Espacios métricos completos

Capítulo 7
Espacios métricos
completos
7.1. Sucesiones de Cauchy
Definición 68 (sucesión de Cauchy). Una sucesión (xn), en un espacio métrico
M, se dice que es una sucesión de Cauchy 1 , si para todo ε > 0 existe
un n0 ∈ N tal que n,m ≥ n0 ⇒ d(xn,xm) < ε.
Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy, es una sucesión de Cauchy.
Intuitivamente, los términos de una sucesión de Cauchy se van acercando
unos a otros a medida que el índice crece. Compare esto con la noción
de convergencia en la cual los términos se acercan a un punto fijo. Por
supuesto, es claro que si los términos de una sucesión se acercan a un punto
fijo, se acercan entre ellos también; esto es lo que se afirma en la siguiente
proposición:
Proposición 7.1. Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Prueba: Sea límxn = a, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒
d(xn,a) < ε/2, luego
n,m ≥ n0 ⇒ d(xn,xm) ≤ d(xn,a)+d(a,xm) < ε ε
+ = ε.
2 2
así, (xn) es de Cauchy.
El recíproco no es cierto, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 89. No toda sucesión de Cauchy es convergente. Para ver esto, tomemos
una sucesión de números racionales xn convergiendo a un número
1 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) fue un matemático francés. Cauchy fue pionero en el
análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular
a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas,
ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
99

100 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
irracional a (por ejemplo, x1 = 1,x2 = 1,4,x3 = 1,41,x4 = 1,414,..., convergiendo
a √ 2). Siendo convergente en R, es de Cauchy en el espacio Q por la
proposición 7.1. Pero evidentemente, esta sucesión no converge en Q.
Proposición 7.2. Toda sucesión de Cauchy es acotada.
Prueba: Sea (xn) una sucesión de Cauchy en el espacio métrico M.
Dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que n,m ≥ n0 ⇒ d(xn,xm) < 1. Luego, el
conjunto {xn0 ,xn0+1,...} es acotado pues tiene diámetro menor que 1, por
tanto, el conjunto:
{x1,x2,...,xn,...} = {x1,...,xn0−1}∪{xn0 ,xn0+1,xn0+2,...}
es acotado.
Ejemplo 90. Que una sucesión sea acotada es una condición necesaria pero
no suficiente para que sea de Cauchy. Un ejemplo sencillo es la sucesión
(1,0,1,0,1,...) en R, es acotada pero d(xn,xn+1) = 1 para todo n ∈ N. Por
otro lado, la sucesión: xn = n
1
(1/k) no es acotada y por tanto, no es Cauchy.
Proposición 7.3. Una sucesión de Cauchy que posea una subsucesión convergente,
es convergente (y converge al mismo límite de la sucesión).
Prueba: Sea (xn) una sucesión de Cauchy en el espacio métrico M y
(xnk ) una subsucesión que converge a a ∈ M. Veamos que límn→∞xn = a.
Dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 ⇒ d(xnk ,a) < ε/2. Por otro
lado, existe n0 ∈ N tal que n,m ≥ n0 ⇒ d(xn,xm) < ε/2. Por la definición de
sucesión, existe k ≥ k0 suficientemente grande, tal que nk > n0. Así, tenemos
que
ε ε
d(xn,a) ≤ d(xn,xnk )+d(xnk ,a) < + = ε.
2 2
Luego, límxn = a.
Observemos que por la proposición 7.3, una sucesión que posea subsucesiones
convergiendo a límites distintos no puede ser de Cauchy.
Ejemplo 91. La imagen continua de una sucesión de Cauchy puede no ser
de Cauchy. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x es continua y la imagen de la
sucesión de Cauchy xn = 1/n, es la sucesión (f(xn)) = (1,2,3,...) que no es
de Cauchy.
Por otro lado, si f : M → N es una función lipschitziana, f transforma
una sucesión de Cauchy en M en una sucesión de Cauchy en N. En efecto, si
K es una constante de Lipschitz para f y si (xn) es una sucesión de Cauchy
en M, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n,m ≥ n0 ⇒ d(xn,xm) < ε/K. En
consecuencia, tenemos que
n,m ≥ n0 ⇒ d(f(xn),f(xm)) ≤ Kd(xn,xm) < K·(ε/K) = ε.
Por tanto, (f(xn)) es de Cauchy.

