Historia de la geometría no-euclidiana Por: Covadonga Escandón ...
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<strong>Historia</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong><br />
<strong>Por</strong>: <strong>Covadonga</strong> <strong>Escandón</strong> Martínez<br />
Hacia el 300 a.C. Eucli<strong>de</strong>s escribió Los Elementos, un libro que se convertiría en u<strong>no</strong> <strong>de</strong> los más<br />
famosos jamás escritos.<br />
Eucli<strong>de</strong>s hizo cinco postu<strong>la</strong>dos sobre los cuales basó todos sus teoremas.<br />
Se pue<strong>de</strong> trazar una línea recta <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto hasta otro cualquiera.<br />
Se pue<strong>de</strong> prolongar una línea recta finita continuamente.<br />
Se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>scribir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.<br />
Todos los ángulos rectos son iguales.<br />
Si una línea recta cruza otras dos líneas rectas forma ángulos interiores <strong>de</strong>l mismo <strong>la</strong>do me<strong>no</strong>res<br />
que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas in<strong>de</strong>finidamente, se cortan <strong>de</strong>l<br />
<strong>la</strong>do en el que hay ángulos me<strong>no</strong>res que los dos ángulos rectos.<br />
Es c<strong>la</strong>ro que el quinto postu<strong>la</strong>do es diferente <strong>de</strong> los otros cuatro. No satisfacía a Eucli<strong>de</strong>s, quien<br />
trató <strong>de</strong> evitar su uso tanto como pudo - <strong>de</strong> hecho, <strong>la</strong>s primeras 28 proposiciones <strong>de</strong> Los<br />
elementos se <strong>de</strong>muestran sin emplearlo. Otro comentario que vale <strong>la</strong> pena hacer en este punto es<br />
que Eucli<strong>de</strong>s, y muchos otros que le siguieron, supuso que <strong>la</strong>s líneas rectas eran infinitas.<br />
Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los elementos en el cual comenta sobre intentos<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir el quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> los otros cuatro; hace <strong>no</strong>tar en particu<strong>la</strong>r que Tolomeo había<br />
producido una 'prueba' falsa. Proclo prosigue dando una prueba falsa propia. Sin embargo sí dio el<br />
siguiente postu<strong>la</strong>do, el cual es equivalente al quinto.<br />
El Axioma <strong>de</strong> P<strong>la</strong>yfair: Dados una línea y un punto que <strong>no</strong> esté en el<strong>la</strong>, es posible dibujar<br />
exactamente una línea a través <strong>de</strong>l punto y que sea parale<strong>la</strong> a <strong>la</strong> línea.<br />
Aunque es co<strong>no</strong>cido <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>la</strong> época <strong>de</strong> Proclo, éste se co<strong>no</strong>ce como Axioma <strong>de</strong> P<strong>la</strong>yfair <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />
que John P<strong>la</strong>yfair escribiera un famoso comentario sobre Eucli<strong>de</strong>s en 1795 en el cual propone<br />
reemp<strong>la</strong>zar el quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s por este axioma.<br />
Muchos intentos se hicieron para <strong>de</strong>mostrar el quinto postu<strong>la</strong>do a partir <strong>de</strong> los otros cuatro;<br />
muchos <strong>de</strong> ellos fueron aceptados como pruebas durante <strong>la</strong>rgos periodos <strong>de</strong> tiempo hasta que se<br />
encontraba el error. Invariablemente el error consistía en suponer alguna propiedad 'obvia' <strong>la</strong> cual<br />
resultaba ser el quinto postu<strong>la</strong>do. Una <strong>de</strong> estas 'pruebas' fue dada por Wallis en 1663 cuando<br />
pensó que había <strong>de</strong>ducido el quinto postu<strong>la</strong>do pero en realidad había <strong>de</strong>mostrado que era su<br />
