¡A cuenta gotas! Parte II. - Uam

¡A cuenta gotas! Parte II.
María del Pilar Beltrán Soria * , René Gerardo Rodríguez Avendaño **
Recibido: 10 noviembre 2009.
Aceptado: 24 noviembre 2009.
2. El problema (descripción a detalle del experimento
de Millikan)
Roberts Andrews Millikan nació en Morrison Illinois,
Estados Unidos de Norteamérica, el 22 de Marzo del
año 1868, bajo el signo piscis del zodiaco, fue hijo
de un ministro, obtuvo su doctorado en física en
la Universidad de Columbia y realizó trabajo post
doctoral en Berlín Alemania, así como en la Universidad
de Gotinga. Se incorporó al cuerpo docente
de la Universidad de Chicago en 1896, y en 1910
fue profesor de física. Fue precisamente en la Universidad
de Chicago donde estudio bajo la dirección
del astrofísico estadounidense Albert Abraham Michelson,
quien recibió el premio Nobel de física en
1907 por desarrollar un extraordinario instrumento
para medir distancias mediante interferencia de ondas
luminosas, con lo cual en 1878 determinó la velocidad
de la luz, que cifró en 299,910 km/s, y posteriormente
demostró, mediante el llamado experimento
de Michelson–Morley (1901), que la velocidad
de propagación de la luz es independiente del movimiento
de la Tierra.
Michelson construyó instrumentos ópticos de precisión,
con los que llevó a cabo diversas investigaciones
espectroscópicas, y logró determinar de forma
absoluta el diámetro de algunas estrellas, indudablemente
la influencia de Michelson sobre Millikan
fue determinante y quizá fue el principal motivo
por el cual Millikan no abandonó la universidad
hasta el año de 1921, cuando se le requirió para
un puesto de mayor importancia al convertirse
en director del laboratorio Norman Bridge de física
en el Instituto de Tecnología de California.
* IEMS Plantel “Iztapalapa I” Calzada Ermita Iztapalapa
No. 4163, Col. Lomas de Zaragoza, Del Iztapalapa.
C.P. 09620, México D.F. pilysori@yahoo.com.mx, tel.
(55)59764790
** IEMS Plantel “Salvador Allende” GAM II. Av. Ferrocarril
Hidalgo No. 1129, Col. Constitución de la
República, Gustavo A. Madero GAM. C.P. 07469, México
D.F.a rgra@yahoo.com.mx
53
Como muchos otros científicos (del pasado y del presente)
el principal objetivo de Millikan al principio
de su carrera era el reconocimiento científico, y
aunque, ya había escrito algunos buenos textos escolares
con anterioridad, estaba deseoso de realizar
una contribución verdaderamente importante en el
área de la Física. Millikan contaba ya con cuarenta
años de edad y por esa época el interés estaba situado
en la determinación de la magnitud de la carga
del electrón, aunque dedicarse de lleno a tal labor
podía haber representado justamente todo lo contrario
de lo que Millikan anhelaba.
Hay que establecer que en esa época en Inglaterra
otro de los grandes científicos J. J. Thomson después
de haber descubierto la existencia del electrón
también se había abocado a la tarea de la determinación
de la carga del electrón (demostrando que el
átomo tenía partes internas) siendo además el director
de tesis de Millikan y teniendo a su cargo el laboratorio
Cavendish de la Universidad de Cambridge
las posibilidades se hacían cada vez menores para
Millikan. Uno de los colaboradores de Thomson
había inventado ya un dispositivo llamado “cámara
de niebla” (que inicialmente había sido inventada
simplemente para estudiar las nubes de la atmósfera)
el cual era útil para seguir trayectorias de partículas
cargadas y de movimiento rápido, esto se lograba
haciendo que el aire supersaturado (lleno de vapor
de agua) de su interior se condensara alrededor
de las partículas de polvo y otras partículas que flotaban
libremente llamadas iones, lo cual suponía una
ventaja sobre otros científicos en la carrera por determinar
antes que nadie la carga del electrón.
Paradójicamente el dispositivo de niebla que parecía
trazar la ruta adecuada para la determinación
de la carga eléctrica del electrón dado que se
podían manipular las partículas cargadas eléctricamente
(iones) tuvo un efecto negativo al retardar
la determinación adecuada, principalmente porque
utilizaba agua y presentaba la dificultad de que se
evaporaba rápidamente a este método se le conoció
como método “Wilson” quien fue un estudiante
de Thomson.

54 ContactoS 75, 53–63 (2010)
Una breve descripción de algunos detalles de éste
método son que los iones generados por radiación externa
en la cámara de niebla, actuaban como centros
de nucleación de las gotas de agua por acción
de la atracción de las moléculas de agua con
el vapor de agua supersaturado. Estas pequeñas gotas,
podían ser observadas con ayuda de iluminación,
cuando descendían lentamente por acción de
la gravedad.