7.2. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS 101
7.2. Espacios métricos completos
Definición 69. Se dice que un espacio métrico M es completo cuando toda
sucesión de Cauchy en M es convergente.
Como se vio en el ejemplo89, el espacio Q no es completo. Cualquier
espacio con la métrica cero-uno es completo pues una sucesión de Cauchy
allí tiene que ser eventualmente constante y por tanto convergente. Pero no
todo espacio discreto es completo, por ejemplo el espacio P = {1, 1 1 , ,...} es 2 3
discreto, la sucesión xn = 1
n es de Cauchy pero no es convergente (en P).
Se dice que un espacio métrico M es uniformemente discreto si existe
ε > 0 tal que para x,y ∈ M, se tiene que d(x,y) < ε ⇒ x = y. . Todo
espacio uniformemente discreto es completo, en efecto, si xn es una sucesión
de Cauchy, existe n0 ∈ N tal que d(xn,xm) < ε ⇒ xn = xm; así a partir de
un índice la sucesión es constante y por lo tanto, convergente.
Proposición 7.4. R es un espacio métrico completo.
Prueba: Sea (xn) una sucesión de Cauchy en R. Para cada n ∈ N se
define Xn = {xk : k ≥ n}, entonces X1 ⊇ X2 ⊇ X3 ⊇ ··· ⊇ Xn ⊇ ··· y ya que
X1 es acotado, todos estos conjuntos son acotados. Sea αn = ínfXn, entonces
la sucesión (αn)n∈N es creciente y acotada superiormente por β1 = supXn.
Por la proposición 6.10, existe un número α = límαn, más precisamente, α =
sup n αn. Veamos que α es el límite de la sucesión;para esto, se mostrará que
α es límite de alguna subsucesión de (xn) (esto también se expresa diciendo
que es un límitesubsecuencial). Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que α−ε < αn ≤
α; de esta forma, para todo k ≥ n, α − ε < αn < xk pero no puede ocurrir
que para todo índice k ≥ n xk ≥ α+ε ya que de ser así, αn,αn+1,... serían
todos mayores que α, lo que contradice su condición de supremo. Así, existen
índices k ≥ n tales que xk ≤ α+ε. En conclusión, el intervalo abierto (α−
ε,α+ε) contiene términos de la sucesión para índices arbitrariamente grande.
Esto permite afirmar que α es el límite de una subsucesión de términos de
(xn). Por la proposición 7.3, la sucesión (xn) es convergente.
Proposición 7.5. Un Subespacio cerrado de un espacio métrico completo es
completo. Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico,
es cerrado.
Prueba: Sea M un espacio métrico completo y C ⊆ M un subespacio
cerrado de M. Dada una sucesión de Cauchy (xn) en C, ésta también es
de Cauchy en M y por tanto, existe a = límxn. Ahora, como C es cerrado,
a ∈ C, así, C es completo.
Por otro lado, si M es un espacio métrico completo y N es otro espacio
métrico tal que M ⊆ N, dada una sucesión (xn) en M que es convergente
en N, es decir, límxn = a ∈ N; entonces (xn) es de Cauchy y como M
es completo, existe b ∈ M tal que límxn = b. Por la unicidad del límite,
concluimos que a = b ∈ M. Lo que implica que M es cerrado en N.

102 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
Proposición 7.6. El producto cartesiano M×N es completo si, y sólo si, M
y N son completos.
Prueba: Supongamos que M y N son completos. Dada una sucesión
de Cauchy (zn) en M × N, sea zn = (xn,yn) para cada n ∈ N. Cada una
de las proyecciones π1 : M × N → M y π2 : M × N → N son contracciones
débiles (ver ejemplo 30, página 36), así tanto (xn) como (yn) son sucesiones
de Cauchy en M y N respectivamente. Luego, existen límxn = a ∈ M y
límyn = b ∈ N. Haciendo c = (a,b) ∈ M × N, tenemos que límzn = c. De
donde, M×N es completo.
Recíprocamente, si M × N es completo, fijando b ∈ N, es fácil ver que
la aplicación x ↦→ (x,b) es una isometría de M en el subespacio cerrado
M × {b} ⊆ M × N. Se sigue, vía la proposición 7.5, que M es completo. Del
mismo modo se prueba que N es completo.
