analisis de vigas estaticamente indeterminadas - Ing. Carlos ...

ANALISIS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
1.1. DEFINICIÓN.
Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular
a su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes
superan al número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es:
el número de incógnitas es mayor que:
F
X
F
Y
M
0
0
0
La figura 1, muestra una viga de este tipo con un extremo simple “A” y el otro
empotrado “B” bajo una carga puntual P.
P
a b
A B
Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.
A continuación se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En
el soporte “A” existe sólo reacción vertical puesto que el rodillo no impide el
desplazamiento horizontal. En el empotramiento en “B” hay dos reacciones
dado que este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.
VA
P
Puesto que existen tres reacciones desconocidas; las fuerzas cortantes VA y
VB y el momento flexionante MB y sólo se dispone de dos ecuaciones de
equilibrio; M y Fy, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática
pues no es posible conocer las tres reacciones con solo dos ecuaciones. (Hay
más incógnitas que ecuaciones).
Otro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y
que se denomina Viga Continua, como la que se muestra en la figura 2.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
VB
MB

Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto
que ahora existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes
verticales y el momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.
Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del
equilibrio estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las
deformaciones angulares o rotaciones de los nodos cuando las barras se
flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. Este análisis se
plantea más adelante.
1.2. INDETERMINACIÓN ESTATICA.
Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones
internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio
estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y
ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura
1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de
equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:
Número de incógnitas = NI = 3
Ecuaciones de equilibrio = EE = 2
Grado de indeterminación = GI = NI – EE = 3 – 2 = 1
Viga de la figura 2:
P P
w
L 1 L 2 L 3
A B C D
MA
Fig. 2. Viga continúa
P P
w
VA VB VC VD
NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5
EE = Equil. vertical y suma de momentos = 2
GI = 5 – 2 = 3
En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para
su solución.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza

1.3. SOLUCION DE VIGAS HIPERESTATICAS.
Se analizan vigas estáticamente indetermindas con objeto de conocer las
reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones
angulares y lineales que ocuren a través de su longitud cuando se les somete
a carga axterna. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes
que se miden mediante una tangente trazada a la curva elástica (Diagrama de
deformación) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden
entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3
muestra esta condición.
P = Carga aplicada.
= Rotación o pendiente.
= Deformación lineal o flecha.
1.3.1. METODO DE DE LA DOBLE INTEGRACIÓN.
Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las deformaciones,
en particular la de los soportes. El método consiste en integrar
sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de la
Elástica” dada por la expresión:
2
d y
EI
2
dx
M x
Tangente
Fig. 3. Viga deformada por flexión
Eje original no deformado
E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.
I = Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.
Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.
P
Curva elástica de deformación
Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen constantes que
será necesarios definir. Estas constantes se determinan en función de las
condiciones de frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la
simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero
no tiene flecha y un apoyo empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un
punto cualquiera de la viga, la pendiente es la misma analizando las cargas y
momentos a la izquierda o a la derecha del punto.
Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reaciones verticales
en la viga de la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es
empotramiento.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las
reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación
de momentos y se le integra sucesivamente.
M x
Criterio de
signos:
+
2
EId y
dx
V x x 0 x 8
2
1
1
250 2
V x 250x
Integrando:
EIdy
dx
V1
x
2
3
2
2
250x
3
4
3
C
1
1)
V1
x 250x
EIY C1x
C2
2)
6 12
Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en
cualquier punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente
por lo que sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:
2
V1
( 8)
250(
8)
0 C
2 3
C 42, 666.
66 32 V
1
3
1
1
La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El
apoyo 1) es simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e
igualando a cero, se tiene: C2 = 0
En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos
obtener una ecuación en función de la reacción V1 la que al resolverse nos da
su valor.
3
4
0 1
V1
( 8)
6
250(
8)
12
V1
500 kg/m
8.00 m
1 2
Fig. 4
x
( 42,
666.
66 32V
) 8
500 kg/m
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
V2
M2

V1 = 1500.00 kg
Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.
V1 + V2 - 500(8) = 0
V2 = 2500.00 kg
Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse
sumando momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la
ecuación de momentos.
M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0
M2 = 4000.00 kg.m
Fin del problema.
Problema 2. Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la
figura 5). Trace también los diagramas de fuerza cortante y de momento
flexionante. Si la sección transversal es compacta rectangular de 15x25 cm,
calcule la flecha al centro del claro para un móduloelástico de 250,000.00
cm 4 .
Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las
reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación
de momentos y se le integra sucesivamente.
Criterio de
signos:
+
1500 kg
500 kg/m
M1
800 kg
5.00 m 5.00 m
1 2
Fig. 5)
x
2500
4000 kg.m
800 kg
V1 V2
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
X1
M2

