ut é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú = ¾¾¾ = =ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
§1.4 ESTUDIO DE LOS TENSORES DE (2)
PANORAMA
•a) Transpuesto de un tensor arbitrario: trasposición en (2)
•b) y c) Determinante y traza de un tensor cualquiera de segundo orden
•d) Inverso de un tensor regular (o automorfismo): inversión en Aut()
–el grupo lineal de transformaciones GL(n,) := Aut()
•e) Autoanálisis de un tensor: autovalores y autovectores
–Definiciones, cálculo, interpretación geométrica
–Aplicaciones: funciones analíticas de tensores diagonalizables.
•f) Tensores simétricos y antisimétricos
–Definición y propiedades especiales
–Descomposición espectral de un tensor simétrico: direc. principales del tensor.
–Vector axial de un tensor antisimétrico
–Parte simétrica y p. antisimª. de un tensor cualq.:
•g) Tensores ortogonales: rotaciones y simetrías especulares
–Def. y propiedades especiales. el subgrupo ortogonal O(n, ) GL(n,)
•h*) El teorema de descomposición polar*: T : T = D·Q, donde D = (Tt ·T) 1/2
es sim. (parte deformante), y Q = D1
: S
: A
t t
(2) T T T T
T : T
2 2
·T es ortogonal (parte reorientadora)
a) Tensor traspuesto en (2) . Trasposición tensorial
•DEFINICIÓN (intrínseca.): "TÎ (2) $!U := T t Î (2) / "xÎ : x · T t = T · x
–Ejemplo: (ab) t = ba , porque: x · ba := (x·b) a = a (b·x) = ab · x
•PROPIEDADES de la TRASPOSICIÓN TENSORIAL:
–linealidad: (S+T) t = S t + T t
–Idempotencia: (T t ) t = T x · T = T t · x (así x·T es una transf. lin. de x, q. coincide con T t )
–traspuesto de un producto contraído: (S·T) t = T t · S t
–determinante* del trasp.: det(T t ) = detT (se repasa determinante de un tensor en apartado c)
–inverso*: (T t ) = (T ) t := T t (se repasa inverso de un tensor regular en apartado b)
•CÁLCULO en compntes. generales: U := T t = (t i j i j ) t = t i j j i := u j i j i = u i j i j
•o sea: u j
i = t j
i matricialmente se dispone del algoritmo de trasponer o trasposición:
t
é 1 2 3 1 2 3 1 1 1
u1 u1 u ù é 1 t 1 t 1 t ù é 1 t 1 t 2 t ù
j j
3
1 2 3 1 2 3 2 2 2
ui = t i¾¾¾ êu i ,j 2 u2 u ú 2 = êt 2 t 2 t ú 2 = êt 1 t 2 t ú
= f = c
3
ê 1 2 3 1 2 3 3 3 3
u u u ú êt t t ú êt t t ú
ë 3 3 3û ë 3 3 3û ë 1 2 3û
•Análogos: u ij = t ji ; u i j = t j i ; u ij = t ji ; análogo tb. en cartesianas: escr. matricial
•CASOS PARTICULARES: tensores simétricos y antisimétricos
–tensores simétricos: T = sim. T t = T (se estudian en particular más adelante)
–tensores antisimétricos: T = antisim. T t = T (se estudian también más adelante)
•Teorema de descomposición: T (2) : T = ½(T+T t ) + ½ (TT t ), llamadas,
respectivamente, parte simétrica y parte antisimétrica de T.
•Ejemplo: Descomponer el tensor T de componentes [t i j] = [1 , 3; -2 , 1] siendo G = [1 , 1; 1 , 2].
Curso 2012-13 1

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
b) Tensor inverso. Inversión tensorial
•DEF. intríns.: "TÎ (2) , regular, $!V := T 1 := apl. lin. inv. / u Î:
w = T·u V·w = u T · V = V · T = 1 (inverso resp. " · ")
–Grupo lineal de transf. o tens. reg.:= Gl(n, ) := (Aut(), · ), grupo
multiplicativo con producto "dot" o pr. contraído.
