br />
25<br />
105 30 1<br />
2. Auxiliándote con la calculadora, escribe en tu cuaderno si se cumple o no cada una de<br />
las expresiones que se dan a continuación y explica por qué.<br />
a) 1 404 es múltiplo de 156<br />
b) 104 128 es múltiplo de 32<br />
c) 900 es múltiplo de 24<br />
d) 6 570 es múltiplo de 18<br />
e) 2 145 es múltiplo de 8<br />
Compara tus respuestas con las de otros equipos; si existen errores, corrígelos.<br />
En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide en cada caso.<br />
1. Si un número a es divisor de otro número b, ¿qué puedes decir de b con respecto al<br />
número a?<br />
53<br />
10<br />
2<br />
90<br />
5<br />
120<br />
2. ¿Por qué el número 1 no es múltiplo de cualquier otro número?<br />
3. ¿De qué número son múltiplos 30, 40 y 50?<br />
4. En forma mental y con ayuda de la calculadora, halla cinco múltiplos mayores que 100,<br />
de los siguientes números: 17, 9, 35 y 41.<br />
5. Si algunos de los múltiplos de un número son 84, 102, 136 y 153, ¿de qué número se<br />
trata?<br />
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes errores, corrígelos y consulta<br />
con tu profesor en caso de duda.<br />
15<br />
MATEMÁTICAS
SIEMPRE LOS MISMOS<br />
13 Divisores de un número natural<br />
Precisión del concepto de factor o divisor de un número<br />
Si tienes $8 000, ¿Ios puedes repartir exactamente entre dos de tus amigos, entre cinco o<br />
entre siete de ellos? Una manera de saber si es posible es por medio del manejo de los<br />
criterios de divisibilidad, otra forma es saber si un número es divisor de otro. ¿Deseas saber<br />
en qué consiste esto?<br />
Observa el video, ya que en él hallarás información que te ayudará a encontrar los<br />
divisores de cualquier número natural. Posteriormente, comenta con tus compañeros<br />
los aspectos que no hayas comprendido.<br />
Lee el texto:<br />
DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL<br />
Como ya se vio, un múltiplo es un número se obtiene de multiplicar cierto número por otro<br />
natural; ahora bien, un divisor es un número que divide exactamente a otro número.<br />
Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad, que<br />
fueron objeto de estudio en la G.A. sesión 2.30 del año anterior.<br />
Ahora, para hallar todos los divisores de un cierto número se buscan las parejas de números<br />
o factores que al multiplicarse den como resultado ese número; para ello, se aplica el método<br />
de ensayo y error. Esto indica que se deben ir multiplicando factores de manera que se<br />
obtenga el número buscado. Para esto, se debe tener en cuenta que un número tiene una<br />
cantidad limitada de divisores.<br />
Ejemplos:<br />
1. Hallar todos los divisores de 44.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
44 × 1 = 44<br />
22 × 2 = 44<br />
11 × 4 = 44<br />
4 × 11 = 44<br />
2 × 22 = 44<br />
1 × 44 = 44<br />
2. Una vez que ya se tienen las parejas de números o factores que dan como producto 44,<br />
se toman éstos en forma ascendente o descendente, pues son los <strong>mismo</strong>s; por lo tanto,<br />
los divisores de 44 son: 44, 22, 11, 4, 2 y 1.<br />
54
3. Hallar todos los divisores de 96.<br />
96 × 1 = 96<br />
48 × 2 = 96<br />
32 × 3 = 96<br />
24 × 4 = 96<br />
16 × 6 = 96<br />
12 × 8 = 96<br />
8 × 12 = 96<br />
6 × 16 = 96<br />
4 × 24 = 96<br />
3 × 32 = 96<br />
2 × 48 = 96<br />
1 × 96 = 96<br />
Como los factores son los <strong>mismo</strong>s leídos en forma ascendente o descendente, los divisores<br />
de 96 son: 96, 48, 32, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1.<br />
Para determinar si un número es divisor de otro, se aplican los criterios de divisibilidad.<br />
Para hallar los divisores de un número, se buscan todas las parejas de números o<br />
factores que den como producto ese número.<br />
Forma pareja para que discutan lo que provoca cada pregunta:<br />
1. ¿En qué casos aplicarías los criterios de divisibilidad para determinar si un número es<br />
divisor de otro?<br />
2. ¿Cuál crees que sea el inconveniente de buscar parejas de números para encontrar<br />
divisores de números mayores que 100?<br />
3. ¿Por qué el número de divisores de un número se puede contar?<br />
4. ¿Por qué el conjunto de divisores de un número también es el de sus factores?<br />
Compara tus respuestas con las de otras parejas y lleguen a un consenso asesorados por su<br />
profesor(a).<br />
Sigue trabajando con tu compañero(a) para que resuelvas lo siguiente:<br />
1. Mentalmente, determina si se cumple lo que se anota a continuación, aplicando los<br />
criterios de divisibilidad.<br />
55<br />
MATEMÁTICAS
a) 3 es divisor de 54 c) 5 es divisor de 200<br />
b) 2 es divisor de 29 d) 7 es divisor de 133<br />
2. Con ayuda de la calculadora, determina si se cumple lo siguiente:<br />
a) 18 es divisor de 4 230<br />
b) 32 es divisor de 2 000<br />
c) 84 es divisor de 46 032<br />
Intercambia tu cuaderno con otra pareja para que compares tus respuestas; si existen errores,<br />
corrígelos.<br />
En forma individual, contesta en tu cuaderno lo que se pide a continuación:<br />
1. Escribe todos los divisores del número que se indica en cada caso.<br />
a) 40 b) 16 c) 39 d) 24<br />
2. En el siguiente esquema se dan cuatro de los cinco divisores de un número, encuentra<br />
ese número.<br />
Encuentra todas las parejas de números o factores que multiplicados den el número que se<br />
tiene en cada caso y, posteriormente, escribe los divisores de cada número.<br />
a) 20 b) 36 c) 51<br />
Compara tus respuestas con las de otro compañero(a); en caso de tener errores, corrígelos<br />
y, si tienes dudas, consulta con tu profesor(a).<br />
CLAVE<br />
1. a) 1, 2, 4, 5, 8,10, 20, 40; b) 1, 2, 4, 8, 16; c) 1, 3, 13, 39.;<br />
d) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.<br />
2. 28<br />
3. a) 4 × 5, 2 × 10, 20 × 1. 1, 2, 4, 5, 10, 20; b) 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6, 36 × 1. 1, 2, 3, 4,<br />
6, 9, 12, 18, 36; c) 3 × 17, 1 × 51. 1, 3, 17, 51.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
56<br />
2<br />
14<br />
1<br />
7
TODO QUEDA EN FAMILIA<br />
14 Números primos y compuestos<br />
Distinción entre números primos y compuestos<br />
En esta sesión observarás cómo se diferencian los número primos de los números compuestos.<br />
Este tema ya lo estudiaste en grados anteriores.<br />
RECUERDA. Con un(a) compañero(a) conversen y escriban aquello que saben acerca de<br />
estos números.<br />
En primaria utilizamos fichas o puntos para representar los números, hagan algo parecido<br />
para obtener fácilmente el conjunto de los factores de algunos números.<br />
Trabajen con fichas o semillas, también pueden dibujar en sus cuadernos. Ojalá representen<br />
los números hasta el 25.<br />
• •• ••• •••• ••••• •••••• ••••••• •••••••• •••••••••<br />
1 × 1 1× 2 1× 3 1× 4 1× 5 1× 6 1× 7 1× 8 1× 9<br />
•• ••• •••• •••<br />
•• ••• •••• •••<br />
•••<br />
2 × 2 2× 3 2× 4 3× 3<br />
{1}; {1,2}; {1,3}; {1,2,4}; (1,5}; {1,2,3,6}; {1,7}; {1,2,4,8}; {1,3,9}<br />
Trata de convertir los arreglos lineales en rectangulares. Escribe el conjunto de los factores<br />
o divisores.<br />
1. ¿Cuáles números tienen dos y solamente dos factores o divisores diferentes?<br />
2. ¿Qué puedes decir del número uno?<br />
3. ¿Recuerdas qué nombre reciben los números que tienen solamente dos factores?<br />
Observa en el video los rasgos particulares tanto de los números primos como de<br />
los compuestos.<br />
Intégrate a un equipo de trabajo y realiza una lectura comentada del texto:<br />
57<br />
MATEMÁTICAS
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS<br />
En ocasiones, al determinar los factores o divisores de uno o más números dados, se observa<br />
que algunos tienen varios divisores, otro tiene sólo uno y los demás, curiosamente, tienen<br />
únicamente dos factores.<br />
Ejemplos:<br />
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6,12.<br />
Los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18.<br />
El divisor de 1 es únicamente 1.<br />
Los divisores de 2 son 1 y el <strong>mismo</strong> 2.<br />
Los divisores de 5 son 1 y el <strong>mismo</strong> 5.<br />
A los números que tienen dos divisores (el número 1 y a sí <strong>mismo</strong>s) se les conoce como<br />
números primos.<br />
A los números que tienen más de dos divisores se les conoce como números compuestos.<br />
Por lo que respecta al número 1, se dice que no es número primo ni tampoco número<br />
compuesto, ya que tiene únicamente un divisor.<br />
¿Qué podrías decir con respecto al número 2?<br />
En el siglo III a.C., un griego llamado Eratóstenes ideó un método a través del cual se podían<br />
localizar los números primos. Una vez que realizó la identificación de dichos números, su<br />
tabla quedó como una criba, por lo que a este procedimiento se le conoce como Criba de<br />
Eratóstenes, la cual consiste en colocar en una cuadrícula los números del 1 al 100 y aplicar<br />
las siguientes reglas:<br />
1. Se tacha el número 1 porque no es un número primo ni número compuesto.<br />
2. Se tachan los múltiplos del 2, menos el 2.<br />
Ejemplo:<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10,..., 100.<br />
3. Se tachan los múltiplos de 3, menos el 3.<br />
Ejemplo:<br />
X X X X X<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
58
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 100.<br />
4. Se tachan los múltiplos de 5, menos el 5.<br />
Ejemplo:<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., 100<br />
5. Se tachan los múltiplos de 7, menos el 7.<br />
Ejemplo:<br />
X X<br />
X X<br />
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,<br />
14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21,..., 100<br />
X X<br />
A continuación se muestra la tabla. En ella, los números que quedaron sin tachar son los<br />
números primos en tanto que los números tachados son los números compuestos, excepto<br />
el uno.<br />
Por lo tanto, los números que han quedado sin tachar en esta tabla o Criba de Eratóstenes<br />
son los números primos menores que 100, los cuales se presentan a continuación:<br />
2, 3, 5, 7, 11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.<br />
Con objeto de comprobar que sí son números primos, y que únicamente tienen dos divisores,<br />
se toman dos números cualesquiera que no estén tachados en la tabla y se hallan sus<br />
divisores.<br />
59<br />
MATEMÁTICAS
Ejemplo:<br />
83: el conjunto de sus divisores es {1,83}<br />
43: el conjunto de sus divisores es {1,43}<br />
Los números compuestos menores que 100 son aquellos números naturales que han sido<br />
tachados en la tabla, con excepción del uno.<br />
Con objeto de comprobar lo anterior, se toman de la tabla dos números (tachados) cualesquiera<br />
y se hallan sus divisores.<br />
Ejemplo: 8: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 8}<br />
20: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 5, 10 y 20}<br />
Con tu <strong>mismo</strong> equipo de trabajo comenta lo leído y, posteriormente, resuelve las<br />
siguientes cuestiones:<br />
1. ¿Qué número natural es divisor tanto de un número primo como de un número compuesto?<br />
2. ¿Habrá un número compuesto que tenga sólo dos divisores? ¿Por qué?<br />
3. Utilizando la técnica empleada en la Criba de Eratóstenes, encuentren los números<br />
primos y compuestos de los números naturales que se dan a continuación:<br />
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30<br />
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40<br />
Comparen sus resultados con los de otro grupo e inviten a su profesor(a) a la discusión.<br />
A continuación, resolverás individualmente un cuestionario:<br />
1. ¿Cuál es el único número primo que es par?<br />
2. Si un número natural tiene un solo divisor, ¿qué se puede decir de él?<br />
3. ¿Puede existir un número primo con tres divisores? ¿Por qué?<br />
4. Si se tiene un cuadrado de 9 cm de lado, ¿el valor de su área utilizará un número primo<br />
o uno compuesto? ¿Por qué?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
60
Compara tus resultado con los que tu profesor proporcione y corrige los errores.<br />
CLAVE<br />
1. 2; 2. El número uno. Porque sólo tiene un divisor; 3. No. Porque los números primos son<br />
aquellos que tienen sólo dos divisores; 4. Compuesto. Pues resulta de multiplicar dos números<br />
mayores que uno.<br />
DESINTEGRACIÓN FAMILIAR<br />
15 Factorización<br />
Descomposición de un número en sus factores primos<br />
Reflexiona lo siguiente.<br />
En la multiplicación se trata de hallar el producto de los factores dados, pero ahora se tratará<br />
de hallar los factores de un número dado. ¿Crees que sea muy difícil?<br />
RECUERDA. ¿Por qué hemos dicho, desde años anteriores, que los divisores de un número<br />
también son sus factores?<br />
FACTORIZACIÓN<br />
Observa el video y después realiza un breve comentario de su contenido con tus<br />
compañeros de grupo.<br />
Lee en equipo el texto:<br />
En algunos cálculos matemáticos se hace necesario hallar los factores de un número; este<br />
proceso se conoce como descomposición en factores o simplemente factorización de ese<br />
número.<br />
Ejemplo:<br />
4 = 4 × 1 = 2 × 2 × 1<br />
8 = 4 × 2 = 2 × 2 × 2 × 1<br />
12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 × 1<br />
En los ejemplos anteriores se puede observar que un número puede factorizarse de diversas<br />
maneras; sin embargo, existe una forma muy útil en la aritmética para factorizar un número<br />
por medio de factores primos, la cual lleva a una factorización única.<br />
El procedimiento para ello consiste en lo siguiente.<br />
61<br />
MATEMÁTICAS
1. Se escribe el número que se quiere factorizar y a su derecha se traza una línea vertical.<br />
40<br />
2. Se aplican los criterios de divisibilidad, efectuando las divisiones entre primos sucesivos<br />
en orden creciente, esto es, de menor a mayor. Los cocientes se van escribiendo<br />
en columnas debajo del primer dividendo.<br />
⎧ 40 2<br />
cocientes<br />
sucesivos<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
20<br />
10<br />
5<br />
1<br />
2<br />
2<br />
5<br />
factores<br />
primos<br />
3. Cuando aparezca la unidad como cociente, se dice que la factorización de ese número<br />
ha terminado.<br />
40 2<br />
20 2<br />
10 2<br />
5 5<br />
1<br />
4. Obsérvese que los factores primos de 40 son 2, 2, 2 y 5, los cuales se representan<br />
como un producto.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
40 = 2 × 2 × 2 × 5<br />
La factorización o descomposición de un número natural en factores primos se usa como<br />
herramienta para cálculos posteriores, como son la obtención del mínimo común múltiplo y el<br />
máximo común divisor, así como la resolución de operaciones con fracciones.<br />
Con base en esta lectura, trabaja en equipo y en tu cuaderno las siguientes cuestiones.<br />
Analiza estas factorizaciones:<br />
40 2<br />
20 5<br />
4 2<br />
2 2<br />
1<br />
¿Son correctas las tres? ¿Por qué?<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪<br />
40 2<br />
20 2<br />
10 2<br />
5 5<br />
1<br />
62<br />
40 5<br />
8 2<br />
4 2<br />
2 2<br />
1
¿Cuál de las tres factorizaciones obedece a las divisiones entre primos sucesivos en orden<br />
creciente? ¿Por qué?<br />
Compara tus respuestas con las de tu compañero más cercano; si existen diferencias, consulta<br />
con tu profesor.<br />
Reúnete con un compañero y discute la utilidad de los diagramas que vienen a<br />
continuación.<br />
6<br />
3 2<br />
24<br />
Escribe el producto de los factores primos de cada caso. Escoge libremente dos números,<br />
que no sean primos y factorízalos utilizando el diagrama.<br />
Compara tus resultados con los de otra pareja, si existen dudas, consulta con tu profesor.<br />
Individualmente y en forma mental, resuelve los siguientes problemas.<br />
1. Se tiene un rectángulo cuya área es de 35 cm 2 . Indica sus dimensiones (largo y ancho)<br />
de tal manera que sean números primos.<br />
63<br />
4<br />
4 1<br />
2 2<br />
4<br />
8<br />
2 2<br />
8<br />
2<br />
40<br />
1<br />
5<br />
MATEMÁTICAS
2. Se tiene un prisma cuadrangular cuyo volumen es de 105 cm 3 . Se desea saber las<br />
medidas del ancho, largo y altura. Si los números de las medidas son números primos,<br />
¿cuáles son sus dimensiones?<br />
Compara tus respuestas con tu compañero más cercano; si no coinciden, consulta con tu<br />
profesor.<br />
CLAVE<br />
1. ancho = 5 cm y largo = 7 cm; 2. ancho = 5 cm, largo = 3 cm, altura = 7 cm.<br />
TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN<br />
16 Mínimo común múltiplo<br />
Determinación del mcm de varios números<br />
Una de las ideas relacionadas con la operación de multiplicar números naturales es la de<br />
mínimo común múltiplo de varios números.<br />
Dicha idea está en la base de muchos problemas de la economía, la ciencia y la tecnología,<br />
en los que se busca encontrar un mínimo de diversas cantidades.<br />
En el siguiente video apreciarás algunas ideas del mínimo común múltiplo (mcm)<br />
¡Obsérvalo!<br />
Lee en equipo el texto y, posteriormente, comenta ante el otro grupo la forma<br />
como se obtiene el mínimo común múltiplo:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
64
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO<br />
Cuando se ordenan de menor a mayor los múltiplos de dos o más números, se observa que<br />
algunos se repiten. A estos números que se repiten y que son comunes a los números dados,<br />
se les llama múltiplos comunes.<br />
Ejemplo:<br />
Obsérvense los primeros múltiplos de los números 4, 6 y 8.<br />
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...<br />
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66...<br />
Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88...<br />
Los números encuadrados son algunos de los múltiplos comunes de los números 4, 6 y 8.<br />
De ellos, hay uno que es de mucha utilidad para resolver una gran cantidad de situaciones<br />
problemáticas: éste que es el menor de ellos, excepto el 0; recibe el nombre de mínimo<br />
común múltiplo.<br />
Aplicando lo anterior en el ejemplo mostrado, el mínimo común múltiplo de los números 4, 6<br />
y 8 es el 24. Esta expresión se simboliza así:<br />
mcm (4, 6, 8) = 24<br />
Muchos problemas de interés práctico se resuelven utilizando esta sencilla idea. Obsérvese<br />
la resolución del siguiente problema en el que se ejemplifica esa aplicación.<br />
De la central de transportes de Bogotá salen buses cada tres horas rumbo a Cartagena;<br />
otros salen cada 4 horas con dirección a Valledupar y otros más, cada 6 horas hacia Pasto.<br />
Si a las 6 de la mañana de un día determinado coincide la salida de los buses, ¿después de<br />
cuántas horas vuelve a coincidir la hora de salida de las tres líneas de buses?<br />
Resolución<br />
Es necesario encontrar el número de horas que tardan en salir los buses de cada línea y<br />
encontrar las horas de salida comunes (los múltiplos comunes de los intervalos 3, 4 y 6,<br />
exceptuando el cero, que en este caso carece de significado).<br />
65<br />
MATEMÁTICAS
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...<br />
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40...<br />
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54...<br />
Como en el problema se pide la hora de coincidencia inmediata después de la salida a las 6<br />
horas, se selecciona entonces el menor de los múltiplos comunes, esto es, el 12.<br />
Por lo que el mcm (3, 4, 6) = 12.<br />
Esto indica que los horarios de las tres diferentes líneas vuelven a coincidir después de 12<br />
horas a partir de las 6 de la mañana, esto es, a las 6 de la tarde.<br />
Una manera de comprobar que 12 es el mínimo común múltiplo es ver si éste es divisible<br />
entre 3, 4, y 6.<br />
Con base en lo mostrado se tiene:<br />
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes<br />
a dichos números, que sea diferente de cero.<br />
Sigue con tu equipo de trabajo y contesta lo que se pide en cada caso.<br />
1. Mentalmente, obtén el mcm en los siguientes ejercicios:<br />
a) mcm (3, 5, 6) b) mcm (4, 8, 10)<br />
2. Con ayuda de la calculadora, determina el mcm para cada grupo de números:<br />
a) mcm (8, 12, 15) b) mcm (10, 12, 19)<br />
3. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero, de tal manera que pueda<br />
partirse exactamente en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud?<br />
Compara tus resultados con otro compañero; en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.<br />
En forma individual, resuelve lo que se pide a continuación:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
66
1. En tu cuaderno escribe los primeros ocho múltiplos de los números que aparecen en la<br />
columna de la izquierda; observa el primer renglón:<br />
Con base en la tabla, completa en tu cuaderno las siguientes igualdades:<br />
mcm (5, 10, 15) = ? mcm (2, 4, 5) = ? mcm (4, 5, 10) = ?<br />
2. Se informa que los vuelos a tres ciudades distintas se realizan con las siguientes frecuencias:<br />
A la ciudad X, un vuelo cada ocho días.<br />
A la ciudad Y, un vuelo cada doce días.<br />
A la ciudad Z, un vuelo cada quince días.<br />
Si se sabe que el 10 de marzo hubo vuelos hacia las tres ciudades, ¿qué tiempo debe<br />
transcurrir para que coincidan nuevamente?<br />
Compara con otro compañero o compañera tus resultados; en caso de que existan errores,<br />
corrígelos.<br />
CLAVE<br />
Números Múltiplos<br />
2 0 2 4 6 8 10 12<br />
4<br />
5<br />
6<br />
8<br />
10<br />
12<br />
15<br />
1. 4: 0 4 8 12 16 20 24 28 mcm (5,10,15) = 30<br />
5: 0 5 10 15 20 25 30 35 mcm (2, 4, 5) = 20<br />
8: 0 8 16 24 32 40 48 56 mcm (4, 5,10) = 20<br />
10: 0 10 20 30 40 50 60 70 2.120 días<br />
15: 0 15 30 45 60 75 80 95<br />
67<br />
MATEMÁTICAS
RADIOGRAFÍA DE UN NÚMERO<br />
17 Algoritmo del mcm<br />
Conocimiento del algoritmo del mcm<br />
En esta sesión vas a conocer el procedimiento para encontrar el mcm de dos o más números<br />
mediante su descomposición en factores primos.<br />
Observa el programa de televisión, después realiza un breve comentario con tus<br />
compañeros de grupo acerca de la obtención del mcm; en caso de que existan<br />
dudas, consulta con tu profesor.<br />
RECUERDA. Resuelve mentalmente los ejercicios siguientes:<br />
Encuentra el mcm de las siguientes parejas de números:<br />
a) 2 y 3 b) 5 y 15 c) 2 y 5<br />
d) 4 y 8 e) 4 y 7 f) 3 y 7<br />
Para que estés en condiciones de discutir cómo hacer para encontrar el mcm de<br />
más de dos números, lee en equipo el texto y contesta las siguientes cuestiones.<br />
ALGORITMO DEL mcm<br />
Un procedimiento sencillo para obtener el mcm de varios números es el de la factorización<br />
simultánea, el cual se detalla a continuación:<br />
Ejemplo: halla el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.<br />
1. Se escriben los números 4, 6 y 8 y, a su derecha, se traza una línea vertical<br />
4, 6, 8 2<br />
2. Aplicando los criterios de divisibilidad y factorizando en forma simultánea los números<br />
4, 6 y 8, se tiene que el primer factor primo es 2, al efectuar mentalmente las divisiones:<br />
4, 6, 8 2<br />
2, 3, 4<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
68
Aplicando el <strong>mismo</strong> criterio de divisibilidad, se ve que el 3 no es par, por lo tanto, se reescribe<br />
en el siguiente renglón, junto con los cocientes de los otros números al ser divididos:<br />
4, 6, 8 2<br />
2 3 4 2<br />
1 3 2<br />
Se aplica otra vez el criterio de divisibilidad entre dos, pero obsérvese que nuevamente el 3<br />
no es par, por lo tanto, se reescribe en el renglón de abajo, además de los cocientes respectivos:<br />
4, 6, 8 2<br />
2 3 4 2<br />
1 3 2 2<br />
3 1<br />
Se aplica el criterio de divisibilidad para el último número que queda, 3, y se efec<strong>tú</strong>a la<br />
división, anotando en el siguiente renglón el cociente obtenido:<br />
4, 6, 8 2<br />
2 3 4 2<br />
1 3 2 2<br />
31 3<br />
1<br />
Su factorización termina cuando la unidad queda como residuo al final de la columna de<br />
cada numero factorizado.<br />
3. El mcm de los números 4, 6, 8 es el producto de los factores primos, es decir:<br />
4. Finalmente, la representación será:<br />
2 × 2 × 2 × 3<br />
mcm (4, 6, 8) = 24<br />
Los siguientes casos particulares para la obtención del mcm se presentan con tal frecuencia<br />
que es conveniente tener reglas específicas.<br />
Primer caso: dados dos números primos, el mcm de ellos es su producto.<br />
69<br />
MATEMÁTICAS
Ejemplo:<br />
El mcm de los números primos 7 y 11 es su producto, 77.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
mcm (7, 11) = 77<br />
Esto se puede comprobar de la siguiente manera:<br />
7, 11 7<br />
1, 11 11 7 × 11 = 77<br />
mcm (7, 11) = 77<br />
Segundo caso: dados dos o más números diferentes de cero, si uno de ellos es divisible<br />
entre los demás, tal número es el mínimo común múltiplo de ellos.<br />
Ejemplo:<br />
En los números 3, 4 y 12 se puede observar que este último se divide exactamente<br />
entre 3 y 4. Por consiguiente, el mcm de ellos es el 12.<br />
mcm (3, 4, 12) = 12<br />
Esto se puede comprobar de la siguiente manera:<br />
3, 4, 12 2<br />
3 2 6 2 2 × 2 × 3 = 12<br />
3 1 3 3<br />
1 1<br />
mcm (3, 4, 12) = 12<br />
Con la aplicación del mcm se pueden resolver problemas como el siguiente:<br />
En un almacén se van a colocar bolsas de azúcar en dos costales; en uno de ellos, bolsas de<br />
12 kg y en el otro, sólo bolsas de 15 kg. Si se desea que los dos costales pesen lo <strong>mismo</strong>,<br />
¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?<br />
Este problema puede resolverse encontrando el mcm de 12 y 15; al obtenerlo, por medio de<br />
la factorización simultánea, se tiene lo siguiente:<br />
12, 15 2<br />
6 15 2 2 × 2 × 3 × 5 = 60<br />
3 15 3<br />
1 5 5<br />
1<br />
70
mcm (12, 15) = 60<br />
El peso mínimo que va a tener cada costal es 60 kg.<br />
Esta no es la única aplicación del mcm; en algunos temas posteriores se verán otras.<br />
Reúnete con una compañera o un compañero y, aplicando el procedimiento de<br />
descomposición en factores primos, encuentra el mínimo común múltiplo de los<br />
siguientes números:<br />
a) (8, 32) b) (20, 30, 50)<br />
Compara tus respuestas con las de otra pareja y, en caso de que existan diferencias, consulta<br />
con tu profesor.<br />
Reúnete con dos compañeros más y forma un equipo para resolver en tu cuaderno<br />
los siguientes problemas:<br />
1. En un almacén se van a colocar bolsas de arroz en dos costales; en uno de ellos,<br />
bolsas de 4 kg y en el otro, bolsas de 5 kg; si se desea que los dos costales pesen lo<br />
<strong>mismo</strong>, ¿cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?<br />
2. Martín cortó una pieza de tela en 16 partes iguales y Antonio cortó otra pieza de igual<br />
medida en 20 partes iguales. Si en ambos casos no sobró tela y cada pieza de tela<br />
mide un número entero de metros, ¿cuál es la menor longitud que tenían las piezas de<br />
tela?<br />
Intercambia con otro equipo los resultados obtenidos. En caso de que existan diferencias,<br />
consulta con tu profesor.<br />
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:<br />
1. En una fábrica se van a formar paquetes de jabones para cajas de diferente presentación.<br />
Algunos paquetes se harán con jabones de 200 gramos y otros, de 450 gramos.<br />
Se desea que los dos tipos de caja pesen lo <strong>mismo</strong>. ¿Cuál es el peso mínimo que<br />
puede tener cada caja?<br />
2. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero para que pueda partirse<br />
exactamente en tramos de 8 cm, de 9 cm, o bien de 15 cm de longitud?<br />
Intercambia tu cuaderno con el compañero más cercano; en caso de diferencia, consulta con<br />
tu profesor.<br />
71<br />
MATEMÁTICAS
CLAVE<br />
UNO DE TANTOS<br />
18 Máximo común divisor<br />
Establecimiento del MCD de varios números<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
72<br />
a) 1 800 gramos; b) 360 cm.<br />
En esta sesión observarás que un número puede ser divisor de dos o más números y que<br />
ello te puede ayudar a resolver algunos problemas.<br />
Observa el programa de video y comenta con tus compañeros qué entendiste por<br />
máximo común divisor.<br />
Reúnete con un compañero, lee el texto:<br />
MÁXIMO COMÚN DIVISOR<br />
Si se buscan los divisores de dos o más números, se observa que uno o varios coinciden en<br />
todos ellos. Esos divisores comunes son de gran ayuda en la resolución de problemas cotidianos.<br />
Obsérvese el siguiente problema:<br />
Juan tiene $15 000 y Luis $20 000. Ambos desean cambiar sus billetes por monedas de la<br />
misma denominación y de la mayor posible. ¿Cuál es el mayor valor que pueden tener las<br />
monedas?<br />
Para encontrar la mayor e igual denominación de las monedas se procede a buscar los<br />
divisores de cada uno de esos números, teniendo en cuenta las monedas que circulan en<br />
este momento (esta última condición debe actualizarse).<br />
Divisores de $15 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000<br />
Divisores de $20 000 son 50, 100, 200, 500, 1 000<br />
Se observa que el mayor de los divisores comunes (pensando en las denominaciones de las<br />
monedas) es 1 000. El mayor valor de las monedas es 1 000.<br />
Si se tratara de encontrar el MCD de 15 000 y 20 000, este será 5 000. ¿Por qué?<br />
Máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número mayor que los divide<br />
a todos exactamente.
Para encontrar el MCD de dos o más números existen varios caminos. Algunos de ellos son<br />
los siguientes:<br />
1. a) Se escriben los divisores de cada uno de los números.<br />
b) Se localizan los divisores comunes.<br />
c) Se selecciona el mayor de esos divisores.<br />
2. Cuando se busca el MCD de dos o más números cualesquiera, es fácil encontrarlos<br />
observando si el menor de ellos divide a todos los demás.<br />
Ejemplo:<br />
Encontrar el MCD de 12, 4 y 8. ...<br />
De los números anteriores el 4 es el más pequeño y divide exactamente al 12 y al 8, con lo<br />
que se puede afirmar que:<br />
MCD (12, 4, 8) = 4<br />
3. Si el número menor no divide a los otros números, entonces se procede a localizar los<br />
divisores de ese número y dividir los otros entre cada uno de esos divisores. El mayor<br />
de ellos que divida a todos es el máximo común divisor.<br />
Ejemplo:<br />
Encontrar el MCD de 8, 15 y 28.<br />
Se puede ver que el 8 es el número menor y no divide a 15 ni a 28; entonces se buscan los<br />
divisores de 8.<br />
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.<br />
El 1 es divisor de los tres números, ya que el 1 es divisor de todos los números.<br />
El 2 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.<br />
El 4 es divisor de 8 y 28, pero no de 15.<br />
El 8 es divisor de 8 pero no de 15 ni de 28.<br />
Por lo tanto, el MCD de 8,15 y 28 es el 1.<br />
MCD (8,15, 28) = 1<br />
Como se puede observar, este procedimiento es sencillo y mentalmente podemos llegar al<br />
resultado con facilidad.<br />
73<br />
MATEMÁTICAS
Con tu compañero de lectura discute las respuestas a las siguientes preguntas:<br />
1. ¿A qué se le llama máximo común divisor<br />
2. ¿Cuál de las formas para encontrar el MCD te parece más sencilla? ¿Por qué?<br />
Comenta tus respuestas con el grupo y corrígelas si es necesario.<br />
Reúnete en un equipo con dos compañeros y resuelve los ejercicios siguientes:<br />
1. Encuentra el MCD de los siguientes números, anotando en tu cuaderno el grupo de<br />
divisores de cada uno de ellos.<br />
a) MCD (12, 20, 32) b) MCD (45, 15, 30)<br />
2. Mentalmente busca el MCD de los números que se indican; para ello localiza entre los<br />
números el menor y resuelve los ejercicios:<br />
a) MCD (12, 5, 24) b) MCD (30, 20, 10) c) MCD (20, 8, 12).<br />
Compara tus ejercicios con los de otro equipo; corrige tus errores.<br />
De manera individual, encuentra el MCD de los siguientes números con el método<br />
que gustes.<br />
a) MCD (9,12,18) b) MCD (20, 50, 75)<br />
Comenta con tu profesor tus resultados; si tus respuestas no son correctas, corrígelas.<br />
CLAVEa) 3; b) 5.<br />
ANATOMÍA DE UN NÚMERO<br />
19 Algoritmo del MCD<br />
Conocimiento del algoritmo del MCD<br />
En matemáticas existen procedimientos que nos permiten resolver problemas de manera<br />
directa y sencilla. A continuación se presenta un procedimiento fácil para obtener el MCD.<br />
Observa el programa de video. En él encontrarás información que te ayudará a<br />
comprender el algoritmo para obtener el MCD.<br />
Comenta con tus compañeros y tu profesor la manera de aplicar el algoritmo en situaciones<br />
cotidianas.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
74
Con un compañero, realiza la lectura del texto.<br />
ALGORITMO DEL MCD<br />
Una vez que se ha establecido el concepto de MCD de dos o más números, se está en<br />
posibilidad de utilizar un procedimiento más sencillo para obtenerlo.<br />
Para tal efecto, obsérvese con atención el desarrollo del siguiente problema que se le presentó<br />
a un almacenista:<br />
1. El almacenista tenía 16 calculadoras de bolsillo de color negro, 24 azules y 28 rojas;<br />
debía empacarlas de tal manera que en cada paquete hubiese igual número de calculadoras<br />
del <strong>mismo</strong> color.<br />
¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede formar? ¿Cuál es el mayor número<br />
de calculadoras del <strong>mismo</strong> color que puede ir en el <strong>mismo</strong> paquete?<br />
Dado el problema se procederá a obtener el MCD por medio del siguiente procedimiento.<br />
a) Se factorizan simultáneamente los tres números hasta que se tenga un divisor común.<br />
Ejemplo:<br />
16 24 28 2<br />
8 12 14 2<br />
4 6 7<br />
b) Obsérvese que los números 4, 6 y 7 no tienen divisor común, con excepción del uno.<br />
Por lo tanto, se detiene el proceso y puede manifestarse que el MCD de los números<br />
16, 24 y 28 es el producto de los divisores comunes.<br />
Por lo tanto:<br />
MCD (16, 24, 28) = 2 × 2<br />
El 4 indica el máximo número de paquetes que se pueden formar, de tal manera que cada<br />
paquete contenga el <strong>mismo</strong> número de calculadoras del <strong>mismo</strong> color.<br />
Ahora bien, se puede responder a la segunda pregunta si se considera lo siguiente:<br />
El número máximo de calculadoras de cada color que se puede poner en 4 paquetes se<br />
obtiene si se divide el total de calculadoras entre el número de paquetes.<br />
Por lo tanto: 16 calculadoras negras = 4 calculadoras negras en cada paquete<br />
4 paquetes<br />
75<br />
MATEMÁTICAS
24 calculadoras azules<br />
4 paquetes<br />
28 calculadoras rojas<br />
4 paquetes<br />
Luego, se tiene que en cada paquete hay 17 calculadoras de las cuales cuatro son negras,<br />
seis son azules y siete son rojas. Como se tienen cuatro paquetes, el total de calculadoras<br />
empacadas es 68.<br />
Como se pudo apreciar, es posible resolver problemas en forma sencilla si se aplica el algoritmo<br />
del MCD.<br />
Con la finalidad de confirmar lo aprendido, véase el siguiente problema:<br />
2. Supóngase que se tienen 20 canicas de color rojo, 30 de color azul, 40 blancas y 50<br />
verdes y se quieren poner en bolsas, de tal manera que haya igual número de canicas<br />
del <strong>mismo</strong> color en cada paquete.<br />
¿Cuál es el máximo número de bolsas que hay que llenar?<br />
¿Cuál es el mayor número de canicas del <strong>mismo</strong> color que pueden ir en cada bolsa?<br />
Para solucionar este problema, se halla el MCD de 20, 30, 40 y 50.<br />
Luego:<br />
Esto indica que se formarán 10 bolsas.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
20 30 40 50 2<br />
10 15 20 25 5<br />
1 3 4 5<br />
MCD (20, 30, 40 y 50) = 2 × 5 = 10<br />
El máximo número de canicas de cada color que se puede poner en 10 bolsitas se obtiene<br />
dividiendo el total de canicas de cada color entre el número de bolsas esto es:<br />
20 canicas rojas<br />
10 bolsas<br />
30 canicas azules<br />
10 bolsas<br />
= 6 calculadoras azules en cada paquete<br />
= 7 calculadoras rojas en cada paquete<br />
= 2 canicas rojas en cada bolsa<br />
= 3 canicas azules en cada bolsa<br />
76
40 canicas blancas<br />
10 bolsas<br />
50 canicas verdes<br />
10 bolsas<br />
Resulta entonces que en cada una de las diez bolsas habrá catorce canicas: dos rojas, tres<br />
azules, cuatro blancas y cinco verdes.<br />
Resulta sencillo resolver situaciones como las anteriores, utilizando la descomposición de<br />
números en factores primos y la obtención del máximo común divisor.<br />
El algoritmo para hallar el MCD de dos o más números es un procedimiento mediante el<br />
cual se obtiene el mayor de los divisores comunes de dos o más números.<br />
Comenta con tu compañero el procedimiento del MCD y expón tus dudas a tu profesor.<br />
Individualmente, resuelve en tu cuaderno el problema siguiente, para lo cual tendrás<br />
que utilizar la calculadora.<br />
Una compañía constructora compró tres terrenos con las siguientes dimensiones: 1 440 m 2 ,<br />
1 280 m 2 y 800 m 2 , respectivamente; los desea fraccionar de tal manera que cada lote tenga<br />
la misma extensión y que sean lo más grandes posible.<br />
a) ¿Cuántos metros cuadrados tendrá cada lote?<br />
b) ¿Cuántos lotes de igual medida y con la mayor extensión se obtendrán?<br />
Compara tus resultados con los de la clave; si tienes errores, corrígelos.<br />
CLAVE<br />
= 4 canicas blancas en cada bolsa<br />
= 5 canicas verdes en cada bolsa<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
20 Problemas de mcm y MCD<br />
Aplicación del concepto del mcm y del MCD en la<br />
solución de problemas<br />
77<br />
a) 160 m 2 ; b) 22 lotes.<br />
¿Has pensado qué tipo de problemas se solucionan con la aplicación del mcm y el MCD?<br />
Esta sesión te servirá para profundizar en ello.<br />
MATEMÁTICAS
Observa el video. Comenta con tu grupo cómo resolvieron los problemas y si<br />
conoces otras formas de llegar al resultado.<br />
RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:<br />
¿Qué es el mcm de dos o más números? ¿Cómo puedes obtenerlo? ¿A qué se llama MCD<br />
de dos o más números? ¿Cómo se obtiene?<br />
Con tu compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:<br />
1. Se tienen 48 litros de aceite y 64 litros de vinagre. Si se envasan en recipientes del<br />
<strong>mismo</strong> tamaño, ¿de qué capacidad pueden ser los envases?<br />
a) ¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener el envase?<br />
b) ¿Qué nombre recibe ese número con respecto a 48 y 64?<br />
c) ¿Cómo obtuviste esos resultados?<br />
2. Un señor cobra tres cheques de $250 000, $500 000 y $300 000, respectivamente. Si<br />
pide que le paguen los tres cheques con billetes de la misma denominación y de la<br />
mayor posible, ¿de qué valor serán los billetes?<br />
Compara los resultados que obtuviste con los otros compañeros. Si no son iguales, realiza<br />
nuevamente el procedimiento y corrígelos.<br />
Individualmente, resuelve los problemas siguientes en tu cuaderno:<br />
1. María compra 120 rosas y 80 claveles. Si desea hacer ramos de modo que cada uno<br />
tenga la misma cantidad de flores del <strong>mismo</strong> tipo y de la mayor cantidad posible, ¿cuántas<br />
flores tendrá cada ramo y cuántos ramos saldrán en total?<br />
2. Tres buses salen el <strong>mismo</strong> día de una terminal de transporte. El primero regresa cada<br />
seis días, el segundo cada cinco y el tercero cada tres. ¿Cuántos días pasarán para<br />
encontrarse todos nuevamente?<br />
Comenta con tu profesor los resultados obtenidos y compara tus resultados con los de la<br />
clave. Si tienes errores, corrígelos.<br />
CLAVE<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
78<br />
1. 40 flores, 5 ramos ; 2. 30 días.