M x
Mx1 V x
M
1
V
1
x
1
1
M
0 x 5
Integrando la ecuacion 1).
2
EId y
2
dx
EIdy
dx
1
1
V x M
V
1
x
2
3
2
1
1)
800( x1
5)
5 x1
19
M x C
1
2
1
3)
V1x
M1x
EIY C1x
C2
4)
6 2
En las ecuaciones 3) y 4), la pendiente (dy/dx) y la felcha (Y) son cero en el
apoyo 1, esto es cuando x = 0. Para esta condición C1 y C2 son cero.
C1 = C2 = 0
Integrando la ecuación 2).
2
EId y
dx
2
1
EIdy
dx
1
V
V
1
x
2
1
2
1x1
3
M
M
1
1
800( x1
5)
x
2
1
2
800(
x1
5)
2
C
3
5)
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
2)
V1x1
M1x1
800(
x1
5)
EIY
C3x1
C4
6)
6 2 6
3
En las ecuaciones 3) y 5) la pendiente es la misma cuando x = x1 = 5. Al
comparar estas ecuaciones resulta C3 = 0
En las ecuaciones 4) y 6) la flecha es la misma cuando x = x1 = 5. Al comparar
estas ecuaciones resulta C4 = 0
Se requieren ahora 2 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen
para x1 = 10 en 5) y 6), ya que en este apoyo la pendienete y la flecha son
cero.
En 5) cuando x1 = 10, (dy/dx1 = 0):
2
V1
( 10)
800(
10 5)
0 10 M1
2
2
50V1 - 10M – 10,000.00 = 0 -------- 7)
En 6) cuando x1 = 10, (Y = 0):
2

1
6
3
V ( 10)
2
M1
( 10)
800(
10 - 5)
10C3
C
2
6
166.666 V1 - 50 M1 - 16,666.666 = 0 ------- 8)
Resolviendo las ecuaciones 7) y 8).
V1 = 400 kg
M1 = 1000 kg.m
Diagramas de cortante y de momento.
3
Flecha al centro del claro. Se obtiene en la ecuaciómn 4) para x = 5.00 m.
3
2
V1x
M1x
EIY C1x
C2
4)
6 2
4,
1666.
666
Y
EI
E = 250,000.00 kg/cm 2
3
15(
25)
I 19,
531.
25 cm
12
4,
1666.
666 ( 10)
Y
0.
853 cm
250,
000.
00 ( 19,
531.
25)
Fin del problema.
6
1000 kg.m
4
800 kg
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
4
0
400 kg 400 kg
400
1000
1000
400
1000
1000 kg.m
Fuerza Cortante
Momento Flector

Problema 3. La viga de la figura 6) tiene ambos extremos empotrados y recibe
una carga uniformemente variable de 1200 kg/m. Determine los momentos y
las reacciones verticales en los empotramientos. Tomar EI constante.
Incógnitas y ecuación de momentos.
La altura (y) de la carga triangular a la distancia (x) se obtiene por triangulos
semejantes.
y
w x
L
La resultante del triangulo ubicado en la longitud (x) y de altura (y) es su
área (yx/2) y se ubica a (x/3) que es su centro de gravedad de derecha a
izquierda. La ecuación de momentos es entonces:
wx x x
V X
MA
0 x
L
L 2 3
Mx A
M
6
w x
Mx VA
X
L
3
A
Se escribe la ecuación diferencial y se integra sucesivamente.
EI d
dx
2
2
dy
dx
y
3
wx
VA
X M
6L
V x
2
EI A
2
4
wx
M
24L
A
A
x
C
1
Ec.
( 1 )
En esta ecuación cuando x = 0, la pendiente dy/dx es cero y por tanto la
constante C1 = 0.
3
VAx
EIY
6
5
2
wx MAx
120L
2
C
2
MA
Ec.
L = 6.00 m
A
Fig. 6
B
VA
x
( 2)
W = 1200 kg/m
W = 1200 kg/m
En esta ecuación cuando X = 0, la flecha Y = 0 y por tanto la constante C2 = 0.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
y
VB
MB

