Geometría. Iniciación. Ejercicios resueltos. - IES Tomás Morales

x x-2 y
6.- Determina si las rectas = y − 1= z y = = z + 1 son o no paralelas y si tienen o no
2 -1 2
algún punto en común.
R: Para determinar si son o no paralelas bastaría observar una proporción en sus vectores de posición;
pero para decidir si tienen algún punto común hay que analizar el sistema de ecuaciones formado con
las respectivas de las dos rectas. Así que directamente nos vamos al sistema (y aquí se debe elegir si
montamos 4 ecuaciones, dos reducidas de cada recta, con 3 incógnitas x, y, z o montamos 3
ecuaciones, igualando las paramétricas, con dos incógnitas parámetros respectivos. Parece mejor la 2ª
opción)
⎧ x = 2λ ⎧ x = 2 − µ
x ⎪ x − 2 y ⎪
. = y − 1 = z ↔ ⎨y = 1 + λ = = z + 1 ↔ ⎨ y = 2µ
. Y antes de formar el sistema vemos
2 ⎪ −1
2
z = λ ⎪
⎩ ⎩z
= − 1+
µ
que sus vectores (2,1,1) y (-1,2,1) no son proporcionales, es decir, no son paralelas. El sistema es
⎧2λ
= 2 − µ
⎪
⎨1+
λ = 2µ
⎪
⎩λ
= − 1+
µ
}
(resolviendo con métodos tradicionales)
restando 1=1+ µ → µ =0 y en λ= − 1+ µ da λ= −1
la primera ecuación 2λ=2−µ daría −2=2−0 que es absurdo, así que no hay solución para el
sistema. Las rectas no son paralelas y no tienen nada en común
7.- Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(2, 0, 2) y por la recta de ecuación:
x −1
z − 2
= y + 4 =
2
3
R: Utilizaremos aquí un método constructivo a partir de dos puntos de la recta (que deben estar en el
plano) y el punto A.
Para obtener dos puntos de la recta (véase ejercicio 3)
⎧ ⎧0
= y + 4 → y = −4
⎪ ⎪
x = 1 → z 2 Punto B(1, −4,2)
⎪
⎨ −
0 = → z = 2
⎪
⎪
⎩ 3
⎨
⎪ ⎧1=y+4
→ y= − 3
⎪
⎪
x=3 → ⎨ z − 2 Punto C(3, −3,5)
⎪ ⎪1 = → z = 5
⎩ ⎩ 3
La ecuación del plano es
x − 2 −1
1
Vectores AB = ( −1, − 4,0) AC = (1, −3,3)
y − 0 −4 − 3 = 0 ↔ 3x − 6 + 3z − 6 + 4z − 8 + 3y = 0 ↔ 3x + 3y + 7z − 20 = 0
z − 2 0 3
8.- Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la recta de
⎧x
= 2 + 3t
⎪
ecuación: ⎨y
= 1−
5t
⎪
⎩z
= 6 + 2t
R: Y en éste (idéntico al anterior) utilizaremos el haz de planos de la recta.