equivalente:
Para cada triángulo existe un triángulo simi<strong>la</strong>r <strong>de</strong> magnitud arbitraria<br />
Una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s pruebas intentadas resultó ser más importante que <strong>la</strong> mayoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s otras. Fue <strong>la</strong><br />
producida en 1697 por Giro<strong>la</strong>mo Saccheri. La importancia <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong> Saccheri fue que suponía<br />
que el quinto postu<strong>la</strong>do era falso y trataba <strong>de</strong> llegar <strong>de</strong> allí a alguna contradicción.<br />
Aquí está el cuadrilátero <strong>de</strong> Saccheri<br />
En esta figura Saccheri <strong>de</strong>mostró que los ángulos superiores en D y C eran iguales. La prueba usa<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los triángulos congruentes que Eucli<strong>de</strong>s <strong>de</strong>mostró en <strong>la</strong>s Proposiciones 4 y 8, <strong>la</strong>s<br />
cuales son <strong>de</strong>mostradas antes <strong>de</strong> que se use el quinto postu<strong>la</strong>do. Saccheri ha <strong>de</strong>mostrado:<br />
Los ángulos superiores son > 90° (hipótesis <strong>de</strong>l ángulo obtuso).<br />
Los ángulos superiores son < 90° (hipótesis <strong>de</strong>l ángulo agudo).<br />
Los ángulos superiores son = 90° (hipótesis <strong>de</strong>l ángulo recto).<br />
El quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s es c). Saccheri <strong>de</strong>mostró que <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong>l ángulo obtuso<br />
implicaba al quinto postu<strong>la</strong>do, obteniendo así una contradicción. Saccheri entonces estudió <strong>la</strong><br />
hipótesis <strong>de</strong>l ángulo agudo y <strong>de</strong>rivó muchos teoremas <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> sin darse<br />
cuenta <strong>de</strong> lo que hacía. Sin embargo, finalmente 'probó' que <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong>l ángulo agudo llevaba<br />
a una contradicción al suponer que hay un 'punto al infinito' el cual está sobre el p<strong>la</strong><strong>no</strong>.
En 1766 Lambert siguió una línea simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> <strong>de</strong> Saccheri. No obstante, <strong>no</strong> cayó en <strong>la</strong> trampa en <strong>la</strong><br />
que cayó Saccheri e investigó <strong>la</strong> hipótesis <strong>de</strong>l ángulo agudo sin obtener una contradicción. Lambert<br />
<strong>no</strong>tó que, en esta nueva <strong>geometría</strong>, <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> los ángulos <strong>de</strong> un triángulo se incrementaba<br />
cuando el área <strong>de</strong>l triángulo disminuía.<br />
Legendre pasó cuarenta años <strong>de</strong> su vida trabajando en el postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s y esta obra<br />
aparece en el apéndice <strong>de</strong> varias ediciones <strong>de</strong> su muy exitoso libro <strong>de</strong> <strong>geometría</strong> Eléments <strong>de</strong><br />
Géométrie. Legendre <strong>de</strong>mostró que el quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s es equivalente a:<br />
La suma <strong>de</strong> los ángulos <strong>de</strong> un triángulo es igual a dos ángulos rectos.<br />
Legendre mostró, al igual que Saccheri cien años antes, que <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> los ángulos <strong>de</strong> un triángulo<br />
<strong>no</strong> pue<strong>de</strong> ser mayor que dos ángulos rectos. Esto, nuevamente como Saccheri, se basaba en el<br />
hecho <strong>de</strong> que <strong>la</strong>s líneas rectas eran infinitas. Al tratar <strong>de</strong> <strong>de</strong>mostrar que <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> los ángulos <strong>no</strong><br />