Claro está que Millikan seguía los pasos de su director
de tesis y también utilizaba la “cámara de
niebla” y para ionizar la nube gaseosa en la cámara
utilizó primero los rayos X de Roentgen y posteriormente
pequeñas cantidades de radio, haciendo
la prueba con un campo eléctrico más potente en la
cámara, con el fin de contrarrestar la fuerza de la gravedad
suspendiendo la nube manteniéndola inmóvil
todo con el afán de que por un hecho milagroso pudiera
adelantarse a los resultados de los mismos creadores
del dispositivo, cosa que a todas luces parecía
irracional, sin embargo Millikan acertó un golpe de
suerte cuando en un congreso en la universidad de
Chicago y después de haber expuesto sus primeros
resultados el afamado científico neozelandés Ernest
Rutherford (que había demostrado que las sustancias
radiactivas producen tres tipos de emanaciones
a las que llamo rayos alfa, rayos beta y rayos gamma)
le hizo ver a Millikan que una de las grandes dificultades
era la gran velocidad con la que se evaporaban
las diminutas gotas de agua. Además se encontraba
el hecho de las propias limitaciones de la Ley de Stokes,
que describe el movimiento de gotas minúsculas
en un fluido y que desde tiempo atrás el equipo
de Thomson utilizaba para calcular el tamaño promedio
de las gotas individuales que componían la
nube simplemente midiendo la velocidad con la que
caía la nube.
Rutherford le hizo ver que el generar una nube completa
en la “cámara de niebla” no era adecuado para
obtener el valor correspondiente de la carga del
electrón y, hay que considerar, que sabía de lo que estaba
hablando ya que la naturaleza de los rayos beta
que trabajaba Rutherford fue determinada después
de cinco años de investigación, en los cuales utilizaba
el propio aparato de Thomson para obtener finalmente
la naturaleza de tales rayos y dar a conocer
que estaban constituidos de electrones (misma
conclusión a la que había llegado Becquerel en el
año de 1900).
Pero ¿en donde radicaba entonces el error cometi-
do por el equipo de Thomson? quizá la respuesta tenga
que ver con el procedimiento del cálculo que proseguía
a la obtención de la velocidad de caída de la
nube ya que sabiendo además el volumen total de vapor
de agua dentro de la nube y el tamaño medio de
las gotas, Thomson pudo calcular (con la colaboración
de su estudiante de doctorado Charles Wilson)
el número de gotas que contenía la nube y bajo
la suposición de que cada gota de la nube se había
condensado alrededor de un único electrón, se podía
dividir la carga de la nube por el número de gotas
para obtener una estimación aproximada de cada
electrón, sin embargo los valores tenían una muy
baja precisión.
Millikan después de las recomendaciones hechas por
Rutherford, modificó su aparato para estudiar gotas
individuales en lugar de medir toda una nube.
La nueva versión consistía en una cámara en
la que las gotas de agua cargadas caían por un
pequeño agujero, originado en una placa horizontal,
entrando así en un área donde, con la ayuda
de un microscopio (que utilizó porque las gotas
eran extremadamente pequeñas, tanto que aún
con el microscopio Millikan sólo observaba la gota
como si estuviera viendo a una estrella lejana
en el firmamento), podía verse cómo subían o bajaban
entre dos marcas de medición hechas al interior
de la cámara.
En 1909 Millikan envió su primer artículo sobre el
método que denominó “equilibrio de las gotas” (en
el cual se mantenía una nube en estado estacionario
por efecto de un campo eléctrico lo suficientemente
fuerte para evitar que se cayera por efecto gravitatorio)
que fue publicado en febrero de 1910. El
artículo fue notable por la honestidad de su presentación,
tanto así que el historiador de la ciencia Gerald
Holton lo describe como un gesto poco común
en la literatura científica. Millikan incluyo sus juicios
personales sobre la fiabilidad y validez de cada
una de las 38 observaciones de gotas. Cuestión
que seguramente después lamentaría.
Ese mismo año Felix Ehrenhaft (1879–1952) utilizaría
diminutas partículas de metal en lugar de gotas
afirmando, en una publicación que saldría en
1910, que sus resultados probaban la existencia de
“subelectrones” con cargas inferiores a las que Millikan
sostenía que era la menor, a la vez establecía
que los mismos experimentos de Millikan soportaban
la teoría de la continuidad de la carga
eléctrica.

¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodríguez A. 55
La siguiente modificación al experimento tenía que
ver con la rápida evaporación de agua que anteriormente
había sido cuestionada por Rutherford, Millikan
trataba de resolver el problema, cuando la respuesta
le llegó en un momento de inspiración (según
se establece en su autobiografía) en el cual comprendió
que no tenía sentido luchar contra la evaporación
de las gotas de agua cuando los aceites de relojería
se habían desarrollado explícitamente para resistir
a la evaporación. Por lo tanto la idea de Millikan
era utilizar una sustancia más pesada que el agua
y que tuviera una tasa de evaporación menor como
el mercurio o un aceite.
Tal idea, posteriormente ha sido causa de disputas
acerca de la originalidad ya que el mismo Millikan la
atribuye en los artículos escritos en esa época a su colega
J. Y. Lee, mientras que un estudiante de doctorado
de Millikan, Harvey Fletcher, afirmó más tarde
que era a él a quien se le había ocurrido la idea de utilizar
gotitas de aceite. En este punto habrá que establecer
que Millikan había asignado a Fletcher la
misión de encontrar el mejor método experimental,
y discernir entre utilizar mercurio, glicerina o aceite,
por lo que no es nada descabellado pensar que
en realidad tal idea pudo provenir de los resultados
de Fletcher. Sobre todo si se analiza el hecho
de que Fletcher fue quien diseño el instrumento mediante
el cual una gota de aceite permanecía suspendida
en el aire como si bailara, este fenómeno es conocido
como movimiento Browniano, y actualmente
es de gran interés científico. Cuando Fletcher comunicó
sus resultados a Millikan éste desecho todo
lo que se había obtenido utilizando agua y puso
su atención a los resultados obtenidos con las gotas
de aceite.