En las ecuaciones (1) y (2) cuando x = L, la pendiente y la flecha son cero. De
aquí resultan dos ecuaciones con dos incognitas.
dy/dx = 0. En la ecuación 1.
x = L
2
VAL
2
3
wL
24
M L
A
0
Y = 0. En ecuación 2.
X = L
3
VA L
6
4
wL
120
2
MAL
2
Ec.
0
( 3)
Ec.
( 4)
La solución de las ecuaciones (3) y (4) dan los siguientes resultados:
M A
v a
2
wL
30
3wL
20
1200 ( 6)
30
2
3(
1200 ) ( 6 )
20
1,
440.
00
kg.
m
1,
080.
00 kg.
La reacción vertical en B se obtiene por equilibrio de fuerzas.
V B
wL
2
3wL
20
7wL
7(
1200 ) ( 6 )
20 20
2,
520.
00
El momento en B se obtiene por suma de momentos en A o en B.
wL 2L
wL 7wl
M A
B
2 3 30 20
M B
2
wL
20
2
1200 ( 6)
20
Resultados finales.
Fin del problema.
2
L M 0
2,
160.
00
1440
1080
kg.
m
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
kg.
W = 1200 kg/m
2520
2160.00

Problema 4. La viga de la figura 7) tiene ambos extremos empotrados y recibe
una carga uniformemente distribuida de 1200 kg/m. Determine los momentos
y las reacciones verticales en los empotramientos. Tomar EI constante.
Incógnitas y ecuaciones de momento.
Mx A
V x - MA
0 x 5
Integrando sucesivamente:
2
EI d y
V x - M
2 A A
dx
EI A
dy
dx
EI Y
2
V x
2
3
VAx
6
M x C
A
2
MA
x
2
1
1
Ec.
C x C
Ec.
( 2).
2
( 1)
Ec.
( 3)
En las Ec. (2) y (3) la pendiente “dy/dx” y la flecha “y”, son cero por estar el
apoyo empotrado y por tanto, las constantes C1 y C2 son cero.
Mx1 VAx
1
Integrando:
EI A
dy
dx
EI Y
1
V x
2
VAx
6
3
1
(x1
- 5)
300 ( x1
5)
MA
5 x1
10
2
2
1
3
300(
x1
- 5)
6
300(
x1
- 5)
24
4
M A
V A
M
A
x
1
2
1
MA
x
2
x
X1
C
3
C
3
x
1
W = 300 kg/m
5.00 m 5.00 m
A B
Fig. 7
W = 300 kg/m
Ec.
( 5)
Ec.
( 6)
Ec.
( 4 )
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
C
4
V B
M B

En las ecuaciones (2) y (5) la pendiente tiene el mismo valor cuando
“x = x1 = 5”, por tanto, al igualar estas ecuaciones, resulta C3 = 0.
En las ecuaciones (3) y (6) la flecha tiene el mismo valor cuando
“x = x1 = 5”, por tanto al igualar estas ecuaciones, resulta C4 = 0.
En la Ec. (5) la pendiente “dy/dx” es cero cuando x1 = 10, sustituyendo este
valor resulta la siguiente ecuación:
0
2
VA
( 10 ) 300 ( 10 - 5)
2
6
50 10MA
6,
250.
00
V A
3
10M
0
A
Ec. ( 7)
En la Ec. (6) la flecha es cero cuando x1 = 10:
0
V A
( 10 )
6
3
300(
10 - 5)
24
4
M
166 666 V 50MA
7,
812.
50
. A
A
( 10 )
2
0
2
Ec. ( 8)
Al resolver las ecuaciones (7) y (8), resulta:
MA = 781.25 kg.m
VA = 281.25 kg
VB =1,218.75 kg Se obtiene por equilibrio vertical.
MB=1,718.75 kg.m
Verificación de los momentos con fórmula:
M A
M B
2
5w
L
192
2
11w
L
192
Fin del problema.
5(
300 ) ( 10 )
192
2
11(
300 ) ( 10 )
192
781.
25 kg.
m
2
1718.
75 kg.
m
781.25
W = 300 kg/m
281.25 1218.75
281.25
781.25
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
625
4.0625
756.84
1718.75
1218.75
1718.75

Problema 5. Determinar los momentos y trazar los diagramas de fuerza
cortante y de momento flexionante para la viga de la figura 8).
Reacciones desconocidas y ecuaciones de momento.
La altura (y) del triángulo de base (x) se obtiene por triángulos semejantes
(y =100x) y su resultante es su área (R = yx/2) aplicada a 2/3 de la base (x)
a partir del extremo izquierdo o 1/3 del extremo derecho (x/3).
M x
EI d
dx
yx x 100 x
V1x
V1x
2 3
6
2
2
y
V x
1
100 3
x
6
Integrando sucesivamente:
EI dy
dx
2
V1x
2
3
4
100 x
24
5
C
1
3
0 x 4
Ec.
2).
V1x
100 x
EIY C1x
C2
Ec.
3).
6 120
V1
● 4.00 m 4.00 m
1 2
●
Fig. 8
400 kg/m
Ec.
1).
En la Ec. 3), cuando x = 0, la flecha (Y) es cero, y por tanto C2 = 0.
x
y
X1
400 kg/m
Ecuación de momentos a la distancia x1: Para esta distancia debe tomarse la
resultante total de la carga triangular ya que queda ubicada a la izquierda del
punto donde se está cortando, es decir: (R = 400(4)/2 = 800 kg) y se aplica
al centroide, esto es a ( 2/3 de 4 = 8/3 = 2.666).
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
V2
M2