pue<strong>de</strong> ser me<strong>no</strong>r a 180° Legendre supuso que a través <strong>de</strong> cualquier punto en el interior <strong>de</strong> un<br />
ángulo es siempre posible dibujar una línea que toca ambos <strong>la</strong>dos <strong>de</strong>l ángulo. Esto resulta ser otra<br />
forma equivalente <strong>de</strong>l quinto postu<strong>la</strong>do, pero Legendre nunca se dio cuenta <strong>de</strong> su error.<br />
La <strong>geometría</strong> elemental estaba en ese entonces envuelta en los problemas <strong>de</strong>l postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
parale<strong>la</strong>s. d'Alembert, en 1767, <strong>la</strong> l<strong>la</strong>mó el escándalo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> elemental.<br />
La primera persona que realmente entendió el problema <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s fue Gauss. Empezó a<br />
trabajar sobre el quinto postu<strong>la</strong>do en 1792 cuando tenía apenas 15 años <strong>de</strong> edad, intentando<br />
primero <strong>de</strong>mostrar el postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s a partir <strong>de</strong> los otros cuatro. Par 1813 había<br />
progresado poco y escribió:<br />
En <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s <strong>no</strong> estamos hoy más avanzados que Eucli<strong>de</strong>s. Esta es una parte<br />
vergonzosa <strong>de</strong> <strong>la</strong>s matemáticas...<br />
Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido <strong>de</strong> que el quinto postu<strong>la</strong>do era in<strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong><br />
los otros cuatro postu<strong>la</strong>dos. Empezó a <strong>de</strong>ducir <strong>la</strong>s consecuencias <strong>de</strong> una <strong>geometría</strong> en <strong>la</strong> que más<br />
<strong>de</strong> una línea pue<strong>de</strong> dibujarse que pase por un punto dado y que sean parale<strong>la</strong>s a una recta dada.<br />
Tal vez lo más sorpren<strong>de</strong>nte <strong>de</strong> todo es que Gauss nunca publicó este trabajo si<strong>no</strong> que lo mantuvo<br />
en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que <strong>la</strong><br />
<strong>geometría</strong> <strong>euclidiana</strong> es <strong>la</strong> inevitable necesidad <strong>de</strong> pensamiento y a Gauss le disgustaba <strong>la</strong><br />
controversia.<br />
Gauss discutió <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo<br />
varias <strong>de</strong>mostraciones falsas <strong>de</strong>l postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a<br />
su hijo, Já<strong>no</strong>s Bolyai pero, a pesar <strong>de</strong> haber pedido a su hijo que <strong>no</strong> perdiera una so<strong>la</strong> hora en ese<br />
problema <strong>de</strong>l quinto postu<strong>la</strong>do, Já<strong>no</strong>s Bolyai sí trabajó en el problema.
En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que he <strong>de</strong>scubierto cosas tan maravillosas que estoy<br />
asombrado ... <strong>de</strong> <strong>la</strong> nada he creado un extraño nuevo mundo. Sin embargo le llevó a Bolyai otros<br />
dos años escribirlo todo y publicó su extraño nuevo mundo como un apéndice <strong>de</strong> 24 páginas en el<br />
libro <strong>de</strong> su padre, aunque so<strong>la</strong>mente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fue<br />
publicado antes que el libro mismo.<br />
Gauss, <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> leer <strong>la</strong>s 24 páginas, <strong>de</strong>scribió a Já<strong>no</strong>s Bolyai en estas pa<strong>la</strong>bras al escribirle a un<br />
amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio <strong>de</strong> primer or<strong>de</strong>n. Sin embargo en cierto<br />
sentido Bolyai so<strong>la</strong>mente supuso que <strong>la</strong> nueva <strong>geometría</strong> era posible. Después siguió <strong>la</strong>s<br />
