Determinación de la Tendencia Local del Geoide en ... - El Agrimensor

Determinación de la Tendencia Local del Geoide en
el Departamento de Montevideo
Fabián D. Barbato
Facultad de Ingeniería - Instituto de Agrimensura
Universidad de la República, UDELAR.
Calle Julio Herrera y Reissig 565, Montevideo, Uruguay
fbarbato@fing.edu.uy
http://www.fing.edu.uy∼fbarbato
Resumen. En la década de 1960 un sistema geodésico específico fue calculado y
establecido para Montevideo, por el Servicio Geográfico Militar y la Intendencia
Municipal de Montevideo (IMM).
La generalización del uso de la tecnología GPS y sus aplicaciones en nivelación,
aumenta la necesidad de un buen conocimiento del geoide y la determinación de
distintas alturas. Considerando que Montevideo cuenta con un Sistema de
Referencia propio (el Consejo Departamental de Montevideo – CDM) el estudio
del geoide en esta área particular es diseñado e implementado como un proyecto
de la Universidad de la República (UDELAR), en acuerdo con la Intendencia
Municipal de Montevideo (IMM).
Este artículo propone el estudio de la tendencia del geoide en Montevideo, el
proceso de recolección de datos GPS y de la red de nivelación, tratamientos
refinados de los datos capturados a través de testeos estadísticos, y estimadores
robustos.
Palabras claves.Determinación del geoide, red de nivelación, Sistema
Montevideo CDM, modelos de geoide globales, derivación de altura ortométrica,
estimadores robustos.
1 Introducción
El geoide se define como la superficie equipotencial de gravedad que mejor se
aproxima al nivel medio del mar (NMM) en toda la Tierra. Es definido como el
datum para el sistema de alturas ortométricas.
Sin embargo, la forma irregular del mismo no permite calcular fácilmente la
posición horizontal de los puntos. Por consiguiente, se selecciona una superficie
de referencia de forma regular, generalmente un elipsoide biaxial, para
aproximar lo mejor posible al geoide tanto en lo local como en lo global.
La relación geométrica entre el geoide y la superficie de referencia elipsoídica es
completamente descrita por su separación (N) y la inclinación del geoide
respecto al elipsoide de referencia (Φ). La ondulación del geoide (N) refiere a la
separación entre el elipsoide de referencia y el geoide medida a través de la
normal al elipsoide, mientras que la anomalía de alturas es la separación entre el
elipsoide de referencia y el cuasigeoide, también medida a través de la normal al
elipsoide.
Los trabajos de agrimensura implican a menudo la determinación de alturas de
puntos; dichas alturas están relacionadas con datums verticales, los cuales en
este sentido son superficies de referencia para las alturas. Estos datums
verticales deben ser tan simples como los datums arbitrarios, donde la altura de
Fabián D.Barbato AAU_2002 1

puntos en áreas reducidas están relacionadas a puntos fijos (mojones) con
alturas arbitrariamente asignadas, o tan complejos como los datums nacionales
de alturas, ROU-USAMS, donde las alturas están relacionadas a una
aproximación al NMM (nivel medio del mar) a través de la costa uruguaya.
dn1
La determinación de alturas está estrechamente unida a los trabajos de
ingeniería de control y flujo de agua. La altura de un punto sobre la superficie
terrestre es la distancia existente, sobre la línea vertical, entre éste y una
superficie de referencia (dátum vertical). Su determinación se realiza mediante
un procedimiento conocido como nivelación, el cual, a su vez, puede ser
barométrico, trigonométrico, geométrico o espacial. Sin embargo, debido a la
influencia del campo de gravedad terrestre en el proceso de medición, los
resultados obtenidos deben ser cuantificados involucrando correcciones
gravimétricas.
El agua obedece las leyes físicas y corre “pendiente abajo” de una superficie
equipotencial a otra; de hecho un cuerpo de agua “libre” formará su propia
superficie equipotencial. Este dato de la naturaleza es la razón por la cual una
superficie equipotencial es el más sensato datum altimétrico. También aporta la
razón por la que muchos países adoptan algún tipo de NMM como datum de
alturas, ya que toda el agua continental del planeta fluye a los océanos.
