4. Integral de Riemann - DIM - Universidad de Chile

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Ingeniería Matemática Universidad de Chile Mediante un ejemplo se mostrará un método para determinar el área bajo una curva, que nos indicará el procedimiento a seguir en la definición de la integral de Riemann. Ejemplo Dada la función f(x) = x 2 , se desea calcular el área encerrada entre x = 0 y x = b > 0 bajo la curva y = f(x). Etapa 1. 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 y=x 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 2 a b Dividiremos el intervalo [0,b] en n partes iguales donde cada una de estas partes tiene longitud h = b n . Si llamamos xi a los puntos de la división, se tiene que: xi = i(b/n). De este modo se ha dividido el intervalo [0,b] en n sub-intervalos Ii = [xi−1,xi] de longitud h cada uno. Etapa 2. En cada intervalo Ii se levanta el rectángulo inscrito al sector parabólico de mayor altura posible. Este i-ésimo rectángulo inscrito posee las siguientes propiedades: base = h altura = f(xi−1) área = h · f(xi−1) = b n · (i − 1) b n 2 67 = 3 b (i − 1) n 2 y=x 2 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 a xi-1 xi b
Etapa 3. y=x 2 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 i-1 i a x x b Etapa 4. Ingeniería Matemática Universidad de Chile De igual forma en cada intervalo Ii se levanta el rectángulo circunscrito al sector parabólico de menor altura posible. Este i-ésimo rectángulo circunscrito posee las siguientes propiedades: base = h altura = f(xi) área = h · f(xi) = b n · i b n Con esta construcción, se ve fácilmente que el área A que se desea calcular está acotada del modo siguiente n i=1 ( b n )3 (i − 1) 2 ≤ A ≤ n i=1 ( b n )3 i 2 . Las sumatorias anteriores se calculan fácilmente recordando que De este modo, n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) . 6 n (i − 1) 2 n−1 = i 2 n−1 = i 2 = i=1 i=0 i=1 Así las cotas para el área A buscada son (n − 1)n(2n − 1) . 6 b3 (n + 1)(2n − 1) 6 n2 ≤ A ≤ b3 (n + 1)(2n + 1) 6 n2 La desigualdad anterior es válida ∀n ∈ , luego, olvidando el significado geométrico de los números que allá intervienen, se puede pensar en una desigualdad de sucesiones reales. Por lo tanto, si tomamos el límite cuando n → ∞ queda: b 3 3 ≤ A ≤ b3 3 , de donde se deduce que el área buscada es A = b3 3 . 68 2 = 3 b i n 2 ◭ Ejercicio
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