Paraboloide hiperbólico

TRACCIÓN
paraboloide hiperbólico
El Paraboloide Hiperbólico es una superficie de curvatura total negativa, apta para aplicar tensión
previa, sus dos familias de cables de curvatura inversa y siguiendo el sentido de las parábolas
generatrices, se comportan de igual manera a lo analizado en el caso de la cercha jawerth, no
requiriendo pendolones ya que ambas familias de cables se vinculan entre sí en forma directa.
Las telas estructurales son una buena resolución para esta forma, pudiendo tener cables como
elementos portantes principales, secundarios o soportar la tela la totalidad de los esfuerzos.
Estas superficies se limitan con apoyos rectos con la rigidez necesaria para absorber la solicitación
de los tensores que llegan al apoyo, o con bordes flexibles materializados mediante tensores que
toman por forma los esfuerzos de borde.
GUIA DE PREDIMENSIONADO
A modo de ejemplo se diseña la cubierta de un stand de exposiciones, de aproximadamente
400 m2 de superficie, siendo su ubicación una zona suburbana de Buenos Aires.
1.DISEÑO DE LA CUBIERTA
Se diseña una cubierta liviana, siendo su forma la de un Paraboloide Hiperbólico trabajando a la
tracción. La cubierta se materializa con cables cada metro en el sentido de las curvaturas
principales y la cubierta es una tela estructural, pudiendo ésta reemplazar total o parcialmente a los
cables conforme a diseño. La parábola generatriz es igual a la curva directriz.
PARÁBOLA GENERATRIZ
L = 30 m f = 3 m
PARÁBOLA DIRECTRIZ
VISTA B
PLANTA
2.ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y PREDIMENSIONADO
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 1
La luz de la parábola es L = 30m
Diseñamos la curva con una flecha del 10%
por lo tanto f = 3m
La distancia entre cables es a = 1m ( área de
influencia ).
Los cables se cortan entre sí a 90º y
establecen una relación de 45º con los
bordes rectos.
VISTA A
Se considera que siendo iguales parábolas directriz y generatriz, la carga es tomada en partes
iguales por cada una de ellas ( q cable = q total / 2 ).
Se considera que para una relación flecha/luz del 10%, la catenaria se comporta en forma similar a
la parábola, por lo tanto resolvemos los esfuerzos como si la forma de equilibrio fuera esta última:
R = √ ( H² + V² )
Siendo
H = q/2 x L² y V = q / 2 x L
8f 2

2.1 ANÁLISIS DE CARGAS
PESO PROPIO
Siendo la membrana muy liviana y siendo la cubierta no transitable consideramos una carga del
peso propio:
Pp = 20 Kg / m²
Cada cable soporta:
Qpp = Pp x a = 20 x1 = 20 Kg / m
VIENTO
Se aplica la norma de viento CIRSOC 102 / 2005, considerando su ubicación.
qh= 0,613 . V². Kd . Kzt . I . Kz
qh= 0,613 . (45)². 0,85. 1. 1. 0,94 =991 N/m²
qh: Presión dinámica (N/m²) evaluada a la altura h (altura media de la cubierta)
0,613 : Coef de transformación
V²: Cuadrado de la velocidad Básica (Para Buenos Aires V= 45 m/s)
Kd: Factor de direccionalidad = 0,85
Kzt : Factor topográfico = 1
I : Factor de Importancia =1
Kz : Coef. de exposición para presión dinámica (función de la altura y la categoría de exposición
de la construcción”C”)= 0,94
p= qh G Cp – qh (GCpi)
p= 991 .0.85. (-0,5) – 991. (-0,18) = -421 -178 = -599 N/m² =- 60Kg/m²
p: Presión de viento de diseño sobre la cubierta
G: Factor de efecto ráfaga = 0,85
Cp: Coef de presión externa = -0,5
Siendo este valor hipotético ya que no se encuentra tabulada esta forma, debiendo ser verificado
en el cálculo definitivo.
GCpi: Coef de presión interna = -0,18
Adoptamos a los efectos del predimensionado una carga del viento:
W = -60 Kg / m²
Cada cable soporta:
Qw = W x a = -60 x 1 = -60 Kg / m
2.2 PREDIMENSIONADO DE LA CUBIERTA
El análisis del Paraboloide Hiperbólico es similar al de la Cercha Jawerth, actuando las parábolas
directrices y generatrices como los cables superiores es inferiores de la Cercha, no necesitando en
este caso los pendolones por estar ambas familias de cables vinculadas directamente.
Usamos entonces el mismo método de predimensionado, siguiendo los siguientes pasos:
REACCIONES DEBIDAS A LAS CARGAS
PESO PROPIO
Hpp = Qpp/2 x L²
8f
Vpp = Qpp / 2 x L
2
Rpp = √ ( Hpp² + Vpp² )
VIENTO
Hw = Qw/2 x L²
8f
Vw = Qw / 2 x L
2
Rw = √ ( Hw² + Vw²
ESTADOS DE CARGA INICIAL con Tp = 0
ESTADO 1 ESTADO 2
Ra = Tp(0) + Rpp Ra = Tp(0) + Rpp - Rw
Rb = Tp(0) - Rpp Rb = Tp(0) - Rpp + Rw
VALOR DE LA TENSIÓN PREVIA
La Tensión Previa por lo menos debe ser igual a la mayor fuerza que tiende a comprimir los cables,
aplicamos un coeficiente de seguridad β1 = 1,5 a 2, y adoptamos la Tp definitiva.
ESTADOS DEFINITIVOS DE CARGA
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 2

