Análisis Matemático vol. I Funciones de una variable real. *

Análisis Matemático vol. I
Funciones de una variable real. *
Wilmer Colmenárez
Departamento de Matemática, DCT-UCLA
15 de octubre de 2011
* Versión preliminar en revisión. No se autoriza su utilización para fines didácticos

Índice general
1. Conjuntos Finitos e Infinitos 1
1.1. Los Números Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Conjuntos Finitos y Numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Números Reales 9
2.1. Axiomas de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Otros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Sucesiones y Series Numéricas 17
3.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Límites Inferior y Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3

4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Conjuntos Finitos e Infinitos
1.1. Los Números Naturales
ca.
Comenzamos introduciendo brevemente los números naturales sobre una base axiomáti-
Un conjunto de sucesores es un par (X, s), donde s : X → X es una función
satisfaciendo las siguientes condiciones, llamadas postulados de Peano:
(P1) La función s es inyectiva.
(P2) El conjunto X \ s(X) contiene un único elemento que denotaremos 1X.
(P3) (Principio de Inducción) Si Z ⊂ X es un conjunto tal que
(1) 1X ∈ Z y
(2) s(z) ∈ Z cada vez que z ∈ Z,
entonces Z = X.
Para cada x ∈ X el elemento s(x) es llamado sucesor de x. Habiendo adoptado la
notación de “1X” para el elemento de X \ s(X), definimos los números naturales de la
manera usual y con las notaciones comúnmente y universalmente utilizadas: 2X = s(1X),
3X = s(2X), etc. La existencia de algún conjunto de sucesores debe ser establecida
mediante un axioma de la Teoría de Conjuntos. Este axioma asegura la existencia de un
conjunto de sucesores. Luego se demuestra que cualquier par de conjuntos de sucesores
son isomorfos entre sí, mediante la correspondencia que identifica los elementos 1 de
los conjuntos de sucesores y que preserva la condición de ser sucesor. En virtud de
esto fijamos un conjunto de sucesores, el cual también puede ser consuderado como el
único conjunto de sucesores (salvo isomrfismos), al cual denotamos N y que llamaremos
conjunto de los números naturales.
1

2 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Alternativamente, desde un punto de vista constructivista, podemos “mostrar” la
existencia de un conjunto de sucesores a partir de los axiomas de la Teoría de Conjuntos.
Una manera de hacer esto es definiendo
1 = {∅}, 2 = {∅, 1} = {∅{∅}}, etc.
La propiedad n\m = ∅ implica que existe una función sucesor caracterizada po s(n)\n =
∅, y ésta verifica los Axiomas de Peano.
Bien, partiendo del conjunto sucesor (N, s) podemos introducir la estructura algebraica
de N, definiendo la operación de adición a través de la función sucesor (y por
inducción): n + 1 = s(n), n + 2 = s(n + 1) = s(s(n)), etc. A partir de estas definiciones
pueden ser demostradas todas las propiedades de la adición. Posteriormente la relación
de orden usual es definida a través de la adición de la siguiente manera: n < m si y sólo
existe k ∈ N tal que m = n + k, y de la manera usual se define el órden débil n m si y
sólo si n < m ó n = m. Se demuestran, a partir de esto, todas las propiedades del orden
usual en N, entre las cuales se destaca la siguiente.
TEOREMA 1.1 (Principio de Buen Ordenamiento) El conjunto (N, ) es bien ordenado.
Esto es, todo subconjunto no vacío de N posee un elemento mínimo.
LEMA 1.1 Para todo n ∈ N se cumple 1 n.
Demostración. (del PBO) Procedamos por reducción al absurdo. Suponga que existe
A ⊂ N, con A = ∅, que no tiene elemento mínimo. La estrategia será mostrar que la
condición de no tener elemento mínimo implica que A es vacío, con lo cual la suposición
hecha es contradictoria. Considere el conjunto
B = {n ∈ N : n ∈ N \ A y n < m para todo m ∈ A}.
Procedamos por inducción para verificar que B = N. Primero notemos que 1 ∈ B. De
hecho, si 1 fuese elemento de A, entonces 1 sería elemento mínimo de A por el Lema
anterior, de modo que 1 /∈ A, por otro lado es evidente que 1 < m para todo m ∈ B, por
tanto 1 /∈ B.
Ahora fijemos n ∈ B arbitrariamente. Por definición de B, n < m para todo m ∈ A,
de modo que para todo m ∈ A existe km ∈ N tal que m = n + km. Observe que km = 1
para todo m ∈ N, porque de lo contrario tendríamos algún m = n + 1 ∈ A con n ∈ B, y
de esta manera n + 1 sería elemento mínimo de A. Así, 1 < km y por tanto m > n + 1.
Luego tenemos que n + 1 ∈ B para cualquier n ∈ N, y por inducción resulta que B = N,
lo cual es contradictorio, porque A = ∅ y B ⊂ N \ A.
TEOREMA 1.2 (Segundo Principio de Inducción) Sea X ⊂ N un conjunto con la
siguiente propiedad
para todo m ∈ X, m < n =⇒ n ∈ X.

1.2. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES 3
Entonces X = N.
Demostración. Ejercicio. Use el Principio del Buen Orden.
1.2. Conjuntos Finitos y Numerables
DEFINICIÓN 1.1 Dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una función biyectiva
de uno de éstos sobre el otro.
Recordemos que el conjunto N de los números naturales es bien ordenado. En virtud
de esto podemos definir el conjunto In = {j ∈ N : j n} = {1, . . . , n} que llamaremos
la sección inicial de longitud n, para n ∈ N.
LEMA 1.2 Si f : In → Im es una biyección, entonces n = m.
Demostración. Supongamos, sin perder generalidad, que m n, es decir Im ⊂ In y
procedamos por inducción sobre n. En el caso n = 1 el resultado es obvio. Suponga que la
conclusión vale para un entero positivo n y demostrémosla para n + 1. Sea f : In+1 → Im
cualquier biyección, con m n + 1. Podemos suponer adicionalmente que f(n + 1) = m,
pues si no fuese así, digamos que f(n + 1) = a = m, entonces por biyectividad de f
existe un único k0 ∈ In tal que f(k0) = m y k0 = n + 1. Definimos entonces una nueva
función g : In → Im por
⎧
⎪⎨ f(i), si i = k0, n + 1
g(i) = m, si i = n + 1
⎪⎩
a, si i = k0
Así, g es una biyección con g(n + 1) = m y podemos hacer la demostración para g en
lugar de f. De modo pues que podemos suponer f(n + 1) = m como habíamos afirmado.
Siendo f(n+1) = m tenemos que la restricción f|In tiene imágen Im−1. Luego, la función
h : In → Im−1 dada por h(k) = f(k) para todo k ∈ In es biyectiva, con m − 1 n y, por
hipótesis de inducción, n = m−1. Por tanto n+1 = m y el paso inductivo está completo,
terminando con esto la demostración.
COROLARIO 1.1 Sea X un conjunto. Si existen biyecciones f : In → X y g : Im → X,
entonces n = m.
DEFINICIÓN 1.2 Un conjunto A es finito si A = ∅ o si existe n ∈ N tal que A es
equipotente con In. En tal caso el número n (cuya unicidad está garantizada por el
Corolario 1.2) es llamado el número de elementos o cardinal de A denotado por card A
o #A. El cardinal del conjunto vacío es cero, por definición.

4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
COROLARIO 1.2 Si m < n, entonces no existe una función inyectiva f : In → Im.
Demostración. (esquema). Se aplica la misma idea de la demostración del Lema 1.2. En
el paso inductivo se puede suponer, como antes, que f(n + 1) = m con m < n + 1. Luego
la restricción f|In : In → Im−1 con m − 1 < n no puede ser inyectiva y consecuentemente
f : In+1 → Im no es inyectiva.
COROLARIO 1.3 Si A ⊂ In y f : In → A es biyectiva, entonces A = In.
Demostración. Suponga n 2 y procedamos por reducción al absurdo. Si A In,
tomamos a ∈ In \ A. Observemos que
y definimos g : In → In−1
g(k) =
A =
A ∩ Ia−1 ∪ A \ Ia ,
f(k), si k ∈ f −1 (A ∩ Ia) = f −1 (A ∩ Ia−1)
f(k) − 1, si k ∈ f −1
A \ Ia
Así, g : In → In−1 es una función inyectiva, contradiciendo el Corolario 1.2.
La siguiente propiedad es consecuencia del Corolario 1.3.
PROPOSICIÓN 1.1 Un conjunto finito no puede ser equipotente con un subconjunto
propio de él mismo.
Demostración. Sean X un conjunto finito y Y X. Suponga (por reducción al absurdo)
que existe una biyección f : X → Y . Siendo X finito, existe una biyección
ϕ : In → X. Considere el conjunto A = ϕ−1 (Y ) el cual es subconjunto propio de In. Entonces
la función −1◦f ϕ|A ◦ϕ : In → A sería una biyección de In sobre un subconjunto
propio, lo que contradice el Corolario 1.3.
Ejemplo 1.1. El conjunto N de los números naturales es equipotente con cualquier conjunto
de la forma kN = {nk : n ∈ N}, los cuales son subconjuntos propios de N si k = 1.
Los conjuntos Z de los números enteros y Q de los racionales son equipotentes a N.
TEOREMA 1.3 Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
Demostración. Basta considerar el caso de In. Procediendo por inducción, comenzamos
observando que todo subconjunto de ∅ y de I1 es finito. Suponga que la conclusión es
válida para un entero positivo n y consideremos el caso de n + 1. Dado A ⊂ In+1 puede
ocurrir que A ⊂ In, en cuyo caso A es finito por hipótesis inductiva; o bien A In. En
este último caso se tiene que n + 1 ∈ A y podemos expresar A = B ∪ {n + 1} como unión
disjunta, con B = A \ {n + 1} ⊂ In. Por hipótesis inductiva, B es finito, de modo que

