Data depth in Multivariate Statistics - European Mathematical Society

156 I. Cascos, A. López and J. Romo
Las regiones semiespaciales de nivel α están formadas por todos los puntos cuya
profundidad (semiespacial) es, al menos, α. Podemos también caracterizarlas
a partir de la intersección de todos los semiespacios cerrados cuya probabilidad
es mayor que 1 − α
HD α (P ) = {H : H semiespacio cerrado, P (H) > 1 − α} .
En el caso unidimensional consisten en el intervalo que va desde el α-cuantil
más pequeño q −
X (α) = ínf{x : FX(x) ≥ α} hasta el mayor (1 − α)-cuantil
qX(1 − α) = ínf{x : FX(x) > 1 − α}. Obviamente satisfacen las propiedades
R0–R4 y R4’.
Profundidad semiespacial aleatorizada Uno de los grandes inconvenientes
de la profundidad semiespacial, común a la mayoría de las profundidades, es la
complejidad de su cómputo exacto en altas (y no tan altas) dimensiones. Rousseeuw
y Struyf [37] proponen un algoritmo de complejidad O(n d−1 log n) para el
cómputo exacto de la profundidad semiespacial en R d . Además, proponen que
para su cómputo aproximado en dimensiones altas, en lugar del ínfimo de las probabilidades
de todos los semiespacios con x en su frontera, ver (3.1), se tome el
mínimo de las probabilidades de ciertos semiespacios que ellos describen. De un
modo similar, pero más ingenioso, Cuesta-Albertos y Nieto-Reyes [7] proponen
aleatorizar la propia profundidad. De este modo, tienen en cuenta sólo una cantidad
finita de semiespacios (direcciones) que son seleccionadas aleatoriamente
con arreglo a una medida de probabilidad.
3.2. Profundidad simplicial
Liu [22] definió la profundidad simplicial como la probabilidad de que un
punto esté en el símplex cuyos vértices son d + 1 observaciones independientes
de una distribución P ,
SD(x; P ) = Pr{x ∈ co{X1, X2, . . . , Xd+1}} , (3.2)
donde ‘co’ representa la envolvente convexa y X1, X2, . . . , Xd+1 son las observaciones
independientes de P .
En el caso univariante y para distribuciones absolutamente continuas, obtenemos
el doble del producto de la función de distribución por la función de
supervivencia, SD(x; PX) = 2FX(x)(1 − FX(x)).
Satisface las propiedades D1–D3 y para probabilidades absolutamente continuas
y angularmente simétricas, la profundidad simplicial del punto de simetría
angular es 2 −d . Este valor es el máximo alcanzable en cualquier distribución
absolutamente continua, ver Wagner y Welzl [41].
La profunidad simplicial muestral se construye como un U-estadístico. Es la
proporción de símplices que contienen al punto x dentro de todos aquellos cuyos