Núcleo Básico 3<br />
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA<br />
Para la comprensión y el estudio de muchas situaciones problemáticas y la realización de<br />
cálculos que conduzcan a solucionarlas, no es suficiente el empleo de los números naturales.<br />
Veamos algunos casos:<br />
• Recuerda que la sustracción entre números naturales estaba condicionada al hecho de<br />
que el minuendo fuese mayor que el sustraendo.<br />
• Si utilizamos los números naturales para expresar las alturas de las montañas, ¿cuáles<br />
utilizaríamos entonces para expresar las profundidades de los yacimientos de petróleo?<br />
79<br />
MATEMÁTICAS
• ¿Has observado cómo indica un termómetro las temperaturas? ¿Qué significa el cero<br />
en los termómetros? ¿Cuál es la temperatura promedio en tu ciudad?<br />
• ¿Cómo diferenciar el hecho de avanzar y el de retroceder en un <strong>mismo</strong> camino, con<br />
respecto a un árbol que se tome como referencia?<br />
• ¿Cómo distinguir ganancias y pérdidas mediante expresiones numéricas?<br />
Los números enteros que se estudian en este núcleo facilitan y permiten desde las matemáticas<br />
representar y resolver tales situaciones.<br />
El empleo de los enteros y la iniciación en el uso del lenguaje algebraico son fundamentales<br />
para el desarrollo del pensamiento matemático y proporcionan herramientas potentes para<br />
expresar y modelar situaciones de la vida cotidiana y de otras ciencias.<br />
21<br />
(85-1)<br />
ANTES Y DESPUÉS DEL CERO<br />
Los números enteros<br />
Representación de situaciones con sentidos opuestos<br />
La idea de número natural es una de las más antiguas e importantes de las matemáticas. Sin<br />
embargo, esta clase de números, como ya comentamos, son insuficientes para describir,<br />
operar y, en último caso, registrar muchas situaciones que se dan regularmente.<br />
Observa el video y amplía tu comprensión y tus conocimientos acerca de los<br />
números.<br />
Comenta con tus compañeros de grupo sobre los casos en que se requiera el empleo de los<br />
números enteros.<br />
Forma una pareja y realiza una lectura comentada del siguiente texto.<br />
LOS NÚMEROS ENTEROS<br />
Después de la creación de los números para contar, mujeres y hombres se encontraron<br />
situaciones, como las ya comentadas, para las cuales resulta insuficiente la existencia de<br />
números naturales. Por ello se creó una serie de números que permitiera modelar dichas<br />
situaciones. A esta serie se le llama números enteros, la cual se elaboró con base en los<br />
siguientes acuerdos:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
80
–6<br />
–5<br />
–4<br />
–3<br />
–2<br />
–1<br />
1. Para cada número diferente de 0, se propuso otro con el <strong>mismo</strong> símbolo, pero anteponiéndole<br />
un signo menos (–), que en este caso no representa una sustracción, sino el<br />
sentido en que se avanza para llegar a él. A este número se le conoce como entero<br />
negativo.<br />
2. El número 0 no da lugar a un entero ni negativo ni positivo, pero se le considera como<br />
elemento de esta serie.<br />
3. Los números situados a la derecha del 0 se llamarán enteros positivos y los números<br />
representados a la izquierda, enteros negativos.<br />
En la recta puede observarse que para cada número a la derecha del 0 existe otro situado a<br />
su izquierda y a la misma distancia de éste, precedido del signo menos (–).<br />
A la unión de ambas series (la que está a la derecha del 0 y la que está a la izquierda,<br />
incluyendo el 0) se le llama números enteros.<br />
Así se puede decir que existen tres clases de números enteros: los enteros positivos, los<br />
enteros negativos y el 0.<br />
–6<br />
⎩<br />
–5<br />
Números<br />
enteros Cero<br />
–4<br />
–3<br />
–2<br />
–1<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Enteros positivos<br />
Enteros negativos<br />
Enteros negativos Enteros positivos<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪⎪⎪⎪⎪⎪<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪⎪⎪⎪⎪⎪<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
81<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪⎪⎪⎪⎪⎪<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪⎪⎪⎪⎪⎪<br />
MATEMÁTICAS
Continúa trabajando en pareja y completa en tu cuaderno el siguiente diagrama.<br />
Enteros<br />
Compara con otra pareja tu diagrama y, si hubo errores, corrígelo.<br />
Integra un equipo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.<br />
1. Escribe frente a cada expresión otra que represente la situación opuesta.<br />
Adelante Subir Perder<br />
530 años antes de nuestra era. Ir de Bogotá a Cartagena.<br />
Girar una vez en el sentido de las manecillas del reloj.<br />
Sumar 15 a una cantidad. Restar 24 a una cantidad.<br />
2. Usa la recta numérica para describir hasta qué punto llegó el cangrejo después de<br />
realizar los recorridos que abajo se indican. Para cada recorrido haz una recta.<br />
El cangrejo siempre inicia cualquier recorrido en el cero.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
82<br />
Números<br />
No pertenece a<br />
los positivos ni<br />
a los negativos<br />
Enteros<br />
Positivos<br />
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3 pasos a la derecha, 4 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha.<br />
5 pasos a la izquierda, 2 pasos a la derecha, 2 pasos a la izquierda.<br />
2 pasos a la izquierda, 4 pasos a la izquierda, 6 pasos a la derecha.<br />
Compara tu ejercicio con el de otro equipo y corrige si tuviste errores.<br />
Individualmente, efec<strong>tú</strong>a el siguiente ejercicio en tu cuaderno. Describe el recorrido<br />
que se realizaría en la recta numérica en cada caso; se supone que siempre<br />
se parte de 0. Observa el ejemplo.<br />
a) –5, 4, 3 Cinco lugares a la izquierda del cero, cuatro lugares hacia la<br />
derecha y tres lugares más a la derecha.<br />
b) 2, –6, –3 c) –1, 1, 0, –4<br />
Intercambia tu cuaderno con un compañero y revisa su ejercicio de acuerdo con la clave.<br />
Si tienes dudas, consulta con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
b) Dos lugares a la derecha del cero, seis lugares a la izquierda, tres lugares más a la<br />
izquierda; c) Un lugar a la izquierda del cero, uno a la derecha, no hay desplazamiento<br />
y luego cuatro lugares a la izquierda.<br />
22<br />
(86-1)<br />
SENTIDOS OPUESTOS<br />
Números y cantidades con sentido<br />
Descripción de situaciones que se representan con<br />
números enteros<br />
Sin duda conoces situaciones que tienen significados contrarios, por ejemplo: alto y bajo;<br />
joven y viejo; limpio y sucio. Dentro de éstas también se marcan algunas en donde el significado<br />
opuesto entre una y otra depende de un punto de referencia, por ejemplo el hecho de<br />
subir o bajar de un piso a otro en un edificio; la altura de una casa y la profundidad de sus<br />
cimientos; los años que han transcurrido antes o después del inicio de nuestra era, etcétera.<br />
Observa el video en el cual comprenderás cómo los números enteros facilitan<br />
la representación de algunas situaciones con sentidos opuestos.<br />
Reúnete con dos compañeros y efec<strong>tú</strong>a una lectura comentada del texto siguiente:<br />
83<br />
MATEMÁTICAS
NÚMEROS Y CANTIDADES CON SENTIDO<br />
En diversas situaciones, los números enteros tienen aplicación práctica, por ejemplo en la<br />
representación de pérdidas y ganancias comerciales, en la medición de ángulos, en localizaciones<br />
con respecto al nivel del mar, en temperaturas, en coordenadas geográficas, etcétera.<br />
Representación de pérdidas y ganancias con números enteros<br />
En las transacciones comerciales la contabilidad de pérdidas y ganancias de un negocio es<br />
de importancia fundamental. Lo <strong>mismo</strong> sucede en un hogar organizado cuando se requiere<br />
llevar un control de los ingresos y los egresos.<br />
Es tradicional asociar las ganancias de una transacción con números enteros positivos, las<br />
pérdidas con enteros negativos y el 0 con aquellas transacciones en donde no hay ni pérdidas<br />
ni ganancias.<br />
Por ejemplo, si en la contabilidad se anota una cantidad como $8 673 se está indicando que<br />
en la transacción se ganó esa cantidad de dinero; por el contrario, si se anota como –$8 673,<br />
la cantidad representa una pérdida.<br />
Lo <strong>mismo</strong> se acostumbra hacer con respecto a los ingresos (enteros positivos), los egresos<br />
(enteros negativos) y la falta de ingresos y egresos (cero).<br />
En el comercio también se representan los enteros negativos con cifras de color rojo, por ello<br />
cuando se tienen pérdidas se dice que se “está en rojo”.<br />
Ángulos con sentido y números enteros<br />
En geometría es útil considerar los ángulos como el resultado de la rotación de un rayo<br />
apoyado en su origen. Recuerda que en primaria construiste este concepto con base en<br />
giros de tu propio cuerpo y mediante su amplitud tomando como unidad la vuelta completa.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
Rayo<br />
El ángulo se forma cuando el rayo se mueve desde su posición inicial hasta su posición final<br />
en la rotación.<br />
• Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas<br />
del reloj, la medida del ángulo formado se expresa con números<br />
positivos.<br />
• Si la rotación se da en el sentido de las manecillas del reloj, la<br />
medida se representa con números negativos.<br />
84
• Cuando la posición inicial y la posición final coinciden por no haber una rotación (y de<br />
hecho se tiene un solo rayo), se dice que se tiene un ángulo de cero grados.<br />
Con estas convenciones se tienen ángulos positivos y negativos cuyas medidas se representan<br />
con números enteros.<br />
Posición inicial<br />
Longitudes y números enteros<br />
Muchas longitudes (medidas de segmentos de rectas) se pueden expresar con números<br />
enteros, de manera que permitan una descripción útil de algunas cantidades. En este apartado<br />
se muestra cómo los enteros pueden sustituir la descripción de alturas y profundidades<br />
de la superficie terrestre en relación con “el nivel del mar”, o con cualquier otro punto de la<br />
Tierra.<br />
Así, al considerar el nivel del mar como cero, a las alturas se les atribuye una magnitud<br />
positiva y a las profundidades, una negativa.<br />
Con base en lo anterior, se afirma que el pico del monte está situado a 3 840 m y el submarino<br />
a –852 m.<br />
3 840 m<br />
0 m<br />
–852<br />
85<br />
–105º<br />
MATEMÁTICAS
Temperaturas y números enteros<br />
Las temperaturas se miden con el termómetro. Uno de los más usuales es el de mercurio,<br />
cuya escala de medición está en grados centígrados.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
–30 –20 –10 0 10 20 30 40 50 60 70<br />
Los cero grados (0 °C) de la escala en el termómetro corresponden a la temperatura de<br />
congelación del agua a nivel del mar, y los cien grados (100 °C) a la temperatura de ebullición<br />
del agua, también a nivel del mar.<br />
Así, en esta escala, se conviene en asociar a los números positivos con las temperaturas<br />
mayores que 0 °C, y los negativos con las temperaturas menores de 0 °C.<br />
En la escala del termómetro que se ilustra a continuación, se marcan las siguientes temperaturas<br />
notables:<br />
–30 –20 –10 0 10 20 30 40 50 60 70<br />
a) La máxima temperatura ambiental en nuestro planeta fue de 58 °C y se registró en<br />
Azizia, Libia (58 °C sobre cero), el 7 de septiembre de 1922.<br />
b) La temperatura ambiental mínima en un sitio habitado se registró en Verjoiansk, Siberia,<br />
y fue de –67 °C (67 °C bajo cero).<br />
c) La temperatura normal de una persona es de 37 °C.<br />
Coordenadas geográficas y números enteros. Conexión con Ciencias Sociales<br />
La longitud y la latitud son las coordenadas más importantes para localizar cualquier punto<br />
sobre la superficie terrestre, por ejemplo: una ciudad, un pueblo, un monte, etcétera.<br />
Por otra parte, la latitud es la medida en grados que hay de un lugar cualquiera al Ecuador y<br />
puede ser norte o sur. Las latitudes al norte se relacionan con los enteros positivos y las<br />
latitudes al sur con los negativos.<br />
La longitud también se mide en grados a partir del meridiano de Greenwich y puede ser<br />
longitud este u oeste. La longitud este se relaciona con los enteros positivos y la oeste con<br />
los negativos.<br />
86
En el mapamundi se puede observar que la península de Yucatán (México) se localiza en el<br />
punto –75° de longitud y tiene una latitud de 20° aproximadamente.<br />
Esto es, se localiza al oeste del meridiano de Greenwich y al norte del Ecuador.<br />
¿Cuáles son las coordenadas geográficas de <strong>Colombia</strong>?<br />
Es importante señalar que en la mayoría de los casos la elección del cero como punto<br />
de referencia de la unidad de medida y la asignación de números positivos o negativos<br />
de las magnitudes tratadas es meramente convencional; pero una vez determinada<br />
esa convención, los números enteros describen esas situaciones de manera única.<br />
Continúa trabajando en equipo y comenta las reflexiones promovidas por las<br />
siguientes preguntas:<br />
1. ¿Por qué es importante fijar un punto de referencia para ordenar cantidades, situaciones<br />
o eventos?<br />
87<br />
MATEMÁTICAS
2. Cuando se toman los números enteros para representar o para modelar situaciones,<br />
eventos o cantidades, ¿cuál es el punto de referencia?<br />
3. En la representación de pérdidas y ganancias, ¿cómo se asocian a ellos los números<br />
enteros?<br />
4. Dibuja dos ángulos de un cuarto de vuelta, pero generados por rotaciones de sentidos<br />
opuestos.<br />
Compartan sus reflexiones con las de otro equipo y traten de llegar a consensos.<br />
Sigue trabajando con tus compañeros para resolver en tu cuaderno los ejercicios<br />
siguientes:<br />
1. En cada caso digan si la medida de cada ángulo debe expresarse con números positivos<br />
o con números negativos.<br />
M<br />
2. Contesta las preguntas que se hacen con base en la ilustración que se te presenta en<br />
la siguiente página. Hazlo en tu cuaderno. Utiliza números enteros.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
B<br />
A<br />
88<br />
N<br />
Y<br />
X
a) ¿A qué altura, aproximadamente, se encuentra el avión?<br />
b) ¿A qué profundidad se localiza el submarino?<br />
c) ¿A qué profundidad o altura se ubica el barco?<br />
d) ¿A qué altura está la gaviota?<br />
e) ¿A qué profundidad nada el pez?<br />
f) ¿Sabes a qué altura, en metros sobre el nivel del mar, se encuentra tu población?<br />
Anótala; si no sabes, investígala.<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo y en caso de error corrige.<br />
Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios.<br />
1. Contesta las preguntas:<br />
a) En los registros comerciales, ¿cómo se representan las pérdidas?<br />
b) Si se dice que la medida de un ángulo es de –312°, ¿cómo es su sentido y por qué?<br />
c) La temperatura normal del cuerpo, ¿se anota con números positivos o negativos?<br />
d) Las temperaturas en el Polo Norte, ¿cómo son?, ¿qué tipos de números se utilizan<br />
para representarlas?<br />
89<br />
MATEMÁTICAS
2. Utiliza números enteros para representar las siguientes situaciones:<br />
a) Nadia tiene $8 000<br />
b) Pepe debe $500<br />
c) Lucio no perdió ni ganó en el negocio que cerró.<br />
CLAVE<br />
1. a) Con números negativos, con rojo, o entre paréntesis, b) Negativo, porque se da en el<br />
sentido de las manecillas del reloj, c) Positivos, d) Frías o bajo cero, negativos, e) Comenta esta<br />
respuesta con tus compañeros; 2. a) + $8 000, b) – $500, c) $0.<br />
23<br />
(87-1)<br />
NO ES LO MISMO QUE<br />
Ubicación en la recta numérica<br />
Identificar y ubicar enteros en la recta numérica<br />
RECUERDA. Utiliza números enteros para representar las siguientes fechas:<br />
a) El año 776 antes de nuestra era, iniciación de la era de las olimpiadas en Grecia.<br />
b) El año 2000, cuando <strong>Colombia</strong> obtuvo una medalla de oro en levantamiento de pesas<br />
en las olimpiadas de Sydney 2000.<br />
¿Sabías que los números enteros están colocados a la diestra y a la siniestra del cero?<br />
Compara tus respuestas con las que se lancen a discusión.<br />
Observa el programa de televisión, en él se mencionará la ubicación de los<br />
números enteros con respecto al cero.<br />
Atiende las indicaciones de tu profesor para efectuar con tu grupo una lectura<br />
comentada del texto Ubicación en la recta numérica. Haz énfasis en los conceptos<br />
de simétrico y valor absoluto de un número.<br />
UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA<br />
Hasta el momento se han utilizado los números enteros para describir diferentes situaciones<br />
prácticas y para ello se recurrió a diversos esquemas, dibujos o ilustraciones.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
90
Sin embargo, todas esas ilustraciones se podrían sustituir por una gráfica en la que se representen<br />
únicamente los números enteros, sin que se señalen las cantidades a las que se<br />
pueden asociar. Tal gráfica es la recta numérica, que ya se ha utilizado para representar<br />
números naturales.<br />
Recta numérica de los números naturales:<br />
Obsérvese ahora la recta numérica de los números enteros:<br />
La recta numérica de los números enteros es una ampliación de la recta de los números<br />
naturales, en la que los números negativos se representan en sentido opuesto a los naturales,<br />
utilizando la unidad de medida ya definida.<br />
Observa que –1 está a igual distancia del 0, que 1.<br />
Para muchos problemas en los que se utilizan cantidades o números muy grandes (fechas<br />
históricas, longitudes sobre o bajo el nivel del mar), es conveniente utilizar rectas numéricas<br />
en las que las divisiones representan no una, sino un número mayor de unidades.<br />
Enteros negativos Enteros positivos<br />
En esta recta numérica cada división representa 100 unidades.<br />
91<br />
MATEMÁTICAS
Como puede notarse, en la recta numérica de números enteros el punto de referencia es el<br />
cero (0), los enteros positivos se encuentran a su derecha y los enteros negativos a su<br />
izquierda.<br />
Por lo tanto, para ubicar un número en la recta numérica debe considerarse su signo para<br />
saber si se localizará a la derecha o a la izquierda del cero (0), en seguida a partir de éste se<br />
cuenta el número de unidades que representa dicho número.<br />
Ejemplo.<br />
Ubicar en la recta el –5 y el 11.<br />
Como –5 es negativo se localizará 5 unidades a la izquierda del 0, y como 11 es positivo se<br />
ubicará 11 unidades a la derecha del 0.<br />
En la recta numérica de números enteros, puedes ver que cada uno de los positivos y los<br />
negativos que se generaron (sus opuestos) son simétricos con respecto al punto cero.<br />
Por esta razón se dice que cada uno de ellos es simétrico del otro.<br />
Números naturales<br />
Enteros negativos enteros positivos<br />
–1 1<br />
–2 2<br />
–3 3<br />
–4 4<br />
–5 5<br />
. .<br />
. .<br />
. .<br />
–1 000 1 000<br />
. .<br />
. .<br />
Los números simétricos están a la misma distancia del cero, pero en sentidos opuestos.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
92
Por tal razón se dice también que sus valores absolutos son iguales.<br />
En la recta numérica, se denomina valor absoluto a la distancia entre un punto numérico y el<br />
cero, sin importar su sentido o signo.<br />
Así, el valor absoluto de –8 es 8, el de +4 es 4, etcétera. Obsérvese la recta numérica:<br />
Valor absoluto = 8<br />
93<br />
Valor absoluto = 6<br />
El valor absoluto se indica encerrando el número dentro de dos líneas verticales, por ejemplo:<br />
I 9 I = 9; se lee valor absoluto de 9 es igual a 9<br />
I –18 I = 18; se lee valor absoluto de –18 es igual a 18.<br />
Sin considerar la recta numérica puede decirse que el valor absoluto de un número (positivo<br />
o negativo) es el <strong>mismo</strong> número sin considerar el signo.<br />
Reúnete con dos compañeros y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:<br />
¿Cuál es la diferencia entre una recta numérica de números naturales y otra de números<br />
enteros? ¿Cuál es el punto que se toma siempre de referencia en la recta numérica para<br />
ubicar los enteros positivos y los enteros negativos? ¿A qué números se les llama simétricos<br />
y cómo es su valor absoluto? ¿Dónde están colocados los enteros negativos en la recta<br />
numérica? ¿Dónde están colocados los enteros positivos en la recta numérica?<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.<br />
Continúa trabajando en equipo y resuelve los siguientes ejercicios:<br />
Ubica y escribe en tu cuaderno el simétrico de cada uno de los puntos designados con letras que<br />
se marcan sobre la recta numérica. Observa en el ejemplo, cómo el simétrico de A es –3.<br />
MATEMÁTICAS
Encuentra el valor absoluto de los números que se proporcionan:<br />
a) I –386 I b) I 4 782 I<br />
c) I 595 I d) I –595 I<br />
¿Por qué el valor absoluto de 595 y –595 es el <strong>mismo</strong>?<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo y, en caso de error, corrige.<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:<br />
1. Escribe el número entero que representan los puntos señalados con las letras A, B, C,<br />
D, E. En esta recta cada división representa 10 unidades.<br />
A = B = C = D = E =<br />
2. Considerando la recta anterior, escribe el simétrico de cada número y además el valor<br />
absoluto de cada pareja de números:<br />
a) –10 b) +20 c) +30 d) –40 e) –50<br />
Al concluir, compara tus respuestas con las de la clave y, en caso de error, corrige.<br />
CLAVE<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
1. A = 40, B = 25, C = 0, D = –25, E = –50;<br />
2. a) 10, 10, b) –20, 20, c) –30, 30, d) 40, 40, e) 50, 50.<br />
94
24<br />
(88-1)<br />
EL CERO ES MAYOR QUE MUCHOS<br />
El orden entre los enteros<br />
Introducir la idea de >, < o = entre los enteros<br />
RECUERDA. Observa la siguiente recta numérica y utiliza los números enteros para decir el<br />
punto donde se localiza cada corredor literal.<br />
Compara tus respuestas con las del profesor y si tienes errores corrígelos.<br />
Todo tiene un orden en esta vida, también hay orden en los números enteros y éste nos<br />
señala cuándo un número es mayor, menor o igual que otro.<br />
Observa el video en donde afianzarás tus conocimientos para establecer una<br />
relación de orden entre dos números enteros.<br />
Reúnete con un compañero y efec<strong>tú</strong>a una lectura comentada del texto siguiente:<br />
EL ORDEN ENTRE LOS ENTEROS<br />
0 20 m 40 m 60 m<br />
Los números naturales son una serie ordenada. Esto significa que si se tienen dos números<br />
naturales cualesquiera, siempre se puede indicar cuál de ellos es mayor, menor o igual que<br />
el otro.<br />
Ya construimos explicaciones para comparar dos números naturales; sin embargo hasta el<br />
momento no se tiene para los enteros negativos una razón clara que permita establecer esa<br />
relación entre dos de ellos o bien entre un entero negativo y otro positivo.<br />
Para definir el orden entre dos números enteros vamos a ubicar algunos de ellos en la recta<br />
numérica entera.<br />
95<br />
MATEMÁTICAS
¿Cuál es mayor –3 o 3? ¿Por qué?<br />
¿Cuál es menor 3 u 8? ¿–3 o –7?<br />
Veamos estos otros ejemplos:<br />
8 > 3 porque 8 está a la derecha del 3<br />
–9 < 4 porque –9 está a la izquierda del 4<br />
–7 > –10 porque –7 está a la derecha del –10<br />
6 > –6 porque 6 está a la derecha del –6<br />
0 > –10 porque 0 está a la derecha del –10<br />
Dados dos números enteros cualesquiera representados en una recta numérica:<br />
a) Es mayor el que está a la derecha.<br />
b) Es menor el que está a la izquierda.<br />
c) Son iguales si les corresponde el <strong>mismo</strong> punto.<br />
Observando la recta numérica, discute con tu compañero(a) si las siguientes afirmaciones<br />
son verdaderas o no y den ejemplos que ilustren sus discusiones.<br />
1. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo o bien, cualquier<br />
entero negativo es menor que cualquier entero positivo. Ejemplo:<br />
5 > –21 –30 < 15 –30 < 40<br />
2. Cualquier número entero negativo es menor que cero; o bien el cero es mayor que<br />
cualquier entero negativo.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
96
3. Cualquier número entero negativo es mayor que otro entero negativo, si el primer número<br />
está a la derecha del segundo número; o bien, cualquier entero negativo es menor<br />
que otro entero negativo, si el primero está a la izquierda del segundo.<br />
Al verificar cada una de las afirmaciones anteriores en la recta numérica entera se puede<br />
observar que son ciertas.<br />
Considerando el valor absoluto de los números negativos:<br />
• Si se tiene dos números negativos, ¿cuál es el mayor?<br />
• Entre dos números negativos, ¿cuál es el menor?<br />
Ejemplos:<br />
–5 > –10 porque I –5 I < I –10 I<br />
–240 < 50 porque I –240 I > I –50 I<br />
Como resultado de las reflexiones anteriores se puede concluir que:<br />
Al relacionar por su orden dos números enteros se cumple una y exclusivamente una<br />
de las siguientes tres posibilidades:<br />
1. El primer número es mayor que el segundo.<br />
2. El primer número es menor que el segundo.<br />
3. El primer número es igual al segundo.<br />
Estas tres posibilidades constituyen la propiedad de tricotomía del orden en los números<br />
enteros.<br />
Otra propiedad importante del orden en los números naturales que se conserva para los<br />
enteros es la propiedad de transitividad. Con ella se pueden hacer afirmaciones como las<br />
siguientes:<br />
Si –8 < –5 y –5 < –3 entonces –8 < –3<br />
Si 9 > 0 y 0 > –2 entonces 9 > –2<br />
Concluyendo, se puede decir también que:<br />
Los números enteros son una serie ordenada. Ya que si se tienen dos números enteros<br />
cualesquiera, siempre se puede establecer cuál de ellos es mayor, menor o igual que el<br />
otro.<br />
97<br />
MATEMÁTICAS
Continúa trabajando con tu compañero(a) y completa los siguientes enunciados.<br />
a) ¿Cómo utilizas la recta numérica para comparar números enteros?<br />
b) ¿Es posible que un número entero negativo sea mayor que cero? ¡Explica!<br />
c) ¿Cuántos enteros son mayores que –10? Represéntalos en una recta.<br />
d) ¿Cuántos enteros son menores que –10? Represéntalos en una recta.<br />
Continúa trabajando con tu compañero y resuelve en tu cuaderno los siguientes<br />
ejercicios:<br />
1. Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros y explica el<br />
porqué de esta relación.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
–10 y –2; –28 y 5; 46 y 30; –286 y 0.<br />
2. Ordena de mayor a menor los siguientes enteros.<br />
23, –85, 0, –15, –7, 5, –3, 83.<br />
3 Coloca el signo >, < o =, según corresponda y aplica la propiedad transitiva.<br />
Ejemplo:<br />
Como –3 > –9 y –9 > –10, entonces –3 > –10<br />
a) Como –7 ? –6 y –6 ? –3, entonces ?<br />
b) Como –20 ? 0 y 0 ? 50, entonces ?<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo, en caso de diferencias averigua quién está<br />
equivocado y si tienes errores corrige.<br />
¿Has visto un caracolito? Te presentamos uno muy especial. Trabaja en tu<br />
cuaderno.<br />
1. Un caracol se desplaza en el sentido indicado por la flecha, sobre una recta graduada:<br />
98
El caracol avanza una unidad por hora. Al mediodía él está en el punto de abscisa +3.<br />
¿Dónde se encontraría a las 11 a.m.?, ¿a las 9 a.m.?, ¿a las 8 a.m.?, ¿a las 6 a.m.? y ¿a las<br />
5 a.m.? Indica las diferentes posiciones utilizando los números negativos.<br />
2. ¡El <strong>mismo</strong> caracol, otro día!<br />
Al medio día, el caracol, que se desplaza en el sentido indicado por la flecha, está en la<br />
abscisa –3.<br />
a) ¿Dónde se encontrará a las 13 horas?, ¿a las 15?, ¿a las 16?<br />
b) ¿Dónde se encontraba a las 11 horas?, ¿a las 8?, ¿a las 9? y ¿a las 7?<br />
3. Coloca el signo >, < o =, según corresponda entre cada pareja de enteros.<br />
a) 45 80 d) –45 –80<br />
b) 172 90 e) –172 –90<br />
c) 25 36 f) –25 –36<br />
25<br />
(89-1)<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
Problemas en que se requiere sumar o restar enteros<br />
Estimación de resultados y cálculo mental<br />
Cotidianamente se presentan situaciones en las que recurres a los cálculos matemáticos<br />
para buscar su solución.<br />
Observa el video y comenta con tu equipo cómo se resolvieron los problemas<br />
propuestos.<br />
Intégrate a un equipo de tres y haz una estimación del resultado de cada uno<br />
de los siguientes problemas, empleando el cálculo mental.<br />
1. Una licuadora cuesta $67 500; si se han dado tres pagos de $7 500, ¿cuánto falta para<br />
pagar?<br />
99<br />
MATEMÁTICAS
2. Si Mercedes y sus dos hijas viajan de Cartagena a Barranquilla y el pasaje cuesta $13 000<br />
¿cuánto deberá pagar por las tres en un viaje de ida y vuelta?<br />
3. Guille tiene 42 años. Si le sumamos la edad de Luis y le restamos 14 da por resultado<br />
40, ¿cuál es la edad de Luis?<br />
Comenta con otros equipos por qué en la estimación de resultados hay diferentes aproximaciones.<br />
Ahora forma una pareja y mentalmente estima el resultado de cada uno de los<br />
siguientes problemas y regístralos en tu cuaderno.<br />
1. Si la distancia entre Cartagena y Sincelejo por carretera es de 560 km y se llevan<br />
recorridos 285 km, ¿cuántos kilómetros faltan por recorrer?<br />
2. Un empleado independiente recibe quincenalmente tres cheques: uno por $750 000,<br />
otro por $245 000 y otro por $395 000. ¿Cuánto gana mensualmente?<br />
3. La tía de Lucía y Gabriel dijo que si la acompañaban al mercado les repartiría en partes<br />
iguales el dinero que le sobrara. Si paga con un billete de $20 000 las compras de $14 500,<br />
¿cuánto le sobró? ¿Cuánto le tocó a cada uno?<br />
Compara con otra pareja y comenta tus resultados.<br />
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas, y compara<br />
tus respuestas con las que se dan en la clave; cualquier aproximación al<br />
resultado correcto es válido.<br />
1. Marie Curie nació en 1867; a los 31 años descubrió el elemento radiactivo Polonio,<br />
cinco años después le otorgaron el Premio Nobel de Física; en 1911, le otorgaron por<br />
segunda ocasión el Premio Nobel, ahora de Química, posteriormente muere en 1934.<br />
a) ¿En qué año realizó su descubrimiento?<br />
b) ¿Cuándo recibió el Nobel de Física?<br />
c) ¿Qué edad tenía al obtener el Nobel de Química?<br />
d) ¿A qué edad falleció?<br />
2. El dióxido de carbono (CO 2 ) está compuesto de oxígeno (O 2 ) y de carbono (C). Si en 44 g<br />
de CO 2 hay 32 g de O 2 , ¿cuántos gramos habrá de C?<br />
3. Se desean llenar cuatro cajas de huevos. A cada una le caben 360, pero a la primera le<br />
faltan 20 para llenarse, a la segunda le faltan 13 más que a la primera, la tercera tiene<br />
16 menos que la segunda y la cuarta tiene 10 más que la primera. ¿Cuántos huevos<br />
tiene cada caja? ¿Cuántos huevos faltan en total para llenar las cuatro cajas?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
100
4. Se va a sembrar caña en una parcela de 8 000 m 2 , entre tres personas, de tal manera<br />
que a una le corresponde sembrar 1 500 m 2 y a otra 4 750 m 2 . ¿Cuántos m 2 le corresponde<br />
sembrar a la tercera persona?<br />
CLAVE<br />
1. a) 1989, b) 1903, c) 44 años, d) 67 años;<br />
2. 12 g;<br />
3. Primera caja 340 huevos, segunda caja 327 huevos, tercera caja 311 huevos, cuarta caja<br />
350 huevos, faltan 112 huevos para llenar las cuatro cajas;<br />
4. 1 750 m2 .<br />
26<br />
(90-1)<br />
EN EL MISMO SENTIDO<br />
Adición de enteros con el <strong>mismo</strong> signo<br />
Manejo de la adición de enteros<br />
El sumar números enteros es muy sencillo, en las sesiones que vienen aprenderás cómo<br />
solucionar problemas con esta operación, comprendiendo el significado de lo que realices.<br />
RECUERDA. En la recta numérica, localiza los números siguientes, y anota la letra que<br />
corresponde.<br />
A 8 B –5 C 3 D –4<br />
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.<br />
Observa el video, en donde verás la forma en que se suman los números enteros<br />
con igual signo. Discute con tu grupo cómo se realizan los desplazamientos<br />
positivos y negativos en la recta numérica.<br />
Reúnete con un compañero y lee el siguiente texto.<br />
101<br />
MATEMÁTICAS
ADICIÓN DE ENTEROS CON EL MISMO SIGNO<br />
Los cambios de temperatura de un lugar, la altura entre un terreno y otro, los años transcurridos<br />
entre dos hechos son algunos ejemplos en donde se aplica la adición de números enteros.<br />
Para definir la adición de números enteros se consideran los siguientes casos:<br />
a) Adición de enteros positivos.<br />
b) Adición de enteros negativos.<br />
c) Adición de enteros positivos con enteros negativos.<br />
d) Adición de enteros positivos o negativos con el número cero.<br />
Para ilustrar la adición y algunas otras operaciones con números enteros, estos pueden ser<br />
interpretados como desplazamientos sobre la recta numérica, considerando los<br />
desplazamientos hacia la derecha como positivos y hacia la izquierda como negativos, los<br />
cuales se indican con flechas.<br />
Como el 0 no es ni positivo ni negativo, de hecho no representa desplazamiento alguno.<br />
Por ejemplo, se puede pensar en el número entero 3 como un desplazamiento cualquiera de<br />
3 unidades sobre la recta numérica. Algunas posibilidades se muestran a continuación.<br />
Desplazamientos de 2 unidades hacia la izquierda pueden representarse con el entero<br />
negativo –2 como se muestran a continuación:<br />
Hechas estas consideraciones, se estudiará en seguida la adición de enteros en cada uno<br />
de los casos señalados.<br />
Adición de enteros positivos<br />
Con los enteros positivos, como con los números naturales, la suma ya es conocida. Conviene,<br />
sin embargo, ilustrarlo en la recta numérica.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
102
Ejemplo:<br />
Sumar 4 + 5<br />
a) Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0<br />
b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia la<br />
representación del segundo sumando.<br />
c) La suma o resultado es la distancia desde el 0 hasta el final del segundo<br />
desplazamiento.<br />
Por lo tanto: 4 + 5 = 9<br />
Esta representación gráfica ilustra una forma de sumar dos números enteros positivos.<br />
103<br />
MATEMÁTICAS
Para sumar dos enteros positivos se suman los números en cuestión y el resultado es positivo.<br />
Adición de enteros negativos<br />
Para adicionar dos números enteros negativos, por ejemplo –6 y –4, se seguirá el <strong>mismo</strong><br />
procedimiento del ejemplo anterior.<br />
(–6) + (–4) =<br />
a) Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.<br />
b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando se inicia la<br />
representación del segundo sumando.<br />
c) La suma es el entero representado por el desplazamiento que va desde el 0 hasta<br />
el final del segundo desplazamiento.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
104
Por consiguiente: (–6) + (–4) = –10. Obsérvese que el resultado es el simétrico de la suma<br />
de los valores absolutos de los sumandos.<br />
El ejemplo anterior ilustra cómo sumar números enteros negativos.<br />
Veamos esta situación: Juan le debe a Luis $23 508 y a Esteban $37 160, ¿cuánto debe en<br />
total? Utiliza los enteros.<br />
Las deudas se pueden representar con enteros negativos, entonces:<br />
Juan tiene en total una deuda de $60 668.<br />
(–23 508) + (–37 160) = –60 668<br />
Para sumar dos números enteros negativos:<br />
a) Se suman los valores absolutos de los sumandos, y<br />
b) El resultado o suma es el simétrico de la suma obtenida, esto es, siempre es un<br />
entero negativo.<br />
Con un compañero, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:<br />
1. Representa en la recta numérica las adiciones siguientes:<br />
a) 5 + 4 =<br />
105<br />
MATEMÁTICAS
) (–8) + (–5) =<br />
c) (–9) + (–6) =<br />
Individualmente, resuelve en tu cuaderno los ejercicios siguientes:<br />
1. Analiza la siguiente adición realizada en la recta numérica, y completa las cuestiones.<br />
a) La adición se inicia en el punto...<br />
b) El primer sumando es...<br />
c) El segundo sumando es...<br />
d) Por lo tanto, la suma es...<br />
2. Realiza las siguientes operaciones:<br />
a) 4 + 2 = b) (–6) + (–5) =<br />
c) (–8) + (–10) = d) 12 + 8 =<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
106
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica y corrige.<br />
CLAVE<br />
27<br />
(91-1)<br />
1. a) 0, b) –7, c) –6, d) –13;<br />
2. a) 6, b) –11, c) –18, d) 20.<br />
SUMANDO GANANCIAS Y PÉRDIDAS<br />
Adición de enteros con diferente signo<br />
Manejo de la adición de enteros<br />
No siempre los sumandos de una adición de enteros tienen signos iguales. Entonces los<br />
problemas que los originan requieren nuevas comprensiones que te facilitarán encontrar el<br />
resultado.<br />
Vamos con el fútbol.<br />
En los dos últimos partidos entre los equipos que van adelante en la clasificación, los Venados<br />
y los Chigüiros, los resultados fueron:<br />
• En el primer encuentro, los Venados ganaron 3 puntos, mientras que los Chigüiros<br />
perdieron 2.<br />
• En el segundo, los Venados perdieron 1 punto y los Chigüiros ganaron 6.<br />
¿Cuál es en estos dos encuentros el balance de cada equipo? Exprésalo utilizando los<br />
números enteros.<br />
Antes de estos dos últimos partidos, los Venados tenían 21 puntos y los Chigüiros 20.<br />
¿Se modificó la clasificación?<br />
RECUERDA. ¿A qué se le llama valor absoluto de un número?<br />
Ve el video y haz anotaciones para comentarlas con el grupo.<br />
Lee con un compañero el siguiente texto:<br />
107<br />
MATEMÁTICAS
ADICIÓN DE ENTEROS CON DIFERENTE SIGNO<br />
A fin de comprender cómo sumar este tipo de números, como por ejemplo 5 y –2, se procederá<br />
de manera idéntica que en los casos anteriores.<br />
a) Se representa con una flecha el primer número, iniciando desde 0.<br />
b) A partir de donde llega la flecha que representa el primer sumando, se inicia la<br />
representación del segundo sumando.<br />
c) La suma es el desplazamiento desde el 0 hasta el final del segundo desplazamiento.<br />
Por lo tanto: 5 + (–2) = 3<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
3 –2<br />
Obsérvese ahora otra adición de este tipo, por ejemplo (–6) + 4.<br />
a) Se representa con una flecha el primer sumando, iniciando desde 0.<br />
5<br />
108
) A partir de donde llega la flecha que representa al primer sumando, se inicia la<br />
representación del segundo sumando.<br />
4<br />
–6<br />
c) La suma es el desplazamiento desde 0 hasta el final del segundo desplazamiento.<br />
Por lo tanto: (–6) + 4 = –2<br />
+4<br />
En la representación de estos dos ejemplos se observa que la adición de un entero positivo<br />
y un entero negativo puede tener resultado positivo o negativo, dependiendo de los números<br />
considerados.<br />
Sin embargo, obsérvese que en ambos casos las sumas pueden obtenerse considerando<br />
primero los valores absolutos de los sumandos. Al mayor valor absoluto se le resta el menor<br />
valor absoluto, y este resultado es positivo o negativo, si el sumando de mayor valor absoluto<br />
es positivo o negativo.<br />
Analiza estas otras adiciones:<br />
a) (–45 876) + 23 164 = –22 712, ya que<br />
I –45 876 I – I 23 164 I = 45 876 – 23 164 = 22 712, y como<br />
I –45 876 I > I 23 164 I el resultado obtenido es el simétrico de la resta; esto es<br />
–22 712.<br />
b) 164 312 + (–83 759) = 80 553, pues se tiene que:<br />
I 164 312 I – I –83 759 I =164 312 – 83 759 = 80 553, y como<br />
109<br />
–6<br />
–2<br />
MATEMÁTICAS
I 164 312 I > I –83 759 I, el resultado obtenido en la recta numérica es el resultado requerido,<br />
esto es, 80 553.<br />
Discute con tu compañero(a) la siguiente conclusión:<br />
Para sumar dos números enteros, uno positivo y uno negativo:<br />
a) Se obtienen los valores absolutos de los sumandos.<br />
b) Se resta al mayor valor absoluto obtenido del valor absoluto menor.<br />
c) Si el sumando de mayor valor absoluto es positivo, el resultado es el obtenido de<br />
la resta.<br />
d) Si el sumando de mayor valor absoluto es negativo, la suma es el simétrico de la<br />
resta obtenida.<br />
Una adición muy importante se presenta cuando los sumandos tienen igual valor absoluto.<br />
Tener $63 504 y deber esa misma cantidad. Una vez realizado el pago, ¿cuál es la situación<br />
económica de la persona?<br />
63 504 + (–63 504) = 0, ya que<br />
I 63 504 I – I 63 504 I = 63 504 – 63 504 = 0.<br />
La situación económica de la persona, con respecto al problema, es 0.<br />
Analiza y justifica estas otras sumas:<br />
(–56 108) + 56 108 = 0<br />
(69 736) + (–69 736) = 0<br />
Si los números enteros a sumar son simétricos, el resultado es 0.<br />
Al realizar la adición de un número natural y el número 0 se observó que su suma siempre<br />
era el <strong>mismo</strong> número natural.<br />
¿Te parece que esta propiedad se conserva en los enteros?<br />
¿Cuáles serían los resultados de estas sumas?:<br />
a) –356 + 0 b) 0 + (–1 564) c) 0 + 0 =<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
110
La suma de un número entero y el número cero siempre es el número entero dado.<br />
Reúnete en equipo, y realiza los siguientes ejercicios y problemas.<br />
1. Discutan oralmente las respuestas a las siguientes preguntas:<br />
a) ¿En qué punto de la recta numérica se inicia la adición?<br />
b) ¿Hacia dónde son los desplazamientos cuando el número es positivo?<br />
c) ¿Hacia dónde son si el número es negativo?<br />
2. Realiza en tu cuaderno las adiciones propuestas. Utiliza la recta numérica y anota el<br />
resultado.<br />
a) 12 + (–5) =<br />
b) (–8) + 7<br />
c) 13 + 0 =<br />
3. Halla las siguientes sumas:<br />
(+5) + (+3) = (–5) + (–3) = (–5) + (+3) = (+5) + (–3) =<br />
111<br />
MATEMÁTICAS
Verifica tus resultados con los de tus compañeros. Si hay errores, corrige.<br />
Realiza individualmente, en tu cuaderno, los siguientes problemas:<br />
1. Variaciones en los precios y adición de números enteros.<br />