1.2. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES 5
existen k ∈ N y una biyección f : Ik → B. Ahora, esta función puede extenderse a una
función g de Ik+1 en A, haciendo
g(i) =
f(i), si i ∈ Ik
n + 1, si i = n + 1
Esta función g es claramente una biyeción, por lo cual concluimos que A es finito.
TEOREMA 1.4 Si A y B son conjuntos finitos, entonces A ∪ B es finito; y si además
A ∩ B = ∅, entonces #(A ∪ B) = #A + #B.
DEFINICIÓN 1.3 Un conjunto es infinito si éste no es finito.
De acuerdo con el ejemplo anterior, N, Z y Q son infinitos. También el conjunto
de lso números primos es infinito.
El siguiente resultado es una consecuencia directa del Teorema 1.3.
PROPOSICIÓN 1.2 Si A es un conjunto infinito y A ⊂ B, entonces B es infinito.
DEFINICIÓN 1.4 Un conjunto es infinito numerable si es equipotente con N. Un conjunto
es numerable si es finito o es infinito numerable.
TEOREMA 1.5 Todo subconjunto de N es numerable.
TEOREMA 1.6 Todo subconjunto de un conjunto numerable también es numerable.
Demostración. Ya hemos demostrado que todo subconjunto de un conjunto finito es
finito, por lo que solo bastará demostrar el resultado para un conjunto infinito numerable.
Si X es infinito y f : X → N es una biyección, entonces la restricción de f a un
subconjunto A de X es inyectiva, y por tanto A es equipotente con un subconjunto de
N.
COROLARIO 1.4 Un conjunto es numerable si y sólo si es equipotente con un subconjunto
de N.
TEOREMA 1.7 La unión de conjuntos infinitos numerables es infinito numerable.
Demostración. Sean A y B conjuntos infinitos numerables y sean f : N → A, g : N →
B biyecciones. Defina h : N → A ∪ B por h(2n) = f(n) y h(2n − 1) = g(n) para cada
n ∈ N. Claramente h es sobreyectiva y tiene una inversa por la izquierda ˜ h : A ∪ B → N,
la cual es inyectiva. Entonces A ∪ B es equipotente con N.

6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
COROLARIO 1.5 Si
Ai es una familia infinita numerable de conjuntos infinitos
i1
numerables, entonces la unión
i1 Ai es infinito numerable. En general, la unión numerable
de conjuntos numerables es numerable.
Demostración. Ejercicio.
TEOREMA 1.8 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Demostración. Sea X un conjunto infinito. Basta definir una función inyectiva f : N →
X. Comenzamos escogiendo un elemento en cada subconjunto no vacío de X, esto es,
para ∅ = A ⊂ X escojamos xA ∈ A. Ahora definamos f recursivamente. Defina f(1) =
xX; suponiendo ya definidos los valores f(1), f(2), · · · , f(n), consideremos el conjunto
An = X \ {f(1), f(2), · · · , f(n)}. Como X no es finito, An = ∅, y podemos definir
f(n+1) = xAn. Esto completa la definición inductiva de f. Veamos la inyectividad. Dados
m, n ∈ N con m = n, digamos m < n, tenemos que f(m) ∈ {f(1), f(2), . . . , f(n − 1)},
mientras que por otro lado f(n) ∈ X \ {f(1), f(2), . . . , f(n)}. Luego, f(m) = f(n). La
imágen f(N) es, por tanto, un subconjunto infinito numerable de X.
COROLARIO 1.6 Un conjunto es infinito si y sólo si es equipotente con un subconjunto
propio.
Denotemos F(X; Y ) = Y X al conjunto de todas las funciones de un conjunto X a
un conjunto Y . Este es un subconjunto del conjunto de partes del producto cartesiano
X × Y .
TEOREMA 1.9 (Cantor) Sean X un conjunto arbitrario y Y un conjunto con #(Y )
2. Entonces ninguna función de X en F(X; Y ) es sobreyectiva.
Demostración. Dada ϕ : X → F(X; Y ) denotemos ϕx = ϕ(x) ∈ F(X; Y ). Para
mostrar la existencia de una función f : X → Y que es diferente de cada ϕx basta
establecer que f(x) = ϕx(x) para x ∈ X. Ahora, como Y posee al menos dos elementos,
fijada la función ϕ siempre es posible definir f de tal manera que f(x) = ϕx(x). Por
tanto ϕ no es sobreyectiva.
COROLARIO 1.7 Sean Xi, i ∈ N conjuntos infinitos numerables. Entonces el producto
cartesiano ∞
i=1 Xi es no numerable.
Demostración. Suponga Xi = N para cada i ∈ N. Entonces ∞
i=1 Xi = F(N; N) es no
numerable por el Teorema de Cantor.
Ahora sea P(X) el conjunto de partes de X. Veamos que P(X) es equipotente con
F(A; {0, 1}). En efecto, dado un subconjunto A de X, sea ξA la función característica de

1.2. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES 7
A definida por
ξA(x) =
0, si x /∈ A
1, si x ∈ A
La correspondencia A ↦→ ξA es una biyección (de hecho su inversa está definida por
f ↦→ f −1 {1} ). Luego, no hay sobreyección de X sobre P(X). Por otro lado existe una
obvia inyección: x ↦→ {x}.
Como consecuencia, el conjunto P(N) es infinito no numerable. Más generalmente,
P(X) es infinito no numerable para todo conjunto infinito X.

8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Capítulo 2
Números Reales
2.1. Axiomas de Campo
La estructura de campo o cuerpo es una estructura algebraica caracterizada por
dos operaciones adición y multiplicación definidas en un conjunto no vacío K sujetos a
los siguientes nueve Axiomas de Campo. En los enunciados de estos axiomas las letras
x, y, z denotan elementos arbitrarios de K.
Axiomas de la Adición
(A.1) Asociatividad: x + (y + z) = (x + y) + z.
(A.2) Conmutatividad: x + y = y + x.
(A.3) Existencia de elementos neutros: existe un elemento e ∈ K tal que x + e = x para
todo x ∈ K.
(A.4) Existencia de simétricos aditivos u opuestos respecto del neutro e: para cada x ∈ K
existe z ∈ K tal que x + z = e.
Algunas consecuencias inmediatas de estos axiomas forman parte de las reglas
usuales del Cálculo.
Existe un único elemento neutro para la adicón 0 (cero).
Los opuestos respecto del cero están unívocamente determinados. En virtud de
esto podemos emplear una notación que refleje la relación entre cada elemento y
su respectivo opuesto: −x es el opuesto de x.
Ley de cancelación.
−(−x) = x.
9

10 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REALES
Axiomas de la Multiplicación
(M.1) Asociatividad: x(yz) = (xy)z.
(M.2) Conmutatividad: xy = yx.
(M.3) Existencia de elementos neutros: existe un elemento u ∈ K con u = 0 tal que
ux = x para todo x ∈ K.
(M.4) Existencia de simétricos multiplicativos o inversos respecto del neutro u para
elementos no nulos: para cada x ∈ K con x = 0 existe z ∈ K tal que xz = u.
Algunas consecuencias inmediatas:
Existe un único elemento neutro para la multiplicación 1 (uno o unidad).
Los inversos respecto del uno están unívocamente determinados. Notación: x −1 ,
1/x es el opuesto de x ∈ K ∗ = K \ {0}.
Ley de cancelación: xy = xz y x = 0 implican y = z.
−(−x) = x.
Las operaciones de adición y multiplicación están relacionadas por medio de una
propiedad de distributividad.
(D.) Distrbutividad de la multiplicación sobre la adición: x(y + z) = xy + xz.
Observe qua la relación entre ambas operaciones de campo no es simétrica, pues la
adición no es distributiva respecto de la multiplicación.
Axiomas de Orden
Diremos que un campo (K, +, ·) admite un orden compatible si existe un conjunto
K + ⊂ K, cuyos elementos llamaremos elementos positivos de K, cumpliendo los
siguientes Axiomas de Orden
(O.1) Compatibilidad con la adición: K + es cerrado bajo la adición.
(O.2) Compatibilidad con la multiplicación: K + es cerrado bajo la multiplicación.
(O.3) K + ∩ (−K + ) = ∅, donde −K + = {−x : ∈ K + } es el conjunto de los elementos
negativos de K.
(O.4) K es la unión disjunta de los conjuntos K + , −K + y {0}.

2.1. AXIOMAS DE CAMPO 11
La unión en el tercer apartado anterior es efectivamente disjunta porque −0 = 0.
El cuadrado de cualquier elemento no nulo es un elemento positivo de K. en efecto, dado
a = 0 en K, tenemos a ∈ K + ó −a ∈ −K + . Entonces aa = a 2 = (−a)(−a) ∈ K + en
cualquier caso. En particular 1 = 1 2 ∈ K + y −1 es negativo. Particularmente, −1 no es
el cuadrado de ningún elemento de K.
Las dos últimas condiciones en la definición anterior suelen denominarse Ley de
Tricotomía, y un enunciado equivalente de ellas es al siguiente: para cada x ∈ K se
verifica una y sólo una de las siguientes condiciones:
x = 0,
x ∈ K + ,
−x ∈ K + .
Un campo que admite un orden compatible es llamado un campo ordenado y la
estructura es denotada (K, +, ·, K + ). En un campo ordenado se define naturalmente una
relación de orden lineal que posee ciertas propiedades de preservación de las operaciones
del campo. Dados x, y ∈ K defina x < y si y − x ∈ K + . Esta relación es un orden total
en K, puesto que ella satisface la propiedad de transitividad y la condición de comparabilidad
de todos los elementos (esto se deriva de la Ley de Tricotomía). Particularmente,
la relación asociada a < y definida de la manera usual como x y si y sólo si x < y
o x = y, es una relación de orden parcial.
PROPOSICIÓN 2.1 Propiedades de orden en un campo ordenado.
(i) x y implica z + x z + y para todo z ∈ K.
(ii) x y implica zx < zy para todo z ∈ K + .
(iii) Dado un elemento x ∈ K se verifica una y sólo una de las siguientes condiciones:
x = 0,
x > 0,
x < 0.
El orden en K permite definir conjuntos especiales llamados intevalos de manera
general. Para a b en K definimos
1. Intervalos abiertos: (a, b) = {x ∈ K : a < x < b}.
2. Intervalos cerrados: [a, b] = {x ∈ K : a x b}.
Intervalos semi abiertos y semicerrados (a, b] y [a, b) son definidos de acuerdo con las
desigualdades respectivas.