Z
ϕ
dn1 ≠ dn2
h
X
Y
Fig 1- Geometría de Alturas
Geoide
W = W0
Fabián D.Barbato AAU_2002 2
dn2
W = W4
W = W3
W = W2
W = W1
P
N
H (ortom)
W = W P
Superficie
topográfica
Geoide
W = W0 Elipsoide

Las alturas elipsoidales (h) representan la separación entre la superficie
topográfica terrestre y el elipsoide. Dicha separación se calcula sobre la línea
perpendicular a este último.
Las alturas elipsoidales son obtenidas a partir de las coordenadas geocéntricas
cartesianas (X, Y, Z) definidas sobre un elipsoide de referencia (p. ej. el modelo
Geodetic Reference System 1980, GRS80, o el World Geodetic System 1984,
WGS84, los cuales, en la práctica, son iguales), y determinadas a partir del
posicionamiento satelitario de los puntos de interés.
La estimación de alturas ortométricas a partir de mediciones GPS (alturas
elipsoidales (h)), requiere conocer el valor de la separación (N).
Este valor no puede ser determinado exactamente, pero sí puede ser interpolado
a partir de la determinación de modelos geoidales específicos, o derivados de
modelos geopotenciales globales (EGM96, OSU91).
Esto significa la posibilidad de una determinación rápida de alturas usando GPS.
2 Descripción del Proyecto
Para determinar la tendencia del geoide, es necesario establecer las diferencias
de nivel de un punto determinado por nivelación tradicional (referido al NMM), y
el nivel derivado por alturas ortométricas desde modelos geoidales globales.
Para ello se realizaron observaciones GPS en el área de Montevideo con cuatro
receptores GPS geodésicos, comprendiendo 51 estaciones (incluyendo 1 estación
de referencia SIRGAS),y cubriendo aproximadamente un área de 20 km * 20
km. Todos los puntos elegidos pertenecen al sistema de nivelación CDM y son
puntos de primer y segundo orden.
Para la conversión de alturas GPS elipsoidales a alturas ortométricas se usaron
dos modelos globales de geoides diferentes, OSU91 y EGM96.
Finalmente, la precisión estimada en nivelación GPS fue desarrollada a partir de
un modelo de error basado en las componentes de diferencias de nivel
calculadas entre las alturas niveladas con GPS y las alturas del nivel de burbuja.
El propósito de este trabajo , como ya lo expresamos, es describir y cuantificar la
tendencia general del geoide sobre Montevideo. Esta tendencia puede ser
expresada como un valor de corrección a ser aplicada a la altura modelada y
calculada de las observaciones GPS.
Los iso-valores fueron dibujados en un mapa digital con el mismo sistema de
referencia geodésico (CDM). De esta forma es posible calcular la grilla adecuada
para determinar la corrección o el valor interpolado. Previamente, se aplicaron
varios procesos estadísticos para verificar la consistencia de los datos observados
(GPS) y los datos colectados (datos de red de nivelación).
Las alturas elipsoidales (h) resultantes de las observaciones GPS, y las alturas
ortométricas (H) que son derivadas del geoide, están vinculadas por la simple
ecuación: H=h-N .
Esta ecuación representa el principio del método referido a la nivelación GPS,
estableciendo que si se conoce la N del lugar de observación, y la h es
determinada por GPS, entonces el valor de H del lugar se puede determinar.
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La relación entre h y H también establece que la precisión de H obtenida con GPS
depende de la precisión de las determinaciones GPS y de la precisión de N.
3 Procesamiento de los Datos
Uno de los principales problemas en este estudio es conocer el estado de los
datos. Si los datos del nivel de los puntos tienen una equivocación o error
relevante, entonces los cálculos posteriores estarán afectados por la propagación
de esos errores.
Podemos identificar dos grupos diferentes de datos:
Datos observados ⇒ mediciones GPS
Datos “capturados” ⇒ red de nivelación
La confiabilidad de las observaciones GPS puede ser controlada por distintos
métodos de campo y por el software empleado en el proceso, constituyendo el
grupo de observables.
A diferencia de esto, el control de la calidad de los datos capturados de la red de
nivelación existente, implica el desarrollo de una metodología específica basada
en pruebas estadísticas y estimadores robustos.
