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Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
§ 1.3 Algebra tensorial en componentes
a) Bases diádicas y componentes tensoriales en (2)
1. Teorema de las bases diádicas.
2. Definición y cálculo de componentes de tensores de 2º orden.
3. Escritura matricial e interpretación de las columnas en los casos usuales. Ejemplos
b) Relación entre las componentes generales: fórmulas de subida y bajada de
índices en (2)
1. A partir de las componentes t i j y de las componentes t i j obtener las restantes en cada caso
2. Ejercicio: lo mismo a partir de las componentes t i j y t i j
c) Bases triádicas y componentes tensoriales en (3) y en (p)
1. Teorema de las bases triádicas. Generalización: bases p-íádicas en (p)
2. Definición y cálculo de las componentes de tensores de orden 3. Ejemplos.
3. Escritura matricial e interpretación de los casos usuales.
4. Fórmulas de subida y bajada de índices.
d) Operaciones con tensores mediante algoritmos matriciales
1. Suma y múltiplo escalar
2. Contracción tensorial. Estudio de casos habituales.
e) Cambios de base generales.
1. Formas matriciales de transformación de componentes homónimas para tensores de
orden 1, 2 o 3.
2. Caso particular de bases canónicas: matrices ortogonales.
1.3 a) Bases diádicas y componentes tensoriales en (2)
•Definición: Se llama forma diádica a toda combinación lineal de díadas del
tipo 1(a 1b 1) + 2(a 2b 2) + … + m(a mb m) Î (2) , con iÎ, mÎ
•Teorema: Si {a i} y {b i} son bases de , entonces {a ib j} es base de (2) ;
luego todo tensor de segundo orden es una forma diádica.
demostración: bastará ver que las 9 díadas {a ib j} son lin. independientes:…
•Bases usuales: {e ie j}: canónica; generales: {g ig j }: cova-contra; {g i g j }:
contra-contra; {g ig j}:…;{g i g j}:…
•Desarrollos diádicos: T = Tij eiej = t i j gigj = tij gigj = t ijgigj = t j
i gigj. las componentes se denominan: canónicas, mixtas contra-covas, cova-covas
(o covas puras), contras puras y mixtas cova-contras (respectivamente).
•Cálculo de componentes: i) canónicas: Tij = ei·T·ej = ei·(T·ej); Ejemplos: 1) Si {i, j, k}{ei} es una base de , describir los tensores 1 , ab como forma
diádica con díadas eiej., siendo a = 2i – k, b = 3j + 2 k. ¿Escritura matricial?
ii) generales: ti j = gi ·(T·gj) , tij = gi·(T·gj) ; t j
i = gi·T·gj , tij = gi ·T·gj .
● Cuadro-resumen de componentes tensoriales.
Curso 2012-13 1

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
•Escritura matricial de las componentes e interpretación
1º) Componentes canónicas: T ij = e i·T·e j = i-ésima compte. canónica de T·e j.
Luego, escritura matricial: [Tij] i=fil,j=col = . Aplicación: PR1-8-1)
Ejemplos de comptes. ortonormales: escritura matricial de las componentes canónicas de:
díada ab, tensor axial a, tensor unidad 1, tensor proy. al eje e , tens. proy. al plano {e} .
2º) Componentes generales: t i j = gi | | |
· e1 · e2 · e
T T T 3
| | |
ei ·T·gj = i-ésima compte. contra de T·gj ; tij = gi·T·gj = ...
Luego: [t i | | |
j] i=fil, j=col = T· g1 T· g2 T·
g3
análogo: [t ij] i=fil, j=col =
| | |
gi
i
| | |
T· g1 T· g2 T·
g3
| | |
g
Resto de componentes generales: ejercicio análogo.
Ejemplos: 1) Componentes generales de la díada: ab = a i b jg ig j = a ib jg i g j = a ib j g i g j =
a i b j g ig j. Cálculo matricial en los 4 casos
2) Componentes generales del tensor unidad 1: porqué se llama también el tensor métrico.
1 = i jg ig j = i j g i gj = g ijg i g j = g ij g ig j , pq.: I i j = g i ·g j ; I i j = gi·g j ; I ij = g i·g j ; I ij = g i ·g j
3) tensor axial a ;4) proy.-vect. al eje e , tensor proy. al plano {e} , … y su escritura
matricial
Ejemplo: Si {g i} = {a, b, a×b} es una base de , con a b, calcular el tensor T := ab + ba
+ a× + b× como forma diádica con díadas g i g j y escribir su matriz cova-cova correspondiente.