12 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REALES
DEFINICIÓN 2.1 Un conjunto A de números reales es:
(a) acotado superiormente si existe un número C ∈ R tal que C > x para todo x ∈ A.
(b) acotado inferiormente si existe un número c ∈ R tal que c < x para todo x ∈ A.
(c) acotado si es acotado superior e inferiormente.
Observe que el conjunto vacío es acotado. Un elemento C como en la condición (a)
de la definición anterior es llamado una cota superior de A; mientras que un elemento c
como en la condición (b) es llamado una cota inferior de A. Diremos que un elemento
x0 en un conjunto A de números reales es el máximo de A si x0 es una cota superior
de A y al mismo tiempo x0 ∈ A. Por ejemplo, el intervalo (a, b] posee máximo b, pero
el intervalo (a, b) no posee máximo. No obstante, en este último caso, el conjunto I de
las cotas superiores del intevalo (a, b) posee elemento mínimo b, el cual pasa a ser una
versión débil de la idea de máximo. Consideraciones análogas pueden hacerse con contas
inferiores y definir mínimo de un conjunto acotado inferiormente.
DEFINICIÓN 2.2 Sea A un subconjunto no vacío y acotado superiormente de un campo
ordenado K. Diremos que A admite un supremo si el conjunto de las cotas superiores
de A posee un elemento mínimo M. Tal elemento es llamdo supremo de A y se denota
M = sup A.
La definición anterior tiene una versión con cotas inferiores. Sea A un subconjunto
no vacío y acotado inferiormente de un campo ordenado K. Diremos que A admite un
ínfimo si el conjunto de las cotas inferiores de A posee un elemento máximo m. Tal
elemento es llamdo ínfimo de A y se denota m = ínf A.
Así estamos en condiciones de enunciar el Axioma más importante para el Análisis
Matemático.
Axioma de Completitud
(C.) Todo conjunto no vacío y acotado superiormente admite un supremo.
Un campo ordenado que satisfaga el Axioma de Completitud es llamado un campo
orden-completo. El conjunto de los números reales el definido como el único campo ordencompleto
salvo por isomorfismos de campos orden-completos.
LEMA 2.1 Sea A un conjunto acotado y no vacío de números reales.
(a) s = sup A si y sólo si para todo ε > 0 existe x ∈ A tal que s − ε < x s.
(b) t = ínf A si y sólo si para todo ε > 0 existe x ∈ A tal que t x < t + ε.
(c) Si x + ε y para todo ε > 0, entonces x y.

2.1. AXIOMAS DE CAMPO 13
Demostración. (c) Si no fuese x y, entonces y − x > 0. Sea ε = 1(y
− x) > 0. De
2
nuestra hipótesis tenemos que 1
1
(x + y) = x + (y − x) 0. Luego, x + y 2y y por
2 2
tanto x y, contradiciendo la suposición y > x.
PROPOSICIÓN 2.2 (a) N no es acotado superiormente.
(b) Para el conjunto X = {i/n : n ∈ N} tenemos ínf X = 0.
(c) Para todo a, b ∈ R con a > 0 y b 0 existe n ∈ N tal que na > b.
Demostración. (a) Si N fuese acotado superiormente, existiría c = sup N. Particularmente,
c − 1 no es cota superior de N y podemos escoger n ∈ N tal que c − 1 < n. Luego,
c < n + 1 ∈ N y por tanto c no es cota superior de N], lo cual contradice la elección de c.
(b) Primero notemos que 0 es cota inferior de X. Basta mostrar que ningún número
positivo es cota inferior de X. En efecto, dado c > 0 existe, por (i) un n ∈ N tal que
n > 1/c, de modo que c > 1/n ∈ X. Así, c no es cota inferior de X como habíamos
afirmado.
(c) Dados a y b como en el enunciado, por (i) existe n ∈ N tal que n > b/a y por
tanto na > b.
Ejemplo 2.1. El ínfimo del conjunto X = {1/n : n ∈ N} es cero.
TEOREMA 2.1 Entre dos números reales distintos existe un número racional.
Demostración. Trataremos primero el caso de números positivos. Considere entonces
números reales positivos a, b con a < b. La idea es encontrar una “longitud” positiva de
la forma 1/q suficientemente pequeña (menor que b − a) de modo que algún múltiplo de
ella, digamos p/q esté entre a y b.
Como R es Arquimediano, existen u, v ∈ N tales que u(b − a) > 1 y vb > 1. Sea q
el máximo entre u y v. Claramente se tiene
0 < 1
q
< b − a y 1 < bq (2.1)
Ahora, sea B el conjunto de n ∈ N tales que n < bq. Como 1 ∈ B (por 2.1),
tenemos que B = ∅ y además B es finito porque N no es acotado; de hecho b y q están
fijos en la definición de B y bq es una cota superior de B. Sea p = máx B, con lo cual se
tiene, en particular, que p ∈ B y p + 1 /∈ B. Mostraremos ahora que el número p/qtiene
la propiedad requerida. Primero, de p ∈ B tenemos que p < bq y por tanto p/q < b. Por
otro lado,
De esto y por 2.1 resulta
p + 1 /∈ B =⇒ p + 1 bq =⇒
a = b − (b − a) <
p + 1
q
− 1
q
p + 1
q
= p
q ,
b.

14 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REALES
con lo cual queda demostrado el Teorema.
2.2. Inducción Matemática
En esta sección ilustramos el método de inducción matemática con algunas propiedades
elementales, muchas de las cuales serán empleadas en capítulos subsiguientes.
PROPOSICIÓN 2.3 Para todo n 3 se tiene 2 n−1 < n!.
PROPOSICIÓN 2.4 Dado a = 0 se tiene n
k=0 ak = 1−an+1
1−a
para todo n 0.
Demostración. Para n = 0 la suma solo tiene el término a 0 = 1, mientras que el lado
derecho es (1 − a)/(1 − a) = 1. Suponga que la igualdad es válida para un entero n 0.
Entonces
n+1
a k =
k=0
Se concluye por inducción.
1 − an+1
1 − a + an+1 = 1 − an+1 + an+1 − an+2 1 − a
= 1 − an+2
1 − a .
PROPOSICIÓN 2.5 (Binomio de Newton) Sean a, b ∈ R y n un entero positivo. Entonces
(a + b) n n
n
= a
k
n−k b k .
2.3. Otros Resultados
k=0
LEMA 2.2 (Desigualdad de Bernoulli) Para todo número real x −1 y todo entero
n 1 se tiene
(1 + x) n 1 + nx. (2.2)
Además, la desigualdad es estricta si x = 0 y n > 1.
Demostración. Por inducción sobre n. Para n = 1 se tiene la igualdad en (2.2). Suponga
(2.2) válida para un entero positivo n. Entonces, puesto que 1 + x 0 (porque
x −1 por hipótesis), tenemos:
(1 + x) n+1 = (1 + x)(1 + x) n (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + nx 2
1 + (n + 1)x
La última afirmación se obtiene también por inducción notando que la última desigualdad
en el argumento anterior es estricta para x = 0.

2.3. OTROS RESULTADOS 15
TEOREMA 2.2 (Existencia de raíces n-ésimas) Para cada número real a y cada
número natural n 2 tenemos:
(i) Si a 0 y n es par, existe un único b ∈ R, b 0, tal que b n = a.
(ii) Si a ∈ R y n es impar, existe un único b ∈ R tal que b n = a.
Demostración. Trataremos el caso en que a 0 para ambas conclusiones (todos
los casos de n ∈ N). Si a = 0, tomamos b = 0. Consideremos entonces la situación
a > 0. Veamos primero la unicidad, propiedad para la cual no requerimos el Axioma de
Completitud. Suponga que x > 0 y y > 0 satisfacen x n = a = y n . Entonces
0 = x n − y n = (x − y)(x n−1 + x n−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 ),
donde el segundo factor del lado derecho es positivo. Luego, x − y = 0 y así x = y.
Para la existencia, planteamos una situación en la que el Axioma de Completitud
nos de la existencia de la raíz n-ésima como supremo de un cierto conjunto. Considere
el conjunto
S = {s ∈ R : s > 0, s n a}.
Veamos primero que S es no vacío. En efecto, por la Propiedad Arquimediana existe
m ∈ N tal que 1/m < a. Entonces 0 < (1/m) n 1/m < a, porque 1/m 1, de modo
que 1/m ∈ S. Por otro lado, veamos que S es acotado superiormente. Puesto que N no
es acotado superiormente podemos tomar k ∈ N con k a, con lo cual tenemos que s es
una cota superior de S. De hecho, si fuese s > k para algún s ∈ S, entonces sn > k a,
porque s > k 1. Aplicando entonces el Axioma de completitud, existe b = sup S,
el cual es positivo porque S contiene números positivos. Demostremos finalmente que
bn = a. Para esto descartemos las posibilidades bn < a y bn > a. En ambos casos la idea
es suponer la desigualdad respectiva y mostrar que b no es el supremo de S. Primero, si
bn > a, usamos el Teorema de Binomio para mostrar que S contiene un elemento mayor
que b. Tal elemento puede ser de la forma b + 1/k0 para algún k0 ∈ N. Dado k ∈ N
tenemos
1
n
n n
b + = b
k i
i=0
n−i /k i
= b n n
n
+ b
i
i=1
n−i /k i b n + r/k,
donde r = n n n−i i n
i=1 b /k . Siendo b − a > 0, por la Propiedad Arquimediana existe
i
k0 ∈ N tal que k0(a − bn ) > r, o sea r/k0 < a − bn . Para este k0 tenemos, de acuerdo
con el desarrollo binomial anterior, (b + 1/k0) n bn + (a − bn ) = a, lo cual implica
b + 1/k0 ∈ S, contradiciendo que b es el supremo de S.
Para el caso b n > a, usamos de nuevo el Teorema de Binomio para obtener
1 n n
b − b − t/k,
k