Fig.2 – Localización de los Puntos
3.1 Detección de Equivocaciones o Errores Groseros en los Datos
de Nivelación
Clasificamos los errores en aleatorios, sistemáticos y equivocaciones o errores
groseros. Los estimadores y diversas técnicas de observación y ajuste están
diseñadas bajo la premisa de que las observaciones están influenciadas
exclusivamente de errores aleatorios o estocásticos.
Fabián D.Barbato AAU_2002 4

Matemáticamente, los errores sistemáticos son analizados como diferentes tipos
de desviaciones haciendo que el valor esperado de error sea distinto de cero. En
los campos de las mediciones topográficas y geodésicas, los errores sistemáticos
normalmente son derivados de una mala calibración de los instrumentos,
efectos ambientales, ecuaciones personales del observador, etc. La manera más
confiable para detectar la existencia de estos errores es a través de testeos
estadísticos y la aplicación de estimadores robustos.
Matemáticamente, los errores groseros son aquellos cuyos valores exceden la
tolerancia exigida mediante 3σ .Todo intento de prevención resulta insuficiente
para evitar la aparición de errores groseros, especialmente en muestras de gran
cantidad de observaciones. Uno de los más importantes problemas en la
probabilística y la teoría estadística es la posterior detección de errores groseros
en el trabajo de observación a través del análisis de los residuales.
El modelado de los errores de observación nos ayuda a fijar las reglas de
procedimiento para la detección de errores no-aleatorios:
1. Se parte de la premisa que los errores de observación son aleatorios con
una distribución asociada específica (normal); esta es la hipótesis H0. La
hipótesis alternativa H1 es que el error no sea aleatorio de acuerdo con la
distribución asociada.
2. Se pueden construir variables derivadas con la misma distribución de
acuerdo con la condición anterior.
3. Finalmente, debemos testear los valores tomados de las estadísticas
previas (muestras) contra los valores críticos teóricos para un cierto nivel
de significancia o “riesgo” α.
Si la hipótesis de testeo es aceptada podemos definitivamente tomar como válido
la consideración el punto 1.
De otro modo, podemos sospechar la existencia de errores groseros o
equivocaciones en el conjunto de los datos observados. Esta prueba puede ser
directamente aplicada sobre las observaciones o después un ajuste preliminar
por mínimos cuadrados.
3.2 Test de Detección de Equivocaciones
Antes de establecer la naturaleza de los errores observacionales, debemos
conocer las propiedades de los errores aleatorios:
La media aritmética εi debe aproximarse a cero cuando el número de
observaciones (n) es suficientemente grande.
Los signos positivo y negativo tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Errores de menor magnitud tienen mayor chance de ocurrencia contra los
de magnitud absoluta grande.
Bajo ciertas condiciones de medición, la magnitud absoluta de los errores
debe estar dentro de ciertos límites.
Tomando en consideración las propiedades arriba mencionadas podemos
construir algunos tests estadísticos para determinar si son errores aleatorios o
no.
En este proyecto aplicamos cinco de estos tests: testeo del número positivo
contra el número negativo de errores, testeo del orden de errores negativos
contra el número de errores positivos, testeo de la suma de los cuadrados de los
errores negativos y los positivos, testeo del valor máximo absoluto de error.
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3.3 Estimadores Robustos
Estimadores robustos son aquellos estimadores insensibles a las limitadas
variaciones de las funciones de distribución, por ejemplo, en caso de ocurrencia
de errores groseros. Este tipo de estimadores están basados en modelos o
técnicas distintas del concepto de mínimos cuadrados. Este punto se vuelve
crucial en toda el área de estudio de los controles de calidad de los datos
geográficos.
3.3.1 Diagnóstico de Regresión
Los diagnósticos de regresión suponen un ajuste preliminar por mínimos
cuadrados y su proceso resumido es:
• Inicialmente se lleva a cabo un ajuste por el método de los mínimos
cuadrados de todos los datos.
• Se calculan los residuales de cada observación.
• Son desechadas todas las observaciones que no cumplen las condiciones
mínimas, mientras no se comprometa la distribución.