Así pues Millikan y Fletcher trabajando sobre el
nuevo y mejorado dispositivo encontraron dos valiosos
resultados. Uno era la determinación de la carga
eléctrica (conocida como e) y el otro era, la determinación
del producto NAe donde NA es el número
de Avogadro. El producto NAe pudo ser obtenido
gracias a las observaciones del movimiento browniano
de las gotitas de aceite en el experimento. Justo
en este punto se establece uno de los pasajes más
oscuros dentro de la vida científica de Millikan ya
que le propuso a su estudiante de doctorado Fletcher
ser el único autor del resultado del trabajo acerca
del movimiento Browniano, siempre y cuando Millikan
apareciera como el único autor en la determinación
de la carga eléctrica del electrón, ya que
Fletcher necesitaba una publicación en donde apa-
reciera como autor único para poder obtener el grado
de Doctor. Sin duda alguna Millikan sabía que
la medición de la carga del electrón podría elevar en
gran medida su reputación como investigador y él
quería todo el crédito para sí mismo. Fletcher, también
lo entendió así y estuvo en desacuerdo con Millikan,
pero Millikan había sido su mentor y protector
así que no tuvo más remedio que aceptar el trato.
Según se tiene reportado aún con este incidente Millikan
y Fletcher permanecieron siendo buenos amigos
y fue hasta la muerte de ambos cuando finalmente
se hizo público tal hecho. Sin embargo hay que tomar
en cuenta que cuando Fletcher finalmente obtuvo
el grado de Doctor en Física se separó indefinidamente
de Millikan.
Como sea, la idea era crear cargas eléctricas negativas
en el interior de una gota y dejarla caer durante
unas pocas fracciones de segundo bajo la sola
influencia de la gravedad. Sin embargo las gotas
de aceite eran también muy pequeñas y nuevamente
tuvo que verlas a través de un microscopio.
En septiembre de 1910, Millikan publicó en solitario
su segundo artículo importante sobre la carga de
los electrones, el primero basado en gotas de aceite,
en la prestigiosa revista Science. En este artículo
no ordena las gotas según su fiabilidad, dice explícitamente
no haber incluido varias de ellas en sus
cálculos de la carga de un electrón. En algunos casos,
según explica, la causa era un error experimental
grande.
En 1913 Millikan publicó un artículo en el cual asegura
que los datos que los datos que presenta provienen
de una serie de observaciones sobre 58 gotas
que, según señala no es un grupo selecto de gotas
sino que constituye el conjunto completo de las observadas
experimentalmente. Posteriormente un examen
cuidadoso de Holton sobre los cuadernos que incluían
los datos experimentales de Millikan revelaría
que en realidad había estudiado 140 gotas y no las
58 que mencionaba en él, este el periodo comprendido
entre el 11 de Noviembre de 1911 al 16 de Abril
de 1912 según obra en los archivos de Caltech. Los
divulgadores científicos al leer el trabajo presentado
por Holton, han centrado su atención en la omisión
de las gotas, y especialmente en la falsa afirmación
de Millikan en su artículo de 1913, de que había
incluido todas las observaciones.
3. Las consecuencias
La disputa entre R. Millikan y F. Ehrenhaft, que

56 ContactoS 75, 53–63 (2010)
duró varios años (1910 a 1925) concluyó finalmente
cuando Ehrenhaft abandonó la causa de defender
la teoría de los subelectrones. Años más tarde
se obsesionó con otra: los monopolos magnéticos,
algo así como imanes con un solo extremo
imantado.
Sin embargo Holton y muchos otros historiadores de
la ciencia han centrado su atención y analizado tal
disputa desde otro punto de vista, presentado una
detallada reconstrucción de la metodología de experimentación
de Millikan y Ehrenhaft estipulando que
Ehrenhaft seguía el método científico tradicional (como
el que se presenta en los libros de texto) permitiendo
que la teoría sea dictada por datos experimentales.
Mientras que la metodología experimental
de Millikan fue guiada por las presunciones, cuando
Holton analizó los cuadernos que contenían los datos
experimentales de las gotas de aceite del artículo
de 1913 encontró que el 59 % de los datos de las gotas
estudiadas fueron descartados ya que no concordaban
con la hipótesis de Millikan de la carga eléctrica
fundamental del electrón.
Es importante resaltar el hecho de que en muchos libros
de texto actuales no se menciona la controversia
Millikan–Ehrenhaft y que tiene gran importancia
en la historia de la ciencia, sobre todo si se analiza
que en muchos libros se enaltece el uso del método
científico tal como lo hizo Ehrenhaft y que actualmente
este científico se encuentra totalmente ignorado
y olvidado. Para entender los diferentes puntos
de vista entre ambos científicos habrá que establecer
el contexto en el que se presenta tal discrepancia
del método científico, es importante considerar
que a finales del siglo XIX existen dos posiciones
antagónicas sobre el carácter del trabajo
científico.
