Expresiones algebraicas fraccionarias - Liceo Marta Donoso Espejo

Plan de Recuperación Intensivo Expresiones algebraicas fraccionarias.
GUIA DE APRENDIZAJE: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Aprendizajes Esperados: Resolver problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.
Una expresión algebraica fraccionaria o expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios,
P(
x)
es decir: ∀x ∈ℜ
tal que Q(
x)
≠ 0
Q(
x)
Ejemplos 1:
a.
x
2
x − 3
b.
1
x −1
c.
x
x
3
2
− 2x
+ 5
+ 5x
−10
d.
8x − 7
3
Las expresiones algebraicas racionales son, en muchos aspectos, muy semejantes, a los números
2
racionales. Así por ejemplo en (a) X es el numerador y x − 3 es el denominador de la expresión
algebraica. Esto es muy importante ya que para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones
algebraicas siguen las mismas reglas que los racionales.
Expresiones fraccionarias irreductibles
Para reducir una expresión racional a su mínima expresión, factorizamos completamente el numerador
y el denominador, simplificando posteriormente los factores comunes, por ejemplo:
Ejemplo 2:
Observación
x −1
La expresión
2
x − 6x
+ 5
simplificación de la primera.
De igual manera
2
x
x
4
5
− 8x
− 6x
+ 5
es equivalente con
es equivalente con
x + 1
x − 5
por que la segunda se obtiene por una
x
2
+ 2x
+ 4
. ¿Por qué?
x + 3
Es claro entonces que al multiplicar el numerador y el denominador de una expresión algebraica por un
mismo polinomio, se obtiene una expresión equivalente a la dada, es decir:
Usando este último resultado, dadas varias expresiones podemos encontrar otras, equivalentes a ellas,
que tengan el mismo denominador, es decir, las reducimos a común denominador.
El ejemplo que sigue nos muestra como hacerlo:
1

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Ejemplos 3: Reduce a común denominador las expresiones:
Procedemos como cuando trabajamos con las fracciones, es decir, hallamos el mínimo común múltiplo
de los denominadores factorizados:
x + 1 x x + 1
x
1 x + 1 x + 1 x + 1
1 1 1
x ( )
Por lo tanto las nuevas expresiones reducidas a denominador común son:
( 4x
+ 1)(
x + 1)
x(
x + 1)
;
( x + 2)
x
x(
x + 1)
Suma – Resta de expresiones algebraicas fraccionarias:
;
x − 3
x
( x + 1)
Coma ya dijimos las expresiones algebraicas fraccionarias son, en muchos aspectos, muy semejantes, a
los números racionales. En este sentido se suman y restan de manera análoga a la suma y resta de
racionales.
Ejemplo 1:
( x + 1)(
x − 2)
3x(
x − 2)
x + 1 2x
− 3 x + 2
+ + =
2 3x
x − 2x
x − 2
3
+
3
( 2x
− 3)
x(
x − 2)
3
+
3x
x(
x + 2)
( x − 2)
=
2
2
( x − x − 2)
+ ( 6x
− 9)
+ ( 3x
+ 6x)
=
3x
2
− 6x
Con la resta se procede de manera análoga.
Producto o Multiplicación:
4x
2
3x
+ 11x
−11
El producto de dos expresiones algebraicas racionales es igual a la expresión que resulta de multiplicar
los numeradores dividida por la multiplicación de los denominadores.-
Ejemplo 2:
División o cociente:
El cociente de dos expresiones algebraicas racionales es igual a la expresión que resulta de multiplicar la
primera por la inversa de la segunda.-
2
− 6x
mcm = { x x 1
m.
c.
m entre 2x,
x
2
( + )
− 2x,
x − 2 es 3x
x
( − 2)
2

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Ejemplo 3:
Ejercicios tipo PSU
1) Al simplificar la fracción:
− 2 2
x y
x − y
(con x ≠ y ) resulta:
A) x − y B) x + y C) 2 x + 2y
D) 2x − 2y
E)
2) Si a ≠ 0,
entonces
x − a x + 2a
+ es igual a:
a 2a
2 x
A)
3a
3 x
B)
a
3 x
C)
2a
2x
+ a
D)
a
a − 4a
+ 3 a − 3
3) Si, a ≠ 2 y a ≠ 3 entonces
: es igual a:
2a
− 4 4a
− 8
2
E)
x − y
2
2 x + a
2a
A) 2 a + 2 B) a −1
C) 2a − 2 D) 4a − 4 E) 2 8 6
2
a − a +
4) Si x ≠ 2 , entonces
A)
2
x + 2
2
x − 2x
x
5) : =
2x
+ 4 x + 2
2
x − 4
es igual a:
4 − 2x
B)
x + 2
− 2
x − 2
x − 2
A)
B)
2x
2
2
C) x + 1
D) x −1
E) 2x −1
C)
x + 2
2
x x 1
6) Si x ≠ 1, y ≠ −1,
entonces : + es igual a:
2 x + 1 x −1
x
A)
x + 2
B)
x
7) Si x ≠ 0, x ≠ 1 y x ≠ −1,
entonces
2
A) B)
x
D) x + 1
E) x −1
2 x + 1
1
C) 1 D) E)
x
2
1
x +
x
2 1
x −
2
x
2
x + 1
C)
x
es igual a:
2
x − 1
D)
x
x
2
x + 1
E)
x
x
3
3
− x
+ x
x
2
x −1
2
2
−1
3

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8) Si x ≠ y , entonces el valor de
2
x
x
−
−
y
y
2
+
( x − y)
x − y
2
−
( x − y)
=
A) x − y B) x + y C) − x + y D)
16x
9) Al simplificar la expresión
16x
A)
x
x
2
2
− y
+ y
2
2
B)
2
2
4x
− 2y
4x
+ 2y
− 4y
+ 4y
x y
10) Si x ≠ y , entonces + =
x − y y − x
A)
2 2
x y
B)
3
3
2
2
se obtiene:
C)
4x
− y
4x
+ y
2 2
x − y C) y
1 1 1
11) Siendo x, y, z todos no nulos, entonces + + =
xy yz zx
A)
x
2
1
y
3 2 2
12) − + =
2
y + 1 y y + y
A)
2
z
2
B)
y − 4
B)
2
y + y
⎛ x −1
⎞ ⎛ 2x
−1
⎞
13) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ =
2
⎝ x + 1⎠
⎝ x + 2x
+ 1⎠
A)
3
2x
−1
2x
2 −
1
B)
a − b a − ab + b
14) ⋅
=
3 3
a + b a − b
A)
a
2
3
2
+ ab + b
a + b
2
2
B)
x + y +
x
y
2
y
2
z
5y
+ 4
2
2
+ y
x −1
2x
−1
2
z
− ab + b
a − b
15) Desafío: Simplificando la fracción compuesta
a
2
2
C)
C)
D)
x − y
x + y
x − y
x + y
E) 2 x + y
E)
4x
4x
2
2
− y
+ y
x + 2
2
2
D) x + xy + y E) x + y
x
2
3
y
2
z
2
y + 4
D)
2
y + y
C) x −1
D)
C)
a
2
+ ab + b
a − b
2
x + 1 x −1
−
x −1
x + 1
1 1
+
x + 1 x −1
x + y + z
D)
xyz
D)
3
2
y +
y
E)
E)
2
− x
E)
a
2
− ab + b
a + b
obtenemos:
1
A) 4 x
B) 2 x
C) 2 D) E) 1
2
2
E) 1
2
2
2
x + y + z
3
1
y + 1
1
−
2
x
4