Utilicemos los enteros positivos para representar aumentos en los precios, y los negativos<br />
para indicar bajas en los <strong>mismo</strong>s.<br />
Así, +500 significa un aumento de $500; –500 es una baja de $500.<br />
Completa:<br />
a) (+500) seguido de (+300) = o (+500) + (+300) =<br />
b) (–400) seguido de (–100) = o (–400) + (–100) =<br />
c) (–1 500) seguido de (+800) = o (–1 500) + (+800) =<br />
d) (+700) seguido de (–250) = o (+700) + (–250) =<br />
e) (–900) seguido de (+1 200) = o (–900) + (+1 200) =<br />
2. Escribe una pareja de números enteros cuya suma sea un entero positivo; en seguida<br />
escribe otra cuya suma sea un entero negativo.<br />
3. Juega y evalúate<br />
Dados con números positivos y negativos.<br />
Se juega con dos dados: uno rojo para avanzar y otro verde para retroceder, es decir, en el<br />
rojo considera los enteros positivos +1, +2, +3, +4, +5 y +6, y en el verde, los enteros negativos<br />
–1, –2, –3, –4, –5 y –6.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
112
Analiza los siguientes resultados:<br />
113<br />
Rojo Verde<br />
• En un primer lanzamiento resultó +4 –2<br />
• En un segundo lanzamiento, +6 –1<br />
• En un tercer lanzamiento, +5 –3<br />
a) ¿Después del tercer lanzamiento, sobre cuál casilla se estará?<br />
b) ¿Cuál puede ser el resultado de un cuarto lanzamiento para llegar a la casilla de llegada?<br />
c) ¿Hay otras soluciones? ¿Cuáles?<br />
Compara tus resultados con los de tus compañeros y solicita la ayuda de tu profesor(a).<br />
Realiza tus adiciones nuevamente y, si son incorrectas, corrígelas.<br />
28<br />
(92-1)<br />
¿DESAPARECE LA SUSTRACCIÓN?<br />
Sustracción de enteros<br />
Manejo de la sustracción de enteros<br />
RECUERDA. La sustracción en los números naturales tenía sus restricciones, el minuendo<br />
debía ser mayor que el sustraendo. Ahora que conoces los números enteros, ¿te parece que<br />
sigue siendo válida esa condición?<br />
Transforma sustracciones de naturales, en adición de enteros.<br />
7 – 4 = 3 (+7) + (–4) = +3<br />
12 – 7 = 5 (+12) + (–7) = +5<br />
¿Cómo son los resultados de las sustracciones y los de las adiciones? Y si ahora tenemos:<br />
7 – 9 = ? (+7) + (–9) = –2 ¡Se puede resolver!<br />
5 – 8 = ?<br />
12 – 20 = ?<br />
38 – 52 = ?<br />
MATEMÁTICAS
Para comprender el procedimiento de restar enteros, con los compañeros(as)<br />
lee el texto que sigue:<br />
SUSTRACCIÓN DE ENTEROS<br />
En algunas situaciones de nuestra vida cotidiana, se requiere efectuar sustracciones donde<br />
el sustraendo es mayor que el minuendo. Su solución es fácil y lógica gracias a los números<br />
enteros que ayudan a resolverlas.<br />
Obsérvense los siguientes ejemplos:<br />
1. Si tengo 5 cuadernos y en la escuela me piden 7, ¿cuántos me faltarán?<br />
Este problema lo podemos interpretar como una sustracción, en donde el sustraendo (+7) es<br />
mayor que el minuendo (+5).<br />
(5) – (7) =<br />
La solución puede obtenerse en forma sencilla si se emplea la recta numérica, como se<br />
muestra a continuación:<br />
a) Represéntese el desplazamiento del minuendo.<br />
b) Represéntese el desplazamiento del sustraendo (+7) a partir de donde termina el desplazamiento<br />
del minuendo, pero en sentido contrario como si fuéramos a sumar el<br />
opuesto de (+7) que es (–7).<br />
c) La línea que va del 0 al final del sustraendo es el resultado o diferencia; la línea punteada<br />
señala el resultado de la resta.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
114
esta<br />
De donde (5) – (7) = –2 , porque –2 + (7) = 5 o también + (5) + (–7) = –2<br />
2. (8) – (–3) = Recuerda que el opuesto de (–3) es (+3).<br />
Se resuelve de la forma gráfica como sigue:<br />
Por lo tanto:<br />
resta<br />
(8) – (–3) = 11 , porque 11 + (–3) = 8<br />
Se debe recordar que el desplazamiento del sustraendo se inicia a partir de donde termina el<br />
desplazamiento del minuendo, pero dirigido en sentido contrario, y que la línea que va del 0<br />
al final del sustraendo es la resta o diferencia.<br />
Si se observan nuevamente los ejercicios anteriores saltará a la vista que la sustracción de<br />
enteros se convierte en una adición en la cual al minuendo se le suma el opuesto del<br />
sustraendo.<br />
3. ( –9) – (–4) =<br />
115<br />
MATEMÁTICAS
sustraendo resta<br />
Entonces (–9) – (–4) = –5 , porque –5 + (–4) = –9<br />
4. (–5) – (3) =<br />
resta<br />
Entonces (–5) – (3) = –8 , porque –8 + (3) = –5<br />
5. ( –3) – (–9) =<br />
Por lo tanto (–3) – (–9) = 6 , porque 6 + (–9) = –3<br />
De acuerdo con los ejemplos anteriores, se puede deducir que para efectuar la sustracción<br />
de dos números enteros cualesquiera:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
116<br />
resta
La resta o diferencia de dos números enteros se obtiene sumando al minuendo el simétrico<br />
del sustraendo (el <strong>mismo</strong> número del sustraendo pero en sentido contrario).<br />
Observa que no es que la sustracción desaparezca sino que se convierte en una adición de<br />
enteros. Es como si el signo (–) que representa a la operación significara “sumar el<br />
opuesto de”.<br />
Así (–3) – (–9) significa<br />
“a (–3) sumar el opuesto de (–9)”<br />
(–3) + (–9) = + 6<br />
Observa el video, toma apuntes acerca de aquello que te parezca importante<br />
compartir y comentar con tus dos compañeros(as) de grupo.<br />
Con tus dos compañeros de grupo contesta oralmente lo que se te pide a continuación.<br />
1. a) ¿En (18) – (6) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?<br />
b) ¿En (7) – (21) cuál es el signo del resultado? ¿Por qué?<br />
c) (5) – (–9) se puede escribir de otra forma. ¿Cuál? ¡Escríbela!<br />
d) ¿De qué otra forma se puede escribir (–6) – (–2)? Representa la operación en<br />
una recta numérica.<br />
2. Completa los siguientes cuadros:<br />
–4<br />
–5<br />
–3<br />
–2<br />
–1<br />
+4<br />
+3<br />
+2<br />
+1<br />
+<br />
–1<br />
–2<br />
–3<br />
–4<br />
+5<br />
+1 +2 +3 +4<br />
+2<br />
117<br />
–5<br />
–3<br />
–2<br />
–2<br />
–1<br />
+3<br />
+2<br />
+1<br />
–1<br />
–2<br />
–3<br />
–4<br />
+3<br />
+1 +2 +3 +4<br />
+5<br />
MATEMÁTICAS
3. Julio César y Augusto<br />
Julio César nació en el año 110 a.C. y murió asesinado en el 44 a.C. Augusto nació en el 63 a.C.<br />
Llegó a ser emperador a la edad de 36 años y muere en el año 14 d.C.<br />
a) Representa en una recta las fechas de nacimiento y muerte de los dos personajes.<br />
b) ¿A qué edad murió Julio César?<br />
c) ¿Cuántos años tenía Julio César cuando nació Augusto?<br />
d) ¿Cuál era la edad de Augusto cuando murió Julio César?<br />
e) ¿Cuántos años duró el reinado de Augusto?<br />
Con un compañero(a) resuelve lo siguiente:<br />
1. Completa el siguiente cuadro:<br />
a b a – b a + op (b)*<br />
+9 +5<br />
–15 –3<br />
–9 +7<br />
+8 –5<br />
+5 –2<br />
–4 +6<br />
*Léase “a más el opuesto de b”.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
118
Comparando la columna de a – b y la de a + op (b), ¿qué puedes concluir? Escribe el<br />
resultado de tus observaciones.<br />
2. Resuelve lo siguiente:<br />
a) (20) – (11) = b) (2) – (14) =<br />
c) (–15) – (10) = d) (–4) – (–8) =<br />
e) (–16) – (–3) = f) (13) – (–6) =<br />
g) (– 7) – (11) = h) (8) – (–19) =<br />
3. Comprende el enunciado y haz lo pedido:<br />
a) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –5.<br />
b) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea +7.<br />
c) Encuentra dos enteros consecutivos cuya suma sea –1.<br />
d) Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea +4.<br />
e) Da dos enteros de signos opuestos cuya suma sea –7.<br />
f) Da dos enteros cuya suma sea cero.<br />
CLAVE<br />
Para la proxima sesión trae una calculadora de bolsillo.<br />
29<br />
(93-1)<br />
2. a) 9, b) –12, c) –25, d) 4, e) –13, f)19, g) –18 h) 27.<br />
UN TECLADO SIN MÚSICA<br />
La adición y la sustracción en la calculadora<br />
Uso de la calculadora para resolver<br />
La rapidez con que avanza la tecnología actualmente requiere que nuestra preparación sea<br />
mayor en algunos de sus campos.<br />
RECUERDA. Con un compañero(a) completa el siguiente cuadro:<br />
a b a – b a + b<br />
–3 –9<br />
+13 +6<br />
–15 –18<br />
–12 +20<br />
+8 +7<br />
+3 +3<br />
119<br />
MATEMÁTICAS
Compara tu resultado con el de tus compañeros. Si hay errores, corrige.<br />
Observa el video en el que verás algunas de las teclas principales de la calculadora.<br />
Comenta con tus compañeros las ventajas que observas en su manejo<br />
para el cálculo de resultados.<br />
Lee con un compañero el siguiente texto:<br />
LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN EN LA CALCULADORA<br />
Uno de los instrumentos de mayor importancia en la época actual para realizar cálculos y<br />
operaciones de cierto grado de dificultad es la calculadora, pues ahorra tiempo en la realización<br />
de las operaciones haciendo la resolución de problemas más sencilla.<br />
Para encontrar la suma de dos enteros positivos se utilizan dos teclas: +, =.<br />
Obsérvese la adición siguiente:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
45 + 83 =<br />
Se realiza oprimiendo las teclas en el orden en que aparecen, esto es:<br />
4 5 + 8 3 =<br />
y el resultado aparecerá en la pantalla de la calculadora:<br />
1 2 8<br />
De manera análoga se realiza la sustracción. Aquí se emplearán las teclas –, =.<br />
y el resultado aparece en la pantalla:<br />
3 2 5 – 7 8 5 =<br />
– 4 6 0 o bien 4 6 0 –<br />
Si en la adición uno de los sumandos es negativo, se oprimen las teclas +, –, = en el orden<br />
que aparecen:<br />
y en seguida aparece el resultado:<br />
2 5 + – 7 8 =<br />
120
– 5 3<br />
Si la adición de enteros tiene más de dos sumandos se procede de la misma forma; esto es,<br />
se oprimen las teclas +, – en el orden que se dan en la operación:<br />
3 2 + – 4 8 – 5 6 + 1 2 0 – 1 7 =<br />
obteniendo el resultado:<br />
3 1<br />
Esta adición se puede realizar empleando las teclas M+, M– y MR. Observa lo siguiente:<br />
a) La tecla M+ se emplea para almacenar los valores positivos.<br />
b) La tecla M- se emplea para almacenar los valores negativos.<br />
c) La tecla MR para obtener la suma o total.<br />
Ejemplo:<br />
Buscar la suma de:<br />
48 + (–59) + 96 + (–258) + (–324) =<br />
Para realizarla se suman los valores positivos, oprimiendo al final la letra M+ para que<br />
almacene los valores positivos:<br />
Apareciendo el resultado:<br />
4 8 + 9 6 M+<br />
1 4 4<br />
Ahora se suman los valores negativos oprimiendo al final M– para que almacene el<br />
resultado de números negativos:<br />
121<br />
MATEMÁTICAS
Obteniendo el resultado:<br />
5 9 + 2 5 8 + 3 2 4 M–<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
6 4 1<br />
En seguida se oprime MR y se obtiene el resultado:<br />
– 4 9 7<br />
La calculadora es de gran ayuda cuando se quiere comprobar el resultado de operaciones o<br />
cuando se requiere mayor rapidez en la resolución de un problema.<br />
Reúnete con un compañero y propónganse adiciones y sustracciones para realizarlas<br />
en la calculadora.<br />
Con el grupo en pleno organicen un concurso para trabajar con la calculadora.<br />
Realiza con un compañero(a) las operaciones siguientes en la calculadora; sigue<br />
para ello los pasos que se señalan. Ten en la mano lápiz y papel para que<br />
vayas anotando los resultados.<br />
1. (–45) + 89 + (–39) + 189 + (–79)<br />
a) Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?<br />
b) Suma los valores negativos. Oprime la tecla M– (o INV M+). ¿Cuál es el resultado?<br />
c) Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?<br />
2. 8 924 + (–3 456) + 15 925 + (–7 424)<br />
a) Suma los valores positivos. Oprime M+. ¿Cuál es el resultado?<br />
b) Suma los valores negativos. Oprime M–. ¿Cuál es el resultado?<br />
122
c) Oprime MR. ¿Cuál es el resultado?<br />
Compara tus resultados con otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.<br />
1. 4 927 + 13 472<br />
2. 8 724 –15 926<br />
De manera individual, resuelve con tu calculadora las siguientes operaciones y<br />
anota los resultados en tu cuaderno.<br />
3. 45 + (–96) + (–128) + 294<br />
4. 98 + (–35) + (–108) + (–227) + 95<br />
5. 124 + (–98) + (–326) + 1 396 + (–87)<br />
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay errores, realiza nuevamente las operaciones<br />
y corrige.<br />
CLAVE<br />
30<br />
(94-1)<br />
1. 18 399; 2. –7 202; 3. 115; 4. –177; 5. 1 009.<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
Problemas de adición y sustracción<br />
Aplicación de la adición y la sustracción<br />
Sumar o restar, he ahí el problema. Recordarás la adición y sustracción de enteros, las<br />
cuales aplicarás en la solución de problemas.<br />
RECUERDA. Resuelve mentalmente los siguientes ejercicios:<br />
a) (–25) + (+64) + (+25)<br />
b) ( + 3 709) + ( –408) + ( –3 709)<br />
c) (–21) + (+58) + (+20)<br />
d) (+7 881) + (+23) + (–7 882).<br />
Observa el video y después comenta el tema principal con tus compañeros y tu<br />
profesor(a).<br />
123<br />
MATEMÁTICAS
Coteja tus respuestas con otro compañero(a); si tus respuestas no son correctas, vuelve a<br />
hacer las cuentas.<br />
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los siguientes ejercicios:<br />
a) Un comerciante invirtió $5 350 000 en mercancía. Al venderla obtuvo $9 480 000, ¿de<br />
cuánto fue la pérdida o la ganancia? Anota al resultado el signo que le corresponda.<br />
b) A un tanque de 45 litros de agua se le extraen 17 litros, después se le introducen 11<br />
litros y se le vuelven a extraer 21. Escribe la operación que representa esta situación y<br />
anota cuántos litros de agua quedan en el tanque.<br />
c) Cinco niños jugaron con igual número de canicas cada uno y al terminar compararon<br />
sus pérdidas y ganancias. Los resultados de 4 de ellos fueron: 18 canicas, –10 canicas,<br />
–8 canicas y 12 canicas. ¿El quinto niño ganó o perdió canicas? ¿Cuántas? Anota<br />
el resultado con números enteros.<br />
d) Cierto día la temperatura a las 11 de la mañana fue de 15 °C. Durante las siguientes<br />
cuatro horas la temperatura varió así: en la primera bajó 3 °C, en la segunda subió 1 °C,<br />
en la tercera subió 4 °C y en la cuarta bajó 2 °C. ¿Cuál fue la temperatura a las 15<br />
horas? Represéntalo gráficamente.<br />
Compara tus resultados con los de la clave y corrige si hay errores en operaciones y resultados.<br />
CLAVE<br />
a) $4 130 000 (+); b) 45 – 17 + 11 – 21 = 18; en el tanque quedan 18 l ; c) –12; d)<br />
+15 °C.<br />
31<br />
(95-1)<br />
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR<br />
LAS MATEMÁTICAS<br />
Repaso parcial<br />
Integración de los conocimientos adquiridos<br />
En esta sesión pondrás a prueba lo que hasta ahora has aprendido del núcleo, resolviendo<br />
ejercicios y problemas.<br />
Atiende el video junto con tus compañeros de grupo y tu profesor. A su término,<br />
coméntalo brevemente.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
124
Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:<br />
1. Compara cada pareja de números escribiendo entre ellos el signo >, < o =, según<br />
corresponda.<br />
( –15, –16); (11, 12); (–1, 0); (–9, 6); (12, –25)<br />
2. Realiza las siguientes adiciones y sustracciones de enteros:<br />
a) (–1 234) + (–5 432) b) (–6 543) – (–7 825)<br />
3. Escribe en el espacio correspondiente el número faltante.<br />
a) 20 + (– ) = –80 b) + + (–35) = + 115<br />
c) – – (+23) = –145 d) – (–10) = 50<br />
4. a) Encuentra dos números enteros que cumplan las siguientes igualdades:<br />
x + y = –5<br />
x – y = +25<br />
b) Encuentra dos números enteros que cumplan:<br />
x + y = –10<br />
x – y = –2<br />
Individualmente, resuelve los siguientes problemas:<br />
1. Un comerciante compró 12 kg de tomates especiales en $38 400; si al vender 6 kg ha<br />
recuperado su inversión, la venta de los otros 6 kg es su utilidad. ¿Cuál es su utilidad?<br />
2. El precio de un televisor a plazos es de $750 000. Di de cuota inicial $250 000, he<br />
pagado cuatro mensualidades de $125 000, ¿cuánto me falta pagar?<br />
3. Un depósito de agua tiene una capacidad de 1 259 l, de<br />
aquí se reparten a 2 tanques 550 l y 435 l, respectivamente,<br />
¿cuántos litros quedan en el depósito?<br />
4. Los mayas fueron uno de los pueblos americanos que<br />
desarrolló una cultura muy avanzada. Se cree que sus<br />
precursores llegaron a la península de Yucatán hacia el<br />
año 2600 a.C., pero sólo hasta el año 650 a.C. desarrollaron<br />
una cultura propia y original. Después del año 900<br />
d.C. fundaron varias ciudades en donde se encuentran<br />
125<br />
MATEMÁTICAS
ellos monumentos de su cultura, como Chichén Itzá y Mayapán. Por esa época las<br />
guerras entre estas ciudades debilitaron a sus habitantes y por ello, a la llegada de los<br />
españoles en 1527, sucumbieron fácilmente Aún hoy quedan algunos descendientes<br />
de los mayas distribuidos en México, Guatemala y Honduras, que se dedican a la agricultura.<br />
a) ¿Cuánto tiempo duró el esplendor de la cultura Maya?<br />
b) ¿Cuánto tiempo trascurrió desde que llegaron los primeros precursores de los mayas a<br />
la península de Yucatán hasta que desarrollan su propia cultura?<br />
CLAVE<br />
32<br />
(96-1)<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
1. $38 400; 2. $0; 3. 265 l ; 4. a) 1 877 años, b) 1 950 años.<br />
INTERPRETA LA AGRUPACIÓN<br />
Los paréntesis y su uso<br />
Simplificación de expresiones con paréntesis<br />
En muchas ocasiones es necesario y conveniente agrupar. Pero también se requiere interpretar<br />
correctamente una agrupación para poder simplificarla cuando se necesite. Esto ocurre<br />
en matemáticas con las operaciones. ¿Sabes simplificar expresiones con paréntesis?<br />
RECUERDA. Algunos de éstos cálculos están equivocados<br />
a) ( +3) + ( +25) = + 28<br />
b) ( – 47) + ( –5) = – 42<br />
c) ( –7) + ( +9) = +16<br />
d) ( +3) + ( –5) = –2<br />
Muestra tus resultados al compañero más próximo y comenten el porqué del error.<br />
Observa el video en el que se enseña el uso de los paréntesis para indicar<br />
operaciones y su interpretación para simplificar expresiones contenidas en ellos.<br />
Al terminar, comenta con tus compañeros de fila lo que te haya parecido más<br />
importante<br />
Intégrate a una terna y realiza una lectura comentada del texto que sigue:<br />
126
LOS PARÉNTESIS Y SU USO<br />
En ocasiones es necesario manejar expresiones que parecen muy complicadas. Esto ocurre<br />
debido a la forma en que están agrupadas diversas operaciones; es decir, cuando se requieran<br />
varias operaciones sucesivas para llegar a una solución, hace falta emplear signos de<br />
agrupación que indiquen las operaciones que se van a efectuar en primer lugar y las que se<br />
van a realizar después. Esos signos de agrupación son los paréntesis. Los hay redondos ( )<br />
y rectangulares [ ].<br />
Por ejemplo:<br />
(3 + 4) + 6<br />
En este caso se está utilizando el paréntesis redondo y su función es la de indicar qué<br />
operación se debe realizar primero. Es decir, se realiza la operación que está entre paréntesis<br />
(3 + 4) y el número que resulte se suma con el que está fuera del paréntesis, como se ve a<br />
continuación.<br />
Véanse otros ejemplos:<br />
a) 2 + (6 + 4) = 2 + 10 = 12<br />
b) (3 + 5) – 1 = 8 – 1 = 7<br />
c) 4 – (2 + 1) = 4 – 3 = 1<br />
d) (6 – 2) + 7 = 4 + 7 = 11<br />
e) 7 – (8 – 5) = 7 – 3 = 4<br />
(3 + 4) + 6 = 7 + 6 = 13<br />
Cuando se trata de la multiplicación, es muy común utilizar paréntesis para indicarla, ya que<br />
el signo por ( × ) se puede confundir con la x (equis) que se utiliza con mucha frecuencia en<br />
matemáticas para representar cantidades desconocidas. Lo <strong>mismo</strong> sucede con el punto decimal.<br />
Ve lo siguiente:<br />
a) 4 (5 + 3) se interpreta como “cuatro por cinco más tres”, que se resuelve así:<br />
4 (5 + 3) = 4 (8) = 32<br />
b) (2 + 6) (3 + 1) se interpreta como “dos más seis por tres más uno” y se efec<strong>tú</strong>a así:<br />
(2 + 6) (3 + 1) = (8) (4) = 32<br />
En algunos casos se hace agrupación de agrupaciones, por lo que se requiere paréntesis<br />
127<br />
MATEMÁTICAS
ectangular [ ] y dentro de él se colocan los paréntesis redondos, como se ve en el siguiente<br />
ejemplo.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
6 [5 + (7 – 3) 4] =<br />
Se debe considerar que cuando hay un signo de agrupación encerrado dentro de otro, debe<br />
efectuarse primero la operación indicada en el interior, como se ve en seguida.<br />
6 [5 + (7– 3) 4] = 6 [5 + 4 (4)] = 6 (5 + 16) = 6 (21) = 126<br />
Trabaja en tu cuaderno los siguientes ejemplos:<br />
(5 + 6 + 2) + 8 = 13 + 8 = 21<br />
30 – (6 + 5 + 4) = 30 – 15 = 15<br />
(9 – 3) + (8 – 4) = 6 + 4 = 10<br />
28 + [90 – (7 – 2)] = 28 + (90 – 5) = 28 + 85 = 113<br />
(140 – 4) – [12 + (8 – 7 + 2 )] = 136 – (12 + 3) = 136 – 15 = 121<br />
(8 + 6) 2 = (14) 2 = 28<br />
(25 + 40) + 5 = 65 + 5 = 13<br />
[(7 + 5) + 3] + [(7 – 1) + 2] = (12 + 3) + (6 + 2) = 4 + 3 = 7<br />
La correcta interpretación de la agrupación de las operaciones por medio de paréntesis permite<br />
simplificar expresiones que indican una serie de cálculos.<br />
Esta simplificación de expresiones con paréntesis tiene gran aplicación en el álgebra, que es<br />
una parte de las matemáticas que se estudia en la secundaria.<br />
Si alguna idea no es clara, coméntala con tu grupo y con tu profesor(a).<br />
Con la misma terna analiza y comenta las siguientes cuestiones.<br />
a) ¿Cuándo es necesario el uso de más de un signo de agrupación?<br />
b) Halla los siguientes resultados, compáralos y concluye en consecuencia.<br />
(5 – 7) + 8 + ( 9 – 11)<br />
5 – (7 + 8) + 9 – 11<br />
128
(5 – 7) + (8 + 9 ) – 11<br />
c) Cuando hay un signo de agrupación encerrado en otro, ¿cómo debe procederse?<br />
Comenta tus respuestas con un compañero de otra terna. Si tienes errores, corrígelos.<br />
Continúa con la misma terna y simplifica cada una de las siguientes expresiones<br />
con paréntesis. Trabaja en tu cuaderno.<br />
a) (2 + 9) + 5 = b) (8 + 9) – 6 = c) [(11 × 6) – (3 – 2)] =<br />
d) 2 (9 + 3) = e) 3 [4 + (6 – 2) 5] = f) [25 – (4 × 2)] – (5 –1) =<br />
Muestra tu trabajo a los integrantes de otra terna. Si fallaste, corrige.<br />
Individualmente, simplifica las siguientes expresiones con paréntesis.<br />
a) [(8 + 2) ÷ 5] + [(6 – 3) ÷ 3] = d) (3 × 7 – [15 (8 ÷ 2)] =<br />
b) [( 7 + 5) 4] + (–7 – 3) = e) 24 + [70 – (5 – 4)] =<br />
c) 27 – (4 + 3 + 2) = f) 6 [7 + (4 – 1) 3] =<br />
Compara tus respuestas con las de la clave, y si es necesario corrige.<br />
CLAVE<br />
33<br />
(97-1)<br />
a) 3; b) 38; c) 18; d) 2; e) 93; f) 96.<br />
CUÁL SE RESUELVE PRIMERO<br />
Jerarquía de operaciones<br />
Determinar la prioridad de las operaciones<br />
Cuando se tienen problemas en donde necesitas utilizar operaciones combinadas como la<br />
suma, la resta, la multiplicación etc., para su solución se requiere que jerarquices las operaciones<br />
para que obtengas el resultado correcto, ¿qué tanto sabes de esto?<br />
RECUERDA. Colocando paréntesis se puede variar el resultado de combinar varias operaciones.<br />
De la expresión 7 × 3 + 2 × 5 – 6 obtén tres resultados diferentes, colocando paréntesis para<br />
cambiar la prioridad de las operaciones.<br />
129<br />
MATEMÁTICAS
Compara tu trabajo con el de otros compañeros.<br />
Observa el video, en él se mostrará cómo se jerarquizan las operaciones fundamentales.<br />
Después comenta con tus compañeros lo que te haya parecido<br />
más importante.<br />
Lee el texto:<br />
JERARQUÍA DE OPERACIONES<br />
Una correcta solución al obtener el resultado de un problema en donde se combinan las<br />
operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación)<br />
requiere el establecimiento de un orden en dichas operaciones.<br />
Ejemplo:<br />
El sueldo diario de un obrero que trabajó de lunes a vienes es de $15 000. Gastó esa<br />
semana en comida $24 000 y en pasajes $10 000, además cobró $25 000 que le adeudaban,<br />
¿cuánto dinero le quedó esa semana?<br />
La expresión 15 000 × 5 – 24 000 – 10 000 + 25 000 indica las operaciones que se necesitan<br />
para obtener el resultado correcto.<br />
¿Cómo se debe calcular el resultado de esta expresión para que responda a la pregunta del<br />
problema? Hazlo en tu cuaderno.<br />
Para evitar confusiones en el momento de realizar el cálculo de las operaciones, se debe<br />
llevar un orden al operar.<br />
1. Toda cifra debe estar agrupada con un signo.<br />
2. Se debe potenciar y radicar en orden, de izquierda a derecha.<br />
3. Hay que dividir o multiplicar en orden, de izquierda a derecha.<br />
4. Debe sumarse o restarse en orden, de izquierda a derecha.<br />
Ejemplo:<br />
Efectuar 8 + 6 ÷ 2 – 3 × 2 – 2<br />
a) Se efec<strong>tú</strong>a primero la división y la multiplicación, de izquierda a derecha.<br />
b) Se realizan luego las sumas y las restas, de izquierda a derecha y se tiene:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
130
Por lo tanto, la solución a la expresión es = 3.<br />
Efectuar 5 (–7 + 3) – 14.<br />
Cuando una expresión tiene operaciones indicadas<br />
dentro de un paréntesis, se procede a resolverlo de la<br />
siguiente forma:<br />
1. Se resuelven los elementos contenidos dentro<br />
del paréntesis.<br />
2. Se resuelve la multiplicación.<br />
3. Se resuelve la resta.<br />
En el caso de que existan dos o más paréntesis, entonces, se empieza de adentro hacia<br />
afuera.<br />
Ejemplo: 4 4 32 [ ( + )÷ ( 7+ 4) ]+ 6<br />
131<br />
5 (–7 + 3) – 14<br />
5 (–4) –14<br />
–20 –14<br />
–34<br />
MATEMÁTICAS
1. Se resuelven primero los paréntesis:<br />
4 [( 4 + 3 2 ) ÷ ( 7 + 4)] + 6<br />
4 [ 11 ÷ 11 ] + 6<br />
4 (+ 1) 6<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
4 6<br />
Así, la solución a la expresión 4 4 32 [ ( + )÷ ( 7+ 4) ]+ 6 es = + 10.<br />
Se concluye, entonces, que en toda expresión matemática se deben jerarquizar las operaciones<br />
que involucra, para poder llegar al resultado correcto.<br />
La jerarquización de las operaciones señaladas se indica mediante el uso de paréntesis en<br />
las expresiones.<br />
Con un compañero(a) resuelve la expresión matemática:<br />
[(40 ÷ 4) – ( 14 ÷ 2)] + (8 ÷ 2)<br />
Muestra tus resultados a tu profesor, corrige si hay errores.<br />
Forma una terna y resuelve lo siguiente:<br />
Escribe en el paréntesis la letra que corresponde al resultado correcto de las siguientes<br />
operaciones:<br />
( ) (8 × 3) ÷ (6 × 4) a) 1 b) 16<br />
( ) 54 ÷ 3 ÷ 2 × 3 a) 27 b) 3<br />
( ) [(3 2 × 4) ÷ 6 – (4 × 2)] a) –2 b) 4<br />
( ) 2 2 + 9 + 1 × 4 ÷ 2 a) 24 b) 13<br />
132
Compara tus resultados con los de otra terna; si tienes errores, corrígelos.<br />
De forma individual resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:<br />
1. (6 × 3) + [4 – 3 × 2 + (4 ÷ 2)] =<br />
2. 20 ÷ 5 × 3 + 2 ÷ 2 × 2 + 2 – 1 =<br />
3. [(7 × 3) ÷ (3 × 22 )] – 25 ÷ 5 =<br />
Compara tus resultados con los de la clave, corrige si tienes errores.<br />
CLAVE<br />
34<br />
(98-1)<br />
OTRA FORMA DE REPRESENTACIÓN<br />
Literales<br />
Iniciación al uso de las literales<br />
133<br />
1. 18; 2. 15; 3. 32.<br />
¿Sabes qué quiere decir A = l 2 ¿Has utilizado esta fórmula? ¿Para qué? ¿Qué significa la<br />
letra A? ¿y la l? En ocasiones para expresar generalidades o patrones comunes a la solución<br />
de algunos problemas —que pueden tener datos diferentes pero conservan un esquema<br />
similar para resolverlos—, no basta usar cifras, sino que se usan literales llamadas expresiones<br />
algebraicas; ¿las has utilizado?<br />
Observa el video. Te enterarás qué son las literales y cómo se usan. Luego<br />
comenta brevemente con dos compañeros lo que hayas entendido del tema.<br />
Lee con un compañero(a) el texto Literales.<br />
Escribe en tu cuaderno en qué casos has empleado las literales en tus estudios anteriores.<br />
LITERALES<br />
Las matemáticas tienen su propio lenguaje: el lenguaje matemático. Se trata de un lenguaje<br />
técnico en el cual no solamente se utilizan cifras para representar los números, sino también se<br />
usan una serie de símbolos, como los de las operaciones fundamentales ( +, –, ×, ÷, a n , a ).<br />
Con el objeto de que se puedan generalizar y crear modelos que permitan resolver problemas<br />
con datos diferentes pero con idéntico esquema de solución, para representar los números<br />
se emplean, además de las cifras insustituibles, otros símbolos que faciliten su interpretación.<br />
MATEMÁTICAS
Para dar a entender lo que esto significa, considérese el siguiente ejemplo.<br />
Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuál es la<br />
medida de su contorno?<br />
En casos como éste, es conveniente auxiliarse de una figura que represente al terreno, en la<br />
cual se anotan las medidas en los lugares correspondientes, como se observa en el esquema<br />
siguiente:<br />
4 m<br />
Se sabe que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma medida y se puede obtener<br />
la medida de su contorno (o perímetro) sumando las medidas de los cuatro lados.<br />
Entonces se tiene:<br />
Medida del contorno: 4 m + 4 m + 3 m + 3 m = 14 m<br />
Sin embargo, existe una infinidad de rectángulos con medidas diferentes. Las operaciones<br />
que aquí se han realizado solamente sirven para obtener la medida del contorno de un<br />
rectángulo que mide 4 m de largo y 3 m de ancho. Es necesario conocer una forma general<br />
de obtener la medida del contorno de cualquier rectángulo.<br />
En primer lugar, hay que recordar que al contorno de cualquier figura geométrica se le llama<br />
perímetro y se denota con la letra P; además, se utilizan otras letras del alfabeto para representar<br />
el largo y el ancho de la figura.<br />
Por ejemplo:<br />
Para hacerlo así, es necesario convenir en que: a representa cualquier número entero<br />
—fraccionario o mixto— que será la medida del largo de un rectángulo cualquiera.<br />
b representa cualquier número (entero, fraccionario o mixto) que es la medida del ancho de<br />
un rectángulo cualquiera. Entonces se tiene que:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
3 m 3 m<br />
4 m<br />
a<br />
b b<br />
a<br />
134
P = a + a + b + b<br />
Pero hay que considerar que la suma a + a es parecida a “la adición concreta” de dos objetos<br />
cualesquiera de la misma naturaleza. Por ejemplo:<br />
entonces:<br />
1 zapato + 1 zapato = 2 zapatos<br />
1 lápiz + 1 lápiz = 2 lápices<br />
a + a = 2 a y b + b = 2b<br />
Por lo tanto: P = 2a + 2b, lo cual significa que el perímetro de un rectángulo se obtiene<br />
sumando el doble del largo (2a) con el doble del ancho (2b), o sea:<br />
P = 2a + 2b<br />
De lo anterior se puede obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, como se<br />
muestra a continuación:<br />
a) Rectángulo<br />
largo: 6 m y ancho: 2 m<br />
P = 2a + 2b<br />
Se sustituye a y b por las medidas del rectángulo.<br />
b) Rectángulo<br />
Sustituyendo:<br />
P = 2 (6 m) + 2 (2 m) = 12 m + 4 m = 16 m<br />
largo: 7 m y ancho: 4 m<br />
P = 2a + 2b<br />
P = 2 (7 m) + 2 (4 m) = 14 m + 8 m = 22 m<br />
La expresión P = 2a + 2 b sirve para obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo,<br />
siempre y cuando se conozca lo que éste mide de largo y de ancho. Por supuesto, es necesario<br />
sustituir correctamente a y b con las medidas del largo y ancho del rectángulo, y realizar las<br />
operaciones indicadas.<br />
Cuando esto ocurre, una expresión como P = 2a + 2 b,<br />
se considera como una fórmula o una<br />
135<br />
MATEMÁTICAS
expresión algebraica que se puede aplicar para la obtención del perímetro de cualquier<br />
rectángulo.<br />
En matemáticas, a las letras P, a, b se les llama literales y su función es representar en forma<br />
general a cualquier número.<br />
En las fórmulas:<br />
A = l 2 A = bh<br />
A bh<br />
2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
v<br />
=<br />
d<br />
A = r<br />
t<br />
2<br />
136<br />
etcétera, cada literal<br />
representa cualquier número (natural, decimal, fracción común, negativo, etcétera).<br />
El uso de las literales y de expresiones algebraicas tiene innumerables aplicaciones en el<br />
estudio de las matemáticas.<br />
Con tu compañero(a) comenta los casos en los que hayas utilizado literales.<br />
a) Si a = 5, entonces:<br />
b) Si m = 3, entonces:<br />
Forma un equipo de trabajo y resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones:<br />
2a = 3a = 4a = 5a =<br />
(m) (m) = m 2 = (m) (m) (m) = m 3 =<br />
c) Si w = 2; x = 3, entonces:<br />
(w) (x) = (2w + x) =<br />
Muestra tus respuestas a un integrante de otro equipo. Si hay dudas, consulta con tu profesor.<br />
En caso de error, corrige.<br />
Fórmula : v<br />
w<br />
x =<br />
w<br />
w =<br />
Con el <strong>mismo</strong> equipo de trabajo, encuentra el valor de la velocidad (v), la distancia<br />
(d) o el tiempo (t), de acuerdo con las fórmulas y los valores asignados<br />
a las literales.<br />
=<br />
d<br />
d = 450 m ; t = 5 s v =<br />
t<br />
Fórmula : d = vt v = 12 m/s; t = 10 s d =<br />
Revisa tus respuestas con las de los integrantes de otro equipo. Si es necesario, corrige.
h<br />
a) Fórmula A = ( )( )<br />
2<br />
En forma individual, encuentra el área (A) de algunos triángulos, dados los<br />
valores de la base (b) y la altura (h), así como la fórmula respectiva.<br />
b = 3 cm h = 8 cm A =<br />
b) b = 7 m h = 12 m A =<br />
c) b = 9 cm h = 7 cm A =<br />
Compara tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrígelos.<br />
CLAVE<br />
35<br />
(99-1)<br />
SIMPLIFICACIÓN DEL LENGUAJE<br />
Escritura algebraica<br />
Manejo del lenguaje simbólico<br />
a) 12 cm 2 ; b) 42 m 2 ; c) 31.5 cm 2 .<br />
Las matemáticas se expresan en su propio lenguaje. Para dominarlo, es necesario aprender<br />
a traducir del lenguaje común al lenguaje simbólico, propio de esta ciencia, lo cual se puede<br />
realizar mediante el uso de las literales y razonando adecuadamente.<br />
Observa los videos 99 y 100 en los cuales se mostrará cómo es posible escribir<br />
en un lenguaje simbólico aquello que está expresado en un lenguaje común o<br />
natural. Luego, participa en una lluvia de ideas con todo el grupo. También<br />
observarás cómo tabular valores numéricos de una expresión algebraica.<br />
RECUERDA. Escribe las siguientes frases usando literales y los símbolos de las operaciones<br />
implicadas.<br />
La suma de dos números cualesquiera es 24.<br />
Si al producto de dos números cualesquiera le resto 3, el resultado es igual a 32.<br />
El cuadrado de la suma de dos números.<br />
El cubo de la diferencia de dos números.<br />
Participa en una lectura comentada del siguiente texto:<br />
137<br />
MATEMÁTICAS
ESCRITURA ALGEBRAICA<br />
En la resolución de muchos problemas se requiere aprender a sustituir literales de una fórmula<br />
por los datos del problema, realizando, después, las operaciones indicadas. Esto es muy<br />
frecuente en geometría cuando se realiza el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. También<br />
ocurre en otras ramas de las matemáticas y con muchas ciencias; sin embargo, existen<br />
muchos otros problemas para los cuales no hay una fórmula que conduzca a la solución.<br />
Cuando esto ocurre, es necesario razonar y así encontrar un camino que sea adecuado para<br />
resolverlos. Aquí se requiere traducir el enunciado del problema —que está dado en un<br />
lenguaje común— al lenguaje propio de las matemáticas, que es un lenguaje simbólico.<br />
El manejo del lenguaje simbólico, como es natural, se logra estudiando desde lo más elemental<br />
—aplicándolo siempre que sea posible— hasta adquirir seguridad después de haber<br />
practicado con cierta intensidad. Consideremos los siguientes ejemplos:<br />
Lenguaje común Lenguaje simbólico<br />
Un número cualquiera a<br />
La suma de dos números a + b<br />
El cuadrado de la suma de dos números (a + b) 2<br />
La diferencia de dos números m – n<br />
El cuadrado de la diferencia de dos números (m – n) 2<br />
El producto de dos números cd (cuando se usan<br />
literales, no se requiere<br />
el signo para indicar la<br />
multiplicación).<br />
El cociente de dos números<br />
El cubo de un número w 3<br />
La raíz cuadrada de un número c<br />
El doble de un número 2x<br />
El triple de un número 3y<br />
La mitad de un número<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
138<br />
a<br />
c<br />
a<br />
2
La tercera parte de un número<br />
z<br />
3<br />
Ahora se resolverán y tabularán problemas para ilustrar de manera sencilla la aplicación del<br />
lenguaje simbólico.<br />
1. Héctor tiene cierta cantidad de dinero. Si recibe $200 000, la cantidad que tiene<br />
Héctor se triplica. ¿Cuánto tiene originalmente Héctor?<br />
Haciendo uso del lenguaje simbólico, se tiene:<br />
Cantidad que posee Héctor: x<br />
Esa cantidad aumentada en $200 000: x + 200 000<br />
La suma de esas dos cantidades es el triple de lo que tenía Héctor:<br />
x + 200 000 = 3x<br />
Cuando se tiene una suma de dos sumandos, entonces se obtiene uno de estos si de la<br />
suma se resta el otro, por lo tanto:<br />
3x – 200 000 = x y 3x – x = 200 000<br />
De estas dos expresiones, la que resulta útil para avanzar hacia la solución del problema es:<br />
Si de 3x se quita una x, quedan dos, entonces:<br />
2x = 200 000<br />
Ahora si 2x equivale a $200 000, una x equivale a la mitad de 200 000, que es 100 000, o sea:<br />
x = 100 000<br />
Esto significa que la cantidad que tiene Héctor es $100 000<br />
Esto es cierto porque $100 000 + $200 000 = $300 000 y 300 000 es el triple de<br />
100 000, o sea, 3 veces 100 000<br />
( )<br />
2. La fórmula B b +<br />
h representa el área de una figura plana. ¿Cuál es esa figura?<br />
2<br />
Haz una representación de ella y ubica cada uno de los literales en el sitio correspondiente.<br />
( )<br />
Tabular la fórmula A = B b +<br />
h,<br />
para los siguientes valores de B, b y h:<br />
2<br />
B = 8, b = 2, h = 3<br />
B = 6, b = 3, h = 2<br />
139<br />
MATEMÁTICAS
Tabulando estos valores, se tiene que:<br />
De esta forma, se pueden tabular los valores numéricos de cualquier expresión algebraica<br />
cuando se asignan determinados valores a sus variables.<br />
3. Halla los valores numéricos de la expresión algebraica 2x –1 para los valores<br />
x = 1, 2, 3, 4, 5.<br />
Tabulando los valores de la variable x y los valores numéricos de la expresión 2x – 1, se<br />
obtiene:<br />
Si tienes alguna inquietud, coméntala con tu profesor(a).<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
B = 5, b = 4, h = 4;<br />
B = 4, b = 3, h = 2;<br />
( )<br />
Sustituyendo los valores en la fórmula A =<br />
B + b<br />
h se obtiene:<br />
2<br />
para B = 8, b = 2 y h = 3, A =<br />
+ ( ) = ( ) =<br />
8 2<br />
3<br />
10<br />
3 15<br />
2 2<br />
para B = 6, b = 3 y h = 2, A =<br />
+ ( ) = ( ) =<br />
6 3<br />
2<br />
9<br />
2 9<br />
2 2<br />
para B = 5, b = 4 y h = 4, A =<br />
+ ( ) = ( ) =<br />
5 4<br />
4<br />
9<br />
4 18<br />
2 2<br />
para B = 4, b = 3 y h = 2, A =<br />
+ ( ) = ( ) =<br />
4 3<br />
2<br />
7<br />
2 7<br />
2 2<br />
A =<br />
B 8 6 5 4<br />
b 2 3 4 3<br />
h 3 2 4 2<br />
( )<br />
B + b<br />
h<br />
2<br />
15 9 18 7<br />
x 1 2 3 4 5<br />
2x – 1 1 3 5 7 9<br />
140<br />
Valores de<br />
la variable<br />
Valores<br />
numéricos
Con un compañero(a) relaciona las expresiones del lenguaje común, que están<br />
en la columna izquierda con las de la derecha (expresadas en lenguaje<br />
simbólico), colocando dentro de cada paréntesis el número que corresponda.<br />
1. La mitad de un número ( ) n<br />
4<br />
2. La suma de dos números ( ) a 2<br />
3. El cuadrado de un número ( ) b<br />
d<br />
4. El cociente de dos números ( ) 2ª<br />
5. La raíz cuadrada de un número ( ) b<br />
2<br />
6. La cuarta parte de un número ( ) m<br />
( ) x + y<br />
Muestra tus respuestas a un compañero de otra pareja, y si tienes errores, corrígelos.<br />
Con la misma pareja traduce en tu cuaderno, del lenguaje común al lenguaje<br />
simbólico, las siguientes expresiones.<br />
a) La diferencia de los cuadrados de dos números.<br />
b) El producto de dos números.<br />
c) El triple de un número.<br />
d) La tercera parte de un número.<br />
e) El cubo de un número.<br />
f) La suma de los cuadrados de dos números.<br />
Muestra tus respuestas a los compañeros de otra pareja. Si fallaste, corrige.<br />
1. En forma individual, en tu cuaderno, expresa en lenguaje simbólico lo que<br />
se te pide.<br />
a) La suma de tres números. b) La suma de dos números es 27.<br />
c) La diferencia de dos números es 8. d) Un número, más 5.<br />
e) Un número, más el doble de otro. f) Un número, menos 3.<br />
g) El doble de un número más el triple de otro.<br />
2. En forma individual, tabula los valores numéricos de la expresión v<br />
141<br />
=<br />
d<br />
.<br />
t<br />
MATEMÁTICAS
para los valores de d y t que se dan a continuación: d = 35; t = 2; d = 48;<br />
t = 3; d = 43; t = 5; d = 37; t = 6,<br />
Compara tus respuestas con las de la clave y corrige si tienes errores.<br />
CLAVE<br />
1. a) b + c + d; b) m + n = 27; c) x – y = 8; d) a + 5;<br />
e) c + 2m; f) y – 3; g) 2a + 36.<br />
Nota: las literales pueden ser diferentes a las de la clave, siempre y cuando la expresión sea<br />
la que se pide.<br />
36<br />
(101-1)<br />
UN SUMANDO DESCONOCIDO<br />
Ecuaciones de la forma a + x = b y a – x = c<br />
Obtención del valor de un sumando<br />
En las matemáticas, la tendencia fundamental del álgebra es anotar de manera abreviada<br />
las operaciones que deben efectuarse y sus resultados, de una forma simple y perfeccionada<br />
que haga claro, sencillo y rápido su manejo.<br />
RECUERDA.<br />
1. Si a un número se le suma su simétrico, ¿cuál es el resultado?<br />
2. El inverso aditivo de un número, ¿cómo se obtiene?<br />
3. ¿Cómo representas la expresión: un número cualquiera disminuido en 4 unidades?<br />
4. Calcula:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
d<br />
= 17.5 16 8.6 6.1<br />
t 2 3 5 6<br />
d 35 48 43 37<br />
a = (–3) – [(–5) + (+3)] + [(+7) – (+11)]<br />
b = (+22) – [(+38 ) – (–57) – (+14)]<br />
c = 8 – (–8) + [(–3 ) – (+3)] – [(+1) – (–1)]<br />
Compara tus respuestas con otro compañero cercano. En caso de duda, pregunta a tu<br />
profesor(a).<br />
142<br />
t<br />
v<br />
2.
