Análisis Matemático vol. I Funciones de una variable real. *

2.1. AXIOMAS DE CAMPO 11
La unión en el tercer apartado anterior es efectivamente disjunta porque −0 = 0.
El cuadrado de cualquier elemento no nulo es un elemento positivo de K. en efecto, dado
a = 0 en K, tenemos a ∈ K + ó −a ∈ −K + . Entonces aa = a 2 = (−a)(−a) ∈ K + en
cualquier caso. En particular 1 = 1 2 ∈ K + y −1 es negativo. Particularmente, −1 no es
el cuadrado de ningún elemento de K.
Las dos últimas condiciones en la definición anterior suelen denominarse Ley de
Tricotomía, y un enunciado equivalente de ellas es al siguiente: para cada x ∈ K se
verifica una y sólo una de las siguientes condiciones:
x = 0,
x ∈ K + ,
−x ∈ K + .
Un campo que admite un orden compatible es llamado un campo ordenado y la
estructura es denotada (K, +, ·, K + ). En un campo ordenado se define naturalmente una
relación de orden lineal que posee ciertas propiedades de preservación de las operaciones
del campo. Dados x, y ∈ K defina x < y si y − x ∈ K + . Esta relación es un orden total
en K, puesto que ella satisface la propiedad de transitividad y la condición de comparabilidad
de todos los elementos (esto se deriva de la Ley de Tricotomía). Particularmente,
la relación asociada a < y definida de la manera usual como x y si y sólo si x < y
o x = y, es una relación de orden parcial.
PROPOSICIÓN 2.1 Propiedades de orden en un campo ordenado.
(i) x y implica z + x z + y para todo z ∈ K.
(ii) x y implica zx < zy para todo z ∈ K + .
(iii) Dado un elemento x ∈ K se verifica una y sólo una de las siguientes condiciones:
x = 0,
x > 0,
x < 0.
El orden en K permite definir conjuntos especiales llamados intevalos de manera
general. Para a b en K definimos
1. Intervalos abiertos: (a, b) = {x ∈ K : a < x < b}.
2. Intervalos cerrados: [a, b] = {x ∈ K : a x b}.
Intervalos semi abiertos y semicerrados (a, b] y [a, b) son definidos de acuerdo con las
desigualdades respectivas.