•CÁLCULO en comptes.: → algor. inversa matr. (obs: ¡ da 1 en forma ij !):
–cartes.: V ihT hj = T ihV hj = ij [V ij] = [T ij] 1
–generales mix.: v i ht h j = v i h th j = i j = i j [v i j] = [t i j] 1 .; [v i j ] = [ti j ] 1 .;
–generales puras: v ih t hj = i j ; v ih thj = i j [v ij] = [t ij ] ; [v ij ] = [t ij]
•PROPIEDADES de la inversión tensorial:
–Idempotencia: (T ) = T
–Inverso del múltiplo escalar: (A) = (1/) A (la inversión no es lineal)
–Inverso del producto contraído de tens. reg. de (2) : (S·T) = T · S
–determinante: det(A ) = 1/detA
–inverso del traspuesto: (T t ) = (T ) t := T t
•Ejemplos: 1) ¿Existe (a×) —1 ? 2) Si R es una rotac. de rad. alr. de e , identifica el
tensor R . 3) Misma cuestión si S es una simª. resp. {e} . 4) Tens. ortogonal Q 1 = Q t
(más adelante: diapositiva 9)
c y d) determinante. y traza de un tensor
DEF.
Propie
dades
Cálculo
c) determinante d) Traza
T· g1, T· g2, T·
g
3
vol(base
transf.)
g1, g2, g
3
vol(base
orig.)
det T :
Ej.: det1 = 1; det(a×) = 0 (base transformada es
coplanaria.)
•det(T) = n detT (det no es lineal)
•det(S·T) = detS detT
•det(Tt ) = detT
•det(T1 ) = 1/detT (Nota: n = dim)
detT = det[t i j] = det[t i j ] = det[tij]g 1 = det[t ij ]g
•obs: Distinguir entre el algoritmo determ te . de
una matriz (regla para operar), del
determinante de un tensor (coeficiente de
dilatación signado de la definición dada arriba)
Def.: tr(ab) := a·b ;
se extiende por linealidad a T
Ej.: tr1 = 3 (ó 2); tr(a×) = 0
•tr(A) = trA
•tr(A+B) = trA + trB
•tr(A t ) = tr(A)
(la traza sí es lineal)
• trT:= T ijtr(e ie j) = T ij ij = T ii;
• trT= t i j i j = t i i ; trT = t ijg ij
• trT= t i j i j = t i i ; trT = t ij gij
obs.: trT = T··1 (doble contracción,
que se define sobre tensores de (2))
•Ambos son coeficientes del pol. característico y son valores intrínsecos de cada T
•Carácter invariante* por c. de base: todo el polinomio característico es invariante porque: ()
= det([ i j][i j]) = det(C-1 ·[ti j]·C – C1 ·[i j]·C) = … = det([ti j] [i ˆt
j])
Curso 2012-13 2

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
e) Autovalores y autovectores: 1.- definiciones (!!)
•Definiciones y cálculos
• Î es autovalor de T $uÎ, u ≠ 0 / T·u = ·u (T-1)·u = 0 ; u := -autovector
T·u | | u (proporcional) el s.v. L({u}) se conserva al actuar T (s.v. unidimensional
invariante por T).
• u = -autovector u Î ker(T1) := () = -autoespacio (subespacio vectorial, invariante
por la acción del tensor, asociado al autovalor ). Son lin. ind. los autovec. de distinto autoval.
• Polinomio característico: () := det(T 1) := polinomio característico de T. Es intrínseco
• espectro de T, (T) = {Î / = autovalor de T} = 1 (0) = {Î / () = 0} ( los `s
son las raíces reales de la ec. caract.)
•Subesp. vec. invariantes : rectas invariantes () y planos inv.; éstos, pueden ser:
de
sólo 2 rectas inv. dos autoval. simples distintos
(diap.12)
pl. invar. de
todas las rectas inv. un autoval. real doble
sin
rectas invariantes un par de autoval. compl. conjugados
(diap.14)
• Índice de Jordan de , () : = dim(). Existirá una base de formada por autovectores de
T "Î (T) : () = () := orden de multiplicidad de la raíz de () T es
diagonalizable. En general sólo se puede asegurar que () ().
Observaciones: 1) = 0 (T) kerT ≠ {0} T es singular detT = 0 → (0) = kerT.
2) Los coeficientes del polinomio característico, () = 3 + J 1 2 J 2+ J 3, o invariantes de Jordan
de T, resultan tres escalares, que en función de los autovalores son: J 1 = tr(T) = 1+ 2+ 3,
J 2 = 1 2+ 2 3+ 1 3 , J 3 = det(T) = 1 2 3, (otro recurso de cálculo para detT y trazaT).
e) Autovalores y autovectores: 2.- ejemplos
•Ejemplos: Aplicando el concepto geométrico (interpretación geométrica o
intrínseca), determinar los autovalores y autovectores de los siguientes tensores:
–una rotación R(e ; ): plano invariante sin rectas invariantes (pareja de "autovalores"
complejos conj.); recta invariante de autovalor real = 1: el eje L({e})
–una simetría respecto de un plano {e} : pl. inv. de rectas invariantes (autovalor real
doble = 1); recta invariante de autovalor = 1).