Lee con dos compañeros(as) el siguiente texto:<br />
ECUACIONES DE LA FORMA a + x = b y a – x = c<br />
Al ir a pagar la reparación de su carro le presentaron al señor Juan la siguiente cuenta que<br />
estaba manchada de tinta. ¿Se podrá saber cuánto le cobraron de mano de obra al señor<br />
Juan?<br />
Con tus compañeros(as) de equipo resuelvan el problema.<br />
Para saber el costo de mano de obra, se plantea la siguiente situación:<br />
$1 985 000 + = $2 400 000<br />
¿Qué número sumado con $1 985 000 da como resultado $2 400 000?<br />
Para contestar esta pregunta, se tiene que hacer una resta de la siguiente forma:<br />
2 400 000 Total<br />
– 1 985 000 Refacciones<br />
415 000 Mano de obra<br />
TALLER AUTOMOTRIZ<br />
“VELÁZQUEZ”<br />
CUENTA DE GASTOS DE REPARACIÓN MODELO 5101<br />
PROPIETARIO: Sr. Juan<br />
Refacciones $1 985 000<br />
Mano de obra<br />
Total $2 400 000<br />
El número 415 000 sumado con $1 985 000, da como resultado $2 400 000. Por lo tanto, se<br />
puede concluir que le cobraron $415 000 por mano de obra, porque<br />
143<br />
MATEMÁTICAS
$1 985 000 + $415 000 = $2 400 000<br />
Las expresiones como 1 985 000 + = 2 400 000 reciben el nombre de ecuaciones.<br />
Una ecuación cualquiera, como por ejemplo 9 + = 20, se puede escribir de la forma<br />
9 + x = 20, en donde se utiliza una letra o variable que representa el número desconocido en<br />
lugar del cuadro.<br />
En las ecuaciones se distinguen dos partes importantes: todo lo que está a la izquierda del<br />
signo = se llama primer miembro de la ecuación y lo que está en la parte derecha del signo<br />
= se llama segundo miembro.<br />
Obsérvese los ejemplos siguientes:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
x + 20 = 45<br />
primer miembro segundo miembro<br />
28 = x – 12<br />
primer miembro segundo miembro<br />
Una ecuación es una igualdad que sólo se satisface para determinado o determinados valores<br />
de la variable o variables que en ella intervienen; es decir, cuando se sustituye la variable<br />
o variables por esos valores, se obtiene el <strong>mismo</strong> valor numérico para los dos miembros de<br />
la ecuación.<br />
Una igualdad tiene varias propiedades, pero en esta sesión sólo se mencionarán las que<br />
corresponden a este tema.<br />
Para una mejor comprensión de ellos, dibujen una balanza de brazos iguales en equilibrio,<br />
para simular una igualdad.<br />
En sus cuadernos, vayan haciendo los cambios en los platillos de la balanza para ilustrar<br />
cada una de las propiedades.<br />
144
1. Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.<br />
Si a + b = c, entonces, c = a + b<br />
2. Si un número es igual a otro y éste a su vez es igual a un tercero, entonces el primero<br />
es igual al tercero.<br />
Si a = b y b = c, entonces, a = c<br />
3. Si dos igualdades tienen un miembro común, los otros dos miembros son iguales.<br />
Si a + b = c y c = d + f, entonces, a + b = d + f<br />
4. Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o se les resta el <strong>mismo</strong> número, la<br />
igualdad subsiste.<br />
Si a = b, entonces, a + c = b + c<br />
Si a = b, entonces, a – c = b – c<br />
Con esta propiedad se puede resolver cualquier ecuación de la forma a + x = b y<br />
a – x = c en donde a, b, y c son constantes y x es la variable o incógnita.<br />
Ejemplos:<br />
Vayan resolviendo en sus cuadernos cada una de las ecuaciones. Leer no es suficiente para<br />
aprender matemáticas, es necesario practicar.<br />
Considérese la ecuación x + 37 = 82, en donde x es la incógnita.<br />
Buscamos obtener otra igualdad en la cual la x quede sola en uno de los miembros de la<br />
ecuación. Entonces es necesario “anular” aquellos términos que “acompañan” la incógnita.<br />
Para resolverla, primero se resta 37 a sus dos miembros y se tiene que:<br />
x + (37 – 37) = 82 – 37<br />
x + 0 = 82 – 37<br />
x = 45<br />
La solución de esta ecuación es 45. Para probar esto, se sustituye la x por el valor encontrado<br />
y se observa que efectivamente<br />
145<br />
MATEMÁTICAS
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
x + 37 = 82<br />
45 + 37 = 82<br />
82 = 82<br />
De acuerdo con lo anterior, se puede concluir que para resolver cualquier ecuación de la<br />
forma a + x = b, basta con aplicar el inverso aditivo de un número.<br />
Recuérdese que el inverso aditivo de un número es aquel que sumado con el número original<br />
da como resultado cero. Así –5 es inverso aditivo de +5, porque<br />
+ 5 – 5 = 0<br />
Obsérvense con mucha atención los siguientes ejemplos:<br />
a) x + 258 = 396; aplicando el inverso aditivo de 258, se tiene:<br />
x + 258 – 258 = 396 – 258. Simplificando, resulta:<br />
Comprobación:<br />
x = 38<br />
38 + 258 = 396<br />
396 = 396<br />
b) x + 35 = 112; aplicando el inverso aditivo de 35, se tiene:<br />
x + 35 – 35 = 112 – 35. Simplificando, resulta:<br />
Comprobación:<br />
x = 77<br />
77 + 35 = 112<br />
112 = 112<br />
146
c) x – 14 332 = 12 812; aplicando el inverso aditivo de –14 332, se tiene:<br />
x – 14 332 + 14 332 = 12 812 + 14 332, simplificado, resulta:<br />
Comprobación:<br />
x = 27 144<br />
27 144 – 14 332 = 12 812<br />
12 812 = 12 812<br />
d) Si a un número se le resta 86, el resultado es 392. ¿Cuál es ese número?<br />
Resolución:<br />
Sea x el número que se busca, entonces: x – 86 = 392 es la ecuación correspondiente.<br />
Aplicando el inverso aditivo, se tiene:<br />
x – 86 + 86 = 392 + 86. Simplificando, resulta: x = 478<br />
Comprobación:<br />
478 – 86 = 392, por lo tanto 392 = 392<br />
El número es 478.<br />
Comenten con otros grupos las inquietudes que les plantea este interesante tema.<br />
Observa atentamente el video. En él afianzarás lo que sabes acerca de las<br />
ecuaciones y cómo resolverlas.<br />
Forma una pareja y comenta las respuestas a las preguntas siguientes:<br />
1. ¿Cuáles son las dos partes que se distinguen en una ecuación?<br />
2. Transforma esta ecuación en otra más sencilla: a + x + 8 = 8 + 17 – 3<br />
3. Traduce mediante una ecuación el siguiente problema:<br />
En una caja había 48 chocolatinas de las cuales se vendieron 36.<br />
¿Cuántas chocolatinas quedan?<br />
147<br />
MATEMÁTICAS
4. Inventa un problema que origine la siguiente ecuación: x – 8 = 43<br />
Compara tus respuestas con las de otras parejas; en caso de duda, consulta con tu profesor(a).<br />
Continúa con tu compañero(a) y resuelve en tu cuaderno las ecuaciones siguientes:<br />
Ecuación: Resultado: Comprobación:<br />
a) x – 56 = 27 x =<br />
b) m – 125 = 448 m =<br />
c) z + 3.485 = 21.78 z =<br />
d) 34.377 = x + 5.635 x =<br />
e) La suma de dos números es 476. Si uno de ellos es 389, ¿cuál es el otro número?<br />
Compara tus resultados con los de otras parejas. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor(a).<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las ecuaciones siguientes:<br />
1. 215 = a – 59 a =<br />
2. x + 2 458 = 2 494 x =<br />
3. x – 1.040 = 1.076 x =<br />
4. x – ( –25) = 84 x =<br />
5. (–36) + x = –15 x =<br />
Consulta tus resultados con los de la clave. Si tienes errores, corrige.<br />
CLAVE<br />
1. a = 274; 2. x = 3; 3. x = 2.116; 4. x = 59; 5. x = 21.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
148
37<br />
(102-1)<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
Problemas que se resuelven planteando una ecuación<br />
Aplicar la resolución de ecuaciones<br />
Existen diferentes métodos para resolver problemas y cada persona puede emplear el que<br />
sea de su agrado. De esta forma sólo se tiene que comprender el problema, definir datos e<br />
incógnitas y establecer la ecuación o ecuaciones que deben resolverse para llegar a la solución.<br />
RECUERDA. ¿Es 27 la solución de cada una de las siguientes ecuaciones? Compruébalo<br />
en cada inciso y completa las expresiones poniendo sí o no en los espacios.<br />
a) x + 39 = 66 27 es solución porque 27 + 39 es igual a 66<br />
b) 475 + g = 500 27 es solución porque 475 + 27 es igual a 500<br />
c) 298 = 271 + c 27 es solución porque 271 + 27 es igual a 298<br />
Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo; si te equivocaste corrige los<br />
errores.<br />
Observa con atención el video que te mostrará cómo plantear ecuaciones para<br />
resolver problemas.<br />
Forma una terna, resuelve y comprueba en tu cuaderno los problemas siguientes<br />
por medio de ecuaciones.<br />
a) La suma de dos números es 47.65 si uno de ellos es 38.9, ¿cuál es el otro?<br />
b) Si a un número se le resta 0.52, el resultado es 5.24, ¿cuál es el otro número?<br />
Compara tus resultados con los de otras ternas. En caso de duda, pregunta a tu profesor(a).<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los problemas siguientes por medio<br />
de ecuaciones.<br />
1. Antes de ponerse a dieta, una señora pesaba x kilogramos. Si en la dieta reduce 15 kg<br />
y llega a pesar 56 kg, ¿cuál era su peso inicial?<br />
2. De un tanque lleno de agua se utilizan 210 litros. Si después de eso aún le quedan 420<br />
litros, ¿cuál es la capacidad del tanque?<br />
3. Se calcula que una cosecha será de x toneladas de maíz. Si debido a una sequía sólo<br />
se cosecharon 450 toneladas y se sabe que se perdieron 85, ¿cuánto maíz se habría<br />
cosechado si no hubiese habido sequía?<br />
149<br />
MATEMÁTICAS
Compara tus respuestas con las de la clave para que verifiques si tienes errores. En caso de<br />
duda, consulta con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
38<br />
(103-1)<br />
UN FACTOR DESCONOCIDO<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
1. 71 kg; 2. 630 l ; 3. 535 toneladas.<br />
Ecuaciones de las forma ax = b y a ÷ x = c<br />
Obtención del valor de un factor<br />
Muchos problemas se traducen al lenguaje matemático para buscar su solución y, al hacerlo,<br />
se obtienen ecuaciones. Al plantear y resolver acertadamente la ecuación, queda solucionado<br />
el problema. De esto se desprende que el manejo adecuado de las ecuaciones es necesario.<br />
RECUERDA. Resuelve mentalmente el siguiente problema, luego plantea en tu cuaderno la<br />
ecuación correspondiente y resuélvela.<br />
Sebastián tenía 82 canicas. Regaló algunas a su hermano y ahora tiene 53. ¿Cuántas canicas<br />
regaló?<br />
Revisa tu solución con un compañero de otra fila y corrige si es necesario.<br />
Observa el video. Luego comenta con el compañero más cercano lo que consideres<br />
interesante.<br />
Integra una terna y realiza una lectura comentada del texto:<br />
ECUACIONES DE LA FORMA ax = b y a ÷ x = c<br />
Pedro estaba estudiando para un examen de Física. Al llegar al tema de la densidad, se<br />
encuentra con este problema:<br />
¿Cuál es el volumen de 81.9 g de aceite de olivo si su densidad es de 0.91?<br />
En tus apuntes encuentra qué es densidad y la fórmula para obtenerla, cuando se conocen<br />
la masa (m) y el volumen (v) de un cuerpo.<br />
150
d m<br />
= masa por unidad de volumen<br />
v<br />
Se tiene entonces:<br />
g<br />
d = 091 . 3 cm<br />
O sea:<br />
0.91 g<br />
cm<br />
Las unidades en que se mide la masa y la densidad (g y g<br />
) por comodidad, no se<br />
3 cm<br />
manejan durante el procedimiento para resolver la ecuación, solamente se trabaja con los<br />
números y al final se escribe la unidad correspondiente al resultado.<br />
Esta expresión es una ecuación en la cual el primer miembro es 0.91 y el segundo es<br />
151<br />
81 9 .<br />
x .<br />
La igualdad tiene la propiedad simétrica que dice: los dos miembros de una igualdad pueden<br />
cambiar sus lugares, sin que ésta se altere. Así que se puede expresar como:<br />
Como<br />
3<br />
81. 9<br />
= 091 .<br />
x<br />
81. 9<br />
= 091 . es lo <strong>mismo</strong> que 81.9 ÷ x, la igualdad puede verse 81.9 ÷ x = 0.91<br />
x<br />
Se trata de una ecuación de la forma a ÷ x = c, donde a y c representan cantidades conocidas<br />
siendo x una cantidad desconocida. Es una división en la que se conoce el dividendo<br />
(81.9) y el cociente (0.91), pero se desconoce el divisor (x).<br />
81.9 ÷ x = 0.91<br />
dividendo divisor cociente<br />
En toda división, el dividendo es un producto de dos factores: el divisor y el cociente.<br />
Por lo tanto:<br />
; m = 81. 9 g; v = x<br />
= 81 9<br />
.<br />
x<br />
g<br />
El dividendo entre el divisor es igual al cociente.<br />
D ÷ d = c<br />
MATEMÁTICAS
Y el dividendo entre el cociente es igual al divisor<br />
x = 90<br />
Lo cual se puede comprobar porque:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
0.91 × 90 = 81.90 = 81.9<br />
De acuerdo con esto, la solución del problema es 90 cm 3 .<br />
Por otra parte, se aprecia que en una ecuación de la forma a ÷ x = c, la solución es:<br />
x = a ÷ c<br />
Por ejemplo, podríamos decir: “si en una división el dividendo es 28 y el cociente, 7, ¿cuál es<br />
el divisor?”<br />
28 ÷ x = 7<br />
x = 28 ÷ 7<br />
x = 4<br />
Comprobación: 4 × 7 = 28<br />
Considérese ahora el siguiente problema:<br />
D ÷ c = d<br />
Como en la ecuación se desconoce el divisor, al aplicar D ÷ c = d se tiene:<br />
81.9 ÷ 0.91 = c<br />
Por la propiedad simétrica de la igualdad x = 81.9 ÷ 0.91<br />
Como 81.9 = 819 décimos, si cada 10 se divide en diez partes se tienen 8 190 centésimos,<br />
mientras que 0.91 = 91 centésimos, entonces se puede dividir mediante el algoritmo de los<br />
números naturales.<br />
o también<br />
90<br />
91 8 190<br />
000<br />
8 190 91<br />
0 000 90<br />
¿Se han comprado 12 gallinas en $216 000. ¿Cuál es el precio de cada una?<br />
152
Aquí se entiende que 12 veces el precio de una gallina da como resultado $216 000. Por lo<br />
tanto, el enunciado del problema se puede expresar como:<br />
12x = $216 000, en donde x representa el precio que se desconoce.<br />
La ecuación 12x = 216 000 tiene la forma ax = b, en donde a y b representan cantidades<br />
conocidas, siendo x una cantidad desconocida.<br />
12x = 216 000<br />
Se trata de un producto de dos factores, en donde uno de ellos es desconocido. Como el<br />
valor de uno de los factores se obtiene dividiendo al producto entre el otro factor, se tiene:<br />
x = 216 000 ÷ 12<br />
216 000 12<br />
096 18 000 entonces x = 18 000<br />
00<br />
Al realizar 18 000 × 12 = 216 000, se comprueba que 18 000 es la solución.<br />
O sea que el precio de cada gallina es de $18 000.<br />
Y también se aprecia que la solución de una ecuación de la forma ax = b es:<br />
Por ejemplo:<br />
x = b ÷ a<br />
42x = 126<br />
x = 126 ÷ 42<br />
x = 3<br />
Comprobación: 42 × 3 = 126<br />
Las ecuaciones se aplican en la solución de muchos problemas. Por lo tanto es conveniente<br />
lograr comprensión y soltura en el tratamiento de las mismas.<br />
Con la misma terna, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones.<br />
a) En la ecuación ax = b, ¿qué representan a y b?<br />
b) En la ecuación a ÷ x = c, ¿qué representa x?<br />
c) En la ecuación ax = b, ¿qué representa cada una de las literales?<br />
153<br />
MATEMÁTICAS
d) La solución de la ecuación ax = b, ¿cuál es?<br />
e) La solución de la ecuación a ÷ x = c, ¿cuál es?<br />
Muestra tus respuestas a un compañero de otra terna y, si tienes errores, corrígelos.<br />
Continúa en terna y encuentra la solución de los siguientes problemas mediante<br />
el planteamiento de una ecuación.<br />
a) En una escuela se vendieron 1 285 estampillas de la Cruz Roja. Si se recaudaron<br />
$1 542 000, ¿cuál es el valor de cada estampilla?<br />
b) El área de un terreno de forma rectangular es de 140 m 2 y su altura es de 7 m, ¿cuánto<br />
mide de base?<br />
Revisa tu trabajo con los integrantes de otra terna. Corrige si es necesario.<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas mediante<br />
el planteamiento de las ecuaciones correspondientes.<br />
a) En un terreno de 3 250 m 2 se han construido 13 casas. Si se destinó la misma cantidad<br />
de terreno para todas las casas, ¿cuántos metros cuadrados se emplearon para cada<br />
una?<br />
b) La producción de una fábrica de bombillos es de 87 000 al mes; si se distribuyen en 15<br />
bodegas que tienen la misma capacidad, ¿cuántos bombillos se guardan al mes en<br />
cada bodega? Compara tus resultados con los de la clave y, si se requiere, corrige.<br />
CLAVEa) 250 m 2 ; b) 5 800 bombillos.<br />
39<br />
(104-1)<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
Problemas que se resuelven planteando una ecuación<br />
Aplicar la resolución de ecuaciones<br />
La representación simbólica de la relación que existe entre cantidades conocidas y desconocidas<br />
(de las que se habla al describir una situación problemática) representa dar un gran<br />
paso hacia la solución del problema.<br />
Observa el video y, cuando termine, intercambia ideas con dos compañeros en<br />
relación con lo que te haya parecido más importante.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
154
Forma un equipo de trabajo y plantea en tu cuaderno una ecuación que represente<br />
el enunciado de cada uno de lo siguientes problemas.<br />
a) Un bus recorrió 980 km en 14 h, ¿cuál es su velocidad?<br />
b) Un comerciante ha vendido 28 cajas de aceite por $2 688 000, ¿a qué precio vendió<br />
cada caja?<br />
c) En una construcción se han pegado 84 840 tabiques en 7 días. ¿Cuántos tabiques se<br />
han colocado cada día?<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros de otro equipo y, en caso de error,<br />
corrige.<br />
Con el <strong>mismo</strong> equipo de trabajo, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.<br />
Plantea la ecuación y verifica por medio de la calculadora de bolsillo.<br />
a) Un automóvil recorrió 1 800 km a una velocidad promedio de 150 km por hora, ¿cuántas<br />
horas duró el recorrido?<br />
b) El comité de acción social de una escuela mandó hacer 54 uniformes para los participantes<br />
en una tabla rítmica y pagó $1 990 000 en total. ¿Cuál fue el costo de cada<br />
uniforme?<br />
Revisa tus resultados con los de otro equipo. Los errores que encuentres, corrígelos.<br />
Individualmente, resuelve y comprueba los siguientes problemas en tu cuaderno.<br />
Para cada uno de ellos plantea la ecuación que los represente en lenguaje<br />
simbólico. Verifica las soluciones utilizando tu calculadora de bolsillo.<br />
a) Los padres de familia de una escuela primaria mandaron impermeabilizar los techos de<br />
las aulas y pagaron $1 955 000. Si cada uno aportó $85 000, ¿cuántos padres de<br />
familia cooperaron?<br />
b) En una ferretería hay un recipiente que contiene 151.4 l de aguarrás. Para ponerlo a la<br />
venta, lo repartieron en 40 envases con igual capacidad, ¿qué cantidad de aguarrás<br />
hay en cada envase?<br />
c) Las autoridades de una comunidad organizaron un concierto con motivo del inicio de la<br />
Navidad. Asistieron 1 023 personas y se recaudaron $8 184 000, ¿cuál fue el costo de<br />
la entrada?<br />
Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, rectifica y corrige donde sea<br />
necesario.<br />
155<br />
MATEMÁTICAS
Puedes usar tu calculadora para verificar.<br />
CLAVE<br />
40<br />
(105-1)<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
a) 23 padres de familia; b) 3.785 l ; c) $8 000.<br />
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR<br />
LAS MATEMÁTICAS<br />
Repaso parcial<br />
Integración de los conocimientos adquiridos<br />
Afirmar los conocimientos es muy conveniente. Una forma de lograrlo es repasar los temas<br />
estudiados con anterioridad, ya que al hacerlo se aprecian con mayor claridad algunos<br />
aspectos que pueden impedir que el manejo y aplicación de los conceptos sea eficaz.<br />
Observa el video, en el cual se presentarán algunos temas de este núcleo que<br />
ya has visto. Al término del programa, intercambia ideas con el grupo en relación<br />
con los aspectos que más te interesan.<br />
Forma una terna y resuelve los siguientes ejercicios.<br />
1. En las siguientes expresiones indica cuál es la operación que debe realizarse primero.<br />
Escríbelas en tu cuaderno y halla sus resultados.<br />
a) 11 + 6 × 5 2 – 3<br />
b) (4 + 7) + 3<br />
c) 20 + [(60 – (5 – 3))]<br />
d) Simplifica la expresión (54 – 36) 11<br />
e) Sustituye el valor de las literales en las siguientes expresiones y encuentra las respuestas<br />
correspondientes.<br />
m n m + n m – n<br />
1 –3<br />
2 5<br />
–4 1<br />
Revisa tus respuestas con un compañero de otra terna. Si hay errores, corrígelos.<br />
156
f) 23 + x =138<br />
g) 82 – x = 10.25<br />
h) 14x = 9.8<br />
i) 42 ÷ x = 1.5<br />
Continúa en terna para que resuelvas y compruebes las siguientes ecuaciones<br />
en tu cuaderno. Verifica las soluciones en tu calculadora.<br />
Muestra tus resultados a los integrantes de otra terna y corrige lo que sea necesario.<br />
Con un(a) compañero(a) realiza lo que se te pide. Trabaja en tu cuaderno.<br />
1. Traduce al lenguaje simbólico las siguientes expresiones del lenguaje común.<br />
j) El doble de un número, menos el triple de otro.<br />
k) La mitad de una cantidad, menos el cuadrado de otra.<br />
l) La edad de una persona es igual a la tercera parte de la edad de otra, menos 5 años.<br />
m) El cuadrado de un número más 8 es igual a 24.<br />
n) Un número más su mitad es igual a 13.5<br />
2. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, Para cada uno plantea la ecuación<br />
correspondiente a su enunciado. Verifica la solución por escrito y con tu calculadora,.<br />
o) Un comerciante ganó $1 895 000.25 durante la primera semana de cierto mes. Al<br />
terminar, sus ganancias habían ascendido a $6 230 726.75, ¿cuánto ganó después de<br />
esa primera semana?<br />
p) En una escuela primaria se inscribieron 1 028 alumnos y durante el año se retiraron 87,<br />
¿cuántos alumnos terminaron el curso?<br />
q) José compró un terreno en $28 250 000. Después de 9 años lo vendió en $113 000 000,<br />
¿cuántas veces ha aumentado el valor original del terreno?<br />
r) Un grupo de 23 personas organizan una excursión, para lo cual alquilan un transporte<br />
que les cobra $1 955 000 por el viaje, ¿Cuánto tiene que pagar cada persona?<br />
Compara tus respuestas con los de la clave y corrige lo que sea necesario.<br />
157<br />
MATEMÁTICAS
CLAVE<br />
41<br />
(106-1)<br />
13. 5;<br />
o) $1 065.35; p) 941 alumnos; q) 4 veces; r) $85 000<br />
2<br />
y<br />
+ =<br />
f) x = 115; g) x = 71.75; h) x = 0.7; i) x = 28; j) 2a – 3b;<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
− 5<br />
3 ; m) c2 + 8 = 24; n) y<br />
m n m + n m – n<br />
1 –3 –2 4<br />
2 5 7 –3<br />
–4 1 –3 –5<br />
a) 52 ; b) (4 + 7); c) (5 – 3); d) 198;<br />
e)<br />
¡DEMUESTRA QUE SABES!<br />
Demostración del aprendizaje dado<br />
Evaluación personal de los avances logrados<br />
− ; l) x<br />
k) m n<br />
En esta sesión podrás conocer lo que has asimilado respecto a los números con signo y los<br />
temas de preálgebra.<br />
Ten presente que en las evaluaciones de núcleo se trabaja simultáneamente con el video,<br />
con el libro de matemáticas y con tu cuaderno; en este último deberás contestar las preguntas<br />
que se formulen.<br />
Observa la información que presenta el video. Es importante para tu evaluación.<br />
Atiende atentamente las instrucciones para resolver la primera parte del<br />
cuestionario.<br />
I. Haz este cuadrado en tu cuaderno y escribe en el recuadro de cada casilla el número<br />
de la pregunta correspondiente.<br />
–35<br />
( )<br />
PARÉNTESIS<br />
[ ]<br />
LETRAS<br />
ADICIÓN 0 <<br />
31 ENTEROS<br />
POSITIVOS<br />
POTENCIA<br />
Obtén con los números de los recuadros las 3 sumas horizontales, las 3 sumas verticales y<br />
las 2 sumas diagonales. Si en todas obtienes 15, las respuestas de la primera parte son<br />
correctas.<br />
158<br />
y<br />
=<br />
2<br />
2
II. Escribe en tu cuaderno la frase completa y correcta que se produce en cada<br />
uno de estos ejercicios.<br />
1. Se relacionan con las ganancias en una transacción comercial:<br />
a) Enteros positivos b) El cero<br />
c) Enteros negativos d) Las operaciones<br />
2. Números que en la recta numérica se encuentran a la misma distancia del cero pero en<br />
sentidos opuestos.<br />
a) positivos b) negativos c) simétricos d) naturales<br />
3. Es una aproximación de la suma –507 con –890<br />
a) 300 b) –1 400 c) –300 d) 1 400<br />
4. Es el perímetro de un cuadrado que mide por lado 5 cm.<br />
a) 25 cm b) 16 cm c) 9 cm d) 20 cm<br />
5. Representa el triple de un número aumentado en 8 unidades.<br />
a)<br />
x<br />
3 8 + b)<br />
x + 8<br />
3<br />
c) 3x + 8 d) 3 (x + 8)<br />
III. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla, ten presente que el área del rectángulo<br />
se obtiene multiplicando la base por la altura:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
A = (b) (h)<br />
IV. Escribe en forma algebraica las siguientes expresiones.<br />
d) La suma de tres números<br />
e) El doble de un número<br />
f) El cociente de dos números<br />
V. Efec<strong>tú</strong>a las siguientes operaciones:<br />
g) (4 + 9) – (8 × 7 )=<br />
b h A<br />
3 2<br />
6 24<br />
6 54<br />
159<br />
MATEMÁTICAS
h) 4 + (9 – 8) × 7 =<br />
i) (4 + 9 – 8) × 7 =<br />
j) ¿Cómo son los números y los signos de las operaciones?<br />
k) ¿Cómo fueron los resultados de las tres operaciones?<br />
l) ¿Por qué?<br />
Espera las indicaciones de tu profesor para calificar.<br />
42<br />
(22)<br />
SIEMPRE POSITIVOS<br />
Producto de enteros<br />
Multiplicación de enteros con igual signo<br />
Multiplicar números positivos y negativos requiere de un cuidado especial; en esta sesión<br />
conocerás los casos de multiplicación de números enteros donde el producto siempre es<br />
positivo.<br />
RECUERDA. Contesta las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Cuáles son los elementos de una multiplicación?<br />
b) ¿Cuál es la diferencia entre el conjunto de los números naturales y el de los enteros?<br />
c) ¿Qué relación puedes establecer entre estos dos conjuntos de números?<br />
d) ¿Podrías decir que ya sabes cómo multiplicar dos enteros positivos?<br />
En seguida, discute con tus compañeros de grupo y tu profesor sobre la idea principal del<br />
programa.<br />
Reúnete en equipo de tres compañeros y realiza una lectura comentada del<br />
texto siguiente:<br />
PRODUCTO DE ENTEROS<br />
Dado que en la multiplicación de números enteros se manejan enteros positivos y enteros<br />
negativos, se pueden presentar los casos siguientes:<br />
1. Los factores tienen el <strong>mismo</strong> signo.<br />
2. Los factores tienen signos diferentes.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
160
Para facilitar la comprensión de la multiplicación entre enteros y especialmente saber cuál es<br />
el signo del producto, vamos a hacer las siguientes consideraciones.<br />
• Multiplicar por 2 o duplicar se simboliza +2x<br />
• Duplicar y cambiar de sentido se simboliza –2x<br />
Hemos definido así dos operaciones: multiplicar por +2 y multiplicar por –2.<br />
1. Representemos en la recta numérica el procedimiento de aplicarle al entero +4 las dos<br />
operaciones anteriormente definidas.<br />
Trabaja simultáneamente en tu cuaderno, no te conformes con la mera lectura. Ya sabes que<br />
para aprender es necesario practicar.<br />
a) (+2) × (+4), ¿cuál es el duplo de +4?<br />
(+2) × ( +4) = +8. El 4 se duplica.<br />
b) (–2) × (+4), ¿cuál crees que será el resultado.<br />
(–2 ) × (+4) = –8. El 4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha.<br />
2. Ahora veamos qué pasa cuando al entero (–4) le aplicamos las operaciones +2x<br />
y –2x<br />
c) (+2) × (–4), ¿cuál crees que será el resultado?<br />
161<br />
MATEMÁTICAS
(+2 ) × (–4) = –8. El –4 se duplica.<br />
a) (–2) × (–4), ¿puedes dar el resultado y una explicación?<br />
(–2) × (–4) = + 8. El –4 se duplica y se invierte el sentido de la flecha<br />
Resumamos los cuatro casos:<br />
Signos iguales Signos diferentes<br />
(+ 2) × ( +4) = +8 (+2) × (–4) = –8<br />
(–2) × (–4) = +8 (–2) × (+4) = –8<br />
¿Empiezas a elaborar alguna conclusión? ¡Escríbela!<br />
3. Resolvamos algunos problemas, utilizando los números enteros y sus operaciones.<br />
a) Si se considera el depósito en un banco como positivo, entonces, ¿cuál sería el estado<br />
de cuenta de un señor que durante cinco días depositó $750 000.<br />
Esta situación se resuelve con una multiplicación de números enteros, de donde:<br />
(+ 5) (750 000) = 3 750 000<br />
Observa que el uso de paréntesis evita utilizar el signo de la multiplicación ( × ).<br />
Este producto también pudo haberse representado así:<br />
(+5) 750 000 o también 5 × 750 000 o + 5 (750 000)<br />
El estado de cuenta del señor después de los cinco días es de $3 750 000.<br />
b) Esta otra situación es bien especial: considerando un retiro bancario como negativo,<br />
una persona retira del banco $500 000 diariamente durante seis días, ¿cuál era su<br />
estado de cuenta antes de retirar estas cantidades?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
162
Nótese que hace retiros diarios (–$500 000) durante 6 días ya pasados (–6), entonces:<br />
(–6) (–500 000) = 3 000 000<br />
Días pasados retiro cantidad que tenía antes<br />
c) Aplica la propiedad distributiva para resolver:<br />
(–4) × [6 + (–5)]<br />
(–4) × [6 + (–5)] = (–4) × 6 + ( –4) × (–5), operando en ambos miembros<br />
(–4) × 1 = –24 +<br />
(-4) = –24 +<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
1234567<br />
¿Cuál número debe esconder la tarjeta para que se cumpla la igualdad?<br />
Debe ser –20, porque:<br />
(–4 ) = –24 + 20 entonces (–4) × (–5) = +20<br />
Observa que 20 es el resultado de multiplicar los valores absolutos de (–4) y (–5):<br />
I –4 I × I –5 I = 4 × 5 = 20<br />
En resumen:<br />
Para multiplicar dos enteros se multiplican sus valores absolutos. Si los números tienen<br />
igual signo, el resultado es positivo. Si tienen signos diferentes, el resultado es<br />
negativo.<br />
4. ¿Qué pasa cuando el 0 es factor?<br />
En la multiplicación entre números naturales recuerda que el 0 es “un aniquilador” porque<br />
anula al producto de los factores diferentes de él.<br />
¿Crees que con los enteros puede pasar algo similar?<br />
Veamos:<br />
(0) × (–3) 0 × 5<br />
(–5) × 0 5 × 0<br />
Para todo número entero a, a × 0 es = 0<br />
163<br />
MATEMÁTICAS
Siguiendo con el <strong>mismo</strong> equipo de trabajo discute y resuelve los ejercicios que<br />
a continuación se presentan:<br />
1. Representa en la recta numérica los siguientes productos:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
(–3) × (2) (–3) (–2)<br />
3 × (–2 ) (2 × 5)<br />
2. Expresa a –16 de tal manera que:<br />
−16 sea la suma de dos números enteros negativos.<br />
−16 sea la suma de dos enteros de signos diferentes.<br />
−16 sea la diferencia de dos números cuadrados.<br />
−16 sea el producto de tres números enteros.<br />
3. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.<br />
• Para lo que sea verdadero da un ejemplo.<br />
• Para lo que sea falso da un contraejemplo, es decir, un ejemplo que muestre su<br />
falsedad.<br />
a) El producto de un número por –1 es el opuesto de ese número.<br />
b) El producto de un número, diferente de 0, por su opuesto es negativo.<br />
c) El cuadrado de un número negativo es negativo.<br />
d) El cubo de un número negativo es negativo.<br />
Compara tus respuestas con las de los demás equipos y corrige tus errores.<br />
Haz en tu cuaderno los cuadros siguientes y en forma individual complétalos,<br />
haciendo los cálculos mentalmente.<br />
× 11 5 25 10<br />
4<br />
9<br />
7<br />
12<br />
1<br />
Corrige los errores que hayas tenido, según los resultados que proporcione tu profesor.<br />
164<br />
× –9 –4 –6 –20<br />
–5<br />
–8<br />
–1<br />
–15<br />
–2
Observa con interés el video y discute con tus compañeros y con tu profesor en<br />
qué aspectos se mejoró la comprensión de los conceptos propuestos en esta<br />
sesión.<br />
Encuentra, individualmente, los productos que se piden.<br />
1. (26 ) (14) =<br />
2. (–15) (–21) =<br />
3. (–46) (–91) =<br />
4. (80) (102) =<br />
5. (–94) (–78) =<br />
6. Un estanque se está desocupando a razón de 6 litros por hora.<br />
a) Después de cinco horas, ¿cuántos litros menos tendrá el estanque?<br />
b) Hace cuatro horas, ¿cómo estaba el contenido del estanque respecto al de ahora?<br />
7. La temperatura en París era –2 °C a las 8:00 a.m., en un día de otoño cuando la naturaleza<br />
verde parece haberse secado (se empieza a dormir para despertarse en primavera). Al<br />
anochecer la T.V. informó que hacía el triple de frío que en la mañana, ¿qué temperatura<br />
marcaba el termómetro?<br />
Comprueba tus resultados con la calculadora; si no coinciden, revisa tus procedimientos y la<br />
clave.<br />
CLAVE<br />
43<br />
(23)<br />
1. 364; 2. 315; 3. 4 186; 4. 8 160; 5. 7 332;<br />
6. a) 30 litros menos, b) 24 litros más; 7. –6 °C<br />
¿POSITIVO O NEGATIVO?<br />
Ley de los signos<br />
Establecimiento de la ley de los signos<br />
Ya viste cómo diversas situaciones nos llevan a multiplicar números enteros. ¿Qué se puede<br />
aplicar de la multiplicación de números naturales? ¿Qué es diferente? ¿Cuál es la forma<br />
más práctica de hacerlo? En esta sesión ampliarás las respuestas a estos interrogantes.<br />
RECUERDA. Resuelve con un(a) compañero(a), mentalmente, las siguientes multiplicaciones:<br />
(+4) (+3) = (–5) (–4) = –(3) ( 0) =<br />
(–1) (–1) = (+1) (+2) = (0) (3) =<br />
Intercambien sus resultados con los de otra pareja. Si hay diferencias, encuentren las explicaciones<br />
y corrijan donde sea necesario.<br />
165<br />
MATEMÁTICAS
LEY DE LOS SIGNOS<br />
Lee en silencio el texto:<br />
En la multiplicación de números enteros, se emplean las mismas tablas de multiplicar que se<br />
usan para los números naturales. Pero ya vimos que debe establecerse también si el producto<br />
es positivo o negativo. Ejemplo:<br />
Un empleado pierde $2 500 cada vez que tiene un retardo en la hora de entrada a su trabajo.<br />
Ha llegado tarde durante cuatro días en un mes. ¿Cuánto dinero ha perdido ese mes?<br />
Una forma de obtener la respuesta es realizar una adición.<br />
( –2 500) + (–2 500) + (–2 500) + (–2 500) = –10 000<br />
Esta adición equivale a una multiplicación en la cual los factores son cuatro y –2 500, sin<br />
importar el orden. Por lo tanto:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
4 (–2 500) = –10 000 y – 2 500 × 4 = –10 000<br />
Se observa, como ya lo habíamos dicho, que si uno de los factores es positivo y el otro<br />
negativo el producto es negativo.<br />
Lo que hasta aquí se ha expresado con respecto de la multiplicación de enteros hace notorio<br />
que hay dos casos diferentes.<br />
1. Cuando los factores tienen el <strong>mismo</strong> signo.<br />
2. Cuando los factores tienen diferente signo.<br />
Repasemos estos casos, realizando los siguientes productos:<br />
a) Multiplicar (+4) (+2)<br />
b) Multiplicar (–3) (–2)<br />
c) Multiplicar (–5) (+2)<br />
d) Multiplicar (+3) (–4)<br />
Hagamos una interpretación del significado de cada producto:<br />
(+4) (+2) se puede pensar como: cuadruplicar +2<br />
(–3) (–2) se puede pensar como: el opuesto de triplicar –2<br />
(–5) (+2) se puede pensar como: el opuesto de quintuplicar +2<br />
(+3) (–4) se puede pensar como: triplicar –4<br />
166
Así tendremos:<br />
(+4) (+2) = +18 (–5) (+2) = –10<br />
(–3) (–2) = +6 (+3) (–4) = –12<br />
signos iguales, signos diferentes,<br />
el producto es positivo el producto es negativo<br />
En todos los casos el producto se obtuvo multiplicando los valores absolutos de los dos<br />
enteros. Para determinar el signo se tiene en cuenta la denominada ley de los signos para<br />
la multiplicación expresada en esta sencilla tabla.<br />
Por último, cuando se tienen que multiplicar más de dos factores se obtiene el producto de<br />
dos de ellos, dicho producto se multiplica por el siguiente y así hasta terminar.<br />
(–3) (–2)<br />
(–6)<br />
El amigo de mi amigo es mi amigo.<br />
El enemigo de mi amigo es mi enemigo.<br />
El amigo de mi enemigo es mi enemigo.<br />
El enemigo de mi enemigo es mi amigo.<br />
( + ) ( + ) = +<br />
( – ) ( – ) = +<br />
( + ) ( – ) = –<br />
( – ) ( + ) = –<br />
(+5)<br />
(+30)<br />
Pepe me dijo que su profesor de álgebra le había<br />
enseñado esto:<br />
¡Esto sólo lo aplico con los números enteros!<br />
Forma un grupo de tres integrantes y en tu cuaderno elabora una tabla de<br />
multiplicar para los números enteros siguientes:<br />
167<br />
(–4) = –120<br />
(–120)<br />
MATEMÁTICAS
× –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4<br />
–4<br />
–3<br />
–2<br />
–1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Comenta tus anotaciones de la tabla con compañeros de otro grupo. Si hay diferencias,<br />
discútelas. Si te falta tiempo, continúalo como trabajo extraclase. Si hay dudas, consulta con<br />
tu profesor.<br />
Observa el video, tratando de captar lo esencial; al terminar, participa en un<br />
breve comentario general con todo el grupo.<br />
Según lo presentado en el video, resuelve gráficamente las siguientes multiplicaciones;<br />
trabaja con el <strong>mismo</strong> grupo.<br />
(–2) (–4) = (–2) (+3) =<br />
Compara tu trabajo con el de otra terna de compañeros(as).<br />
¿Cómo les parece esta otra forma de representar gráficamente la multiplicación de números<br />
enteros?<br />
1. De manera individual, observa con atención las gráficas y anota en los espacios<br />
en blanco los factores y el producto que están representados en<br />
cada una.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
168
2. Encuentra mentalmente el valor de x que satisface la igualdad.<br />
a) (x – 5) × 5 = –100 b) (x + 3) × (–5) = 10 c) (x + 4) × 7 = 0<br />
d)<br />
x + 2<br />
= 3<br />
7<br />
e)<br />
x − 4<br />
= 1<br />
8<br />
f) x<br />
+ 8 = 17<br />
3<br />
Muestra tus respuestas al profesor. Si hay algún error, realiza la corrección correspondiente.<br />
CLAVE<br />
44<br />
(24)<br />
REPARTIR PÉRDIDAS Y GANANCIAS<br />
169<br />
2. a) –15; b) –5; c) –4; d) 19; e) 12; f) 27.<br />
Cociente de enteros<br />
Establecimiento de la ley de los signos en la división<br />
Seguramente las operaciones básicas han resuelto muchos problemas de tu vida diaria. En<br />
esta sesión la división de enteros te auxiliará a solucionar otras situaciones.<br />
Ve el programa de televisión y observa la facilidad con la que puedes dividir<br />
números enteros una vez que conoces la ley de los signos.<br />
Con otro compañero, lee el texto que viene a continuación.<br />
MATEMÁTICAS
COCIENTE DE ENTEROS<br />
Cociente es el resultado de una división y ésta es una operación que está íntimamente<br />
relacionada con la multiplicación.<br />
Analícese el siguiente problema que muestra esa relación:<br />
Una persona adquiere una deuda de $3 500 000 y el compromiso de cubrirla en siete pagos<br />
iguales. ¿De qué cantidad deberá ser cada pago?<br />
La deuda se presentará como una cantidad negativa, o sea, –3 500 000 y los siete pagos<br />
como +7.<br />
De manera que la situación se puede representar así:<br />
(+7) (x) = –3 500 000, donde x es la cantidad que se desea conocer.<br />
Esto es una multiplicación en la que se desconoce un factor, pero se tiene el otro factor y el<br />
producto de ambos.<br />
( +7) (x) = –3 500 000<br />
factor factor producto<br />
conocido desconocido<br />
Para encontrar el factor desconocido se realiza una división donde el producto se convierte<br />
en dividendo y el factor conocido, en divisor.<br />
(–3 500 000) ÷ (+7) = x<br />
De esta forma se sabe que los pagos serán de $500 000, pero esto representa una salida<br />
por lo que el valor de x será de –500 000, porque:<br />
–3 500 000 ÷ (+7) = –500 000<br />
Dicho de otra forma, si siete es positivo y el producto de él con otro factor es negativo, por la<br />
ley de los signos en la multiplicación se tiene que (+) (–) = –; así que el signo correspondiente<br />
a la incógnita será negativo.<br />
Por otra parte, si el problema se hubiese planteado como una deuda de $3 500 000, que se<br />
cubrirá con pagos de 500 000, y se deseara saber cuántos pagos se tendrán que realizar,<br />
entonces el procedimiento sería el siguiente:<br />
(–500 000 ) (x) = –3 500 000, donde –500 000 y –3 500 000 son deudas y por eso se<br />
representan como negativos.<br />
De donde: (–3 500 000 ) ÷ (–500 000) = +7.<br />
El valor de x es +7, o sea, serán siete pagos de $500 000 los que cubran la deuda<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
170
de $3 500 000. (Se considera positivo el siete, porque representa sólo una enumeración<br />
de eventos que se suceden.)<br />
Relacionando la situación anterior con la ley de los signos en la multiplicación de enteros se<br />
tiene: (–) (+) = –, así que el signo en el recuadro es el que corresponde a la incógnita.<br />
Lo anterior muestra que la división es la operación inversa de la multiplicación:<br />
Multiplicación División<br />
(–500 000 ) (x) = –3 500 000 (–3 5000 000) ÷ –500 000 = +7<br />
factor factor<br />
conocido desconocido producto dividendo divisor cociente<br />
Al dividir números enteros, se presentan los siguientes casos:<br />
a) Que el dividendo y el divisor sean positivos.<br />
(+4) ÷ (+2) = + 2, porque (+2) (+2) = +4<br />
(+20) ÷ (+5) = + 4, porque (+5) (+4) = +20<br />
b) Que el dividendo y el divisor sean negativos.<br />
(–10) ÷ (–2) = +5, porque (–2) (+5) = –10<br />
(–15) ÷ (–5) = +3, porque (–5) (+3) = –15<br />
c) Que el dividendo sea positivo y el divisor sea negativo.<br />
45 ÷ (–9) = –5, porque (–9) (–5) = + 45<br />
18 ÷ (–2) = –9, porque (–2) (–9) = + 18<br />
d) Que el dividendo sea negativo y el divisor positivo.<br />
(–36) ÷ (+6) = –6, porque (+ 6) (–6) = –36<br />
(–81) + (+9) = –9, porque (+ 9) (–9) = –81<br />
Por lo que se puede decir que:<br />
( + ) ÷ ( + ) = +<br />
( – ) ÷ ( – ) = +<br />
( + ) ÷ ( – ) = –<br />
( – ) ÷ ( + ) = –<br />
Lo anterior se conoce como ley de los signos para la división de números enteros.<br />
171<br />
MATEMÁTICAS
Comenta con tu grupo la relación que hay entre esta ley y la ley de los signos de la multiplicación.<br />
Resuelve con tu compañero los ejercicios siguientes:<br />
1. Completa las siguientes expresiones, aplicando la ley de los signos en la división:<br />
a) Si ( + ) ( + ) = +, entonces + ÷ + =<br />
b) Si ( + ) ( – ) = –, entonces – ÷ = –<br />
c) Si ( – ) ( + ) = –, entonces ÷ – = +<br />
d) Si ( – ) ( – ) = +, entonces + ÷ – =<br />
En tu cuaderno, escribe y completa los siguientes enunciados:<br />
a) Al dividir un números positivo entre otro positivo el cociente será...<br />
b) Si se divide un número positivo entre uno negativo, el cociente tendrá signo...<br />
c) El cociente de un número negativo entre uno positivo tendrá signo...<br />
d) Si se divide un número negativo entre otro negativo el cociente será...<br />
