PAII-26: algoritmos glotones - Cimat

PAII-26: algoritmos glotones
Dr. J.B. Hayet
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN MATEMÁTICAS
Mayo 2008
,
J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 1 / 26

Outline
1 Unos ejemplos
2 Un intento de caracterización
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 2 / 26

Algoritmos glotones
a veces programación dinámica puede ser demasiado para un
problema: puede existir manera de resolverla mucho mas sencilla
en particular, puede funcionar (pero puede, solo) lo de no
construir una solución globalmente optima sino construir la
solución por elecciones localmente optimas que llegan a este
optimo global
eso es el propósito de los algoritmos glotones
no siempre posible pero muy poderoso cuando se puede
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 3 / 26

Outline
1 Unos ejemplos
Unos ejemplos
2 Un intento de caracterización
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 4 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Consideremos:
N actividades ai que podamos realizar durante un recorrido
turístico
cada actividad empieza en ei y termina en ti
cual es el conjunto máximo de actividades que podemos tomar
de tal manera que los intervalos de tiempo de las actividades
seleccionadas no se traslapan?
Vamos a ver que existe una resolución por programación dinámica
pero que se puede hacer aun mejor con un algoritmo glotón
,
J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 5 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Estructura de la solución:
naturalmente la caracterización de los problemas tiene que
incluir las actividades y sus rangos
sean los sub-problemas i, j definidos por buscar actividades que
no se traslapan entre:
Tij = {ak , ti ≤ ek < tk ≤ ej}
o sea “las actividades que se puedan hacer sin problema
después de la i y antes de la j”
poner t0 = 0 y eN+1 = ∞
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 6 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Estructura de la solución:
tal cual el rango de i, j sería 0 ≤ i, j ≤ N + 1
pero podemos hacer mejor (y ahorrar espacio memoria):
ordenamos t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tN
así estamos seguros de qué Tij es vacio para i ≥ j:
Tij = {ak , ti ≤ ek < tk ≤ ej < tj} = ∅
entonces reducimos nuestro espacio de sub-problemas a la
búsqueda de un sub-conjunto máximo en los Tij con
0 ≤ i < j ≤ N + 1
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 7 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Estructura de la solución:
dada una solución al sub-problema Tij, supongamos que
elijamos una de las actividades, ak
podemos, con el argumento de siempre, decir que esta solución
esta formada por las soluciones de los problemas sobre Tik y
sobre Tkj a los cuales se añade ak
como problema trivial permitiendo empezar la recursión: Tii = ∅
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 8 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Solución recursiva: el número máximo Nij de actividades que se
pueda colocar sin traslape entre ai y aj (un sub-conjunto de Tij) es
dado por:
N[i][j] =
0 si i = j o si Tij = ∅
max 1 + N[i][k] + N[k][j]
i

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Implementación:
se deduce de la formula recursiva una implementación
bottom-up inmediata basada en arreglos
rellenar el arreglo, otra vez, sub-diagonal por sub-diagonal
complejidad en tiempo: en O(N 3 ), ya que hay que hacer O(N)
comparaciones, adiciones, para cada elemento
complejidad en espacio: O(N 2 )
Se podrá hacer mejor?
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 10 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Considerar el problema de Tij, y sea am la actividad de Tij que tenga
el valor tm mínimo, entonces:
1 am pertenece necesariamente al sub-conjunto máximo de
actividades sin traslape dentro de Tij
2 Tim = ∅
La segunda se prueba inmediatamente por contradicción; para la
primera, considerar Sij el sub-conjunto buscado. Sea al la actividad
de tl mínima entre este sub-conjunto: si al = am entonces esta ok,
sino, al = am. Construyendo S ′
ij = Sij\{al} ∪ {am}, llegamos a una
contradicción
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 11 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Con esta propiedad tenemos otra manera de ver las cosas:
en programación dinámica, tenemos cada vez dos
sub-problemas y O(N) elecciones que hacer, y tenemos que
adoptar una estrategia bottom-up para hacerlo
usando la propiedad, vemos que hay solo 1 sub-problema cada
vez con solo 1 elección posible que hacer cada vez (elegir la
actividad de tiempo de terminación mas chica entre las de Tij)
mejor, podemos adoptar una estrategia top-down sin problemas
porque la propiedad te da directamente la elección que hacer
desde Tij sin tener que evaluar los Tmj antes
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 12 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Estrategia glotona (greedy):
partir de T0(N+1) y elegir am1 la actividad de tm1 mínima entre
todas las de T0(N+1)
seguir con Tm1(N+1) y elegir am2 la actividad de tm1 mínima
entre las de Tm1(N+1)
seguir con Tm2(N+1) y elegir am3 la actividad de tm3 mínima
entre las de Tm2(N+1)
. . .
hasta que Tmk(N+1) = ∅
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Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Implementación muy simple:
s t d : : v e c t o r e , t , s o l u t i o n ;
. . . // Aqui r e l l e n a m o s l o s v e c t o r e s con l o s d a t o s
i n t N = e . s i z e ( ) ;
i n t m = 0 ; s o l u t i o n . push back (m) ;
f o r ( i n t i =0; i =t . at (m) ) {
m = i ;
s o l u t i o n . push back (m) ;
}
}
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 14 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Estrategia glotona (greedy): remarcar que
los sub-problemas que tenemos cada vez son todos de tipo
sobre Tmk(N+1)
las actividades son elegidas en orden creciente de tmi
es glotón en el sentido de que haces una optimización local sin
tener que resolver los sub-problemas que quedan: dejamos cada
vez un tiempo máximo no-organizado (o sea lo máximo de
“libertad” en las elecciones siguientes)
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 15 / 26

