Análisis Matemático vol. I Funciones de una variable real. *

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20 CAPÍTULO 3. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS Demostración. Sea (xn) una sucesión no decreciente y acotada. Entonces el conjunto de valores S = {xn : n 1} es no vacío y acotado superiormente, de modo que por completitud de la recta existe u = sup S. Afirmamos que xn → u cuando n → ∞. En efecto, para ε > 0 arbitrario el número u − ε no es cota superior de S y existe N ∈ N tal que xN > u − ε. Puesto que (xn) es no decreciente, tenemos xn xN para todo n N y, además, xn u para todo n. Por tanto n N =⇒ u − ε < xn u =⇒ |xn − u| < ε, y así lím xn = u. Para el caso de una sucesión no creciente (xn), se demuestra de manera similar (y se sugiere al lector hacerlo!) que ella converge a ínf S. Ejemplo 3.3. Sea 0 < a < 1. La sucesión de término general xn = a n es convergente con límite 0. En efecto, (xn) es decreciente y acotada porque 0 < a < 1 implica 0 < a 2 < a < 1, y por inducción, 0 < a n+1 < a n < a < 1 para todo n 1. Luego, (xn) es convergente. Afirmamos que lím xn = 0. En efecto, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que (1/a) n0 > 1/ε (vea el ejemplo 2.1), de modo que a n0 < ε. Por tanto, lím xn = ínf{a n : n 1} = 0 (vea la demostración del Teorema 3.1). La combinación de la Proposición 3.4 y el Teorema 3.1 establece que toda sucesión monótona tiene límite en ¯ R. TEOREMA 3.2 Sea (xn) una sucesión real convergente con límite a. Si b < a, entonces b < xn para todo n suficientemente grande. Analogamente, si a < b, entonces xn de. Demostración. Para el primer caso, tomemos ε = a − b > 0. Por definición de límite existe N > 0 entero tal que a − ε < xn < a + ε para todo n N, particularmente b < xn para todo n N. El segundo caso es similar. Note que la condición b < a (estricto) en el resultado anterior es escencial para su validez. COROLARIO 3.1 Suponga que lím xn = a y lím yn = b, donde las sucesiones (xn) y (yn) son tales que xn yn para todo n suficientemente grande. Entonces a b. En particular, si xn b para todo n suficientemente grande, entonces a b. Demostración. Por reducción al absurdo. Si fuese b < a, podemos tomar un número real c con b < c < a. Entonces por el Teorema 3.2 se tiene que yn < c < xn para todo n suficientemente grande, lo cual contradice la hipótesis. Observación. La condición xn < yn para n suficientemente grande no implica a < b, como muestran las sucesiones con términos generales xn = 0 y yn = 1/n para n 1. Ejercicio. Si xn > 0 para todo n ∈ N y lím(xn+1/xn) = a < 1, entonces lím xn = 0.
3.1. SUCESIONES 21 TEOREMA 3.3 (Sandwich) Si lím xn = lím yn = a ∈ R y xn zn yn para todo n suficientemente grande, entonces lím zn = a. Demostración. Sea ε > 0 arbitrario. Por hipótesis de convergencia existen enteros positivos n1 y n2 tales que |xn − a| < ε y |ym − a| < ε siempre que n n1 y m n2 respectivamente. Pro otro lado, existe n3 tal que xn zn yn para todo n n3. Tomemos ahora n4 máx{n1, n2, n3}, de modo que para n n4 se tiene a − ε < xn zn yn < a + ε, lo cual implica |zn − a| < ε. Por tanto zn → a. Para el caso de límites infinitos el Teorema anterior se enuncia de la siguiente forma. TEOREMA 3.4 (Sandwich) Si lím xn = +∞ y xn zn para todo n suficientemente grande, entonces lím zn = +∞. Analogamente, si lím yn = −∞ y zn yn para todo n suficientemente grande, entonces lím zn = −∞. Demostración. Es consecuencia inmediata de las definiciones. Ejercicio. Demuestre que si lím xn = 0 y (yn) es una sucesión acotada, entonces lím xnyn = 0. Ejemplo 3.1 (Número de Euler) La sucesión con término general an = 1 + 1 + 1 1 1 + + · · · + 2! 3! n! = n k=0 1 k! (3.2) es convergente. Para demostrar esto notamos inmediatamente que (an) es creciente. Además es acotada, pues 2 n−1 < n! para n 3 (vea Proposición 2.3), lo cual implica 2 < an = 1+1+ 1 1 + 2! 2 1 +· · ·+ 2 2 n−1 = 1+ n−1 k=0 k 1 1 1 − 2 = 1+ 2 n 1 − 1 2 Definimos el número de Euler e, como el límite de la sucesión (an). PROPOSICIÓN 3.5 El número de Euler es irracional. = 1+2 1−(1/2) n 3. Una demostración puede ser encontrada en el libro “Calculus” de Michael Spivak. El ejemplo a continuación caracteriza el número de Euler como otro límite importante el cual, en ocasiones, es empleado como definición, particularmente en algunos textos de Cálculo.
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