Ecuación de Laplace. Introducción. Las ecuaciones ... - Tecnun

h′
′ h′
g′
′
r ⋅ + r ⋅ = − = λ
h h g
2
Como
T(r,θ) = T(r,θ + 2·π),
entonces
g(0) = g(2·π)
y también se verificará que
g'(0) = g'(2·π)
Por tanto
g" + λ·g = 0
y con las condiciones expuestas se ha de cumplir que
2
λ = n con n ∈ N + 0
por consiguiente
g(θ) = A cos(n·θ) + B sin(n·θ)
Por otro lado,
2
2
r ⋅ h′
′ + r ⋅ h′
− n ⋅ h = 0
que es una ecuación de Euler. Convenientemente integrada
n −n
h(
r)
= C ⋅ r + D ⋅ r
como en r→ 0 debe estar acotada, entonces D = 0. Así,
n
h( r)
= C ⋅ r
Luego
n
n
T ( r,
θ) = ∑ { An
⋅ r ⋅ cos(
n ⋅ θ)
+ Bn
⋅ r ⋅ sin(
n ⋅ θ)
} + A 0
n 1
∞
=
imponiendo la condición de Neumann
∑ { ( ) ( ) }
∞
∂T
n −1
= n ⋅r
⋅ An
⋅ cos n ⋅ θ + Bn
⋅ sinn
⋅ θ
∂r
n=
1
cuando r = 1
∑ { ( ) ( ) }
∞
f ( θ)
= n An
⋅ cos n ⋅ θ + Bn
⋅ sinn
⋅ θ
n = 1
que es el desarrollo en serie de Fourier de la función f(θ). Sin embargo ha de
observarse que esta función ha de ser tal que su desarrollo en serie de Fourier no
debe tener término de la forma
A0 2
o lo que es lo mismo ha de verificar que
∫ π
f
( θ) ⋅ dθ
− π