1.3 b) Relación entre componentes generales: fórmulas de
subida y bajada de índices
Se trata de deducir los tipos restantes de componentes a partir de un tipo dado. Se trata
de cambios de base entre una base y su recíproca. En (2) hay 4 casos:
1.- dadas las componentes mixtas contra-covas de un tensor T, t i j , deducir las demás
•cova-covas: t ij = g iht h j [t ij] = G·[t h j] bajada de pre-índice.
•(lectura: se baja un preíndice premultiplicando por la matriz de Gram, G = [g ij])
•motivo: T = ti j gigj = ti j ghighgj := thjghgj thj = ghiti j tij = gihth j
•contra-contras: tij = ti hghj [tij ] = [ti h]·G1 subida de post-índice
•lectura práctica: se sube un post-índice post-multiplicando por G-1 = [gij ]
•motivo: T = ti j gigj = ti j gigjhgh := tihgigh tih = ti j gjh [tih ] = [ti j ]·G1 •cova-contras: t i j = giht h kg kj [t i j ] = G·[t h k]·G
•lectura práctica: forma mnemotécnica de proceder
2.- dadas las componentes puras covariantes, t ij , deducir las otras tres.
•Ejercicio de teoría: Completar los dos casos, 3 y 4, de componentes-dato que faltan.
•Ejemplo: Calcular las componentes contra-covas de u× siendo u = 2g 1 –3g 2 + 2g 3,
donde {g i} es una base general cuya matriz de Gram es [2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1]
Curso 2012-13 2

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
1.3c) Componentes tensoriales en (3) y (p)
•Definición: Se llama forma triádica a toda combinación lineal de tríadas de la forma
1(a 1b 1c 1) + 2(a 2b 2c 2) + … + m(a mb mc m)Î (3) , mÎ.
•Teorema.: si {a i}, {b i} y {c i} son bases de , entonces {a ib jc k } es base de (3) . Así,
todo tensor de tercer orden es una forma triádica.
•dem: análoga al caso de segundo orden: basta ver que las 3 3 = 27 (ó 2 3 = 8) tríadas son lin. Indep.
•Bases habituales: tríadas canónicas: {e ie je k}; tríadas generales: {g i g j g k }, {g ig j g k }.., (8 tipos)
•Componentes tensoriales en (3) : si BÎ (3) hay 2 3 c. gen.: notación, cálculo e interpretación: …
• b ijk = [(B·g k )·g j ]·g i , o también b i jk = [(B·g k )·g j ]·gi,etc…
•Escritura matricial: Dos formas útiles: B ~ [[b ijk] i=f, j=c, k=m] ó [[b ijk] i=m, j=f , k=c ] , (ver cuadro-resumen)
•Relaciones de subida o bajada de índices: análogas en (3) , p.ej.: aij k = aijhghk ; o: ai j k = aihkghj ..
•Ejemplos: 1) Componentes generales del tensor permutación E
•cálculo: las c . puras son los símbolos de permutación generales tridimensionales: eijk o eijk •escrituras matricial: E ~[eijk] i=f, j=c, k=m = ; E~[eijk 0 0 00 0 10
1 0
éé0ù ù
1 0 0 1
0 0 0
1
0 0
] 1
i=f,j=c,k=m= g êê ú...
ú
êê ú ú
g
0 1
0 1 0 0 0 0 0
•2) Componentes de una tríada
cálculo: abc := B = b i jk g ig j g k b i jk =a i b jc k
escr. matr.: [[b i jk] i=m, j=f, k=c] = [a i [b jc k] j=f, k=c] i=m ; [t i jk] i=f, j=c, k=m = [c k[a i b j] i=f,j=c] k=m
Caso numérico: Si a = i – k, b = i + 2j – k, c = 3i + 2j, escribir matricialmente abc.
•3) B = i(kj 2jk) + 3k(2ij ji). Escritura matr. [[B ijk]]
•Generalización: Se habla de tétra-ídas y formas tetra-iádicas, p-íadas y formas p-iádicas.
1.3 d) Álgebra tensorial en componentes
ê -1
ú
êëë û úû
•d1) SUMA: Sólo pueden sumarse tensores del mismo orden tensorial y componentes
en la misma base poliádica. Se tiene: compntes. del tensor suma = suma de compntes.
homólogas de los sumandos. Pq.:
U := (1) S + T →{e ie j} (2) U ije ie j = S ije ie j + T ije ie j = (S ij + T ij)e ie j (3) U ij = S ij + T ij
(i = fil., j = col.) (4) [U ij] = [S ij] + [T ij].