Corolario 7.7. El espacio producto M1 ×···×Mn es completo si, y sólo si,
M1,...,Mn son completos.
Corolario 7.8. El espacio euclidiano R n es completo.
Sean X un conjunto, M un espacio métrico y α : X → M una función. Recordemos
que Bα(X;M), denota el espacio de todas las funciones f : X → M
que están a distancia finita de α, es decir, tales que d(f,α) = supd(f(x),α(x))
< ∞,
x∈X
con la métrica de la convergencia uniforme o también llamada métrica del
supremo.
Proposición 7.9. Si el espacio métrico M es completo, entonces Bα(X;M) es
completo, sean cuales fuesen el conjunto X y la función α : X → M.
Prueba: Sea (fn) una sucesión de Cauchy en Bα(X;M). Entonces esta
sucesión es acotada. Luego, existe una constante c > 0 tal que d(fn(x),α(x)) ≤
d(fn,α) ≤ c para todo n ∈ N y todo x ∈ X. Para cada x ∈ M fijo, la sucesión
(fn(x)) en M, es de Cauchy. Como M es completo, el límite de esta sucesión
existe y define una función f : X → M por f(x) := lím
n→∞ fn(x), que a su vez es
el límite puntual de (fn). Ya que para todo n ∈ N y todo x ∈ X se tiene que
d(fn(x),α(x)) ≤ c, haciendo n → +∞ concluimos que d(f(x),α(x)) ≤ c para
todo x ∈ X y por tanto también d(f,α) ≤ c. Luego, f ∈ Bα(X;M). En vista de
la proposición 6.20, sólo falta probar que fn → f uniformemente en X. Pues
bien, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m,n ≥ n0 ⇒ d(fn(x),fm(x)) < ε
para todo x ∈ X. Haciendo m → ∞ y utilizando el hecho de que la métrica es
continua, concluimos que n ≥ n0 ⇒ d(fn(x),f(x)) < ε para todo x ∈ X. Esto
es, fn → f uniformemente en X como se quería demostrar.
Corolario 7.10 (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme). Sea M
un espacio métrico completo. Para que una sucesión de funciones fn : X → M
converja uniformemente en X, es necesario y suficiente que, para todo ε > 0
dado, exista n0 ∈ N tal que
m,n ≥ n0 ⇒ d(fn(x),fm(x)) < ε para todo x ∈ X.

7.3. COMPLETACIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO 103
Prueba: Si fn → f uniformemente en X entonces fn ∈ Bf(X;M) para
todo n suficientemente grande y límfn = f en ese espacio. Luego, (fn) es una
sucesión de Cauchy en Bf(X;M) y de esta forma la condición es necesaria.
Recíprocamente, suponiendo la condición satisfecha, tomamos ε = 1 y para
éste existe un n0 ∈ N como en el enunciado tal que para α = fn0 , vale
d(fn,α) ≤ 1, así fn ∈ Bα(X;M) para todo n ≥ n0. Además, la condición
implica que la sucesión (fn)n≥n0
es una sucesión de Cauchy en el espacio
métrico completo Bα(X;M) (ver proposición 7.9). Se sigue que (fn) converge
uniformemente en X.
Corolario 7.11. Sean M y N espacios métricos, donde N es completo. Si una
sucesión de funciones continuas fn : M → N converge uniformemente en un
subconjunto X de M, entonces (fn), converge uniformemente en X.
Prueba: Notemos primero que si una función continua ϕ : M → R es
tal que ϕ(x) < ε para todo x ∈ X, entonces ϕ(x) ≤ ε para todo x ∈ (x); en
efecto, el conjunto {x ∈ M : ϕ(x) ≤ ε} = ϕ −1 ((−∞,ε]), es cerrado en M y
contiene a X, por tanto, contiene a X.
Probemos el corolario: por hipótesis, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal
que m,n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈ X),d(fm(x),fn(x)) < 0,99 · ε. Como la aplicación
x ↦→ d(fn(x),fm(x)) es continua, tenemos que m,n ≥ n0 ⇒ (∀x ∈
X),d(fm(x),fn(x)) ≤ 0,99·ε < ε. Se sigue del corolario 7.10 que (fn) converge
uniformemente en X.
