Reología de suspensiones sólido - líquido (barros): algunos

REOLOGIA DE SUSPENSIONES SOLIDO- LIQUIDO (BARROS)
ALGUNOS ASPECTOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES
ANTIGUOS Y RECIENTES
Ramón Fuentes Aguilar
Fecha: 21 de Noviembre 2008

GENERALIDADES
Histórico
Canto de Débora:
Los montes se licuaron a la vista del Señor,
como el monte Sinaí delante del Señor Dios de Israel.
Biblia, Libro de Jueces, 5, 5
(C. 1400 años AC)
"Todo fluye (παvτα ρει)"
Heráclito de Efeso (S VI AC)
"Heráclito, yo creo, dice que todas las cosas van y ninguna permanece, y
comparando las existencias con el flujo de un río, dice que usted no
puede mojarse dos veces en el mismo río"
Platón (Cratilus) (S V-IV AC)
“De tierra, de lodo hicieron la carne...se deshacía…estaba
aguado…Rápidamente se humedeció dentro del agua y no se supo
sostener”
POPOL VUH
2

GENERALIDADES
Histórico
Los antecedentes históricos de la Reología son, a menudo, difícilmente
separables de los de la Mecánica del Continuo.
Se considera como antecedentes básicos:
ley de la viscosidad de Newton (1686) para los fluidos viscosos.
ley de Hooke (1676) para los medios deformables elásticos.
trabajos realizados en el siglo XIX por Cauchy, Poisson, Navier, Saint
Venant y Stokes.
El viscosímetro capilar está asociado a los nombres de Hagen (1797-
1884) y de Pouseuille (1799-1869). Existen al respecto dos paradojas
históricas:
La distribución de velocidades parabólica que hoy es inseparable de
los nombres de Hagen y Pouseuille no fue descubierta por ellos sino
por Newmann en Konigsberg(1798-1895) y por Hagenbach en Basel
(1833-191) (Rouse y Ince, 1957);
La sangre, que era el líquido que interesaba a Pouseuille (que era
médico y no ingeniero) ¡Es un fluido no newtoniano!
3

GENERALIDADES
Histórico
El viscosímetro de cilindros
rotatorios (cilindro exterior girando,
cilindro interior inmóvil) fué
desarrollado por Maurice Couette
(1888) (Figura 1).
El que opera con el cilindro exterior
inmóvil-cilindro interior girando fue
la obra de Searle (Figura 2).
Por lo tanto, se le llama de Couette
al primero y de Searle al segundo.
Empero surgen disidencias: hay
quienes asocian ambos a Couette y
otros, más salomónicos, les llaman
Searle-Couette o a la inversa.
Figura 1
Figura 2
4

GENERALIDADES
Histórico
La primera investigación sobre dinámica de suspensiones fue realizada en
su tesis doctoral por Albert Einstein (1906-1911), quién demostró, teórica
y experimentalmente que una suspensión de esferas posee una
viscosidad mayor que la del líquido. Su fórmula permanece hasta hoy no
solamente como un hito, sino que ha inspirado muchos desarrollos
posteriores.
El término Reología fué creado por Eugene Cook. Bingham, profesor del
Lafayette College en 1920,1929?, a partir de una sugerencia de Markus
Reiner (Wikipedia, 2008).
El vocablo viene del griego:
ρεω λογοζ
La emergencia de la Reología estuvo ligada al desarrollo de la industria de
los polímeros, así como a la cooperación del National Bureau of Standards
(Washington) y del American Institute of Physics (Piau, 2001).
5

GENERALIDADES
Definiciones
A este respecto, uno de los fundadores de la Reología, Markus Reiner,
1956, se cuida muy bien y no la define en forma específica. Pero sí Reiner
indicó muy claramente las distinciones siguientes:
La Reología Fenomenológica trata con materiales homogéneos o
casi homogéneos a un nivel fenomenológico, (medios continuos).
La Macroreología mira los materiales tal como ellos aparecen bajo
una inspección superficial a ojo desnudo.
La Microreología toma en cuenta la cuasi-homogeneidad y la
cuasi-isotropía, deduciendo el comportamiento reológico de los
materiales complejos a partir del comportamiento reológico conocido
de sus constituyentes.
6

GENERALIDADES
Definiciones
Los autores más jóvenes ya no son tan prudentes. Así, han surgido las
siguientes definiciones:
Reología es el estudio del flujo de materia: principalmente
líquidos, pero también sólidos blandos bajo condiciones en las cuales
ellos fluyen en vez de deformarse elásticamente (Schowalter, 1978).
La Reología puede definirse como la ciencia de la materia que
escurre (Piau, 2001).
Las definiciones de la Reología son extremadamente vastas: solamente
deja fuera los sólidos indeformables (que en rigor son inexistentes).
7

GENERALIDADES
Definiciones
Existe un sesgo importante:
Todo el mundo sabe que una cantidad de fluidos importantes (entre
ellos el agua y el aire) son newtonianos.
Pero existen numerosos fluidos también importantes (entre ellos las
mezclas sólido - líquido) que no obedecen la ley citada y se les
denomina no-newtonianos.
En lo que sigue este trabajo estará limitado a líquidos y a suspensiones
sólido-líquido.
8

GENERALIDADES
Concepto de Suspensión
La mecánica de suspensiones es un capítulo del estudio más general de la
fisicoquímica de las dispersiones.
Dispersión: mezcla de dos fases distintas en las cuales una de las
fases es asimilable a un fluido continuo (denominado fase fluida o
fase dispersante) y la otra fase es discontinua y se encuentra
repartida bajo la forma de elementos de volumen separados (fase
dispersada).
La fase fluida o dispersante puede ser un líquido o un gas, la fase
dispersada puede ser un líquido, un sólido o un gas.
Si la mezcla consiste en partículas sólidas dispersas en un líquido, se
trata de una suspensión.
9

GENERALIDADES
Ejemplos de Suspensiones
Ejemplos Globales de Suspensiones Reológicas:
sangre
semen
cremas de belleza
barnices de uñas
mayonesa
salsas para ensalada
mantequilla
pastas dentífricas
algunos barnices y pinturas
concreto fresco
suspensiones de polímeros
fluidos para perforación de pozos
10

GENERALIDADES
Ejemplos de Suspensiones
Los relativos a la Geofísica y a la Hidráulica Fluvial se pueden enumerar
como sigue:
magmas
lavas
avalanchas de nieve
escurrimiento de glaciares
flujo de detritos (debris flow)
flujo de barros arcillosos
escurrimientos fluviales con alta concentración y/o alto contenido de
finos
11

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
La caracterización de las partículas para fines de la Hidráulica Fluvial está
expuesta en forma muy completa en una monografía de García Flores y
Maza Alvarez (1998). Aquí solamente se recordarán algunos conceptos y
se darán algunos complementos sobre la sedimentación de partículas, por
sus implicancias en la reología de suspensiones.
Cuando son muy pequeñas (con un tamaño del orden de micrones) las
fuerzas de Coulomb, de Van der Waals y aquellas asociadas al
movimiento browniano pueden ser preponderantes respecto a las
gravitatorias (e.g. Molerus).
12

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Tamaño de partículas
Se tomarán aquí las definiciones del tamaño que se emplean
habitualmente en Hidráulica Fluvial (García Flores y Maza Álvarez (1998),
Vanoni):
Diámetro nominal: es el diámetro de una esfera que tiene el mismo
volumen de la partícula.
Diámetro de sedimentación: es el diámetro de una esfera de la
misma densidad y de la misma velocidad de sedimentación W de la
partícula sedimentando en el mismo fluido (iguales condiciones de
temperatura y presión).
Diámetro de tamiz: longitud del lado de una abertura cuadrada de
una malla por la cual la partícula pasa ajustada.
Un problema frecuente es el de relacionar el diámetro de tamiz y el
diámetro nominal. Existe afortunadamente una relación empírica sencilla
entre estas magnitudes (García Flores y Maza Álvarez):
d =
0.9 d
tamiz
nominal
13

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Forma de partículas
Se han realizado numerosos intentos de definir en términos analíticos
sencillos la forma de las partículas (ver, por ejemplo, Graf). Algunos de
estos planteamientos son:
Esfericidad de Wadell (Pettyjohn y Christiansen).
Área superficial (Alger y Simona).
Dimensiones triaxiales (Corey).
En lo que sigue se considerará solamente el criterio de Corey: a la
partícula real se le circunscribe un elipsoide imaginario de semiejes a, b y
c (c < b < a). El tamaño de la partícula queda descrito por a, b y c y la
forma por el elipsoide correspondiente.
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Notaciones:
CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Densidades y concentraciones
Mp : Masa de las partículas
Ml : Masa del líquido
M : Masa total
∀p
∀
: Volumen ocupado por las partículas
: Volumen ocupado por el líquido
∀
l
: Volumen total
ρp : Densidad de las partículas
ρl : Densidad del líquido
M = Mp+Ml
∀ = ∀p + ∀l
Densidad relativa o peso específico relativo:
Peso específico relativo sumergido:
ρp
S =
ρl
ρp
− ρl
Δ =
ρ
l
= S − 1
15

