homologıa - Geometría

– Cónica que pasa por los vértices de dos triángulo autopolares
Dados dos triángulos autopolares (cada vértice es el polo del lado opuesto) respecto a una cónica, por
los seis vértices pasa una cónica.
SOLUCI ÓN:
Sean P QR y ABC dos triángulo autopolares respecto a una cónica C. Consideremos una homología,
con recta límite QR, que transforma la cónica en una circunferencia. Los puntos homólogos de los
vértices de los triángulos dados constituyen dos triángulo P ′ Q ′ R ′ y A ′ B ′ C ′ , autopolares respecto a la
circunferencia, siendo además P ′ el centro de la circunferencia (polo de la recta del infinito Q ′ R ′ ).
Para encontrar la cónica que pasa por los seis puntos P ′ , Q ′ , R ′ , A ′ , B ′ y C ′ , fijemos un sistema de
coordenadas con origen en P ′ , con eje de abscisas P ′ Q ′ y como eje de ordenadas P ′ R ′ . La ecuación de la
cónica que pasa por Q ′ , R ′ , A ′ (a1, a2), B ′ (b1, b2) y C ′ (c1, c2) (que será una hipérbola de asíntotas paralelas
a los ejes), no tiene términos en x2 e y2 , por lo que es
xy x y 1
a1a2 a1 a2 1
b1b2 b1 b2 1
c1c2 c1 c2 1
= 0.
Nos falta comprobar que el punto P ′ (0, 0) también satisface esta ecuación. Las polares, respecto a la
circunferencia (de centro en el origen y radio r) homóloga de C, de los puntos A ′ , B ′ y C ′ son, respectivamente:
a1x + a2y − r 2 = 0, b1x + b2y − r 2 = 0, c1x + c2y − r 2 = 0.
Y como cada punto está en las polares de los otros:
de donde,
a1b1 + a2b2 − r 2 = 0, a1c1 + a2c2 − r 2 = 0, b1a1 + b2a2 − r 2 = 0, b1c1 + b2c2 − r 2 = 0,
c1a1 + c2a2 − r 2 = 0, c1b1 + c2b2 − r 2 = 0,
a1b1 + a2b2 = a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2.
Por lo que el punto P (0, 0) satisface la ecuación de la cónica, ya que
−
=
a1a2
b1b2
c1c2
a1
b1
c1
a2
b2
c2
=
0 0 0 1
a1a2 a1 a2 1
b1b2 b1 b2 1
c1c2 c1 c2 1
a1a2b1c2 + a1b2c1c2 + b1b2c1a2 − c1c2b1a2 − b1b2a1c2 − a1a2c1b2 =
(b1c1−a1c1)a2b2+(a1b1−c1b1)a2c2+(a1c1−a1b1)b2c2 = (a2c2−b2c2)a2b2+(b2c2−a2b2)a2c2+(a2b2−a2c2) = 0.
La Laguna, 4 de Septiembre del 2012 Pág. 18/26 Angel Montesdeoca