Consulta con tu profesor tus respuestas. Discute las diferencias que hayas tenido y corrige si<br />
hay errores.<br />
Con el <strong>mismo</strong> compañero, resuelve en tu cuaderno los ejercicios que están en<br />
seguida.<br />
1. Encuentra mentalmente el factor desconocido en cada una de las siguientes multiplicaciones<br />
y anótalo en el paréntesis correspondiente.<br />
a) (–8 ) ( ) = –32 b) ( ) ( 9 ) = –18<br />
c) (–12) ( ) = –72 d) (15) ( ) = –75<br />
2. Efec<strong>tú</strong>a las operaciones mentalmente, escribe el resultado y justifícalo.<br />
a) (16) ÷ (2) = e) (–81) ÷ (9) =<br />
b) (32) ÷ (4) = f) (63) ÷ (–3) =<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
172
c) (60) ÷ (3)= g) (–30) ÷ (5) =<br />
d) (81) ÷ (9) = h) (56) ÷ (–7) =<br />
¿Cómo encontraste el signo de las divisiones anteriores? Revisa tus resultados, comparándolos<br />
con los de otros compañeros. Si hay errores, corrígelos.<br />
Resuelve individualmente, en tu cuaderno, los ejercicios siguientes:<br />
1. Realiza las divisiones siguientes mentalmente y escribe el cociente:<br />
a) (–36) ÷ (6) = b) (–39 ÷ (–13) =<br />
c) (48) ÷ (–3) = d) (63) ÷ (9) =<br />
2. Resuelve el problema siguiente, teniendo en cuenta que puedes utilizar los números enteros.<br />
Tres hermanos establecieron un negocio con participaciones iguales. Si contrajeron una deuda<br />
de $42 735 000, ¿cuánto deberá pagar cada uno?<br />
a) ¿Con qué signo se expresa la cantidad de personas que participaron? ¿Por qué?<br />
b) ¿A qué cantidad asciende la deuda y qué signo lleva? ¿Por qué?<br />
c) ¿Qué operación se debe realizar para encontrar el resultado?<br />
d) ¿Qué signo tiene y por qué?<br />
e) ¿Cuál es el resultado?<br />
Compara tus resultados con los de la clave. Si no coinciden, realiza nuevamente los procedimientos.<br />
CLAVE<br />
1. a) –6, b) –16, c) 3, d) 7; 2. a) Positivo, porque es el conteo de personas,<br />
b) $42 735, negativo, porque es una deuda, c) División, d) Negativo, porque<br />
– ÷ + = –, e) –$14 245.<br />
173<br />
MATEMÁTICAS
45<br />
(25)<br />
RESUÉLVELOS TÚ MISMO<br />
Problemas con enteros<br />
Aplicación de las operaciones fundamentales con los enteros<br />
Solucionar problemas es parte de nuestra vida diaria y nos ejercita en la labor de comprenderlos<br />
y analizarlos.<br />
Observa con atención el video que te mostrará cómo solucionar problemas con<br />
los números enteros.<br />
RECUERDA. Contesta, individualmente y en forma breve, las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Qué signo corresponde a la suma de un entero positivo y uno negativo?<br />
(–18) + 10 18 + (–10) (–20) + 35 20 + (–35)<br />
b) ¿Qué sucede con el signo de un número entero cuando lo antecede el signo negativo?<br />
el op (+5) el op (–7) el op (+16) el op (–9).<br />
c) ¿Qué signo corresponde al producto de dos números con igual signo?<br />
(–3 ) (–5) (–1) (–4) (–6) (–1) 3 × 8<br />
d) ¿Qué signo corresponde al cociente de dos números con signo diferente?<br />
(–18) ÷ 2 24 ÷ (–8) (–45) ÷ 9 36 ÷ (–3)<br />
Lee en voz alta tus respuestas y corrígelas si son erróneas.<br />
Reúnete con un(a) compañero(a), según te indique tu profesor(a), y resuelve<br />
en tu cuaderno los siguientes problemas:<br />
a) ¿Qué número se tendrá que sumar a –67 para que el resultado sea –28. (Al finalizar<br />
comprueba tu respuesta en la calculadora).<br />
¿Su valor absoluto será mayor o menor que el de –67?<br />
¿Se debe realizar una adición o una sustracción de valores absolutos?<br />
¿Cuál es el número buscado?<br />
b) Si de un tanque de 60 l de diésel se consumen 24 l , después se le introducen 20 l y se<br />
consumen 53, ¿cuántos litros de diésel quedaron en el tanque? (Resuélvelo mentalmente.)<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
174
c) ¿Qué número multiplicado por 12 da como producto 36?<br />
¿Cómo se obtiene el factor desconocido, si se conoce uno y el producto de ambos?<br />
¿Qué signo tiene el resultado?<br />
¿Qué signo deberá tener el factor desconocido según la ley de los signos?<br />
¿Cuál es el número solicitado?<br />
d) En el desierto de los Leones la temperatura registrada en un día presentó las siguientes<br />
variaciones: a las 9 horas fue de 10 °C, a las 15 horas subió 22 °C, hasta las 17<br />
horas bajó 20 °C y hasta las 3 de la mañana bajó 25 °C más. ¿Cuál era la temperatura<br />
a las 3 de la mañana? Anota el signo que corresponda al resultado.<br />
e) ¿Cuál será el número que dividido entre –6 dé como cociente 138?<br />
f) En un negocio se registraron pérdidas de $854 830 en una semana, obtén el promedio<br />
diario. (Considera los siete días).<br />
¿Qué operación deberás realizar?<br />
g) ¿Cómo representarías con números enteros las pérdidas?<br />
Comprueba tu resultado en la calculadora.<br />
Anota tus resultados en el pizarrón y comenta el procedimiento seguido para su obtención.<br />
Si hay desacuerdo con tus compañeros, recurre a tu profesor(a).<br />
46<br />
(26)<br />
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR<br />
LAS MATEMÁTICAS<br />
Evaluación parcial<br />
Integración de los conocimientos adquiridos<br />
En todo proceso de aprendizaje es importante hacer un alto para evaluar y reflexionar sobre<br />
los temas que se han visto y recordar lo más relevante de cada uno de ellos.<br />
Observa el video. En él se hace una remembranza de los temas aritméticos<br />
tratados.<br />
Comenta brevemente con tu profesor y tus compañeros lo más importante de cada tema.<br />
175<br />
MATEMÁTICAS
I. Con dos compañeros(as), contesta en tu cuaderno lo que se pide; en caso de<br />
duda, consulta las lecturas pertinentes con tu profesor(a).<br />
1. ¿Cómo se determina el orden de magnitud de un número?<br />
2. ¿Cómo es el orden de magnitud del resultado de una adición en relación con el de los<br />
sumandos?<br />
3. Escribe: ¿a qué se llama divisor de un número? Si el divisor es 17, ¿cuáles valores<br />
puede tomar el residuo?<br />
4. ¿Cómo obtienes los múltiplos de un número?<br />
5. ¿Cuál es la diferencia entre los números primos y los números compuestos?<br />
6. ¿Qué diferencia existe entre la factorización para encontrar el mcm y el MCD de dos o<br />
más números?<br />
7. ¿Cuáles son los cuatro casos que se manejan en la ley de los signos?<br />
8. Comenta con tus compañeros de grupo el procedimiento que empleas para obtener el<br />
resultado de cada una de las operaciones con números enteros. En cada caso da<br />
ejemplos que ilustren tus comentarios.<br />
a) Adición con sumandos de diferente signo<br />
b) Sustracción<br />
c) Multiplicación<br />
d) División<br />
Compara tus respuestas con las de otro grupo, si hay diferencias, analiza tus resultados;<br />
corrige si hay errores.<br />
II. Continúa trabajando individualmente y resuelve los siguientes ejercicios:<br />
1. Escribe el orden de magnitud de los siguientes números:<br />
a) 4 978 b) 12 836<br />
2. Si se suman los números anteriores, ¿cuál será la estimación del orden de magnitud de<br />
su resultado? (No hagas operaciones).<br />
3. Factoriza el número 90.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
176
4. Obtén el mcm y el MCD de los siguientes números: 120 y 80.<br />
5. Efec<strong>tú</strong>a las siguientes operaciones:<br />
a) 42 + (–8) – (+30) = b) 8(–6) (–4) c) −120<br />
30 =<br />
Compara tus respuestas con las de un compañero y corrige tus errores. Comenta las dificultades<br />
con tu profesor(a).<br />
III. En forma individual, resuelve los siguientes problemas:<br />
1. Dos cintas de 50 m y 80 m de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la<br />
mayor longitud posible.<br />
a) ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?<br />
b) ¿Cuántos pedazos se obtienen en total?<br />
2. Amalia tenía un saldo a favor de $500 000 en su cuenta bancaria; en seguida depositó<br />
$180 000 y giró cheques por $400 000 y $350 000; al día siguiente depositó $290 000<br />
¿Cuál es su nuevo saldo? ¿A favor o en números rojos?<br />
3. Una empresa comercial presenta ingresos diarios de $548 000 en promedio. ¿Qué<br />
ingresos obtiene al cabo de 21 días de trabajo?<br />
4.<br />
5.<br />
¿QUIÉN SOY?<br />
Si me multiplicas por –1 y me aumentas<br />
en 1 000 el resultado es 999.<br />
¿Cuál es?<br />
Escogí un número al cual le resté 12 y luego multipliqué el<br />
resultado por –9. Obtuve 900, ¿cuál fue el número escogido?<br />
Compara tus respuestas con las de otro compañero y esperen los comentarios de su profesor(a).<br />
177<br />
MATEMÁTICAS
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
Núcleo Básico 4<br />
ÁLGEBRA: MONOMIOS Y POLINOMIOS<br />
El hombre, en su infatigable deseo de investigación, descubre el número con el cual representa<br />
medidas de todo lo que le rodea. Sus estudios lo llevan a lograr su abstracción y con<br />
ello logra la generalización de expresiones matemáticas.<br />
Documentos antiguos muestran que los egipcios manejaban ecuaciones algebraicas en los<br />
cálculos que realizaban. A los árabes se atribuye el desarrollo del álgebra y en su lengua las<br />
palabras al gebr significan ecuación o restauración: transposición de términos negativos.<br />
El álgebra es el pilar de ramas de la matemática como la geometría y la trigonometría, y su<br />
uso se ha extendido a otras áreas de la ciencia.<br />
En el desarrollo del presente núcleo se realiza un análisis de lo que son las expresiones<br />
178
algebraicas, su identificación, sus características y aplicación práctica en la solución de problemas<br />
que impliquen una adecuada traducción de un lenguaje común a uno algebraico.<br />
También se introduce al conocimiento de las operaciones como potencias de la misma base,<br />
como un antecedente necesario en la reducción o agrupación de términos semejantes para<br />
la resolución de operaciones con polinomios.<br />
Estos conocimientos sirven y se aplican para expresar situaciones tales como buscar un<br />
área, un perímetro, etcétera, o bien, para descubrir algunos sucesos o investigaciones que<br />
beneficien al ser humano en su desarrollo.<br />
47<br />
COMUNICACIÓN CON SÍMBOLOS<br />
Introducción al lenguaje algebraico<br />
Análisis de expresiones algebraicas ya conocidas<br />
Cada lenguaje tiene características muy especiales. Un lenguaje simbólico es práctico porque<br />
ayuda a simplificar y generalizar. Así es el lenguaje algebraico.<br />
Si observas con interés el video, te iniciarás en el conocimiento de este lenguaje,<br />
además de introducirte en el panorama general del núcleo que comienza. Al<br />
finalizar el programa, comenta con un compañero lo que más te haya llamado<br />
la atención.<br />
Lee:<br />
INTRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAICO<br />
El lenguaje es esencial para la comunicación. Un lenguaje de gran importancia para la ciencia<br />
es el de las matemáticas.<br />
Dentro del lenguaje de las matemáticas, es muy importante el lenguaje algebraico.<br />
El álgebra es una rama de las matemáticas que tiene entre sus principales objetivos<br />
simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.<br />
Cabe notar que 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son símbolos que representan números, pero con<br />
estos no es posible generalizar.<br />
Para iniciar el camino hacia la comprensión de este lenguaje, considérese lo siguiente:<br />
◆ es un número natural.<br />
Al hacer esta afirmación, debe entenderse que ◆ representa cualquier integrante de la serie<br />
179<br />
MATEMÁTICAS
de los números naturales (0, 1, 2, 3,...), que es infinita. Y a partir de ese momento, se puede<br />
operar con él como se opera normalmente con esa clase de números.<br />
Si se suma con él <strong>mismo</strong>, se tiene:<br />
◆ + ◆ = 2◆<br />
La expresión 2◆ es el doble de ◆.<br />
Por lo tanto, 2◆ está representando el doble de cualquier número natural.<br />
Con la expresión 2◆ se está generalizando la forma de representar el doble de un número<br />
natural cualquiera.<br />
Si se multiplica ◆ por sí <strong>mismo</strong>, es decir, ◆ × ◆ se obtiene ◆ 2 y como ◆ es cualquier número<br />
natural, la expresión ◆ 2 representa el cuadrado de cualquier número natural. Puede pensar-<br />
se también en dividir<br />
número natural.<br />
◆<br />
2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
y en ese caso la expresión<br />
180<br />
◆<br />
2<br />
representa la mitad de cualquier<br />
Pueden considerarse dos símbolos diferentes, como ◆ y , para representar dos números<br />
naturales diferentes cualesquiera, y entonces operar con ellos.<br />
Así, ◆ + representa, de una manera general, la suma de dos números naturales cualesquiera.<br />
De igual forma ◆ – está representando la diferencia de dos números naturales cualesquiera<br />
y, por ejemplo, (◆ + ) 2 será la representación del cuadrado de la suma de dos números<br />
naturales cualesquiera.<br />
Esta representación simbólica permite apreciar que ◆ + y + ◆ representan la misma<br />
suma y por lo tanto no es importante el orden de los sumandos.<br />
Una generalización como ésta no se puede hacer usando cifras, ya que se haría referencia a<br />
dos números en particular y aquí, en cambio, se alude a dos números cualesquiera, haciendo<br />
válida la apreciación para cualquier pareja de naturales que sea sumada.<br />
Usualmente, el lenguaje algebraico no se maneja con cualquier clase de símbolos como ◆,<br />
y otros que pudieran escogerse de manera arbitraria, sino que se ha convenido en utilizar<br />
las letras del alfabeto (a, b, c, x, y, z) para la representación algebraica, la cual permite que el<br />
citado lenguaje adquiera un carácter universal.<br />
Y lo usual es decir, por ejemplo:<br />
Si a es un número natural, entonces 2a representa el doble de cualquier número natural.<br />
a 3 representa la tercera potencia (o el cubo de cualquier número natural).
a<br />
5<br />
representa la quinta parte de un número natural.<br />
Por supuesto que esta forma de representación por medio del lenguaje algebraico se utiliza<br />
también para los números enteros, racionales, etc., con la condición de que se diga qué<br />
números se están representando.<br />
Un ejemplo claro de este lenguaje general son las expresiones o “fórmulas” para obtener<br />
perímetros, áreas y volúmenes de las figuras geométricas.<br />
Ejemplo:<br />
Se tiene un terreno de forma rectangular que mide 8.5 m de largo y 3.7 m de ancho. ¿Cuál es<br />
su área?<br />
Es común auxiliarse con una figura.<br />
8.5 m<br />
181<br />
3.7 m<br />
Una forma de calcular el área es multiplicar largo por ancho. Si al largo se le llama base, al<br />
ancho, altura, simbólicamente esto se puede expresar:<br />
área = A,<br />
base = b,<br />
altura = h<br />
de donde surge la expresión para el área: A = bh<br />
Sustituyendo:<br />
b = 8.5 m<br />
h = 3.7 m<br />
Por lo tanto: A = 8.5 m × 3.7 m = 31.45 m 2<br />
A = 31.45 m 2<br />
Lo importante es que A representa cualquier número que sea la medida de la superficie del<br />
MATEMÁTICAS
ectángulo. Que b representa cualquier número que sea la medida del largo y h cualquier<br />
número que sea la medida del ancho del rectángulo.<br />
Precisamente el hecho de que se haga uso del lenguaje algebraico para expresar cómo se<br />
obtiene el área del rectángulo, trae como consecuencia que la fórmula A = bh (donde b y h<br />
son dos números cualesquiera) sirva para obtener el área de cualquier rectángulo, pues<br />
basta sustituir las literales b y h con las medidas del rectángulo para obtener el producto.<br />
Esta fórmula es una muestra de lo que se menciona en la definición de álgebra, como una<br />
forma de simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números.<br />
Reúnete con un compañero para compartir reflexiones alrededor de las siguientes preguntas:<br />
1. ¿Por qué la comunicación es esencial para nosotros los humanos?<br />
2. ¿Cómo interpretar cuando se dice que las matemáticas son un lenguaje? ¿Puedes dar<br />
ejemplos de las matemáticas como comunicación?<br />
3. ¿Qué clase de lenguaje es el algebraico? ¿Cuáles crees que son las ventajas de este<br />
lenguaje?<br />
Comparte tus reflexiones con tus compañeros de clase.<br />
Continúa trabajando con un(a) compañero(a).<br />
La expresión A bh<br />
= 2 te ha servido para encontrar el área de una figura muy conocida.<br />
1. Dibuja en tu cuaderno un modelo de esta figura.<br />
2. Coloca cada letra asociada a la dimensión que representa en la figura. ¿Qué representa<br />
b y qué, h?<br />
3. Mide en la figura y encuentra los valores particulares de b y h, seguramente en centímetros.<br />
4. Cuando reemplaces estos valores en la expresión A bh<br />
= y realices las operaciones<br />
2<br />
indicadas, qué magnitud de la figura que dibujaste habrás encontrado? ¿En qué unidades<br />
expresarás el A?<br />
Discute las respuestas con tu compañero(a). Si hay errores, corrígelos.<br />
Sigue trabajando con tu compañero(a). Vas a resolver el siguiente problema,<br />
pero lo harás siguiendo paso a paso las indicaciones y respondiendo algunos<br />
cuestionamientos.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
182
En un jardín se ha formado un prado en forma de pentágono; mide 3 m por lado y 2 m de<br />
apotema: ¿cuál es su área?<br />
1. Dibuja en tu cuaderno la figura y anota sus dimensiones en los lugares correspondientes.<br />
2. ¿Cuál es la expresión o fórmula que te permite obtener el perímetro del pentágono, en<br />
este caso regular.<br />
3. ¿Cuál es la fórmula para obtener el área del pentágono?<br />
4. En la fórmula del perímetro, ¿qué número sustituye a l, para poder obtenerlo?<br />
5. En la fórmula del área, ¿qué número sustituye a p y qué número toma el lugar de a?<br />
6. Obtén la medida del perímetro y anótala.<br />
7. Aplica la fórmula y calcula el área. Anota las operaciones y el resultado.<br />
8. La fórmula A P a<br />
=<br />
2<br />
acabas de resolver? ¿Por qué?<br />
¿Es exclusiva para calcular el área de la figura del problema que<br />
Compara tus respuestas con las de otros compañeros. Si hay diferencias y dudas consulta<br />
con tu profesor.<br />
Individualmente, lee con atención las siguientes cuestiones y contesta en forma<br />
breve lo que se te pide.<br />
1. En el lenguaje algebraico se emplean símbolos que no son números, ¿por qué?<br />
2. La expresión v = a3<br />
, ¿qué significa? ¿Quién puede ser v y quién a?<br />
3. ¿En qué nos ayuda el uso de literales (letras del alfabeto) para representar los números?<br />
4. Si m es un número natural, ¿a qué número natural representa?<br />
5. Si c es un número entero, ¿es positivo o negativo? ¿Por qué?<br />
6. Si x es un número decimal, ¿su valor es mayor o menor que la unidad? ¿Por qué?<br />
El profesor designará a algunos estudiantes para que lean sus respuestas frente al grupo. Si<br />
no hay acuerdo, pueden aclarar sus conceptos para conseguirlo.<br />
183<br />
MATEMÁTICAS
CONVIENE IDENTIFICARLAS<br />
48 Variables y constantes<br />
Conocimiento del concepto de variable y de constante<br />
En esta sesión vamos a estudiar las características de los símbolos que se utilizan para<br />
integrar las diferentes expresiones. Algunos símbolos cambian de valor y otros no. ¿Sabes<br />
distinguirlos?<br />
Para responder a esta pregunta, observa atentamente el video. Te dará mayores<br />
recursos para avanzar en tu aprendizaje. Luego, comenta con tus compañeros<br />
lo que hayas entendido.<br />
Lee y analiza, con un(a) compañero(a) el siguiente texto:<br />
VARIABLES Y CONSTANTES<br />
En la vida diaria es común escuchar expresiones como “tiempos variables”, refiriéndose al<br />
pronóstico del clima. Esto significa que puede cambiar de calor a frío o aun que puede llover<br />
inesperadamente. También se habla de que la temperatura de un enfermo “se ha mantenido<br />
constante durante las últimas 24 horas”, por ejemplo. Esto da idea de que la temperatura<br />
corporal del paciente no ha variado durante ese lapso. En el mundo hay muchas cosas que<br />
sufren variación y otras que permanecen constantes.<br />
En matemáticas también se presenta esta situación.<br />
Para entrar en este aspecto, considérese algo muy común pero que no por eso deja de ser<br />
importante.<br />
La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como:<br />
P = 4c, si se acepta que c representa la medida de un lado. Gráficamente se ve así.<br />
c<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
c c<br />
c<br />
184
Se sabe que el perímetro del cuadrado es calculado sumando las medidas de sus cuatro<br />
lados, o sea:<br />
c + c + c + c = 4c<br />
Pero 4c es también un producto, porque en lugar de tomar cuatro sumando iguales, se puede<br />
multiplicar por 4 y entonces:<br />
Por eso la fórmula se expresa:<br />
4 ( c ) = 4c<br />
P = 4c<br />
Esta fórmula sirve para obtener el perímetro de cualquier cuadrado, porque siempre habrá<br />
cuatro lados y se sumarán sus medidas o se multiplicará la medida de un lado por 4.<br />
Ahora bien, si se analiza la fórmula con mayor detenimiento, se aprecia que cada vez que se<br />
aplique a un cuadrado diferente, variará el valor de P y el de c, pero el 4 permanecerá<br />
constante.<br />
Ejemplos:<br />
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:<br />
P = 4c<br />
Sustituyendo: P = (4) (3 m) P = 12 m<br />
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 7 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:<br />
P = 4c<br />
Sustituyendo: P = (4) (7 m) P = 28 m<br />
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide 1.3 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:<br />
P = 4c<br />
Sustituyendo: P = (4) (1.3 m) P = 5.2 m<br />
Al observar los ejemplos, es notorio que c y P variaron de acuerdo con las dimensiones del<br />
cuadrado, pero 4 no varió.<br />
Es decir,<br />
185<br />
MATEMÁTICAS
En este caso, c y P son variables y 4 es constante.<br />
Existen muchos símbolos en el lenguaje algebraico y es conveniente saber distinguirlos con<br />
seguridad.<br />
Para afirmar el concepto, se presentan otras expresiones algebraicas con el fin de identificar<br />
las variables y las constantes que se encuentran en dichas expresiones.<br />
A = πr 2<br />
En esta fórmula, que permite encontrar el área de un círculo, las variables son r y A, porque<br />
en círculos de tamaño diferente, la medida del radio será también diferente. Y al cambiar la<br />
medida del radio, cambiará el área. En cambio, π y 2 son constantes para obtener el área de<br />
cualquier círculo.<br />
En la fórmula °C = 5<br />
9<br />
5<br />
9<br />
y 32.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
(°F –32), las variables son °C y °F, mientras que las constantes son<br />
En una expresión como x + 3 = y, si se le da un valor a x, se obtendrá un valor de y, como se<br />
muestra a continuación.<br />
Se aprecia claramente que los valores de x y y son variables y el valor 3 es constante.<br />
De todo lo anterior, se concluye que:<br />
Cuando un símbolo (generalmente una letra) representa a un valor que no está definido<br />
específicamente, ese símbolo es una variable.<br />
Y que:<br />
c P<br />
(3 m) (4) = 12 m<br />
(7 m) (4) = 28 m<br />
(1.3 m) (4) = 5.2 m<br />
x x + 3 y<br />
0 0 + 3 3<br />
2 2 + 3 5<br />
4 4 + 3 7<br />
6 6 + 3 9<br />
186
Un símbolo que representa un número, específicamente en alguna expresión algebraica,<br />
es una constante.<br />
Con tu compañero de trabajo, contesta:<br />
1. Si se aplica la fórmula A bh<br />
= 2 para calcular el área de varios triángulos, ¿qué sím-<br />
bolos de la fórmula cambian de valor?<br />
2. A esos elementos que cambian, ¿cómo se les llama?<br />
3. En la misma fórmula, ¿qué elementos no cambian de valor?<br />
4. ¿Qué nombre se les da a los elementos que no cambian?<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay errores, corrígelos.<br />
Con el <strong>mismo</strong> equipo de trabajo, en tu cuaderno, calcula el valor de la variable<br />
A, en la formula<br />
A Pa<br />
= 2<br />
P a A<br />
3 4<br />
5 8<br />
7 12<br />
9 16<br />
Revisa tus respuestas con otro equipo. Si hay errores, rectifica y, si fallaste, corrige.<br />
Continúa con tu equipo, para que obtengas los valores de c, sabiendo que<br />
b – 4 = c y tomando en cuenta los valores asignados a b.<br />
b b – 4 c<br />
4<br />
7<br />
11<br />
16<br />
22<br />
Con tus compañeros de equipo, compara tus respuestas. Si cometiste errores, corrige.<br />
Individualmente observa las siguientes expresiones algebraicas y, en tu cuaderno,<br />
anota las variables y las constantes.<br />
a) 3y = z – 4 variables: constantes:<br />
187<br />
MATEMÁTICAS
) A Dx<br />
= 2<br />
c)<br />
d) v<br />
e) n<br />
m −n<br />
w + 3<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
variables: constantes:<br />
variables: constantes:<br />
=<br />
d<br />
variables: constantes:<br />
t<br />
= 3 +<br />
a<br />
variables: constantes:<br />
2<br />
Al terminar, puedes comparar tus respuestas con las de la clave que se te proporciona. Si te<br />
equivocaste, corrige.<br />
CLAVE<br />
a) Variables: y, z, Constantes: 3, –4; b) Variables: A, D, x Constantes: 2;<br />
c) Variables: m, n, w, Constantes: 3; d) Variables: v, d, t, Constantes: ninguna;<br />
e) Variables: n, a, Constantes: 3, 2.<br />
UN LENGUAJE DIFERENTE<br />
49 Lenguaje algebraico<br />
Traducción del lenguaje común al algebraico<br />
Si puedes hablar de una misma cosa en diferentes idiomas, las cosas no cambian, la forma<br />
de decirlas sí. Hoy descubrirás en el álgebra un lenguaje con el cual podrás hablar de las<br />
cosas, “matemáticamente”.<br />
Observa el video y descubrirás que existe una forma matemática de representar<br />
el mundo que te rodea. Después, comenta con tu grupo dónde has usado<br />
anteriormente expresiones algebraicas.<br />
Lee con un compañero o compañera:<br />
LENGUAJE ALGEBRAICO<br />
El planteamiento de problemas y su solución requiere un lenguaje simbólico que, de manera<br />
general, muestre la idea del problema y permita una solución eficaz y razonada.<br />
188
Para llegar a ella es necesario utilizar un lenguaje matemático mediante el cual se señalen<br />
tanto los datos conocidos como aquellos que se desean encontrar. Esas expresiones matemáticas<br />
forman el lenguaje algebraico y están formadas por números, letras y signos de<br />
operación.<br />
El álgebra, para representar cantidades conocidas, emplea números racionales.<br />
Ejemplo: 2, 3<br />
, –8, 6,<br />
1<br />
, etc.<br />
4 3<br />
Las letras o literales simbolizan valores conocidos y desconocidos.<br />
Las primeras letras del alfabeto representan valores conocidos a, b, c, d,...<br />
Las últimas letras del alfabeto representan valores desconocidos:...u, v, w, x, y, z.<br />
Una misma letra tiene diferente valor si se diferencia por comillas o subíndices.<br />
Ejemplo: a, a’, a”, a 1 , a 2 , etc.<br />
Con estos criterios es posible representar algebraicamente expresiones verbales, como las<br />
siguientes:<br />
La edad de Miguel x<br />
El valor de un cuaderno más el de un lápiz x + y<br />
La diferencia entre lo que gana José y lo que gana Pedro es $32 000 x – y = 32 000<br />
El costo de tres dulces de igual precio x + x + x<br />
El área de un rectángulo es igual a la multiplicación del valor de<br />
la base por el de la altura A = bh<br />
El perímetro de un triángulo es 45 m a + b + c = 45<br />
La mitad de un número cualquiera<br />
El cociente del perímetro de un círculo entre su diámetro<br />
Para indicar el producto de dos o más números cualesquiera basta con anotar las literales en<br />
secuencia.<br />
El producto de dos números ab<br />
La mitad del producto de dos números, lo cual también<br />
se puede definir como el semiproducto de dos números<br />
189<br />
x<br />
2<br />
P<br />
d<br />
ab<br />
2<br />
MATEMÁTICAS
La raíz cuadrada del producto de dos números ab<br />
El producto de tres números diferentes disminuido en cinco unidades. xyz – 5<br />
Algunas expresiones pueden simplificarse. Por ejemplo: x + x + x<br />
expresa que el valor de x se suma tres veces. Esa expresión también se interpreta<br />
como tres veces x : 3x<br />
La expresión: a a a a<br />
indica que a es factor cuatro veces, lo cual se puede expresar como una potencia: a 4<br />
La interpretación algebraica de expresiones verbales y situaciones concretas hace más fácil<br />
la resolución de un problema.<br />
El lenguaje algebraico permite generalizar expresiones verbales y solucionar diversas situaciones.<br />
Con otro compañero, escriban sus impresiones sobre lo que, para ustedes, significa el lenguaje<br />
algebraico, su utilidad en la comunicación de ideas matemáticas y algunos usos que<br />
puedan hacer de él. Socialicen con otros compañeros.<br />
Con tu <strong>mismo</strong> compañero, resuelve los siguientes ejercicios.<br />
1. Responde en tu cuaderno las preguntas siguientes:<br />
a) ¿Qué símbolos se utilizan para representar las cantidades conocidas?<br />
b) ¿Qué representan las letras?<br />
c) ¿Con cuáles letras se ha acordado representar valores conocidos y con cuáles,<br />
valores desconocidos?<br />
2. Haz en tu cuaderno las representaciones que indican cada paso, en el sentido de las<br />
flechas.<br />
Un número<br />
cualquiera<br />
➔<br />
Ese <strong>mismo</strong><br />
número más la<br />
mitad de otro<br />
número<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
➔<br />
La suma de esos<br />
números menos<br />
el doble de un<br />
tercer número<br />
190<br />
➔<br />
La expresión anterior<br />
menos 8 unidades
Compara tus resultados con los de otros compañeros, para aclarar dudas.<br />
Individualmente, realiza los siguientes ejercicios.<br />
Escribe en tu cuaderno la expresión algebraica equivalente:<br />
a) Dos helados del <strong>mismo</strong> precio valen $800.<br />
b) El costo de un lápiz y una pluma es $4 800.<br />
c) La diferencia de la edad de Luis menos la de Elsa es de 25 años.<br />
d) La mitad de un número menos el triple de otro.<br />
e) La raíz cuadrada de un número cualquiera.<br />
f) El doble de un número, más la raíz cuadrada de otro, menos el cubo de un tercer<br />
número.<br />
Compara tus resultados con los de la clave. Si hay diferencias, verifica tus procedimientos.<br />
CLAVE<br />
191<br />
3<br />
a + b − c<br />
y<br />
3<br />
−<br />
e) x<br />
2<br />
f) 2<br />
d) x<br />
a) 2x = 800<br />
b) x + y = 4 800<br />
c) m – n = 25<br />
OTRA FORMA DE COMUNICACIÓN<br />
50 Significado del lenguaje algebraico<br />
Traducción del significado del lenguaje algebraico al común<br />
<strong>Aprende</strong>r a traducir al lenguaje común el lenguaje algebraico nos va a permitir entender y<br />
comprender mejor muchas situaciones que parecen ocultas.<br />
Observa el video, en él encontrarás información que te ayudará a descifrar el<br />
simbolismo algebraico.<br />
Después comenta con tus compañeros de grupo y tu profesor la idea principal del programa.<br />
MATEMÁTICAS
Posteriormente, con un compañero lee y analiza cuidadosamente para que<br />
estés en posibilidades de discutir cuál es la operación que domina en una expresión<br />
algebraica.<br />
SIGNIFICADO DEL LENGUAJE ALGEBRAICO<br />
Las matemáticas son un lenguaje universal, o sea, que los símbolos son iguales aquí y en<br />
cualquier parte del mundo.<br />
El lenguaje algebraico permite usar expresiones con elementos indeterminados en situaciones<br />
como, por ejemplo, cuando una persona dice “x día de la semana”, se observa que usó<br />
una letra del abecedario; cuando dice “x o y cosas”, se están empleando dos letras del abecedario.<br />
En los problemas matemáticos se acostumbra sustituir los símbolos que representan números<br />
por letras.<br />
Pero en matemáticas también hay ocasiones en que las letras y los signos se usan para<br />
representar algunas operaciones, es decir, en que a través de estos símbolos se generaliza<br />
un proceso.<br />
Por ejemplo, para hallar el perímetro de un polígono regular se aplica la siguiente fórmula:<br />
P = nl, donde los símbolos indican que el perímetro del polígono se obtiene multiplicando<br />
el número de lados de dicha figura por la medida de uno de ellos.<br />
Esta interpretación de la fórmula se conoce como traducción del lenguaje algebraico al lenguaje<br />
común.<br />
En una fórmula aparece un conjunto de símbolos que expresan una o varias operaciones,<br />
las cuales se mencionan de acuerdo con la importancia y el dominio que indica la expresión,<br />
lo que se muestra en las siguientes expresiones.<br />
Ejemplos de traducción del lenguaje algebraico al lenguaje común:<br />
x un número cualquiera.<br />
x + y la suma de dos números.<br />
a – b la diferencia de dos números.<br />
ab el producto de dos números.<br />
a<br />
b<br />
el cociente de dos números.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
192
a + b<br />
2<br />
a − b<br />
2<br />
ab<br />
3<br />
la semisuma de dos números. (Aquí aparece una adición como dividendo, lo<br />
cual implica que domina la división, de ahí el prefijo semi-.)<br />
la semidiferencia de dos números. (Aquí domina la división.)<br />
la tercera parte de un producto. (Aquí domina la división.)<br />
2d el doble de un número.<br />
4cd el cuádruple de un producto.<br />
x + 3; un número aumentado en 3.<br />
y – 5; un número disminuido en 5.<br />
a 2 un número al cuadrado o el cuadrado de un número.<br />
x raíz cuadrada de un número.<br />
En los ejemplos anteriores se observa que existen símbolos que están relacionados mediante<br />
un signo de operación.<br />
¿Qué pasa cuando en una fórmula aparecen varias operaciones?<br />
¿Cuál va antes y cuál, después?<br />
En los ejemplos que están a continuación se darán algunos lineamientos generales.<br />
a) x Aquí aparecen dos operaciones, un cociente y una diferencia, la operación que<br />
2 domina es la diferencia, por lo tanto se leerá:<br />
3 −<br />
La mitad de un número menos tres unidades, o la diferencia de la mitad de un<br />
número y tres unidades.<br />
b) a + b Aquí aparecen una suma y un cociente. La operación que domina es el cocien-<br />
8 te, por lo tanto se leerá:<br />
La octava parte de la suma de dos números, o el cociente de la suma de dos<br />
números entre ocho.<br />
c) y<br />
( 2x<br />
)<br />
2<br />
Aquí aparecen dos productos y un cociente.<br />
La operación que domina es el segundo producto, por lo tanto, se leerá: El doble<br />
de un número por la mitad de otro.<br />
⎛ ⎞<br />
⎝ ⎠<br />
193<br />
MATEMÁTICAS
d) Aquí aparecen una potencia y un cociente, la operación que domina es el co-<br />
2 ciente, por lo tanto, se leerá:<br />
La tercera parte del cuadrado de un número, o el cociente del cuadrado de un<br />
número y tres.<br />
e) 2d Aquí aparecen una raíz cuadrado, un producto y un cociente, la operación que<br />
g<br />
domina es la raíz, por lo tanto, se leerá:<br />
La raíz cuadrada del cociente del doble de un número y otro.<br />
Es de gran importancia que aprendas a traducir el lenguaje algebraico al lenguaje común, ya<br />
que esta forma te va a permitir comprender y entender los planteamientos de muchos problemas.<br />
a) y<br />
Con un compañero traduce del lenguaje algebraico al lenguaje común, y viceversa,<br />
según sea el caso. Escribe en tu cuaderno.<br />
b) La diferencia de dos números.<br />
c)<br />
x 2<br />
x + y<br />
5<br />
d) El cociente del cubo de un número entre 4.<br />
e) 2x + 6<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.<br />
Continúa trabajando con tu compañero o compañera y relaciona la columna del<br />
lenguaje algebraico con la columna del lenguaje común, colocando en cada<br />
paréntesis la letra correcta. Hazlo en tu cuaderno.<br />
3 a) 3 ab ( ) El cuadrado de la suma de dos<br />
números.<br />
b) − c<br />
d<br />
( ) El cociente de dos números.<br />
c) xy ( ) El doble de un número.<br />
d) x + 2x + 3x ( ) La diferencia de un número menos 7.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
194
e)<br />
a + b<br />
2<br />
CLAVE<br />
( ) El cociente de la suma de dos números entre dos.<br />
f) y – 7 ( ) El quíntuplo de un número.<br />
g) 5c ( ) El triple de un número por el cubo de otro.<br />
h) ( a + b)<br />
2<br />
( ) El producto de dos números.<br />
i) c + d<br />
( ) La raíz cuadrada de la suma de dos números.<br />
j) 2x ( ) La suma de un número más el doble, más el triple<br />
del <strong>mismo</strong> número.<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros, si tienes duda consulta con tu profesor.<br />
Continúa trabajando, ahora, en forma individual, y traduce al lenguaje común<br />
las expresiones algebraicas. Trabaja en tu cuaderno.<br />
Lenguaje algebraico Lenguaje común<br />
a)<br />
a − b<br />
2<br />
b) x +10<br />
c) ab + 2<br />
d) a2 + x 2<br />
e)<br />
a b<br />
−<br />
2<br />
a) La semidiferencia de dos números; b) La suma de un número más 10 unidades, c) El producto<br />
de dos números más dos unidades; d) El cuadrado de un número más el cuadrado de otro;<br />
e) La raíz cuadrada de una semidiferencia de dos números.<br />
195<br />
MATEMÁTICAS
UNO O VARIOS<br />
51 Expresiones algebraicas<br />
Clasificación de expresiones algebraicas<br />
Las expresiones algebraicas se utilizan en matemáticas con mucha frecuencia. A continuación<br />
se mostrará su clasificación.<br />
Observa el video y reflexiona acerca de la importancia del manejo de las expre<br />
siones algebraicas.<br />
Comenta brevemente la idea principal del programa con tu profesor y tus compañeros.<br />
Lee con un(a) compañero(a):<br />
EXPRESIONES ALGEBRAICAS<br />
Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ellas es posible resolver problemas<br />
en los que intervienen variables que representan números (naturales, enteros racionales),<br />
lo cual permite generalizar, tanto en lo que se refiere a las cantidades como a los<br />
algoritmos de las operaciones que se realizan con ellas.<br />
Cuando nos referimos a una expresión algebraica decimos:<br />
Una expresión algebraica es aquella que está formada tanto por números como por letras con<br />
sus exponentes y signos de operación.<br />
Ejemplos:<br />
a + b + c<br />
a<br />
α<br />
b a<br />
c<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
2x<br />
x x<br />
a – b b<br />
a<br />
196<br />
–y 2 –y 2 –y 2<br />
a<br />
–3y 2<br />
a⋅b b
Según sus características, algunas expresiones algebraicas pueden llamarse:<br />
1. Monomio<br />
2. Binomio<br />
3. Trinomio<br />
4. Polinomio<br />
La expresión algebraica más simple se conoce con el nombre de término o monomio, la cual<br />
tiene los siguientes elementos:<br />
a) Coeficiente<br />
b) Variable(s)<br />
c) Exponente(s)<br />
Ejemplos:<br />
–5x 2 ; 2x 3<br />
a) El coeficiente es el factor numérico, que en los ejemplos anteriores está expresado por<br />
–5 y 2.<br />
Los coeficientes se escriben antes de las expresiones literales; x 2 y x 3 , respectivamente en<br />
los ejemplos anteriores.<br />
Cuando no se escribe el coeficiente, se sobreentiende que éste es igual a 1.<br />
Ejemplo:<br />
x = 1x<br />
2 2<br />
Un coeficiente puede ser racional.<br />
Ejemplo:<br />
1 3 x coeficiente racional<br />
2<br />
a) La variable o variables están representadas por letras minúsculas del abecedario; en<br />
los ejemplos, es x.<br />
b) El exponente es un número racional; en los ejemplos, son 2 y 3.<br />
197<br />
MATEMÁTICAS
En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos<br />
En el siguiente cuadro se muestran los elementos de cada uno de los términos de la columna<br />
de la izquierda.<br />
Cuando no se escribe el signo en el término, éste es considerado como positivo; también se<br />
observa que si no se escribe el coeficiente o el exponente, éstos son considerados con un<br />
valor de uno.<br />
Las expresiones con dos o más términos se llaman polinomios.<br />
Sin embargo, de manera particular, se da un nombre especial a las expresiones de dos y tres<br />
términos, llamándoles respectivamente binomios y trinomios.<br />
Un binomio es aquella expresión que está constituida por dos términos.<br />
Ejemplos:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
a) x 3 – 3x b) 2x – y 3 c) a 2 = b 2<br />
Un trinomio es aquella expresión algebraica que está formada por tres términos.<br />
Ejemplos:<br />
–5 x 2<br />
coeficiente variable<br />
a) 3x 2 + 2x – 2 b) 2y + 3y 2 + 5 c) a + x + 1<br />
Existe un caso muy especial cuando se tiene un término donde no aparece físicamente<br />
variable alguna, se le identifica como término independiente.<br />
198<br />
exponente<br />
Término Coeficiente Variables Exponentes<br />
a) –2a 3 –2 a 3<br />
b) –x 3 y 2 –1 x, y 3, 2<br />
c) –ab 2 –1 a, b 1, 2<br />
d) n 1 n 1<br />
e) 1 1 1
Ejemplo:<br />
2x 3 + 3x – 1<br />
En la expresión anterior, el término independiente es –1.<br />
199<br />
término independiente<br />
(no tiene variable)<br />
Estas expresiones se emplean cotidianamente y en muchas actividades del ser humano, así<br />
como en todas las ciencias como son: física, química, biología...<br />
Intégrate a un equipo y analiza los siguientes aspectos:<br />
a) ¿Cuándo una expresión algebraica se puede caracterizar como un monomio? Escribe<br />
ejemplos.<br />
b) ¿Qué significa polinomio?<br />
c) Entonces, un binomio, ¿cuántos términos tiene?<br />
d) Y un trinomio, ¿cuántos términos tiene?<br />
En equipo de trabajo, realiza las siguientes actividades:<br />
1. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.<br />
Expresión Coeficientes Exponentes Término<br />
algebraica x y x y independiente<br />
2x – y 3<br />
x 3 – 3y<br />
3x – 5y 2 + 2<br />
2. Con base en la tabla contesta lo siguiente, en tu cuaderno:<br />
a) ¿Existe término independiente en las tres expresiones? ¿Por qué?<br />
b) ¿ Cuántas variables tiene cada expresión? ¿Cuáles?<br />
MATEMÁTICAS
c) ¿Qué expresión tiene mayor número de términos? ¿Con qué nombre se le identifica?<br />
3. Escribe en tu cuaderno el número de términos de estas expresiones.<br />
a)<br />
a<br />
b<br />
b)<br />
x<br />
+<br />
x<br />
+<br />
5<br />
2 4 5<br />
c) x 2 + 3x<br />
4. Escribe un ejemplo de monomio.<br />
5. Escribe un ejemplo de trinomio.<br />
Compara tus respuestas con las de tu grupo de trabajo y corrige en caso de existir errores.<br />
En forma individual realiza lo que se te indica.<br />
Relaciona las siguientes columnas en tu cuaderno, colocando la letra correspondiente en<br />
cada paréntesis.<br />
a) Se representa con una letra ( ) Expresión algebraica<br />
b) Término que no contiene variables ( ) Coeficiente<br />
c) Es el factor numérico de un término algebraico ( ) Binomio<br />
d) Está formada tanto por números como por ( ) Término independiente<br />
literales con sus exponentes. ( ) Variable<br />
e) Expresión que consta de dos términos ( ) Trinomio<br />
Compara tus respuestas con las de otro compañero; si tienes dudas, manifiéstaselas a tu<br />
profesor.<br />
CLAVE<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
200<br />
(d), (c), (e), (b), (a).