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Densidades y concentraciones
Concentración en masa (o en peso) C p :
Concentración en volumen C V :
Densidad de la suspensión o de la mezcla ρ m :
Densidad relativa de la mezcla :
Mp
M
∀
∀
=
∀
M
ρ
=
ρ
Para transformar unas a otras estas expresiones, se ofrece la tabla
siguiente:
Parámetro
C v
Cp
1
1
C
Cv
ρ
p =
m
Sm
= p
C v
p C ρm
S ⋅C
v
1 + ( S −1)
⋅C
ρ + ( ρ − ρ ) ⋅C
ρm l p l v
v
S
C
p
m l
− ( S − 1)
⋅C
p
ρp
− ρl
ρp
S − ( S − 1)
⋅C
p
ρ
ρ
p
m
ρ
ρ
ρ
1
m
l
− ρ
m
p
− ρ
− ρ
l
l
16

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de una partícula
única en un medio ilimitado
Realizando un balance de fuerzas entre el peso de la partícula, el empuje
de Arquímedes asociado y la ley de Newton para la resistencia
hidrodinámica se encuentra:
p
A
1) ‐ (S g
1 ∀
W = 2
Ca = Ca(
Re
, FF)
= / ν
C
l W Re ∀
p : Volumen de la partícula.
Ap : Área transversal (cupla maestra) de la partícula
Ca : Coeficiente de arrastre hidrodinámico
FF : Factor de forma
Si se trata de una esfera de diámetro d:
W =
4
3
Si Re

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de una partícula
única en un medio ilimitado
Pese a que en rigor Re

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de una partícula
única en un medio ilimitado
Empero una comparación con datos experimentales indica que la mejor
fórmula es la de Abraham y Concha y Almendra, que por lo demás
permite un análisis perfectamente paralelo al que se realiza mediante la
fórmula de Rubey:
Según Concha y Almendra:
C 0 = 0.28
C a = 9.06
C
a
= C
0
⎛
⎜
α
1 +
⎜
⎝ R
Esta relación tiene además el mérito de descansar sobre un desarrollo
teórico conceptualmente sólido.
Fuentes et al a partir de la expresión anterior para C a, encontraron la
siguiente relación adimensional explícita para W:
W
*
=
W
V
d
⎛ 2
α
⎜
⎜
⎝
α
4R
ed
+
4
3 C
0
−
2
R
ed
⎞
⎟
⎟
⎠
2
e
⎞
⎟
⎠
2
*
W =
W
V
d
R
ed
Vd
d
=
ν
19

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de una partícula
única en un medio ilimitado
R ed : Número de Reynolds densimétrico de la partícula.
V d : Velocidad densimétrica de la partícula.
V d =
g
(S
Fuentes y Alonso han demostrado asimismo que el valor de C0 puede
considerarse constante solamente si Red

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de una partícula
única en un medio ilimitado
Se empleará el diámetro nominal, definido por:
⎛ 6
∀
d = ⎜ p ⎟
⎝ π ⎠
La forma de la partícula puede cuantificarse mediante el factor de forma
de Corey F:
F =
c
a
Analizando un banco de datos extenso e introduciendo restricciones
provenientes de casos límites teóricos, Fuentes, Aguirre y Alonso
encontraron las expresiones siguientes:
b
Introduciendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación encontrada
por Fuentes et al, es posible entonces estimar W para partículas
naturales.
⎞
1/
3
32 ⎛ 32 ⎞ 2
2 ⎡
9F
⎜
⎜0.
06
⎟
⎛ Red
⎞⎤
α = + + − F C0
= ( 2 − 3.
5F
+ 1.
78F
)
π ⎝ π
⎢1
+ tanh⎜
⎟⎥
⎠
⎣ ⎝ 1000 ⎠⎦
21

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de un conjunto
de partículas en un medio limitado
Si las partículas están concentradas suficientemente y/o están contenidas
en un recipiente cuya sección no es muy grande respecto a la de una
partícula, su velocidad W ya no es la misma que para una partícula
aislada W 0. En general W es menor que W 0 y se habla entonces de
sedimentación obstruida o retardada (hindered settling).
Si se acepta que la suspensión es inerte, el problema puede plantearse
con suficiente generalidad como el de determinar la función F siguiente:
W = W0
F(
Cv
, Reo
, d/
D)
D: Diámetro de la vasija en que las partículas están descendiendo.
W 0: Velocidad de la partícula para C V → 0 y d/D → 0
Reo 0
= W d/
ν
En el caso en que las partículas correspondan a números de Reynolds
muy pequeños frente a la unidad el problema admite soluciones analíticas
(ver Happel y Brenner).
Obviamente, estos cálculos son de utilidad práctica limitada.
22

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de un conjunto
de partículas en un medio limitado
Se emplean con frecuencia, en la práctica, los resultados del estudio
puramente empírico de Richardson y Zaki. Las fórmulas correspondientes
son:
Reo < 0.
2
0. 2 < Reo
< 1
1 Reo
< <
200
200 Reo
< <
500
W
W
0
= ( 1 − C
v
)
n
n = 4.
65 +
d
19.
5
D
⎛ d ⎞
n = ⎜4.
35 + 17.
5 ⎟R
⎝ D ⎠
⎛ d ⎞
n = ⎜4.
45 + 18 ⎟Reo
⎝ D ⎠
n =
4.
45Reo
500 < n =
2.
39
Reo
−
0.
1
−0.
03
eo
−
0.
1
23

CARACTERIZACION DE LAS PARTICULAS
Velocidad de sedimentación, caso de un conjunto
de partículas en un medio limitado
El éxito de las expresiones de Richardson y Zaki se debe a que son
sencillas y directas. Asimismo, ellas descansan sobre una
experimentación de amplio rango.
Prescindiendo de los efectos de d / D ,Wallis (1969)ha desarrollado una
expresión semiteórica que da valores de muy cercanos a los de las
fórmulas de Richardson y Zaki en el intervalo Reo
(0, 100):
n
=
4.
7
1+
1 +
0.15
0.253
0.687
eo
0.687
eo
Sobre la sedimentación retardada se han realizado numerosos estudios.
Como ejemplos véanse los realizados por Molerus (1983,1985).
Más recientemente se ha producido evidencia empírica indicando que el
exponente n crece fuertemente cuando las partículas son muy pequeñas.
Se encuentran valores de 8 y aún 14. Ver Concha (2001), Salinas et al.
(2007?).
R
R
24

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
El enfoque que se empleará en este trabajo es muy simplificado. Si se
desea una visión más completa y rigurosa se pueden consultar e.g. Oka
(1960) o Truesdell (1966).
25

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Curva Reológica
Esta curva, en términos sencillos, puede concebirse como el resultado del
siguiente ensayo imaginario:
Es fácil ver que:
γ&
du
dy
dγ
= = γ&
dt
: Velocidad de deformación angular
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COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Curva Reológica
Si se miden du/dy y τ para diferentes valores del gradiente de
velocidades se puede definir una curva:
Ella es, por definición, la curva reológica, diagrama reológico o reograma
del fluido considerado.
En lo que sigue, salvo excepciones:
γ&
[ ] = [sec -1 ]
⎡ N ⎤ ⎡dina⎤
[ τ ] = 1 ⎢ ⎥ = 10
2
⎣m
⎢ 2
⎥
⎦ ⎣ cm ⎦
⎛ du ⎞
τ = f⎜
⎟ = f &
⎝ dy ⎠
Se recalca que esta es una definición sencilla apropiada para el trabajo
que se describe aquí y para algunas aplicaciones. Definiciones completas
pueden consultarse en Truesdell (1966) y en Bird et al. (1960).
( γ)
27

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Dependencia del Tiempo
Existen fluidos cuyas propiedades reológicas varían con el tiempo. Se
distinguen dos grupos:
FLUIDOS TIXOTRÓPICOS: Si la tensión tangencial disminuye con el
tiempo, se habla de un fluido que exhibe tixotropía. Se encuentran
frecuentemente: por ejemplo, las suspensiones de bentonita en agua
son tixotrópicas y muchos petróleos crudos también los son.
FLUIDOS REOPÉCTICOS: Están caracterizados por un aumento con
el tiempo de la tensión tangencial necesaria para mantener un valor
constante de la velocidad de deformación angular. No se encuentran
frecuentemente.
28

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Dependencia del Tiempo
29

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Dependencia del Tiempo
FLUIDOS VISCOELÁSTICOS: Ellos muestran simultáneamente
características viscosas y elásticas. Como ejemplo se pueden dar todos
los polímeros fundidos.
Este comportamiento puede ser importante en cambios bruscos de
flujo o en escurrimientos que oscilan con altas frecuencias.
En flujos estacionarios o no estacionarios con procesos largos en el
tiempo la viscoelasticidad no muestra efectos sensibles.
Una excepción importante es la influencia que la viscoelasticidad puede
tener en la reducción del gradiente de presión en flujos turbulentos.
30