Una de ellas la podemos identificar con científicos como
el físico y filósofo austriaco Ernest Mach, quienes
siguen una línea filosófica que defiende una base fenomenológica
basada en correlaciones de observaciones
directas evitando usar cantidades “hipotéticas”.
Por otro lado tenemos a científicos como el físico austriaco
Ludwing Boltzmann que defienden el uso de
entidades ocultas a la observación directa como medio
para entender la realidad. Sin embargo, para ambas
concepciones el carácter experimental del método
científico es crucial.
Esta distinción de posiciones filosóficas es fundamental
porque es claro que el éxito de una teoría depende
no de uno, sino de muchos experimentos realiza-
dos por muchas personas y la importancia asignada
a los diferentes experimentos depende de las diferentes
orientaciones filosóficas, además de que un
mismo experimento puede significar cosas diferentes
en diferentes tradiciones.
Bajo este punto de vista, quizá se pueda establecer
el por qué los resultados obtenidos por Ehrenhaft
fueron desechados y los de Millikan prevalecieron,
más allá de considerar que existía entre ambos
científicos una rivalidad mal canalizada. Aunque
hay que establecer que realmente Ehrenhaft nunca
fue considerado por Millikan como su más reconocido
adversario, sino más bien fue su propio director
de tesis J. J. Thomson quien hasta la fecha es recordado
como el “padre del electrón”.
Por otra parte los resultados no mostrados del trabajo
de Millikan han provocado que el hecho sea presentado
como ejemplo de conducta contraria a la ciencia,
y específicamente al método científico, quizá esa
sea la razón por la cual en la universidad de Chicago
no exista evidencia alguna de la labor realizada
por este gran científico. Holton establece como
hipótesis en su trabajo de 1982, la importancia trascendental
que tienen los factores temáticos o metafísicos
en la investigación científica de Millikan
y Ehrenhaft.
Lo cierto hasta ahora y lo que aparece en los libros
de texto es que a través del experimento de Millikan
y otros experimentos adicionales, se ha determinado
que la carga de un electrón es 1.6 × 10 −19 C
(Coulombios). A continuación se presenta la secuencia
matemática que describe la fenomenología
física en el experimento de la gota de aceite de
Millikan.
Descripción cuantitativa del experimento de
las gotas de aceite de Millikan.
Una descripción de este experimento puede ser resumida
de la siguiente manera: en primera instancia
hay que considerar que el comportamiento de las gotas
de aceite, es muy diferente a la nube de agua que
se formaba en la cámara de niebla, ya que las gotas
individuales de aceite se pueden manipular individualmente,
esto se debe a que la gota queda cargada
eléctricamente entre las placas, cuyo voltaje se
puede variar para que la gota no caiga al fondo. Modificando
el voltaje entre las placas se podría hacer
que las gotas de aceite ascendieran a velocidad constante.
La carga en cada una de las gotas fue generada
utilizando irradiación con rayos X, la cual se ad-

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hirió a las gotas, implicando con ello un pequeño
número de electrones (n = 0,1,2,3,...).
Cuando se eliminaba el campo eléctrico la gota estaba
sometida exclusivamente a la fuerza de la gravedad
y, debido a la resistencia del aire, la gota no
caía aceleradamente sino que alcanzaba una velocidad
terminal. Para la descripción matemática de lo
anteriormente comentado se puede considerar que
el aire tiene una viscosidad η conocida y que se
puede establecer el valor de la fuerza gravitacional
como:
Fg = m ∗ g = Ff
Donde Fg es la fuerza de la gravedad, y m ∗ es la masa
aparente, tomada en cuenta en la frontera del aceite
y el aire, mientras que Ff es la fuerza de fricción
que se opone al movimiento por lo que la ecuación
se puede escribir como:
Fg = (ρaguaV − ρ aire V )g = −6πηrv
Donde m ∗ = ρaguaV − ρ aire V y Ff = −6πηrv para
partículas esféricas (considerándose a la gota como
tal) según se establece en la ecuación de Stokes,
(la resistencia opuesta por un fluido al movimiento
de una esfera en su seno es proporcional a la velocidad
relativa) la cual debe su nombre al físico y matemático
irlandés George Gabriel Stokes.
Por lo que se puede reescribir como:
Fg = g(ρagua − ρ aire )V = −6πηrv
O bien, considerando el volumen de una partícula
esférica.
Fg = (ρagua − ρ aire ) 4
3 πr3 = −6πηrv
De donde se puede despejar la velocidad terminal
constante y obtener:
v = m∗ g
6πηr
La cual depende de la viscosidad del gas (η aire ), el
radio de la gota r (que puede ser determinado a partir
de la masa total condensada en la parte inferior
de la cámara de niebla), la constante de aceleración
gravitacional g, y la masa de la gota m.