El mismo razonamiento se aplica en base general si se suman componentes del mismo tipo.
•obs. el sistema seguido: (1) U = valor nominal intríns. de la suma; (2) base y
desarrollos cart., operando en not. indic.; (3) separar por componentes la ec. indic. resultante
(se aplica unicidad de desarrollo); (4) interpretar matricialmte. la ec. indicial con
algoritmos conocidos (suma matricial, producto matricial con algoritmo fila × columna,
determinante, etc...) según proceda.
•d2) MÚLTIPLO ESCALAR y COMB. LINEALES: Para multipl. por un escalar un
tensor de cualquier orden, basta multipl. todas las componentes del tensor en cualquier
base por dicho escalar. Del mismo modo pueden efectuarse comb. lineales con tens. del
mismo orden tensorial, sumando componentes del mismo tipo. Pq.:
P := S + T p i j g ig j = s i j g ig j + t i j g ig j = (s i j+ t i j)g ig j p i j = s i j+t i j
[p i j] = [s i j] + [t i j]. Análogo con cualquier tipo de componentes (las mismas en los dos
sumandos)
•obs.: se ha seguido el mismo sistema y se sigue en el resto de operaciones con tensores.
Curso 2012-13 3

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
d3) CONTRACCIÓN tensorial en componentes (1.3 d))
d3.1.- Con tensores de orden 2 (resultados conocidos)
En base canónica {e i}: resto, análogos:
T·x = u U ie i = (T ije ie j)·(X ke k) = T ijX je i U i = T ij X j
[U i] i=f = [T ih] i=f,h=c·[X h] h=f
x·T = w ... W j = X h T hj [W j] j=c = [X h]·[T hj] h=f,j=c .
u·T·v = ... = U i T ij V j = [U i] i=c · [T ij] i=f,j=c·[V j] j=f
S·T = P ... P ij = S ih T hj [P ij] i=f,j=c = [S ih] i=f,h=c·[T hj] h=f,j=c .
En base general, {g i}, de recíproca {g i }: se obtienen formas parecidas:
T·x = u ... u i = t i h x h = t ih x h u i = t ih x h = t i h xh ejerc : expr. matriciales.
x·T = w ... w i = x ht h i = x h t hi w i = x ht hi = x h t h i
u·T·v = ... = u i t ij v j = u i t i j vj = u i t i j v j = u i t ij v j
S·T = P ... p i j = s i ht h j = s ih t hj p ij = s iht h j = s i h thj ...
Ejercicio: Probar las ecuaciones indiciales anteriores ( predecir las dos expresiones
posibles para obtener un tipo determinado de componentes del resultado).
d3.2) Contracción tensorial en componentes en (3) (§1.3 d))
Siendo B (3) , x , U (2) : ( ver cuadro-resumen de estas contracciones)
En base cartesiana {e i}:
i) Contracción B·x := W (2) [valor nominal y orden tens. 2º (= 3+12) del result.]
W := B·x = (B ijk e ie je k)·(X he h) = … = B ijk X k e ie j := W ij e ie j W ij = B ijk X k
Si B está con {i=fil., j=col., k=matr.}:
[es un algoritmo nuevo: algoritmo fila de cajas por vector columna combinación lineal de cajas]
Observación: Alternativa con i = matr, j = fil, k = col.: [W ij] i=f,j=c = [ [T ijk]·[X k] ] t : [alg.
prod. de cada caja por vector col.]
W
B
X
B
X
B
X
B
X
ij ij1 1 ij2 2 ij3 3 ijk k
X1 X1 X1 W = T X T ·
X
T ·
X
T ·
X
W
ij ijk k 1jk 2 2jk 2 3jk 2 ij
X3 X3 X3
W11
W
12
W13 W21
W
22
W23 W31
W
32
W33
i f ,jc
Ejemplo: Obtener las componentes canónicas de x× utilizando el tensor permutación,
o sea x× = E·x .
Curso 2012-13 4
t

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
•ii) Contracción x·T con tensores de tercer orden
x·B := V (2) V = …= X i B ijk e je k := V jk e je k V jk = X i B ijk
discusión
1ª) asignamos los papeles a los índices para el resultado: j = fil., k = col.