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Dependencia del Tiempo
Vlasak et al (2004) experimentaron con cenizas de d 50 = 14 [μm]. Se
pudo constatar una disminución a la mitad de la pérdida de carga
requerida para mover la suspensión transcurrido un tiempo cercano a 4
horas.
Schaan et al (2004)mostraron en una suspensión de arcilla floculada que
el torque requerido para cizallarla se reducía en más de la mitad después
de operar algo más de media hora, alcanzando un valor asintótico.
Wang et al (1994) compararon diferentes muestras de arcilla de
diferentes composiciones, encontrando comportamiento tixotrópico para
algunas y reopéctico para otras.
En lo que sigue se excluirán los posibles efectos tixotrópicos, reopécticos
y viscoelásticos del análisis, ya que son esencialmente específicos.
31

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Curva Reológicas
Ejemplos de diagramas reológicos:
Newtoniano : Curva A
Pseudoplástico : Curva B
Dilatante : Curva C
Plástico ideal : Curva D
Pseudoplástico con tensión de fluencia : Curva E
Dilatante con tensión de fluencia : Curva F
32

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Modelos reológicos
En términos muy simplificados, ellos son expresiones de la curva
reológica. Los más usados en reología de suspensiones son:
Pseudonewtoniano:
τ = μ γ&
τ = τ + μ γ&
Bingham: (Plástico ideal)
Ostwald y de Waele (Brauer, 1971):
τ = K γ&
n
Herschel y Bulkley (Coussot, 1994):
τ = τ + K γ&
n
(Pseudoplástico o dilatante, según si n1,
respectivamente)
f
(Pseudoplástico o dilatante con tensión de
fluencia)
Casson (Kruyt y Verel, 1992):
τ = τ + μ γ&
f
c
f
B
(Pseudoplástico con tensión de fluencia)
33

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Definiciones de Viscosidad
Viscosidad aparente (o "viscosidad secante")
Se define como:
μ
τ
=
γ&
Si se trata de un fluido newtoniano:
a
a
= μ = cte
En todos los otros casos μ a depende de y entonces no está bien
definida salvo que se especifique el valor de .
En particular, para el plástico ideal y el pseudoplástico μ a decrece con
γ&
μ
γ&
γ&
34

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Definiciones de Viscosidad
Viscosidad local (o "viscosidad tangente")
Se define como:
μ
1
dτ
=
dγ&
Para un fluido newtoniano:
μ
1
= μ
= μ = cte
Para un fluido Bingham:
μ
1
a
= μ
B
= cte
Salvo en estos dos casos, μ1 varía con . Se suele también emplear
la noción de viscosidad aparente asintótica:
μ ∞
⎛
= ⎜
⎝
Lím
τ ⎞
⎟
γ&
⎠
γ&
→ ∞
γ&
35

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Definiciones de Viscosidad
En algunos casos este límite no existe. Para los modelos de Bingham y de
Casson, respectivamente:
μ ∞
μ ∞
= μB
= μc
Se deduce que, en general la viscosidad aparente y la local son nociones
que carecen de significado salvo que se especifique el valor de γ&
para la
cual fueron medidas.
Si se comparan estas cantidades en muestras o ensayos diferentes, la
comparación debe hacerse para un valor común de .
γ&
36

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
Arena d100>74[µm] E1- Bingham – Concentración
moderada
Cp = 0.6
τf= 0.6 [Pa]
μ b = 8 [mPa.sec]
R = 0.972
37

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
Arena d100>74[µm] E2- Bingham– Concentración
alta
Cp = 0.75
τf= 3 [Pa]
μ b= 975 [mPa.sec]
R = 0.997

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 4[µm]
d84 = 110[µm] E3- Sedimento fino 1
Cp = 0.60
τf= 0.6 [Pa]
μb= 49 [mPa.sec] Bingham (todos los puntos)
R = 0.899

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 4[µm]
d84 = 110[µm] E4-Sedimento fino 1
Cp = 0.60 Bingham (puntos seleccionados)
τf= 22 [Pa]
μ b=36 [mPa.sec]
R = 0.996

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 4[µm]
d84 = 110[µm] E5- Sedimento fino 1
Cp = 0.60 Casson
τf= 12Pa]
μ b=18 [mPa.sec]
R = 0.925

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 4[µm] E6- Sedimento fino 1
d84 = 110[µm]
Cp = 0.60 Herschel y Bulkley
τf= 3 [Pa]
K = 5.096
n = 0.313
R = 0.973

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 3[µm] Sedimento fino 2
d84 = 115[µm]
Cp = 0.49 Herschel y Bulkley
Tauf = 1 [Pa]
K = 7.857
n = 0.235
R = 0.996

COMPORTAMIENTO REOLOGICO
Ejemplos de Curvas Reológicas Reales
d10 = 3[µm] Sedimento fino 2
d84 = 115[µm]
Cp = 0.49 Bingham
Tauf = 22 [Pa]
Mub = 28 [mPa.sec]
R = 0.994

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Los parámetros que aparecen en los modelos reológicos dependen de las
propiedades de la suspensión y de muchas variables. Por ejemplo:
Concentración
Granulometría (gruesos y finos)
pH (si la suspensión no es neutra)
45

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración
La viscosidad crece con la concentración.
Para concentraciones relativamente pequeñas la viscosidad crece
suavemente.
Para valores importantes crece en forma muy pronunciada y para valores
elevados el crecimiento es muy fuerte.
En particular para la máxima fracción volumétrica alcanzable o
concentración de empaquetamiento C Vmax la viscosidad tiende al infinito.
46

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración
Respecto a la concentración máxima que puede alcanzarse, ella depende
obviamente de la distribución granulométrica y de la forma de las
partículas.
Empero es interesante analizar el caso idealizado en que las partículas
son esferas idénticas entre sí. El problema fue resuelto por Slichter en
1899 (Forchheimer, 1935).
47

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración
Slichter planteó que, para que las esferas estén en contacto es preciso
que los centros de ellas coincidan con los vértices de un romboedro cuyos
lados valen d y cuyo ángulo agudo vale δ. La concentración volumétrica
se calcula como:
C V
Por otra parte el valor de δ define el número de partículas que están en
contacto con una de ellas (número de coordinación NC).
Los casos extremos son:
( 1 − cosδ)
1 + 2cosδ
δ = 60 o - NC = 12; C Vmax ≅ 0.7405
δ = 90 o -NC = 6; C Vmax ≅ 0.5236
=
π
6
1
48

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Viscosidad
Dada la importancia del problema de la viscosidad de una suspensión y el
efecto que produce la concentración, su cálculo se ha emprendido desde
hace ya un siglo.
49

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Viscosidad
El primer modelo teórico fue desarrollado por Einstein en su tesis doctoral
presentada en la Universidad de Zurich (Einstein, 1911):
μ
μ
μ: Viscosidad de la suspensión
μ 0 : Viscosidad del fluido sin partículas.
0
5
= 1+ C
2
v
Este modelo es válido solamente para concentraciones muy pequeñas y
partículas esféricas.
Para partículas no esféricas, el cálculo fue extendido por Jeffery (1922).
Si las partículas son elipsoides muy alargados:
μ
μ
0
= 1+ 2C
Este resultado sugiere que la viscosidad relativa no depende muy
crucialmente de la forma de las partículas, al menos para concentraciones
pequeñas, conservativamente menores que 1 %.
v
50

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Viscosidad
Simha (Govier y Aziz, 1972) obtuvo:
μ
μ
0
= 1+
14.
1C
Esta fórmula tampoco parece ser muy valedera para barros.
Thomas (Govier y Aziz, 1972) propone la siguiente expresión empírica:
μ
μ
0
Un enfoque que lleva a buenos resultados es el introducir la
concentración C Vmax.
Se pueden citar a este respecto las fórmulas siguientes:
Van Dick-Eilers (Wellmann, 1977):
5
2
C
v
+
2
v
+ .......
5
2
= 1 + Cv
+ 10.
05C
v + 0.
00273
2
μ
μ
0
exp
⎛
= ⎜
⎝
( 16.
6 C )
v
2
5 1 Cv
1
2 2 1 1.
35C
⎟
v
⎟
⎞
+
−
⎠
51

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Viscosidad
Si se toma CVmax = 1/1.35 ≅ 0.741, esta relación se puede interpretar
como:
2
μ
μ
0
⎛
⎜
= ⎜1
+
⎜
⎜
⎝
5
2
1
2
Cv
C
1−
C
v max
Vocadlo (Vocadlo y Charles, 1972) propone una propone una relación
parecida a la de Van Dick-Eilers que incluye un parámetro adicional n:
μ
μ
0
⎡⎛
5 n
exp⎢
⎜ −
⎢⎣
⎝ 2 C
=
⎛ Cv
⎜
⎜1
−
⎝ C
Vocadlo y Charles (1972) indican que n = 0.62 para un conjunto de
esferas empaquetadas al azar. Asimismo afirman que para n = 2 su
ecuación da valores cercanos a las de Van Dick - Eilers y de Thomas.
v
v max
n
v max
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟C
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
v
⎤
⎥
⎦
52