16 CAPÍTULO 2. NÚMEROS REALES
para algún t 0 y para todo k ∈ N. Escogemos k1 tal que t/k1 < b n − a y t/k1 < b n − a
(usando la Propiedad Arquimediana). Luego resulta (b − 1/k1) n > a. Pero, por el Lema
2.1 existe s ∈ S tal que 0 < b − 1
k1 < s, y con esto tenemos sn > (b − 1
k1 )n > a,
contradiciendo la elección de s ∈ S. Concluimos que b n = a.
En el caso a < 0 con n impar, existe b ∈ R + tal que b + n = −a. Escriba n = 2k + 1
con k entero no negativo. Entonces
(−b) n = (−b) 2k+1 = (−b) 2k (−b) = −b 2k+1 = −(−a) = a.
Con esto queda demostrado el Teorema.
TEOREMA 2.3 (Intervalos Encajados) Dada una familia numerable {Jn : n ∈ N}
de intervalos cerrados y acotados no triviales Jn = [an, bn] en R tales que Jn+1 ⊂ Jn
para todo n (propiedad de encaje decreciente), se tiene que la intersección de los Jn es
no vacía.
Demostración. Para cada n tenemos que Jn ⊃ Jn+1, esto significa que an an+1
bn+1 bn para cada n ∈ N. Entonces el conjunto A = {an : n 1} es acotado
superiormente por cualquier bk. Por el Axioma de Completitud, existe c = sup A y
tenemos que c bn para todo n. Luego, para todo n, an c bn y por tanto c ∈ {Jn :
n 1}.

Capítulo 3
Sucesiones y Series Numéricas
3.1. Sucesiones
DEFINICIÓN 3.1 Una sucesión en un conjunto X es una función x : N → X. Para
una tal sucesión x emplearemos indistintamente las notaciones (xn) o (xn)n1, donde
xn = x(n) es llamado el n-ésimo término de la sucesión. La notación funcional sólo se
usará en pocas situaciones excepcionales. El conjunto de valores de la sucesión (xn) es
el conjunto de imágenes en X de la función x, esto es el conjunto {xn : n ∈ N}. En
estas notas trataremos principalmente con sucesiones de números reales, las cuales referiremos
frecuentemente como sucesiones reales, pero más adelante trataremos también
con sucesiones de funciones de variable real.
DEFINICIÓN 3.2 Una sucesión real (xn) converge a un número real x0 si
para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que n N =⇒ |xn − x0| < ε. (3.1)
Decimos en tal caso que |xn − x0| es arbitrariamente pequeño para todo n suficientemente
grande. Si una sucesión no satisface la condición de convergencia, decimos que es
divergente.
PROPOSICIÓN 3.1 Sean (xn) y (yn) dos sucesiones reales. Suponga que existe un entero
positivo N tal que xn = yn para todo n N. Entonces la convergencia (resp. divergencia)
de (xn) implica la convergencia (resp. divergencia) de (yn).
Demostración. Es inmediato de las definiciones.
Este resultado de apariencia inocente establece que el comportamiento asintótico,
es decir a largo plazo (como la convergencia y la divergencia), de una sucesión no depende
de cualquier cantidad finita de términos de la misma. Para dos sucesiones como en la
Proposición anterior decimos que ellas son eventualmente iguales.
17

18 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
PROPOSICIÓN 3.2 Si la sucesión real (xn) converge a L1 y a L2, entonces L1 = L2.
En otras palabras, (xn) sólo puede converger a un número real a lo sumo.
Demostración. Se ε > 0 arbitrario. Por hipótesis existen N1, N2 ∈ N tales que
|xn − L1| < ε si n N1, y
|xn − L2| < ε si n N2
Empleando la desigualdad triangular con un término xn y n máx{N1, N2} tenemos
que |L1 − L2| < 2ε, y puesto que ε es arbitrario, resulta que L1 = L2.
DEFINICIÓN 3.3 Si (xn) es una sucesión convergente a x0, denotaremos esta situación
con alguna de las siguientes expresiones, las cuales son tomadas como equivalentes
x0 = lím
n→∞ xn, x0 = lím xn o x → x0 (n → ∞).
Diremos en tal caso que x0 es el límite de (xn) cuando n tiende a infinito, ésto último
representado por la simbología n → ∞.
Si una sucesión tiene términos cuyos módulos son arbitrariamente grandes, existirán
términos con índices grandes que se alejan de cualquier punto previamente fijado en la
recta, de modo que tal sucesión no podría ser convergente. Diremos que una sucesión
real es acotada si el conjunto de sus valores es un conjunto acotado de números reales.
El resultado siguiente es una reformulación del comentario previo en el contexto de
sucesiones acotadas.
PROPOSICIÓN 3.3 Si (xn) es una sucesión convergente, entonces (xn) es acotada.
Demostración. Sea x0 el límite de (xn). Por convergencia de (xn) a x0, existe N ∈ N
tal que |xn − x0| < 1, y por la desigualdad triangular, |xn| 1 + |x0| para todo n N.
Tomando M = máx{|x1|, |x2|, . . . , |xN−1|, 1 + |x0|}, se obtiene que |xn| M para todo
n 1.
Ejemplo 3.1. La sucesión (xn) definida por xn = (−1) n es acotada pero no convergente.
Ejemplo 3.2. Si b > 1, la sucesión (xn) definida por xn = b n no es acotada. En efecto,
escriba b = 1+d con d > 0. Por la desigualdad de Bernoulli, b n 1+nd para todo n 1.
Luego, dado M ∈ N tomemos n ∈ N con n > (M − 1)/d, de modo que b n > 1 + nd > M.
De acuerdo con la Proposición anterior, una sucesión no acotada no puede ser
convergente. No obstante ciertos tipos de comportamiento asintótico de algunas sucesiones
divergentes no acotadas, como la del último ejemplo, juegan un papel importante y
admiten propiedades en gran parte similares a aquellas de los límites ordinarios.

3.1. SUCESIONES 19
DEFINICIÓN 3.4 Sea (xn) una sucesión real. Diremos que (xn) diverge a +∞ si
∀M > 0, ∃N ∈ N : n N =⇒ xn M.
Por otro lado, una sucesión (zn) diverge a −∞ si (−zn) diverge a +∞.
Observación. Aún cuando la definición anterior trata acerca de situaciones de divergencia,
adoptaremos las notaciones límn→∞ xn = ±∞ respectivamente. Esto se
justifica porque estas nociones pueden ser entendidas, previas consideraciones que
no haremos aquí) como convergencia en ¯ R. Estos son los llamados límites infinitos.
En general, llamaremos límite extendido a un límite que puede ser finito o infinito.
De modo pues que si una sucesión tiene límite infinito diremos, por abuso de lenguaje,
que ella es convergente en ¯ R y que la convergencia es “extendida”. El término de
convergencia a solas queda reservado para la convergencia en R, es decir, con límite
real o finito. Diremos que una sucesión es propiamente divergente si diverge en ¯ R.
DEFINICIÓN 3.5 Una sucesión (xn) es
(1) monótona no creciente si xn+1 xn para todo n 1.
(2) monótona decreciente si xn+1 < xn para todo n 1.
(3) monótona no decreciente si xn xn+1 para todo n 1.
(4) monótona creciente si xn < xn+1 para todo n 1.
En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona. Por otro lado, una
sucesión es eventualmente monótona, si es eventualmente igual a una sucesión monótona
(del tipo respectivo).
Observe que toda sucesión decreciente (resp. creciente) es no creciente (resp. no
decreciente).
PROPOSICIÓN 3.4 Sea (xn) una sucesión real.
(1) Si (xn) es no decreciente y no acotada, entonces xn → +∞.
(2) Si (xn) es no creciente y no acotada, entonces xn → −∞.
Demostración. Inmediata (ejercicio).
TEOREMA 3.1 Toda sucesión monótona acotada es convergente.

