Fricción, velocidad crítica y arrastre incipiente en régimen torrencial

Fricción, velocidad crítica y arrastre
incipiente en régimen torrencial
Julián Aguirre Pe
María Luisa Olivero
Ramón Fuentes Aguilar
Fecha: 19 de Noviembre 2008

Introducción
Es natural que la gran mayoría de los esfuerzos en
Hidráulica Fluvial (desde hace miles de años hasta hoy) se
haya centrado en los escurrimientos lentos sobre fondos de
arena (ríos y/o canales), ya que ellos son los que
tradicionalmente interesan para la agricultura así como
para otras necesidades humanas.
Empero, los escurrimientos torrenciales que se producen
en quebradas:
• De gran pendiente.
• Que fluyen sobre piedras de diámetro comparable con
la profundidad o tirante.
• Que eventualmente arrastran las piedras del fondo.
• Son también importantes (a veces por motivos
negativos) para la Hidráulica Fluvial.
2

Introducción
Estos flujos torrenciales tienen en común:
Ser supercríticos, i.e., ostentar números de Froude (F r )
mayores que la unidad
Ser macro-rugosos, en el sentido que la profundidad o
tirante es del orden de magnitud del tamaño de las
partículas que forman el fondo.
Lo que sigue es una descripción de los esfuerzos que los
autores de esta ponencia han realizado respecto a la
mecánica de estos escurrimientos.
La descripción no será ni completa ni del todo
convincente a veces. Ella refleja simplemente los
conocimientos (y la ignorancia) de los autores sobre el
tema.

Introducción
Los aspectos relevantes de la dinámica fluvial, hoy en día,
son numerosos, comprendiendo:
Transferencia de calor;
Difusión;
Reología;
Y otros……………………………
Aquí se seguirá el enfoque clásico y se verán solamente:
Resistencia al flujo;
Estado crítico;
Arrastre incipiente.

Algunos antecedentes
Keulegan (1938) realiza un trabajo pionero, demostrando
que la ley logarítmica de Prandtl es aplicable a canales,
particularmente a canales rugosos.
El soporte experimental es el excelente banco de datos
obtenido por Bazin en el siglo XIX. Se trata de canales con
rugosidad artificial.
Ecuación de Keulegan (1938)
U
*
u
= C
*
⎛
= ⎜
⎝
8 ⎞
f
Donde:
U: Velocidad Media
U * : Velocidad de fricción:
C * : Coeficiente de Chezy
f: Factor de fricción de Darcy-Weisbach
k: Altura de los elementos rugosos
R: Radio Hidráulico
⎟
⎠
1
2
=
⎛ R
5,
75⋅
log⎜
⎝ k
⎞
⎟
⎠
+
6.
25
( 1)

Algunos antecedentes
Función de textura
De inmediato se plantea la pregunta siguiente:
• ¿la altura k es o no igual a la rugosidad de grano de
Nikuradse ks (kornsand)?
¡La respuesta es negativa!
• Entonces ¿Cuál es la relación entre ks y la geometría de
las rugosidades?
Para contestar esta pregunta se introduce la función o
factor de textura:
ks α
≡ = α(
geometría − rugosidades)
k

Algunos antecedentes
Lindquist (1933, sec. Domínguez ,1960) por primera vez
advirtió la influencia de la geometría de los elementos
rugosos sobre ks.
Desde los años 60 y hasta la fecha, la investigación de la
función de textura no ha cesado.
Se citan, entre otros, Sayre y Albertson (1961), Fuentes
(1964), Rouse (1965) , Sly, Aguirre-Pe y Fuentes (1992)

Algunos antecedentes

Resistencia al Flujo
Estos estudios permitieron generalizar la fórmula de Keulegan:
Se han presentado muchas fórmulas para determinar la
resistencia al flujo en lechos macro-rugosos naturales
introduciendo el factor de textura en la ecuación de
Keulegan.
Estas fórmulas pueden ser expresadas en forma conjunta:
U
u
*
=
C
*
=
⎛
⎜
⎝
8
f
⎞
⎟
⎠
U
*
u
1
2
=
= C
*
5,
75
⎛ 8 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ f ⎠
⎛ a
⋅ log ⎜
⎝α
1
2
⋅ R
⋅ D
⎛ R ⎞
= 5,
75⋅log⎜
⎟ + Cte.
⎝αk
⎠
⎞
⎟
⎠
( 3)
( 2)
9