Retomando la definición hecha para la masa aparente
m ∗ se tiene que se puede calcular la velocidad
de caída v0.
g(ρaceite − ρaire )
v0
4
3πr3 6πηr
Entonces despejando el radio de una de las gotas de
aceite
r =
9ηv0
(ρaceite − ρaire )2g
puede ser estimado ya que como se estableció anteriormente
la viscosidad del aire η es conocida. Si un
campo eléctrico E0 ahora es aplicado, entonces una
fuerza eléctrica F = qE0 actúa sobre la gota de aceite,
donde q = −ne, donde finalmente aparece la carga
eléctrica del electrón. Con el campo eléctrico adecuado
compensando la gravedad se tiene:
meE0 = −g(ρ aceite − ρ aire ) 4
3 πr3
Con lo cual se puede calcular la carga de la gota de
aceite de la manera siguiente:
−q = ne = − g
E0
4
3 πr3 (ρ aceite − ρ aire )
Una variación del experimento de un campo eléctrico
mayor E1 es aplicado, con lo cual se mueve la gota de
aceite hacia arriba, y la gota experimenta una fuerza
total de:
F = qE1 − g 4
3 πr3 (ρ aceite − ρ aire ) − 6πηrv
En la cual la velocidad terminal en este caso:
v1 = qE1 − g 4
3 πr3 (ρ aceite − ρ aire )
6πηr
Por lo que al restar v1 − v0 se obtiene:
De la cual la carga es:
v1 − v0 = qE1
6πρr
q = −ne = 6πηr(v1 − v0)
= 36π
η
3
2 v0
(v1 − v0)
E1 2 g(ρaceite − ρaire )
Cuando la gota cambia su carga, su velocidad terminal
v1 cambiará. La carga más pequeña será observada
cuando ∆n = 1. Lo cual proporciona la carga
elemental del electrón.
Se puede obtener valores para la carga elemental del
electrón que sean dos veces la carga elemental, tres
veces la carga elemental, nueve veces la carga elemental
y muchos otros números enteros de esta carga
elemental. Pero nunca se verá una parte fraccional
de esta carga elemental, asumiendo que la carga
no se puede dividir.

58 ContactoS 75, 53–63 (2010)
q = 3.2 × 10 −19 C
q = 6.4 × 10 −19 C
q = 8.0 × 10 −19 C
q = 11.2 × 10 −19 C
Cuadro 1.
Es decir, para cada una de las gotas individuales se
puede establecer que:
Qgota = n(1.6 × 10 −19 C)
Donde n es un número entero positivo, que denota
el número de electrones que fueron añadidos en el
experimento de Millikan a cada una de las gotas de
aceite y que en conjunto contribuyen a la carga neta
de la gota.
Millikan obtuvo valores para la carga del electrón
como los mostrados en la tabla 1.
Teorías actuales de física declaran que cargas de
1/3 y 2/3 de la carga elemental del electrón pueden
existir. Hay evidencia para estas cargas fraccionadas
y los cuarks (los componentes más pequeños
de los cuales está hecha la materia) están
asociados.
Para poder acoplar los resultados de Millikan con estas
nuevas teorías habrá que considerar que los resultados
de la gota de aceite de Millikan hasta ahora
pueden establecer la conclusión de que los cuarks
siempre se unen para hacer una carga total de +1
ó −1, lo cual no contradice de ninguna manera los resultados
del experimento de las gotas de aceite.
Una manera muy práctica y fácil de entender los resultados
obtenidos por Millikan, es a través de la situación
de encontrar la masa y la cantidad de canicas
que se encuentran en un costalito, con la condición
de que no se puede abrir y observar su contenido
y con la ayuda que se conoce la masa de varios
de ellos que contienen diferentes números de canicas,
tal y como se describe en el ejemplo numero
uno y dos que a continuación se presentan.
Ejemplo 1
Se tienen varios sacos cada uno con un número determinado
de canicas. Los pesos de los sacos son de
8, 14, 18, 20, 26, 40 gramos respectivamente. ¿Cuál
es el peso de cada canica y cuantas canicas hay en
cada saco?
En el primer saco las posibilidades más sencillas de
pesos en las canicas son: 1, 2, 4, 8. A esos números
Peso de cada canica Número de canicas
en el saco
1 g 8
2 g 4
1/2 g 16
Cuadro 2.
Peso de cada canica Número de canicas
en el saco
8 g 1
4 g 2
Cuadro 3.
les llamaremos los factores o divisores del 8 ya que
son los números naturales que dividen al 8 y no hay
más. Si formamos parejas, primer número con último
y segundo con penúltimo, podemos formar las dos
primeras filas de la tabla 2.
Hay que hacer notar que también es permitido considerar
que el peso de una canica sea un número fraccional,
por sencillez nos limitaremos al análisis de
1/2 g exclusivamente. Para los dos primeros pesos
de canicas, también funciona intercambiando los datos
de las columnas, tabla 3.
O podemos ponerlo en una sola tabla 4, p. 58.
Sin embargo cuando se propone que cada canica pese
16 g se obtiene la tabla 5, p. 59.
Lo cual es físicamente imposible ya que el número de
canicas debe ser siempre un número entero positivo,
con lo cual queda descartado el hecho de que cada
canica pueda pesar 16 gramos y con esto cualquier
otro peso en el cual se obtenga un número de canicas
no entero positivo.
Restricción 1: el número de canicas en los sacos
debe ser un número entero positivo.
