CASCARAS paraboloide hiperbólico 4.4

CASCARAS paraboloide hiperbólico
CÁSCARAS – paraboloide hiperbólico 4.4 1
4.4
Las cáscaras con forma de paraboloide hiperbólico, debido a su doble curvatura total negativa,
tienen gran capacidad resistente con espesores pequeños.
La tecnología del hormigón armado es utilizada en estas estructuras debido a la posibilidad de ser
generadas mediante rectas, cuestión que facilita la ejecución de los encofrados.
Sus posibilidades formales son muy extensas dado la múltiple combinación de sectores.
GUIA DE PREDIMENSIONADO
A modo de ejemplo se plantea el problema arquitectónico, de cubrir un mercado de 1350 m², de
superficie debiendo respetarse luces mínimas de 10 metros para posibilitar la instalación de los
stands.
1.DISEÑO DE LA CUBIERTA
Se resuelve la cubierta con módulos compuestos con sectores de cáscara con forma de
paraboloide hiperbólico, los módulos son repetitivos de tal manera de amortizar el encofrado en su
reutilización.
El paraboloide hiperbólico básico, del cual tomamos los sectores, es equilátero y de eje vertical.
PLANTA
VISTA
2.ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y PREDIMENSIONADO DE LA CÁSCARA
Cada módulo estructural está realizado en hormigón armado, considerando una distribución
uniforme y simétrica de la carga, a los efectos de su verificación.
Consideramos los esfuerzos principales en las parábolas y luego verificamos la resistencia del
hormigón en esas secciones y la armadura necesaria.
2.1 ANÁLISIS DE CARGAS
Se considera un espesor a verificar de 6 cm de hormigón armado, una aislación térmica e
hidrófuga y la sobrecarga accidental, por metro cuadrado de cubierta.
Peso Propio = 2400 Kg/m³ x 0,06 m (e) = 144 Kg/ m²
Aislaciones e instalaciones vinculadas 20 Kg /m²
Sobrecarga accidental 60 Kg/ m²
Carga Total 224 Kg/m²
VIENTO
Se aplica la norma de viento CIRSOC 102- 2005, considerando su ubicación y las características
similares a lo visto en el caso de cáscaras cilíndricas cortas, tomamos una hipótesis de incremento
de carga ≈ 20 Kg/m², aunque dado su poca pendiente, el viento suele trabajar a succión.

2.2 ESFUERZOS PRINCIPALES
Predimensionamos con una carga de peso propio y viento de distribución uniforme y simétrica de
250 Kg/m². Analizamos un módulo repetitivo:
PLANTA
VISTA
Cada módulo esta compuesto por cuatro sectores de PH, que podemos ubicar en el PH básico a
los efectos de entender su generación y modo de trabajo:
paraboloide hiperbólico básico
CÁSCARAS – paraboloide hiperbólico 4.4 2
VISTA
combinación de sectores
Las hipótesis de predimensionado prevén una relación f / L que cumpla: 7% < f / L < 15%
Debemos entonces ubicar la luz y flecha de las parábolas generatrices de la forma que estamos
diseñando, para ello nos ubicamos en el paraboloide hiperbólico básico, dado que es un PH
equilátero, las rectas y parábolas se encuentran a 45º:
parábola generatriz
PH básico
VISTA
PLANTA
Luz y flecha de la parábola generatriz:
Luz = luz de cálculo = 2 x 5m x √2 = 14,14 m
Flecha = flecha de cálculo → 2,25 = f__ → f = 1,50 m ( por triángulos proporcionales )
7,50 5,00
Se cumple: f / L ≈ 10%

A los efectos de analizar la
cáscara dividimos la
superficie en parábolas de
1m de ancho, encontrando
parábolas comprimidas
(curvatura hacia abajo) y
parábolas traccionadas
(curvatura hacia arriba).
Consideramos que la carga
q se reparte por partes
iguales entre ambas
familias de parábolas ya
que éstas son de igual
flecha y luz (PH equilátero).
Analizamos las solicitaciones en las parábolas:
R
H
V
q/2 = 125 Kg
parábolas traccionadas
q/2 = 125 Kg
parábolas comprimidas
2.3 VERIFICACIÓN DE LA CÁSCARA
PARÁBOLAS COMPRIMIDAS
/m
/m
V
H
R
CÁSCARAS – paraboloide hiperbólico 4.4 3
Para la relación f / L ≈ 10%, consideramos la
reacción en el apoyo R ≈ H, por tanto dado
que H es constante a lo largo de la parábola
consideramos un valor constante:
H = q L²
8 f
H = 125Kg/m x 14,14m² = 2083 Kg
8 x 1,50m
El esfuerzo H corresponde a una franja de
1m de ancho
Las parábolas comprimidas se encuentran sometidas a un esfuerzo H = -2083 Kg
La tensión de trabajo habiendo considerado franjas de 1m es:

parábola traccionada
parábola comprimida
CÁSCARAS – paraboloide hiperbólico 4.4 4
=__-H___ verificando que → ≤ adm
e x 100
= -2083 Kg = 3,47 Kg / cm²
6cmx100cm
Si consideramos a los efectos de este predimensionado una tensión admisible para un hormigón
homogeneizado de: = 50 Kg / cm² , consideramos que el espesor de 6 cm, verifica.
El hierro necesario para materializar esta sección lo predimensionamos con una cuantía mínima de
= 0,5% ,nos da una sección de hierro por metro de:
Fe = 6 x 100 x 0,5% = 3 cm²
Si consideramos una armadura 1 Φ 6 c/ 7,5 cm tendremos una sección de acero de:
Fe = 3,64 cm²
PARÁBOLAS TRACCIONADAS
Las parábolas traccionadas se encuentran sometidas a un esfuerzo H = 2083 Kg
La sección de hierro necesaria para tomar la tracción en estas parábolas es:
parábola traccionada
parábola comprimida
Fe = __H__ (cm²/ m de ancho)
e
Fe = __2083 Kg_ = 1,74 cm²/ m de ancho
1200 Kg/cm²
Dado que este valor es menor que lo requerido por cuantía colocamos la misma armadura que en
las parábolas comprimidas.
ESFUERZOS TANGENCIALES
En el sentido de las generatrices rectas, encontramos los esfuerzos tangenciales máximos:
H
La fuerza que actúa en el sentido de las rectas es H√2 / √2m por lo tanto:
δ = __H__ verificando que → δ ≤ δ adm
ex100
H
H√2
δ = _2083 Kg_ = 3,47 Kg / cm²
6cmx100cm
H√2
H
H
1m 1m
√2m
1m 1m
Si consideramos a los efectos de este predimensionado una tensión tangencial admisible para un
hormigón homogeneizado de: δ = 15 Kg / cm² , consideramos que el espesor de 6 cm, verifica.

3. APOYOS
Si analizamos los bordes de los sectores de PH, vemos que a éstos llegan las parábolas
comprimidas y traccionadas siendo cortadas en el sentido de las rectas, quedando por lo tanto
esfuerzos tangenciales libres que deben ser tomados por vigas de borde.
Esta fuerza libre es H√2 / √2m por lo tanto igual a H / m.. Los bordes externos son tomados por las
vigas 1 y 2, recibiendo cada viga una carga total a Hxlongitud del borde. Los bordes internos son
tomados por las vigas 3 y 4, recibiendo cada viga una carga total a 2Hxlongitud del borde.
V1
V2
V4
V3
V2
V3
V1 V1
V4
V2 V2
V1
CÁSCARAS – paraboloide hiperbólico 4.4 5
V2 V2
Las vigas de borde deben ser diseñadas cuidadosamente a los efectos de evitar las perturbaciones
de borde en la cáscara.
VIGAS DE BORDE EXTERNO
En cada borde recto existe una acción simétrica ←V1 V1→ y del mismo modo ←V2 V2→ de tal
forma que sus valores se anulan al vincularlos mediante tensores incluidos en el borde (engrosado
a estos efectos de la cáscara), la cáscara pasa entonces gradualmente a tomar un espesor de
10cm en su borde y se coloca una armadura cuyo valor encontramos del siguiente modo:
V1
Fuerza total V1 = H x long V1 = 2083 Kg/m x 5m = 10415 Kg
Armadura de tracción = 10415Kg = 8,68 cm²
1200Kg/cm²
Colocamos en V1 una armadura de 8 Φ 12 , siendo este el valor máximo de armadura en el centro
pudiendo disminuir hacia los extremos a medida que disminuye el esfuerzo.
V2
Fuerza total V2 = H x long V2 = 2083Kg/m x 7,5 m= 15622,5 Kg
Armadura de tracción = 15622,5 Kg = 13,02 cm²
1200Kg/cm²
Colocamos en V2 una armadura de 13 Φ 12 , siendo este el valor máximo de armadura en el
centro pudiendo disminuir hacia los extremos a medida que disminuye el esfuerzo.
VIGAS DE BORDE INTERNO
H√2
En el borde interno (inclinado) las vigas V3 y V4 reciben una fuerza 2H cada metro a medida que
se aproximan a la columna central, estando entonces comprimidas. Resolvemos estas vigas
entonces como elementos comprimidos, a los efectos de no producir cambios bruscos en la rigidez
de la estructura, la cáscara pasa gradualmente a tomar el espesor de la viga. Por otra parte esta
solución de cáscaras con una única columna debe verificar el punzonado, siendo conveniente el
engrosamiento en la proximidad de la columna central.
V4
H
H
V4