Resistencia al Flujo
Otros investigadores han seguido caminos paralelos, pero
no divergentes:
Maynord (1991) efectuó un análisis de la ecuación (3) y su
aplicación para enrocados, encontrando una aproximación mejor a
la constante 5,75 (propone 3,95).
Thompson y Campbell (1979) efectuaron estudios sobre la
estabilidad del enrocado en rápidos de alivio. Se replantea
la fórmula (3) de la siguiente manera:
⎛
⎜
⎝
8
f
⎞
⎟
⎠
donde
K
w
:
1
2
:
4,5
=
⋅
5 , 66
D
50
⎛
⎜ 1 −
⎝
0 , 1
R
k
w
⎞
⎟
⎠
log
⎛ 12 ⋅ R
⎜
⎝ K s
⎞
⎟
⎠
( 4 )
10

Resistencia al Flujo
Bathurst propuso una expresión diferente:
⎛
⎜
⎝
8
f
⎞
⎟
⎠
1
2
⎛ R
=
⎜
⎝ 0,
365⋅
D
84
( 7⋅Le−0,
56)
Donde:
W: Ancho superficial
Le: Razón entre el área transversal al flujo y del lecho.
Le
=
0,
039
−
0,
139
⎞
⎟
⎠
2,
34
⎛
⋅ log
⎜
⎝
⎛W
⎜
⎝ d
R
D
84
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
( 6)
( 5)

Resistencia del Flujo
Otras aproximaciones de resistencia al flujo se basan en
una relación potencial de la forma del lecho del río:
Donde c y m son coeficientes numéricos
Existen estudios que
han estimado los
valores de estos coefi-
cientes en función del
Diámetro Característico
(Kellerhalls, 1967, y
Bray, 1967)˫
1
2 ⎛ d ⎞
f =
c⎜
⎟
⎝ D ⎠
m
( 7)
12

Resistencia al Flujo
Por otro lado, el coeficiente de Manning puede ser
sustituido en el factor de fricción de Darcy-Weisbach según
la siguiente expresión:
⎛
⎜
⎝
Se ha usado la ecuación de Limerinos (1970) para
determinar el coeficiente de Manning asociado a lechos
compuesto por gravas y enrocados. La ecuación
corresponde a:
n
=
1 / 6
La constante numérica a 1 es 0,0927 en el SI.
1
2
8 ⎞ R
⎟ =
f ⎠ n ⋅ g
a
1
⋅
1
6
1
2
( d D )
1, 16 + 2 , 00 ⋅ log
84
d
( 8
)
( 9
)
13

Resistencia al Flujo
Desde los años 60, Aguirre Pe y sus colaboradores
(Olivero, Fernández, entre otros) realizaron en la
Universidad de los Andes, Mérida, Venezuela, experiencias
extensas y prolijas sobre fricción, velocidad crítica y
arrastre incipiente con rugosidades artificiales en canales
con régimen torrencial.
En la misma época (c.1970) Schuerlein en el laboratorio de
Obernach, Universidad de Munchen, Alemania, analizó el
flujo en quebradas con grandes piedras.
Aguirre Pe, Olivero y Fuentes (c.1980) analizaron
críticamente las experiencias disponibles. El análisis
concluyó negativamente en el sentido que la fórmula de
Keulegan, aunque se introdujese el factor de textura, era
incapaz de representar la fricción y la velocidad crítica
cuando el tamaño de las rugosidades era cercano al tirante
sobre ellas (flujo macrorugoso).

Resistencia al Flujo
Anteriormente, Montes (1968), analizando experimentos
realizados sobre macrorugosidades en túnel de viento,tuvo
la idea de suponer que cerca de la cresta de las
rugosidades existía un flujo del tipo estela.
Aguirre Pe, Olivero y Fuentes desarrollaron la idea de
Montes y la aplicaron a su problema; pudieron constatar
que ella explicaba las discrepancias de la teoría de
Keulegan para flujo macrorugoso en canales.
Surgieron varias publicaciones:
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1986):”Una
Fórmula para la Fricción en Escurrimientos Macrorugosos a
Superficie Libre”, XII Congreso Latinoamericano de la AIIH.
Sao Paulo, Brasil, Vol.1, pp.86-95.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1988):”Influencia
de la Rugosidad Relativa y la Densidad relativa de las
Partículas sobre la Velocidad Crítica de Sedimentos
Diseminados”, XIII Congreso Latinoamericano de la AIIH. La
Habana, Cuba, Vol.1, 55-66.

Resistencia al Flujo
Schreider, M.I.(1988): “Estimación de la Resistencia en
Escurrimiento Macrorugosos”, Tesis de Magister en Ciencias,
universida de los Andes, Mérida, Venezuela.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1990):”Fricción y
Movimiento Incipiente en Rios de Montaña”, XIV Congreso
Latinoamericano de la AIIH. Montevideo, Uruguay.
Aguirre Pe, J.y Fuentes, R. (1990):”Resistance to Flow in
Steep Rough Streams”, Journal of Hydraulic Engineering,
ASCE, Vol. 116. N° 11.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1992):”Flow
Resistance of Riprap”, publicado en el JHE, ASCE, Vol. 118, N°
6, pp. 952-954.
Aguirre Pe, J. y Fuentes, R. (1995): River, Coastal and Shore
Line Protection,“Stability and Weak Motion of Riprap at a
Channel Bed”, Chap. 5, Ed. John Wiley.

