Ejercicios de Optimización de la PAU. - IES Villa de Firgas
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<strong>IES</strong>.Vil<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>Firgas</strong><br />
Departamento <strong>de</strong> Matemáticas<br />
<strong>Ejercicios</strong> <strong>de</strong> <strong>Optimización</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>PAU</strong>.<br />
1. <strong>PAU</strong> Sept2006.- La potencia f(x) en watios consumida por cierto aparato eléctrico, en función <strong>de</strong><br />
su resistencia (x) en ohmios viene dada por <strong>la</strong> expresión:<br />
4x<br />
f ( x)<br />
=<br />
( x + 12<br />
2<br />
)<br />
Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> potencia máxima y el correspondiente valor <strong>de</strong> x.<br />
2. <strong>PAU</strong> Jun2006.- El consumo <strong>de</strong> un barco navegando a una velocidad <strong>de</strong> x nudos (mil<strong>la</strong>s/hora)<br />
2<br />
x 450<br />
viene dada por <strong>la</strong> expresión C(<br />
x)<br />
= +<br />
60 x<br />
Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> velocidad más económica y el coste equivalente.<br />
3. <strong>PAU</strong> Jun2005.- Una empresa ha <strong>de</strong>cidido mejorar su seguridad insta<strong>la</strong>ndo 9 a<strong>la</strong>rmas. Un<br />
especialista en el tema seña<strong>la</strong> que dada <strong>la</strong> estructura <strong>de</strong> <strong>la</strong> empresa sólo pue<strong>de</strong> optar por dos<br />
tipos <strong>de</strong> a<strong>la</strong>rmas, <strong>de</strong> tipo A o <strong>de</strong> tipo B; a<strong>de</strong>más, afirma que <strong>la</strong> seguridad <strong>de</strong> <strong>la</strong> empresa se<br />
pue<strong>de</strong> expresar como <strong>la</strong> décima parte <strong>de</strong>l producto entre el número <strong>de</strong> a<strong>la</strong>rmas <strong>de</strong> tipo A<br />
insta<strong>la</strong>das y el cuadrado <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> a<strong>la</strong>rmas insta<strong>la</strong>das <strong>de</strong> tipo B. ¿Cuántas a<strong>la</strong>rmas <strong>de</strong><br />
cada tipo se <strong>de</strong>ben insta<strong>la</strong>r en <strong>la</strong> empresa para maximizar <strong>la</strong> seguridad?.<br />
4. <strong>PAU</strong> Jun2004.- Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s dimensiones <strong>de</strong> un <strong>de</strong>pósito abierto superiormente, en forma <strong>de</strong> prisma<br />
3<br />
recto <strong>de</strong> base cuadrada, <strong>de</strong> 50 m <strong>de</strong> volumen, que tenga superficie mínima.<br />
1
<strong>IES</strong>.Vil<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>Firgas</strong><br />
Departamento <strong>de</strong> Matemáticas<br />
5. <strong>PAU</strong> Sept2003.-De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 15 cm, hal<strong>la</strong> <strong>la</strong>s<br />
dimensiones <strong>de</strong>l que tiene área máxima.<br />
6. <strong>PAU</strong> Sept2002.- Hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s dimensiones (altura h y radio <strong>de</strong> <strong>la</strong> base, r) <strong>de</strong> un cono recto <strong>de</strong><br />
volumen máximo, sabiendo que <strong>la</strong> altura más el radio <strong>de</strong> <strong>la</strong> base vale 12 m.<br />
1 2<br />
Nota: El volumen <strong>de</strong>l cono es V = π ⋅ r h<br />
3<br />
7. <strong>PAU</strong> Jun2002.- Se dispone <strong>de</strong> un <strong>la</strong>zo <strong>de</strong> cuerda <strong>de</strong> 10 metros <strong>de</strong> <strong>la</strong>rgo, con el cual se dibuja en el<br />
suelo una figura formada por una parte rectangu<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> que se adosa, en uno <strong>de</strong> los <strong>la</strong>dos menores, un<br />
triángulo equilátero:<br />
Sabiendo que <strong>la</strong> fórmu<strong>la</strong> <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un triángulo equilátero <strong>de</strong> <strong>la</strong>do l es<br />
dimensiones <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura para que su área sea <strong>la</strong> mayor posible.<br />
2<br />
3<br />
l<br />
4<br />
2<br />
A = , hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s<br />
8. <strong>PAU</strong> Sept2001.- Se quiere construir un <strong>de</strong>pósito abierto <strong>de</strong> base cuadrada y pare<strong>de</strong>s verticales con<br />
capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone <strong>de</strong> chapa <strong>de</strong> acero <strong>de</strong> grosor uniforme.<br />
Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s dimensiones <strong>de</strong>l <strong>de</strong>pósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.
<strong>IES</strong>.Vil<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>Firgas</strong><br />
Departamento <strong>de</strong> Matemáticas<br />
9. <strong>PAU</strong> Junio 2008<br />
2<br />
2A. Calcu<strong>la</strong>r el valor <strong>de</strong> a para que <strong>la</strong> región p<strong>la</strong>na encerrada entre <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y = x y <strong>la</strong> recta<br />
y =a sea el doble <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región limitada por dicha parábo<strong>la</strong> y <strong>la</strong> recta y =1.<br />
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