consecuencias <strong>de</strong> manera <strong>no</strong> muy diferente a <strong>la</strong> <strong>de</strong> aquellos que habían elegido suponer que el<br />
quinto postu<strong>la</strong>do era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, el verda<strong>de</strong>ro avance<br />
fue <strong>la</strong> creencia <strong>de</strong> que <strong>la</strong> nueva <strong>geometría</strong> era posible. Gauss, a pesar <strong>de</strong> lo impresionado por<br />
Bolyai que sonaba en <strong>la</strong> cita anterior, más bien lo <strong>de</strong>vastó al <strong>de</strong>cirle que él mismo (Gauss) había<br />
<strong>de</strong>scubierto todo esto anteriormente pero <strong>no</strong> lo había publicado. Aunque esto <strong>de</strong>be sin duda ser<br />
cierto, <strong>no</strong> le quita nada al increíble avance <strong>de</strong> Bolyai.<br />
Tampoco queda disminuido el trabajo <strong>de</strong> Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre<br />
<strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong> Lobachevsky,<br />
principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero <strong>de</strong> Kazan, una publicación<br />
universitaria local. El intento <strong>de</strong> Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fal<strong>la</strong>do<br />
cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.<br />
De hecho, a Lobachevsky <strong>no</strong> le fue mejor que a Bolyai para atraer el reco<strong>no</strong>cimiento público <strong>de</strong> su<br />
trascen<strong>de</strong>ntal obra. Publicó Investigaciones geométricas sobre <strong>la</strong> teoría <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s en 1840, <strong>la</strong><br />
cual, en sus 61 páginas, da <strong>la</strong> narración más c<strong>la</strong>ra <strong>de</strong>l trabajo <strong>de</strong> Lobachevsky. La publicación <strong>de</strong> un<br />
recuento en francés en el Diario <strong>de</strong> Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> a<br />
una gran audiencia pero <strong>la</strong> comunidad matemática <strong>no</strong> estaba lista para aceptar i<strong>de</strong>as tan<br />
revolucionarias.<br />
En el folleto <strong>de</strong> Lobachevsky <strong>de</strong> 1840 se explica c<strong>la</strong>ramente cómo funciona su <strong>geometría</strong> <strong>no</strong><strong>euclidiana</strong>.<br />
Todas <strong>la</strong>s rectas que en un p<strong>la</strong><strong>no</strong> salen <strong>de</strong> un punto pue<strong>de</strong>n con respecto a una recta dada en el<br />
mismo p<strong>la</strong><strong>no</strong>, ser divididas en dos c<strong>la</strong>ses -en <strong>la</strong>s que cortan y <strong>la</strong>s que <strong>no</strong> cortan. Las líneas frontera<br />
<strong>de</strong> cada c<strong>la</strong>se <strong>de</strong> rectas se l<strong>la</strong>marán pa<strong>la</strong>le<strong>la</strong>s a <strong>la</strong> recta dada.<br />
Des<strong>de</strong> aquí Lobachevsky ha reemp<strong>la</strong>zado el quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s por:<br />
Postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong>s parale<strong>la</strong>s <strong>de</strong> Lobachevsky. Existen dos líneas parale<strong>la</strong>s a otra dada y que pasan<br />
por un punto dado que <strong>no</strong> está en <strong>la</strong> línea dada.<br />
Lobachevsky prosiguió con el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> muchas i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s trigo<strong>no</strong>métricas para triángulos en<br />
esta <strong>geometría</strong>, <strong>de</strong>mostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s<br />
tien<strong>de</strong>n a <strong>la</strong>s i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s trigo<strong>no</strong>métricas habituales.
Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo <strong>la</strong> supervisión <strong>de</strong> Gauss, dio una conferencia<br />
inaugural el 10 <strong>de</strong> junio <strong>de</strong> 1854 en <strong>la</strong> cual reformuló por completo el concepto <strong>de</strong> <strong>geometría</strong> a <strong>la</strong><br />
cual él vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para po<strong>de</strong>r medir cosas como<br />
<strong>la</strong> longitud. Esta plática <strong>no</strong> fue publicada si<strong>no</strong> hasta 1868 dos años <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> <strong>la</strong> muerte <strong>de</strong><br />
Riemann, pero tendría una profunda influencia en el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> gran cantidad <strong>de</strong> <strong>geometría</strong>s<br />
distintas. Riemann brevemente discutió una <strong>geometría</strong> 'esférica' en <strong>la</strong> cual cada línea que pasa por<br />
un punto P que <strong>no</strong> está en una línea AB toca a <strong>la</strong> línea AB. En esta <strong>geometría</strong> <strong>la</strong>s rectas parale<strong>la</strong>s<br />
son imposibles.<br />
Es importante dar<strong>no</strong>s cuenta <strong>de</strong> que ni <strong>la</strong> <strong>de</strong>scripción <strong>de</strong> Bolyai ni <strong>la</strong> <strong>de</strong> Lobachevsky <strong>de</strong> su nueva<br />
<strong>geometría</strong> habían sido probadas como consistentes. De hecho, <strong>no</strong> era diferente <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong><br />
<strong>euclidiana</strong> en este aspecto aunque los muchos siglos <strong>de</strong> trabajo con <strong>la</strong> <strong>euclidiana</strong> eran suficientes<br />
para convencer a los matemáticos <strong>de</strong> que jamás aparecería una contradicción <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> el<strong>la</strong>.<br />
La primera persona que puso a <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> <strong>de</strong> Bolyai - Lobachevsky en <strong>la</strong> misma<br />
base que <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>euclidiana</strong> fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo<br />
Ensayo sobre <strong>la</strong> interpretación <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> que presentaba un mo<strong>de</strong>lo para una<br />
<strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> bidimensional <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>euclidiana</strong> tridimensional. Este<br />
mo<strong>de</strong>lo se obtuvo en <strong>la</strong> superficie <strong>de</strong> revolución <strong>de</strong> una tractriz alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> su asíntota. A esto se<br />
le l<strong>la</strong>ma a veces una seudo-esfera.<br />
Pue<strong>de</strong>s ver <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> una tractriz y cómo se ve <strong>la</strong> mitad superior <strong>de</strong> una pseudo-esfera.<br />
De hecho, el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba una <strong>de</strong>cisión final sobre el<br />
quinto postu<strong>la</strong>do <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s ya que el mo<strong>de</strong>lo proporcionaba una base sobre <strong>la</strong> cual se<br />
sustentaban los primeros cuatro postu<strong>la</strong>dos <strong>de</strong> Eucli<strong>de</strong>s pero <strong>no</strong> así el quinto. Reducía el problema<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> consistencia <strong>de</strong> los axiomas <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> al <strong>de</strong> <strong>la</strong> consistencia <strong>de</strong> los<br />
axiomas <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>euclidiana</strong>.<br />
El trabajo <strong>de</strong> Beltrami sobre un mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> <strong>no</strong>-<strong>euclidiana</strong> <strong>de</strong> Bolyai-Lobachevsky fue<br />
completado por Klein en 1871. Klein fue más allá <strong>de</strong> esto y dio mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> otras <strong>geometría</strong>s <strong>no</strong><strong>euclidiana</strong>s<br />
tales como <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> esférica <strong>de</strong> Riemann. El trabajo <strong>de</strong> Klein se basaba en <strong>la</strong><br />
<strong>no</strong>ción <strong>de</strong> distancia <strong>de</strong>finida por Cayley en 1859 cuando propuso una <strong>de</strong>finición generalizada <strong>de</strong><br />
distancia.<br />
Klein mostró que hay tres tipos básicos <strong>de</strong> <strong>geometría</strong>. En <strong>la</strong> <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong> Bolyai-Lobachevsky,<br />
<strong>la</strong>s rectas tienen dos puntos infinitamente distantes. En <strong>la</strong> <strong>geometría</strong> esférica <strong>de</strong>l tipo <strong>de</strong> Riemann,<br />
<strong>la</strong>s rectas <strong>no</strong> tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La<br />
<strong>geometría</strong> <strong>euclidiana</strong> es un caso límite entre <strong>la</strong>s dos en el cual para cada línea hay dos puntos<br />
infinitamente distantes que son coinci<strong>de</strong>ntes.<br />
Artículo <strong>de</strong>: J J O'Con<strong>no</strong>r y E F Robertson<br />
MacTutor History of Mathematics Archive