Data depth in Multivariate Statistics - European Mathematical Society

Data depth in Multivariate Statisticss 169
5.1. Profundidad paramétrica - localización y escala
Para cualquier tipo de parámetro de una distribución, un nonfit es un elemento
del espacio paramétrico que no sirve como parámetro de una distribución
dada. Mizera [29] construye un marco teórico a partir de la idea de que la profundidad
de un parámetro respecto de una muestra es la menor proporción de
observaciones que hay que eliminar para que ese parámetro sea un nonfit. Así,
puede demostrarse que la profundidad semiespacial es la menor fracción de observaciones
que hay que eliminar para que un punto quede fuera de la envolvente
convexa de una muestra. En el caso de la profundidad semiespacial estamos considerando
parámetros de localización y un punto es un nonfit como parámetro
de localización si está fuera de la envolvente convexa de la muestra.
Mizera y Müller [30] extienden la noción de profundidad a parámetros (bidimensionales)
de localizacion y escala. Así, construyen una profundidad de localización
y escala basada en modelos de distribución unidimensionales.
5.2. Profundidad en regresión
Rousseeuw y Ruts [35] extienden el concepto de profundidad al campo de la
regresión lineal simple. Es este contexto, definen un nonfit como una recta de
regresión cuyos residuos (ordenados) cambian de signo sólo una vez; o equivalentemente
como una recta que podemos rotar sobre uno de sus puntos hasta
que sea vertical sin tocar ningún punto de la nube; o equivalentemente como
una recta de regresión para la que la envolvente convexa de los predictores con
residuo positivo no interseque con la envolvente convexa de los predictores con
residuo negativo. Puede comprobarse que esta noción de nonfit da lugar a la
profundidad de regresión descrita en la expresion (4.1).
5.3. Profundidad para datos funcionales
En épocas recientes, el análisis de datos funcionales ha recibido mucha atención
por parte de la comunidad estadística, ver Ramsay y Silverman [34]. Cada
dato funcional se representa por una función real xi (t), donde t ∈ T es un
intervalo de números reales. La extensión de ciertos conceptos de profundidad
estadística a este tipo de datos tiene por objetivo obtener técnicas más robustas,
pero puede conllevar una dificultad notable, ya que pasamos de espacios
de dimensión finita, a uno de dimensión infinita. Además, se pretende construir
profundidades cuyo cómputo muestral pueda realizarse de manera eficiente.
Fraiman y Muñiz [13] construyeron la primera noción de profundidad para
datos funcionales: dados n procesos estocásticos idénticamente distribuidos con
trayectorias continuas en el intervalo [0, 1], X1 (·) , X2 (·) , . . . , Xn (·), y una profundidad
univariante, Dn (x), se define la profundidad del proceso Xi (t) como
1
0 Dn (Xi (t)) dt. Es decir, como el promedio en t de las profundidades de Xi(t)
respecto de la muestra univariante X1 (t) , X2 (t) , . . . , Xn (t). Otras nociones de
produndidad para datos funcionales pueden encontrarse en [26], donde se con-