20 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Demostración. Sea (xn) una sucesión no decreciente y acotada. Entonces el conjunto
de valores S = {xn : n 1} es no vacío y acotado superiormente, de modo que por
completitud de la recta existe u = sup S. Afirmamos que xn → u cuando n → ∞. En
efecto, para ε > 0 arbitrario el número u − ε no es cota superior de S y existe N ∈ N tal
que xN > u − ε. Puesto que (xn) es no decreciente, tenemos xn xN para todo n N
y, además, xn u para todo n. Por tanto
n N =⇒ u − ε < xn u =⇒ |xn − u| < ε,
y así lím xn = u. Para el caso de una sucesión no creciente (xn), se demuestra de manera
similar (y se sugiere al lector hacerlo!) que ella converge a ínf S.
Ejemplo 3.3. Sea 0 < a < 1. La sucesión de término general xn = a n es convergente con
límite 0. En efecto, (xn) es decreciente y acotada porque 0 < a < 1 implica 0 < a 2 < a <
1, y por inducción, 0 < a n+1 < a n < a < 1 para todo n 1. Luego, (xn) es convergente.
Afirmamos que lím xn = 0. En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que (1/a) n0 > 1/ε
(vea el ejemplo 2.1), de modo que a n0 < ε. Por tanto, lím xn = ínf{a n : n 1} = 0 (vea
la demostración del Teorema 3.1).
La combinación de la Proposición 3.4 y el Teorema 3.1 establece que toda sucesión
monótona tiene límite en ¯ R.
TEOREMA 3.2 Sea (xn) una sucesión real convergente con límite a. Si b < a, entonces
b < xn para todo n suficientemente grande. Analogamente, si a < b, entonces xn < b
para todo n suficientemente grande.
Demostración. Para el primer caso, tomemos ε = a − b > 0. Por definición de límite
existe N > 0 entero tal que a − ε < xn < a + ε para todo n N, particularmente b < xn
para todo n N. El segundo caso es similar.
Note que la condición b < a (estricto) en el resultado anterior es escencial para su
validez.
COROLARIO 3.1 Suponga que lím xn = a y lím yn = b, donde las sucesiones (xn) y
(yn) son tales que xn yn para todo n suficientemente grande. Entonces a b. En
particular, si xn b para todo n suficientemente grande, entonces a b.
Demostración. Por reducción al absurdo. Si fuese b < a, podemos tomar un número
real c con b < c < a. Entonces por el Teorema 3.2 se tiene que yn < c < xn para todo n
suficientemente grande, lo cual contradice la hipótesis.
Observación. La condición xn < yn para n suficientemente grande no implica a < b,
como muestran las sucesiones con términos generales xn = 0 y yn = 1/n para n 1.
Ejercicio. Si xn > 0 para todo n ∈ N y lím(xn+1/xn) = a < 1, entonces lím xn = 0.

3.1. SUCESIONES 21
TEOREMA 3.3 (Sandwich) Si lím xn = lím yn = a ∈ R y xn zn yn para todo n
suficientemente grande, entonces lím zn = a.
Demostración. Sea ε > 0 arbitrario. Por hipótesis de convergencia existen enteros
positivos n1 y n2 tales que |xn − a| < ε y |ym − a| < ε siempre que n n1 y m n2
respectivamente. Pro otro lado, existe n3 tal que xn zn yn para todo n n3.
Tomemos ahora n4 máx{n1, n2, n3}, de modo que para n n4 se tiene
a − ε < xn zn yn < a + ε,
lo cual implica |zn − a| < ε. Por tanto zn → a.
Para el caso de límites infinitos el Teorema anterior se enuncia de la siguiente forma.
TEOREMA 3.4 (Sandwich) Si lím xn = +∞ y xn zn para todo n suficientemente
grande, entonces lím zn = +∞. Analogamente, si lím yn = −∞ y zn yn para todo n
suficientemente grande, entonces lím zn = −∞.
Demostración. Es consecuencia inmediata de las definiciones.
Ejercicio. Demuestre que si lím xn = 0 y (yn) es una sucesión acotada, entonces
lím xnyn = 0.
Ejemplo 3.1 (Número de Euler) La sucesión con término general
an = 1 + 1 + 1 1 1
+ + · · · +
2! 3! n! =
n
k=0
1
k!
(3.2)
es convergente. Para demostrar esto notamos inmediatamente que (an) es creciente.
Además es acotada, pues 2 n−1 < n! para n 3 (vea Proposición 2.3), lo
cual implica
2 < an = 1+1+ 1 1
+
2! 2
1
+· · ·+ 2 2
n−1
= 1+
n−1
k=0
k 1
1 1 − 2 = 1+
2
n
1 − 1
2
Definimos el número de Euler e, como el límite de la sucesión (an).
PROPOSICIÓN 3.5 El número de Euler es irracional.
= 1+2 1−(1/2) n 3.
Una demostración puede ser encontrada en el libro “Calculus” de Michael Spivak.
El ejemplo a continuación caracteriza el número de Euler como otro límite importante
el cual, en ocasiones, es empleado como definición, particularmente en algunos textos de
Cálculo.

22 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Ejemplo 3.2 (Caracterización de e) Sea bn = 1 + 1/n n . Afirmamos que
lím bn = e. Aplicando la fórmula del Binomio de Newton 2.5 en el capítulo
anterior tenemos
bn = 1 + 1
n = 1 + n
n
1 n(n − 1) 1 n(n − 1) · · · 2 1
+ + · · · +
n 2! n2 n! nn = 1 + 1 + 1
1 −
2!
1
+
n
1
1 −
3!
1
1 −
n
2
+
n
· · · + 1
1 −
n!
1
1 −
n
2
n − 1
· · · 1 −
n
n
Particularmente, (bn) es creciente y bn an, donde an viene dado por (3.2) para
todo n 0. Tenemos así que lím bn e.
Por otro lado, si fijamos arbitrariamente p ∈ N y consideramos n > p, podemos
observar que
bn > 1 + 1 + 1
1 −
2!
1
+
n
1
1 −
3!
1
1 −
n
2
+
n
· · · + 1
1 −
p!
1
1 −
n
2
p − 1
· · · 1 − ,
n
n
y haciendo n → +∞ con p fijo se obtiene lím bn ap, donde ap es el p-ésimo
término de la sucesión en el Ejemplo 3.1. Luego, límp→∞ límn→∞ bn y por lo
ya demostrado concluimos que lím bn = e.
3.2. Límites Inferior y Superior
Ya hemos hecho notar que el comportamiento asintótico de una sucesión (xn) sólo
depende de conjuntos de términos de la forma TN = {xn : n N} para valores grandes
de N. Queremos precisar esta observación mediante la introducción de los conceptos de
límite inferior y superior, por medio de los cuales pordemos caracterizar la existencia de
límites.
En general, si xn → x0, entonces x0 ∈ [uN, vN] para todo N ∈ N, donde uN = ínf TN
y vN = sup TN. Además las inclusiones TN ⊃ TN+1 (N 1) implican que uN uN+1 y
vN+1 vN para todo N. Siendo (um) y (vm) sucesiones monótonas, éstas tienen límites
u y v en ¯ R respectivamente y además u v. En el caso de una sucesión (xn) acotada, u
y v son reales, y si además (xn) converge a un número real x0, tenemos que x0 ∈ [u, v],
lo que representa una información sobre la localización del límite de (xn). De hecho,
cuando el límite existe este intervalo se reduce a él, como veremos luego. Lo importante

3.2. LÍMITES INFERIOR Y SUPERIOR 23
a resaltar aquí es que las sucesiones (um) y (vm) guardan alguna información sobre el
comportamiento asintótico de la sucesión, particularmente de la convergencia y su límite.
DEFINICIÓN 3.6 Sea (xn) una sucesión real. Se definen
(1) el límite inferior de (xn), denotado por lím infn→∞ xn, lím inf xn o lim xn como el
número real extendido
lím inf xn = lím
N→∞ ínf{xn : n N}.
(2) el límite superior de (xn), denotado por lím sup n→∞ xn, lím sup xn o lim xncomo el
número real extendido
lím sup xn = lím
N→∞ sup{xn : n N}.
De acuerdo con la monotonía ya observada de las sucesiones (ínf TN)N1 y (sup TN)N1
(dada la definición de los conjuntos TN), resulta evidente que
lím sup xn = ínf{sup{xn : n N} : N 1} y
lím inf xn = sup{ínf{xn : n N} : N 1}.
Observación. Si (xn) no es acotada superiormente, entonces
ínf
N1 sup{xn : n N} = ínf{+∞} = +∞,
mientras que si (xn) no es acotada inferiormente, entonces
sup ínf{xn : n N} = sup{−∞} = −∞.
N1
TEOREMA 3.5 Sea (xn) una sucesión real.
(i) Si existe lím xn en ¯ R, entonces lím inf xn = lím xn = lím sup xn.
(ii) Si lím inf xn = lím sup xn, entonces existe lím xn en ¯ R y todos ellos coinciden.
Demostración. Denote um = ínf{xn : n m} y vm = sup{xn : n m} para m 1,
y sean u = lím um = lím inf xn, v = lím um = lím sup xn.
(i) Suponga primero que lím xn = +∞. Dado M > 0 existe N ∈ N tal que xn > M
para todo n N. Puesto que (um) es no decreciente, tenemos que si m N, entonces
um uN = ínf{xn : n N} M y por tanto lím um = +∞. La demostración para el
caso en que lím xn = −∞ es similar.
Por otro lado, supongamos que lím xn = x0 ∈ R. Dado ε > 0 existe N ∈ N tal
que |xn − x0| < ε para todo n N. En particular, xn < x0 + ε para n N. Luego,

