Análisis Matemático vol. I Funciones de una variable real. *

Capítulo 3
Sucesiones y Series Numéricas
3.1. Sucesiones
DEFINICIÓN 3.1 Una sucesión en un conjunto X es una función x : N → X. Para
una tal sucesión x emplearemos indistintamente las notaciones (xn) o (xn)n1, donde
xn = x(n) es llamado el n-ésimo término de la sucesión. La notación funcional sólo se
usará en pocas situaciones excepcionales. El conjunto de valores de la sucesión (xn) es
el conjunto de imágenes en X de la función x, esto es el conjunto {xn : n ∈ N}. En
estas notas trataremos principalmente con sucesiones de números reales, las cuales referiremos
frecuentemente como sucesiones reales, pero más adelante trataremos también
con sucesiones de funciones de variable real.
DEFINICIÓN 3.2 Una sucesión real (xn) converge a un número real x0 si
para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que n N =⇒ |xn − x0| < ε. (3.1)
Decimos en tal caso que |xn − x0| es arbitrariamente pequeño para todo n suficientemente
grande. Si una sucesión no satisface la condición de convergencia, decimos que es
divergente.
PROPOSICIÓN 3.1 Sean (xn) y (yn) dos sucesiones reales. Suponga que existe un entero
positivo N tal que xn = yn para todo n N. Entonces la convergencia (resp. divergencia)
de (xn) implica la convergencia (resp. divergencia) de (yn).
Demostración. Es inmediato de las definiciones.
Este resultado de apariencia inocente establece que el comportamiento asintótico,
es decir a largo plazo (como la convergencia y la divergencia), de una sucesión no depende
de cualquier cantidad finita de términos de la misma. Para dos sucesiones como en la
Proposición anterior decimos que ellas son eventualmente iguales.
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