7.3. Completación de un espacio métrico
En esta sección se mostrará que cualquier espacio métrico puede ser “extendido”
añadiéndole nuevos puntos, de tal manera que el nuevo espacio M
sea completo y que llamaremos completación de M. Dado que un espacio
cerrado de un espacio completo es completo, la clausura de M en M es completo
y contiene a M. Por este hecho, basta considerar únicamente los puntos
de M adherentes a M. En la práctica, en lugar de obtener que M ⊆ M, hallaremos
una inmersión isométrica ϕ : M → N, donde N es completo y se toma
ϕ(M) como completación de M. Como M y ϕ(M) son isométricos es como
si en verdad fuese M ⊆ M.
Definición 70 (completación). Una completación de un espacio métrico M
es un par ( M,ϕ) donde M es completo y ϕ : M → M es una inmersión
isométrica cuya imagen ϕ(M) es densa en M.
Frecuentemente diremos sencillamente que M es una completación de
M quedando sobreentendida la existencia de la inmersión isométrica ϕ que
satisface la definición. Así mismo, en ocasiones consideraremos que M ⊆ M
identificando M con su imagen isométrica ϕ(M).
Proposición 7.12 (Existencia de la completación). Todo espacio métrico posee
una completación.

104 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
Prueba: Dado un espacio métrico M, como se vio en el ejemplo 25
de la página 32, un espacio métrico M puede ser inmerso isométricamente
mediante una ϕ, en el espacio métrico B(M; R) de las funciones acotadas
de M en R; (este espacio es además un espacio vectorial normado). Por la
proposición 7.9, y sabiendo que R es completo, tenemos que B(M; R) es un
espacio completo. Luego, basta tomar como completación el espacio ϕ(M) en
B(M; R), que es un cerrado contenido en un completo.
Proposición 7.13. Sean ( M,ϕ) y ( M,ψ) dos completaciones de un espacio
métrico M. Entonces existe una única isometría Φ : M → M tal que Φ◦ϕ = ψ.
Prueba: Por la definición de una completación, ϕ : M → ϕ(M) y
ψ : M :→ ψ(M) son isometrías, estas definen la siguiente isometría: ψ◦ϕ −1 :
ϕ(M) → ψ(M).
Figura 7.1: Dos completaciones cualesquiera son isométricas.
Como ϕ(M) es denso en M, para cada x ∈ M existe una sucesión (xn) en
ϕ(M) tal que límxn = x; siendo convergente esta sucesión, es de Cauchy y
la sucesión de imágenes mediante la isometría ψ◦ϕ −1 también lo es. Como
ψ(M) ⊆ M y M es completo, existe límn(ψ ◦ ϕ −1 )(xn). A partir de esto,
definimos Φ : M → M por
Φ(x) = lím n (ψ◦ϕ −1 )(xn) donde límxn = x.
Si xn → x y an → x y α = límn(ψ ◦ ϕ −1 )(xn) y β = límn(ψ ◦ ϕ −1 )(an)
entonces,
d(α,β) = d(lím n (ψ◦ϕ −1 )(xn),lím n (ψ◦ϕ −1 )(an))
= lím n d((ψ◦ϕ −1 )(xn),(ψ◦ϕ −1 )(an))
= lím n d(xn,an)
= d(lím n xn,lím n an)
= d(x,x) = 0
esto prueba la buena definición de Φ.

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE 105
Además, Φ es una isometría. En efecto, si (xn) y (yn) son sucesiones que
convergen a x y y respectivamente, entonces
d(Φ(x),Φ(y)) = d(lím n (ψ◦ϕ −1 )(xn),lím n (ψ◦ϕ −1 )(yn)
= lím n d((ψ◦ϕ −1 )(xn),(ψ◦ϕ −1 )(yn))
= lím n d(xn,yn)
= d(lím n xn,lím n yn)
= d(x,y)
esto concluye la prueba.
Ejemplo 92. Dos espacios homeomorfos pueden no tener completaciones
homeomorfas. Por ejemplo, el intervalo (0,2π), cuya completación es [0,2π],
es homeomorfo a S 1 \{(0,1)} (S 1 es la circunferencia unitaria en R 2 ), mas la
completación de S 1 \{(0,1)} es S 1 . El intervalo [0,2π] no puede ser homeomorfo
a S 1 porque si existiese un homeomorfismo h entre ellos, la restricción de este
homeomorfismo a [0,2π] \ {p} donde p es un punto interior del intervalo y
S 1 \ {h(p)}, sería también un homeomorfismo; pero el primer conjunto tiene
dos componentes conexas mientras que el segundo solo una.