24 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
vN = sup{xn : n N} x0 + ε y puesto que (vm) es no creciente obtenemos vm
vN x0 + ε siempre que m N. Por tanto lím vm x0 + ε y como ε > 0 es arbitrario,
concluimos que lím sup xn x0 = lím xn. Mediante un argumento enteramente similar
se demuestra también que lím xn lím inf xn. Con esto tenemos
lím sup xn lím xn lím inf xn lím sup xn,
y por tanto lím sup xn = lím xn = lím inf xn.
(ii) Si lím inf xn = lím sup xn = +∞, se obtiene inmediatamente que lím xn = +∞.
Analogamente para −∞.
Supongamos ahora que lím inf xn = lím sup xn = s ∈ R. Dado ε > 0 tenemos,
por la convergencia vm → s, que existe N1 ∈ N tal que |s − vN1| < ε, lo cual implica
vN1 = sup{xn : n N1} < s + ε y así
xn < s + ε para todo n N1. (3.3)
Analogamente, puesto que s = lím um existe N2 ∈ N tal que |s − uN2| < ε y en particular
ínf{xn : n N2} > s − ε. Luego
xn > s − ε para todo n N2. (3.4)
De (3.3) y (3.4) obtenemos s − ε < xn < s + ε para todo n máx{N1, N2} y por tanto
lím xn = s.
De acuerdo con lo que hemos visto, si una sucesión real (xn) converge, entonces
los límites superior e inferior coinciden, lo cual implica que los números uN y vN como
fueron definidos arriba están próximos entre sí. Particularmente se tiene xn ∈ [uN, vN]
para n N donde |uN − vN| es pequeño cuando N es grande. De esta manera vemos
que los términos xn de la sucesión están próximos unos de otros para n suficientemente
grande. Esta observación conduce a la formulación de una condición que caracteriza
la convergencia de manera intrínseca, es decir, dependiente sólo de los términos de la
sucesión y sin hacer referencia a su límite.
DEFINICIÓN 3.7 Una sucesión (xn) es una sucesión de Cauchy si para todo ε > 0
existe N ∈ N tal que |xn − xm| < ε para todo m, n N.
Los comentarios anteriores demuestran el siguiente Lema.
LEMA 3.1 Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
TEOREMA 3.6 Toda sucesión de Cauchy es convergente.
Demostración. Sea (xn) una sucesión de Cauchy. Denotemos TN = {xn : n N},
uN = ínf TN y vN = sup TN para N ∈ N. Para ε > 0 arbitrario existe N ∈ N tal que
m, n N =⇒ |xn − xm| < ε =⇒ xn < xm + ε.

3.3. SUBSUCESIONES 25
Entonces, fijado arbitrariamente m N, tenemos que xm + ε es una cota superior para
el conjunto TN. Luego vN = sup TN xm + ε para m N. Esto implica que vN − ε es
una cota inferior del conjunto TN y, por tanto, vN − ε ínf TN = uN. Con esto tenemos
lím sup xn vN uN + ε lím inf xn + ε,
de donde se deduce que lím sup xn es finito, pero además, como ε es arbitrario se obtiene
que lím sup xn lím inf xn. Por tanto lím sup xn = lím inf xn y la sucesión (xn) es
convergente.
3.3. Subsucesiones
DEFINICIÓN 3.8 Si σ : N → N es una función creciente (particularmente inyectiva y no
decreciente), llamaremos subsucesión de (xn) determinada por σ a la función compuesta
x ◦ σ, donde x es la función que caracteriza a (xn), esto es a la sucesión (xσ(k))k1.
Corrientemente usaremos la notación nk = σ(k) para una función σ no siempre definida
explicitamente y expresamos la condición de monotonía a través del enunciado nk k
para todo k; de esta manera la subsucesión es denotada por (xnk ) o (xnk )k1.
Observación. En la definición de subsucesiones no acostumbramos, en la mayoría de
las situaciones, definir ni mencionar explicitamente una función creciente σ de los
naturales. Esto origina la posibilidad de establecer una caracterización o definición
alternativa de subsucesión en la cual no se haga mención a tal función. Una posibilidad
es pensar en subsucesiones de una sucesión (xn), caracterizada por la función
x : N → X, como restricciones de x a subconjuntos infinitos S ⊂ N. Los elementos
de un tal subconjunto S pueden ser enumerados en al forma n1 < n2 < · · · mediante
una función creciente σ dada por σ(k) = nk y nk k como arriba, de modo que la
restricción de x a S, que es el conjunto de imágenes de σ, “puede ser identificada”
con la función compuesta x ◦ σ. Es claro que cualquier subconjunto infinito de enteros
positivos determina una subsucesión de la sucesión dada. Observe que según
este enfoque la subsucesión no es, de manera directa, una función definida en N. En
la práctica es útil pensar en las subsucesiones de una sucesión como restricciones a
subconjuntos infinitos, lo que además da pleno sentido al término subsucesión.
Ejemplo 3.4. Sea (rn)n1 una enumeración de los números racionales, esto es una sucesión
n ↦→ rn ∈ Q sobreyectiva. Veamos que dado x ∈ R existe una subsucesión (rnk ) que
converge a x. La definición de una tal subsucesión puede hacerse facilmente por inducción.
Por densidad de Q podemos escoger n1 ∈ N tal que |rn1 − x| < 1. Supongamos haber
escogido enteros positivos n1 < n2 < . . . < nk tales que
|rnj − x| < 1/j para j = 1, 2, · · · , k.

26 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Por densidad de Q, el intervalo abierto Jk+1 − x − 1/(k + 1), x + 1/(k + 1) contiene
infinitos números racionales, de modo que existe nk+1 > nk tal que rnk+1 ∈ Jk+1, esto
es |rnk+1 − x| < 1/(k + 1), lo cual completa la definición recursiva de la subsucesión.
Ahora, dado ε > 0 existe, por la propiedad Arquimediana, un entero positivo k0 tal que
1/nk < ε para todo k k0 y por tanto |rnk − x| < ε para todo k k0. Con esto hemos
mostrado que rnk → x cuando k → ∞.
Ejercicios
(1) Si una sucesión monótona (xn) posee una subsucesión convergente, entonces (xn) es
convergente.
(2) Si (xn) es una sucesión monótona que posee una subsucesión acotada, entonces (xn)
es acotada.
PROPOSICIÓN 3.6 Si la sucesión (xn) es convergente con límite x, entonces toda subsucesión
de (xn) converge a x.
Demostración. Sea (xnk ) una subsucesión de (xn) y suponga que xn → x. Observe que
nk k para cada k 1. Dado ε > 0 existe N tal que |xn − x| < ε para todo n N.
Luego,
k N =⇒ nk N =⇒ |xnk − x| < ε,
con lo cual queda demostrada la proposición.
La existencia de subsucesiones convergentes es importante en Análisis y posee
múltiples aplicaciones en diversas áreas de la Matemática. Uno de los resultados más
importantes en este sentido es el Teorema de Bolzano-Weierstrass que demostraremos
después del siguiente Lema.
LEMA 3.2 Toda sucesión tiene una subsucesión monótona.
La dificultad inicial para la demostración de este Lema es que no conocemos el tipo
de monotonía que podemos determinar en una sucesión arbitraria. Esto nos plantea la
necesidad de establecer un criterio según el cual podamos mostrar la existencia de una
subsucesión con una monotonía particular en un caso, y que para el caso complementario
se pueda argumentar la existencia de una subsucesión con la monotonía complementaria.
Demostración. Sea (xn) una sucesión cualquiera. Diremos que un término xn es dominante
si xm < xn para todo m > n y denotamos D = {m : xm es dominante}.
Dividiremos la demostración en dos csos según D sea infinito o finito.

3.3. SUBSUCESIONES 27
Caso 1: D es infinito. Tomamos cualquier subsucesión (xnk ) formada por términos dominantes.
Entonces xnk+1 < xnk por definición de término dominante y por tanto (xnk )
es monótona decreciente.
Caso 2: D es finito. Sea n1 > máx D. Entonces xn1 no es un término dominante, de modo
que existe n2 > n1 tal que xn1 xn2. Ahora, xn2 tampoco es dominante, por lo que existe
n3 > n2 tal que xn2 xn3. Prosiguiendo de manera recursiva se obtiene una subsucesión
monótona no decreciente (xnk ) formada por términos no dominantes de (xn).
TEOREMA 3.7 (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión real acotada posee una subsucesión
convergente.
Demostración. Sea (xn) una sucesión real acotada. Por el Lema anterior (xn) posee
una subsucesión monótona, la cual es también acotada por serlo (xn). Por el Teorema
3.1 esta subsucesión, siendo monótona y acotada, es convergente.
TEOREMA 3.8 Sea (xn) una sucesión. Entonces, existe una subsucesión monótona de
(xn) cuyo límite extendido es lím sup xn y existe una subsucesión monótona de (xn) cuyo
límite extendido es lím inf xn.
Demostración. Primero tratemos el caso de lím sup xn. Para cada N ∈ N sean XN =
{xn : n N} y vN = sup XN. Denotemos también v = lím vN = lím sup xn. Si v = −∞,
entonces lím inf xn = −∞ y por tanto lím xn = −∞ y cualquier subsucesión de (xn)
converge a lím sup xn.
Por otro lado, si v = +∞, entonces xn no es acotada superiormente. Escojamos
n1 < n2 < · · · tales que xnk k para cada k ∈ N, con lo cual se tiene límk→∞ xnk =
+∞ = lím sup xn.
Consideremos ahora el caso en que v es finito. Mostraremos que existe una sucesión
creciente (nk) de enteros positivos tal que
v − 1
k
< xnk < v + 1
k
para todo k 1.
Para esto procedemos por inducción sobre k. Para k = 1 escoja N1 ∈ N tal que |vN1 −v| <
1
2
, o sea v − 1
2 < vN1 < v + 1
2 . Puesto que vN1 = sup{xn : n N1}, tenemos que vN1 − 1
2
no es cota superior de XN1. Entonces existe n1 N1 tal que vN1 − 1
2 < xn1 vN1. De la
combinación de las dos desigualdades anteriores tenemos
v − 1 < v < vN1 − 1
2 < xn1 vN1 < v + 1
2
< v + 1.
xnj
Ahora supongamos haber escogido enteros n1 < n2 < · · · < nk tales que v − 1/j <
< v + 1/j para j = 1, 2, . . . , k. Escoja un entero Nk+1 > nk tal que |vNk+1 − v| <
1
2(k+1) . Puesto que vNk+1 = sup{xn : n Nk+1}, existe nk+1 Nk+1 > nk tal que