Campo de velocidades:
•Primera zona (zona de estela):
muy cerca de los elementos
rugosos, donde se generan
estelas sobre éstos (wake zone).
La velocidad en esta zona (u 1 ) en
la dirección del flujo se considera
constante.
•Segunda zona (zona
logarítmica): ubicada sobre la
anterior y cuyas velocidades
pueden aproximarse a un perfil
logarítmico.
•El espesor de la estela se
supone proporcional al diámetro
de los elementos que componen
el lecho.
•El factor de proporcionalidad se
denomina factor de estela o wake
factor (β).
17

Resistencia al Flujo
La velocidad media del flujo se estima como:
U
=
u
1
⋅β
⋅ D 1
+
d d
β
d
∫ ⋅
u(
y)
⋅dy
D
( 10)
Integrando el término asociado a la zona logarítmica, se
obtiene:
u
u
*
1 y
= ln + B
κ α ⋅ D
( 11)
Donde B es la constante de integración, que puede
aproximarse a 8,5 para los números de Reynolds asociados
al régimen turbulento rugoso, y κ es la constante de Von
Kármán (≈0,4 para agua clara)
Combinando las (8) y (9) se obtiene:
C
*
1 d 1 β ⋅ D β ⋅ D ⎛ u1
1 β ⋅ D ⎞
= ln + B − + + ⎜ − ln − B
*
⎟
κ
α ⋅ D κ κ ⋅ d d ⎝ u κ α ⋅ D ⎠
( 12)
18

Resistencia al Flujo
Considerando que u=u 1 cuando y= βD, (12) se reduce a:
C
*
1 d 1 1 β ⋅ D
= ln + B − +
κ α ⋅ D κ κ κ ⋅ d
* * 1 β ⋅ D
C = C0
+
κ d
Donde C* se determina como
C
*
0
1
2
( 14)
⎛ 8 ⎞ 1 d 1
= ⎜
⎟ = ln + B −
⎝ f0
⎠ κ α ⋅ D κ
( 15)
( 13)
C 0 * corresponde al coeficiente dimensional de Chezy,
cuando no se producen efectos de estelas, esto es, f o
corresponde al factor de fricción de Darcy-Weisbach con
rugosidad pequeñas.
19

Resistencia al Flujo
Se utilizaron cinco bancos de datos de laboratorio para
validar estas ecuaciones:
Aguirre-Pe y Fuentes (1990)
Olivero (1984)
Kamphuis (1974)
Bathurst et al (1984)
Picón (1991)
Utilizando las bases de datos de los trabajos
experimentales citados, se estimaron valores de α y β para
cada caso.
20

Resistencia al Flujo
La siguiente tabla resume los resultados obtenidos:
Los resultados muestran que la relación que contiene los
efectos de la textura y de la estela explican
satisfactoriamente los valores medidos, en especial los del
rango macrorugoso.
21

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
El equilibrio de las partículas en el fondo de un canal,
mirado en términos de una partícula individual, está
gobernado por el balance entre las fuerzas de arrastre y
sustentación por un lado, y gravitacional y de
entrabamiento por el otro.
Brahms (1753) afirmó que el inicio del movimiento estaba
asociado a una relación entre la velocidad elevada a 1/6 y
el peso de las partículas.
La primera descripción precisa del inicio del movimiento
fue presentada por Shields (1936), quién estableció un
esfuerzo de corte crítico por extrapolación a cero del
transporte de partículas sólidas, correlacionando el arrastre
de sedimentos con el esfuerzo de corte medio en el fondo
del lecho.
22

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
Shield Introdujo un esfuerzo de corte crítico adimensional
dependiente del número de Reynolds de las partículas, el
que puede compararse con el espesor de la capa límite
viscosa.
Históricamente, se han planteado dos puntos de vista para
definir el punto en que las partículas del fondo inician el
movimiento:
Tensión tangencial crítica (e.g. Shields)
Velocidad media crítica (e.g. Maza Alvarez)
Desde la física, ambos puntos de vista deben ser
compatibles y entonces, hay que preguntarse cuál es la
diferencia.
23

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
Ella (Yalin, c.1970) es que la noción de tensión tangencial
crítica se asocia a un fondo en que la tensión tangencial
está bien definida, para lo cual es necesario que las
partículas sean de un tamaño pequeño respecto la escala d
global del flujo; por el contrario, si esto no ocurre, las
partículas actúan como obstáculos aislados y entonces es
una cierta velocidad crítica el agente motriz.
Ambos puntos de vista están asociados a través de la
profundidad.
24