Ejemplo 93. Dados M y N espacios métricos, la completación del producto
cartesiano M×N es el producto de sus respectivas completaciones: M× N,
ya que si asumimos que M ⊆ M y N ⊆ N, como el producto de subespacios
densos es denso y el producto de espacios completos es completo, concluimos
que M×N es denso en el espacio completo M× N.
7.4. El teorema de Baire
Comenzaremos la sección considerando una clase de conjuntos “pequeños”
o “insignificantes” desde el punto de vista topológico. Es una noción análoga
a lo que es un conjunto de medida nula en Teoría de la Medida. Una característica
necesaria de este tipo de conjuntos es que tengan interior vacío, pero
además deben cumplir que la unión numerable de conjuntos insignificantes
lo sea también; a continuación definimos formalmente tales conjuntos:
Definición 71 (conjunto magro). Un subconjunto X de un espacio métrico M
se dice que es un conjunto magro en M si se puede expresar como una unión
numerable de conjuntos que tienen el interior de su clausura vacía; es decir, X
es magro en M si X = ∪ ∞ n=1 Xn donde para todo n ∈ N, intXn = ∅.
Equivalentemente, X es magro en M si, y sólo si, X está contenido en
una unión numerable de cerrados con interior vacío. X ⊆ ∪ ∞ i=1 Cn donde
C1,...,Cn,... son cerrados con intCn = ∅, para todo n ∈ N.

106 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
No siempre es cierto, sin embargo, que todo conjunto magro X de M tenga
interior vacío en M. Por ejemplo, cualquier subconjunto X ⊆ Q es magro, ya
que es la unión numerable de sus subconjuntos unitarios, los cuales tienen
interior vacío en Q pero X puede no tener interior vacío en Q. Esto tiene
lugar porque Q no es completo, como se verá más abajo en el Teorema de
Baire. De esta forma en los espacios completos, los conjuntos , magros poseen
las características de un conjunto “insignificante”.
Ejemplo 94. Un conjunto unitario en un espacio métrico tiene interior vacío
si, y sólo si, su único punto no es aislado. En consecuencia, un subconjunto
numerable de M es magro si, y sólo si, ninguno de sus puntos es aislado.
Una recta en R 2 es un conjunto magro; mas aún, cualquier unión numerable
de rectas es magro en R 2 . Más adelante veremos que R no es magro.
Como sabemos, un conjunto tiene interior vacío en un espacio métrico
si y sólo si, su complemento es denso en M. De esta forma, un conjunto es
cerrado con interior vacío si, y sólo si, su complemento es abierto y denso en
M. Por lo tanto, intX es vacío si, y sólo si, X está contenido en un conjunto
cerrado con interior vacío de allí se desprende que su complemento contiene
un conjunto abierto y denso, esto ultimo ocurre si, y sólo si, int(M \ X) es
denso.
En ciertos textos de topología y análisis un conjunto magro es llamado
conjunto de primera categoría o de Categoría I y un conjunto que no es magro
es llamado conjunto de segunda categoría o de Categoría II. .
Ejemplo 95. La frontera de un conjunto abierto A ⊆ M es un ejemplo
de un conjunto cerrado con interior vacío. En efecto, si x ∈ ∂A entonces
toda bola de centro en x posee puntos de A y, como A ∩ ∂A = ∅, ningún
punto de A puede estar en la frontera de A; por lo tanto, ninguna bola de
centro en x puede estar contenida en ∂A. Así, ∂A tiene interior vacío. Como
∂A = ∂(M \ A), se concluye también, que la frontera de cualquier conjunto
cerrado tiene interior vacío. Si un conjunto no es ni abierto ni cerrado, su
frontera puede no tener interior vacío. Por ejemplo, ∂Q = R.
Ejemplo 96 (El conjunto de Cantor2 ). El conjunto de Cantor C es un subconjunto
cerrado del intervalo [0,1], obtenido mediante una sucesiva extracción
de subintervalos abiertos de [0,1], del siguiente modo: en la etapa cero tenemos
el intervalo [0,1]; en la etapa uno se extrae el tercio central del intervalo
de la etapa cero, ( 1 2
1
, ), resultando dos intervalos cerrados [0, ] y [2,1];
en
3 3 3 3
la etapa dos se extraen cada uno de los tercios centrales de los intervalos
resultantes de la etapa uno, resultando los cuatro intervalos:
0, 1
2 1 2 7 8
∪ , ∪ , ∪
9 9 3 3 9 9 ,1
2 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) fue un matemático alemán, inventor
con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas.
Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de
formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE 107
En la siguiente etapa se extraen los tercios centrales de cada uno de los
cuatro intervalos resultantes de la etapa dos. Este procedimiento se repite
ad-infinitum y el conjunto de puntos que no fueron extraídos en el proceso,
es el conjunto de Cantor C. Si denotamos por I1,I2,I3,...,In,... la sucesión
Figura 7.2: Algunas etapas de la construcción del conjunto de Cantor
de intervalos extraídos en el proceso de construcción del conjunto de Cantor,
tendremos que
∞
C = [0,1]\ In.
Luego C es cerrado en [0,1] y por tanto, cerrado en R. Nótese que los puntos
extremos de los intervalos extraídos, como 1/3,2/3,1/9,2/9,7/9,8/9, etc,
pertenecen al conjunto de Cantor pues éstos son extremos de los intervalos
resultantes en cierta etapa y en las sucesivas etapas se extraen tercios centrales
de esos intervalos, es decir, los puntos extremos quedan en el conjunto
luego de todas las extracciones.
El conjunto de extremos de todos los intervalos es un subconjunto de
[0,1]∩Q y por tanto, forman un conjunto numerable. Veremos más adelante
sin embargo, que C no es numerable. Por lo pronto, notemos solamente que
C no contiene ningún intervalo abierto y por tanto intC = ∅. En efecto, en
la etapa n-ésima de la construcción de C resulta una colección finita (2 n )
de intervalos cerrados cada uno de longitud 1
3 n. Por tanto, si J es cualquier
intervalo abierto contenido en [0,1] de longitud ℓ > 0, y consideramos un
n ∈ N tal que 1/3 n < ℓ, al menos a partir de la etapa n, se extraen partes de
J y de esta forma, J no está contenido en C. Luego, el conjunto de Cantor en
un cerrado con interior vacío y por lo tanto es un conjunto magro en R.
Proposición 7.14. Un espacio métrico M es completo si, y sólo si, para toda
sucesión decreciente C1 ⊇ C2 ⊇ ··· ⊇ Cn ⊇ ··· de subconjuntos cerrados no
vacíos Cn ⊆ M, con diamCn → 0, existe un punto a ∈ M tal que
n=1
∞
Cn = {a}.
n=1

108 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
Prueba:
(sólo si) Supongamos que M es completo y (Cn) una sucesión de conjuntos
como la del enunciado. Para cada n ∈ N, escojamos un punto xn ∈ Cn. Esto
define una sucesión en M tal que m,n ≥ n0 ⇒ xn,xm ∈ Cn0 . Por hipótesis,
dado ε > 0 existe n0 ∈ N a partir del cual diam(Cn) < ε, entonces dado
ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n,m ≥ n0 ⇒ d(xm,xn) < ε, y por tanto, (xn)
es una sucesión de Cauchy en M, como M es completo, sea límxn = a ∈ M.
Para cualquier p ∈ N la subsucesión (xn)n≥p es una sucesión en Cn que, por
ser cerrado, contiene a a; de esta forma se concluye que a ∈ ∩Cn. No puede
haber otro punto b distinto de a en dicha intersección, pues esto implicaría
que 0 < d(a,b) ≤ diam(Cn) que contradice la condición de los diámetros.
(si) Sea M un espacio para el cual la intersección de toda sucesión decreciente
de conjuntos cerrados no vacíos, cuyos diámetros tiendan a cero, es un punto.
Veamos que tal M es completo. Consideremos cualquier sucesión de Cauchy
(xn) en M. Para cada n ∈ N, hagamos Xn = {xn,xn+1,...}. Entonces, X1 ⊇
X2 ⊇ ··· ⊇ Xn ⊇ ··· y por lo tanto, (Xn) es una sucesión decreciente de
cerrados no vacíos. Además de eso, como consecuencia de ser (xn) de Cauchy,
diam(Xn) = diam(Xn) → 0. Luego, existe a ∈ M tal que ∩Xn = {a}. Como
a es punto adherente de Xn para todo n ∈ N, toda bola abierta de centro
a contiene términos xn con índices arbitrariamente grandes, o sea, a es el
límite de una subsucesión de (xn). Como (xn) es una sucesión de Cauchy,
a = límxn (ver proposición 7.3, página 100). Luego, M es completo.