ESTADO 1 ESTADO 2
Ra = Tp + Rpp Ra = Tp + Rpp - Rw
Rb = Tp - Rpp Rb = Tp - Rpp + Rw
ESFUERZOS MÁXIMOS
Con una planilla de cálculo auxiliar del predimensionado volcamos los datos conforme a las
ecuaciones precedentes y obtenemos los máximos esfuerzos en los cables.
1
DATOS
DISEÑO
2 CARGAS
3 ACCIONES
4 REACCIONES
5
6
7
ESTADO 0 = TP
tensión previa = 0
ESTADO 1 = TP+Pp
tensión previa = 0
ESTADO 2 = TP+Pp-V
tensión previa = 0
Luz L m 30
Flecha f m 3
λ relación flecha/luz f/l 0,1
Area influencia a m 1
Peso Propio PP Kg/m2 20
Viento V Kg/m2 60
Peso Propio qpp Kg/m 20
Viento qv Kg/m 60
Reacción Pp Rpp Kg 403,89
Pp Componente horizontal Rhpp Kg 375
Pp Componente vertical Rvpp Kg 150
Reacción Viento Rv Kg 1211,66
V Componente horizontal Rhv Kg 1125
V Componente vertical Rvv Kg 450
Cable Superior Ra=Tp Kg 0
Cable Inferior Rb=Tp Kg 0
Cable Superior Ra=Tp+Rpp Kg 403,89
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp Kg -403,89
Cable Superior Ra=Tp+Rpp-Rv Kg -807,77
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp+Rv Kg 807,77
TP mínima Tpo Kg 807,77
TP mínima x coeficiente Tp=Tpo x 2 Kg 1615,55
8 TENSION PREVIA TP adoptada Kg 1650,00
ESTADO 0 = TP
Cable Superior Ra=Tp Kg 1650,00
9 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp Kg 1650,00
ESTADO 1 = TP+Pp
Cable Superior Ra=Tp+Rpp Kg 2053,89
10 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp Kg 1246,11
ESTADO 2 = TP+Pp-V
Cable Superior Ra=Tp+Rpp-Rv Kg 842,23
11 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp+Rv Kg 2457,77
Observamos que se ha aplicado una tensión previa de 1650 Kg en cada cable, dando por resultado
los siguientes valores máximos para los cables portantes:
Ra = 2053,89 Kg en el Estado 1
Rb = 2457,77 Kg en el Estado 2
PREDIMENSIONADO DE LOS CABLES PORTANTES
Podemos observar que los cables más solicitados son los de la familia de cables inferiores en el
Estado 2. Con ese valor máximo incrementado por un coeficiente de seguridad β2 = 2 ingresamos
a la tabla de cables, obteniendo el cable que cumple esta condición:
Carga máxima de rotura = 2457,77 Kg x 2 = 4915,54 Kg
De la tabla de cables obtenemos un cable 6 x 19 con alma textil de 9,5 mm de diámetro con una
resistencia de 180 Kg / mm2, y una carga de rotura de 5504 Kg. Con este cable materializamos las
parábolas generatrices y directrices, generando un malla de cables con forma de Paraboloide
Hiperbólico, a la cual vinculamos la membrana membrana de cubierta.
2.3 APOYOS
Los cables de la cubierta llegan al borde recto en un ángulo de 45º, generando para cada estado
de cargas una resultante de la combinación de la acción de cada familia de cables, simplificamos
en este análisis la dirección de las fuerzas considerándolas actuando en un plano:
ESTADO 2
Rb=2457
Rc=2597
Ra=842
ESTADO 1
Rb=1246
Ra=2053
Rc=2401
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 3