Hay que hacer notar una restricción adicional, en
el primer saco el número de gramos obtenidos es
de ocho, por lo tanto ninguna canica puede pesar
más de esa cantidad lo cual nuevamente concuerda
con la eliminación de 16 g como respuesta.
Peso de cada canica Número de canicas
en el saco 1
1 8
2 4
4 2
8 1
Cuadro 4.

¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodríguez A. 59
Peso de cada canica Número de canicas
en el saco
16 g 1/2
Cuadro 5.
Peso de cada Número de Factibilidad
canica canicas en el del
saco 2 resultado
1/2 28 SI
1 14 SI
2 7 SI
7 2 SI
14 1 NO ∗
Cuadro 6. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8 g derivado del primer saco de canicas.
¿Qué pasa para el segundo saco? véase tabla 6, p. 59.
¿Qué pasa para el tercer saco? véase tabla 7, p. 59.
¿Qué pasa para el cuarto saco? véase tabla 8, p. 59.
¿Qué pasa para el quinto saco? véase tabla 9, p. 59.
¿Qué pasa para el sexto saco? véase tabla 10, p. 59.
Ya tenemos todas las posibilidades, pero las canicas
en los seis sacos son iguales, por lo que deben pesar
lo mismo, entonces se reducen las posibilidades. De
las seis tablas, los pesos que coinciden en las 6 tablas
son el 1/2, 1 y el 2.
En este problema tenemos las siguientes posibles soluciones:
Si cada canica pesa 1/2 gramo:
Para el saco uno tenemos 16 canicas.
Para el saco dos tenemos 28 canicas.
Para el tercer saco tenemos 36 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 40 canicas.
Para el quinto saco tenemos 56 canicas.
Para el sexto saco tenemos 80 canicas.
Peso de cada Número de canicas Factibilidad
canica en el saco 3 del resultado
1/2 36 SI
1 18 SI
2 9 SI
3 6 SI
6 3 SI
9 2 NO ∗
18 1 NO ∗
Cuadro 7. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8 g derivado del primer saco de canicas.
Peso de cada Número de canicas Factibilidad del
canica en el saco 4 resultado
1
2 40 SI
1 20 SI
2 10 SI
4 5 SI
5 4 SI
10 2 NO*
20 1 NO*
Cuadro 8. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8g derivado del primer saco de canicas.
Peso de cada Número de canicas Factibilidad del
canica en el saco 5 resultado
1/2 56 SI
1 26 SI
2 13 SI
13 2 NO*
26 1 NO*
Cuadro 9. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8g derivado del primer saco de canicas.
Peso de cada Número de canicas Factibilidad del
canica en el saco 6 resultado
1 40 SI
2 20 SI
4 10 SI
5 8 SI
8 5 SI
10 4 NO*
20 2 NO*
40 1 NO*
Cuadro 10.

60 ContactoS 75, 53–63 (2010)
Si cada canica pesa 1 gramo:
Para el saco uno tenemos 8 canicas.
Para el saco dos tenemos 14 canicas.
Para el tercer saco tenemos 18 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 20 canicas.
Para el quinto saco tenemos 26 canicas.
Para el sexto saco tenemos 40 canicas.
Si cada canica pesa 2 gramos:
Para el saco uno tenemos 4 canicas.
Para el saco dos tenemos 7 canicas.
Para el tercer saco tenemos 9 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 10 canicas.
Para el quinto saco tenemos 13 canicas.
Para el sexto saco tenemos 20 canicas.
Otra posible solución a este problema es observar
los números de los pesos en cada uno de los sacos de
canicas y determinar si existe alguna relación entre
ellos. Si se obtiene la diferencia que existe entre estos
valores tenemos la tabla 11, p. 61.
Analizando los incrementos nos damos cuenta de que
el menor de ellos es de 2 g por lo que debe existir un
número entero positivo de canicas que proporcione
dicha cantidad. Elaboremos, entonces, la tabla 12,
p. 61.
Llegando nuevamente a los valores de 1/2 g, 1 g y
2 g que se habían obtenido con el método anterior
sólo que este método presenta la ventaja de que puede
aplicarse aún cuando las mediciones de los pesos
no sean números enteros como se presenta a continuación,
en el ejemplo número dos. Los valores que
son las tres posibles respuestas pueden también escribirse
como:
Primera posibilidad: mc = 1
2 g ó mc = 0.5g ó mc =
2 −1 g.
Segunda posibilidad: mc = 1g ó mc = 2 0 g.
Tercera posibilidad: mc = 2g ó mc = 2 1 g.
Ejemplo 2:
Consideremos ahora que las mediciones en cada uno
de los sacos que contienen las mismas canicas del
ejemplo uno son 2.82, 6.58, 10.34, 14.1, 17.86 y 23.5
gramos respectivamente y que tenemos que determinar
la masa y el número de canicas de cada uno y
que además concuerden con los resultados del ejemplo
uno.
Habrá que establecer nuevamente lo siguiente:
Restricción 1: el número de canicas en los sacos debe
ser un número entero positivo.
Masa
propuesta
Masa
propuesta
Ejemplo 1 Ejemplo 2
1 g 0.94 g 0.6 g
0.5 g 0.47 g 0.3 g
Cuadro 15.