(en este caso) para usar el algoritmo matricial comb. lin. de cajas:
V
X
B
jk
j f ,kc i ijk
j f ,kc
Si esto exige rescribir los B ijk en la disposición: i = matr., j = fil., k = col.
supuesto que se tiene la disposición original i=f, j=c, k=m: (aquí se ve si n=2)
B B B B B B B B
B B
111 121 112 122 111 112 211 212
de: a:
B211 B
221 B212 B
222 B
i ,j ,k 121 B
122
B221 b
f c m 222 i
m, jf,k
el algoritmo (*) hace comb. lin. con las cajas de esta 2ª disposición.
Como norma general: al expresar matricialmente una igualdad indicial (entre
escalares) respetar el papel de los índices libres en los dos miembros.
2ª) otra alternativa: aprovechar la disposición previa de los Tijk , lo que exigirá rescribir
el resultado una vez obtenidos los Vjk: en dimensión n = 2, se tiene:
T111 T121
Vjk XiT ijk i f ,j c,k m,
enTX1
X2·
T211 T
221
V11 V21
T112 T122
X1 X2·
T212 T
222
V12 V
22
V11 V21
X1 V12
V
22
j f ,kc
X1 T111 X2·
T211 T112 X2·
T212 t
T121
T
221
T
122
T
222
N.: En dim. del contexto n = 3, todos los índices tomas un tercer valor (3 matrices, 3 fil., 3 col.)
En bases generales se tienen resultados totalmente análogos, respetando los criterios de
corrección de la expresión indicial: índices libres deben respetar la posición de
superíndice o subíndice en los dos miembros de la ecuación indicial; índices mudos
deben figurar en posiciones alternas, subíndice con superíndice o viceversa)
Curso 2012-13 5
(*)

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
iii) Tensor de orden 2 por (contracción) tensor de orden 3
En cartes.:
•rel. indicial: U := T·B =...= T ihB hjk e ie je k := U ijk e ie je k T ihB hjk = U ijk
•escr.matr.: i = f, j = c, k = m [[U ijk] i=f,j=c] k=m = [ [T ih] i=f,h=c·[B hjk] h=f,j=c ] k=m
En generales: análogos ejercicio personal.
Ejemplo: Componentes mixtas e i jk del tensor de permutación E, con la matriz de Gram ya usada: =
[2, 1, 0; 1, 2, 0; 0, 0, 1].
Solución: e i jk = gih e hjk [e i jk ]i=f,j=c,k=m = [[g ih]·[e hjk ]] = [·[e hj1 ] ·[e hj2 ] ·[e hj3 ]] =
2 1 0 0 0 0 0 0 1
1 ij2 ij3 1
1 2 0
·
0 0 1
G· e G· e
0 0 2
...(completar)
3
3
0 0 1 0 1 0
0 1 0
iv) Tensor de orden 3 por tensor de orden 2
Análogo al caso anterior...
•rel. indic.: V := B·T = ... =
•escr. matr.:
Ejemplos(*): 1) Componentes mixtas e ij k del tensor de permutación E en el caso de la base anterior.
2) Componentes canónicas del tensor U := E·(ab), supuestos a y b vectores conocidos en la base {e i}
utilizada. (* se entrega resuelto para evaluación continua)
1.3 e) Cambios de base generales en esp. tens. (¡¡)
·1) Relaciones entre las bases: (referencia fundamental)
•base { }, o antigua; base { }, o nueva matriz de cambio := C = [ci gi
ˆg i
j] f,c,
con la b. nueva por columnas en contras antiguas (dato estándar)
Relaciones indiciales del cambio de base y su lectura matricial:
1
i
| | | g
gˆj c jgi cols. de C
2
ˆ ˆ ˆ
i i j
C g1
g2 g3
g
g c ˆ jg filas de C
3
| | |
gi g
i gˆ 1 gˆ
i 1
| | |
gj d jgˆi cols. de C : D
1
2
D C gˆ
g i i j
1
1 g2 g
3
gˆd jg fils. de C : D
3
gˆ
| | |
i g gˆi
•2) c. de comp. vec. contras : u = uigi = uidj i
c. de c. vec. covas: u = uigi = uici j j j i j
gˆ ug ˆˆ uˆ d u
uˆ j j i
1
i
C
·
u
j
j gˆ j
ug ˆˆ uˆ i
c u
uˆ
u
· C
j j j i j j= c i i= c
i f,jc j= f i= f
Curso 2012-13 6

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
·3) Relaciones de c. de b. entre las comptes. gen. de un tensor
•1) Cambio patrón (de referencia): el de las comptes. mixtas contra-covas:
i j i
T t g g t h j k h i j
( d gˆ ) ( c gˆ ) d t c gˆ k ˆh
gˆ : t gˆ k
gˆ
j i j i h k i j k h k h
h h i j h 1
i
tˆ k d it ˆ
jc k h f ,k c
t k
C ·
t j
·
C
•2) Cambio de los otros tres tipos de componentes son análogos.