Mx
1
2
V x ( x 2.
666 ) 4 x 8
1
1
EId
y
V1
x
2
dx
1
800 1
800( x1
2.
666 )
Integrando sucesivamente:
EIdy
dx
V
2
1x1
2
3
800(
x
1
2.
666 )
2
2
C
3
Ec.
4).
V1
x1
800(
x1
2.
666 )
EI Y
C3
x C4
Ec.
5)
6
6
3
Comparando las ecuaciones 2) y 4) en x = x1 = 4, la pendiente es la misma:
C
1
100(
4)
24
4
C C 355.
555 Ec.
6).
1
3
C
3
800(
4 2.
666 )
2
Comparando las Ec. 3) y 5) en x=x1 = 4, la flecha es la misma:
4C
1
100 ( 4)
120
5
4C
Sustituyendo Ec. 6):
3
C
4
2
800(
4 2.
666)
6
4 3
3 4
( C 355.
555)
853.
333 C C 316.
0494301
C4 = 884.9383
En Ec. 4) cuando x1 = 8, la pendiente es cero (dy/dx1 = 0):
1
2
2
V ( 8)
3
800(
8 2.
666)
C
2
C 11, 377.
78062 32 V
2
1
En Ec. 5) cuando x1 = 8, la flecha es cero (Y = 0):
1
6
3
V ( 8)
3
3
0
800(
8 2.
666)
8(
11,
377.
78062 32 V1
) 884.
9383 0
6
V1 = 420.00 kg.
Por equilibrio vertical:
400(
4)
V2
420.
00 380.
00 kg.
2
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
3

Por suma de momentos en el nodo 1):
400(
4)
2(
4)
M2
380(
8)
906.
66 kg.
m
2
3
Verificación con fórmula:
2
17w
L 17(
400)
( 8)
M2
906.
66
480 480
2
kg.
m
Punto donde la fuerza cortante es cero.
V x
400 x x
420
4
2
X = 2.898275 m
La ecuación de momentos es:
M x
400 x
420 x
0 x 4
24
X = 2.898275 m
M = 811.52 kg.m
X = 4.00 m
M = 613.34 kg.m
Fin del problema.
3
0
400 kg/m
420 380
4.00 4.00
420
811.52
613.34
906.66
Fuerza Cortante
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
380
Momento Flexionante
906.66

1.3.2. TEOREMAS DE OTTO MOHR.
Es un método semigráfico ideado por Christian Otto Mohr (1835-1918) y que
representa una alternativa importante para calcular pendientes y flechas en
puntos específicos de una viga. El procedimiento se conoce también como
Método del Area de Momentos y consiste en establecer de manera
independiente la variación de la pendiente y de la flecha en los puntos
extremos de un intervalo cualquiera, generalmente definido por los apoyos.
En este intervalo intervienen las áreas de los diagramas de momentos y el
momento de tales áreas. Es recomendable utilizar las áreas de los diagramas
de momentos por partes ya que estos facilitan el cálculo del área así como de
su centro de gravedad. El método consta de dos teoremas, a saber:
Primer Teorema de Mohr. “La variación o incremento de la pendiente (θAB)
entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B es
igual al producto 1/EI por el área del diagrama de momentos flectores entre
estos dos puntos”. En la figura 9) se indica esta condición.
Donde:
ΘAB = Cambio de pendiente entre las tangentes a la curva elásica.
AAB = Area del diagrama de momentos entre A y B.
EI = Rigidez a la flexión.
L
Segundo Teorema de Mohr. “La desviación de un punto cualquiera B respecto
de la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección
perpendicular al eje inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el
momento respecto de B del área de la porción del diagrama de momentos
entre los puntos A y B”. La figura 10) muestra esdta condición.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
P
A B
ΘAB
Viga con carga cualquiera.
Tangentes por A y B.
Cambio de pendiente θAB.
M Diagrama de momentos
cualquiera..
Fig. 9). Viga simple con carga cualquiera.
θ AB
A
AB
EI

