El espacio euclídeo

1. Vector simétrico.
OTRAS NOCIONES GEOMÉTRICAS.
En un espacio euclídeo podemos generalizar la noción de vector simétrico respecto a un
plano, recta o subespacio en general, que actuará como un “espejo”.
Dado un vector v y un subespacio S, descomponemos:
v = v1 + v2 = proy
S
(v) + proy
S ⊥ (v)
Entonces se define el vector simétrico de v respecto a S como
es decir
v ’ = v1 – v2
v ‘ = proy
S
(v) – proy
S ⊥ (v)
2. Cálculo de áreas y volúmenes.
S
v2
–v2
v
v1
v ’
simétrico de v
Puesto que en un espacio euclídeo sabemos “medir” distancias y longitudes (con la noción
de módulo de un vector), ello nos permite aplicar las fórmulas geométricas usuales para
calcular áreas y volúmenes en ℜ 2 y ℜ 3 .
Ejemplo.
Dado el subespacio S generado por (2,0,1),(0,3,0) hallar el simétrico v’ del vector v = (3,2,2).
Calcular el área del triángulo formado por v y v’.
- Como ya hemos calculado, v = v1 + v2 =
Entonces, v’ = v1 – v2 =
⎛16 8 ⎞
⎜ ,2, ⎟
⎝ 5 5⎠
–
⎛16 8 ⎞
⎜ ,2, ⎟
⎝ 5 5⎠
+
⎛−1 2⎞
⎜ ,0, ⎟
⎝ 5 5⎠
.
⎛−1 2⎞
⎛17 6 ⎞
⎜ ,0, ⎟ = ⎜ ,2, ⎟
⎝ 5 5⎠
⎝ 5 5⎠
El área pedida es dos veces el área sombreada, por tanto
base⋅altura área = 2 = 2
2
v ⋅ v
1 2
2
= v1 v2
16
2 2 8
2
−1
2
2
⋅ = ( ) + 2 + ( ) ⋅ ( ) + + ( )
5 5 5
S
v2
–v2
2
v
v1
v ’
0 ≈ 1’833 unidades 2
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacio Euclídeo
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