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Viscosidad
Pero en el caso de disponer de un nuevo conjunto de experiencias n y
C Vmax resultan parámetros experimentales que hay que ajustar. Se tiene
entonces:
C Vmax = 0.74 para Van Dick - Eilers
C Vmax = 0.62 según Vocadlo y Charles
Se ve que estas cifras no se alejan mucho de los valores geométricos
calculados por Slichter hace ya más de un siglo. Una fórmula monomia
sencilla y que da resultados razonables es la siguiente:
μ
μ
0
=
exp 1
( C Cv)
C 1 es una constante que se ajusta a partir de los datos experimentales.
53

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto de la Concentración sobre la Tensión de
Fluencia
No existe, aparentemente, un modelo teórico satisfactorio para la relación
entre τ f y la concentración. Por el contrario, existen numerosas
expresiones empíricas. Se dan algunos ejemplos:
(Thomas (1961), Govier y Aziz 1972):
PSI:
τ
τ
f
f
= C
= C
1
2
C
C
3
v
n
v
54

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto del Tamaño de las Partículas sobre la
Viscosidad
Un esquema de la dependencia de la viscosidad aparente con el diámetro
de las partículas se muestra en la siguiente figura (adaptada de Klein,
2002).
55

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto del Tamaño de las Partículas sobre la
Viscosidad
Como un antecedente interesante se muestra en esta figura un diagrama
desarrollado por Farris (Heywood, 1991 p.56) que indica un mínimo de la
viscosidad relativa para una granulometría intermedia, a concentración
C m dada.
56

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto del Tamaño de las Partículas sobre la
Tensión de Fluencia
La tensión de fluencia decrece fuertemente cuando crece el diámetro de
las partículas. Por ejemplo, según Thomas (Govier y Aziz, 1972), para
una concentración constante:
τ
f
≈
2
d−
57

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto del pH sobre la Viscosidad
La influencia del pH sobre la viscosidad aparente se muestra en términos
gruesos en el siguiente croquis (adaptada de Klein, 2002).
58

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Efecto del pH sobre la Tensión de Fluencia
Un croquis de la dependencia de la tensión de fluencia respecto el pH se
muestra en la siguiente figura (adaptada de Klein, 2002).
τ f
aglomeración
pH
59

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Ejemplo
El Teniente
(Wellmann (1977))
Arcillas
(Daido, 1976)
Valores experimentales de μ B/μ 0
en función de C V.
El barro estaba caracterizado
por:
S = 2.7
d 50 = 50 [μm]
d 90 = 143 [μm]
pH = 7
60

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Ejemplo
El Teniente
(Wellmann (1977))
Arcillas
(Daido, 1976)
Para estas mismas suspensiones
se muestran los resultados
obtenidos por los mismos autores
para τ f como función de C V.
De las Figuras se obtiene:
μ
μ
(arena)
μ
μ
B =
0
B =
9
112
(arcilla)
0
τ f = 13 [Pa] (arena)
τ f =145 [Pa] (arcilla)
61

PARAMETROS QUE AFECTAN LA REOLOGIA
Ejemplo
Se observa que los parámetros reológicos son un orden de magnitud
más elevados para la arcilla que para la arena.
Hay que recalcar que se trata solamente de un ejemplo no generalizable.
Las mediciones reológicas sobre barros son muy específicas
62

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Introducción
Existen muchos tipos de
viscosímetros y reómetros pero
no todos los reómetros son
aceptables para la medición de
las curvas reológicas de barros.
Mayoritariamente con este fin se
emplean los viscosímetros de
tubo y los de cilindros coaxiales.
Hasta donde se ha podido
investigar, los más usados para
barros son los de tubo y los de
cilindros coaxiales y entonces en
lo que sigue se tratará solo de
estos (con algunas variantes).
63

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Tipos de reómetros de cilindros coaxiales
Ellos pueden diferir grandemente en
su geometría (ver figura).
Asimismo hay que distinguirlos por
el giro; existen dos tipos:
Aparato Couette: el cilindro
exterior gira y el interior está
fijo.
Aparato Searle: El cilindro
interior gira y el exterior está
inmóvil.
64

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Aproximación del “ancho mar”
Si el radio R 2 cilindro externo crece indefinidamente el cilindro interno gira
en un medio ilimitado (ver figura)
En este caso, el problema inverso tiene una solución (comparativamente)
sencilla, que se verá más adelante.
65

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Reómetro de paletas (vane rheometer)
El cilindro interno ahora no es macizo, sino fluido: está formado por paletas
rectangulares (ver figura).
Este aparato se usa mayormente en el marco de la aproximación del
“ancho mar”; como en el caso anterior, el problema inverso admite una
solución (más o menos) directa.
66

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Reómetro de Coussot
La necesidad de estudiar detritos
dejados por avalanchas (Figura 1)
impulsaron a Coussot (1993) a
desarrollar y a construír un
reómetro de Couette capaz de
tratar muestras reales (Figura 2 y
Figura 3).
Figura 1
Figura 2
Figura 3
67

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Principio de Funcionamiento
Cilindros coaxiales:
Las líneas de corriente entre los dos cilindros son, aproximadamente,
círculos concéntricos. El gradiente de velocidades entre los cilindros
produce, debido a la viscosidad, una distribución de tensiones
tangenciales.
Se supone medible la velocidad angular Ω del cilindro interior y el
torque T correspondiente
Tubo “capilar”:
En el caso del reómetro de tubo o capilar se impone un gradiente de
presiones dP/dx y se mide el caudal Q, de donde, conociendo el
diámetro D se calcula V. Con el gradiente de presiones y D se calcula la
tensión tangencial.
68

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Estabilidad
Se supondrá que las mediciones se han realizado con un reómetro bien
calibrado, exento de vibraciones y desplazamientos parásitos y cuyas
dimensiones y rango corresponde correctamente al material que se
ensaya.
Aún así se constata que el reograma resultante puede ostentar formas
caprichosas: un ejemplo se muestra en la figura.
Se observa que entre los puntos A y B el comportamiento lineal
exhibido sugiere que se trata de un plástico Bingham. Pero el
segmento BC muestra un comportamiento que podría ser asociado a
un fluido dilatante.
69

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Estabilidad
Esta anomalía puede ser explicada en
muchos casos por la aparición de
inestabilidad del escurrimiento entre los
cilindros. El patrón original de las líneas
de corriente era de círculos
concéntricos teniendo como eje común
el de giro. Este patrón, cuando aparece
la inestabilidad se convierte en un tren
de vórtices tridimensionales semejantes
a trenzas que se enroscan en el espacio
entre los dos cilindros coaxiales (ver
figura).
Este fenómeno ha sido estudiado
teórica y experimentalmente a partir de
una investigación pionera realizada por
Taylor en 1923 para fluidos
newtonianos (Schlichting,
astron.berkeley.edu (ABU) y el
fenómeno es conocido como el de los
vórtices de Taylor.
70

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Estabilidad
Según Schlichting la aparición de los vórtices de Taylor se produce para:
τ
τay : Número de Taylor
Ω : Velocidad de giro del cilindro interior
R1, R2 : Radios del cilindro interior y exterior, respectivamente
ρ : Densidad
μ : Viscosidad dinámica
c : Crítico.
ay
ΩR1
=
μ
2
ρ
3 / 2 ( s −1)
> τ = 41.
3
ABU da otra manera de expresar este criterio, pero se puede demostrar
que son prácticamente equivalentes.
Heywood y Alderman ofrece un criterio formalmente diferente de los
anteriores, pero que puede reducirse a una forma cercana a las ya
expuestas.
El problema es como aplicar este criterio para fluidos no newtonianos.
Heywood y Alderman sugieren un procedimiento gráfico para emplear su
método.
71
ayc

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Estabilidad
Para el caso de un reograma que ostenta una zona recta, lo que hace
sospechar que su comportamiento exento de la inestabilidad de Taylor es
el de un plástico Bingham se puede identificar la recta visualmente, pero
este procedimiento puede ser dudoso y depende fuertemente de la
habilidad y experiencia previa del analista. Un procedimiento más
sistemático es el siguiente:
Se escoge un número variable de puntos en la zona recta variando el
punto extremo superior.
Se calcula la viscosidad Bingham (Shook).
Se calcula τ ay y se compara con el valor crítico, escogiendo finalmente
el segmento para el cual τ ay < τ ayc.
Es de hacer notar que la inestabilidad de Taylor se presenta para una
mayor velocidad de giro en el aparato de tipo Couette (gira solamente el
cilindro exterior). Según Heywood y Alderman se requiere una velocidad
Ω cerca de 10 veces mayor.
Schramm indica que ella simplemente no aparece en el aparato Couette.
Debe indicarse que algunos autores (Vgr. O'Brien et al y Aguirre-Pe et al)
indican que la zona curva BC puede deberse a turbulencia y colisiones
entre partículas.
72

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Efecto de los extremos
El hecho que los cilindros no sean infinitamente largos induce errores
debido a la deformación que se produce en el patrón de escurrimiento
cerca de los extremos.
Este efecto (y el error involucrado) se investiga empleando cilindros de
diferentes largos o bien desarrollando correcciones teóricas (Heywood).
Un remedio es que el cilindro interno tenga una cavidad en la cara
inferior. Al introducir el cilindro en la suspensión, esta cavidad queda
llena con aire y entonces impide que el movimiento de rotación induzca
un torque parásito en la cara inferior.
73