Donde:
δBA = Desplazamiento vertical en B trazado perpendicularmente al eje original
de la viga hasta intersectar con la tangente por A.
ABA = Area del diagrama de momentos entre los puntos B y A.
X = cg = Centro de gravedad del diagrama de momentos medidos desde B.
Problema 6). Calcular el momento en el empotramiento para la viga de la
figura 11). Determinar también las reacciones verticales.
Incognitas en la viga.
L
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
P
A B
Viga con carga cualquiera.
δ BA
M Diagrama de momentos cualquiera y centro
●cg
de gravedad respecto al punto B.
Fig. 10). Viga simple con carga cualquiera.
δ BA
800 kg./m
6.00 m
x
A
BA
EI
X
A B
Fig. 11). Viga apoyada-empotrada.
V A
800 kg./m
V B
M B

Diagrama de momentos por partes. Se obtienen dos vigas equivalentes
simplemente apoyadas; una con la carga de 800 kg/m y la otra con MB.
El objetivo es obtener el momento MB y puesto que la viga está empotrada en
B la pendiente es cero y una tangente por ese punto es horizontal y entonces
en el punto A el desplazamiento vertical es tambien cero. La ecuación que se
requiere se obtiene sumando momentos en A para las áreas de los diagramas
de momento, es decir es el producto de las áreas y el centro de gravedad de
cada una medido desde A. Las áreas arriba del eje “x” se toman positivas.
Se recuerdan las áreas y centroides de algunas figuras geométricas.
Σ M
A
14400 ( 6)
2
MB = 3600.00 kg.m
Reacciones verticales.
800 kg./m
14400 ( 6)
6M
B
4
4. 50
4 0
Σ MA
800( 6)
3 3600 6VB
0
VB = 3000.00 kg.
VA = 800(6) – 3000 = 1800.00 kg.
3
2
Otra forma de resolver el problema. Considerense los diagramas de
momentos reales para cada viga simple.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
+
2400 2400 MB/6 MB/6
14400
14400
6.00 6.00
● cg
2L/3 L/3
A
ML
2
M
x
1800
L
● cg
x
A = ML/(n + 1)
X = L/(n + 2)
M B
n = grado de la curva
800 kg./m
M B
M
x
3000
3600

El área total del diagrama de la carga uniforme es 2ML/3. El momento
máximo para esta carga es wL 2 /8 = 3600 kg.m.
Σ M
A
2(
3600 ) 6
3
MB = 3600.00 kg.m
Fin del problema.
6M
B 3 4 0
2
Problema 7. Calcular la pendiente en el extremo A y la flecha al centro del
claro de la viga del problema anterior, Fig. 12). Tomar EI constante.
Trazar una tangente a la curva elástica por el punto A y una vertical por B.
El desplazamiento “YB” se obtiene sumando momentos en “B” para las áreas
de los diagramas de momentos.
EIY B
2(
3600 ) 6
3
800 kg./m
3600(
6)
3
( 2)
21,
600.
00
2
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
+
2400 2400 MB/6 MB/6
Mmáx.
3.00 3.00
Y0
x
.
δmáx.
Y1
3.00 3.00
A B
y B
3600
3600
6.00
M B
M B
x

La pendiente en “A” se obtiene dividiendo “YB” entre la longitud.
φ A
21,
600.
00 3,
600.
00
6EI
EI
El valor de la flecha al centro del claro “δmáx.” se obtiene relacionando
geométricamente los desplazamientos indicados en la figura anterior.
δmáx. = Yo - Y1
Donde “Yo” se obtiene por triángulos semejantes y “Y1” se obtiene sumando
momentos para las áreas situadas a la izquierda del centro del claro.
Y
B
6
Y o
Y
o
3
3(
21,
600)
10,
800.
00
6EI
EI
Cg = Centro de gravedad de derecha a izquierda.
3600 ( 3)
3(
3)
1800 ( 3)
3
EIY1 3600 ( 3)
1.
50
5,
400.
00
3 4
2 3
Y
1
δ Máx.
5,
400.
00
EI
10,
800.
00
EI
Fin del problema.
M
L
A = ML/3
Cg = 3L/4
5,
400.
00
EI
Y0
5.
400.
00
EI
.
δmáx.
Y1
3.00 3.00
A B
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
y B
3600
1800