Unos ejemplos
Ejemplo: selección de actividades
Complejidad total:
O(N log N) para ordenar las actividades por su ti
θ(N) para construir la solución (cada actividad es examinada
solo una vez)
no costo adicional en memoria
por un lado, es una estructura con que “tenemos suerte”
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 16 / 26

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1 Unos ejemplos
Un intento de caracterización
2 Un intento de caracterización
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 17 / 26

Un intento de caracterización
Esquema de resolución
El esquema que seguimos
Aislar la sub-estructura optima del problema
Deducir una estrategia de resolución recursiva
Mostrar que en cada etapa de decisión, hay una elección que es
elección greedy, que garantiza la optimalidad
Mostrar que esta elección solo deja un sub-problema no trivial
Re-formular la resolución recursiva y hacerla iterativa
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 18 / 26

Un intento de caracterización
Esquema de resolución mas rapido
Lo que hubieramos podido hacer también en este caso es un atajo
pensando ya desde el principio en usar un algoritmo glotón:
reducir el problema óptimo a una elección necesaria mas la
resolución de un sub-problema
mostrar que hay una elección greedy posible y que cuando la
haces, lo que queda es un sub-problema cuya solución,
combinada con la elección greedy da una solución optima al
problema original
pero a priori sería suerte encontrar esa estructura precisa. . . ademas
casi-siempre hay asociada una resolución por programación dinámica
Ej.: partir de sub-problemas Ti = {al/ti ≤ el} y mostrar que al
elegir la actividad de Ti con tm mínima cada vez te lleva a una
solución óptima
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 19 / 26

Un intento de caracterización
Elección glotona
corresponde a hacer una elección que parece la mejor en un
momento dado sin considerar los resultados de los
sub-problemas: por ejemplo, “elegir la actividad que deja lo
máximo de posibilidades para los sub-problemas que quedan”
paradigma opuesto al de programación dinámica: en PD,
decides en función de la investigación que hiciste de todos los
sub-problemas que se presentan en un momento dado
GA: top-down / PD: bottom-up
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 20 / 26

Un intento de caracterización
Sub-estructura óptima
igual que en programación dinámica: la solución global optima
tiene que contener soluciones optimas de sub-problemas: la
solución sobre Tij, si contiene una actividadak, esta
estructurada por las soluciones de Tik y Tkj
en GA, puedes tomarlo al revés y probar por inducción que
combinar una elección greedy con una resolución de
sub-problemas de tamaño creciente te lleva a la solución
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 21 / 26

Un intento de caracterización
Glotón o programación dinámica?
Ejemplos:
la mochila, variante 0-1 (un objeto es tomado o dejado)
la mochila, variante fraccionaria (puedes tomar fracción de un
objeto)
Los dos casos (queremos optimizar el valor transportado
manteniendo el volumen abajo de V ) tienen sub-estructura optima:
0-1: considerando un objeto j de la solución, de volumen vj, si
lo sacas tienes un sub-problema de misma naturaleza que es
óptimo (con el argumento de siempre), entre n − 1 objetos y
con limite V − vj
fraccionaria: igual con lo de sacar un volumen w de lo que hay
del objeto j: queda un sub-problema con n − 1 objetos, vj − v
unidades de j y un limite de V − v
Como funcionaría la programación dinámica en los dos casos?
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 22 / 26

Un intento de caracterización
Glotón o programación dinámica?
Ver clase PA-I:
0-1: recursión de forma (si vi ≤ v))
complejidad en O(NV )
Civ = max{C(i−1)(v−vi ) + ci, C(i−1)v}
fraccionaria: extensión inmediata
complejidad en O(NV 2 )
Civ = max {C(i−1)(v−w) + wγi}
0≤w≤vi
Habrá propiedad de elección greedy en uno de esos casos?
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 23 / 26

Un intento de caracterización
Glotón o programación dinámica?
En el segundo caso, sí:
ordenar los objetos por su precio decreciente por unidad de
volumen γi y elegir el objeto i en cantidad máxima
si tengo volumen v de libre, que tengo mi solución óptima y
que estoy mirando al objeto i. Si vi < v y que tomo w < vi de
este objeto entonces me añadirá un precio wγt, ademas de lo
que gano en el óptimo del problema para v − w:
Civ = C(i−1)(v−w) + wγi
i−1
= w (j) γj + wγi
= i−1
≤
j=0
i−1
j=0
w (j) γj + viγi − (vi − w)γi
(w (j) − δj)γj + viγi
j=0
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 24 / 26

Un intento de caracterización
Glotón o programación dinámica?
En el primer caso, no:
se pude exhibir fácilmente contra ejemplos al método por
densidad de costo: objetos de 60 pesos, 10L, 100 pesos, 20L,
120 pesos, 30L con capacidad de 50L
se podría de hecho proponer otra estrategia que sería poner el
objeto de precio mas grande que quede en el volumen actual
pero otra vez deja contra-ejemplos: objetos de 90 pesos, 27L,
85 pesos, 26L, 80 pesos 24L
fundamentalmente, el problema es que cualquiera elección en el
caso “discreto” modifica la estructura combinatoria de los
sub-problemas; en el caso continuo, no pasa eso
,
J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 25 / 26

Un intento de caracterización
Glotón o programación dinámica?
Vimos ya unos algoritmos basados en el paradigma de de greedy
choice (o sea construyendo una solución óptima por elecciones
localmente óptimas) y en programación dinámica:
Programación dinámica Greedy
Floyd (CM) Dijsktra (CM)
Warshall (CT) Prim (AGM)
Kruskal (AGM)
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J.B. Hayet Programación, Mayo 2008 26 / 26