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Efecto de deslizamiento en la pared
Puede detectarse empleando cilindros del mismo largo y diferentes
diámetros. Si este efecto es sensible, los reogramas no se superponen.
Existen procedimientos para corregir los datos (Cheng y Parker,
Heywood).
Existen asimismo rotores diseñados para eliminar o paliar este efecto, por
ejemplo, haciendo rugosa la pared del cilindro interno (Klein).
74

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Problemas por sedimentación de partículas
Si la velocidad de sedimentación no es despreciable el anillo entre los dos
cilindros funcionará como un decantador y se formará un patrón
semejante al que se muestra en la Figura (adaptada de Klein). Se concibe
fácilmente que las medidas no representan el comportamiento de la
suspensión homogénea.
HAAKE (Eidam) ha desarrollado un aparato en el cual el cilindro interior
tiene tallada una ranura en espiral. Esta ranura, al girar el cilindro, crea
una corriente ascendente que se opone a la sedimentación de las
partículas.
Klein menciona varios métodos:
Overend et al (1984) idearon el
empleo de un cilindro exterior
ranurado y abierto en la parte
inferior. El conjunto está inmerso
en un tanque agitado. La
suspensión agitada fluye dentro del
espacio anular entre los cilindros.
75

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Problemas por sedimentación de partículas
Clarke (1967) y Purohit y Roy (1968) emplearon un cilindro exterior
abierto en la parte inferior dentro de una vasija. Un rodete de bomba
girando en el fondo de la vasija impulsa la pulpa hacia arriba en el
espacio entre la vasija y el cilindro exterior del reómetro y esta
desciende por el espacio anular entre los cilindros.
HAAKE ideó el empleo de una bomba que fuerza la suspensión a subir por
el anillo a una tasa mayor que la velocidad de sedimentación de las
partículas.
Valentyik (1971), Ferrini et al (1979) Klembowski (1988) y Reeves
(1990) alimentaban en forma continua la pulpa por arriba dentro del
anillo y la retiraban por abajo.
Klein ideó el empleo de un cilindro exterior de largo suficiente para que el
cilindro exterior esté siempre en la zona en que la suspensión guarda las
propiedades iniciales. Este aparato no requiere agitación ni flujo forzado.
Existen aparatos para medición continua de las propiedades reológicas.
Su uso no está aún muy extendido. Klein da un listado de ellos.
76

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Relación espaciamiento de cilindros y diámetro
de los sólidos.
Por diversas razones, es conveniente que el espaciamiento “e” entre los
cilindros sea pequeño. Esto normalmente no representa problemas para
fluidos puros, pero sí, evidentemente, cuando se investiga una pulpa.
Klein da una regla: e debe ser igual o mayor que 10d. Se supone aquí, a
falta de mayor información que “d” es el diámetro máximo.
A menudo, para poder manejar la suspensión dentro del anillo de
espaciamiento e, es necesario recortar la granulometría eliminando los
diámetros más grandes. La pregunta que surge de inmediato es si la
granulometría recortada representa aún así las propiedades reológicas de
la pulpa original.
Es una pregunta difícil de responder. Un método que puede emplearse es
realizar mediciones con diferentes grados de recorte y compararlas. Un
método para estimar este efecto a priori ha sido desarrollado por
Heywood.
77

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Comparación de reómetros
Se menciona aquí un estudio realizado
sobre barros empleando dos reómetros
Searle; los reómetros se designarán por
A y B.
En la Figura 1 se puede constatar que los
valores de la viscosidad medidos con
ambos reómetros son cercanos, siendo
los A algo menores que los B.
La dispersión que ambos conjuntos
muestran no permite decir que esta
diferencia sea significativa.
Sobre la Figura 2 se comparan los
valores de la tensión de fluencia. Los
valores A son mayores que los de B, pero
la dispersión es grande y no permite
decir que las diferencias sean muy
importantes.
Los reómetros son aparatos delicados y
su operación requiere de conocimiento,
destreza y paciencia.
En especial, deben ser recalibrados y
verificados con una frecuencia razonable.
Figura 1
Figura 2
78

REOLOGIA EXPERIMENTAL - REOMETROS
Comparación de reómetros.
Sofra (2007) ha comparado reogramas obtenidos con tres aparatos:
Cilindros concéntricos
Reómetro de paletas
Capilar
Todo esto para una muestra de mineral de níquel
Se observa una razonable concordancia para velocidades angulares de
deformación altas, pero existen discrepancias serias para valores bajos
79

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Planteamiento
Un reómetro no mide directamente las variables y τ que describen el
reograma.
Lo que mide son cantidades (X, Y) que, se supone, se pueden relacionar
con γ&
y τ.
El problema fundamental del análisis de resultados en Reología
experimental se denomina problema inverso y se plantea como la
determinación del algoritmo para determinar las relaciones:
τ
γ&
=
=
F 1
F 2
( X,
Y)
( X,
Y)
Es interesante indicar que, pese a que el problema inverso se enunció hace
más de medio siglo, aún hoy no ha sido resuelto en forma satisfactoria
para todos los casos.
Aquí se estudiarán solamente algunos ejemplos sencillos que son de interés
práctico frecuente.
γ&
80

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar
Se supone un flujo incompresible y laminar en un tubo de sección circular y
de longitud indefinida, sometido a un gradiente de presión rigurosamente
constante (ver figura). El escurrimiento será, entonces, paralelo y
dinámicamente establecido.
Es fácil demostrar que, bajo condiciones muy generales se cumple la
siguiente relación para un ducto cilíndrico de sección circular (Stokes, 1852
según Oka, 1960):
τ
⇒
1
2
( R) = λ R
τ
0
= τ
1
2
( R = R0
) = λ R0
Donde:
R: radio local medido desde el centro de la tubería circular
R 0: radio interno del tubo
τ: tensión tangencial
τ 0: tensión tangencial en el contorno
λ = - (dP/dx): gradiente de presiones, supuesto uniforme a lo largo del
capilar
81

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar
Para lo que sigue, se supone que se han realizado experimentos que
permiten determinar pares de valores de λ y 8V/D.
Empleando estos valores se desea determinar y τ.
Se denomina pseudoreograma a la relación λ=f(8V/D).
La velocidad angular de deformación en un punto distante R del eje y el
caudal en volumen valen:
γ&
( R)
dVx
= −
dR
V x(R): velocidad local
Q = 2π
Integrando por partes y aceptando que no existe deslizamiento en la pared
(para R = R0, Vx = 0) se demuestra (Oka, 1960):
τ0
1 2
I(
τ0 ) = γ()
τ τ τ
τ ∫ d
3 &
0 0
R0
∫
0
V
x
γ&
( R)
RdR
82

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar
Aceptando que no existe deslizamiento en la pared, se puede obtener una
expresión para (Oka, 1960):
γ&
γ& = 3F
F
Otra forma de expresar es la dada por Ancey (2005):
γ&
( τ )
=
πλ
3 [ λ Q(
τ ) ]
Por último, la distribución de velocidades está dada por:
V
0
x
( τ )
Es de hacer notar que estas relaciones no solucionan el problema inverso
para el reómetro capilar: más bien lo plantean en forma precisa.
En lo que sigue, se les denominarán ecuaciones básicas.
0
+ τ
Q
=
πR
d
1 0
2 3
R0
dλ
0
R
=
τ ∫ &
0 ( R)
γdτ
0
0
τ
τ
( τ )
dF
dτ
I τ
=
τ
0
0
( τ ) ( )
0
3
0
0
3
0
83

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar – soluciones para fluidos con
comportamiento reológico conocido
A) Fluido Newtoniano:
Se tendrá:
γ&
=
τ
μ
μ: viscosidad dinámica. Puede considerarse una variable de estado y es
entonces función de la presión y de la temperatura.
En una suspensión, μ depende de varios parámetros y, principalmente,
de la concentración de las partículas sólidas.
Desarrollando y manipulando las relaciones básicas, se obtiene que:
λ 2 2
( R)
( R R )
Vx 4μ
0 −
D
τ = λ
4
γ&
= :Perfil parabólico ya conocido (Schlichting, 1968)
=
8V
D
Estas dos últimas relaciones son la solución explícita del problema inverso.
84

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar – soluciones para fluidos con
Comportamiento reológico conocido
B) Plástico de Bingham:
En este supuesto:
γ& = 0
0 < τ ≤ τf
1
( τ − τ )
γ& =
f
τ0
≥ τ > τf
μB
μ B: viscosidad plástica o de
Bingham.
Desarrollando y manipulando las
relaciones básicas, se obtiene que:
8V
λD
= F
D 4μ
B
( ξ)
4 1
F( ξ)
= 1 − ξ + ξ
3 3
τ
ξ
=
τ
f
0
4
Estas relaciones, bajo una forma
diferente, llevan el nombre de
Buckingham (1921) (Govier y
Aziz).
Ahora, si se miden pares de
valores de λ, 8V/D se puede trazar
el pseudoreograma τ = f(8V/D).
Este ya no es una línea recta, sino
una curva que parte de τ = τf y
que asintotiza a: 4 8V
τ = τf
+ μB
3 D
85