Prtoblema 8. Calcular los momentos flexionantes para la viga con ambos
extremos empotrados de la figura 13). Tomar EI constante.
Incógnitas en la viga.
Digrama de momentos para cada acción actuando por separado. El momento
máximo para la carga uniforme es wL 2 /8 = 15,000.00 kg.m. Estas gráficas y
momentos corresponden a vigas simplemente apoyadas.
Como ambos extremos están empotrados, las pendientes en esos puntos son
cero, y por tanto, una tangente trazadas por estos extremos son horizontales
y entonces los desplazamientos o desviaciones verticales son tambien cero.
EI δ
1
M
1
0
2( 15000)
( 10)
10M
10
10M2
2(
10)
3
2
3
2
3
1
5
0
500 1
2
EI δ
2
, 000.
00 16.
666M
33.
333M
0 Ec.
1).
M
2
1200 kg/m
0
2( 15000)
( 10)
10M
2(
10)
10M2
10
3
2
3
2
3
1
5
0
500 1
2
, 000.
00 33.
333M
16.
666M
0 Ec.
2).
Resolviendo las ecuaciones 1) y 2):
M1 = M2 = 10,000.00 kg.m
Fin del problema.
15000
M1
V1
M1
M1
1200 kg/m
10.00 m
1 2
Fig. 13
1200 kg/m
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
V2
M2
M2
M2

Problema 9. Calcular los momentos flexionantes en los extremos de la barra
de la figura 14). Ambos extremos están empotrados.
Momentos desconocidos.
Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas. El momento
máximo para la carga puntual es (PL/4).
Si ambos extremos están empotrados las desviaciones verticales respecto a
tangentes trazadas por ellos, son cero.
EI δ1
M
3
1
0
PL L L M1L
L M2L
2L
0
4
2
2
2
3
2
3
2
1L
PL M
16 6
M
2
L
3
2
0
Puesto que M1 y M2 son iguales debido a la simetría, la solución de la
ecuación anterior arroja los siguientes resultados:
M M
1
2
PL
8
P
L/2 L/2
Fin del problema.
PL/4
M 1
M 1
V 1
M 1
P
L/2 L/2
1 2
Fig. 14
P
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
V 2
M 2
M 2
M 2

Problema 10. Calcular el momento flexionante en el extremo empotrado de la
barra de la figura 15).
Incógnitas en la viga.
Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas.
La desviación vertical en el apoyo “2” es cero debido a que no hay pendiente
en el empotramiento.
EI δ2
0
( 8)
8
1600(
4)
4
3200(
4)
4
8M
2(
8)
4 1600 4 2
2
3
3
4
( )
2
3
2
3
4800 1
M1 = 900.00 kg.m
Verificación con fórmula.
2
4.00
1600
3200
9wL
9(
200)
( 8)
M1
900.
00 kg.
m
128 128
Fin del propblema.
2
200
M 1
200 kg/m
4.00 4.00
1 2
Fig.15 Viga empotrada-apoyada
200 kg/m
V 1 V 2
1600
4.00 4.00
4800
4800
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
M 1
M 1
8.00
0

Problema 11. Calcular los momento flexionantes en los extremo empotrados
de la barra de la figura 16). Calcular también las reacciones verticales y trazar
los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante.
Incógnitas en la viga.
Diagramas de momentos para las vigas equivalentes simplemente apoyadas.
Para ambos extremos la desviación vertical respecto a la tangente por
cualquiera de ellos es cero.
EI δ1
0
500 1500
3 5 2
6500
3500
3000
500 1500
( 10)
2(
10)
3500 ( 7)
2(
7)
3000 ( 2)
2(
2)
10M1
10
10M
2(
10)
3
8
0
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
6500 2
94,750.00 – 16.666 M1 – 33.333 M2 = 0 Ec. 1).
( 10)
10
3500 ( 7)
7
3000 ( 2)
2
10M1
2(
10)
10M
10
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
6500 2
77,750.00 – 33.333 M1 - 16.666 M2 = 0 Ec. 2).
M 1
500 1500
3.00 5.00 2
.
1
2
.
.
Fig. 16. Viga con ambos extremos
.empotrados.
V 1 V2
M 1
M 1
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
M 2
10.00 10.00
0
M 2
M 2

Resolviendo las ecuaciones 1) y 2):
M1 = 1,215.00 kg.m
M2 = 2,235.00 kg.m
Verificación con fórmula.
2
2
Pa
b 500 ( 3)
( 7)
1500(
8)
( 2)
M1
1215.
00
2
2
2
L
( 10)
( 10)
2
2
2
kg.
m
Pa
b 500(
3)
( 7)
1500 ( 8)
( 2)
M2
2235.
00 kg.
m
2
2
2
L
( 10)
( 10)
2
Reacciones verticales. Conocidos los momentos de empotramiento pueden
calcularse por equilibrio estático.
M V 1215 2235 500(
7)
1500 ( 2)
0
2
10 1
V1 = 548.00 kg.
V2 = 1452.00 kg.
Fin del problema.
1215
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
P
M1 M2
500 1500
a b
548 1452
1215
548
429
48
669
1452
2235
2235
Diagrama de
Cortante
Diagrama de
momentos

