Notes - Departament d'Àlgebra i Geometria - Universitat de Barcelona

4.1. Cotas para raíces reales positivas
Si uno considera polinomios con coeficientes reales, hay otros métodos más
exactos que hacen uso de teoremas de cambio de signo de coeficientes que son de
utilidad para detectar mejores cotas para la cantidad de raíces reales. De todos
modos, esto no significa que tales raíces existan.
Observemos nuevamente que es suficiente con conocer cotas superiores para
las raíces positivas de p(x), ya que haciendo q(x) := p(−x) se tendrá que las
raíces positivas de q(x) serán las raíces negativas de p(x).
Teorema 4.4. Sea p(x) := anxn +. . .+a1x+a0 ∈ R[x]. Supongamos que an > 0
y que hay al menos un coeficiente negativo. Sean i0 := máx{i, ai < 0} y M :=
máx{|ai| : ai < 0}. Si r es un cero positivo de p(x), entonces r ≤ 1 + n−i
0 M
Está claro que para tener raíces positivas, al menos uno de los coeficientes
tiene que ser negativo. Por otro lado, el ejemplo 4.3 muestra que la cota que se
ofrece aquí es óptima.
Demostración. Sea r > 1, tenemos entonces
p(r) = anr n + . . . + ai0+1r i0+1 + ai0x i0 + . . . + a0 ≥ anr n − M(r i0 + . . . + r + 1)
con lo cual si anrn − M ri0 +1 −1
r−1
ahora que r > 1 + n−i
0 M
= anr n − M ri0+1 − 1
r − 1 ,
an .
> 0, entonces se tendrá p(r) > 0. Supongamos
an . Entonces, se tiene que an(r − 1) n−i0 > M. Ahora,
como r > r − 1 > 0, entonces
luego
anr n−i0−1 (r − 1) > an(r − 1) n−i0−1 (r − 1) > M,
y esto es lo que queríamos demostrar.
anr > M ri0+1
r − 1 > M ri0+1 − 1
r − 1 ,
Veamos otro resultado en esa dirección.
Teorema 4.5. Sea p(x) := anxn + . . . + a1x + a0 ∈ R[x]. Supongamos como
antes que an > 0 y que hay al menos un coeficiente negativo. Sean
si :=
aj, y R := máx{|ai|/si : ai < 0}.
j>i, aj>0
Si p(r) = 0, entonces r < 1 + R.
Nuevamente en este caso, el ejemplo 4.3 muestra que la cota es óptima.
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