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar – soluciones para fluidos con
comportamiento reológico conocido
B) Plástico de Bingham (continuación):
Por lo tanto, se pueden medir indirectamente τ f y μ B extrapolando la recta
asintótica.
La distribución de velocidades es:
⎛ R
⎜
⎜1
−
⎝ R
⎞⎛
R
⎟
⎜
⎜1
+
⎠⎝
R
⎞
⎟
⎠
2
λR0
Rf
Vx =
−2
R 0 ≥ R > RC
4μB
0 0 R0
V
x
λR
=
4μ
2
0
B
⎛ R
⎜
⎜1−
⎝ R
f
0
⎞
⎟
⎠
2
(perfil parabólico “truncado”)
R 0 ≤ ≤
C R
(perfil pistón)
86

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro capilar – soluciones para fluidos con
comportamiento reológico cualquiera
C) Algoritmo de Rabinowitsch y
Mooney :
Manipulando las ecuaciones básicas:
γ&
=
Se define:
⇒
8V
⎛ 3
⎜
D ⎝ 4
[ ( ) ]
[ ( ) ] ⎟⎟
ln V ⎞
ln τ
Ahora, si se traza el peudoreograma
bajo la forma (ver figura):
+
[ ln(
τ ) ]
[ ln(
V)
]
d
d
0
⎠
d[
ln(
) ]
[ ln(
8V
/ D)
]
d 0 λ
n'= =
d d
8 V 1 + 3n'
γ& =
D 4n'
( λ)
f[
ln(
8V
/ D)
]
ln =
Entonces la pendiente en un punto es
n'. Ésta pendiente puede calcularse
gráficamente o numéricamente. El
reograma puede entonces obtenerse
en cada punto. Este procedimiento,
que es muy sencillo y general, fué
desarrollado primitivamente por
Herzog y Weissemberg (1928) pero
fueron Rabinowitsch (1929) y Mooney
(1931) los que establecieron
completamente el significado del
algoritmo (Govier y Aziz ).
87

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos
El aparato es del tipo Searle.
El problema es ahora: dados pares
de valores Ω, T, determinar el
reograma τ= f( γ&
).
De la ecuación local de cantidades
de movimiento (ecuación de
Cauchy) se deduce la siguiente
relación, válida para cualquier
fluido:
T
τ =
2πLR
Esta relación permite entonces
calcular τ a partir de los valores
experimentales de T.
Ahora, la velocidad angular de
deformación se expresa:
d
R
dR
ω
γ& = −
2
ω: velocidad de giro para un
radio cualquiera R
Combinando las ecuaciones e
integrando:
τ
τ
() τ
1
1
γ&
2Ω = ∫ dτ
= ∫ γ&
τ
2
() τ d(
ln()
τ )
Esta última relación expresa el
problema inverso para un
reómetro de cilindros
concéntricos.
τ
τ
2
88

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones para
fluidos con comportamiento reológico conocido
A) Fluido Newtoniano:
Se considera:
Empleando las expresiones de base se obtiene:
τ
1
1
2Ω
=
μ ∫
τ
2
τ 1
dτ
=
τ μ
( τ − τ )
1
γ&
=
2
S
Ω
S − 1
Conviene estudiar el caso en que la diferencia e = R 2 -R 1 es muy pequeña
comparada con R 1:
⎛ τ
⎝ τ
⎞
Como no se ha especificado el fluido, esta fórmula sería una primera
aproximación valedera de uso general.
Por otra parte, las fórmulas para difieren solamente en 1% si S ≅ 1.01.
γ&
=
2 2
( () ) ⎟ 1
γ&
Δ ln τ = γ ln
⎜
γ& ≅
ln()
S
2Ω ≅ &
τ
μ
2
⎠
γ&
2
Ω
R
S =
R
2
1
89

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones para
fluidos con comportamiento reológico conocido
B) Plástico de Bingham:
Se considera:
Hay que distinguir tres casos:
i) τ 1 < τ f. Bajo esta premisa, el cilindro interno no puede girar.
ii) τ 2< τ f < τ 1. Entonces sí hay movimiento, pero existe un "radio de
fluencia" R f:
R
f
=
R
1
Para R(R 1,R f) existe movimiento; para R(R f, R 2) el fluido está inmóvil. De
las ecuación básicas se obtiene:
1 ⎛ τf
Ω = ⎜ −
μ ∫ 1
2 ⎝ τ
1
B
τ
τ
f
γ& = 0
0 < τ ≤ τf
1
⎞ 1
⎟dτ
=
⎠ 2μ
( τ − τ )
γ& =
f
τ0
≥ τ > τf
μB
B
τ
τ
1
f
⎡
⎢τ
⎢⎣
1
− τ
f
− τ
f
⎛ τ
ln
⎜
⎝ τ
1
f
⎞⎤
⎟
⎟⎥
⎠⎥⎦
90

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones
para fluidos con comportamiento reológico conocido
B) Plástico de Bingham (continuación):
iii) τ f < τ 2. En este caso, todo el fluido está cizallado y en movimiento. De las
ecuaciones básicas se deduce:
τ
1
1 ⎛ τf
⎞ 1
Ω = ⎜ − ⎟ τ =
μ ∫ 1 d
2 ⎝ τ ⎠ 2μ
B
τ
2 ⎡S
−1
⎢ τ 2
⎣ S
Las dos últimas relaciones permiten dibujar un pseudoreograma τ=τ 1=f (Ω).
Las coordenadas de C y D son entonces:
Ω
τ
D
C
1
=
2μ
B
2
2S
= ln 2
S −1
2
2 [ ( S −1)
τ − 2τ
ln()
S ]
( S)
τf
Extrapolando la recta hasta
cero, se puede calcular τ f
empleando la expresión para
τ D.
f
f
B
1
− 2τ
f
⎤
ln()⎥
S
⎦
91

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones para
fluidos con comportamiento reológico cualquiera
C) Algoritmo de Krieger y Elrod:
Cabe preguntarse si existe para el reómetro de cilindros coaxiales un
algoritmo semejante al de Rabinowitsch y Mooney para el reómetro
capilar. La respuesta es, al menos, parcialmente afirmativa: Krieger y
Elrod (1952) dedujeron la fórmula siguiente:
() S 1 ln()
S
2
Ω ⎡ ln ⎛ ⎞
γ& = ⎢1
+ + ⎜ ⎟ '
ln()
S ⎢⎣
n'
3 ⎝ n'
⎠
d
n'=
d ln
[ ln(
T)
]
[ ( Ω)
]
d
n''
=
d ln
[ ln(
n')
]
[ ( Ω)
]
( 1−
n'
)
⎤
+ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⎥
⎥⎦
El algoritmo requiere que los valores experimentales sean de excelente
calidad, de modo de poder calcular las derivadas con una aproximación
razonable.
92

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones para
fluidos con comportamiento reológico cualquiera
D) Formulación de Apelblat, Healy y Joly (1975):
Es una solución aproximada, pero que es explícita:
γ&
β − =
τ
2 +
( ) () ( ) β−1
− β 2
∫ t t dt Ω τ
0
2
2S β
= 2
S −1
93

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos - soluciones para
fluidos con comportamiento reológico cualquiera
E) Algoritmo de Giesekus y Langer (1977)
Giesekus y Langer ofrecen fórmulas sencillas y directas que incorporan
un concepto desarrollado extensamente por ellos:
Velocidad de deformación angular representativa:
2
1+
β
&
γ = Ω . 2
β −1
Tensión tangencial representativa:
2
1 + β
τ = τ 2 1,
2β
τ 1: Tensión tangencial en el cilindro interior.
Este método ha sido incorporado A las Normas DIN (DIN 53019 Part 1,
Mayo 1980).
94

REOLOGIA EXPERIMENTAL –EL PROBLEMA INVERSO
Aproximación del “ancho mar”
Se parte del flujo entre dos cilindros de radios R 1 y R 2 (ver figura). Se
alcanza la tensión de fluencia para R = R f. Entonces, si el cilindro externo
tiene un radio mayor que R f basta para que se cumpla la condición de
“ancho mar”: el cilindro interno “no ve” al cilindro externo. La condición
precisa es:
R
2
> R
En este caso es posible encontrar
una expresión sencilla como solución
del problema inverso. Se tendrá:
Derivando respecto τ:
⇒
f
= R
1
τ
τ
τ1
τ
γ&
() τ
2Ω
= ∫ dτ
= ∫ γ&
τ
τ2 τf
γ&
=
2
n '
Ω
f
() t d(
ln()
t )
2
d Ω γ&
=
d τ τ
d
n'=
dln
[ ln(
T)
]
[ ( Ω)
]

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de paletas (vane rheometer)
Nguyen y Boger (1985) han deducido una fórmula sencilla que permite
calcular la tensión tangencial a partir del torque T y de la geometría de
las paletas):
τ
=
T 2
2 π LR
C ( 2
3)(
R
/ L )
R: Radio de las paletas.
L: Largo de ellas.
C es un coeficiente correctivo cercano a la unidad.
1
+
Sofra (2007) indica que para el cálculo de la velocidad de deformación
angular es posible emplear la expresión para el “ancho mar.
Se considera especialmente apropiada para la medida de la tensión de
fluencia.
1
/
2
n '
Ω
γ& =
dln(
T)
n'=
dln
Ω
[ ]
[ ( ) ]
96

