El espacio euclídeo

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Por tanto, en lugar del sistema incompatible A x = , resolvemos otro sistema: b A x = , donde c = proyS( b ), S = subespacio generado por las columnas de A. c Este nuevo sistema ya es compatible. Su solución, si bien no cumple las ecuaciones del sistema original A = x b , las satisface “aproximadamente”. El error cuadrático es | – b | 2 (trabajando en ℜ n con el producto escalar usual), o dicho de otra manera, | A – | 2 donde c x b x es la solución aproximada que hemos hallado. Este método se llama método de mínimos cuadrados ya que hace mínimo el error cuadrático. Ejemplo 1. ⎛1 2⎞⎛x⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝2 4⎠⎝y⎠ ⎝5⎠ Este sistema es incompatible, lo cual es debido a que b =⎛⎜ no pertenece al subespacio S generado por ⎛ ⎜ , en ℜ 2 3⎞ ⎟ ⎝5⎠ 1⎞ ⎛2⎞ ⎟ ⎜ ⎟ . Entonces sustituimos b por su ⎝2⎠ ⎝4⎠ mejor aproximación en S. Para ello, una base de S es el vector (1,2). ⎛3⎞ (1, 2) ⎜ ⎟ 5 c = proyS(b) = proy(1,2)(b) ⎝ ⎠ = ⎛1⎞ (1, 2) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ (1,2) = 13 5 ⎛13 26 ⎞ (1,2) = ⎜ , ⎟ ⎝ 5 5 ⎠ y ahora resolvemos el sistema compatible (indeterminado) ⎛1 2⎞⎛x⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎝2 4 ⎟⎜ y ⎟ ⎠⎝ ⎠ 13 5 26 ⎝ 5 ⎠ ⎟ cuya solución es ( 13 5 satisfacen aproximadamente el sistema original. El error cuadrático es | b – c | 2 = ( ) ⎛13 26 ⎞ 3,5 − ⎜ , ⎟ ⎝ 5 5 ⎠ = − 2 λ, λ). Obtenemos infinitas soluciones que 2 ⎛2 −1⎞ ⎜ , ⎟ ⎝5 5 ⎠ 2 = 1 5 = 0’2 . Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacio Euclídeo 18
Ejemplo 2. ⎛2 3⎞ ⎛0⎞ ⎜ x 1 0 ⎟⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ = y ⎟ ⎜ ⎟ Igualmente es incompatible puesto que b = ⎜0 1⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝1⎟ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ no pertenece al subespacio ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛2⎞ S generado por las columnas ⎜ 1 ⎟⎟ ⎜ , enℜ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎛3⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ Calculamos por tanto la mejor aproximación de en S. Una base de S está formada por ambas columnas, puesto que son linealmente independientes. Con ella podemos calcular la matriz de proyección, que será PS = A ( A t A ) –1 A t b . Así, c = proyS( b ) = PS · = b 5 ⎛ 14 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ 14 ⎠ 5 ⎛2 3⎞ ⎛ 14 ⎞ ⎧ 2 ⎜ ⎟⎛x⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎪ x = ⎪ 7 y se resuelve el sistema ⎜ 1 0 ⎟⎜ ⎟= 7 y ⎜ ⎟ compatible determinado, cuya solución es ⎨ ⎜ ⎝ ⎠ −1 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎪ −1 ⎝ ⎠ ⎝ 14 ⎠ y = ⎪⎩ 14 El error cuadrático es | – | 2 b = c ⎛ 5 2 −1⎞ 0,1,1 − ⎜ , , ⎟ ⎝14 7 14 ⎠ ( ) Obtención directa de la solución. 2 = 25 14 ≈ 1’79 . En algunos casos podremos obtener la solución directamente, sin siquiera plantear ni resolver el sistema compatible. • Dado el sistema incompatible A x = , comprobar si las columnas de A son linealmente b independientes (ello ocurrirá cuando el rango de A coincida con el nº de columnas). • Si es así, la solución aproximada por mínimos cuadrados es única, y es = (A t A) –1 A t x b Explicación: En el ejemplo 2 anterior, las columnas de A son linealmente independientes. Ello nos ha permitido utilizar A para para calcular la matriz de proyección A(A t A) –1 A t , y ésta para calcular = A ( A t A ) –1 A t c b . Pero, observemos la expresión A ( A t A ) –1 A t b = c Como el sistema que hay que resolver es A x = , la expresión anterior nos indica que c (A t –1 t A) A b (señalado arriba con la llave), que es un vector columna, es solución del sistema A x = . c Así pues, esa es la solución (única, pues el sistema A x = es compatible determinado). c Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacio Euclídeo 19
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