tˆ hk
i j
c htijc k
t
ˆ thkC ·
t ij·
C
k
tˆ h
i j k k t j t
c hti d j ˆ t h C ·
t i ·
C
hk
tˆ h ij k hk 1 ij t
d ˆ
it d j
t
C ·
t
·
C
NOTAS: 1) Los apodos contravar. y covar. aplicados a los índices se basan en estas fórmulas
2) Las componentes antiguas pueden despejarse en función de las nuevas.
3) Las expr. del c. de b. se cumplen tb. de modo análogo para tens. de ord. sup. (PR1-27)
3)Caso partic. de c. de b.: c. entre b. ortonormales
•Si las bases original y nueva son ortonormales, sean {e i} y {ê j}, el c. de b. se
simplifica pq. la matriz del cambio Q es ortogonal, o sea Q 1 = Q t porque:
| | |
Q
eˆ ˆ ˆ ˆ 1 e2 e
3 ej Qijei;
| | |
e i
eˆ b. ortonrm. Q · Q I Q Q e Q
eˆ
t 1
t
j i ij j
Las fórmulas matr. de c. de b. ortonormales son un caso particular de las
generales cambiando C por Q y C 1 = Q t .
N.: Si una base general {g i} es ortogonal, pero no ortonormal, la base normalizada asociada
será ortonormal. Es caso frecuente y se llama base física asociada, que suele denotarse {ê i}
(si ya hay una base canónica preexistente). Los c. de b. ortonormales más frecuentes: de b.
ortonormal canónica previa, {e i}, a base física nueva, {ê i}.
Curso 2012-13 7

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
Ejercicio de c. de b.- Sean g 1 = e 1, g 2 = e 1+e 2, g 3= e 1+e 2 +e 3. Se da T =
1+e 2e 1 . Se piden: t i j, por cambio de base y también t ij , por c. de base y
bajando el pre-índice de las mixtas halladas.
solución: …
•Ejercicios: Con la base {gi} anterior calcular comp. contra-cova-contra de E
•Ejemplos: 1) Calcular las componentes de los tensores axiales básicos gi en
una base {gj} dada.
| | | 0 0 0
solución: g1 ~ g1 g1 g1 g 2 g1 g
3 g
0 0 1
( g1×
) ij
| | | i i
0 1 0
g g
Análogos los demás casos: g 2, g 3 (ejercicio *)
2) Se deducen las comp. covariantes puras del tensor axial a, de las componentes
contras del vector axial a :
a = aigi a = ai (gi) ~
0
3
g a
3
a
0
2
a
1
a ( a)
ij
2 1 a a 0
3) Como ejercicio: las componentes contravariantes puras de a×
Ejercicios de PR1 que pueden hacerse
•PR1.11, 12, 13
•PR1.14: Agregar estos apartados nuevos para operar en (2) : ´´Calcular las
componentes de los tensores que siguen en la base cartesiana:
iv. (i)·( jk kj)
v. (i)·(i)·(i)
vi. (i)·(j) – (j)·(i)
vii. a·(b)·a y en la base {a, b, ab} ´´
• Ejercicio: Forma matricial de la subida y bajada de índices en (3) :
•Ej.: Obtener las componentes cova-contra-cova del tensor E en dim. 3.
sol: e i ·j· k = e ihk g hj ... [[e i ·j· k]] i=f.,j=c.,k=m. = [[e ih1]·G 1 [e ih2]·G 1 [e ih3]·G 1 ] #.
Curso 2012-13 8

Teoría de Campos - § 1.3 - A. T. en
componentes
Problemas de la Práctica 1 factibles con §1.2 y §1.3
•Ejercicios y cuestiones: PR1.1 y PR1.2 (todos apartados)
•Problemas: PR1.7. PR1.10-Cuestión, PR1.11 (excepto aptdo. i)),
•NOTA: el resto de problemas y ejercicios de la Práctica 1, pueden hacerse
con la materia de la sección siguiente, §1.4.
_____________________________________
Curso 2012-13 9