Ejemplo 97. En la proposición anterior, es imprescindible que diam(Cn) →
0, ya que por ejemplo, si Cn = [n,+∞) tenemos C1 ⊇ C2 ⊇ ··· pero ∩Cn = ∅.
El resultado principal de esta sección y uno de los más fuertes en teoría
de conjuntos, es el siguiente:
Proposición 7.15 (Teorema de Baire 3 ). Sea M un espacio métrico comple-
to. Todo conjunto magro en M tiene interior vacío 4 . Equivalentemente, si
C =
∞
Cn, donde cada Cn es cerrado en M con interior vacío, entonces
n=1
intC = ∅. O en otras palabras: toda intersección numerable de abiertos densos
es un subconjunto denso en M.
Prueba: Se probará la tercera forma de expresar el teorema. Consideremos
una sucesión A1,A2,...,An,... de subconjuntos abiertos y densos en el
espacio métrico completo M. Se quiere mostrar que ∞ n=1An es denso en M,
esto es, toda bola abierta B1 en M contiene algún punto de A. Ahora bien,
3 René-Louis Baire (1874-1932), fue un matemático francés notable por sus trabajos sobre
continuidad de funciones, los números irracionales y el concepto de límite.
4 También se puede expresar de la siguiente forma: UnespaciométricocompletoesdeCategoría
II o no es magro en sí mismo.

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE 109
como A1 es abierto y denso, B1 ∩ A1 es abierto y no vacío, luego contiene
una bola abierta B2, cuyo radio podemos tomarlo menor o igual que 1/2 y
adecuado de tal forma que su clausura esté contenida en B1∩A1. Así mismo,
siendo A2 abierto y denso, A2 ∩ B2 es abierto y no vacío. Luego existe una
bola abierta B3 con radio menor o igual a 1/3 y escogido adecuadamente
tal que B3 ⊆ A2 ∩ B2. Prosiguiendo en esta forma, obtenemos una sucesión
B1 ⊇ B2 ⊇ ··· ⊇ Bn··· ⊇ ···, con Bn+1 ⊆ Bn ∩An y tales que diam(Bn) → 0.
Por la proposición 7.14 anterior, existe a ∈ M tal que {a} = ∩Bn. La relación
Bn+1 ⊆ Bn ∩An demuestra que a pertenece a todos los An y también a B1.
Es decir, a ∈ A∩B1, como se quería demostrar.
Ejemplo 98. Como dos espacios homeomorfos pueden ser uno completo y
el otro no, cabe preguntarse si dado un espacio métrico (M,d) bajo qué
condiciones existe otra métrica d1 equivalente a la d, según la cual el espacio
M sea completo. Por ejemplo en R el intervalo (−1,1) no es completo porque
no es cerrado en R, pero h : (−1,1) → R definida por h(x) = 1/(1+|x| es un
homeomorfismo sobre un espacio completo. Si d1 es la métrica inducida por
h: d1(x,y) := |h(x)−h(y)|, ésta es equivalente a d y torna a M completo.
Un espacio que sea homeomorfo a un espacio métrico completo, se dice
que es topológicamente completo
Proposición 7.16. Todo subconjunto abierto de un espacio métrico completo
es homeomorfo a un espacio métrico completo.
Prueba: Sea A ⊆ M un conjunto abierto en el espacio métrico M.
Entonces, M \ A es cerrado. La función ϕ : M → R definida por ϕ(x) =
d(x,M\A) es continua (ver proposición 2.3, página 30) y es tal que ϕ(x) >
0 ⇔ x ∈ A. Se sigue que si f : A → R se define por f(x) = 1/ϕ(x), entonces f
es continua. Sea G el gráfico de f, entonces G = graf(f) ⊆ A×R ⊆ M×R.
Ahora bien,
G = {(x,t) ∈ R 2 : x ∈ A∧t = 1/ϕ(x)} = {(x,t) ∈ R 2 : t·ϕ(x) = 1}
el cual es cerrado puesto que t · ϕ es continua. Como M × R es completo,
concluimos que G es completo y como se vio en el ejemplo 64 en la página 74,
el dominio de una función continua es homeomorfo a su gráfico, lo que
demuestra el teorema.