• Se ejecuta un nuevo ajuste con las observaciones que no se desecharon.
El éxito de este proceso depende de la calidad del ajuste inicial, y no garantiza
un correcto resultado final, pero al igual que el GRIT (ver abajo) este proceso
funciona muy bien con un porcentaje moderado de errores groseros.
3.3.2 Test Iterativo de Residuales Grandes G.R.I.T. (Great Residuals
Iteractive Test)
El GRIT es una variación de la técnica anterior, resultando ser más eficiente en
conjuntos de datos de n≈30 como una aproximación de primer orden.
La idea principal de este test de cálculo de residuales [Vi = Li - X ] es ordenarlos
de mayor a menor por magnitud absoluta. El modelo supone la existencia de
pocos errores groseros (

grande, el modelo se vuelve “extremadamente severo” con los restantes
“outliers”.
Este proceso iterativo continúa hasta que la cantidad de errores groseros no
exceda el límite preestablecido, lo que significa que dichos errores no estarán
relacionados con variaciones “anormales” o desórdenes en el proceso de
medición, siendo necesario chequear y empezar de nuevo con el proceso de
medida.
En resumen, el estimador GRIT sugiere:
1. [Vi = Li - X ] ordenados de mayor a menor.
2. Descartar las medidas diferentes en > 10i (i>=1).
3. Determinación de Ψf.
4. Rechazar los observaciones de Vf que no cumplen la condición.
5. Re-calcular los valores.
Para completar el procedimiento, luego de refinamientos aceptados por el
proceso GRIT, estamos listos para seguir con el test de “verificación de
sistematismos” y el control de distribución asociado al “borde” de los errores
groseros cuya determinación no es clara o definitiva.
Todos estos procedimientos fueron aplicados a las diferencias entre el nivel CDM
y las alturas calculadas de los modelos EGM96 y el OSU91. Estos valores pueden
ser nombrados también como “N calculados” en contraste con los “N
observados”. De estos cinco tests, un rechazo en tan sólo una de las técnicas
será suficiente realizar una revisión total de las observaciones.
3.3.3 Resultados del Test
Aplicando la metodología desarrollada antes, encontramos cuatro puntos
sospechosos de estar afectados por errores groseros:
ID de los puntos: 10393, 10396, 407B, 604C.
Analizando los datos y re-ocupando los cuatro puntos “problemáticos” con GPS,
concluimos que dos de ellos fueron mal calculados (el 10396 y el 604C) y el
resto (10393 y el 407B) tuvieron un error en la información original de la red de
nivelación.
Entonces, el grupo original de 51 puntos se redujo a 49.
Luego, todos lo datos fueron procesados nuevamente, resultando una mayor
calidad y precisión delos datos obtenidos.
4 Resultados
Las tablas 1 y 2 muestran los resultados después de la depuración de la muestra.
STATS N_EGM96 N_OSU91 DIF(Ns) Niv h-Niv H96-Niv H91-Niv
Mean 14.34 15.32 1.04 14.92 0.62 -0.41
Maximum 15.00 16.00 1.40 134.820 16.60 2.43 1.36
Minimum 13.90 15.00 0.53 3.800 14.31 -0.06 -1.10
Range 1.10 1.00 0.87 131.020 2.29 2.49 2.46
Variance 0.17 0.03 0.03 0.17 0.18 0.17
Std.Deviation 0.41 0.18 0.17 0.41 0.42 0.41
Tabla 1-Parámetros Estadísticos de las Observaciones Crudas
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STATS N_EGM96 N_OSU91 DIF(Ns) Niv h-Niv H96-Niv H91-Niv
Mean 14.35 15.32 1.03 14.84 0.54 -0,51
Maximum 15.00 16.00 1.40 134.820 15.25 0.84 -0,08
Minimum 13.90 15.00 0.53 3.800 14.39 0.24 -0,93
Range 1.10 1.00 0.87 131.020 0.86 0.60 0,85
Variance 0.17 0.03 0.03 0.04 0.02 0,02
Std.Deviation 0.42 0.18 0.17 0.19 0.14 0,14
Tabla 2 -Parámetros Estadísticos de las Observaciones Procesadas
Comparando las dos tablas se puede apreciar la mejora de los principales
parámetros estadísticos luego de procesados los tests, en particular la
desv.standard de las diferencias de nivelación.
