homologıa - Geometría

A partir de un punto A de una cónica, se construye su punto de de Frégier FA (punto común a todas
las cuerdas que se ven desde A bajo un ángulo recto), luego la polar de FA con respecto a la cónica. El
eje e de la homología es el homotético de esta polar mediante la homotecia de centro A y de razón 2.
La homóloga de la cónica por esta homología es entonces una circunferencia, tangente a la cónica en A.
La recta paralela a e que pasa por A es globalmente invariante, se deduce que la circunferencia simétrica
de la circunferencia imagen en la simetría de centro A corta a la cónica de partida en un único punto
B: la intersección de la cónica con la recta. Esto a significa que el contacto en A entre la cónica y esta
circunferencia es de orden 3: ésta es la circunferencia osculatriz a la cónica en A, su centro C es el centro
de curvatura de la cónica en A. El punto C se construye como la intersección de AFA y la mediatriz de
AB.
Ejemplo:
Curvatura y centro de curvatura de la cónica x 2 − 2xy + y 2 − x + 3y − 4 = 0 en el punto (0, 1).
SOLUCI ÓN:
Damos tres formas de resolver el problema: la primera, utilizando una haz de cónicas osculatrices;
la segunda, mediante la fórmula que da la curvatura de una curva plana; y la tercera, mediante una
construcción geométrica, usando una homologia que transforma la cónica en una circunferencia.
• Se trata de calcular la circunferencia con máximo contacto con la cónica en (0, 1).
La tangente en el punto dado (0, 1) es 3x − 5y + 5 = 0 y una recta arbitraria por (0, 1), tiene por
ecuación mx − y + 1 = 0.
El haz de cónicas teniendo tres puntos de contacto con la cónica dada en (0, 1) está dado por (cónicas
osculatrices)
u(x 2 − 2xy + y 2 − x + 3y − 4) + v(3x − 5y + 5)(mx − y + 1) = 0,
o bien
(u + 3w)x 2 − (2u + 3v + 5w)xy + (u + 5v)y 2 + (−u + 3v + 5w)x + (3u − 10v)y − 4u + 5v = 0,
donde w = mv. Ésta representa una circunferencia si
u + 3w = u + 5v, 2u + 3v + 5w = 0.
Entonces
v = −3u
,
17
−5u
w = ,
17
5
m =
3 .
La ecuación de la circunferencia de curvatura es, poniendo u = 17,
2x 2 + 2y 2 − 51x + 81y − 83 = 0.
El centro de curvatura es (a, b) = (51/4, −81/4) (12.75, −20.25) y el radio de curvatura r =
√ c − a 2 + b 2 = 83/2 + (51/4) 2 + (−81/4) 2 = 17 √ 17/2 √ 2 24.78.
La Laguna, 4 de Septiembre del 2012 Pág. 14/26 Angel Montesdeoca