V3
Diseñamos un elemento estructural de sección variable que tome la fuerza mínima cerca del borde
externo (2H), variando hasta tomar la máxima en la proximidad de la columna central
(2Hxlong.viga).
Longitud de la viga: √ 5² + 2,25² = 5,48 m
Fuerza total V3 = 2H x long V3 = 2 x 2083 Kg/m x 5,48 m= 22829,7 Kg
La sección mínima de compresión necesaria debe ser:
Fb = 2 x 2083Kg = 69,43 cm² → adoptamos 10 x 15 cm
60 Kg/cm²
La sección máxima de compresión necesaria debería ser:
Fb = 22829,7 Kg = 380,49 cm² → adoptamos 18 x 40 cm
60 Kg/cm²
Por lo tanto engrosamos la cáscara hasta tomar 10 cm de espesor en el borde exterior y 18 cm
cerca de la columna. La zona de compresión de la V3 tiene un ancho variable de 15 a 40 cm en el
mismo sentido.
V4
Diseñamos la V4 de manera similar a la V3.
Longitud de la viga: √ 7,5² + 2,25² = 7,83 m
Fuerza total V4 = 2H x long V4 = 2 x 2083 Kg/m x 7,83m = 32619,8 Kg
La sección mínima de compresión necesaria debe ser:
Fb = 2 x 2083 Kg = 69,43 cm² → adoptamos 10 x 15 cm
60 Kg/cm²
La sección máxima de compresión necesaria debería ser:
Fb = 32619,8 Kg= 543,66 cm² → adoptamos 18 x 40 cm
60 Kg/cm²
Por lo tanto engrosamos la cáscara hasta tomar 10 cm de espesor en el borde exterior y 18 cm
cerca de la columna. La zona de compresión de la V4 tiene un ancho variable de 15 a 40 cm en el
mismo sentido.
La cuantía en función de la sección máxima de hormigón nos da:
Fe = 1% de 543,66 cm² = 5,44 cm² → 6 Φ 12
COLUMNA
V1
V1
V2
V2
V4
La columna central recibe las vigas V3 y V4,
cuyas componentes horizontales se anulan
por ser simétricas opuestas de a pares,
quedando la componente vertical que es
tomada por la columna.
Vv
Vh
V
V3
V3
V4
V2
V2
V3v= 9366 Kg
V4v= 9368 Kg
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V1
V1
V3h= 20814 Kg
V3= 22829 Kg
V4h= 31225 Kg
V4= 32619 Kg
Anuladas las componentes V3h y V4h, la columna recibe las componentes verticales:
Carga sobre la columna: 2xV3v + 2xV4v = 18736 + 18732 = 37468 Kg

Podemos predimensionar las columnas con la siguiente hipótesis:
Hormigón H13, hierro AB42, coeficiente de seguridad 2,5, cuantía 1%, para lo cual obtenemos la
sección de hormigón y hierro con las ecuaciones:
Fb = N_ N (Kg) Fb (cm²)
60
Fe = Fb Fe (cm²) Fb (cm²)
100
N = 37468 Kg
Fb = 37468 = 624,47 cm²
60
Fe = 624,47 = 6,24 cm²
100
La columna debe incluir además un desagüe pluvial por la forma de la cubierta, de
aproximadamente 200 cm², por lo tanto la columna ocupará una superficie de aproximadamente
850 cm².
La columna de 30x30 cm con 8Φ12 , cumple esta condición.
Ajustando el dimensionado esta columna deberá ser verificada al punzonado y el pandeo con su
condición de empotrada.
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