Diferencia de
valores
A continuación si se obtiene la diferencia que existe
entre estos valores tenemos la tabla 13, p. 61.
Analizando los incrementos nos damos cuenta de que
el menor de ellos es de 3.76 g por lo que debe existir
un número entero positivo de canicas que proporcione
dicha cantidad. Hay que hacer notar que en el
primer saco solamente se tienen 2.82 g por lo automáticamente
se tiene la restricción de que una canica
no puede pesar más de esa cantidad.
Restricción 2: m canica ≤ 2.82 g
Elaboremos entonces, la tabla 14, p. 61.
De los resultados de la tabla se puede verificar que las
cantidades que son enteros positivos para el número
de canicas dentro de los sacos son:
Primera posibilidad: mc = 0.94 g.
Segunda posibilidad: mc = 0.47 g.
Con lo cual al comparar con los resultados del ejemplo
número uno, tenemos que, la masa de cada una
de las canicas debe ser de 0.47g, ya que si analizamos
la diferencia entre ambos problemas tenemos
que la diferencia es menor, tabla 15, p. 60.
Ejemplo 3:
Una vez realizada la metodología para el caso de
las canicas y los sacos podemos extrapolar el procedimiento
al problema de la determinación de la carga
del electrón con los datos obtenidos por medio del
experimento de Millikan, los datos son los de la tabla
16, p. 62.
A continuación si se obtiene la diferencia que existe
entre estos valores tenemos la tabla 17, p. 62.
Por lo que la menor diferencia es de 3.2×10 −19 C, con
lo cual habrá que determinar ¿Cuántos electrones
son necesarios para generar tal carga? véase tabla 18,
p. 63.
Lo cual establece que los posibles valores para la carga
eléctrica del electrón son: 1.6 × 10 −19 C y 0.8 ×
10 −19 C. Sin embargo Millikan nunca encontró valores
de carga eléctrica menores a 1.6 × 10 −19 C, por

¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodríguez A. 61
Masa propuesta
de cada una
de las canicas
Peso de los sacos
de canicas
8 g 14 g 18 g 20 g 26 g 40 g
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas.
∆m ∆m1 = ∆m2 = ∆m3 = ∆m4 = ∆m5 =
(14 − 8)g (18 − 14)g (20 − 18)g (26 − 20)g (40 − 26)g
∆m ∆m1 = 6g ∆m2 = 4g ∆m3 = 6g ∆m4 = 2g ∆m5 = 14g
Número de canicas
que contribuyen
al valor
del incremento
de 2 g
Número de
canicas en el
saco 1
Cuadro 11.
Número de
canicas en el
saco 2
Número de
canicas en el
saco 3
Número de
canicas en el
saco 4
Número de
canicas en el
saco 5
mc = 2g 1 4 7 9 10 13 20
mc = 1g 2 8 14 18 20 26 40
mc = 1
g 4 16 28 36 40 52 80
2
Peso de los
sacos de las
canicas
Masa propuesta
de cada una de
las canicas
mc = 3.76
2
= 1.88
mc = 3.76
3
= 1.2533
mc = 3.76
4
= 1.88
mc = 3.76
5
= 0.752
mc = 3.76
6
= 0.6266
mc = 3.76
7
= 0.5371
mc = 3.76
8
= 0.47
Cuadro 12.
2.82 g 6.58 g 10.34 g 14.1 g 17.86 g 23.5 g
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas
Número de
canicas en el
saco 6
∆m ∆m1 = ∆m2 = ∆m3 = ∆m4 = ∆m5 =
(6.58 − 2.82) (10.34 − 6.58) (14.1 − 10.34) (17.86 − 14.1) (23.5 − 17 − 86)
∆m ∆m1 = 3.76 ∆m2 = 3.76 ∆m3 = 3.76 ∆m4 = 3.76 ∆m1 = 3.76
Número de canicas
que contribuyen
al valor
del incremento
de 2 g
2
3
Número de
canicas en
el saco 1
3
= 1.5 2
9
= 2.25 4
Cuadro 13.
Número de
canicas en
el saco 2
7
= 3.5 2
21
4
= 5.25
Número de
canicas en
el saco 3
11
2
33
4
= 5.5
= 8.2
Número de
canicas en
el saco 4
15
2
45
4
11.25
= 7.5
=
Número de
canicas en
el saco 5
19
2
57
4
14.25
= 9.5
4 3 7 11 15 19 25
5
6
7
15
4
= 3.75
9
= 4.5 2
21
4
= 5.25
35
4
21
2
49
4
12.25
= 8.7
= 10.5
=
55
4
13.75
33
2
77
4
19.25
= 16.5
=
=
75
4
18.75
45
2
105
4
26.25
= 225
=
=
95
4
23.75
57
2
133
4
33.25
= 28.5
8 6 14 22 30 38 50
Cuadro 14.