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (0)
Características globales de los barros:
Sitio S pH D 50
(μm)
D 80
(μm)
A 2.65 9.8 86 309 49
B 2.76 8.3 31 139 49
C p(%)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (1)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (2A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (2B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (3A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (3B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (4A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (4B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (5A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (5B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (6A)

REOLOGIA EXPERIMENTAL – EL PROBLEMA INVERSO
Estudio detallado de dos casos reales (6B)

REOLOGIA EXPERIMENTAL– EL PROBLEMA INVERSO
Reómetro de cilindros concéntricos -
comportamiento reológico cualquiera
Ejemplos de desarrollos profundizados:
Ancey (2005) indica:
problema inverso de Couette admite una solución en serie infinita
Elque fue desarrollada por Coleman en 1966.
Pero estudios posteriores indican que el problema inverso entra en la
categoría de problemas mal puestos.
De Hoog y Andersen (2005) poseen una teoría basada en desarrollos
en serie, proporcionando fórmulas explícitas aproximadas.
Ancey (2005) emplea una descomposición en “wavelet-vaguelette”,
con grandes complejidades de cálculo.
109

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Toda suspensión puede mostrar un comportamiento no newtoniano. En
particular, si la concentración de sólidos es alta y/o si tiene un contenido
de finos importante.
Muchos escurrimientos en cauces naturales requieren, para su
comprensión y análisis acabados el conocimiento de la reología de la
suspensión.
110

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Algunos ejemplos y clasificaciones importantes
i) Flujos fluviales muy concentrados
Escurrimientos fluviales con una muy alta concentración de sólidos (flujos
hiperconcentrados).
O’Brien y Julien (1988) observaron no haber consenso en su clasificación.
Empero, según Brea y Spalletti (2004), Julien y León dieron la
clasificación siguiente (2000):
Inundaciones o crecidas de barros (mud floods).
Flujos de barros (mud flow)
Flujos de detritos (debris flow)
111

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Algunos ejemplos y clasificaciones importantes
ii) Flujos geofísicos
Avalanchas de nieve
Flujo de glaciares
Movimiento de lavas
Algunos ejemplos detallados de estos “flujos geofísicos” han sido
expuestos por Johnson (1970)
iii) Flujo fluviales con cantidades importantes de material muy fino
El caso más espectacular es el del Río Amarillo de la China (e.g.
Engelund y Zhaohui, 1984), pero existen evidencias en otros casos. Para
el Mississippi, Darby (2001) muestra valores de viscosidad aparente muy
grandes.
112

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Diagramas generalizados
No es fácil clasificar en términos dinámicos estos escurrimientos.
Empero, se ha intentado.
Gani (2004) da una clasificación en términos de tamaño de partículas,
concentraciones, el número de Froude y el de Reynolds.
113

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Diagramas generalizados
Coussot muestra un diagrama
concentración – fracción fina.
Davies (Schatzmann, 2005)
realiza un diagrama triangular que
es cercano conceptualmente al de
Coussot.
114

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Avalanchas de barros y detritos
Son deslizamientos de tierras saturadas que bajan rápidamente hacia
agua abajo bajo la forma de barros (CGS, 2006).
Este escurrimiento transporta rocas, arbustos y otros detritos hacia
aguas abajo.
Las velocidades son altas: típicamente viajan a 16 [Km/hora], pero la
velocidad de 30 [Km/hora] es frecuente y se han medido en casos
excepcionales velocidades de 160 [Km/hora] (CGS, 2006).
Las avalanchas ocurren en todo el mundo. Se producen especialmente
en áreas montañosas que contienen rocas y suelos arenosos.
La causa más común de las avalanchas es la combinación de lluvias
intensas y terreno suelto.
En Perú y Ecuador son frecuentes (Huaynos). También han ocurrido
casos tristemente espectaculares en Venezuela.
115

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Avalanchas de barros y detritos
Algunos casos:
Se mencionan aquí solo algunos de una lista que, desgraciadamente es
larga:
La avalancha de Las Cumbres (México] ocurrió hace 40000 años y el
volumen desplazado fué mayor que 10000 [Mm3]. Los sedimentos se
extendieron por 110 [Km], llegando hasta el Golfo de México (Scuderi et
al. ,2001).
En Antofagasta (Chile) en 1991, llegaron a la ciudad 400000 [m3] de
gravas y arenas. Murieron 91 personas y desaparecieron 16 y se
dañaron 2464 viviendas (Zamorano 1991)
El deslizamiento de La Josefina (Ecuador) en 1993 embalsó el río Paute
con una presa de 100 [m] de alto y 1 [Km] de largo. La ruptura de la
presa produjo una crecida de 10000 [m3/sec] que produjo daños hasta
100 [Km] aguas abajo (Zevallos, 1994).
116

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Avalanchas de barros y detritos
Algunos casos (continuación):
El sismo de Páez, Departamento del Cauca, Colombia 6 de Junio de 1994,
destruyó 1550 viviendas y averió 2900. En total, los daños de
infraestructura incluyeron la destrucción se 6 puentes, 6 acueductos, 15
edificios comunitarios y 100 [Km] de vías. Magnitud = 6.4 (Richter)
(Gamez y Díaz-Granados, 1996).
El Huracán Pauline causó graves daños y perjuicios en Acapulco, México
en Octubre de 1997 (Caldiño y Salgado, 2003, 2004). Hubo más de 300
muertes y los daños materiales se estimaron en 600 millones de dólares.
Las avalanchas producidas en la costa de Vargas (Venezuela) en
Diciembre de 1999 destruyó un número enorme de construcciones y se
estima que hubieron 19000 muertos (USGS 2000).
Cerca de Muzafarrabad (Pakistán) en Octubre 2005 se produjo una
avalancha de 80 [Mm3] que sepultó la aldea de Dandbeh (USGS [6]
2006).
117

Modelación:
REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Avalanchas de barros y detritos
Se han realizado numerosas modelaciones físicas y/o matemáticas del
escurrimiento de barros y escombros.
Los modelos empleados han sido de varios tipos:
Ecuaciones de Saint Venant unidimensionales
Ecuaciones de Saint Venant verticalmente integradas
Ecuaciones de Navier-Stokes en flujo paralelo
Etc.
Para la deducción y discusión de las ecuaciones de Saint Venant consultar
Chow (1959), Montes (1998).
Es curioso constatar que, aunque estas ecuaciones fueron deducidas por
Barré de Saint-Venant en 1871 no fueron verificadas experimentalmente
hasta un siglo después (Mahmood y Yevjevich, 1975).
118

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Avalanchas de barros y detritos
Modelación (continuación):
Las ecuaciones de Saint Venant aplicadas a flujos fluviales a fondo móvil
son muy difíciles de resolver, especialmente si el flujo es supercrítico.
Empero, se han diseñado métodos numéricos para realizar la integración
y se han realizado comparaciones con medidas (e.g. Mahmood y
Yevjevich (1975), Chollet (1977), Aparicio (1985), Berezowsky y Aparicio
(1987), Moreno, Aparicio, Berezowsky y Fuentes (2000)).
Para la definición de las tensiones (tangenciales y normales surgen
dificultades especiales asociados a:
El inicio del movimiento
La fricción fluida
La fricción mecánica
La influencia de los choques de las partículas
Estos aspectos son claramente del resorte de la reología
119

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Aportes de Bagnold:
En una memoria hoy clásica, Bagnold (1954) experimentó sobre una
suspensión de esferas en diferentes fluidos. Esta suspensión era
cizallada entre dos cilindros concéntricos (ver figura).
El interés por este trabajo ha crecido monotónicamente con el tiempo.
Según Hunt et al. (2002), hasta el año 2001 las citas directas alcanzan
725.
Hunt et al. (2002)
realizaron una revisión
acabada del trabajo de
1954. Los resultados
que se darán aquí se
basan en esta revisión
120

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Aportes de Bagnold (continuación):
Este parámetro fué introducido por Bagnold como N. Posteriormente (Hill,
1966 (Hunt et al., 2002) le llamó número de Bagnold:
B
a
ρd
λ
=
μ
λ =
⎛ C
⎜
⎝ C
d: diámetro de las partículas.
ρ: densidad de las partículas sólidas
γ&
: velocidad de deformación angular
μ: viscosidad del líquido
λ: concentración lineal
CV: concentración en volumen.
CV0: concentración máxima o de empaquetamiento.
2
0.
5
γ&
1
1/
3
V0 ⎞
⎟ −
V
⎠
1
121

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Aportes de Bagnold (continuación):
Bagnold distinguió tres regímenes para caracterizar la dinámica de las
dispersiones que él estudió:
Régimen macroviscoso lineal (Ba < 40)
Régimen inercial ( Ba > 450)
Régimen de transición (40