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
La relación establecida por Brahms es semejante a indicar
que la velocidad crítica (U c ) es aproximadamente la raíz
cuadrada del diámetro de la partícula (U c ≈D 1/2 ).
Breusers (1982) indica que algunas de las ecuaciones para
predecir el comienzo del movimiento de rocas está
asociado a:
P
*
c
∆
=
=
U c
g ⋅∆
⋅ D
ρ
ρ
solido
liquido
−1
Donde P c * sería una función del logaritmo de la rugosidad
relativa, o de una potencia de ésta.
25

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
En flujos macro-rugosos de carácter estocástico, se
generan múltiples dificultades en la definición de las
condiciones críticas que generan el inicio del movimiento.
Algunos problemas:
¿Cuál es la definición del comienzo del movimiento?
¿Cuál es la profundidad límite para determinar un flujo
hidrodinámicamente rugoso?
26

Estabilidad de las partículas
en flujo macro-rugoso
La primera pregunta podría resolverse si, por
extrapolación, se considera que el flujo de descarga de
sedimento tiende a cero, o a un valor muy pequeño
(Shield, 1936).
La segunda pregunta podría ser evitado si se considera
una variable adimensional de descarga crítica en función
sólo de la pendiente de fondo (Bathurst et al,. 1983).
Una aproximación diferente consiste en definir la
profundidad como la distancia entre la parte superior de
las partículas que componen el lecho y la superficie libre, y
asumir el modelo propuesto por Aguirre-Pe y Fuentes
(1990).
27

Inicio del Movimiento de las Partículas
Las condiciones críticas para el movimiento de las
partículas son establecidos al momento que las fuerzas que
actúan sobre éstas se igualan a las fuerzas del peso,
fricción y entrabamiento.
Considerando la existencia de una zona de estelas cercana
al lecho, con flujo a velocidad constante u 1 , las condiciones
críticas de movimiento para una partícula de diámetro D 0
sería:
δ
1
Donde tan
y δ
2
( θ )
∆ ⋅
δ
2
δ ⋅u1c
⋅ D
⋅ g ⋅ D ⋅Cosθ
⋅
1
4
0
3
0
es la pendiente de fondo yφ
2
( tanφ
− tanθ
)
son factores que dependen de la velocidad del flujo en la vecindad del lecho,
= 1
y de la forma de las partículas.
( 16)
el ángulo de fricción de las partículas.
28

Inicio del Movimiento de las Partículas
La velocidad se estima siguiendo la ley logarítmica de
Prandtl-Von Kármán, para y>β⋅D.
Tomando el modelo de la estela de Aguirre-Pe y Fuentes,
para y=β⋅D, se tiene que:
u
u
1c
* c
1 y
= ln +
κ α ⋅ D
( 17)
u *c corresponde a la velocidad de corte crítico, que puede
ser expresado con U c /C c * , donde Cc * es el valor
adimensional del coeficiente de Chezy crítico.
Sustituyendo (17) en (16), se obtiene:
P
*
c
=
g
⋅∆
⋅
D
0
U c
⋅Cosθ
⋅
B
( tanφ
− tanθ
)
1,
2
⎛ δ ⎞ 2
⎜
⎟
⎝ δ1
=
⎠
C
1 y
ln + B
κ α ⋅ D
*
c
( 18)
29

Inicio del Movimiento de las Partículas
Tomando en cuenta (13), se concluye que el número de
estabilidad crítica de las partículas (P c * ) corresponde a:
P
*
c
=
Donde
g
FF
⋅ ∆
es
⋅
D
un
0
factor
U
c
⋅ Cos θ
⋅
de
( tan φ − tan θ )
forma
de
partículas
( d D , D D , FF )
El inicio del movimiento de partículas en flujo
macrorugoso ha sido estudiado por Aguirre-Pe (1975)
Aguirre-Pe y Fuentes (1990) y Aguirre-Pe et al. (1986b y
1992), para un tiempo relativamente largo.
Así tambien, Neill (1967) Ashida and Bayazit (1973),
Olivero (1984) y Bathurst (1983 y 1984) experimentaron
rugosidades relativas altas (0,2

Inicio del Movimiento de las Partículas
Se presenta ahora el gráfico clásico de Shields (1936).
El esfuerzo de corte crítico adimensional (τ c * ) se presenta
versus el número de Reynolds crítico de las partículas (R ec )
y explicitando el diámetro específico adimensional
(Chatou,c. 1960).
* d⋅S
τc
= ;
∆⋅D
* * * 3
Rc
= τc
⋅D
;
* g⋅∆
D = D⋅3
2
ν
S: pendiente de energía ; ν: viscosidad cinemática
31

