Geometría. Iniciación. Ejercicios resueltos. - IES Tomás Morales

R: La ecuación del plano se monta con el punto que se ve en la recta r1 (ya que el plano debe contener
a la recta y por tanto a ese puntito) y los vectores de dirección de las dos rectas (recuerden lo de los
vectores libres; el vector de dirección de r2 se puede desplazar tranquilamente al plano)
14.- Halla la ecuación del plano que pasa por A(– 1, 2, 0) y contiene a la recta de ecuación
⎧ x − 2y + z − 3 = 0
⎨
⎩ y + 3z − 5 = 0
R: Véanse ejercicios 7.- u 8.-
x −1
15.- Calcula el valor de a para que sean paralelas r : =
a
y
2a
= z y
R: Proporcionalidad de los vectores de dirección w1=(a,2a,1) y w2=(-1,-2,-a)
a 2a 1 1 2 ⎧a
= −1
= = → − a = − a = → a = 1→
⎨
−1 −2 −a −a ⎩ a = 1
s :
⎧x
= − t
⎪
⎨y
= −2
− 2t
⎪
⎩z
= − at
y + 2 z −1
x + 3 y − 2
16.- Estudia si las rectas r : x − 2 = = y s : = = z están en el mismo
− 2 −1
2 −1
plano. En caso afirmativo encuentra el plano que las contiene.
R: La manera más sencilla de detectar si dos rectas están o no en el mismo plano es ver si se cortan o
no y, en caso de ser no, ver si son paralelas.
⎧ Se cortan → están en el mismo plano de todas todas
⎪
⎨
⎧ Son paralelas → están en el mismo plano
⎪No se cortan ⎨
⎩
⎩No
son paralelas
→ No están en el mismo plano (SE CRUZAN)
Vectorialmente se puede decidir así:
De estar en el mismo plano, los vectores de dirección de cada una y el formado por un punto de cada,
serían linealmente dependientes (porque no formarían un espacio): tendrían rango 2. De estar en planos
distintos, los tres vectores mencionados formarían un cuerpo voluminoso, un espacio (rango 3).
w 1 = (1, −2, − 1); w 2 = (2, − 1,1). No son paralelas porque no hay proporcionalidad .
En r A(2, −2,1) y en s B( − 3,2,0). Vector AB = ( −5,4, −1)
1 −2 −1
2 − 1 1 = 1+ 10 −8 − 5 − 4 − 4 ≠ 0
−5 4 −1
Rango 3. No están en el mismo plano
SE CRUZAN