1.3.3. METODO DE LA VIGA CONJUGADA.
Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los
diagramas de momentos de las cargas reales dadas. La figura 17) muestra un
ejemplo de este tipo de vigas.
Relaciones entre la viga real y la viga conjugada.
a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.
b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.
c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el
mismo punto de la viga real.
d.-El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el
mismo punto de la viga real.
e.-Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.
f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga
conjugada.
g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o rticulación
en la viga conjugada.
RELACIONES ENTRE LOS APOYOS
VIGA REAL VIGA CONJUGADA NOTAS
1.- Apoyo simple
1.- Apoyo simple
2.- Apoyo empotrado.
3.-Voladizo.
4.- Apoyo interior.
P
a b
2.- Sin apoyo: libre.
3.- Apoyo empotrado.
4.- Apoyo articulado o
pasador.
a b
Viga Real Viga Conjugada
Fig. 17). Viga simple real y viga conjugada.
●
P ab
M máx
L
Un apoyo simple real no tiene flecha pero si
tiene pendiente y por tanto el conjugado no
tiene momento pero si tiene cortante;
equivale a un apoyo simple.
Un apoyo empotrado no tiene flecha ni
pendiente y por tanto, el conjugado no tiene
momento ni cortante; equivale a un voladizo.
El extremos libre tiene pendiente y flecha y
por tanto el conjugado tiene cortante y
momento; equivale a un empotramiento.
Un apoyo interior tiene pendiente pero no
tiene flecha y por tanto tiene cortante pero
no tiene momento; equivale a una
articulación.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza

Problema 12. Para la viga simple de la figura 18), calcular la pendiente en los
extremos y la flecha máxima. Tomar EI constante.
Viga conjugada. Tiene los mismos apoyos, la misma longitud y la carga es el
diagrama de momentos de la viga real.
La pendiente en el apoyo 1) es la fuerza cortante V1), en la viga conjugada
dividida entre el producto EI.
θ
1
V
1
EI
Por simetría el cortante V1, es el área del triángulo a la mitad del claro.
900(
3)
V1 1350.
00
2
θ
1
1350
EI
Verificación con fórmula.
θ
1
2
PL
600(
6)
16EI
16EI
2
1350
EI
Flecha al centro del claro. Es el momento al centro del claro para la viga
conjugada.
δ
M
EI
900(
3)
3
M 1350 ( 3)
2700.
00
2
3
2700
δ
EI
V 1
600 kg
3.00 3.00
1 2
Fig. 18). Viga simple.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
V2
900

Verificación con fórmula.
3
PL
600(
6)
δ
48EI
48EI
Fin del problema.
3
2700
EI
Problema 13. Calcular el momento en el empotramiento para la viga apoyadaempotrada
de la figura 19).
Diagramas de momentos para vigas simplemente apoyadas. La viga
conjugada será una barra apoyada-volada.
El momento en el apoyo 1) para las cargas de la viga conjugada es cero, por
ser apoyo simple.
M
1
V1
6.00 m
Viga Conjugada
7200( 6)
2(
6)
7200(
6)
3(
6)
6M1
2(
6)
0
2 3 3
4
2
3
M1 = 1800.00 kg.m
Fin del problema.
400 kg/m
6.00 m
1 2
Fig. 19)
400
kg/
m
6.00
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
+
7200
7200
Cargas en la Viga Conjugada
6.00
M1
M1

1.4. VIGAS CONTINUAS.
Se da el nombre de viga continua a una barra apoyada en más de dos
soportes. La figura 20) muestra una viga de este tipo.
Para el análisis de estas vigas existen una gran cantidad de métodos, pero en
la mayoría de ellos se consideran los momentos de los nodos como las
incognitas principales, para posteriormente, por equilibrio estático, obtener el
resto de las incógnitas.
1.4.1. ANALISIS POR SUPERPOSICION.
El principio de superposición establece que el efecto de un conjunto de cargas
que actua simultáneamente, es el mismo cuando se suman los efectos de cada
una de ellas actuando por separado. Bajo este concepto, es posible solucionar
una viga continua analizando las rotaciones en los extremos de las barras
para las cargas dadas considerando a cada barra simplemente apoyada. Para
su aplicación es necesario conocer las formulas de estas rotaciones para vigas
simples y cualquier tipo de carga. A continuación se dan las de uso común.
Notación.
Carga Rotación
Extremo Izquierdo
1.- Carga uniforme.
2. -Carga parcial uniforme.
w
w
3.-Carga parcial iforme.
L
L/2 L/2
w
a b
φ
1
φ
M1
wL
3
24EI
1
9 wL
3
384EI
2
2
2
4L 4aL
a
wa
φ1
24EIL
P P P
L1
Rotacion
Extremo Derecho
24EI
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
L2
1 2 3
V1
Fig. 20). Viga continua indicando cargas y
reacciones desconocidas.
L
M2
1 2
V2
φ
φ
V3
2
2
3
wL
7 wL
3
384EI
2
2 2 2 L a
wa
φ2
24EIL