Inicio del Movimiento de las Partículas
El gráfico indica que para para pendientes altas y una baja
sumergencia relativa, el esfuerzo de corte crítico
adimensional carece de sentido.
Los datos experimentales muestran que τ c * crece con la
pendiente, y decrece d/D, como también fue observado
por Bathurst et al (1983, 1984).
Por el contrario, sustituyendo (19) en (18) se obtiene una
relación explicita para P c * . Vale recordar que los
coeficientes presentados en (18) no son constantes.
Tomando valores medios convenientes, se obtiene una
relación sencilla para P c * :
P c
*
=
0,
9
+
0,
5
⎛
⋅ ln ⎜
⎝
( 20)
Esta función se muestra para:
α=1,8; β=2,6; (δ 2 /δ 1 ) 1/2 =1,9
d
D
0
⎞ D
⎟ + 1,
3
⎠ d
0
32

Inicio del Movimiento de las Partículas

Inicio del Movimiento de las Partículas
Una versión más compacta surge de las relaciones
anteriores:
*
c
P =
1 *
Cc
5
( 21)
El número de estabilidad crítica de las partículas y el
esfuerzo de corte crítico adimensional, modificado por
“cosθ(tanφ-tanθ)” para altas pendientes, son relacionados
por la identidad:
*
c
* 1 2
c
P =τ
⋅ C
( 22)
Se deduce que el esfuerzo crítico de Shields debe ser
modficado por un factor (C 0 * /C * ) 2 para flujos macro
rugosos y pendientes altas.
*
c
34

Inicio del Movimiento de las Partículas
Mediciones de velocidades medias críticas para partículas
gruesasados han sido presentadas por Breusers (1982) y
Maynord (1988), obteniendo las siguientes expresiones:
P c
Lo que es igual:
*
=
m
⎛
⋅ log ⎜ m 2
⎝
m
* ⎛ d ⎞
Pc =
m 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ D ⎠
( 23)
Se ha considerado que cosθ(tanφ-tanθ)≈1.
1
Algunos valores de m 1 , m 2 , m 3 y m 4 :
Neill (1967): m 3 =1,58 y m 4 =0,10
Maza y García (1978): m 3 =1,50 y m 4 =1,50
4
d
D
⎞
⎟
⎠
( 24)
35

Inicio del Movimiento de las Partículas
Basados en trabajos efectuados por Schoklitsch (1962) y
Bettes (1984), Bathurst et al. (1987) encontraron que, con
datos en canaletas, la descarga crítica unitaria por unidad
de ancho adimensional es función de la pendiente:
q
El
q
*
c
*
c
=
valor
=
q
c
g ⋅ D
de
q
c
q
g ⋅ D
3
*
c
3
50
; donde
en
=
función
0,
15
q
c
⋅ S
es
la
de
−1,
12
descarga
la
pendiente
( 25)
crítica
fondo
( S )
Esta ecuación es aplicable a un lecho de sedimento
uniforme y pendientes entre 0,25% y 20%, con D 50
determinado por la dimensión media de las partículas.
de
por
unidad
es
de
:
ancho.
36

Inicio del Movimiento de las Partículas
Tomando como caudal crítico (q c ) como el producto entre
la velocidad crítica (U c ) y la profundidad del flujo (d), y
U c =C * (g∙d∙S) 1/2 , (25) puede ser reescrita en términos del
número de estabilidad crítica (P c * ), para ∆=1,65 y
cosθ(tanφ-tanθ)≈1:
P c
*
=
0,
481
⋅ C
* 0,
691
⎛
⋅ ⎜
⎝
d
D
50
⎞
⎟
⎠
0,
037
( 26)
37

Inicio del Movimiento de las Partículas
38

Inicio del Movimiento de las Partículas
Se deduce que, para escurrimientos turbulentos rugosos y
d/D >> 1 todos los criterios analizados dan resultados
cercanos;
Pero, para escurrimiento turbulento rugoso sobre
macrorugosidades, la situación es cualitativa y
cuantitativamente distinta;
Es plausible esperar que (20) sea una aproximación
razonable.