=
=
=
Número de
canicas en
el saco 6
25
2
75
4
18.75
125
4
31.25
75
2
175
4
43.75
= 12.5
= 37.5
=
=
=

62 ContactoS 75, 53–63 (2010)
Valores obtenidos
en las
mediciones
q = 3.2 × 10 −19
q = 6.4 × 10 −19
Cuadro 16.
q = 8.0 × 10 −19
q = 11.2 × 10 −19
q = 3.2 × 10 −19 C q = 6.4 × 10 −19 C q = 8.0 × 10 −19 C q = 11.2 × 10 −19 C
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas
∆q = (6.4 × 10 −19 − 3.2 × 10 −19 ) ∆q = (8.0 × 10 −19 − 4.8 × 10 −19 ) ∆q = (6.4 × 10 −19 − 3.2 × 10 −19 )
∆q1 = 3.2 × 10 −19
lo que la segunda opción queda descartada y se tiene
el resultado de:
q electrón = 1.6 × 10 −19 C
Propuesta adicional:
1. Se les indica a los estudiantes que elaboren un
listado de materiales a partir de los cuales pueden
obtener datos similares a los obtenidos en los
ejemplos de las canicas para describir el experimento
de Millikan.
2. De los objetos propuestos por los estudiantes se
elige, el que presente las mejores condiciones experimentales.
3. Se permite a los estudiantes conformar equipos
de tres personas y realizar las mediciones experimentales,
reportando cada una de las masas
para poder iniciar con la metodología antes
expuesta.
4. Se les pide determinar la masa y el número de
objetos, al igual que se hizo con las canicas.
5. Se analizan los resultados obtenidos, así como la
valoración del procedimiento experimental para
obtenerlos, si los valores no son satisfactorios se
debe evaluar las causas y confrontar las soluciones
por parte de cada uno de los equipos.
6. Se contrasta la metodología experimental de cada
uno de los equipos con los pasos que se describen
en el método científico y se sacan las conclusiones
pertinentes.
7. Por último, se les aplica un cuestionario de reflexión,
elaborado por el profesor de la asignatura
en la cual se trata de evaluar el impacto
de la estrategia didáctica en la adquisición de
conocimiento.
∆q3 = 3.2 × 10 −19
Cuadro 17.
∆q4 = 3.2 × 10 −19
4. Conclusión
Indudablemente el experimento de Millikan para la
determinación de la carga del electrón es un ejemplo
de la ingeniosa creatividad del hombre, así pues
es indudable que debe pertenecer al selecto grupo
de los experimentos más bellos de la Física. Sin embargo
la conducta de R. Millikan de ninguna manera
puede ser aceptable, no por el hecho de su acertada
eliminación de datos no relevantes en su artículo
publicado en 1913, sino por no haber dado el crédito
que le correspondía a aquellos que contribuyeron
a su éxito y reconocimiento.
Desde el punto de vista académico el experimento
de las gotas de aceite de Millikan presenta una metodología
para poder entender una manera de obtener
el resultado de que la carga elementaría del
electrón, estudiando a la vez en la parte matemática,
números enteros, números racionales, notación
científica, incrementos, etc., en el área de la física entender
el electromagnetismo, la reactividad, los rayos
X, la carga eléctrica, etc., y finalmente en el
área de la química, el átomo, el electrón, la composición
química y los modelos atómicos .
Es importante también señalar la conveniencia de
utilizar la historia de la ciencia como un instrumento
en la enseñanza de asignaturas como matemáticas,
física o química, quedando como una propuesta
factible y concreta para su uso en la enseñanza
en el nivel medio superior.
Otro aspecto importante que se puede abordar con
esta estrategia didáctica es el hecho de poder presentar
de una manera totalmente diferente a lo que
tradicionalmente se encuentra en los libros de texto
el conocido “método científico” y abordar las diferentes
aristas desde los diferentes puntos de vistas
de los científicos aquí mencionados.

¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodríguez A. 63
Carga de cada uno de
los electrones
Número de electrones
Número de electrones
en la gota
1
Número de electrones
en la gota
2
Número de electrones
en la gota
3
mc = 3.2×10−19
2 2 2 4 5 7
−19
= 1.16 × 10
mc = 3.2×10−19
3 3 3.01 6.03 7.54 10.56
−19
= 1.06 × 10
mc = 3.2×10−19
4
= 0.8 × 10 −19
4 4 8 10 14
Y por último, pero no menos importante permite
realizar un análisis con los estudiantes acerca de los
valores y conductas de las personas y en especial de
los científicos. Los valores éticos pueden ser abordados
hasta el detalle deseado, estableciendo un vínculo
directo con el quehacer diario de cada uno de
los estudiantes y su manera de proceder en su vida
diaria.
5. Bibliografía
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matemático (pp. 5–7). México: Trillas.
2. Cantoral, R. (2008). Investigaciones sobre enseñanza
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Santos.
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péndulo. (pp. 153–169). Barcelona: Crítica.
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Cuadro 18.
Número de electrones
en la gota
4
5. Garritz, A. y Chamizo, J. A. (1994). Química.
Wilmington, Delaware, USA: Addison–Wesley
Iberoamericana. La segunda edición de este libro
es (2001) Tú y la química. México: Pearson Educación.
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7. Carmona F. J. E., Gallego B. H. A., Orozco G.
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la gota de aceite de Millikan, Scientia et Technica,
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8. Córdova J. L., El número de Avogadro N0 =
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9. The Historical and Conceptual Development of
the Electron and Measuring the Fundamental
Electric Charge. Development of Ideas in Physical
Science. Fall 2005. Professor Etkina
cs