28 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
vNk+1
tenemos
− 1
2(k+1)
v − 1
k + 1
< xnk+1 . Luego, de la combinación de las dos desigualdades anteriores
< vNk+1 −
1
2(k + 1)
< xnk+1 vNk+1 < v +
1
2(k + 1)
< v + 1
k + 1 .
Entonces la subsucesión (xnk ) converge a v y por el Lema 3.2, ésta posee una
subsucesión monótona la cual también converge a v.
El caso de lím inf se deduce del anterior.
DEFINICIÓN 3.9 Un punto x0 ∈ ¯ R es un punto límite o límite subsecuencial (también
llamado valor de adherencia) de una sucesión real (xn) si x0 es el límite de alguna
subsucesión de (xn).
TEOREMA 3.9 Sea S el conjunto de los puntos límite de una sucesión real (xn). Entonces
(a) S = ∅.
(b) sup S = lím sup xn e ínf S = lím inf xn.
(c) (xn) converge a x0 si y sólo si S = {x0}.
Demostración. (a) es obvio (vea el Teorema 3.8).
(b) Sea t ∈ S, digamos que t = lím xnk para alguna subsucesión (xnk ) de (xn).
Dado N ∈ N tenemos que
{xnk : k N} ⊂ {xn : n N}
porque nk k. Denote RN y TN a estos conjuntos respectivamente. Entonces
ínf TN ínf RN y sup RN sup TN para todo N 1,
y de acuerdo con las definiciones de límite superior e inferior se obtiene
lím inf xn lím inf xnk = t = lím sup xnk lím sup xn.
Puesto que t ∈ S es arbitrario concluimos que
lím inf xn ínf S sup S lím sup xn.
Pero el Teorema 3.8 asegura que lím inf xn lím sup xn ∈ S, por tanto lím inf xn = ínf S y
lím sup xn = sup S.
(c) Es trivial.

3.3. SUBSUCESIONES 29
Ejercicios
(1) Sea S el conjunto de los puntos límite de una sucesión (xn). Si (tn) es una sucesión
en S ∩ R con tn → t, entonces t ∈ S.
(2) Supongamos que sn → s con s > 0 y sea (xn) cualquier sucesión. Entonces
lím sup snxn = s lím sup xn.
En lo que resta de esta sección establecemos algunas propiedades adicionales de los
límites superior e inferior que serán útiles para el posterior estudio de series numéricas.
Recuerde que s(±∞) = ±∞ para todo número real positivo s.
TEOREMA 3.10 Sea (xn) una sucesión de términos no nulos. Entonces
xn+1
lím inf
lím inf |xn| 1/n lím sup |xn| 1/n
lím sup
xn
xn+1
xn
. (3.5)
Demostración. La desigualdad intermedia en (3.5) es obvia. Veamos la tercera de las
desigualdades. Procederemos por un argumento de aproximación. Sean α = lím sup |xn| 1/n
y L = lím sup |xn+1/xn|. La desigualdad α L es obvia si L = +∞. Supongamos entonces
que L < ∞. Bastará mostrar (recuerde el Lema 2.1 (c)) que
Bien, sea L1 > L. Puesto que
L1 > L = lím sup
α L1 para todo L1 > L. (3.6)
xn+1
xn
por el Teorema 3.2 existe N ∈ N tal que
xn+1
sup
y así tenemos que
Pero, para n N podemos expresar
|xn| =
xn
= lím sup
N→∞
xn+1
xn
: n N < L1.
: n N ,
|xn+1/xn| < L1 para todo n N. (3.7)
xn
xn−1
·
xn−1
xn−2
xN
+ 1
|xN|,
de modo que aplicando (3.7) a las N − n fracciones en la expresión anterior, obtenemos
que |xn| < L N−n
1 |xN| para n > N. Fijando N y L1 (independientes de n) podemos
escribir esto último como |xn| < Ln 1a, para todo n > N, donde a = L−N |xN|. Luego
|xn| 1/n < L1a1/n para todo n ∈ N y como a1/n → 1 cuando n → ∞, resulta α =
lím sup |xn| 1/n L1 como queríamos, con lo cual hemos demostrado (3.6).
La primera de las desigualdades en (3.6) puede demostrarse en forma análoga.
xN

30 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
3.4. Series
Sea (xn) una sucesión de números reales. Llamaremos serie (o serie formal) con
término general xn a cualquiera de los símbolos
∞
xn,
xn o xn. (3.8)
n=1
n1
Para m 1, la m-ésima suma parcial de la serie (3.8) es el número sm = m
n=1 xn y
(sm)m1 es la sucesión de sumas parciales de (3.8). Diremos que la serie converge si la
sucesión (sn) es convergente y, en tal caso, el número s = límn→∞ sn es llamado suma
de la serie para lo cual escribimos
s =
∞
xn.
n=1
Observación. Si la serie (3.8) diverge a ±∞ mantendremos la notación xn = ±∞.
Una serie xn es absolutamente convergente si es convergente la serie |xn|, cuyo
término general es el valor absoluto del término general de la serie original. De acuerdo
con nuestros resultados sobre convergencia de sucesiones monótonas acotadas, una serie
de términos no negativos es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales (la
cual es monótona y no decreciente en este caso), es acotada.
Ejemplo 3.5. Si r es un número real con |r| < 1, entonces la serie geométrica de razón r
definida como ∞ k=0 rk es convergente. En efecto, se demuestra (usando inducción, por
ejemplo) que la sumas parciales de esta serie se expresan como
sn =
n
r k =
k=0
1 − rn+1
1 − r ,
y para |r| < 1 se tiene que r n+1 → 0 cuando n → ∞; de modo que sn → 1/(1 − r). Por
otro lado, la serie r n con |r| 1 no converge como demostraremos más adelante.
Ejemplo 3.6. Si r > 1, entonces la serie 1/nr es convergente. En efecto, sea c la suma
de la serie geométrica
n0 (2/2r ) n , la cual es convergente porque su razón es 2/2r < 1
para r > 1. Afirmamos que la sucesión (sm) de sumas parciales de 1/nr es acotada
superiormente por c. De hecho, dado m sea n tal que m < 2n − 1. Entonces
sm s2n
1 1
−1 = 1 + +
2r 3r
1 1 1 1
+ + + +
4r 5r 5r 7r
+ · · · +
< 1 + 2 4 2n−1
+ + · · · +
2r 4r (2n−1 n−1
2
=
) r 2r k < c.
k=0
1
(2n−1 + · · · +
) r
1
(2n − 1) r

3.4. SERIES 31
DEFINICIÓN 3.10 La serie an satisface el criterio de Cauchy si la sucesión (sn) de
sumas parciales es una sucesión de Cauchy. En símbolos:
∀ε > 0, ∃N ∈ N : m, n N =⇒ |sn − sm| < ε (3.9)
Acostumbramos emplear n > m N ⇒ |sn − sm| < ε en la condición anterior.
TEOREMA 3.11 Una serie de números reales es convergente si y sólo si satisface el
criterio de Cauchy (3.9).
COROLARIO 3.2 Si an es convergente, entonces lím an = 0.
Demostración. Sea (sn) la sucesión de sumas parciales de an y sea s su suma.
Considere la sucesión (tn)n0 cuyos términos son t1 = 0 y tn = sn−1 para n 2. Es claro
que tn → s y sn − tn = an para todo n. Entonces, lím an = lím(sn − tn) = s − s = 0.
Ejemplo 3.7. El recíproco del Corolario anterior no es cierto. La sucesión (1/n) converge a
cero, pero la serie armónica 1/n diverge. En efecto, supongamos que 1/n converge
y sea s su suma. Entonces las series con términos generales tn = 1/2n y un = 1/(2n − 1)
respectivamente también son convergentes, con sumas t y u respectivamente. Además
tn + un =
n
k=1
1
2k +
n
k=1
1
2k − 1 =
2n
k=1
1
k
= s2n,
y haciendo n → ∞ resulta s = t + u, con lo cual tenemos t = 1
2
que u = t = s/2. Por otro lado,
u − t = lím(un − tn) = lím 1 − 1
1 1 1 1
+ − + −
2 3 4 2n − 1 2n
1 1 1
1
= lím + + + · · · +
1 · 2 3 · 4 5 · 6 (2n − 1)(2n)
por tanto u > t, lo cual es contradictorio.
1/n = s/2, de modo
TEOREMA 3.12 (Test de Comparación) Sea an una serie de términos no negativos.
1
2
(a) Si an converge y |bn| an para todo n 1, entonces bn es convergente.
(b) Si an = +∞ y bn an para todo n 1, entonces bn = +∞.
Demostración. (a) Sea ε > 0. Puesto que an satisface el criterio de Cauchy tenemos,
por la desigualdad triangular y para n m suficientemente grandes:
n
bk
n
n
|bk| ak < ε.
k=m
k=m
k=m
> 0,

32 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
Así bn satisface el criterio de Cauchy y por tanto es convergente.
(b) Sean (sn) y (tn) las sucesiones de sumas parciales de an y bn respectivamente.
Entonces tn sn para todo n por hipótesis; y puesto que sn → +∞, se obtiene
tn → +∞.
Ejemplo 3.8. La serie 1/n r con r 1 es divergente por el criterio de comparación, pues
1/n r 1/n para todo n y la serie armónica 1/n es divergente.
COROLARIO 3.3 Series absolutamente convergentes son convergentes.
Una serie que es convergente pero no lo es absolutamente es llamada condicionalmente
convergente. El resultado siguiente nos da una útil y sencilla condicion para
la convergencia de una serie alternada. Al final del capítulo se incluye un resultado de
Riemann sobre series condicionalmente convergentes.
TEOREMA 3.13 (Leibniz) Si (an) es una sucesión monótona no creciente con lím an =
0, entonces la serie alternada ∞
n=1 (−1)n+1 an es convergente.
Demostración. Sea (an) como en el enunciado y denotemos sn a la n-ésima suma
parcial de la serie. Entonces por la monotonía no creciente de (an) tenemos
s2n = s2n−2 + a2n−1 − a2n
con a2n−1 − a2n 0
s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 con − a2n + a2n+1 0 (3.10)
Así, la subsucesión (s2n)n1 es no decreciente, mientras que la subsucesión (s2n+1)n1 es
no creciente.
Por otro lado, las hipótesis de monotonía no creciente y convergencia a cero implican
que cada término an es no negativo, al tiempo que la igualdad en (3.10) implica s2n =
s2n−1 − a2n. Con esto tenemos que s2n s2n−1 para todo n 1 y así
s2 s4 · · · s2n · · · s2n−1 · · · s3 s1.
Particularmente ambas subsucesiones (s2n)n1 y (s2n+1)n1 son acotadas y, siendo además
monótonas, ellas son convergentes. Finalmente, puesto que s2n − s2n−1 = −a2n y an → 0
resulta que lím s2n = lím s2n−1 y por tanto (sn) es convergente (note que cualquier
subsucesión de (sn) posee una subsucesión de (s2n) o de (s2n−1) la cual, por supuesto
converge a un valor unívocamente determinado).
TEOREMA 3.14 (Test de la Raíz de Cauchy) Sean an una serie y α = lím sup |an| 1/n .
(a) La serie an converge absolutamente si α < 1.
(b) La serie an diverge si α > 1.