Movimiento Débil e Incipiente
Una vez que las condiciones críticas para el inicio del
movimiento de las partículas comienzan a ser
sobrepasadas, comienza a producirse, el lecho comienza a
cambiar dada la “pérdida de partículas”.
Este fenómeno se produce por el aumento de la velocidad
media del flujo, asociado a un cambio de pendiente o
profundidad del flujo, y que supere la velocidad crítica,
estableciendo el movimiento de partículas en el lechos.
Se pueden distinguir dos patrones de transporte de
sólidos:
El primer patrón está asociado al transporte de una
cantidad reducida de partículas, fenómeno que se
conoce como “Transporte Débil” o “Transporte
Incipiente”.
El segundo patrón está asociado al transporte masivo
de partículas, modificando significativamente la
composición del lecho, y que tiene forma de avalancha. 40

Movimiento Débil e Incipiente
Flujo Débil o Incipiente:
Se puede describir como transporte de sólidos a
baja tasa.
Ocurre para velocidades de flujo no mayores al
50% de la velocidad crítica.
El lecho se mantiene estable y el transporte de
partículas gruesas ocurre preferentemente rodando
o saltando.
41

Movimiento Débil e Incipiente
Brownlie (1981) efectuó una recopilación muy completa de
la información disponible sobre transporte de sólido; se
tomaron los valores cuya sumergencia d/D fuese menor a
10.
También existen registros posteriores, efectuados por
Smart y Jaeggi (1983),Bathurst et al.(1984) y Mora et al.
(1990), asociados al transporte de material grueso.
La información disponible para su análisis se presenta en la
siguiente tabla:
42

Movimiento Débil e Incipiente
Para el análisis de los resultados de las experiencias, se
han utilizado sólo las formulaciones que presenten bases
teóricas y que hayan sido calibradas con datos
experimentales.
Se define el parámetro adimensional para el gasto de
sólidos por unidad de ancho (qs ), conocido como el
parámetro de transporte de Einstein (1942), de la
siguiente forma:
Φ
*
=
D
qs g ⋅ ∆ ⋅ d
( 27
Entonces, la relación del transporte de sedimentos de
Meyer-Peter y Müller (1948) se puede escribir como:
Φ
*
=
8
( )
3
* * 2
λ ⋅τ
− τ ( 28)
c
Donde λ es un factor numérico que depende de las
condiciones del sedimento y del flujo.
)
43

Movimiento Débil e Incipiente
Ackers y White (1973).
* n1
− 2 * 1−
n1
* ⎪⎧
1 τ ⋅ P D50
⎪⎫
* n1
D35
*
Φ = K 1⎨
− 1 C
* 1 1
0 P
− n
⎬
⎪⎩
A C D ⎪⎭
D
Donde P * 0
35
50
es el número de estabilidad, K1 , A, m y n1 son
funciones empíricas del número Reynolds específico de las
partículas, también conocido como “diámetro
adimensional” (D * ).
D
*
=
D
35
⎧ ∆ ⋅
⎨
⎩ν
( 29)
El coeficiente de Chezy indicado en (29) está asociado un
fondo plano y una sumergencia alta:
*
⎡ a ⋅ d ⎤
C
0 = 32 ⋅ log ⎢ ⎥
⎣ D35
⎦
Donde a=10 para fondos planos y sin presencia de
transporte.
44
2
m
g
⎫
⎬
⎭
1
3
( 31)
( 30)

Movimiento Débil e Incipiente
Smart y Jaeggi (1983) :
Φ
τ
*
*
cj
=
= τ
⎡ D
4⎢
⎣ D
*
c
90
30
⎤
⎥
⎦
0,
2
⋅ S
cos(arctan
0,
6
⋅ C
*
⋅τ
[ ]
* *
τ − τ
( 33)
( 32)
Como se puede observar, la versión de Smart y Jaeggi
corresponde a una versión más completa a la propuesta
por Meyer-Peter y Müller.
Van Rijn (1987):
Φ
C
*
*
0
=
=
5,
75
* 0,
5
d
R
⎡ S
S ) ⎢1
−
⎣ tan φ
2
0,
053 ⎡ *
P
⎢
* 0,
3 * 2
D ⎢⎣
C 0 ⋅τ
c
⋅ log
*
⎡ 12 ⋅ R
⎢
⎣ 3 ⋅ D90
⎤
⎥
⎦
⎤
− 1⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎦
2,
1
( 35)
cj
( 34
)
45

Movimiento Débil e Incipiente
Batshurst et al (1987) consideraron una formulación con la
estructura de la relación sugerida por Schoklitsh (1962), la
que expresa un transporte de sólidos en función de la
pendiente de fondo y la descarga en exceso con respecto a
la descarga crítica. En términos adimensionales, la
formulación de Batshurst et al. Se puede escribir como:
3
2
* 2,
5 ⋅ S
Φ = [ q − qc]
( 36)
( ∆ + 1)
⋅ D50
g ⋅ ∆ ⋅ D50
Donde q corresponde al flujo de descarga por ancho
unitario.
Mora planteo una modelo de transporte conceptualmente
diferente, considerando la potencia del flujo en exceso por
sobre la potencia crítica. La formula calibrada es la
siguiente:
Φ
*
=
0,
0072
⋅
( )
3
* 2 * 2 2
P P ( 37 )
*
S ⋅ C −
c
46

