Análisis Matemático vol. I Funciones de una variable real. *

3.3. SUBSUCESIONES 29
Ejercicios
(1) Sea S el conjunto de los puntos límite de una sucesión (xn). Si (tn) es una sucesión
en S ∩ R con tn → t, entonces t ∈ S.
(2) Supongamos que sn → s con s > 0 y sea (xn) cualquier sucesión. Entonces
lím sup snxn = s lím sup xn.
En lo que resta de esta sección establecemos algunas propiedades adicionales de los
límites superior e inferior que serán útiles para el posterior estudio de series numéricas.
Recuerde que s(±∞) = ±∞ para todo número real positivo s.
TEOREMA 3.10 Sea (xn) una sucesión de términos no nulos. Entonces
xn+1
lím inf
lím inf |xn| 1/n lím sup |xn| 1/n
lím sup
xn
xn+1
xn
. (3.5)
Demostración. La desigualdad intermedia en (3.5) es obvia. Veamos la tercera de las
desigualdades. Procederemos por un argumento de aproximación. Sean α = lím sup |xn| 1/n
y L = lím sup |xn+1/xn|. La desigualdad α L es obvia si L = +∞. Supongamos entonces
que L < ∞. Bastará mostrar (recuerde el Lema 2.1 (c)) que
Bien, sea L1 > L. Puesto que
L1 > L = lím sup
α L1 para todo L1 > L. (3.6)
xn+1
xn
por el Teorema 3.2 existe N ∈ N tal que
xn+1
sup
y así tenemos que
Pero, para n N podemos expresar
|xn| =
xn
= lím sup
N→∞
xn+1
xn
: n N < L1.
: n N ,
|xn+1/xn| < L1 para todo n N. (3.7)
xn
xn−1
·
xn−1
xn−2
xN
+ 1
|xN|,
de modo que aplicando (3.7) a las N − n fracciones en la expresión anterior, obtenemos
que |xn| < L N−n
1 |xN| para n > N. Fijando N y L1 (independientes de n) podemos
escribir esto último como |xn| < Ln 1a, para todo n > N, donde a = L−N |xN|. Luego
|xn| 1/n < L1a1/n para todo n ∈ N y como a1/n → 1 cuando n → ∞, resulta α =
lím sup |xn| 1/n L1 como queríamos, con lo cual hemos demostrado (3.6).
La primera de las desigualdades en (3.6) puede demostrarse en forma análoga.
xN