Data depth in Multivariate Statistics - European Mathematical Society

Data depth in Multivariate Statisticss 159
3.4. Profundidad de Mahalanobis
La profundidad de Mahalanobis fue propuesta por Liu y Singh [25] como una
transformación de la distancia de Mahalanobis (ver Mahalanobis [27]) de cada
punto al vector de medias. Con dicha transformación se consigue que la función
esté en el intervalo [0, 1] y también que tome valores próximos a 1 cuando el
punto sea cercano a la esperanza de la variable, para la cual la profundidad
toma su máximo valor. Su definición formal es
MhD(x; P ) = 1 + (x − µ) ′ Σ −1 (x − µ) −1 ,
donde µ y Σ son el vector de medias y la matriz de covarianzas de la distribución
de probabilidad P . Su versión muestral se construye a partir de estimaciones del
vector de medias y de la matriz de covarianzas. Habitualmente se toman x =
n−1 n i=1 xi y S = n−1 n i=1 (xi − x) (xi − x) ′ .
Esta profundidad verifica las propiedades D1–D4 y D4’. Además, los contornos
de sus regiones centrales son elipsoides centradas en la media.
Como inconvenientes de la profundidad de Mahalanobis tenemos, en primer
lugar, la necesidad de existencia de los dos primeros momentos de la distribución.
En segundo lugar, el hecho de que sus curvas de nivel sean elípticas hace que
para distribuciones que no son angularmente simétricas se obtengan valores de
centralidad poco representativos.
3.5. Profundidad de Oja
La profundidad de Oja (o del volumen simplicial) fue introducida por Zuo
y Serfling [43] inspirándose en el trabajo de Oja [33]. Se basa en el volumen
esperado de un símplex con un vértice fijo (el punto del que queremos hallar
su profundidad) y el resto aleatorios (observaciones independientes de P ). Dado
un punto x y muestra X1, X2, ..., Xd de d vectores aleatorios indepedientes con
distribución P , la profundidad de Oja se define como
OD(x; P ) = 1 + E (vol(co{x, X1, X2, ..., Xd})) −1 .
Si x se encuentra alejado de los vértices aleatorios, el volumen esperado de la
envolvente convexa será elevado. Su versión muestral se obtiene a partir del
volumen medio de los símplices construidos a partir de todos los subconjuntos
de d observaciones distintas de la muestra, es decir,
⎛
ODn(x) = ⎝1 +
−1 n
vol(co{x, xi1, xi2, ..., xid
d
1≤i1