POTENCIALMENTE HABLANDO<br />
52 Producto de potencias<br />
Conocimiento del procedimiento para multiplicar<br />
potencias de la misma base<br />
Dentro de las matemáticas existen formas de abreviar algunas operaciones; una de ellas es<br />
una adición con sumandos iguales, la cual se abrevia con una multiplicación, mientras que<br />
una multiplicación de factores iguales se abrevia mediante el uso de una potencia.<br />
Observa el video, ya que en él encontrarás información interesante que te permitirá<br />
comprender mejor el tema.<br />
Con un compañero lee y analiza.<br />
PRODUCTO DE POTENCIAS<br />
Para entender bien el producto de potencias se deben tener en cuenta los siguientes conceptos:<br />
Potencia: es el producto de varios factores iguales.<br />
Base: es el número o variable que se repite como factor.<br />
Exponente: es el número que indica cuántas veces se toma como factor la base.<br />
La forma general de representar una potencia es:<br />
a n , en donde a es un número racional y n un número natural.<br />
De aquí se tiene que a es la base y n el exponente.<br />
Una multiplicación de factores iguales se puede expresar como una potencia indicada de<br />
una misma base.<br />
Ejemplos<br />
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 6<br />
La base es 3, el exponente es 6; la forma de leer la potencia indicada de 3 6 es: 3 elevado a la<br />
sexta potencia.<br />
201<br />
MATEMÁTICAS
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
m⋅m⋅ m = m3<br />
La base es m y el exponente es 3; la forma de leer la potencia indicada de m 3 es:<br />
Eme elevada al cubo o eme elevada a la tercera potencia.<br />
(4x) (4x) (4x) (4x) (4x) = (4x) 5<br />
La base es 4x, el exponente es 5; la potencia indicada (4x) 5 se lee: la quinta potencia del<br />
cuádruple de un número.<br />
Una potencia indicada se puede expresar mediante una descomposición de factores iguales.<br />
Ejemplos:<br />
7 3 = 7 × 7 × 7<br />
(5b) 4 = (5b) (5b) (5b) (5b)<br />
c8 = c⋅c⋅c⋅c⋅c⋅c⋅c⋅c Si una potencia se representa en forma general como a n , en donde n es un número natural,<br />
entonces se tienen los siguientes casos:<br />
1. a 0 = 1. La justificación de esta igualdad se dará posteriormente; por el momento, esto<br />
indica que cualquier número elevado a la potencia cero, siempre da como resultado la<br />
unidad.<br />
2. a 1 es = a. Esto indica que todo número elevado a la primera potencia siempre da por<br />
resultado el <strong>mismo</strong> número.<br />
Ejemplos:<br />
(12d ) 0 = 1<br />
18 1 = 18<br />
e 0 = 1<br />
(13ƒ) 1 = 13ƒ<br />
Obsérvense los siguientes ejemplos: 5 2 × 5 4<br />
Cada potencia indicada se descompone en sus factores.<br />
5 2 = 5 × 5, dos factores<br />
5 4 = 5 × 5 × 5 × 5, cuatro factores<br />
202
La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos los factores; se suman los<br />
exponentes de ellos, conservando la misma base.<br />
5 2 × 5 4 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 6<br />
2 factores 4 factores<br />
Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,<br />
esto es:<br />
5 2 × 5 4 = 5 2+4 = 5 6<br />
3 8 m ⋅ m<br />
Cada potencia indicada se descompone en sus factores.<br />
3 m = m⋅m⋅m m8 = m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m La multiplicación de las potencias indicadas se expresa con todos sus factores; se suman<br />
sus exponentes, conservando la misma base.<br />
m3 ⋅ m8 = m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅m⋅ m = m11<br />
3 factores 8 factores<br />
Obsérvese que el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores,<br />
esto es:<br />
+<br />
m × m = m = m<br />
3 8 3 8 11<br />
De lo anterior se tiene lo siguiente:<br />
1. Las potencias indicadas tienen la misma base, esto es, 5 y m.<br />
2. Cada una de las potencias indicadas se descompone en sus factores.<br />
3. Se suma el número de factores y la suma es el exponente que corresponde a cada<br />
base.<br />
Por lo tanto, se tiene que la forma general de representar un producto de potencias de la<br />
misma base es:<br />
am × an = am+<br />
n en donde a, m y n son racionales.<br />
203<br />
MATEMÁTICAS
Ejemplos:<br />
( ) ( ) = ( ) = ( )<br />
2<br />
3<br />
2 5 2+ 5 7<br />
2<br />
3<br />
( 3a) 4 (3a) 9 = (3a) 13<br />
(z 9 ) (z 0 ) = z 9<br />
(r) (r ) = r 2<br />
2<br />
3<br />
( ) ( ) = ( )<br />
4<br />
7<br />
0 12 12<br />
4<br />
7<br />
(7x) 0 (7x) 0 = 1<br />
4<br />
7<br />
2<br />
3<br />
De lo anterior se concluye que:<br />
El producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de<br />
los exponentes.<br />
En tu cuaderno contesta lo que se te pide:<br />
1. ¿Qué entiendes por potencia?<br />
2. El exponente en una potencia, ¿qué indica?<br />
3. Si se tiene 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8, ¿qué potencia indicada se obtiene y por qué?<br />
4. Si la base de una potencia indicada es b 2 y su exponente es 1, ¿qué resultado se<br />
obtiene y por qué?<br />
5. Explica qué sucede cuando se multiplican dos potencias de la misma base.<br />
Lee tus respuestas ante el grupo, como lo indique tu profesor y, si es necesario, corrige.<br />
Continúa con dos compañeros y resuelve lo que se te pide. Trabaja en tu cuaderno.<br />
1. ¿Cómo se leen las siguientes potencias?<br />
m 2 7 3 9 10<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
204
2. ¿Se puede efectuar la multiplicación de (m 7 ) (n 6 )? ¿Por qué<br />
3. Explica la forma en que resolverías<br />
( ) ( )<br />
8 0<br />
3x<br />
3x<br />
8 8<br />
4. En los ejercicios que se tienen a continuación observa bien cuál es la base en cada<br />
potencia indicada; posteriormente, obtén el producto de esas potencias.<br />
a) (6b) 0 (6b) 9 =<br />
b) (8c 7 d 9 ) 3 (8c 7 d 9 ) 8 =<br />
c) (16x) 3 (16x) 0 (16x) 4 =<br />
Confronta tus respuestas con las de otros compañeros del grupo.<br />
Trabaja en tu cuaderno y resuelve lo siguiente:<br />
1. Escribe dentro del paréntesis las potencias indicadas que hacen falta para que se cumpla<br />
la igualdad.<br />
a) ( ) 2 ( ) = 343<br />
b) ( ) 4 ( ) 3 = 128<br />
c) ( ) 2 ( ) 2 = 81<br />
2. Usa lápices de colores para que encierres con un círculo de un <strong>mismo</strong> color aquellas<br />
potencias que se puedan multiplicar ( por ser de la misma base ), en el esquema siguiente:<br />
8 5 b 6 a 8 b 7 c 2 3 8 m 9<br />
xy 201 b 8 5x 7 y 6 4c 9 n 0<br />
c 3x n 10<br />
12<br />
4 x<br />
a 8 b 3 8z c 7 8 0<br />
8 3 8y (7b) 9 102 2<br />
205<br />
MATEMÁTICAS
3. Halla el producto de las siguientes potencias indicadas, basándote en las preguntas.<br />
a) (5m 2 n 5 ) 7 (5 m 2 n 5 ) 0<br />
¿Cuál es la base de las potencias indicadas?<br />
¿Cuál es el resultado?<br />
b)<br />
2 3<br />
2 2<br />
2 0<br />
( ) ( ) ( )<br />
4<br />
x<br />
4<br />
x<br />
4<br />
x<br />
3 3 3<br />
¿ Cuál es la base de las potencias indicadas?<br />
¿Qué exponente tendrá el producto de las potencias indicadas?<br />
El producto de las potencias indicadas es:<br />
¿Te resultó fácil identificar la base en estos ejercicios? ¿Por qué?<br />
Intercambia tu cuaderno con otro(a) compañero(a) y coteja los resultados con los de la clave,<br />
en caso de existir dudas, consulta con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
206<br />
( x<br />
3 )<br />
b) 4<br />
1. (7) 2 (7) = 343; (2) 4 (2) 3 = 128; (3) 2 (3) 2 = 81;<br />
2. 85 , 83 , 80 , b 6 , b 8 ; n10 , n 0 ; c, c 7 .;<br />
3. a) 5 m 2 n 5 ; 1; (5 m 2 n 5 ) 7<br />
PARA HACERNOS MAS PEQUEÑOS<br />
53 Cociente de potencias<br />
Aplicación de la división de potencias de la misma base<br />
2 5<br />
2<br />
x ; 5; 4<br />
En esta sesión analizarás formas sencillas para hallar el cociente de potencias cuando las<br />
bases son iguales.<br />
Invita a un compañero para leer y analizar los siguientes desarrollos:<br />
3
COCIENTE DE POTENCIAS<br />
Vamos a analizar cómo proceder cuando se presenta una división de potencias de la misma<br />
base.<br />
Veamos un ejemplo:<br />
Observamos:<br />
¿Cómo se resolverá este ejercicio?<br />
x 5 es una potencia, x 3 es una potencia<br />
Es un cociente de potencias donde las bases son iguales: x<br />
Recuérdese que en la potencia de un número el exponente nos indica las veces que se toma<br />
la base como factor.<br />
Por lo tanto, representando con factores cada una de las potencias, se tiene:<br />
x<br />
x<br />
5<br />
3 =<br />
x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x<br />
x ⋅x ⋅x<br />
Indicando los cocientes, uno a uno, se tiene:<br />
5 x<br />
=<br />
x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x<br />
3 x x ⋅x ⋅x ⋅11 ⋅<br />
Simplificando y considerando que todo número dividido entre sí <strong>mismo</strong> da la unidad, se<br />
tiene:<br />
x<br />
x<br />
5<br />
3<br />
= 111 ⋅ ⋅ ⋅x ⋅ x = x<br />
Efectuando el producto:<br />
x<br />
x<br />
5<br />
3<br />
= 111 ⋅ ⋅ ⋅x ⋅x<br />
¿Qué se concluye de esto?<br />
2<br />
Que cuando hay un cociente de potencias de la misma base, el resultado es una potencia<br />
con la misma base y el exponente es la resta de los dos exponentes del cociente.<br />
En nuestro caso tenemos, en forma directa:<br />
x<br />
x<br />
5<br />
3<br />
= − x = x<br />
5 3 2<br />
x<br />
x<br />
5<br />
3<br />
207<br />
MATEMÁTICAS
Otros ejemplos:<br />
a)<br />
b<br />
b<br />
8<br />
3<br />
=<br />
b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b =<br />
b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b = 111 ⋅ ⋅ ⋅b⋅b⋅b⋅b⋅ b = 1b<br />
= b<br />
b⋅b⋅b b⋅b⋅b⋅11111 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
y, en forma más corta<br />
b<br />
b<br />
b)<br />
a<br />
a<br />
8<br />
3<br />
4<br />
3<br />
b − = = b<br />
8 3 5<br />
a<br />
a<br />
4<br />
3<br />
=<br />
a a a a<br />
111<br />
a<br />
a<br />
a a a 1<br />
⋅ ⋅ ⋅<br />
= ⋅ ⋅ ⋅ =<br />
⋅ ⋅<br />
a4− = 3= a1= a<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
208<br />
5 5<br />
¡Se puede obtener el resultado más rápido si sólo se restan los exponentes y se escribe la<br />
misma base!<br />
Para cualquier caso podemos generalizar:<br />
a<br />
a<br />
m<br />
n<br />
= a<br />
− , donde m y n son racionales y a ≠ 0<br />
m n<br />
¿Y qué ocurre cuando los exponentes de las potencias son iguales?<br />
Por ejemplo:<br />
x 3<br />
3 x<br />
Sabemos que,<br />
x 3<br />
=<br />
x ⋅x ⋅x<br />
=<br />
x<br />
⋅<br />
x<br />
⋅<br />
x<br />
= 111 ⋅ ⋅ = 1<br />
3 x x ⋅x ⋅x<br />
x x x<br />
Pero también se puede realizar aplicando la resta de los exponentes, ¡debe dar lo <strong>mismo</strong>!<br />
x<br />
x<br />
3<br />
3<br />
= − x = x =<br />
3 3 0 1<br />
De manera general se puede afirmar que<br />
a<br />
a<br />
m<br />
m<br />
am− = m= ao=<br />
1 donde a ≠ 0.
Aún tendríamos otros caso, ¿qué sucede si el exponente del dividendo es menor que el<br />
exponente del divisor. Ejemplo:<br />
x<br />
x<br />
3<br />
5<br />
Sabemos que:<br />
x 3<br />
=<br />
x ⋅x ⋅x<br />
=<br />
1<br />
5 x x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x<br />
x 2<br />
Y, si se restan los exponentes<br />
x<br />
x<br />
3<br />
5<br />
= x = x<br />
3−5 −2<br />
Comparando los desarrollos anteriores se puede concluir que:<br />
x<br />
x<br />
3<br />
5<br />
− = x 2 =<br />
1<br />
2 x<br />
Generalizando se puede afirmar que:<br />
− m a =<br />
1<br />
siendo m un número racional y a ≠ 0<br />
m a<br />
Observa el video, te ayudará a comprender mejor los desarrollos que acabas<br />
de realizar. Ahora podrás comentar con tus compañeros acerca del contenido<br />
del programa.<br />
Invita a un compañero para resolver los siguientes ejercicios en sus cuadernos.<br />
a) ¿Qué tienen de especial las potencias que intervienen en los cocientes que acabas de<br />
estudiar?<br />
¿Por qué para realizar esos cocientes de potencias se pueden restar los exponentes?<br />
b) ¿Cómo explicarías a alguien que no sepa, que cualquier número elevado a la potencia<br />
0 es igual a 1.<br />
c) ¿Cómo explicarías a alguien que x-–3 es lo <strong>mismo</strong> que 1 3 x ?<br />
Con un compañero completa los siguientes ejercicios en tu cuaderno.<br />
a)<br />
7 m<br />
3 m<br />
= m 7−<br />
=<br />
209<br />
MATEMÁTICAS
)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h)<br />
Compara tus resultados con los de los otros compañeros, en caso de que existan diferencias<br />
consulta con tu profesor.<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
b<br />
b<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
7<br />
5<br />
c<br />
c<br />
5<br />
Relaciona en tu cuaderno la columna de la izquierda con la columna de la<br />
derecha, escribiendo en cada paréntesis el inciso correcto.<br />
8<br />
= ( ) 4 x 7<br />
7<br />
8<br />
x y<br />
xy<br />
= ( ) x<br />
= ( )<br />
4 2<br />
= b2−= b =<br />
= 2−<br />
y = y<br />
= x − =<br />
1−<br />
= c = =<br />
c<br />
( a − b)<br />
( a − b)<br />
r<br />
r<br />
3<br />
2<br />
x y<br />
xy<br />
2<br />
3<br />
3<br />
= − r =<br />
2 2<br />
( c −d)<br />
( c −d)<br />
=<br />
4<br />
= ( ) (c – d)<br />
3 ( ) x 3<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
4<br />
3−<br />
= ( a −b) = ( a − b)<br />
x 2− = y 2−=<br />
xy<br />
210<br />
x<br />
y
f)<br />
g)<br />
h)<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros, en caso de que haya diferencias consulta<br />
con tu profesor.<br />
a)<br />
a<br />
b<br />
3<br />
3 =<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes cuestiones:<br />
¿Se podrá llevar a cabo este cociente de potencias? ¿Por qué?<br />
b) Un cociente de potencias solamente se llevará a cabo....<br />
c)<br />
f)<br />
a b<br />
a b<br />
x<br />
y<br />
ab<br />
ab<br />
4 y<br />
y<br />
CLAVE<br />
3 3<br />
5 5<br />
5 x<br />
x<br />
x ; e) 1; f) y 3 ;<br />
= ( )<br />
= ( ) 1<br />
= ( ) 1<br />
x<br />
= d)<br />
= g)<br />
x<br />
= 2 x<br />
e)<br />
d<br />
d<br />
( a = b)<br />
( a = b)<br />
=<br />
7<br />
2 h) m<br />
m<br />
211<br />
1<br />
2 2<br />
a b<br />
6<br />
6 =<br />
. No, porque las bases no son iguales; b) Si las bases son iguales; c) 1; d) 1<br />
LAS SUPERPOTENCIAS<br />
54 Potencia de una potencia<br />
Comprensión del algoritmo respectivo<br />
4<br />
9<br />
( + ) 5 ; h) 1 5 m<br />
g) a b<br />
Analizar y comprender las cosas nos ayuda a la deducción de reglas o leyes y en su posterior<br />
aplicación.<br />
3<br />
3<br />
b<br />
a) a<br />
MATEMÁTICAS
Con un compañero analiza el siguiente texto y, posteriormente, comenta las<br />
ideas principales.<br />
POTENCIA DE UNA POTENCIA<br />
Analiza las siguientes expresiones y sus significados.<br />
73 = 7 × 7 × 7 b6 = b⋅b⋅b⋅b⋅b⋅b En las potencias se aprecia que el exponente indica el número de veces que la base se toma<br />
como factor. Este principio también se aplica cuando una potencia se eleva a otra potencia.<br />
Ejemplos:<br />
1. (5 2 ) 3 , donde la base es 5 2 y el exponente de dicha base es 3, lo cual indica que aparecerá<br />
3 veces la base como factor:<br />
(5 2 ) 3 = (5 2 ) (5 2 ) (5 2 )<br />
Ahora, se tiene una multiplicación de potencias indicadas con la misma base, y al resolver<br />
se conserva la base y el exponente resulta de la suma de los exponentes de los factores.<br />
(5 2 ) (5 2 ) (5 2 ) = 5 2+2+2 = 5 6<br />
Por lo que: (5 2 ) 3 = 5 6<br />
Obsérvese que al multiplicar el exponente de la base (2) con el exponente de la potencia a la<br />
que se eleva (3) el producto es 6, el cual coincide con el exponente de la potencia resultante<br />
5 6 .<br />
Por lo que:<br />
(5 2 ) 3 = 5 (2)(3) = 5 6<br />
(5 2 ) 3 = 5 6<br />
2. (m 3 ) 4 , donde m 3 es la base y 4 el exponente o potencia de ella, y si se descompone en<br />
sus factores:<br />
Por lo que<br />
(m 3 ) 4 = (m 3 ) (m 3 ) (m 3 ) (m 3 ) = m 3 +3+3+3 = m 12<br />
(m 3 ) 4 = m 12<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
212
Este ejercicio también se puede efectuar multiplicando el exponente de la base (3) con el<br />
exponente de la potencia a la que se eleva (4), su producto (12) es igual al exponente del<br />
resultado.<br />
Esto es:<br />
(m 3 ) 4 = m (3)(4) = m 12<br />
Por lo que (m 3 ) 4 = m 12<br />
Esto se lee “ eme al cubo elevado a la cuarta potencia es igual a eme a la décima segunda<br />
potencia”.<br />
En general, si a es un número racional diferente de cero y m y n son racionales, se tiene:<br />
esto es:<br />
am a a a a a<br />
n m m m m m<br />
( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ... con n factores<br />
n sumandos<br />
= a ... = a<br />
m+ m+ m + m ( m)( n)<br />
( ) =<br />
m a a<br />
n mn<br />
Con base en lo expuesto se concluye:<br />
La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.<br />
Observa, junto con tus compañeros, el video. Comenta en tu grupo los aportes<br />
que pueden enriquecer la lectura efectuada anteriormente.<br />
1. En la expresión (c 7 ) 4<br />
Invita a un(a) compañero(a) y anoten sus respuestas en sus cuadernos:<br />
a) ¿Qué representa el número 7?<br />
b) ¿Qué representa el número 4?<br />
c) La expresión (c 7 ) 4 , ¿qué operación representa?<br />
d) Expresa (c 7 ) 4 como un producto de factores iguales.<br />
e) Escribe el producto que se obtiene.<br />
213<br />
MATEMÁTICAS
f) ¿Cómo podrías encontrar el resultado de esta potencia más fácilmente?<br />
2. ¿Cuál procedimiento te parece más sencillo y por qué?<br />
Comenta tus respuestas con otros compañeros.<br />
Trabaja con tu compañero y contesta lo que se pide en cada caso.<br />
Explica los pasos que sigues para resolver m n p<br />
( )<br />
Compara tus respuestas con las que den otros compañeros. Si tienes dudas trata de aclararlas<br />
con ellos.<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno las siguientes potencias:<br />
(a 7 ) 3 = (b 20 ) 5 = (c 8 ) 2 = [(d 2 ) 3 ] 2 = [(e 3 ) 2 ] 3 =<br />
¿Pudiste resolver las dos últimas potencias? Sí o no.<br />
En caso de ser afirmativa tu respuesta, ¿qué procedimiento usaste?<br />
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si hay diferencias, verifica con la<br />
clave.<br />
CLAVE<br />
UNA RAÍZ QUE NO CRECE<br />
55 Raíz de una potencia<br />
Manejo de la radicación de potencias<br />
Si raíz es sinónimo de origen, ¿qué significa extraer raíz a una potencia?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
214<br />
a 21 ; b 100 ; c 16; d 12 ; e 18 .<br />
Observa atentamente el video, que te explicará esta idea de sinonimia.<br />
Comenta ante tus compañeros tu interpretación del concepto.<br />
La siguiente lectura te llevará a comprender un proceso inverso al anterior sobre<br />
la potenciación.
RAÍZ DE UNA POTENCIA<br />
La raíz consiste en buscar una cantidad que elevada a la potencia señalada por el índice del<br />
radical dé como resultado el subradical. Así se tiene que:<br />
3<br />
9 = 3,<br />
porque 32 = 9<br />
64 = 4,<br />
porque 43 = 64<br />
Pero también podría ser una raíz negativa en el primer caso, pues al elevar al cuadrado –3 se<br />
obtiene 9. Obsérvese que esto no se cumple para el segundo ejemplo, ya que (–4) 3 da como<br />
resultado –64.<br />
De igual forma, cuando se trata de obtener la raíz de una expresión algebraica lo que se<br />
pretende es conocer el término que elevado a la potencia señalada por el índice dé como<br />
resultado el subradical.<br />
Ejemplo:<br />
x 2 2 2<br />
= x,<br />
porque (x) = x ⋅ x = x<br />
x 2 =− x,<br />
porque (–x) 2 = –x × –x = x 2<br />
6 y = y , porque (y 2 ) 3 = y 2 × y 2 × y 2 = y 6<br />
3 2<br />
y 6 =− y , porque (–y 2 ) 3 = (–y 2 ) × (–y 2 ) × (–y 2 ) = –y 6<br />
3 2<br />
4 2<br />
a8= a , porque (a2 ) 4 = a2 × a2 × a2 × a2 = a8 4 2<br />
a8=− a , porque (–a2 ) 4 = (–a2 ) × (–a2 ) × (–a2 ) × ( –a2 ) = a8 Cuando se extrae raíz para cierta cantidad, ésta podrá ser positiva o negativa.<br />
Una forma práctica para operar raíces de una potencia es representar la raíz mediante exponentes<br />
racionales.<br />
Por ejemplo<br />
3<br />
1<br />
2 1<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
+<br />
4 = 42,<br />
porque ⎜42⎟<br />
= 42⋅ 42= 422= 42= 4<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
1<br />
3 1<br />
⎛ ⎞<br />
8 = 83,<br />
porque 83 8383838381 ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = = =<br />
8<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
215<br />
1<br />
3<br />
2<br />
1<br />
MATEMÁTICAS
En la notación racional de un radical, el índice del radical se escribe como el denomina-<br />
1<br />
n n<br />
dor del exponente: a = a<br />
Ejemplos:<br />
3<br />
3<br />
4<br />
3<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
a = a2,<br />
porque ⎜a2⎟<br />
= a2⋅ a2= a2= a<br />
⎝ ⎠<br />
6<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
3<br />
2 3<br />
y 6 = y 3 = y 2<br />
⎛ ⎞<br />
, porque y 3 y 3 y 3 y 3 y 3<br />
⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = = y<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
6<br />
3 6<br />
⎛ ⎞<br />
8 = 83,<br />
porque 83 83838383 ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = = 8<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
1<br />
3 1<br />
⎛ ⎞<br />
9 = 94,<br />
porque ⎜94⎟<br />
= 94⋅94⋅94⋅ 94= 9<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
4 1<br />
Así, para obtener la raíz de una potencia, la base se eleva a una potencia que resulta de<br />
dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz.<br />
Por lo que podríamos enunciarlo de manera general así:<br />
n<br />
m<br />
n<br />
xm ⎛ ⎞<br />
= x porque ⎜ x n ⎟ = x n = x<br />
⎝ ⎠<br />
216<br />
m<br />
3<br />
1<br />
1<br />
6<br />
1<br />
1<br />
6<br />
6<br />
1<br />
3<br />
n mn<br />
Con un(a) compañero(a) efec<strong>tú</strong>a las siguientes operaciones, ve el ejemplo:<br />
1. (–a) 3 = (–a) (–a) (–a) = –a 3<br />
2. (–x) 2 =<br />
3. (–y) 4 =<br />
4. (–m) 7 =<br />
Contesta brevemente las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponente<br />
par?<br />
b) ¿Qué sucede con las potencias de bases negativas cuando se elevan a un exponente<br />
impar?<br />
3<br />
18<br />
m<br />
6
2. 4 = ¿Por qué puedes encontrar dos soluciones para este ejercicio?<br />
4<br />
3<br />
3<br />
81 = ¿Cuántas soluciones encuentras?<br />
–8 = ¿Cuántas soluciones encuentras?<br />
8 = ¿Cuántas soluciones encuentras?<br />
Explica por qué las raíces cuyo índice es par tienen más de una solución.<br />
b) ¿Encuentras una raíz de<br />
4<br />
–4 =? –16<br />
= ? –x 2 =?<br />
¿Tendrá solución cualquier raíz de un número negativo en el conjunto de números que conoces?<br />
Explica.<br />
Expón al grupo tus respuestas, y, si hay divergencias, coméntalas para obtener una conclusión.<br />
Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio. Observa el ejemplo.<br />
6<br />
a) x 6 = x 2 = x 3<br />
3 , porque x x<br />
2 6 ( ) = b) –m 4 3<br />
=<br />
c) a 4 = d) –n 2 3<br />
e) a 9 3<br />
g) y 10 5 =<br />
= f) –m 8 5<br />
Compara tus resultados con los de otro compañero y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
8<br />
4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ = − = −<br />
⎠<br />
m = m , porque m m m<br />
5 40<br />
5<br />
⎞<br />
n ⎟ = n = n<br />
⎠<br />
n = n , porque − −<br />
3 6<br />
3<br />
⎞<br />
⎟ = − = −<br />
⎠<br />
m = m , porque m m m<br />
3 12<br />
3<br />
= = , porque y y<br />
( ) =<br />
2 5 10<br />
( ) =−<br />
= = , porque a a<br />
3 3 9<br />
4<br />
3<br />
217<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
=<br />
= = , porque a a<br />
( ) =<br />
2 2 4<br />
2<br />
3<br />
8<br />
5<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
=<br />
2<br />
g) y y y<br />
3<br />
2<br />
4<br />
3<br />
8<br />
5<br />
e) a a a<br />
2<br />
3<br />
10<br />
5<br />
f) − −<br />
d) − −<br />
c) a a a<br />
4<br />
2<br />
9<br />
3<br />
8<br />
b) − −<br />
4<br />
2<br />
10<br />
9<br />
4<br />
5<br />
5<br />
3<br />
3<br />
3<br />
MATEMÁTICAS
EL GRADUADO<br />
56 Grado de un polinomio<br />
Ordenación de un polinomio<br />
Todas las cosas que te rodean precisan de un orden para así organizar mejor tu vida. Los<br />
polinomios necesitan también un orden que ayude a analizar y resolver problemas más eficazmente.<br />
Lee con un compañero el siguiente texto:<br />
GRADO DE UN POLINOMIO<br />
Una expresión algebraica puede estar formada por uno o más términos que, de acuerdo con<br />
sus exponentes, podrán ser de primero, segundo, tercero u otro grado.<br />
Grado de un término y de un polinomio<br />
Un término puede tener grado absoluto, para lo cual se suman los exponentes de sus<br />
letras o literales así:<br />
4x es de primer grado absoluto.<br />
3x 2 y es de tercer grado absoluto, pues x y y tienen exponentes 2 y 1, y<br />
2 + 1 = 3.<br />
x 3 y 2 z es de sexto grado absoluto, pues x, y y z tienen exponentes 3, 2 y 1,<br />
y 3 + 2 + 1 = 6.<br />
Un término puede tener un grado con relación a una letra o literal: es el exponente de dicha<br />
letra, así:<br />
3s 2 y es de segundo grado con relación a s, pues su exponente es 2; y de primer grado con<br />
relación a y, pues su exponente es 1.<br />
5x 4 y 2 z es de cuarto grado con relación a x, pues su exponente es 4; de segundo grado con<br />
relación a y, pues su exponente es 2; y de primer grado con relación a z, pues su exponente<br />
es 1.<br />
El grado de un polinomio con relación a una literal será el mayor exponente que tenga<br />
dicha letra dentro del polinomio.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
218
Ejemplos:<br />
5x 3 + 4x 2 – 6x es de tercer grado, pues x, su única literal, tiene como exponente mayor al 3.<br />
6x 5 y + 4x 2 y 3 – 2xy 2 es de quinto grado con relación a x, pues el exponente mayor de esta<br />
literal en los tres términos es 5. Es de tercer grado con relación a y, pues su exponente mayor<br />
es 3.<br />
Ordenación de polinomios<br />
Para efectuar con mayor facilidad las operaciones con polinomios, es conveniente ordenarlos<br />
en forma creciente o decreciente con respecto a una letra.<br />
Al ordenar un polinomio en forma creciente, se inicia anotando el término independiente, en<br />
segundo lugar el término de menor grado con relación a la letra señalada, el tercer término<br />
será el que tenga el exponente que siga de valor, y así sucesivamente, de izquierda a derecha.<br />
Ejemplo:<br />
El polinomio 8x + 4x 3 + 5 –7x 2 se ordena, en forma creciente, de esta manera:<br />
5 + 8x – 7x 2 + 4x 3<br />
El polinomio 8x 3 y 2 – 9x 2 y – 8xy 2 – 6x se ordena, en forma creciente con respecto a x, de<br />
esta manera:<br />
–6y – 8xy 2 + 9x 2 y + 8x 3 y 2<br />
Para ordenar un polinomio en forma decreciente, se anota como primer término el que tenga<br />
mayor exponente en relación con una letra determinada, el segundo término será aquel que<br />
tenga el exponente que siga en valor, y así sucesivamente. Por último se anota el término<br />
independiente.<br />
Ejemplos:<br />
El polinomio 8 + 8x 2 y 4 – 6x 3 y – 3xy 2 se ordena en forma decreciente con relación a x<br />
y con relación a y:<br />
–6x 3 y + 8x 2 y 4 – 3xy 2 + 8<br />
8xy 4 – 3xy 2 – 6x 3 y + 8<br />
219<br />
MATEMÁTICAS
La forma más conveniente de ordenar un polinomio es la decreciente o descendente, pues<br />
permite un mejor análisis de las expresiones y facilita la resolución de ecuaciones, temas<br />
que se verán posteriormente.<br />
Observa el video donde verás que los polinomios se gradúan de acuerdo con<br />
sus exponentes. Después, comenta con tus compañeros los aspectos que han<br />
hecho claridad a la lectura realizada.<br />
Responde con tu compañero las siguientes preguntas, en tu cuaderno.<br />
1. ¿Cómo se obtiene el grado absoluto de un término?<br />
2. ¿Cómo se sabe el grado de un término en relación con una letra?<br />
3. ¿Cómo se conoce el grado de un polinomio?<br />
Discute tus respuestas con otros compañeros. Si tuviste errores, corrígelos.<br />
Resuelve en equipo los ejercicios siguientes. Trabaja en tu cuaderno.<br />
1. ¿Cuál es el grado de los términos siguientes?<br />
x 6a 3 3y 6<br />
2. Anota el grado que se pide de la siguiente expresión: 3a 2 b 3 c<br />
grado absoluto<br />
en relación con a<br />
en relación con b<br />
en relación con c<br />
3. Anota el grado de los polinomios siguientes:<br />
4x 4 – 6x + 3x 3 –8<br />
9x 6 y 5 + 6xy – 9 + 7xy 3 grado en relación con x<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
grado en relación con y<br />
4. Ordena los polinomios siguientes como se indica:<br />
8x 4 – 6x + 9 – 3x 3 orden ascendente<br />
220
orden descendente<br />
3a 4 – 2a 2 + 9 – 6a orden ascendente<br />
orden descendente<br />
3x 4 + 3xy 3 + 6x 2 y 2 + 9 orden ascendente con respecto de x<br />
orden descendente con respecto de x<br />
orden ascendente con respecto de y<br />
orden descendente con respecto de y<br />
Compara tus resultados con los de tus compañeros. Comenta los problemas que tuviste en<br />
tu equipo para resolver los ejercicios anteriores. Si hay errores, corrígelos.<br />
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:<br />
1. Tomando como base la expresión x 4 y, contesta:<br />
a) ¿Cuál es su grado absoluto?<br />
b) ¿Cómo lo localizaste?<br />
c) ¿Cuál es el grado con respecto de x?<br />
d) ¿Cuál es el grado con respecto de y?<br />
e) ¿Cómo se localiza el grado de un término con respecto de una literal?<br />
2. Contesta las preguntas referentes al polinomio 8x 3 – 6xy 2 + 4x 2 y.<br />
a) ¿Cuál es el grado con respecto de x?<br />
b) ¿Cuál es el grado con respecto de y?<br />
c) ¿Cómo obtuviste el grado con respecto de las literales?<br />
3. Ordena el siguiente polinomio en la forma que se indica.<br />
9x 3 y – 4x 2 y 4 + 12 – 5x 4 y 3<br />
a) Orden ascendente con respecto de x<br />
b) Orden descendente con respecto de x<br />
221<br />
MATEMÁTICAS
c) Orden ascendente con respecto de y<br />
d) Orden descendente con respecto de y<br />
e) ¿Qué criterio seguiste para ordenar el polinomio anterior?<br />
Intercambia tus ejercicios con otro compañero y revisa con la clave. Si hay divergencias,<br />
acláralas con tus compañeros.<br />
CLAVE<br />
1. a) Quinto grado; b) Sumando los exponentes de las literales; c) Cuarto grado; d) Primer<br />
grado; e) Identificando el exponente que tiene;<br />
2. a) Tercer grado; b) Segundo grado; c) Identificando el mayor exponente de dicha letra;<br />
3. a) 12 – 4x 2y 4 + 9x 3y – 5x 4y 3 ; b) –5x 4y 3 +9x3y – 4x 2y 4 + 12;<br />
c) 12 + 9x 3y – 5x 4y 3 – 4x 2y 4 ; d) –4xy 4 – 5x 4y 3 + 9xy + 12.<br />
ALGO SE CONSERVA<br />
57 Términos semejantes con coeficiente entero<br />
Reducción de términos semejantes con coeficiente entero<br />
Si reduces un papel a cenizas, no conserva ninguna cualidad original; pero si sólo reduces<br />
su tamaño, no cambian sus características fundamentales. En álgebra también se pueden<br />
hacer reducciones y conservarán la esencia de su origen.<br />
Así verás en el video cómo al reducir términos semejantes no se afectan sus<br />
“cualidades”.<br />
Invita a un(a) compañero(a) para leer y analizar el siguiente texto:<br />
TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE ENTERO<br />
Se realiza el inventario de una papelería y se dan los siguientes informes: en mostrador hay<br />
123 cuadernos cuadriculados, 95 cuadernos rayados, 27 cajas de plumas de tinta negra, 34<br />
cajas de plumas de tinta azul, 18 cajas de gomas para borrar, 16 cajas de lápices y 49 cajas<br />
de sacapuntas; y, en bodega, se tienen 418 cuadernos cuadriculados, 649 cuadernos rayados,<br />
43 cajas de plumas de tinta negra y 17 cajas de lápices; pero 15 cuadernos cuadriculados<br />
se mojaron, 11 cuadernos rayados tenían las hojas manchadas y 2 cajas de lápices se<br />
rompieron (lo que significa una pérdida para la papelería).<br />
Para tener una información más clara de la existencia de artículos, es conveniente reunir<br />
toda la información. Así se tiene que:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
222
a) Cuadernos cuadriculados: 123 + 418 – 15 = 526<br />
b) Cuadernos rayados: 95 + 649 – 11 = 733<br />
c) Cajas de plumas de tinta negra: 27 + 43 = 70<br />
d) Cajas de plumas de tinta azul: 34<br />
e) Cajas de gomas de borrar: 18<br />
f) Cajas de lápices: 16 + 17 – 2 = 31<br />
g) Cajas de sacapuntas: 49<br />
Para hacer este inventario se procedió así:<br />
• Se sumó el número de cuadernos de la misma clase y se restó el número de ellos<br />
inservibles.<br />
• Los datos correspondientes a elementos de los cuales sólo hay un número en existencia<br />
permanece.<br />
Si llamamos con una letra a cada uno de los artículos en existencia, podemos hacer una<br />
convención así:<br />
Cuadernos cuadriculados : c<br />
Cuadernos rayados: r<br />
Cajas de plumas de tinta negra: n<br />
Cajas de plumas de tinta azul: a<br />
Cajas de goma de borrar: b<br />
Cajas de lápices: l<br />
Cajas de sacapuntas: s<br />
Si alguien quisiera tener la suma del número de artículos de la papelería podría expresarlo<br />
así:<br />
123c + 418c – 15c + 95r + 649r – 11r + 27n + 43n + 34a + 18b + 16l + 17l –2l + 49s y si, luego,<br />
se suman y se restan los artículos de la misma clase, se tendrá:<br />
526c + 733r + 70n + 34a + 18b + 31l + 49s.<br />
No podrían realizarse más sumas porque cada término representa la existencia de artículos<br />
de la misma clase.<br />
De igual manera procederemos para hacer más sencillas las expresiones polinómicas con<br />
términos semejantes.<br />
223<br />
MATEMÁTICAS
Ejemplos:<br />
4a 2 y –6a 2 son términos semejantes, pues las literales y sus exponentes son iguales, aunque<br />
los coeficientes sean diferentes.<br />
–2xy – 2x 3 no son términos semejantes, pues aunque tengan el <strong>mismo</strong> coeficiente y la misma<br />
literal, el exponente es diferente.<br />
Así, cuando se tienen términos semejantes, se pueden reducir conforme al siguiente señalamiento.<br />
1. Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, éstos se suman<br />
y el resultado llevará el signo que ellos tenían, seguido de la parte literal:<br />
7m + 8m = 15m; –9x –3x = 12x.<br />
2. Cuando los términos semejantes tienen coeficiente con diferente signo, se restan los<br />
valores absolutos y al resultado se le da el signo del sumando con mayor valor absoluto,<br />
seguido de la parte literal:<br />
–3m 2 + 8m 2 = 5m 2 ; 12xy –21xy = –9xy<br />
3. Cuando los términos semejantes son más de dos y sus coeficientes tienen signo<br />
diferente, se agrupan en uno los de signo positivo y en otro los de signo negativo,<br />
después se reducen ambos términos conforme se señala en el punto anterior:<br />
–4a + 8a – 9a + 7a = –13a + 15a = 2a.<br />
Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la expresión<br />
resultante con el signo negativo o positivo que originalmente tenía.<br />
De todo lo anterior, se puede concluir que:<br />
Para reducir o agrupar términos semejantes con coeficiente entero, se realiza una adición<br />
algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.<br />
Reúnete con dos compañeros y contesta las preguntas, en tu cuaderno.<br />
a) ¿Serán semejantes dos términos cuyas letras son las mismas, pero su orden es diferente?<br />
¿Por qué?<br />
b) ¿Qué hace que dos o más términos sean semejantes?<br />
c) ¿Qué papel desempeñan los coeficientes en términos semejantes?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
224
Compara tus respuestas con las de tus compañeros; si hay divergencia, coméntala y obtén<br />
una conclusión.<br />
Copia en tu cuaderno y une con una línea los términos semejantes al que está<br />
en el círculo.<br />
Reduce o agrupa mentalmente los siguientes términos y escribe el resultado.<br />
a) 4m 2 n – 6m 2 n – 3m 2 n = b) 8ab + 3ab –7ab =<br />
c) –3a 2 + 7a 2 + 2a 2 –14a 2 = d) 2xy + 8xy + 11xy – 24xy =<br />
e) –14x 3 + 8x 3 – 9x 3 – 6x 3 = f) 23mn + 14mn –33mn =<br />
g) –12y 2 – 30y 2 + 4y 2 =<br />
h) ¿Qué parte de cada término usaste para realizar la reducción o agrupación?<br />
i) ¿Qué hiciste con la parte literal?<br />
j) Explica, en forma breve, el procedimiento realizado.<br />
Comprueba los resultados de las operaciones con la calculadora.<br />
CLAVE<br />
−2x 3y 2<br />
7 2 y x +8 2 y x −3yx<br />
11 2 x y −11 3 x y<br />
xy 2<br />
4 2 x y xy 2<br />
a) –5m 2n; b) 4ab; c) –8a2 ; d) –3xy; e) –21x3 ; f) 4mn; g) 38y 2 ;<br />
h) El coeficiente; i) Se conserva; j) Para reducir términos semejantes con coeficiente entero, se<br />
realiza una adición algebraica de ellos y el resultado conserva la misma parte literal.<br />
225<br />
9x 2y 2<br />
−5 2 x x<br />
−6 2 x y −9 2 y x<br />
MATEMÁTICAS
INSTINTO DE CONSERVACIÓN<br />
58 Términos semejantes con coeficiente racional<br />
Reducción de términos semejantes con coeficiente racional<br />
Reducir términos algebraicos que sean semejantes requiere de un cuidado especial ; en<br />
esta sesión conocerás la forma de reducir aquellos que lo sean, pero que además tengan<br />
coeficiente racional.<br />
Observa el video con atención. Posteriormente, comenta las dudas que tengas<br />
ante el grupo.<br />
Invita a un compañero para leer y analizar el siguiente texto:<br />