–el tensor unidad 1 (uso de la definición directamente); una homotecia de razón k, k1
(autovalor real triple)
–una simetría respecto de un eje ({e}): ¿existe plano invariante de rectas
invariantes? [N.: en realidad el tensor de simetría axial es una rotación de ángulo ].
–el tensor axial e: analizar sus autovalores a partir de interpretar geométricamente su
acción.
•S.v. invariantes de un tensor TÎ (2) , permiten describirlo intrínsecamente: de esta
forma se puede recuperar la inf. intrínseca de T a partir de cualquier representación
matricial contra-covariante, [t i j], efectuando el autoanálisis de la matriz.
•Pueden hacerse los ejercicios: PR1.3, 6, 8, 9 (apt. 1 y 2) y 15 (cuestión y apartado 1) y
apartados particulares de otros, que se indicarán cuando se puedan hacer completos).
Curso 2012-13 3

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
e) Autovalores y autovectores: 3.- aplicaciones (!!)
•Aplicaciones (1): Diagonalización
• Un tensor T es diagonalizable {w i} base de formada por autovectores de T
(autobase o base propia). En una tal base T tiene una matriz mixta diagonal, llamada
una forma diagonal de la representación matricial de T. Formas diagonales
alternativas del mismo tensor se obtienen sólo reordenando la base.
•Son diagonalizables con certeza los tensores con tres autovalores reales simples y
los tensores simétricos (en este caso la autobase puede conseguirse ortogonal y la
autobase normalizada se llama base espectral y también direcciones principales)
•No son diagonalizables sobre los tensores con autovalores complejos.
•Son dudosos los tensores con autovalores reales múltiples. Discusión: Se estudiará
si () = (), en cada caso, y si coinciden, el tensor es diagonalizable (si y sólo
si).
•Aplicaciones (2): cálculos que se simplifican
•Potencias: Calcular la matriz A m siendo A = [a,0,0; 0,b,0; 0,0,c] y m, un entero.
Deducir la matriz raíz m-ésima de una matriz diagonal: [a,0,0; 0,b,0; 0,0,c] 1/m . Una
vez calculada, se puede regresar a la base original. Ejemplo: PR1.29 (examen Spt11).
•Polinomios: Calcular el polinomio f(x) = 1 + 2x–3x 2 + x 3 aplicado a la matriz
diagonal A del ejemplo anterior.
•Funciones analíticas de un tensor, f(T) : (sigue…)
•Aplicaciones (3 continuación): evaluación de funciones analíticas de
tensores
•Se dice que una función f(A) se conserva por semejanza, si:
f(C 1 ·A·C) = C 1 ·f(A)·C , "A matriz, C matriz regular
•Ejemplos: Si f es una potencia, f(A) = An , o un polinomio o una serie de potencias
(func. analíticas, como exp, Ln, sen, cos, tan,..) entonces f conserva la semejanza.
•Si f conserva la semejanza y D es la forma diagonal de un tensor T del que se tiene
una matriz mixta T / D = C1 ·T·C, entonces:
f(D) =C1 · f(T)·C f(T) =C· f(D)·C1 3 1
•Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de T ~ , dado en una base canónica.
1 3
Solución:…
•Funciones analíticas: Se puede calcular exp(A) mediante la serie de potencias x n /n!
•Aplicaciones (4): análisis de la acción de un tensor
•Cálculo gráfico de T·v en términos de autovalores y autovectores de T: la acción de T
se puede descomponer en las direcciones de sus autovectores o subespacios invariantes
–por ejemplo, describir la acción del tensor 1 + ee en el espacio 3.
•Pueden hacerse: PR1 n os : 6, 9-3), 11, 12 y 15-2),
Curso 2012-13 4

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
f) Tens. simétricos, antisim. y g1) Tens. ortogonales
Df. carctrzn.
Prop. fundamental
Otras propiedades
SIMÉTRICOS ANTISIMÉTRICOS ORTOGONALES
S es simétrico S t = S "v : v·S
= S·v "u, v : u·S·v = v·S·u
descomposición espectral (!!):
S simétrico base ortonl de
autovec. {ê i} (dir. ppales,) y
autovalores reales de modo que: S
= 1ê 1ê 1+ 2ê 2ê 2+ 3ê 3ê 3
clasificación como las formas
cuadráticas x·S·x:
–definidos pos. o neg.
