Vibración Libre (Sistemas con un grado de libertad) Movimiento ...

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO Departamento de Ciencias Básicas
Vibración Libre (Sistemas con un grado de libertad)
Movimiento armónico
Objetivo:
El alumno comparará la solución al problema de vibración libre de forma analítica y
experimenta por medio de un sistema de un grado de libertad constituido por una masa y un
resorte.
Materiales:
1 resorte
1 plato de balanza
Masa de peso conocido
Equipo:
Calculadora
CBR
Actividades:
Se requiere determinar el valor de la constante elástica del resorte; resolver la ecuación
diferencial para un sistema de un grado de libertad considerando el valor del coeficiente de
amortiguamiento como cero, comparará la solución analítica contra la solución experimental.
Determinar la relación entre las variables de forma:
a) Verbal
b) Tabular
c) Grafica
d) Analítica
Un sistema de un grado de libertad esta dado por:
x
Donde
Fk
Fc
FI = ma; Fc = cv; Fk = kx
k m
F(t)
FI + Fc + Fk = F(t)
ma + cv + kx = 0
mx’’ + cx’ + kx = 0
Vibración Libre 1 M. en C. José Luis Hernández González
FI
Fk
Fc
F(t)

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Formulación:
Considere un sistema de un grado de libertad con una masa y un resorte como se muestra,
La ecuación que modela el fenómeno de vibración libre es:
my’’ + cy’ + ky = 0
Donde c = 0, entonces se considera movimiento armónico
Si consideramos que:
w 2
n =
my’’+ ky = 0
k
m
w n =
y’’+ wny = 0
Evaluando las condiciones iniciales
y(0)
y’(0)
La solución está dada por:
y'(
0)
y = sen(
w n t)
+ x(
0)
cos( w nt)
(1)
w n
El período es:
k
T = 2π
m
y la frecuencia natural es.
1 1 k
f n = =
T 2π
m
Suponga que la solución de la ecuación diferencial esta dada por
C
y0 D
y = Acos(ωt + θ) + C
A
Vibración Libre 2 M. en C. José Luis Hernández González
T
k
m
m
k
y

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Describa qué significa cada una de las constantes:
A = _______ _______________________________________________________________
C = _______ _______________________________________________________________
D = _______ _______________________________________________________________
T = _______ _______________________________________________________________
y0 = _______ _______________________________________________________________
Describa qué significan los siguientes parámetros:
Frecuencia circular _____ _____________________________________________________
Frecuencia natural _____ _____________________________________________________
Período ______________ _____________________________________________________
Ángulo de fase ________ _____________________________________________________
Procedimiento:
Colocar el resorte y suspender el plato, colocando el CBR a una distancia mayor de 0.35 cm.
(Tome en cuenta la deformación final del resorte); determine el valor de la constante elástica y
el valor de la masa.
m =
k =
Ejecute el programa motiond() o ranger(), seleccione la sección a estudiar de los datos
recopilados mediante el programa trimdata(), determine los valores de cada uno de los
parámetros:
A = _______ _______________________________________________________________
C = _______ _______________________________________________________________
D = _______ _______________________________________________________________
T = _______ _______________________________________________________________
y0 = _______ _______________________________________________________________
Escriba el modelo matemático del movimiento analizado
Vibración Libre 3 M. en C. José Luis Hernández González
m
k
y

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Calcule la velocidad y la aceleración del objeto por medio de la derivada. Sustituya los valores
necesarios en la ecuación (1) y compare los valores teóricos vs experimentales
Muestre sus gráficas:
Ecuaciones Diferenciales Experimental (CBR)
Compruebe que la solución propuesta sustituida en la ecuación diferencial devuelve una
igualdad.
Vibración Libre 4 M. en C. José Luis Hernández González