Movimiento Débil e Incipiente
Con el fin de comparar las diferentes relaciones
presentadas con los datos, se efectúa un análisis
estadístico.
Este análisis fue desarrollado para obtener la fracción del
total de experimentos que cada fórmula interpreta con
errores más pequeños que un valor dado.
La desviación en porcentajes es definido como:
Donde N es el número total de registros.
La desviación media (Dev med ) puede ser representada por
una función f 1 , tomando el porcentaje de datos (P d ) y la
correspondiente ecuación (Eqn) que esté siendo analizada.
Por ejemplo:
Dev
100
=
N
Φ
Φ
Dev= f d
*
exp
− *
eqn
1
( 38)
( P , ) ( 40)
1 Eqn
47

Movimiento Débil e Incipiente
Los resultados del análisis de cada una de las formulas se
presentan en el siguiente gráfico:
De acuerdo a este gráfico, en orden decreciente con respecto al
mejor ajuste se tiene:
Smart y Jaeggi (32)
Bathurst et al (36)
Ackers and White (29)
Mora et al (37)
Van Rijn (34)
Meyer-Peter y Müller (28)
48

Movimiento Débil e Incipiente
La formula propuesta por Bathurst et al exibe una importante
característica: Resulta ser la más fácil de aplicar para flujos
macro-rugosos, dado que los parámetros de flujo de descarga es
más fácil de medir que la profundidad del flujo o el esfuerzo de
corte.
Por este motivo, Picón (1991) y Aguirr-Pe y Fuentes (1992)
calibraron la ecuación (36) para condiciones de flujo incipiente de
baja sumergencia (1,5

Movimiento Débil e Incipiente
El mejor ajuste encontrado para el movimiento incipiente de
partículas en enrocados sobre lechos planos, considerando la
ecuación de Bathurst et al., es la que se presenta a continuación:
Φ
B
T
*
r
=
=
88
⋅ B
1,
5
2,
5(
q − qc
) ⋅ S
( ∆ + 1)
D50
g ⋅ ∆ ⋅ D50
B T corresponde al parámetro presentado en (37) .
T
5
2
( 42
Esta fórmula exhibe un error medio aritmético del 36%, según
los datos de prueba, y un error absoluto del 65%. Ambos errores
son más pequeños en comparación a lo que entregan el uso de
las otras fórmulas.
)
50

Movimiento Débil e Incipiente
La siguiente figura muestra los valores experimentales de
transporte y los mejores ajustes obtenidos según (42).
Para los valores grandes de B T se observa que comienzan a
desarrollarse formas de antidunas en el lecho.
51

Algunos aportes (más o menos) recientes
Ugarte y Méndez (1994) proponen un modelo que no sólo
considera la sumergencia (d/D) para determinar el factor de
fricción (f). Indican que el factor de fricción depende también de
la pendiente de energía (J) y el número de Froude (F r ).
Basándose en la clasificación efectuada por Bathurst (1985)
basada en la rugosidad relativa, agregan una nueva categoría
correspondiente al “escurrimiento de transición”:
Escurrimiento de alta rugosidad: 0

Algunos aportes (más o menos) recientes
García Flores (1996) establece que existen dos estados de
resistencia al flujo para ríos de alta pendiente:
Flujos rápidos: con movimiento del material de fondo.
Flujos lentos: el material del fondo no se mueve y su
rugosidad es de gran escala (macrorugoso).
Se discuten fórmulas vigentes:
Limerinos (1970)
Bray (1979)
Thompson y Campbell (1979)
Griffiths (1981)
Aguirre Pe y Fuentes (1990)
Se ofrecen otras, basadas en experiencias nuevas.

Algunos aportes (más o menos) recientes
Canovaro et al.(2003) emplean el concepto de estela
(Aguirre Pe y Fuentes (1990)) y realizan una modelación
original para calcular la función de textura.
Llegan a resultados que confirman los de:
Rouse (1965)
Sly, Aguirre y Fuentes (1992)
En el sentido que existe una concentración de elementos
rugosos que produce un máximo de resistencia.