3.4. SERIES 33
Demostración. (a) Si α < 1, entonces |an| 1/n es una sucesión eventualmente acotada
por una constante positiva c < 1. Más precisamente, tome ε > 0 tal que α + ε < 1. Por
definición de lím sup existe N ∈ N tal que
α − ε < sup |an| 1/n : n N < α + ε,
de modo que |an| 1/n < c para todo n N, siendo c = α + ε < 1. Entonces |an| c n para
todo n N. Como la serie geométrica c n es convergente, el Criterio de Comparación
asegura que
nN |an| es convergente. Por tanto |an| es también convergente.
(b) Si α > 1, entonces existe una subsucesión de |an| 1/n
n1
que converge a α.
Particularmente |an| > 1 para valores arbitrariamente grandes de n y, como consecuencia,
an no converge a cero. Luego, an no es convergente.
Ejemplo 3.9. Para las series con términos generales an = 1/n y bn = 1/n 2 , n 1 se tiene
lím sup |an| 1/n = 1 = lím sup |bn| 1/n ,
pero la serie an diverge mientras que bn converge. Así el Criterio de la Raíz no
garantiza nada cuando lím sup |an| 1/n es 1.
TEOREMA 3.15 (Test de la Razón o Cociente de d’Alembert) Sea an una serie
con an = 0 para todo n.
(a) La serie an converge absolutamente si lím sup |an+1/an| < 1.
(b) La serie an diverge si lím inf |an+1/an| > 1.
Demostración. Sea α = lím sup |an| 1/n . Sabemos que
an+1
lím inf
α lím sup
an
En el caso (a), α < 1 y el Criterio de la Raíz asegura que la serie converge. En el caso
(b), α > 1, y el Criterio de la Raíz asegura que la serie diverge.
an+1
Ejemplo 3.10. Considere nuevamente las series en el ejemplo 3.4. Note que
lím
1/(n + 1)
1/n
= 1 = lím
an
.
1/(n + 1)2
1/n2 ,
de modo que lím sup an+1
= 1 y lím inf an
bn+1
= 1. Con esto se muestra que tampoco el
bn
Criterio de la Razón concluye nada cuando el cociente tiene lím sup o lím inf igual a 1.
Llamaremos un reordenamiento de una serie an, a cualquier serie bn que se
obtiene por un cambio en el orden de aparición de los términos de la serie original. En
términos más precisos, si ϕ : N → N es una biyección cualquiera y denotamos bn = aϕ(n),

34 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
entonces la serie bn es un reordenamiento de an. También decimos en este caso que
la sucesión (bn) es un reordenamiento de (an). Es claro que todo reordenamiento de una
serie puede ser caracterizado mediante una biyección de N como acabamos de describir.
Diremos que una serie an es conmutativamente convergente si cualquiera de sus
reordenamientos es convergente y la suma de todos ellos es independiente del reordenamiento.
Ejemplo 3.11. La serie ∞
n=1 (−1)n+1 /n es convergente por el Teorema de Leibniz, pero
no conmutativamente. Sea s la suma de esta serie. Demostremos que el reordenamiento
dado por la sucesión
1, 1
3
, −1
2
, 1
5
, 1
7
, −1
4
1 1
, ,
9 11
tiene suma 3s/2. En efecto, denotemos
1 1
, −1 , ,
6 13 15
an = (−1)n+1
0, si n es impar
, bn =
n
(−1) n 2 +1
, si n es par
n
1 1 1 1
, −1 , , , − , , . . . (3.11)
8 17 19 10 21
⎧
1
⎪⎨ , n si n es impar
cn = 0,
⎪⎩
,
si n es par y n/2 es impar
si n es par y n/2 es par
Entonces, cn = an +bn para todo n 1. Por otro lado, los valores no nulos de la sucesión
(bn) corresponden a los valores de la sucesión (an/2) en el sentido que an
2 = b2n, de modo
que la serie bn tiene suma s/2. Ahora, de acuedo con las notaciones anteriores, los
valores no nulos de la sucesión (cn) son exactamente los valores de la sucesión (an), pero
con otro orden. En otras palabras, la función ϕ : N → N dada por
n, si n es impar
ϕ(n) =
2n, si n es par
caracteriza a la subsucesión de términos no nulos de (cn) como un reordenamiento de
(an). No obstante la suma de cn es s + s
2 . Note que la serie ∞ n=1 (−1)n+1 /n no es
absolutamente convergente.
TEOREMA 3.16 Si la serie an es absolutamente convergente, entonces es conmutativamente
convergente.
Demostración. Primero supongamos que an 0 para todo n 1. Sea ϕ : N → N
una biyección y denote bn = aϕ(n), sn = n k=1 ak y tn = n k=1 bk para cada n 1. Si
m = máx{ϕ(i) : 1 i n}, entonces ϕ(1), . . . , ϕ(n) ∈ Im, siendo Im = {1, 2, . . . , m}.
Entonces, por no negatividad de (an),
tn =
n
i=1
aϕ(i)
m
aj = sm,
j=1
− 2
n

3.4. SERIES 35
de modo que
∀n ∈ N, ∃m ∈ N : tn sm. (3.12)
Usando ϕ −1 en lugar de ϕ podemos mostrar en forma análoga que
∀m ∈ N, ∃n ∈ N : sm tn. (3.13)
Estas dos relaciones implican que sup{tn : n 1} = sup{sn : n 1}. Ahora, puesto
que ambas sucesiones (tn) y (sm) son monótonas no decrecientes (por la no negatividad
de los an, n 1), tenemos que
lím
n→∞ tn = sup{tn : n 1} = sup{sm : m 1} = lím sm
n→∞
Para el caso general definimos la parte positiva y la parte negativa de (an) como
pn = máx{an, 0} y qn = máx{−an, 0},
respectivamente. Entonces se cumple an = pn − qn. Observemos que todo reordenamiento
(bn) de (an) determina reordenamientos (un) y (vn) de (pn) y de (qn) respectivamente.
De esta manera (un) es la parte positiva de (bn) y (vn) es su parte negativa.
Por el caso anterior tenemos que
un = pn y vn = qn.
Luego an = un − vn = bn.
Dada una serie an, definimos pn = máx{an, 0} y qn = máx{−an, 0} (la parte
positiva y la parte negativa de an, respectivamente). Observe que |an| = pn +qn, mientras
que an = pn − qn. Si an es condicionalmente convergente, entonces pn = ∞ =
qn. En efecto, si ambas series fuesen convergentes, entonces |an| = pn + qn
es convergente, lo cual no es cierto porque an no es absolutamente convergente. Por
otro lado, si sólo la serie pn fuese convergente, digamos que con suma s, entonces
an = s − qn = ∞, lo cual contradice la convergencia condicional de an. Igual
contradicción se obtiene cuando suponemos que sólo la serie qn es convergente.
DEFINICIÓN 3.11 Una serie an es condicionalmente convergente si es convergente,
pero |an| diverge a +∞.
TEOREMA 3.17 (Riemann) Si an es una serie condicionalmente convergente, entonces
para todo c ∈ R existe un reordenamiento (bn) de (an) tal que bn = c.
Demostración. Daremos sólo un esquema de la demostración. Fijemos c ∈ R. Comenzemos
sumando loa términos positivos iniciales de (an), en su orden natural, hasta
que al sumar un cierto término an1 ocurra que la suma sn1 obtenida sea mayor que c.
Ciertamente esto va a ocurrir, porque la serie de las partes positivas de los términos de

36 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS
(an) diverge a ∞. Seguidamente continuamos sumando (respecto de sn1), pero esta vez
adicionaremos los términos negativos de (an), desde el inicio y en su orden natural, hasta
que al sumar un cierto término an2 resulte una suma sn2 menor que c. Esto ciertamente
ocurrirá porque la serie de las partes negativas de los términos de (an) diverge a ∞.
Prosiguiendo de esta manera se construye, inductivamente, un reordenamiento bn
de la serie an con al siguiente propiedad: si Sm es una suma parcial de bn, con
m n1, y ank es el último sumando de Sm que produjo un cambio de signo en la diferencia
de c con las sumas parciales del reordenamiento en el momento de sumar ank , entonces
|c − Sm| < |ank |. Como la serie an es convergente, se tiene que |an| → 0, cuando
n → ∞, por tanto las sumas parciales Sm convergen a c, como queríamos demostrar.