Los cuatro puntos problemáticos están localizados en las áreas central y este de
Montevideo, dentro de un radio de 500m.
Las figuras 3 y 4 ilustran la tendencia del geoide sobre el área de Montevideo,
dependiendo del modelo global geoidal usado para la determinación de alturas.
Las líneas de isovalores han sido calculadas mediante las diferencias entre
Niveles CDM y alturas ortométricas derivadas del EGM96 y OSU91.
Fig.3 – Isovalores computados con el EGM96
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5 Discusión de la Precisión
Fig.4 – Isovalores computados con el OSU91
Las diferencias de altura entre la nivelación GPS y los resultados de la nivelación
geométrica tradicional, contiene errores originados de tres fuentes principales:
determinaciones GPS, errores de nivelación y errores del modelamiento del
geoide. La precisión de las diferencias de alturas calculadas deben ser derivadas
de la precisión de sus principales componentes.
Si la precisión (desv.stand.) de la determinación de la altura del GPS es σh, la
precisión de la nivelación es σH, la precisión de las diferencias de alturas del
geoide σN y la precisión de la determinación del NMM (esta precisión afecta la
superficie de referencia de la nivelación) es σU, la precisión de las diferencias
entre la nivelación GPS y la nivelación de burbuja será calculada así:
2
H ( GPS−lev)
σ =
2
σ h +
2
σ H +
2
N
σ + 2
σ (1)
U
σh: la estimación de la precisión formal de las alturas GPS es dificultosa debido a
la desviación estándar optimista resultante del software. Por lo tanto
necesitamos obtener estimaciones más realistas corrigiendo el valor σh por un
factor.
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σH: el ajuste de una nivelación precisa varía en un orden menor a 6mm √d (km)
σN: la precisión de las diferencias de alturas del geoide puede ser estimado por
la rutina derivada por Vermeer (1995).
σU: tomando en cuenta que nuestro datum vertical tiene errores sistemáticos
originados en la localización del cero de mareas (mezclando regímenes fluvial y
oceánico), podemos aproximar σU en +/- 0.10m.
Entonces, el error computado estimado en la nivelación GPS es σh = 0.17m., el
cual coincide prácticamente con el obtenido en la Tabla 2.
6 Conclusiones
Este proyecto representa un estudio inicial del geoide en Montevideo bajo la
cooperación entre la Universidad y la Intendencia. Los datos crudos y procesados
requieren un profundo estudio adicional orientado al análisis de la red de
nivelación en esta zona.
Los parámetros estadísticos iniciales muestran fuertes diferencias en los valores
máximo y mínimo, no aceptables para cálculos de altura. Un proceso de testeo
posterior fue aplicado para detectar errores groseros y para mejorar la calidad de
los datos. En función de esto, se hace necesario aumentar el número de puntos
GPS y testear algunas otras regiones de la malla de nivelación .
La primera conclusión técnica es que los resultados derivados del modelo EGM96
son mejores que los del OSU91. Esto se puede concluir analizando los datos de la
tabla 2.
La segunda es que para mediciones de ingeniería limitadas a un área
relativamente pequeña, donde un número suficiente de alturas es conocido de
una combinación GPS y técnicas de nivelación geodésica, es posible determinar
una grilla de corrección de valores interpolados.
La última conclusión, es la necesidad de revisar los datos originales de la red de
nivelación. Considerando que hallamos demasiados errores groseros en los datos
iniciales (=≈ 4%), esta técnica resultar ser un procedimiento eficaz de testeo
rápido para evaluar una red de nivelación.
Finalmente, sugerimos que es conveniente continuar este proyecto orientado a
satisfacer las necesidades de muchos usuarios GPS en el Departamento de
Montevideo.
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Reconocimientos:
Agradecemos la colaboración en el relevamiento de datos a:
Jorge Faure, Dardo Sena, Bolívar Sozo, MarceloAljas, y Roberto Perez .
Agradecemos a Martín Gavirondo por su invalorable ayuda en la redacción del presente
documento.
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