TÉRMINOS SEMEJANTES CON COEFICIENTE RACIONAL<br />
Si se tiene la siguiente expresión algebraica:<br />
−4<br />
x 2 + 04 . x 3 + 03 . x 2 −<br />
7<br />
x 3 + 8x − 4<br />
5<br />
8<br />
¿Qué términos son semejantes?, ¿cómo son sus coeficientes?, ¿se podrán agrupar o reducir<br />
los términos semejantes?<br />
Las respuestas a estas preguntas se encuentran efectuando el siguiente análisis:<br />
Los términos 04 3 . x y − 7<br />
8<br />
tes de x 3 o de x 2 .<br />
x 3 así como −4<br />
5<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
x 2 y 03 2 . x son semejantes porque son como par<br />
Los coeficientes de estos términos están en forma de fracción común y decimal.<br />
Por lo tanto, sí se pueden reducir términos semejantes, pero es necesario expresar los coeficientes<br />
en forma de fracción común o decimal.<br />
Si los coeficientes se expresan como fracción decimal, se tiene:<br />
− 7<br />
= 0. 875<br />
−<br />
4<br />
= −08<br />
.<br />
8<br />
5<br />
Una vez que los coeficientes están expresados como fracciones decimales, se procede a<br />
escribirlos en la expresión original.<br />
226
–0.8 x 2 + 0.4 x 3 + 0.3 x 2 – 0.875 x 3 + 8 x – 4<br />
Ya identificados los términos semejantes, se procede a reducir; el resultado conserva la<br />
parte literal, y los términos no semejantes se conservan, ya que éstos no se reducen con<br />
ningún otro término, en este caso 8x y –4.<br />
Coeficientes de x 2 : –0.8 + 0.3 = –0.5<br />
Coeficientes de x 3 : 0.4 – 0.875 = – 0.475<br />
Se ordenan los términos en forma decreciente.<br />
–0.475x 3 – 0.5x 2 + 8x – 4<br />
Este es el resultado de reducir términos semejantes en una expresión algebraica.<br />
Los coeficientes se expresan en forma de fracción común y se convierten aquellos que estén<br />
como fracción decimal a común.<br />
04 . =<br />
4<br />
03 . =<br />
3<br />
10<br />
10<br />
Los coeficientes se escriben en la expresión algebraica original.<br />
−<br />
4 2 +<br />
4 3 +<br />
3 2 −<br />
7 3<br />
x x x x + 8x − 4<br />
5 10 10 8<br />
Se subrayan de igual forma los términos semejantes.<br />
−<br />
4<br />
x 2 +<br />
4<br />
x 3 +<br />
3<br />
x 2 −<br />
7<br />
x 3 + 8x − 4<br />
5 10 10 8<br />
Los términos semejantes se reducen mientras que los no semejantes se conservan, ya que<br />
no se reducen con ningún otro término, estos son 8x y –4.<br />
Coeficientes de x 2<br />
−<br />
4<br />
+<br />
3<br />
=<br />
− 8+ 3<br />
= −<br />
5<br />
simplificando: −<br />
5 10 10 10<br />
1<br />
2<br />
Coeficientes de x 3 :<br />
4<br />
10<br />
−<br />
7<br />
8<br />
=<br />
16 − 35<br />
=<br />
−<br />
19<br />
40 40<br />
227<br />
MATEMÁTICAS
Se colocan los términos en orden decreciente.<br />
−<br />
19<br />
x 3 −<br />
1<br />
x 2 + 8x − 4<br />
40 2<br />
Es más recomendable emplear fracciones comunes, ya que hace el procedimiento más sencillo,<br />
pues al usar fracciones decimales se tendrá el inconveniente de que existirán fracciones<br />
decimales periódicas.<br />
Con base en lo anterior, se tiene:<br />
Para reducir términos semejantes con coeficiente racional, se deben convertir los coeficientes<br />
en fracción común y posteriormente se reducen dichos términos; con esto se<br />
facilita el procedimiento de la reducción.<br />
Forma un equipo de trabajo como lo indique el profesor, y contesta lo que se<br />
pide a continuación:<br />
1. ¿Cuándo dos o más términos algebraicos son semejantes?<br />
2. Al reducir términos algebraicos semejantes, ¿qué les sucede a los coeficientes y qué a<br />
las letras?<br />
3. ¿Cómo reducirías o agruparías los términos semejantes en una expresión algebraica<br />
en donde algunos tienen coeficientes en forma de fracción común y otros en forma de<br />
fracción decimal?<br />
4. En las siguientes expresiones algebraicas subraya los términos semejantes y luego<br />
escribe por qué son semejantes.<br />
− 025 +<br />
1 7<br />
. m n m n + 32 . m n<br />
5<br />
7 6 6 6 7<br />
3<br />
c d + 026 . c d + 4c d − 22 . c d<br />
7<br />
3 6 3 2 3 2 3 6<br />
Lee tus respuestas ante el grupo y, si no coinciden, consulta con tu profesor.<br />
En forma individual, resuelve en tu cuaderno lo siguiente:<br />
1. Subraya de la misma forma los términos que sean semejantes en la expresión algebraica:<br />
4 3 2 35 3 4 3 4 3 3 2<br />
1 3<br />
d e + . d e − d e − 026 . d e − d − 05 .<br />
3<br />
7<br />
8<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
228
a) Escribe por qué esos términos son semejantes.<br />
b) Expresa como fracción decimal el coeficiente del término semejante que aparece como<br />
fracción común. ¿Qué dificultad se te presentó?<br />
c) Ahora, el coeficiente del término semejante que aparece como fracción decimal,<br />
exprésalo como fracción común.<br />
d) ¿Cuál de estas formas te pareció más sencilla? ¿Por qué?<br />
e) Convierte los coeficientes de la expresión algebraica en la forma que consideraste más<br />
sencilla.<br />
f) Reduce los términos semejantes.<br />
g) ¿Qué términos no son semejantes? ¿Por qué?<br />
h) Escribe la expresión algebraica que se obtiene después de realizar la reducción de<br />
términos semejantes.<br />
2. Una vez que ya analizaste la forma de reducir términos semejantes, ahora, en las siguientes<br />
expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes.<br />
a) 3p6 −0. 22p3<br />
−<br />
3<br />
p6 +<br />
4<br />
p3<br />
+ 2<br />
5 7<br />
b) −<br />
3<br />
a b + 09 . a b − 031 . a7b6 −<br />
9<br />
a b<br />
7<br />
5<br />
7 6 4 6 7 6<br />
Intercambia tu cuaderno con otro compañero para que compares tus resultados; en caso de<br />
que los resultados sean diferentes, consulta la clave.<br />
CLAVE<br />
d , –0.5; Porque<br />
3<br />
8<br />
246<br />
700<br />
4 3<br />
d e , 1<br />
p + p + 2;<br />
7<br />
6 3<br />
3 4<br />
. d e , − 3<br />
d e +<br />
35<br />
d e −<br />
3<br />
d e −<br />
1<br />
d −<br />
5<br />
; 2. a)<br />
10 7 8 10<br />
12<br />
5<br />
no tienen las mismas literales y los <strong>mismo</strong>s exponentes que los dos anteriores;<br />
d e ; g) 35<br />
3 2<br />
,<br />
35<br />
,<br />
−3<br />
, −<br />
26<br />
,<br />
5<br />
,<br />
1<br />
, 1. 3333...,<br />
10 7 100 10 8<br />
−<br />
− −<br />
; d) Queda abierta;<br />
d e , − 026 . d e ; a) Porque tienen las mismas literales y los <strong>mismo</strong>s exponentes.<br />
229<br />
300<br />
3 2 3 4 4 3 3<br />
3.5, –0.42857, –0.26, –0.125, –0.5; f) 322<br />
100<br />
a b −<br />
9<br />
a b<br />
10<br />
7 6 4 6<br />
= 1. 3333333...;<br />
c) –0.26= −26<br />
3 2 3 2<br />
700<br />
b) 517<br />
322<br />
300<br />
3<br />
e) 4<br />
3<br />
b) 4<br />
3<br />
h)<br />
1. 4<br />
MATEMÁTICAS
VALOR CONSTANTE<br />
59 Valor numérico de un polinomio<br />
Obtención del valor numérico de un polinomio<br />
¿Has oído hablar de que el valor de las monedas de cada país depende de la reserva en oro<br />
que tienen sus bancos?<br />
Así se podría decir que dicho valor es inconstante o variable.<br />
Observa el video donde conocerás más casos de valores que son inconstantes<br />
por estar supeditados a ciertas variables.<br />
Con un compañero lee y analiza el siguiente texto:<br />
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO<br />
Un polinomio consta de dos o más términos y, a su vez, cada término podrá tener una o más<br />
literales, las cuáles representan valores indeterminados. Pero, ¿qué sucede cuando a esa<br />
literales se les otorga un valor?<br />
Obsérvese:<br />
Se tiene el polinomio –4x + 2y – 5m 2 y se asignan arbitrariamente los valores:<br />
x = 3; y = 8; m = –2<br />
Para encontrar el valor numérico del polinomio es necesario conocer el valor numérico de<br />
cada uno de los términos que lo forman.<br />
Recuérdese que, cuando aparecen en un <strong>mismo</strong> término dos o más literales sin que entre<br />
ellas haya un signo de + o –, se trata de una multiplicación y sucederá lo <strong>mismo</strong> con las<br />
literales y su coeficiente.<br />
De esta forma, se tiene que:<br />
–4x = (–4) (3) ; –4x = –12<br />
+2y = (+2) (8); +2y = +16<br />
–5m 2 = (–5) (–2) 2 ; –5m 2 = –20<br />
Una vez determinado el valor de cada término del polinomio, se reducen todos hasta encontrar<br />
un solo valor que será el que corresponda a todo el polinomio, o sea:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
230
–12 + 16 – 20 = –16<br />
Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = –16 cuando x = 3; y = 8; m = –2<br />
Véanse otros casos.<br />
Para el <strong>mismo</strong> polinomio –4x + 2y – 5m 2 , se le asignan los siguientes valores a las literales:<br />
x = –8; y = 5; m = 1<br />
Se determina el valor numérico de cada término:<br />
–4x = (–4) (–8) ; –4x = +32<br />
+ 2y = (+2) ( 5) ; +2y = +10<br />
–5m 2 ) = (–5) (1) 2 ; –5m 2 = – 5<br />
Ahora se reducen todos los valores numéricos hasta tener uno solo que será el que corresponda<br />
al polinomio,<br />
+ 32 + 10 – 5 = 37<br />
Por lo tanto, el valor numérico de –4x + 2y – 5m 2 = 37 cuando x = –8; y = 5; m = 1.<br />
Obsérvese un ejemplo más para el <strong>mismo</strong> polinomio.<br />
Los valores de las literales son:<br />
x =− 1<br />
; y =−<br />
2<br />
; m =<br />
1<br />
3 5 2<br />
El valor numérico de cada término del polinomio es:<br />
−4x = ( −4)( −<br />
1<br />
3)<br />
; − 4x<br />
= +<br />
4<br />
3<br />
+ 2y = ( + 2)(<br />
−<br />
2<br />
5)<br />
; + 2y<br />
= −<br />
4<br />
5<br />
−5 −5<br />
1<br />
2 m = ( )( 2)<br />
2<br />
; 2 −5m =<br />
−<br />
5<br />
4<br />
231<br />
MATEMÁTICAS
Al reducir los valores numéricos de todos los términos, se tiene:<br />
+<br />
4<br />
−<br />
4<br />
−<br />
5<br />
3 5 4<br />
=<br />
80 −48 − 75<br />
=<br />
60<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
43<br />
60<br />
Así que el valor numérico del polinomio − 4x + 2y −5m 2 = −<br />
43<br />
60<br />
El valor numérico de un polinomio depende del valor que se asigne a las literales que lo<br />
forman, y, por tanto, del valor numérico que corresponde a sus términos.<br />
Con un compañero, responde en tu cuaderno.<br />
a) ¿Qué es un polinomio?<br />
b) ¿Qué operación representan dos o más letras juntas o un número y una o más letras<br />
juntas?<br />
c) ¿Cómo se asignan los valores a las variables?<br />
d) ¿De qué depende el valor de un polinomio?<br />
Continúa con tu compañero, y anota el número (del 1 al 5) que le corresponda<br />
a cada paso, según el orden en que se realizan; hazlo en tu cuaderno.<br />
Asignar el valor numérico al polinomio ( )<br />
Determinar el valor numérico de cada término ( )<br />
Enunciar el polinomio ( )<br />
Reducir los valores obtenidos ( )<br />
Asignar el valor a las letras ( )<br />
Lee en voz alta el orden asignado y, si tuviste errores, corrígelos.<br />
Únete a otros compañeros y completa el siguiente cuadro en tu cuaderno; efec<strong>tú</strong>a<br />
las operaciones mentalmente.<br />
232
Valor numérico de m n x y –5m +2n 2 –3x +6y 3<br />
–5m + 2n 2 – 3x +6y 3<br />
139 8 –8 –1 2 –40 128 +3 48<br />
–4 3 7 –1 18 –21<br />
0 1 –6 2<br />
–3 5 –4 0 50 0<br />
Cambia tu trabajo con un compañero de otro equipo y comprueba los resultados con la<br />
calculadora. Si hubo errores, coméntalos con él.<br />
Individualmente, resuelve el siguiente ejercicio en tu cuaderno y anota el resultado<br />
en el lugar que corresponda.<br />
Dado el polinomio –4a 2 b + 2a –3b + 5ab y los valores a = –1 , b = 1<br />
2<br />
233<br />
anota lo que se te pide:<br />
a) a 2 = b) –4a 2 b = c) +2a = d) –3b = e) +5ab =<br />
f) –4a 2 b + 2a – 3b + 5ab =<br />
g) ¿Consideras que el procedimiento anterior es el mejor, o existirá algún otro que también<br />
sea conveniente? Explica.<br />
CLAVE<br />
=<br />
4<br />
= 2;<br />
2<br />
4a b = ( 4)( 1)<br />
1 ( 2)<br />
3 3 1<br />
b = ( )( 3<br />
2)<br />
= ;<br />
2<br />
c) +2a = (2) (–1) = –2; d) − − −<br />
a) a 2 = (1) 2 = 1; b) − − − − −<br />
UNO DEPENDE DE OTRO<br />
60 Tabulación de polinomios<br />
Elaboración de una tabla de valores<br />
5 5 1 1<br />
ab = ( )( )( 2)<br />
= = f) –4a2b + 2ab – 3b + 5ab = –8<br />
2<br />
2<br />
5<br />
2<br />
e) + − −<br />
En matemáticas, cuando se desea representar con mayor interés una información relevante<br />
dentro de un texto, podemos utilizar una tabla de valores; ésta concentra los elementos indispensables<br />
para continuar un determinado proceso, como podría ser graficar alguna expresión.<br />
¿Te gustaría saber cómo elaborar una tabla de valores de una expresión algebraica?<br />
MATEMÁTICAS
Realiza las actividades que a continuación se indican.<br />
Observa atentamente el video; cuando termine, comenta con un compañero<br />
cercano la idea principal expuesta.<br />
Lee con atención.<br />
TABULACIÓN DE POLINOMIOS<br />
Como ya se ha dicho, el valor de un polinomio está determinado por los diferentes valores<br />
que se asignan a las variables, ya que.<br />
Si a = 1 entonces 3a + 5 = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8<br />
Si a = 2 entonces 3a + 5 = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11<br />
Si a = 3 entonces 3a + 5 = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14<br />
Si a = 4 entonces 3a + 5 = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17<br />
Esta información se puede colocar en una tabla:<br />
Este cuadro representa la tabulación de la expresión 3a + 5, cuando su variable adquiere los<br />
valores de 1 a 4.<br />
Tabular un polinomio consiste en ordenar en una tabla sus valores numéricos de acuerdo con<br />
los distintos valores que se aplican a las variables.<br />
También es posible tabular expresiones con más de una variable y asignar valores a cada<br />
una de ellas.<br />
Ejemplo: Tabular la expresión 3x 2 – 2 y para los siguientes valores de x y y.<br />
x = –5, y = 2; x = 2, y = –3;<br />
x = –3, y = –4; x = –1, y = 1<br />
Cuando x = –5 y y = 2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
a 3a + 5<br />
1 8<br />
2 11<br />
3 14<br />
4 17<br />
234
3(–5) 2 – 2(2) = 75 – 4 = 71<br />
Cuando x = 2 y y = –3<br />
3(2) 2 – 2(–3) = 12 + 6 = 18<br />
Cuando x = –3 y y = –4<br />
3(–3) 2 – 2(–4) = 27 + 8 = 35<br />
Cuando x = –1 y y = 1<br />
3(–1) 2 – 2(1) = 3 – 2 = 1<br />
x y 3x 2 – 2y<br />
–3 2 71<br />
2 –3 18<br />
–3 –4 35<br />
–1 1 1<br />
Es importante tener presente la tabulación de polinomios, para que posteriormente pueda<br />
aplicarse este conocimiento con representaciones gráficas de expresiones algebraicas.<br />
Reúnete con dos compañeros y, después de analizar las siguientes preguntas,<br />
contéstalas.<br />
1. Además de una tabla de valores, ¿conoces otra forma de representar matemáticamente<br />
una información sobresaliente? ¿Cuál es?<br />
2. ¿Qué necesitas para calcular el valor numérico de una expresión algebraica?<br />
3. ¿Qué operaciones realizas para obtener todos los valores de un polinomio?<br />
4. ¿Se puede tabular una expresión de distintas variables?<br />
5. Expresa con tus palabras el procedimiento para tabular un polinomio.<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo; si no coinciden, consulta con tu profesor.<br />
Trabaja con el compañero más cercano y elabora en tu cuaderno una tabla de<br />
valores del polinomio 2x 2 + y, para los siguientes valores de x y y.<br />
x = 1, y = 2; x = 4, y = 3; x = 2, y = 5; x = 5, y = 1<br />
235<br />
MATEMÁTICAS
Compara tus resultados con los que dé tu profesor; si tienes errores, revisa tus procedimientos.<br />
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:<br />
1. ¿Recuerdas una expresión para calcular el área de un triángulo si conoces la base y la<br />
altura? Escríbela.<br />
A =<br />
2. Encuentra mentalmente los valores del área de un triángulo de base b y altura h, cuando<br />
tienen los valores siguientes:<br />
b = 6, h = 3; A =<br />
b = 8, h = 5; A =<br />
b = 11, h = 4; A =<br />
b = 15, h = 6; A =<br />
3. Completa, en tu cuaderno, la tabla con los valores de 2x<br />
y −<br />
3<br />
x y<br />
5<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
236<br />
2 3 7 8<br />
El profesor elegirá algunos compañeros para completar la tabla en el tablero. Observa las<br />
correcciones que haga el profesor y compara tus respuestas. En caso necesario, consulta la<br />
clave.<br />
CLAVE<br />
x y 2x 2 + y<br />
b h A<br />
3<br />
5<br />
11<br />
15<br />
b h A=<br />
6 3 9<br />
8 5 20<br />
11 4 22<br />
15 6 45
61<br />
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES DOMINAR<br />
LAS MATEMÁTICAS<br />
Evaluación parcial de lo desarrollado<br />
Integración de lo aprendido<br />
En esta sesión se pretende que aclares y precises tus ideas con respecto de las bases del<br />
álgebra, lo cual te facilitará su comprensión y estudio.<br />
Observa con atención el video, ya que por medio de él podrás dar respuesta a<br />
tus dudas.<br />
Integra un equipo de trabajo como lo indique tu profesor, para responder los<br />
siguientes cuestionamientos:<br />
1. En el lenguaje algebraico, ¿cómo se representan los números desconocidos?<br />
2. De la expresión algebraica 2x<br />
2y 3 −<br />
3<br />
x 7y 8,<br />
contesta lo siguiente:<br />
5<br />
a) ¿Cuántos términos tiene? Entonces, ¿cómo se llama?<br />
b) ¿Cuál es el coeficiente del segundo término?<br />
c) ¿Cuáles son los exponentes de x en cada término?<br />
d) ¿A x y y cómo se les llama?<br />
e) ¿Cuál es el grado de dicha expresión con respecto a y?<br />
3. Dada la expresión 3a 2 b 5 + 8b 4 c 2 – a 8 b 3 c 4 , ¿cuáles son las variables y cuáles, las constantes?<br />
Explícalo.<br />
4. En una potencia indicada, ¿qué representa la base y qué, el exponente?<br />
5. Si tienes una multiplicación de dos potencias indicadas con la misma base, ¿cómo<br />
obtienes el producto de ellas?<br />
6. ¿Cuál es la razón por la que el cociente que se obtiene de m<br />
m<br />
237<br />
8<br />
15 es 1 7<br />
m ?<br />
7. Explica con tus palabras cómo extraer una raíz determinada de una potencia.<br />
8. ¿Qué entiendes por grado de un polinomio con respecto de una letra?<br />
MATEMÁTICAS
9. ¿Cuándo dos términos algebraicos son semejantes?<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Aclara tus dudas.<br />
Sigue con tu equipo de trabajo. Comenten y expliquen a qué se refiere cada<br />
una de las siguientes expresiones.<br />
169 163 1612<br />
( )( )= 2 2 x − 2xy<br />
+ y,<br />
si x = 3, y = 1<br />
Entonces<br />
k 13<br />
= k 5<br />
2 2 x − 2xy + y = 4<br />
k<br />
8<br />
2 9 6 3 5<br />
4x y − x y + 8y − 2x<br />
el grado es 9 respecto de y<br />
Indica el número de veces que se<br />
toma la base como factor<br />
En forma individual, resuelve los ejercicios que se dan a continuación:<br />
1. Escribe en el lenguaje usual cómo se lee la expresión 2x 2 – 1.<br />
2. Escribe el grado del siguiente polinomio con respecto de x y ordénalo en forma descendente.<br />
− 4x<br />
2y 2 +<br />
3<br />
x 5y 9 + 023 . x 7y 8 − 3x 6y12 + 01 . x 9y12 − x 4 + 1<br />
4<br />
3. El resultado de y 9 4 es:<br />
4. Reduce los términos que sean semejantes en el siguiente polinomio y ordénalo con<br />
respecto de y.<br />
3 4 5 05 2 5 8 4 5 8 5 4 5 2 5<br />
y z − . y z + y z − y z − y z<br />
7<br />
13 3<br />
5. En el polinomio –4x 3 y + 5x 2 y 2 – 2xy 3 – 2, si x = 2 y y = –1, ¿cuál es su valor numérico?<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
El triple del producto de dos<br />
números, elevado al cubo<br />
x 7 x<br />
8 56<br />
( ) =<br />
238<br />
Término expresado<br />
únicamente con<br />
factores<br />
Factor numérico de<br />
una expresión<br />
algebraica<br />
Símbolos que tienen<br />
un valor específico<br />
2 2 2<br />
3a + 7a −8a +<br />
a − 5a + 8a
Intercambia tu trabajo con otro compañero y compara las respuestas con la clave; si tienes<br />
errores, corrígelos.<br />
CLAVE<br />
. x y + . x y − x y +<br />
3<br />
x y −x − 4x y + 1<br />
4<br />
9 12 7 8 6 12 5 9 4 2 2<br />
UNA REUNIÓN PECULIAR<br />
62 Adición de polinomios<br />
Manejo de la adición de polinomios<br />
¿Cómo realizar la adición de varios polinomios?<br />
y z<br />
59<br />
y z<br />
13<br />
y z ; 5. 54<br />
7 6<br />
1. El doble del cuadrado de un número disminuido en una unidad.<br />
239<br />
9 ; 4. − + −<br />
5 4 4 5 2 5<br />
3. y<br />
2. EI grado es 9; 01 023 3<br />
Observa con atención el video, donde se mostrará algo al respecto. Después<br />
comenta brevemente con tus compañeros acerca del contenido.<br />
Compara tus resultados con tu compañero más cercano; si existen diferencias, consulta con<br />
tu profesor.<br />
Lee con tus compañeros el siguiente texto para ampliar el conocimiento que<br />
adquiriste con el video.<br />
ADICIÓN DE POLINOMIOS<br />
En una fábrica hay una máquina que produce botellas, algunas de las cuales resultan defectuosas.<br />
Cada botella sin defecto produce una ganancia de x pesos y cada botella defectuosa<br />
produce una pérdida de y pesos. En el mes de abril, la máquina produjo 15 000 botellas sin<br />
defecto y 400 defectuosas, durante el mes de mayo la producción fue de 12 500 sin defecto<br />
y 300 defectuosas. ¿Cuál es la ganancia neta total obtenida durante los meses de abril y<br />
mayo?<br />
La ganancia neta obtenida cada mes es igual a la ganancia producida por las botellas sin<br />
defecto menos las pérdidas obtenidas debido a las botellas defectuosas.<br />
La ganancia por cada botella sin defecto se representa con la variable x y las pérdidas por<br />
cada defectuosa con y.<br />
Así la ganancia de cada mes se representa de la siguiente forma:<br />
8<br />
13<br />
4<br />
MATEMÁTICAS
Ganancia de abril 15 000x – 400y<br />
Ganancia de mayo 12 500x – 300y<br />
La ganancia total obtenida de abril y mayo es igual a la ganancia de abril más (+) la ganancia<br />
de mayo.<br />
Ganancia de abril y 15 000x – 400y<br />
mayo.<br />
+ 12 500x – 300y<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
27 500x – 700y<br />
La operación que se utilizó para solucionar el problema es una adición de polinomios.<br />
Para facilitar la adición de polinomios se colocan en forma vertical y se procura que los<br />
términos semejantes coincidan en la misma columna.<br />
En este ejemplo:<br />
(3x 2 + 3x – 5) + (7x + x 2 ) + ( 8 – 4x + 6x 2 )<br />
Se ordenan los polinomios en orden decreciente:<br />
3x 2 + 3x – 5<br />
x 2 + 7x<br />
6x 2 – 4x + 8<br />
Se efec<strong>tú</strong>an las adiciones de los coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal.<br />
Ahora contesta las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Se puede sumar 4m + 6m? ¿Por qué?<br />
b) 5a + 4b, ¿se pueden sumar? ¿Por qué?<br />
3x 2 + 3x – 5<br />
x 2 + 7x<br />
6x 2 – 4x + 8<br />
10x 2 + 6x + 3<br />
Compara tus respuestas; si existen diferencias, consulta con tu profesor(a).<br />
240
Con un compañero, resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:<br />
a) En un salto triple, Luis realizó las siguientes marcas: en la primera parte 3 m, en la<br />
segunda 2 m, y en la tercera 1 m. ¿Qué distancia brincó en total?<br />
b) En un frutero hay 6 plátanos y 2 naranjas; si se agregan 3 plátanos y 8 naranjas, ¿cuántos<br />
plátanos y naranjas tendremos en total? Representa plátanos con p y naranjas con n?<br />
Compara tus resultados con los de otros compañeros; si existen diferencias, consulta con tu<br />
profesor.<br />
Busca un compañero y resuelve los ejercicios siguientes:<br />
a) 3x + y b) 6a + 4b c) 3ab + 4c<br />
+ 2x +a – b + ab<br />
5ab – c<br />
Realiza las siguientes adiciones acomodando los sumandos verticalmente.<br />
a) (x + 2) + (2x + 3) =<br />
b) (5a 2 + b) + (3a 2 + 2b) + (a 2 + b) =<br />
c) (5x 2 + 3x + 2) + (8x – 4) + (6x 2 + 10) =<br />
Compara tus resultados con los de tus compañeros; si existen diferencias, consulta con tu<br />
profesor.<br />
Resuelve las siguientes cuestiones en forma individual:<br />
a) (–5x 2 + 3xy + 3) + (2x 2 – 8xy + 9) + (2xy – 6) =<br />
b) (4a – 2b) + (a – b) + (a + b + c) =<br />
c) (3x 2 + 5y) + (2y 2 + 9y) + (8y + 4x 2 ) =<br />
Compara tus resultados con los que aparecen en la clave. Corrige en caso de que tengas<br />
errores.<br />
CLAVE<br />
a) –3x 2 – 3xy + 6; b) 6a – 2b + c; c) 9x 2 + 22y.<br />
241<br />
MATEMÁTICAS
SUMAR PARA RESTAR<br />
63 Sustracción de polinomios<br />
Conocimiento de la sustracción de polinomios<br />
Ya sabes sumar y restar monomios: esto lo hiciste agrupando términos semejantes. Ahora,<br />
¿cómo se te ocurre que podrías restar polinomios?<br />
Observa atentamente el video; posteriormente, participa con tu grupo, mediante<br />
una lluvia de ideas, para dar respuesta a la pregunta planteada anteriormente.<br />
Lee y analiza cuidadosamente el siguiente texto y comenta con tu compañero<br />
más cercano la idea principal de la lectura. Si tienes dudas, consulta con tu<br />
profesor.<br />
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS<br />
Son muchas las operaciones necesarias para resolver situaciones problemáticas, por ejemplo,<br />
para comparar áreas de figuras.<br />
Ejemplo: hallar la diferencia entre los perímetros de las siguientes figuras:<br />
a + b a – 1<br />
a – 1 a – 1 a – 1 a – 1<br />
a + b a – 1<br />
P = 4a + 2b – 2 P =<br />
1 2<br />
P – P =<br />
1 2<br />
Para encontrar la diferencia buscada es necesario conocer el sustraendo, el cual se obtiene<br />
sumando a –1 cuatro veces P 2 = 4a – 4.<br />
Una vez que se tienen los dos perímetros, se plantea la sustracción de 4a + 2b – 2 menos<br />
4a – 4. Ésta se indica encerrando en paréntesis el minuendo y el sustraendo y separándolos<br />
con el signo menos.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
242
(4a + 2b – 2) – (4a – 4) = 2b + 2<br />
minuendo sustraendo<br />
¿Cómo resolver una sustracción de polinomios?<br />
En esta operación se aplican los conocimientos sobre la sustracción de números racionales,<br />
donde la diferencia se encuentra sumando al minuendo el inverso aditivo del sustraendo.<br />
El inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiando el signo de sus términos.<br />
4a – 4; su inverso aditivo es –4a + 4<br />
Se procede a sumar: (4a + 2b – 2) + (–4a + 4) = 2b + 2<br />
El procedimiento para resolver una sustracción de polinomios consiste en sumar al polinomio<br />
minuendo el inverso aditivo del polinomio sustraendo.<br />
Después se reducen términos semejantes, si los hay.<br />
Ejemplo:<br />
(4x 2 y – 6x – 3) – ( –2x 2 y + x – 8) =<br />
1. Como el inverso aditivo del polinomio sustraendo es 2x 2 y –x + 8, la sustracción se<br />
transforma en adición.<br />
2. Conmutando términos<br />
(4x 2 y – 6x – 3) + (2x 2 y – x + 8)<br />
4x 2 y + 2x 2 y – 6x – x – 3 + 8 =<br />
3. Reduciendo o agrupando términos semejantes, encontramos el polinomio diferencia.<br />
4x 2 y + 2x 2 y – 6x – x – 3 + 8 = 6x 2 y – 7x + 5<br />
—— —— == ==<br />
Una manera más cómoda de resolver una sustracción de polinomios es hacerla en forma<br />
vertical.<br />
Ejemplo:<br />
(–3a 3 + 2a 2 + 5) – (6a 3 – 4a 2 + 1) =<br />
243<br />
MATEMÁTICAS
1. Se transforma en adición, utilizando el inverso aditivo del sustraendo.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
( –3a 3 + 2a 2 + 5) + ( –6a 3 + 4a 2 –1) =<br />
2. Se escribe el inverso del sustraendo debajo del minuendo, de tal manera que<br />
correspondan los términos semejantes.<br />
3. Se reducen términos semejantes.<br />
–3a 3 + 2a 2 +5<br />
+ –6a 3 + 4a 2 –1<br />
–3a 3 + 2a 2 + 5<br />
+ –6a 3 + 4a 2 – 1<br />
–9a 3 + 6a 2 + 4<br />
Participa en un grupo de tres compañeros, intercambia ideas y escribe en tu<br />
cuaderno las conclusiones respecto de:<br />
a) ¿Cómo encuentras el inverso aditivo de un polinomio?<br />
b) ¿De qué manera reduces términos semejantes?<br />
c) Escribe el procedimiento que te parezca más sencillo para resolver una sustracción de<br />
polinomios<br />
d) Explica el caso particular que representa la sustracción siguiente:<br />
(–4a 3 b + a 2 – 2) – (4a 3 b – a 2 + 2) =<br />
Con la participación de tu profesor(a), los equipos leerán sus comentarios hasta llegar a<br />
conclusiones de grupo. Corrige si tienes errores.<br />
En forma individual, contesta lo que se te pide:<br />
1. Identifica los elementos de la sustracción.<br />
(–4a 2 b + 2a – 1) – (2a 2 b – 6a)<br />
Polinomio sustraendo:<br />
Polinomio minuendo:<br />
Inverso del polinomio sustraendo:<br />
Polinomio diferencia:<br />
244
2. Escribe dos polinomios cuya diferencia sea igual a cero.<br />
Compara tus respuestas con las de tus compañeros; corrige lo necesario.<br />
Resuelve individualmente.<br />
Se tienen dos terrenos, A y B, con las medidas que se indican.<br />
1<br />
3 x<br />
Considerando la figura anterior, escribe con los símbolos correspondientes lo que se plantea.<br />
1. Representa el perímetro de B.<br />
2. Representa el perímetro de A.<br />
3. Representa la operación B – A.<br />
4. ¿Cuál es la diferencia entre A y B?<br />
El profesor elegirá algunos compañeros para que muestren sus resultados; si son diferentes,<br />
el profesor te auxiliará; en caso necesario, consulta la clave.<br />
CLAVE<br />
A B<br />
2<br />
3<br />
SURTIDO RICO<br />
64 Operaciones combinadas<br />
Resolución de adición y sustracción combinadas<br />
x<br />
1. x + 2x; 2. x + 2y; 3. ( x + 2y) – ( x + 2y); 4. x.<br />
Al concluir la sesión podrás notar qué sencillo es adquirir destreza en la realización de operaciones<br />
de adición y sustracción combinadas.<br />
Observa en el video los aspectos que te llevarán a resolver estas operaciones<br />
tan especiales.<br />
245<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
y<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
MATEMÁTICAS
Después del programa, comenta con tu grupo de qué manera la información que te dieron te<br />
servirá para realizar este tipo de operaciones.<br />
Intégrate a un equipo y realiza la lectura siguiente.<br />
OPERACIONES COMBINADAS<br />
Para afirmar el conocimiento de adiciones y sustracciones de polinomios, se proponen ejercicios<br />
en los que después de obtener una suma, se tenga que restar otro polinomio o donde<br />
el resultado de una sustracción se deba sumar a otro polinomio.<br />
Ejemplos:<br />
De x 3 – 9x 2 y + 7y 3 restar el polinomio que resulte de sumar:<br />
x 3 + 8x 2 y – 3xy 2 + 2y 3 con – 6x 2 y + 2xy 2 – 4y 3<br />
Cuando se tiene que resolver una operación de este tipo, se puede proceder así<br />
1. Se identifica el minuendo, que en este caso es:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
x 3 – 9x 2 y + 7y 3<br />
2. Se obtiene el sustraendo, sumando las expresiones dadas:<br />
x 3 + 8x 2 y – 3xy 2 + 2y 3<br />
– 6x 2 y + 2xy 2 – 4y 3<br />
x 3 + 2x 2 y – xy 2 – 2y 3<br />
3. Una vez obtenida la suma, que será el sustraendo, se procede a restarla del minuendo,<br />
o sea: (x 3 – 9x 2 y + 7y 3 ) – (x 3 + 2x 2 y –xy 2 – 2y 3 ). Se ordena en columnas, pero anotando<br />
el simétrico del sustraendo (inverso aditivo), para sumarlo con el minuendo.<br />
x 3 – 9x 2 y + 7y 3<br />
–x 3 – 2x 2 y + xy 2 + 2y 3<br />
– 11x 2 y + xy 2 + 9y 3<br />
246
La adquisición de práctica para realizar estas operaciones servirá de base para avanzar<br />
gradualmente hacia la realización de cálculos más complicados en los que se opera con<br />
expresiones algebraicas.<br />
Continúa trabajando con tu equipo y en tu cuaderno resuelve los siguientes<br />
ejercicios.<br />
1. Encuentra la suma de:<br />
(9a 2 – 7a + 8) + (–5a 2 – 2a – 3)<br />
2. Realiza la siguiente operación:<br />
(12x 2 – 6) – (– 8x 2 + 2x)<br />
Al terminar, compara tus resultados con otro equipo y corrige tus errores.<br />
Individualmente, realiza en tu cuaderno, completando los espacios en blanco,<br />
las expresiones algebraicas que faltan e identifica el minuendo y el sustraendo.<br />
Aplica el cálculo mental y, posteriormente, comprueba tus resultados con la calculadora,<br />
operando los coeficientes de términos semejantes:<br />
1. De 9x 3 + 9x 2 – 4, sumado con 2x 3 + 2, restar –2x 3 – 2<br />
+ 9x 2 – 4 11x 3 + 9x 2 – 2<br />
2x 3 + 2 2<br />
11x 3 13x 3 + 9x 2<br />
2. De 8x 3 + 6x 2 – 4xy + 8 restar x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3 más 2xy – 4xy 2 – 2y 3<br />
x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3<br />
2xy – 4xy 2 – 2y 3 – x 2 6xy + 6xy 2 – 2y 3<br />
x 2 6xy 2 + 2y 3 8x 3 + 5x 2 – 10xy + 6xy 2 – 2y 3 + 8<br />
Compara tus resultados con los que dé tu maestro y corrige en caso de error.<br />
247<br />
MATEMÁTICAS
Reflexiona sobre las siguientes cuestiones y anota tu conclusión.<br />
1. ¿Qué aspecto, en la resolución de estas operaciones combinadas, te costó más trabajo?<br />
¿Por qué?<br />
2. ¿Qué crees que es lo más importante de tener en cuenta en este tipo de ejercicios?<br />
CLAVE<br />
minuendo<br />
SON DE LA MISMA ESPECIE<br />
65 Productos de monomios<br />
Multiplicación de dos monomios<br />
Cuando dices que dos o más seres son de la misma especie, ¿a qué te refieres?<br />
Observa atentamente el video y deduce el porqué de señalar al producto de<br />
monomios como de la “misma especie” que ellos.<br />
Lee y analiza, en compañía de un(a) amigo(a) de tu clase, el siguiente texto:<br />
PRODUCTO DE MONOMIOS<br />
Cuando tienes que encontrar el producto de dos monomios, es necesario reflexionar sobre el<br />
producto de potencias con igual base, o bien, sobre el producto de potencias con base<br />
diferente; temas estos sobre los cuales ya conoces cómo proceder. Además has de tener<br />
especial cuidado con sus signos.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
248<br />
sustraendo<br />
x 2 + 6xy – 6xy 2 + 2y 3 8x 3 + 5x 2 – 10xy + 6xy 2 – 2y 3 + 8<br />
2xy – 4xy 2 – 2y 3 – x 2 – 6xy + 6xy 2 –2y 3<br />
x 2 + 4xy – 2xy 2 + 4y 3 8x 3 + 6x 2 – 4xy + 8<br />
minuendo sustraendo<br />
11x 3 + 9x 2 2 13x 3 + 9x 2<br />
2x 3 + 2 2x 3 + 2<br />
9x 3 + 9x 2 – 4 11x 3 + 9x 2 – 2
Ejemplos:<br />
a) (m 2 ) (–m 3 ) m 2 y –m 3 tienen igual base<br />
m 2 es de signo + y –m 3 es de signo –<br />
(m 2 ) (–m 3 ) = –m 2+3 = –m 5<br />
El resultado da un monomio de signo –, porque multiplicaste (+) × (–). Como las bases son<br />
iguales, sumaste los exponentes.<br />
b) (–a 2 ) (–b 2 ) –a 2 y –b 2 tienen bases diferentes<br />
–a 2 y –b 2 tienen signo negativo<br />
(–a 2 ) (–b 2 ) = +a 2 b 2<br />
Como a es diferente de b, el producto quedará indicado y la multiplicación de dos monomios<br />
con signo (–) tendrá como producto un monomio positivo, o sea, (+).<br />
Veamos con un ejemplo los pasos a seguir en la multiplicación de dos monomios:<br />
(–6m) (2m 2 ).<br />
Primero: se multiplican los coeficientes, teniendo cuidado al multiplicar sus signos:<br />
(–6) (2) = –12<br />
Segundo: se multiplican las bases; si son iguales, puedes proceder sumando los exponentes;<br />
si son diferentes, se deja expresada la multiplicación: (m) (m 2 ) = m 3.<br />
Nota: es conveniente escribir las letras en orden alfabético.<br />
Tercero: se coloca el producto literal en seguida del producto de los coeficientes: –12m 3<br />
Otros ejemplos:<br />
a) (–9ab ) (–6a 2 bx 3 ):<br />
(–9) (–6) = +54; (ab) (a 2 bx 3 ) = a 3 b 2 x 3<br />
Por lo tanto: (–9ab) (–6a 2 bx 3 ) = 54a 3 b 2 x 3<br />
249<br />
MATEMÁTICAS
)<br />
Por lo tanto:<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
1<br />
x 2y 2<br />
2<br />
x 3y 2<br />
6<br />
1<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
; ( x y)( x y<br />
6 12<br />
) = x y<br />
( )( )<br />
2 3 2 5 3<br />
1<br />
x y<br />
2<br />
x y =<br />
2<br />
x y =<br />
1<br />
x y<br />
2 6 12 6<br />
2 3 2 5 3 5 3<br />
c) (2mn) (–xy):<br />
(2) (–1) = –2; (mn) (xy) = mnxy<br />
Por lo tanto: (2mn) (–xy) = –2mnxy<br />
d) (–0.5b 3 ) (1.2ab 2 ):<br />
(–0.5) (1.2) = –0.60; (b 3 ) (ab 2 ) = ab 5<br />
Por lo tanto: (–0.5b 3 ) (1.2ab 2 ) = –0.60ab 5<br />
Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno:<br />
a) ¿A qué se le llama monomio?<br />
b) ¿Será monomio la expresión – 3 + y? ¿Por qué?<br />
c) Que operación indica la expresión (5y) + (3m)?<br />
Comenta ante el grupo tus respuestas u observaciones.<br />
Trabaja con dos de tus compañeros.<br />
a) Escriban y expliquen cómo proceden para multiplicar dos o más monomios. Si tienen<br />
dudas, comenten con su profesor.<br />
b) Cada uno de ustedes proponga una multiplicación de monomios para que sea realizada<br />
por los otros dos compañeros. Tú deberías corregir la que has propuesto.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
250
a) −6 −3<br />
2 x x<br />
Con los <strong>mismo</strong>s dos compañeros resuelve las operaciones mentalmente y forma<br />
la figura. Para ello, busca el punto que corresponda al resultado del inciso a);<br />
en seguida, localiza el punto con el resultado de b) y únelo con a), y así<br />
sucesivamente. Copia el cuadro en tu cuaderno.<br />
( )( ) b) 2mn 3m2n3 ( )( )<br />
c) ( 7a)( −8ab) d) −5xy 2 −<br />
1<br />
x 3y<br />
3<br />
e)<br />
( )( ) f)<br />
2<br />
xy<br />
1<br />
a<br />
6 4<br />
251<br />
( )( )<br />
3 4<br />
( )( )<br />
4<br />
m −<br />