PREDIMENSIONADO DE LA VIGA DE BORDE
Si diseñamos este borde mediante una viga de reticulado con columnas de apoyo cada 3 metros y
consideramos simplificando, el esfuerzo máximo en estado 2, actuando perpendicular a la viga,
predimensionamos con los siguientes esfuerzos:
HIPÓTESIS DE CARGA viga de borde
Rc Rc Rc Rc
Rc=2600
Esta alternativa elimina el momento en el apoyo, generando solamente esfuerzos de tracción y
compresión, pero los tensores están ocupando un sector amplio del borde (5m)
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 4
A
Rc
Rc
RA RB
Mto=2600 Kgm
diagrama de MOMENTOS
La viga tiene un momento máximo de 2600 Kgm, y las columnas toman una carga igual a 3 Rc =
7800 Kg.
Diseñamos una viga con tubos estructurales, prefijando una altura entre ejes de 0,30 m y
verificamos:
C = T = 2600 Kgm = 8666 Kg
0,30m
F nec = 8666 Kg = 7,22 cm²
1200 Kg/cm²
Seleccionamos un tubo de ø =8,25 cm, cumpliendo sobradamente los tubos comprimidos ya que
en la capa superior colocamos doble tubo.
PREDIMENSIONADO DE LOS APOYOS
Estudiamos comparativamente 4 diseños de apoyo:
Cv
APOYO alternativa 1
Ch
Rc
Rc=7800
Ch=7240
Cv=2900
Este diseño una carga de compresión sobre la columna de 2900 Kg y un momento en el apoyo de
la columna más alta de 7240 Kg x 9m = 65160 Kgm, lo que daría una importante columna y
requeriría además de un empotramiento en el apoyo.
T
C
APOYO alternativa 2
Rc
T=14910
Rc=7800
C=15930
B

APOYO alternativa 3
T2
T1
P
C
Rc
T2=13040
P=7240
Rc=7800
T1=14910
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 5
C=15930
Esta alternativa disminuye el área de apoyo a 2,5 m pero vuelve a generar un momento en la base
de 7240 Kg x 4,5m = 32580 Kgm, que si bien es menor que el de la alternativa 1,sigue siendo
importante.
APOYO alternativa 4
T2
T1
P
C
Rc
T2=25550
T1=14910
Rc=7800
P=14460
C=15930
Esta alternativa tiene la ventaja de estar sometida a esfuerzos de tracción y compresión y ocupar
una zona menor de apoyo. Predimensionamos este apoyo:
El tensor tiene un esfuerzo máximo T = 25550 Kg aplicando el coeficiente de seguridad
obtenemos T rot = 25550 x 2 = 51100 Kg
De la tabla de cables obtenemos un cable 6 x 19 con alma textil de 30 mm de diámetro con una
resistencia de 180 Kg / mm2, y una carga de rotura de 54876 Kg.
El puntal tiene una carga de compresión P = 14460 Kg
SECCION NECESARIA PERFIL ADOPTADO PANDEO ( verificación )
N Kg Fe cm² Φ cm Fe cm² i cm h cm Sk cm λ ω σk/cm2
14460 10,33 15,24 44,7 5,05 500 500 99,01 2,09 676,09
Adoptamos un tubo de 15,24 cm de diámetro
La columna tiene una carga similar pero mayor altura por lo cual adoptamos un tubo de 17,1 cm
de diámetro y verificamos:
SECCION NECESARIA PERFIL ADOPTADO PANDEO ( verificación )
N Kg Fe cm² Φ cm Fe cm² i cm h cm Sk cm λ ω σk/cm2
15930 11,38 17,1 50,6 5,7 900 900 157,89 4,42 1391,51