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Modelo de O’brien y Julien (1985, según Julien y Lan, 1991):
Se propone la fórmula siguiente:
τ = τ
f
du
+ μ + ζ
dy
du/dy:gradiente de velocidades normal a la dirección del
escurrimiento.
ζ es un parámetro que engloba efectos de dispersión y turbulencia.
Se expresa como:
ζ
= ρ
m
λ
2
+ C ρ λ
2
Empleando análisis dimensional, Julien y Lan (1991) encontraron um
modelo generalizado que ajusta bien con las experiencias de O’Brien y
Julien (1988) y con las de otros investigadores
s
du
dy
2
d
2
2
123

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Modelo de O’brien y Julien (continuación):
O’Brien, Julien y Fullerton (1993) han extendido el análisis hasta incluír
cinco componentes de la tensión tangencial:
t c: debida a la cohesión
t mc: tensión interpartículas (Mohr-Coulomb)
t v: tensión de origen viscoso
t t: tensión debida a la turbulencia
t d: tensión dispersiva
Ahora:
f
τ = τ
c
+ τ
c mc
+ τ
Se recupera entonces la formulación ya vista:
m
c
v
+ τ
t
+ τ
τ = τ + τ
( ) 2
2
C = ρ λ + f ρ , C d
τ
= τ
f
m
du du
+ μ + C
dy dy
d
2
m
v
124

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Algunos aportes recientes:
Entre otros, Aguirre et al. (2004) ha examinado la reología de lodos
compuestos de arcilla y arena
Montserrat et al. (2004) han realizado experimentos con arena, grava y
bentonita. El análisis dimensional realizado incluye un parámetro de
sedimentación nuevo, similar al de Rouse (Z)
Tamburrino et al. (2008) se ocupan de flujos granulares densos en un
canal de fondo deslizante.
125

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Ejemplos de modelación:
La literatura es muy abundante, desde hace algunos años.
Aquí solamente se entregará una clasificación conceptual y se darán
algunos ejemplos
Clasificación:
Mediciones realizadas en laboratorio
Mediciones en terreno
Modelación matemática
Modelación física
Ejemplos:
O’Brien et al. (1993)
Modelación matemática
Medidas de campo
Medidas de laboratorio
126

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Ejemplos de modelación (continuación):
Desarrollo de software FLO-2D. Medidas de laboratorio de O’Brien y Julien
(1988). Comparación exitosa con un caso de campo (Rudd Creek).
Ayala y Solís (1994)
Modelación matemática
Inicio del movimiento, la generación y el rastreo de una corriente de
detritos, empleando las ecuaciones de Saint - Venant expresando la
fricción según las ecuaciones dadas por Takahashi (1991).
Aguirre et al. (1996)
Mediciones realizadas en laboratorio
Modelación matemática
Cálculos empleando las fórmulas de Saint-Venant y emplearon para la
fricción fórmulas clásicas viscosas y las de Bagnold para el caso en que
se toman en cuenta los sólidos. Experimentos con aceite y con una
suspensión de sólidos, encontrando un buen ajuste en ambos caso.
Aguirre et al. (1998)
Modelación matemática
Modelación física 127

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Ejemplos de modelación (continuación):
Se describe la deposición de barros y escombros empleando las
ecuaciones de Saint-Venant tomando en cuenta por separado la
conservación del agua y de los sólidos. Para la fricción emplearon
expresiones de Takahashi (1991). Los resultados de la simulación
matemática se compararon con los resultados de una modelación física,
encontrándose un acuerdo razonable.
Cregoretti (2000)
Mediciones realizadas en laboratorio
Estudio experimental del el inicio del movimiento para altas pendientes,
no encontrando un buen acuerdo con las fórmulas vigentes.
Arattano y Franzi (2003)
Modelación matemática
Mediciones en terreno
128

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Ejemplos de modelación (continuación):
Empleando las ecuaciones de Saint-Venant y un enfoque reológico para la
fricción pudieron reproducir en forma exitosa los niveles de una
avalancha real.
Zanuttigh y Lamberti (2003)
Modelación matemática
Mediciones en terreno
Ecuaciones de Saint-Venant y un modelo reológico especial para predecir
un caso de avalancha real. El ajuste es mediocre, lo que puede
explicarse por la complejidad del problema real y las dificultades de las
medidas de campo.
Caldiño y Salgado (2003,2004)
Modelación matemática
Mediciones en terreno
Mediciones de laboratorio
129

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Reología
Ejemplos de modelación (continuación):
Calibración del modelo: software FLO-2D (O’Brien et al., 1993)
comparado con datos de campo (cuenca de El Camarón – Acapulco);
reología realizada en laboratorio con materiales de la zona.
Zanuttigh y Lamberti (2006)
Modelación matemática
Mediciones de laboratorio
Análisis experimental del importante problema de la posibilidad de
mitigar el efecto de las avalanchas mediante obstáculos.
Zanuttigh y Di Paolo (2006)
Mediciones de laboratorio
Estudio experimental - segregación de avalanchas secas.
Arattano, M., Franzi, L. y Marchi, L. (2006)
Modelación matemática
Mediciones de laboratorio
Influencia de la reología sobre la predicción de avalanchas.
130

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Flujos geofísicos
Comprenden avalanchas de nieve,
flujo de glaciares, lavas.
Puede decirse que son importantes
y, en la mayor parte de los casos,
lamentables.
En la figura se muestra la avalancha
que sepultó el pueblo de Yungay, en
los Andes peruanos (Iverson et al.,
1997).
131

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Flujos geofísicos
Las características reológicas de lavas han sido medidas. Balmforth et al.,
2000 reportan datos para lava:
La viscosidad corresponde al valor máximo, que, obviamente, se produjo
para las menores temperaturas:
Densidad ρ [kg/m 3 ] = 2600.
Viscosidad μ [Pa*seg] = 10 9 .
Tensión de fluencia τ f [Pa] = 10 5 .
Conviene recordar que la viscosidad del agua a 20 [°C] es 0.001
[Pa*seg] y que una tensión de fluencia de 150 [Pa] se considera grande y
una de 500 [Pa] muy grande. El comportamiento medido es,
simplemente, el de un plástico Bingham.
Johnson (1970) informa sobre medidas de campo sobre un flujo de
detritos en Wrightwood, California, 20 Mayo 1969. El comportamiento
era Bingham. Se obtuvieron las características siguientes:
Densidad ρ [kg/m 3 ] = 2000
Viscosidad μ [Pa*seg] = 76
Tensión de fluencia τ f [Pa] = 602
132

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Flujos geofísicos
Johnson (1970) asimismo reporta valores estimados para la lava del
Cráter Makaopuhi en Hawaii, para dos profundidades bajo la corteza de
la lava:
Profundidad H [m ] = 6.8
Viscosidad μ [Pa*seg] = 650
Tensión de fluencia τ f [Pa] = 120
Profundidad H [m ] = 7.5
Viscosidad μ [Pa*seg] = 750
Tensión de fluencia τ f [Pa] = 70
Meier (Johnson, 1970)
desarrolló un modelo
reológico para el hielo:
γ&
= C τ + C τ
1
Ver figura
2
4.
5
133

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Flujos fluviales con cantidades importantes de
material muy fino
Este material va, obviamente, suspendido y corresponde a limos y
arcillas. Se sabe que bastan cantidades relativamente pequeñas de
arcilla para que una suspensión en agua tenga un comportamiento no
newtoniano.
Como ejemplo (Haldenwang, 2003):
Líquido : agua
Sólidos : kaolín
Concentración en volumen Cv [%]= 5.4
Densidad sólidos [kg/m 3 ] = 2650
Viscosidad μ [Pa*seg] = 0.06
Tensión de fluencia τ f [Pa] = 6
Para el Mississippi, Darby (2001) da la viscosidad aparente como
función de (ver figura).
γ&
Para una pequeña velocidad de deformación angular, la viscosidad
aparente puede alcanzar 10 [Pa.sec] y para altas velocidades de
deformación angular, μ alcanza 0.1 [Pa.sec] (100 veces la viscosidad
dinámica del agua).
134

REOLOGIA Y FLUJO EN CAUCES NATURALES
Flujos fluviales con cantidades importantes de
material muy fino
En el Río Amarillo de la China, la situación es a veces espectacular:
Engelund y Zhaohui (1984) reportan que cuando la concentración crece
mucho el río y/o sus tributarios se atascan o congelan, debido al
crecimiento enorme de la viscosidad y la tensión de fluencia.
Hessel (2002) ha medido concentraciones pico de 500 [g/l]. Esto
corresponde aprox. A una concentración en volumen de 0.2, que es alta.
Recientemente, Guo et al.(2008) muestran una simulación numérica de
las concentraciones en el Río Amarillo y las comparan favorablemente
con una masa importante de mediciones de campo. Esta información
permite inferir que las mediciones que arrojan 100 [g/l] son numerosas,
pero que el valor de 500 [g/l] se alcanza raras veces.
135

REFERENCIAS
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hidráulica en méxico, Vol.XV, No.3 pp.81-88, México.
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del Flujo de Barros y Escombros", XVII Congreso de la División Latinoamericana de la International Association of
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ANCEY, Ch. (2005a):” Notebook - Introduction to Fluid Rheology”, Laboratoire Hydraulique Environnemtale (LHE),
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