Documento sobre inducción matemática

Así, p(k + 1) es verdadero, lo que completa la demostración.
Ejemplos
a) Si x ≥ 0 entonces ∀ n ∈ N, (1 + x) n ≥ 1 + x n .
Demostración por inducción: Cuando n = 1 se tiene 1 + x ≥ 1 + x lo cual
es verdadero.
Supongamos que x ≥ 0, k ∈ N y (1 + x) k ≥ 1 + x k . Entonces
lo que completa la demostración.
b) ∀ n ∈ N, n 2 ≤ n.
(1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x)
≥ (1 + x k )(1 + x)
= 1 + x k+1 + x + x k
≥ 1 + x k+1 ,
Cuando n = 1 se tiene 1 2 ≤ 1 lo cual es verdadero.
Supongamos que k ∈ N y k 2 ≤ k. Entonces
implica
ó
lo cual implica
(k + 1) 2 ≤ k + 1
k 2 + 2k + 1 ≤ k + 1
k 2 + 2k ≤ k
k 2 ≤ k,
que es nuestra hipótesis original, supuesta verdadera. Esto completa la de-
mostración.
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