3. ESTUDIO DE VARIANTE EN EL DISEÑO DE LA CUBIERTA
Con el fin de hacer más liviana la estructura y a los efectos de poder trasladarla con mayor facilidad
se estudia un diseño alternativo, realizando la cubierta con una membrana estructural y tomando
sus reacciones de borde con apoyos flexibles ( cables colectores ) disminuyendo la cantidad de
apoyos.
VISTA B
C
T2
PLANTA
4. ANÁLISIS ESTRUCTURAL Y PREDIMENSIONADO DE LA VARIANTE ESTRUCTURAL
4.1 PREDIMENSIONADO CUBIERTA DE TELA
El análisis estructural de la cubierta sigue el mismo procedimiento anterior pero consideramos las
parábola como franjas de 5 cm de tela contiguas. El área de influencia es entonces:
a = 0,05 m
Confeccionamos la planilla auxiliar:
1
DATOS
DISEÑO
2 CARGAS
3 ACCIONES
VISTA A
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 6
T1
C
Luz L m 30
Flecha f m 3
λ relación flecha/luz f/l 0,1
Area influencia a m 0,05
Peso Propio PP Kg/m2 20
Viento V Kg/m2 60
Peso Propio qpp Kg/m 1
Viento qv Kg/m 3
Reacción Pp Rpp Kg 20,19
Pp Componente horizontal Rhpp Kg 18,75
Pp Componente vertical Rvpp Kg 7,5
Reacción Viento Rv Kg 60,58
V Componente horizontal Rhv Kg 56,25
4 REACCIONES
V Componente vertical Rvv Kg 22,5
ESTADO 0 = TP
Cable Superior Ra=Tp Kg 0
5 tensión previa = 0
Cable Inferior Rb=Tp Kg 0
ESTADO 1 = TP+Pp
Cable Superior Ra=Tp+Rpp Kg 20,19
6 tensión previa = 0
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp Kg -20,19
ESTADO 2 = TP+Pp-V
Cable Superior Ra=Tp+Rpp-Rv Kg -40,39
7 tensión previa = 0
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp+Rv Kg 40,39
TP mínima Tpo Kg 40,39
TP mínima x coeficiente Tp=Tpo x 2 Kg 80,78
8 TENSION PREVIA TP adoptada Kg 80,00
ESTADO 0 = TP
Cable Superior Ra=Tp Kg 80,00
9 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp Kg 80,00
ESTADO 1 = TP+Pp
Cable Superior Ra=Tp+Rpp Kg 100,19
10 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp Kg 59,81
ESTADO 2 = TP+Pp-V
Cable Superior Ra=Tp+Rpp-Rv Kg 39,61
11 estado definitivo
Cable Inferior Rb=Tp-Rpp+Rv Kg 120,39
Observamos esfuerzos máximos para la tela de 120,39 Kg c/ 50 mm
A los efectos de ingresar a la tabla de rotura telas afectamos a la carga por el coeficiente de
seguridad
Carga de rotura de la tela = 120,39 x 2 = 240,78 Kg/50mm
Si ingresamos a la tabla de telas vemos que éstas resisten ampliamente estos esfuerzos.
4.2 APOYOS
Diseñamos los apoyos con cuatro cables colectores de borde, anclados en sus bases en los puntos
bajos A1 y dos columnas en los puntos altos A2.
T2

CABLES DE BORDE
Analizamos el cable de borde para el Estado 1 y el Estado 2, simplificando a los efectos del
predimensionado la dirección de las resultantes:
Rb=120
ESTADO 2
Rc=126
Ra=39
Rb=59
ESTADO 1
Rc=116
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 7
Ra=100
Observamos un cambio en la dirección de las resultantes en el pasaje de una estado de cargas a
otro, pudiendo esta situación producir perturbaciones en el borde, ya que este éste es flexible.
Podemos solucionar esta situación aumentando la tensión previa, lo cual aumenta en
consecuencia los esfuerzos.
Utilizando la ecuación de la parábola: R = √ ( H² + V² )
donde:
H= 2520 kg/m.(20 m) ² =63000 kg V= 2520kg/m . 20m= 25200 kg
8.2m 2
La carga qe = 126 Kg / 5 cm (la expresamos en kg/m) 126 Kg/5cm . 20= 2520 kg/m
obtenemos las reacciónes RA1 = RA2 = 67853 Kg.
Si aplicamos el coeficiente de seguridad obtenemos T rot = 135706 Kg
De la tabla de cables obtenemos un cable 6 x 19 con alma textil de 34 mm de diámetro con una
resistencia de 180 Kg / mm2, y una carga de rotura de 70482 Kg. Colocamos dos cables de este
tipo.
CABLE DE BORDE
A1 A2
qe= 126 Kg/5cm
A2
A1
A2
RA1=RA2
A1
R=124636 Kg
RA1=RA2
En el punto bajo A1 los cuatro cables que llegan se anclan en el apoyo tomando R = 124636 Kg
En el punto alto A2 los cuatro cables que llegan continúan hasta anclar en tierra ya que toman la
carga T = 121987 Kg.

COLUMNA
Diseñamos la columna:
A1
VISTA B
A2
A2 A2
A1
VISTA A
eje de inercias
P
TRACCIÓN – paraboloide hiperbólico 1.4 8
A1
T
P=138951
T=121.987
R=124636
P = 138951 Kg
h = 9 m
Adoptamos el mismo tubo estructural
verificado en 2.3:
ø = 17,1 cm
F = 50,6 cm²
i = 5,7 cm
J = 1645 cm4
Si tomamos:
Pω ≤ 1400 Kg/cm² luego → ω = 2,03 → λ = 97
4F
dado que :
i = h → i necesario = 9,27 cm
λ
si sabemos que:
i = √ Jsección compuesta / 4F y J sección compuesta = ∑ J + F d² = 4(1645 + 50,6x d²)
despejamos el valor de d = 7,30 cm → D = 2d = 14,60 cm
adoptamos D = 15 cm