Observe que la métrica que hace que el conjunto A sea completo, en la
demostración anterior, es la inducida a partir de M×R mediante la función
(I,f), donde I es la identidad en A; esto es: dados x,y ∈ A,
d1(x,y) = d((I,f)(x),(I,f)(y)) = d[(x,f(x)),(y,f(y))] = d(x,y)+|f(x)−f(y)|.
Por otra parte, si M es un espacio topológicamente completo, es decir,
homeomorfo a un espacio completo, se puede aplicar el teorema de Baire, ya
que si M = ∪Cn donde cada Cn es cerrado, vía el homeomorfismo entre M

110 CAPÍTULO 7. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS
y un espacio completo, la imagen de cada Cn es cerrado en dicho espacio,
aplicando Baire a ese espacio completo, se concluye que la imagen de algún
Cn tiene tiene interior no vacío; y así, vía el homeomorfismo nuevamente,
algún Cn tiene interior no vacío.
Proposición 7.17. Sea M un espacio métrico completo. Si M =
cadaCn esunsubconjuntocerradodeM,entoncesA =
y denso en M.
∞
Cn, donde
n=1
∞
intCn esunabierto
Prueba: Sea U un abierto no vacío de M. Para probar que A es denso,
basta probar que U∩A =/∅, es decir que existe n ∈ N tal que U∩intCn =/∅.
∞
Ahora bien, U = (U∩Cn), donde cada (U∩Cn) es cerrado en U. Como se
n=1
observó arriba, se puede aplicar el teorema de Baire a U y entonces existe n ∈
N tal que int(U∩Cn) =/∅ (en este caso, como U es abierto, el interior respecto
a U coincide con el interior respecto a M); pero int(U∩Cn) ⊆ (U∩Cn) y así
(U∩Cn) =/∅ como se quería demostrar.
Ejemplo 99. Si M es un espacio métrico completo numerable, entonces
M =
a∈M {a} es una unión numerable de conjuntos cerrados en M. Por
la proposición 7.17 anterior,
a∈Mint{a} es denso (y además abierto). Los
conjuntos unitarios que no tienen interior vacío son los correspondientes a
puntos aislados. Así, podemos concluir que
Enunespaciocompletoynumerable,elconjuntodepuntosaislados
es abierto y denso.
En particular, todo conjunto cerrado infinito numerable del espacio R n contiene
una infinidad de puntos aislados. Esto es una demostración de que R
no es numerable, ya que no tiene puntos aislados.
Ejemplo 100. El Teorema de Baire se puede utilizar para probar que el
conjunto de Cantor calC, no es numerable.. Como ya hemos visto, C es
cerrado en R, por el ejemplo 99 anterior, basta probar que en C ninguno de sus
puntos es aislado. En efecto, supongamos primero que x ∈ C sea un extremo
de algún intervalo extraído o suprimido de [0,1] durante la construcción del
conjunto de Cantor. Digamos que (x,b) es el intervalo extraído, entonces en
esa etapa uno de los intervalos resultantes sería de la forma [a,x]. En las
etapas subsiguientes de la construcción, al retirar tercios centrales, siempre
resulta un intervalo de la forma [an,x] donde para todo n ∈ N an ∈ ⌋. Como
la longitud de los intervalos resultantes en cada etapa es una sucesión que
tiende a cero, concluimos que an → x y por tanto, x no es un punto aislado.
Supongamos ahora que x no es un punto extremo de ningún intervalo
extraído durante la construcción de calC. Dado ε > 0 no es posible que
n=1

7.4. EL TEOREMA DE BAIRE 111
(x,x + ε) ∩ C = ∅ ya que en tal caso, el intervalo (x,x + ε) sería suprimido
en el proceso. En el momento en que una parte del intervalo (x,x + ε) sea
suprimida, no restaría nada más del intervalo porque los extremos de los
intervalos suprimidos, permanece en las siguiente etapas. Como x permaneció,
se sigue de (x,x+ε)∩C = ∅ que el intervalo suprimido fue de la forma:(x,b),
pero x no es extremo de ningún intervalo retirado. Luego, (x,x+ε)∩C =/∅
para todo ε > 0, por lo tanto, x no es aislado en C. Se sigue que C no es
numerable.