Carga Rotación
Extremo Izquierdo
4.- Carga puntual.
P
5. Carga puntual.
P
6.- Carga variable.
7.- Carga variable.
8.- Momento en extremo.
M
L/2 L/2
a b
L
w
a b
L
9.-Momento en extremo.
L
10.- Momento en la barra.
M
a b
M
w
EI
φ
1
2
PL
16EI
2 2 L b
Pb
φ1
6EIL
φ
1
7 wL
3
360EI
2
2 4 3
waL wabL 7wa
L wa wa
φ1
12 12 36 24L
8
φ
φ
1
1
ML
3EI
ML
6 EI
M
φ1
6EIL
2 2 L 3b
Rotacion
Extremo Derecho
16EI
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
φ
2
2
PL
2 2 L a
Pa
φ2
6EIL
φ
2
8 wL
3
360EI
2 2 4
wabL 2wa
L waL wa
EIφ2
6 9 6 24L
φ
φ
2
2
ML
6 EI
ML
3EI
2
6bL 3b
2L
M
φ2
2
6EIL
Problema 14). Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos
de la viga continua de la figura 21).
500 kg 300 kg/m
3.00 3.00 8.00 m.
1 2 3
Fig. 21). Viga continua.
Incognitas en la viga. Se dibujan los claros “1-2” y “2-3” por separado
indicando cargas y momentos desconocidos. En este caso solo hay un
momento descocnocido, el momento del nodo 2; “M2” y se obtienen las vigas
equivalentes simplemente apoyadas. Habrá tantas vigas equivalentes como
momentos de extremo y cargas haya en el claro correspondiente. En la figura
siguiente se mestra esta condición.

Se hacen las siguientes consideraciones:
1.- La rotación o pendiente es cero en extremos empotrados.
2.- En un soporte interior la pendiente es la misma a la izquierda y a la
derecha de dicho soporte.
3.- Se indican las pendientes en los extremos de cada soporte con el criterio
siguiente:
a.- Carga cualquiera. b).- Momento en extremo.
Para nuestro caso solo se necesita plantear una ecuación de equilibrio, pues
solo hay un momento desconocido, M2. Esta ecuación se obtiene sumando las
pendientes en el apoyo 2, igualando las pendientes de la izquierda con las
pendientes de la derecha.
θ2Izq θ2
Der.
θ β θ β
21
2
1
PL
16EI
21
M
2
2
L
1
3EI
23
23
3
wL2
24EI
M
2
L
2
3EI
500( 6)
6M2
300(
8)
8M2
16 3 24 3
P
Θ12 Θ21
L1 = 6
=
+
3
P
P
θ 21
β21
1 2
M2
M2
Pendientes positivas
L2 = 8
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza
M2
M2
θ 23
β23
w
= +
w
2 3
M
Θ12
Θ21
Pendiente negativa

M2 = 1,612.50 kg.m
Reacciones verticales. Se obtienen por equilibrio estático mediante suma de
momentos a la izquierda o a la derecha de los soportes.
Sumando momentos a la ezquierda del soporte 2:
M V 1612.
50 500(
3)
0
2
Criterio de signos:
+
6 1
V1 = - 18.75 kg.
Sumando momentos a la derecha del soporte 2:
M 2 300( 8)
4 1612.
50 8V3
V3 = 998.4375 kg
Sumando cargas verticales:
V1 + V2 + V3 - 500 - 300(8) = 0
V2 = 1,920.3125 kg.
Fin del problema.
0
500 kg 300 kg/m
3.00 3.00 8.00 m.
1 2 3
1612.50
V 1 V 2 V3
Problema 15). Calcule los momentos y las reacciones verticales en los nodos
de la viga continua de la figura 22).
300 kg/m
5.00 5.00 8.00 m 3.00
1 2 3 4 5
Figura 22. Viga continua con carga uniforme
en todo el calro.
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza

Vigas equivalentes:
Θ 12
w
Θ 21
Creado y editado por: Ingeniero Carlos Remberto Zeledón Lanuza