Algunos aportes (más o menos) recientes
Olivero et al. (2004) retoman el tema de la velocidad crítica
adimensional la P * c considerando el esfuerzo de corte en torno a
las partículas:
P
*
c
=
*
c
U
g ⋅∆
⋅ D
⎛
= ⎜
⎝
( γ −γ
) ⋅ D cosθ
( tagφ
− tagθ
)
Se emplearon los valores de P * c
⎛
⎜
⎝
para las bases de datos
disponibles como función de la rugosidad relativa. La relación
final es:
( γ −γ ) ⋅ D cosθ(
tagφ
−tagθ
)
s
τ
El resultado se muestra en la Figura siguiente.
s
1
2
D
⎞
−
0 d
⎟
⎠
τ
0
⎞
⎟
⎠
D
= 0,
42 + 0,
30⋅e
d
1
2
( 44)
( 45)

Algunos aportes (más o menos) recientes

Algunos aportes (más o menos) recientes
Martins (2008) analiza experimentos propios y ajenos con el fin
de contrastar diferentes modelos de ajuste de la resistencia del
flujo.
Estudia la función de textura, aportando datos originales.
Ajusta los datos experimentales a dos modelos de resistencia:
(1) Fórmula de Manning
(2) Relación logarítmica
57

Algunos aportes (más o menos) recientes
Concluye que el modelo logarítmico representa de mejor forma la
resistencia del flujo, si se compara con la fórmula de Manning.
58

Conclusiones
Los estudios realizados indican que para flujos rugosos en
canales de pendientes altas (S>≈1% y d/D

Reconocimientos
El tercer autor desea expresar sus agradecimientos hacia
Juan Rayo, Gerente Técnico de JRI
Andrea González, PhD.
Fernando Calle, Ing. Hid.
Jorge Serey, Ing. Hid.
Sin la ayuda Inteli gente de ellos,
Dili
Este trabajo no podría haberse presentado hoy
Ramón Fuentes

Referencias
61

Referencias
García, M. (1996). “Resistencia al flujo en ríos de montaña”,
Proc., 17mo Congreso Latinoamericano de Hidráulica
de la Asociación Internacional de Investigaciones
Hidráulicas, Guayaquil, Ecuador, 4, 105-116.
Martins, J.R. (2008). “Perdas de carga em canais com
macro-rugosidades de fundo”, Proc., 23vo Congreso
Latinoamericano de Hidráulica de la Asociación
Internacional de Investigaciones Hidráulicas,
Cartagena de Indias, Colombia.
62

Referencias
Olivero, M.L., Aguirre-Pe, J. y Moncada, A. (2004).
“Iniciación del movimiento de sedimentos en cauces de
alta pendiente”, Proc., 21vo Congreso Latinoamericano
de Hidráulica de la Asociación Internacional de
Investigaciones Hidráulicas, Sao Pedro, Estado de Sao
Paulo, Brasil.
63

Referencias
Ugarte A. y Méndez R. (1994). “Resistencia al flujo en ríos
de montaña”, Proc., 16vo Congreso Latinoamericano
de Hidráulica de la Asociación Internacional de
Investigaciones Hidráulicas, Santiago, Chile, 2, 503-514.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1986):”Una
Fórmula para la Fricción en Escurrimientos
Macrorugosos a Superficie Libre”, XII Congreso
Latinoamericano de la AIIH. Sao Paulo, Brasil, Vol.1,
pp.86-95.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R.
(1988):”Influencia de la Rugosidad Relativa y la
Densidad relativa de las Partículas sobre la Velocidad
Crítica de Sedimentos Diseminados”, XIII Congreso
Latinoamericano de la AIIH. La Habana, Cuba, Vol.1,
55-66.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1990):”Fricción
y Movimiento Incipiente en Rios de Montaña”, XIV
Congreso Latinoamericano de la AIIH. Montevideo,
Uruguay.
Aguirre Pe, J.y Fuentes, R. (1990):”Resistance to Flow in
Steep Rough Streams”, Journal of Hydraulic
Engineering, ASCE, Vol. 116. N° 11.
Aguirre Pe, J., Olivero, M.L. y Fuentes, R. (1992):”Flow
Resistance of Riprap”, publicado en el JHE, ASCE, Vol.
118, N° 6, pp. 952-954.
Referencias Adicionales
Aguirre Pe, J. y Fuentes, R. (1995): River, Coastal and
Shore Line Protection,“Stability and Weak Motion of
Riprap at a Channel Bed”, Chap. 5, Ed. John Wiley.
Rouse, H.(1965): “Critical analysis of open channel flow”,
Journal of the Hydraulic Division, ASCE, 91, HY4,
Proc.paper 4387, pp.1-25.
Sayre, W.W. y Albertson, M.L.(1961): “Roughness spacing
in rigid open channels”, Journal of the Hydraulic
Division, ASCE, HY3, pp.343-427, Mayo.
Schreider, M.I.(1988): “Estimación de la Resistencia en
Escurrimiento Macrorugosos”, Tesis de Magister en
Ciencias, universida de los Andes, Mérida, Venezuela.
Sly, E., Aguirre Pe, J. y Fuentes, R. (1992): “Sobre la
determinación de la Función de Textura en
Escurrimiento con Rugosidad Artificial”, XV Congreso
Latinoamericano de Hidráulica, Cartagena de Indias,
Colombia, Septiembre, Vol. 12, pp.143-153.
64