–semidefinidos pos. o ng.
–indefinidos
según los signos de los tres
autovalores reales de S.
A es antisim. A t = A "v :
v·A = A·v "u, v : u·A·v =
v·A·u
vector axial:
A = antisim. vector axial
/ A = ×.
El vector axial kerA
pol car. () = (2 +2 )
– plano invariante {} ,
asociado al par autovals.
complejos = ±i (sin rectas
invariantes)
– (0) = kerA = {}
ej. Ejercicios*: 1) Si T es regular, probar que T t ·T es simétrico y definido positivo.
Pueden hacerse: PR1 n os . 6, 9, 14, 15
g2) Rotaciones y simetrías
Q es ortogonal Q t = Q 1 Q
es un tensor de c. de b.
ortonormales: {e i} = base
ortonl. : {Q·e i} = nueva base
ortonl.
aplicación conforme:
Q es ortogonal Q conserva el
producto escalar: " u, v :
(Q·u)·(Q·v) = u·v Qes apl.
conforme, o sea conserva
ángulos y módulos
Q ortogonal detQ = ±1; detQ
= 1 Q= rotación y detQ = 1
Q= simetría (respecto de un
plano) o prod. de rotación por
simetría
El grupo lineal (3;) y el
grupo ortogonal (3;)
Expresión intrínseca de una rotación R(e; ) :
R =cos1 +(1cos)ee +sene× → formulario
•Aplicaciones:
•cálculo de componentes de una rotación: basta calcular las de cada sumando
•ejemplo: rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
•cálculo del ángulo de giro: es tal que trR = 1+2cos.
•cálculo del eje e : debe cumplir: e×= [R – Rt ]/(2sen); también: está en la dirección del
autovector del autovalor = 1 que necesariamente tiene la rotación
•Ejemplo: Se dan la rotación R1, alrededor del vector e1e2 y de ángulo 1 = /6, y la rotación
R2, de eje e3 y ángulo 2 = /3, siendo {ei} una base ortonormal de V3. Se pide. Expresar R1 y R2 en la base cartesiana {ei}. Calcular el eje e y el ángulo de la rotación R = R1·R2. (sol.)
•Las rotaciones forman un subgrupo, denotado (3;), del grupo ortogonal (3;). Este es a su
vez es subgrupo del grupo de automorfismos o tensores regulares, (3,)
•Ejemplo: Demostrar que el producto de dos rotaciones es una nueva rotación: R1·R2 es un
tensor ortogonal con determinante +1 es una rotación.
Expresión intrínseca de una simetría respecto {e} :
H(e) = 1 –2ee
•Aplicaciones: cálculo de las componentes de H
•Ejemplo 1: Compntes. canónicas de la Simetría respecto del plano vectorial {3x + 2y z = 0}
•Ejemplo 2: El producto de dos simetrías respecto de dos planos 1 y 2 es una rotación:
identificar el eje de la rotación en términos de dichos planos.
•PR1: ejercicios nº 8-3), 9, 12, 13-4)
Curso 2012-13 5

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
Expresión intrínseca de una rotación, R(e;)
P
v
e
Objetivo: Expresar R·v en térm. de v, y e :
R·v =OP'=OM+MN+NP'
y se tiene:
OM= (v·e)e
MN = |MP'| cos (MP/|MP|) =
=cos [v (v·e)e]
NP' = |MP'| sen (ev)/|ev|=
= |v|sensen (ev)/(|v|sen)=sen (ev)
De donde deducimos:
R·v =[cos1 +(1cos) ee +sene]·v y de ahí, por la arbitrariedad de v:
3v 2
N
M
O
( 2 = 3)
w 2
v 2
R ·v
P'
R =cos 1 +(1 cos)ee +sen e
Descomposición de la acción de un tensor T diagonalizable en 2: observar
cómo construimos gráficamente la imagen de v con los autovalores y
autovectores asociados.
w 1
Curso 2012-13 6
v
v 1
T·v
2v 1
( 1 = 2)

Teoría de Campos - § 1.4 Tensores de
2do. orden
Subgrupos multiplicativos notables de (2) ( 3)
(2)
(3,) = (3,)
(3,)
(3,)
•Ejemplo de pl. invariante sin rectas invariantes: Tensor de matriz canónica
T·e
2
e
3
e 2
e1
a b
0
b a 0
0 0 2
T·e1
Curso 2012-13 7
a
b