Notes - Departament d'Àlgebra i Geometria - Universitat de Barcelona

La última expresión solamente involucra potencias de x hasta orden n − 1.
Usando la hipótesis inductiva, nos queda
i + 1 i + 2
n
ci+1 + ci+2 + . . . + cn = 0 ∀i = 0, . . . , n − 1.
i
i
i
En notación matricial,
⎡ 1
0
⎢ 0
⎢
⎣ .
2
0 2
1
.
. . .
. . .
. ..
0 0 . . .
n 0 n
1
.
n
n−1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
c1
c2
.
cn
⎤
⎡
⎥
⎦ =
⎢
⎣
La matriz del sistema es triangular superior, luego su determinante es el producto
de los elementos de la diagonal principal: n i+1
i=0 i = 0. Luego, el sistema
admite la solución única c1 = c2 = . . . = cn = 0, por lo tanto q(x) = c0∀x ∈ R
y esto trivialmente implica que c0 también es igual a cero.
Ejercicio 2.4. Demostrar que
(x + 1) j =
j
i=0
j
x
i
i .
Corolario 2.5. El grado de un polinomio está bien definido.
El coeficiente no nulo que acompaña a la potencia más alta de x será de
importancia para nosotros.
Definición 2.6. Si p(x) = n
i=0 aix i ∈ R[x] es un polinomio de grado n,
entonces an se llama el coeficiente principal de p(x).
Ahora vamos a definir lo que será para nosotros la raíz o cero de un polinomio.
Definición 2.7. Un número real x0 ∈ R se dice raíz o cero de un polinomio
p(x) si y solo si p(x0) = 0.
Proposición 2.8. x0 es raíz de p(x) ∈ R[x] si y solo si existe q(x) ∈ R[x] tal
que p(x) = (x − x0)q(x)∀x ∈ R.
Demostración. Veamos la implicación fácil. Si p(x) = (x − x0)q(x), entonces se
tiene trivialmente p(x0) = (x0 − x0)q(x0) = 0, que era lo que queríamos ver.
Ahora veamos la otra implicación. Supongamos p(x) = n j=0 cjxj y que
p(x0) = 0. Entonces
p(x) = p(x) − p(x0)
= n j=0 cj
xj − x j
0
= n j=0
= (x − x0)
0
0
.
0
⎤
⎥
⎦ .
j−1 i=0 cj(x − x0)xix0 j−1−i
n j−1 j=0 i=0 cjxix0 j−1−i
4
,