Notes - Departament d'Àlgebra i Geometria - Universitat de Barcelona

1(x) es de la forma p(x) − A(x)q(x),
deg(r1(x)) < n + k = deg(r0(x)).
Esto es una contradicción ya que habíamos supuesto que el grado de r0 era
mínimo, así que la existencia está garantizada. Veamos la unicidad. Si r0 =
p − c0q y r1 = p − c1q con r0, r1 de grado menor que q, entonces restando
miembro a miembro se tiene
r0 − r1 = q(c1 − c0).
A la izquierda de esta igualdad tenemos un polinomio de grado menor que el
grado de q, a la derecha tenemos o bien cero o algo de grado mayor o igual que
q, luego se debe cumplir que c1 = c0 y r0 = r1, la unicidad está demostrada.
Ejercicio 7.3. Sean p, q ∈ R[x]. Probar que
7.2. El algoritmo de Sturm
deg(pq) = deg(p) + deg(q).
Sea p(x) ∈ R[x], a partir de p(x) armaremos una sucesión finita
(p0(x), p1(x), p2(x), . . .)
de polinomios cuya variación de signos nos dará información sobre las raíces
de p(x). Esta sucesión se denominará la sucesión de Sturm, y para calcularla
haremos uso del algoritmo de división de polinomios.
Definición 7.4 (Sucesión de Sturm).
p0(x) := p(x).
p1(x) := p ′ (x).
Hacemos p0(x) = c1(x) p1(x) + r1(x), el algoritmo de división entre p0(x)
y p1(x). Definimos p2(x) := −r1(x) (el resto con el signo cambiado.
Más en general, dados pi(x) y pi+1(x), si pi+1 ∈ R, parar. Si no, hacemos
pi(x) = ci+1(x) pi+1(x) + ri+1(x),
el algoritmo de división entre pi(x) y pi+1(x). Definimos pi+2 := −ri+1(x).
Está claro que se tiene deg(p0) > deg(p1) > deg(p2) > . . . , o sea que la
sucesión se termina siempre.
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