1<br />
m<br />
6 5<br />
g) 8 33 2 2<br />
( m n o )( −4pq) h) −2m2n3 −3m2n<br />
i) 5ab<br />
1<br />
a b<br />
4<br />
k)<br />
a)<br />
2 3 2<br />
( )( ) j)<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
2<br />
xy −<br />
7<br />
xy<br />
6 5<br />
2<br />
m2 −<br />
1<br />
m3n l) ( −6ay<br />
)( −5y)<br />
7 5<br />
18 2 x<br />
18 3 x<br />
2 3<br />
( )( )<br />
4<br />
x<br />
2<br />
x<br />
6 9<br />
6m n<br />
3 4<br />
30axy<br />
2<br />
m n<br />
35<br />
2<br />
5 5<br />
−56 2 a b<br />
−6m n<br />
2 3<br />
14<br />
x y<br />
30<br />
2 2<br />
− 2<br />
m5n 35<br />
14<br />
x y<br />
30<br />
2 2<br />
− 14<br />
x y<br />
30<br />
2 2<br />
− 5<br />
x y<br />
3<br />
5<br />
x4y 3<br />
3<br />
4 3<br />
5<br />
a b<br />
4<br />
2<br />
24 axy<br />
Individualmente, resuelve los ejercicios siguientes:<br />
4 4<br />
( )( )=<br />
2 2<br />
= b) −8a b −8a<br />
b<br />
− 4<br />
m<br />
30<br />
7<br />
−32m3n2o2pq 6m n<br />
−6m n<br />
4 4<br />
2 2<br />
MATEMÁTICAS
c)<br />
Ahora, contesta brevemente las siguientes preguntas, en tu cuaderno.<br />
g) ¿Cómo son los términos del inciso b)?<br />
h) ¿De qué otra forma podrías escribir ese producto?<br />
i) ¿Cómo son los términos del inciso f)?<br />
j) ¿Se podrá escribir ese producto como el del caso anterior?<br />
Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, pregunta a tu profesor.<br />
CLAVE<br />
( )( )<br />
7<br />
mn<br />
5<br />
mn<br />
10 6<br />
e) 9abc<br />
2<br />
a b<br />
3<br />
2 3 2<br />
( )( )<br />
la potencia es la expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales, y éstos no lo son.<br />
= ; f) –25x 2 ; g) Iguales; h) (–8a 2 b) 2 ; i) Simétrlcos; j) No. Porque<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
= d) −2x 2y 3 −7a2x<br />
m n<br />
7<br />
m n<br />
12<br />
= ; d) 14x 2 x 3 y 3 ;<br />
2 2 2 2<br />
252<br />
x =<br />
4<br />
x ; b) 64a<br />
27<br />
4b 2 ; c) 35<br />
60<br />
a b c 6ab<br />
c<br />
4 3 4 3 4<br />
5 5<br />
EL GRANDE SE COME AL PEQUEÑO<br />
66 Producto de un polinomio por un monomio<br />
Dominio de la multiplicación de un polinomio por un monomio<br />
3<br />
e) 18<br />
54<br />
a) 8<br />
¿Has oído decir que el pez grande se come al pequeño? Pues, aunque en matemáticas no<br />
se trata de peces, algo semejante sucede,<br />
Reúnete con un compañero y realiza la lectura comentada del siguiente texto:<br />
PRODUCTO DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO<br />
Como ya se dijo, un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos<br />
(monomios) que se separan entre sí con signos más (+) o menos (–):<br />
–4x + 2y – 3m; 5a 2 b – 2a 3 + 8b – 6b 2<br />
( )( ) =<br />
= f) ( 5x)( 5x)<br />
=
Así que, cuando se desea multiplicar un polinomio con un monomio, se recurre a la propiedad<br />
distributiva de la multiplicación. Obsérvese el ejemplo:<br />
(ab) (2ax – 3by + 4ab)<br />
Se multiplica el monomio por cada término que forma parte del polinomio:<br />
(ab) (2ax) = 2a 2 bx<br />
(ab) (–3by) = –3ab 2 y<br />
(ab) (+4ab) = 4a 2 b 2<br />
El resultado estará formado por la adición algebraica de todos ellos, es decir:<br />
(ab) (2ax – 3by + 4ab) = 2a 2 bx – 3ab 2 y + 4a 2 b 2<br />
Nótese que deben tenerse en cuenta los signos de los coeficientes, y la forma de proceder<br />
con los exponentes cuando la base era la misma y, cuando no lo era, se dejó expresada la<br />
multiplicación; además de que las letras de cada término aparecen en estricto orden alfabético.<br />
Asi<strong>mismo</strong>, la multiplicación de un monomio por un polinomio también se puede representar<br />
en forma vertical y el resultado que se obtenga será el <strong>mismo</strong>.<br />
Ejemplos:<br />
2ax –3by + 4ab<br />
ab<br />
2a 2 bx –3ab 2 y + 4a 2 b 2<br />
(–6ax) (–8mx + 4ay –2mn) = 48amx 2 –24a 2 xy + 12amnx; porque:<br />
(–6ax) (–8mx) = +48amx 2<br />
(–6ax (+4ay) = –24a 2 xy<br />
(–6ax) (–2mn) = +12amnx<br />
o también:<br />
–8mx + 4ay – 2mn<br />
– 6ax<br />
48amx 2 –24a 2 xy + 12amnx<br />
De esto se puede concluir que, al multiplicar un polinomio por un monomio, el resultado es<br />
253<br />
MATEMÁTICAS
también un polinomio cuyos términos son el producto del monomio por cada término del<br />
polinomio factor y, ya sea que la multiplicación se exprese en forma horizontal o en forma<br />
vertical, el resultado será el <strong>mismo</strong>.<br />
Trabaja con tu compañero.<br />
Los productos indicados en a) y b) son pasos planteados por un estudiante, necesarios en<br />
una multiplicación de un monomio por un polinomio.<br />
a)<br />
2<br />
( )( )<br />
2<br />
m<br />
1<br />
m<br />
3 4<br />
= b)<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
254<br />
3 ( )( ) =<br />
2<br />
m<br />
1<br />
n<br />
3 8<br />
c) ¿Cuál es el monomio que multiplica? ¿Por qué lo reconoces?<br />
d) Hay en los dos productos un factor que no se repite, ¿cómo conformarían ellos un<br />
polinomio? Escríbelo.<br />
e) Enuncia la operación inicial.<br />
Compara tus resultados con los de otros compañeros.<br />
Observa el programa con atención y juega a la lotería con lo que se te expuso<br />
en él y lo indicado en el aspecto de Aplicación de lo aprendido. Juega a la<br />
lotería con tus compañeros, de acuerdo con las siguientes instrucciones:<br />
Se presentarán multiplicaciones de monomios por polinomios. Tú tendrás que resolverlas<br />
mentalmente y subrayar la opción correcta.<br />
El que “cante” primero lotería será el ganador, siempre y cuando sus resultados sean correctos.<br />
1. a) b)<br />
−<br />
2<br />
x 2 + x 2y<br />
−<br />
2<br />
x 3 +<br />
4<br />
x 2y<br />
3<br />
3 4<br />
2. a) b)<br />
−<br />
5<br />
ab +<br />
2<br />
ab −<br />
3<br />
ab −<br />
5<br />
a b + a b −<br />
3<br />
ab<br />
16 2 2<br />
16<br />
2<br />
3. a)<br />
4. a)<br />
5. a)<br />
6. a)<br />
2 2<br />
8mn + 4mn b)<br />
8m + 4m<br />
n<br />
2 4 2 4<br />
10x y + 35x y + 15x<br />
y<br />
2 3 2<br />
2 3 3<br />
10xy + 35x y + 15xy<br />
2 2 3 4<br />
a 2b+ ab 2 − 3ab<br />
b)<br />
−a2b− ab 2 + 3ab<br />
1<br />
5<br />
4<br />
5<br />
x + y<br />
b)<br />
b)<br />
1<br />
5<br />
4<br />
5<br />
x + xy
Si tienes dudas, consulta con algún compañero o con tu profesor, pero sólo al finalizar todos<br />
los puntos.<br />
a)<br />
Individualmente, resuelve los ejercicios:<br />
2 2 3<br />
( ) ( − ) =<br />
1<br />
a<br />
2<br />
a +<br />
1<br />
a<br />
2<br />
a<br />
5 6 3 10<br />
2 2<br />
( )( ) =<br />
b) −6xy − 5x+ 6y−2xy c) 3mn + 4ab<br />
1<br />
mn<br />
3<br />
d)<br />
( )( ) =<br />
2 3 3<br />
( )( ) =<br />
2<br />
7<br />
5<br />
d +<br />
3<br />
d −<br />
1<br />
d<br />
3 8 5<br />
Compara tus resultados con los de otros compañeros y, si existen discrepancias, consulta<br />
con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
a +<br />
1<br />
a +<br />
18<br />
a ; b) 12x<br />
15 3<br />
2y 3 + 10x 2y 2 –12xy 4 ; c) m n abmn<br />
3<br />
+<br />
2 2 4<br />
LA UNIÓN HACE LA FUERZA<br />
67 Producto de dos polinomios<br />
Obtención del producto de dos polinomios<br />
255<br />
d +<br />
6<br />
d −<br />
2<br />
d<br />
56 35<br />
2 3<br />
3 5 5<br />
21<br />
d) 10<br />
30<br />
a) 2<br />
Sumar esfuerzos cuando se tiene un problema, ayuda a resolverlo. Eso <strong>tú</strong> lo sabes, pero te<br />
preguntarás: ¿qué tiene que ver esto con el producto de polinomios? Bueno, sólo tienes que<br />
realizar las siguientes actividades para entenderlo.<br />
Invita a un compañero de tu grupo para observar el video. Comenta con él<br />
cómo se obtiene el producto de dos polinomios y dónde se puede aplicar esta<br />
operación.<br />
Lee el siguiente texto y comenta con tus compañeros de grupo los pasos<br />
necesarios para obtener el producto de polinomios.<br />
MATEMÁTICAS
PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS<br />
Existen situaciones en las que es necesario encontrar el producto de dos polinomios. Uno de<br />
estos casos es cuando se requiere hallar el área de un rectángulo; por ejemplo, en la figura<br />
siguiente la base tiene un valor y + 2 y la altura, x + 5.<br />
Para obtener su área se efec<strong>tú</strong>a la multiplicación (x + 5) (y + 2). Recuérdese que, para<br />
obtener el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno<br />
de los términos del factor polinomio. Así, para hallar el producto de dos polinomios se multiplican<br />
todos los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio,<br />
y se agrupan términos semejantes, si los hay.<br />
Véase el ejemplo:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
5<br />
+<br />
x<br />
(x + 5) (y + 2) = x (y + 2) + 5 (y + 2) = xy + 2x + 5y + 10<br />
Gráficamente el área del rectángulo se representa así:<br />
5<br />
+<br />
x<br />
Existe otra forma de realizar la multiplicación de dos polinomios y es anotarlos en forma<br />
vertical, siguiendo un proceso parecido al de la multiplicación de números de varios dígitos.<br />
Por ejemplo (– 6m + 4n) (5m – 8n) se anota así:<br />
y<br />
–6m + 4n<br />
5m – 8n<br />
5y<br />
xy<br />
y<br />
256<br />
+<br />
+<br />
2<br />
10<br />
2x<br />
2
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio inferior por todos los términos del<br />
polinomio superior, con la variante de que se comienza por el lado izquierdo a multiplicar y<br />
anotar.<br />
–6m + 4n<br />
5m – 8n<br />
–30m 2 + 20mn<br />
Los productos parciales siguientes se anotan de manera que los términos semejantes queden<br />
en una misma columna, y se reducen éstos para obtener el producto final.<br />
–6m + 4n<br />
5m – 8n<br />
–30m 2 + 20mn<br />
+ 48mn – 32n 2<br />
–30m 2 + 68mn – 32n 2<br />
En general, de cualquiera de las dos formas se puede obtener el producto de dos polinomios,<br />
ya que en ellas se multiplican todos los términos del primer polinomio por cada uno de los<br />
términos del segundo polinomio.<br />
Analiza con tu compañero de trabajo lo aprendido en la lectura, para así contestar<br />
las siguientes preguntas:<br />
a) ¿Cómo se obtiene el producto de un monomio por un polinomio?<br />
b) ¿Qué tiene en común el procedimiento anterior con el que se usa para la multiplicación<br />
de dos polinomios?<br />
c) Al obtener los productos parciales, ¿cuál es el paso siguiente?<br />
d) ¿Qué aplicación puedes ilustrar?<br />
e) Si se quiere usar el procedimiento vertical, ¿cómo se procede?<br />
Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si tienes dudas, coméntalas con el<br />
profesor.<br />
257<br />
MATEMÁTICAS
Forma un equipo de trabajo y contesta los ejercicios siguientes:<br />
1. En tu cuaderno, representa gráficamente el producto de (2x + 1) (5y + 4)<br />
2. Encuentra el producto multiplicando parcialmente, en tu cuaderno.<br />
( )( ) = ______ ( ___ + _____ ) + ______ ( ___ + _____ )<br />
−<br />
2<br />
t +<br />
1 1<br />
t + 4<br />
4 3 2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
= ______ – ___ + _____ + _____<br />
3. Resuelve directamente las multiplicaciones que siguen:<br />
( –5r + 1) (2r + 4) =<br />
– 7m + 2n<br />
3m – 5n<br />
Compara tus respuestas con las de otro equipo, y si existen dudas, coméntalas con tu profesor.<br />
Resuelve individualmente el problema, contestando las preguntas siguientes:<br />
Encuentra el área de un rectángulo cuyas dimensiones son 1<br />
a + 4de<br />
base y<br />
3<br />
1<br />
a + 2de<br />
altura.<br />
2<br />
a) Anota en lenguaje común las dimensiones anteriores.<br />
Base: Altura:<br />
b) En tu cuaderno, representa el rectángulo y sus dimensiones.<br />
c) ¿Qué operación se debe efectuar para obtener el área?<br />
d) Encuentra el área, utilizando las dos formas de obtener el producto de dos polinomios.<br />
Compara tus respuestas con la clave. Si tienes dudas, pregunta a tu profesor.<br />
258
CLAVE<br />
1<br />
4<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
2 4<br />
2 3 2<br />
1<br />
2<br />
1 2 4<br />
( a + ) ( a + ) a a + + a + a + a + a + 8<br />
2 6 3 2<br />
= ( ) ( ) = =<br />
UN “ENTRE” PAREJO<br />
68 Cociente de monomios<br />
Obtención del cociente de un monomio entre otro<br />
2<br />
La palabra monomio significa “un término”. Ahora verás cómo realizar una división entre<br />
monomios, término a término; este conocimiento te ayudará a comprender las divisiones<br />
algebraicas en general.<br />
Observa el video y comenta con tus compañeros qué conocimientos del año<br />
pasado te sirven para comprender este tema.<br />
259<br />
a +<br />
16<br />
a +<br />
6<br />
c) Multiplicación de polinomios<br />
a + 4<br />
a a2 1 1 4<br />
a<br />
2 6 2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2 a 8<br />
3<br />
a) Base: el tercio de un número más cuatro. Altura: la mitad de un número más dos.<br />
b)<br />
8<br />
8<br />
8<br />
a +<br />
16<br />
a +<br />
6<br />
a +<br />
2<br />
3<br />
a +<br />
4<br />
a<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a +<br />
a +<br />
1<br />
6<br />
1<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
= 1<br />
6<br />
+<br />
d)<br />
MATEMÁTICAS
Forma un equipo de trabajo y lee.<br />
COCIENTE DE MONOMIOS<br />
Ya sabes que la división es la operación inversa de la multiplicación. Ella nos permite saber<br />
cuántas veces cabe una cantidad en otra. El número que se va a dividir es el dividendo, el<br />
que divide es el divisor y el resultado es el cociente.<br />
En álgebra se aplica también esta operación en diversos casos: división de monomios, cociente<br />
de un polinomio entre un monomio, y cociente de dos polinomios. Véanse los ejemplos<br />
siguientes de monomio entre monomio y sus componentes.<br />
− 4 2<br />
dividendo r s<br />
= 2r<br />
cociente<br />
2 2<br />
divisor r s<br />
(–16m 4 n 3 ) ÷ (–4m 2 n) = 4 m 2 n 2<br />
dividendo divisor cociente<br />
Para efectuar la división algebraica se necesita recordar conceptos de la división entre números<br />
enteros.<br />
El cociente de dos números positivos es un número positivo.<br />
El cociente de dos números negativos es un número positivo.<br />
El cociente de dos números con diferente signo es un número negativo.<br />
Para efectuar el cociente algebraico es necesario recordar el cociente de potencias y la<br />
potencia cero. En general:<br />
a<br />
a<br />
m<br />
n<br />
= a<br />
m−n Donde m y n son números racionales y m ≠ 0.<br />
Cuando se divide algebraicamente se pueden presentar los siguientes casos:<br />
1. Que los términos tengan potencias de la misma base.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
260<br />
y<br />
a 0 =<br />
1
Ejemplos:<br />
−<br />
14x<br />
4<br />
= −7x<br />
2 2 x<br />
( −14)÷ 2 = −7<br />
( )÷ ( ) = =<br />
x x x − x<br />
4 2 4 2 2<br />
8r<br />
4s2 = −2s<br />
4 −4r<br />
s<br />
2 12m<br />
= 4<br />
1<br />
=<br />
4<br />
3 3m<br />
m m<br />
2. Que en los términos se encuentren potencias con bases diferentes.<br />
Cuando se da este caso no se pueden dividir las potencias, pues no son de la misma base;<br />
recuérdese que éstas representan diferentes valores.<br />
Ejemplos:<br />
−7a<br />
= + 14 .<br />
a<br />
=<br />
14 . a<br />
−5c<br />
c c<br />
18x<br />
4y 6x<br />
3y<br />
= −<br />
−3xz<br />
z<br />
Se puede comprobar una división, multiplicando el cociente por el divisor y el producto debe<br />
coincidir con el dividendo, Ejemplo:<br />
25r<br />
s<br />
2r<br />
3 2<br />
=− 12. 5r<br />
s<br />
2 2<br />
( −12. 5r s )( 2r) = −25r<br />
s<br />
2<br />
2 2 3 2<br />
Primero se dividen los números enteros y por último las potencias<br />
de la misma base. Todo ello se hace mentalmente,<br />
de ser posible.<br />
Nótese en este ejemplo que al aplicar el cociente de potencias<br />
se obtuvo r 0 s y se sabe que r 0 = 1, de donde se tiene<br />
que: –2r 0 s = –2(1)s y el uno al multiplicarse por los otros<br />
factores no se escribe.<br />
Aquí el exponente de la potencia del divisor es mayor que el<br />
del dividendo, por ello se maneja como fracción la literal.<br />
Obsérvese que cuando las potencias son diferentes se siguen<br />
presentando como cociente.<br />
Se realiza la división de coeficientes y potencias de la misma<br />
base y se mantiene el cociente de potencias de distinta<br />
base<br />
261<br />
MATEMÁTICAS
Como se observa, este proceso es de utilidad para encontrar el dividendo cuando se conoce<br />
el divisor y el cociente en una operación. Véase el ejemplo siguiente:<br />
4x<br />
3<br />
=−7xy<br />
( )( ) =<br />
−7xy 4x3 − 28x4y<br />
Nótese que el dividendo se obtiene del producto del cociente por el divisor.<br />
Cuando en la división el componente faltante es el divisor, es necesario efectuar la división<br />
del dividendo entre el cociente, por ejemplo:<br />
48z<br />
y<br />
4 2<br />
48z<br />
y<br />
−12y<br />
4 2<br />
=−12y<br />
=<br />
− 4z4y<br />
En conclusión, para encontrar el cociente de un monomio entre otro monomio se siguen los<br />
siguientes pasos:<br />
Dividir los coeficientes con su signo y las potencias de la misma base, considerando<br />
para ello el cociente de números enteros y el de potencias de la misma base.<br />
Con tus compañeros de equipo y usando la siguiente división explica con tus<br />
palabras cómo procedes para realizarla.<br />
9x<br />
y<br />
−3xy<br />
3 2<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
2<br />
Resuelve individualmente.<br />
Encuentra los cocientes que siguen y comprueba los resultados, auxiliándote con la calculadora.<br />
− 215r<br />
s t<br />
15 2 2 r st<br />
4 3 2<br />
−<br />
723abc<br />
−14xy<br />
=<br />
4<br />
= ( 634m n)÷ ( 22m)<br />
=<br />
262<br />
32xy<br />
−5xyz<br />
Compara tu trabajo con el de otro compañero; si encuentras incongruencias, consulta con tu<br />
profesor.
Resuelve individualmente los ejercicios que siguen:<br />
1. Encuentra los cocientes.<br />
a)<br />
125p<br />
q<br />
3 15p<br />
5 4<br />
= b)<br />
2. Halla el componente que falta en cada división.<br />
a)<br />
4 2 2<br />
20m n<br />
=<br />
4m<br />
n −<br />
b)<br />
263<br />
−360q<br />
2 32r<br />
3<br />
q<br />
=−3<br />
15p<br />
p<br />
Coteja tus resultados con la clave; si tienes dudas, coméntalas con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
; 2. a) –5m 2 n b) –45q<br />
2<br />
r<br />
3 11. 2q 1. a) 8.3 p 2 q 2 ; b)<br />
TODO ENTRE LO MISMO<br />
69 Cociente de un polinomio entre un monomio<br />
Comprensión de la división de un polinomio entre un monomio<br />
¿Has oído la frase célebre “divide y vencerás”? Ahora, en álgebra se puede enunciar como<br />
“divide y reducirás”. Esto es porque al efectuar divisiones algebraicas se reducen coeficientes,<br />
literales y exponentes.<br />
Observa el video ya que de él obtendrás información que te facilitará entender<br />
la forma de dividir un polinomio entre un monomio.<br />
Comenta ante el grupo aquellos aspectos que sean nuevos para ti.<br />
Lee y analiza con un(a) compañero(a).<br />
COCIENTE DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO<br />
A través de un ejemplo y aplicando la división entre enteros y el cociente de potencias con la<br />
misma base, podrás comprender cómo hallar el cociente de un polinomio entre un monomio.<br />
Si se tiene:<br />
(6x – 12x 2 + 13x) ÷ 3x<br />
MATEMÁTICAS
Una forma sencilla de llevar a cabo esta división es expresándola en notación fraccionaria.<br />
6x 3 − 12x 2 + 3x<br />
3x<br />
Obsérvese que el polinomio es el dividendo y el monomio es el divisor, asi<strong>mismo</strong> el monomio<br />
es el divisor común a todos y a cada uno de los términos del polinomio, por lo que la división<br />
se indica uno a uno, es decir, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el<br />
monomio, por lo que esta expresión se puede representar así:<br />
6x<br />
3x<br />
−<br />
12x<br />
+<br />
3x<br />
3x<br />
3x<br />
3 2<br />
Ya sabes cómo efectuar cada división:<br />
6x<br />
3x<br />
3<br />
−12x<br />
3x<br />
= 2x<br />
2<br />
+ 3x<br />
+ 1<br />
3x<br />
=<br />
2<br />
= −4x<br />
Así pues, el cociente final se representa con las expresiones obtenidas:<br />
6x 3 − 12x 2 + 3x<br />
= 2x 2 − 4x + 1<br />
3x<br />
Ahora, se verá un ejemplo en donde intervienen otras letras:<br />
− 15c d + 18c d − 30cd + 3d<br />
3d<br />
3<br />
3 2 2 3 4<br />
Primero se indican las divisiones entre monomios:<br />
−15c3d =<br />
−5c<br />
3 2<br />
3d<br />
d<br />
+18c<br />
d<br />
3 3d<br />
−30cd<br />
3d<br />
3<br />
+ 3d<br />
3d<br />
4<br />
3<br />
2 2<br />
3<br />
=<br />
6c<br />
d<br />
3<br />
2<br />
= −10c<br />
=<br />
+ d<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
264
Aquí se observa que la letra que no es común al divisor es c; por lo que ésta permanece<br />
intacta en el dividendo y sólo se reduce la letra común. También obsérvese que hay ocasiones<br />
en que la literal d, al aplicar el cociente de potencias con las mismas bases, aparece en<br />
el dividendo y en el divisor.<br />
El cociente se representa con las expresiones obtenidas.<br />
3 2 2 3 4 3 2<br />
− 15c d + 18c d − 30cd + 3d<br />
=<br />
−5c<br />
+<br />
6c<br />
− 10c<br />
+ d<br />
3<br />
2<br />
3d<br />
d d<br />
Con base en los ejemplos mostrados, se tiene que:<br />
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del<br />
polinomio entre el monomio; los coeficientes deben tener en cuenta los signos y las<br />
letras el cociente de potencias con la misma base.<br />
Con tres de tus compañeros, contesta lo que se pide a continuación.<br />
Si se tiene: (8m 9 n 2 – 10m 7 n 4 – 20am 5 n 6 + 12m 3 n 8 ) ÷ 2m 2<br />
1. ¿De qué otra forma se puede expresar esta división?<br />
2. ¿Cuál es el divisor?<br />
3. Al dividir los coeficientes, ¿qué obtienes?, ¿qué pasa con los signos?<br />
4. ¿Qué letra de los términos del dividendo se puede reducir o simplificar con las del<br />
divisor? ¿Por qué?<br />
5. A la letra que no se reduce, ¿qué le sucede?<br />
6. Explica brevemente el procedimiento que usarías para resolver una división de este<br />
tipo.<br />
Lee ante el grupo tus respuestas, y comenta tus procedimientos.<br />
Continúa con tus compañeros y marca con un <strong>mismo</strong> color las expresiones<br />
algebraicas de los círculos que dan como cociente el que se indica en el siguiente<br />
esquema. Hazlo en tu cuaderno.<br />
265<br />
MATEMÁTICAS
En forma mental, obtén el cociente que se pide y luego escríbelo.<br />
1.<br />
2.<br />
+40m<br />
20m<br />
3<br />
2a<br />
+ b<br />
2ab<br />
2 3<br />
=<br />
+6m<br />
2m<br />
8x 3 + 32x 2 −16x − 4<br />
4x<br />
+20mn<br />
2m<br />
Compara tus resultados con los de otro compañero; si tienes errores, corrígelos<br />
En forma individual, obtén el cociente de las expresiones siguientes:<br />
1. (8m 9 n 2 –10m 7 n 4 –20m 5 n 6 + 12m 3 n 8 ) ÷ 2m 2<br />
¿ Te pareció fácil la resolución?<br />
2. (x 4 – 5x 3 –10x 2 + 15x + 8) ÷ –5x<br />
¿Se te presentó alguna dificultad? Explica cuál fue.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
3<br />
2<br />
−6mn<br />
2m<br />
2<br />
COCIENTE 3m − 4mn + 10n<br />
266<br />
+ 12m<br />
2m<br />
2<br />
+12m<br />
2m<br />
2<br />
+6m<br />
2m<br />
2<br />
2 2
Compara tus resultados con los de la clave. Si existen errores, corrígelos.<br />
CLAVE<br />
GRAN DISTRIBUCIÓN<br />
70 Cociente de dos polinomios I<br />
Conocimiento del algoritmo de la división de dos polinomios<br />
En esta sesión, verás lo fácil que es dividir polinomios siguiendo algunos pasos.<br />
Observa atentamente el video donde se señalan los pasos que se siguen para<br />
dividir polinomios.<br />
Con tus compañeros, realiza la lectura, analizando y aplicando lo que conoces<br />
sobre división de números enteros.<br />
COCIENTE DE DOS POLINOMIOS I<br />
Al efectuar una división, lo que se busca es una expresión llamada cociente que multiplicada<br />
por el divisor dé como producto el dividendo.<br />
La división de polinomios resulta sencilla si se sigue un procedimiento análogo al que conoces<br />
para la división entre números enteros.<br />
Ejemplo 1<br />
Dividir:<br />
x<br />
8<br />
5<br />
21x 2 − 32 + 4x<br />
4 + 3x<br />
x 2x 3<br />
1. 4m 7 n 2 – 5m 5 n 4 – 10m 3 n 6 + 6mn 8 ; 2. − + + + −<br />
2<br />
3<br />
5<br />
x<br />
1. Se ordenan los polinomios del dividendo y del divisor en forma descendente. En relación<br />
con una letra determinada, en este caso, con respecto a x:<br />
21x 2 + 4x – 32 3x + 4<br />
2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo<br />
entre el primero del divisor:<br />
267<br />
MATEMÁTICAS
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
21x<br />
3x<br />
2<br />
268<br />
= 7x<br />
3. El resultado se anota como cociente y se multiplica por el divisor cuyo producto se<br />
anota debajo del dividendo:<br />
21x 2 + 4x – 32 3x + 4<br />
21x 2 + 28x 7x<br />
4. Se resta la expresión anotada, cambiando de signo los términos:<br />
21x 2 + 4x – 32 3x + 4<br />
–21x 2 – 28x 7x<br />
– 24x – 32<br />
5. Se repite el proceso tomando el residuo como dividendo:<br />
−24x<br />
8<br />
3x<br />
=−<br />
Se anota como cociente y se efec<strong>tú</strong>a la multiplicación:<br />
21x 2 + 4x – 32 3x + 4<br />
–21x 2 – 28x 7x – 8<br />
– 24x – 32<br />
– 24x – 32<br />
Se resta el producto, cambiando de signo los términos anotados:<br />
21x 2 + 4x – 32 3x + 4<br />
–21x 2 – 28x 7x – 8<br />
– 24x – 32<br />
+ 24x + 32<br />
0 + 0
6. El proceso se continúa hasta que el residuo sea cero o de grado inferior que el divisor.<br />
Si el residuo es cero como en el caso anterior, se dice que la división es exacta.<br />
Para comprobar si el cociente obtenido es correcto, se le multiplica por el divisor y el resultado<br />
debe ser el dividendo.<br />
7x – 8<br />
3x + 4<br />
21x 2 – 24x<br />
+ 28x – 32<br />
21x 2 + 4x – 32<br />
Reúnete con un compañero y contesta las preguntas siguientes:<br />
Para que resulten más fáciles, háganlo siguiendo paso a paso la división de:<br />
4a 3 + 4a + 14a 2 entre 2 + 2a<br />
1. ¿Cuál es el primer paso para efectuar la división de polinomios?<br />
2. ¿Cómo se encuentra el primer término del cociente?<br />
3. ¿Qué debe hacerse para restar al dividendo el producto del cociente y el divisor?<br />
4. ¿Cómo se comprueba la división?<br />
Lee tus respuestas ante el grupo y discute sobre las que no coincidan. Corrige si es necesario.<br />
Realiza con tu compañero las divisiones siguientes. Comprueba el resultado,<br />
haciendo la multiplicación en el lado derecho.<br />
Dividir: (25 + 6x 3 + 17x – 27x 2 ) ÷ (4 – x)<br />
¿Tus resultados fueron correctos? ¡Felicidades! ¿Hubo incongruencias? Revisa tus procedimientos.<br />
De manera individual, realiza en tu cuaderno la siguiente división, justificando<br />
cada paso, como se muestra en el primer cuadro:<br />
269<br />
MATEMÁTICAS
a)<br />
b)<br />
Compara tus resultados con la clave adjunta. Si existen diferencias, haz nuevamente la<br />
operación y corrígela.<br />
CLAVE<br />
x 3 x x 2<br />
( + 9 + 8+ 6 )÷ ( x + 3)<br />
3 2 x + 6x + 9x + 8 x + 3<br />
Dividir el residuo entre el divisor y multiplicar<br />
el cociente por el divisor y restar el<br />
producto al dividendo.<br />
Dividir el primer término del dividendo entre<br />
el primero del divisor y encontrar el<br />
producto para restarlo al dividendo.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
270<br />
Ordenar en forma decreciente los<br />
polinomios e indicar la división<br />
b) x 3 + 6x 2 + 9x – 8 x + 3<br />
3x 2 + 9x x 2 + 3x<br />
–3x 2 – 9x<br />
0 – 0<br />
3x 2<br />
a) x 3 + 6x 2 + 9x – 8 x + 3<br />
–x 3 – 3x 2 x 2<br />
ENTRE DOS GRANDES<br />
71 Cociente de dos polinomios II<br />
Ejercitación del algoritmo de la división de dos polinomios<br />
¿Te has fijado qué haces cuando deseas dominar un juego o alguna actividad en la que<br />
quieres ser mejor? Pues ahora se te da la oportunidad de hacer lo <strong>mismo</strong> con el tema que<br />
viste en la sesión anterior.
Observa el video que te ayudará a resolver algunas dudas, o bien, te confirmará<br />
lo aprendido.<br />
RECUERDA. Dados los siguientes pasos, discute, con un(a) compañero(a), cómo los enumeraras<br />
desde 1 hasta 6, según un orden que te permita resolver divisiones de polinomios.<br />
Dividir el primer término del dividendo<br />
entre el primero del divisor.<br />
Ordenar los polinomios del dividendo<br />
y del divisor en forma descendente<br />
con respecto de una literal.<br />
El cociente se multiplica por el divisor<br />
y su producto se anota debajo del<br />
dividendo.<br />
Intercambien con otra pareja sus resultados para discutirlos.<br />
Forma un equipo y resuelve las siguientes operaciones en tu cuaderno.<br />
–6x 2 + 3x + 18 2x + 3 15a 2 b 3 – 9ab ab – 1<br />
Presenta tus resultados en el tablero y, si hay dudas, exponlas al grupo o a tu profesor.<br />
En forma individual, resuelve las divisiones y relaciona ambas columnas.<br />
a) x 2 – 7x + 6 x – 1 ( ) 4x + 3<br />
b) 12x 2 – 7x – 12 3x – 4 ( ) 4xy + 4<br />
c) 2x 3 + 5x 2 – x – 1 2x – 1 ( ) x + 6<br />
d) 8 x 2 y 2 – 4 xy + 6 2xy – 3 ( ) x 2 + 3x + 1<br />
271<br />
Tomar como dividendo el residuo y<br />
repetir el proceso.<br />
Restar la expresión anotada y<br />
cambiar de signo los términos.<br />
Continuar el proceso hasta que el<br />
residuo sea cero o un término de<br />
grado inferior que el divisor<br />
MATEMÁTICAS
Compara tus respuestas con las de la clave y, si tienes dudas, consulta con tu profesor.<br />
CLAVE<br />
COMPRENDER, MÁS QUE RECORDAR, ES<br />
DOMINAR LAS MATEMÁTICAS<br />
72<br />
El lenguaje algebraico en tu entorno<br />
Integración de lo aprendido<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
272<br />
(b), (d), (a), (c)<br />
“Estudiando lo pasado, se aprende lo nuevo”. De este proverbio japonés puede deducirse la<br />
importancia que tiene todo lo que se ha aprendido para la construcción de nuevos conocimientos.<br />
Observa atentamente el video, te recordará lo que estudiaste en este núcleo, y<br />
así reafirmarás los cimientos para aprendizajes posteriores<br />
De acuerdo con tu profesor, integra un equipo de trabajo y resuelve los ejercicios.<br />
1. Contesta en forma breve las preguntas siguientes.<br />
a) ¿A qué se le llama variable?<br />
b) ¿A qué se le llama constante?<br />
c) ¿Qué es necesario hacer para obtener el producto de dos o más potencias de la<br />
misma base?<br />
d) ¿Cómo se obtiene el cociente de potencias con igual base?<br />
e) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?<br />
2. Resuelve las operaciones siguientes:<br />
a) m 2 n 3 b) x 4<br />
c) 6a 2 b + 8a – 6ab – 4ab + 9a =<br />
d)<br />
1<br />
m +<br />
2<br />
x − 05 . m + 21 . x =<br />
2 4<br />
e) (5xy – 3x 2 + 5y) + (9x 2 a 2 – 3a + 8xy) =
f) (2a 2 b –3ab) – (–6a 2 b –2ab 2 ) =<br />
( )( )<br />
g) 1<br />
xy<br />
2<br />
x 3y<br />
4 6<br />
h) 7 2<br />
5<br />
2<br />
( a + b − ab −ab<br />
4 3 )( ) =<br />
i)<br />
5 2<br />
3 2 6 2<br />
( m + n − m m − 7n + 2<br />
6 4 )( ) =<br />
j) (2xy – 8a) ÷ (2xy – 2) =<br />
k) (8a 2 ) ÷ (–2a) =<br />
I) (–5m + 10n + 15mn) ÷ (–5m) =<br />
Compara tus resultados con otro equipo y corrige los errores.<br />
En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:<br />
a) Expresa en lenguaje algebraico “el doble de un número menos el cuadrado del <strong>mismo</strong>”.<br />
b) En la expresión A = πr 2 , las variables son... y las constantes son...<br />
c) La expresión –b, según su número de términos se conoce con el nombre de:<br />
d) La expresión 4x + 2y –3 + 5a 2 se conoce con el nombre de...<br />
e) El orden descendente de la expresión –6x 2 + 8 + 3x 3 – 2x es ...<br />
f) Al reducir la expresión 2m 2 – 3m + 5m 2 + 7m 2 – 8m + 9, queda...<br />
Relaciona ambas columnas, en tu cuaderno:<br />
1. 3a2b<br />
−<br />
9<br />
ab<br />
( ) –y<br />
3<br />
2 ; y 2<br />
( ) ( )<br />
2. (–7ab 2 ) (6ab + 4a – 5b) ( ) y 2<br />
3. (8x 2 y – 24x 2 y 3 – xy) ÷ (xy) ( ) –7a 2 b 2 – 2ab<br />
4. y 8 4 ( ) –9a3b 2<br />
5. (x 2 y) 4 ( ) x 9 y 3<br />
273<br />
MATEMÁTICAS
6. (5a 2 b 2 + 2ab) – (3 a 2 b 2 – ab) ( ) –42a 2 b 3 – 28a 2 b 2 + 35ab 3<br />
7. (10x 3 y 4 ) ÷ (–2x 2 y 2 ) ( ) x 8 y 4<br />
8. 4ab – 6ab + 2a 2 b 2 – 9a 2 b 2 ( ) –5xy 2<br />
9. (x 4 y) (x 5 y 2 ) ( ) 8x – 24xy 2 – 1<br />
10. y 6 ÷ y 3 ( ) 2x 2 b 2 ÷ 3ab<br />
Compara tus resultados con la clave y corrige si tienes errores.<br />
CLAVE<br />
a) 2x –x 2 ; b) variables A, r; constantes π , 2; c) monomio; d) polinomio; e) 3x 3 – 6x 2 – 2x + 8;<br />
f) 14m 2 – 11m + 9; Relación de columnas: 4, 10, 8, 1, 9, 2, 5, 7, 3, 6.<br />
¡DEMUESTRA QUE SABES!<br />
73 El álgebra y <strong>tú</strong><br />
Demostración de lo aprendido<br />
“Pobre del estudiante que no aventaje al maestro”. Esta frase de Leonardo da Vinci te invita a<br />
superarte cada día. Demuestra <strong>tú</strong> ahora que en este núcleo lograste superar las dificultades.<br />
Observa con atención el video, te invitará a jugar para demostrar que sabes.<br />
Sigue las instrucciones y usa la sopa de letras que aparece en seguida.<br />
El ganador será quien encuentre primero las respuestas.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
SOPGJUOBRE I FE<br />
E E I O U S N R O P J U C<br />
M I G M E A U I I S E E O<br />
E X A U O N A E M P S R E<br />
J E J E N N U E O X E T E<br />
A X E S L D O I N M O E I<br />
NPOL I NOM I ODNC<br />
TOEATUVRBANS I<br />
ENRRENPUELUNE<br />
S E O P R I M E R O G E N<br />
ANTVAR I ABLEST<br />
A T L A L U I S A O S X E<br />
SECONSTANTEUS<br />
274
a)<br />
1<br />
4<br />
Ahora, resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios:<br />
x +<br />
2<br />
y −<br />
9<br />
+<br />
3<br />
x −<br />
1<br />
y +<br />
1<br />
=<br />
3 5 2 6 10<br />
b) Si a = 3 y b = 2, ¿cuál es el valor de –6a 2 b?<br />
c) Ordena en forma descendente la expresión –3x + 9x 3 – 2x 2 + 6<br />
d) En la expresión –2m 3 , encierra en un círculo el exponente; en un cuadro, el coeficiente<br />
y subraya la letra.<br />
e) De las siguientes expresiones, encierra en un cuadro las que sean términos semejan<br />
tes de –2a 2 b 3 .<br />
–ab 3 –a 2 b 3 –2a 2 b 3 2a 2 b 3 a 3 b<br />
f) En la fórmula A Pa<br />
= , encierra en un círculo la constante.<br />
b<br />
g) Dados los valores siguientes de las letras, encuentra el valor numérico del polinomio.<br />
Haz el cuadro en tu cuaderno.<br />
m n –2m + 3n 2<br />
1<br />
–1<br />
2<br />
3 2<br />
–4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
0 –3<br />
h) Dada la figura y los datos que contiene, escribe en tu cuaderno:<br />
a<br />
1<br />
5 a<br />
A B C<br />
1<br />
2 a<br />
275<br />
b<br />
MATEMÁTICAS
Área de A = Área de B =<br />
Área de C = Área de A + B + C =<br />
Área de A + B = Área de C – (A + B)=<br />
Área de B – A =<br />
Cuando hayas terminado, espera las indicaciones del profesor para organizar una plenaria y,<br />
junto con tus compañeros, corregir el trabajo hecho.<br />
ARMANDO LAS PIEZAS I<br />
74 Panorámica de lo aprendido<br />
Integración de los tres primeros núcleos<br />
Arma las piezas de tus conocimientos para que tengas un panorama general<br />
de lo que hasta ahora se ha visto en los tres núcleos. Observa el video.<br />
Con dos de tus compañeros, resuelve en tu cuaderno lo que se te indica a<br />
continuación.<br />
I. Completa el siguiente diagrama con cinco actividades de tu comunidad donde<br />
se apliquen las matemáticas.<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
APLICACIÓN DE LAS<br />
MATEMÁTICAS<br />
276
II. Completa el diagrama, en tu cuaderno, escribiendo en lenguaje algebraico o en leguaje<br />
común, según corresponda.<br />
Lenguaje algebraico Lenguaje común<br />
5m + 3n<br />
2<br />
3x + 2y − 9<br />
III. Completa el diagrama en tu cuaderno, y escribe el procedimiento que usas o la operación<br />
a la que se hace referencia.<br />
Operaciones con<br />
fracciones comunes<br />
Adición<br />
Sustracción<br />
División<br />
277<br />
El cuadrado de un número<br />
más el doble del <strong>mismo</strong><br />
número<br />
El doble del producto de dos<br />
números, disminuido en cinco<br />
unidades.<br />
Procedimiento<br />
Se multiplican los numeradores<br />
y los denominadores,<br />
quedando los productos en el<br />
<strong>mismo</strong> orden.<br />
MATEMÁTICAS
IV. Haz el dibujo y colorea los círculos que contengan un divisor de 12.<br />
IV. En esta ruleta hay múmeros primos y números compuestos, colorea en tu cuaderno,<br />
con rojo, los primeros y con negro, los segundos. En seguida, defínelos como <strong>tú</strong> los<br />
comprendas.<br />
Números primos:<br />
Números compuestos:<br />
GUÍA DE APRENDIZAJE - CONCEPTOS BÁSICOS<br />
278
VI. Completa, escribiendo el signo o la expresión que haga falta; realiza las operaciones en<br />
la línea recta (horizontal o vertical). Hazlo en tu cuaderno.<br />
2 2 3a b 9a b<br />
2 3<br />
x<br />
× – ×<br />
Compara tu trabajo con el de otro grupo y si tienes dudas o errores corrige con tus compañeros.<br />
279<br />
a b 2<br />
3ab 2<br />
6 2 a b<br />
ab 18a b<br />
4 4<br />
MATEMÁTICAS