Regla de la cadena - Canek - UAM
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6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na<br />
CAPÍTULO<br />
6<br />
<strong>Reg<strong>la</strong></strong>s <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación<br />
En <strong>la</strong>s reg<strong>la</strong>s básicas <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación se aplican fórmu<strong>la</strong>s apropiadas para calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong>s <strong>de</strong>rivadas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
funciones f C g (suma), f g (diferencia), fg (producto) y f<br />
(cociente). Pero no se presentó en esa<br />
g<br />
sección una reg<strong>la</strong> que nos diga cómo calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una composición <strong>de</strong> funciones; esto es,<br />
no sabemos cómo calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f ı g (g compuesta con f o bien g seguida <strong>de</strong> f ).<br />
Es, precisamente, <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na <strong>la</strong> que nos dice cómo obtener <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> y D .f ı g/.x/.<br />
<strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na:<br />
x g u D g.x/ f<br />
y D f.u/ y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/<br />
1 canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008<br />
f ı g<br />
1<br />
1
2 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
Si u D g.x/ es una función <strong>de</strong>rivable en x0, don<strong>de</strong> u0 D g.x0/ y si y D f .u/ es una función <strong>de</strong>rivable<br />
en u0, entonces <strong>la</strong> función y D .f ı g/.x/ es <strong>de</strong>rivable en x0:<br />
.f ı g/ 0 .x0/ D f 0 .u0/g 0 .x0/ D f 0 Œg.x0/ g 0 .x0/ :<br />
H En <strong>la</strong> <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> esta reg<strong>la</strong> <strong>de</strong>sempeña un papel relevante el comportamiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<br />
u D g.x/ cuando x está cerca <strong>de</strong> x0, ya que si existen puntos x cerca <strong>de</strong> x0 tales que g.x/ D g.x0/,<br />
entonces <strong>la</strong> diferencia g.x/ g.x0/ D 0 genera problemas.<br />
Por eso en esta <strong>de</strong>mostración suponemos que g.x/ ¤ g.x0/ para x cerca <strong>de</strong> x0 y x ¤ x0.<br />
Sea .x/ D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .u/ con u D g.x/,<br />
0 .x0/ D lím<br />
x!x0<br />
.x/ .x0/<br />
x x0<br />
.f ı g/.x/ .f ı g/.x0/ f Œg.x/ f Œg.x0/<br />
D lím<br />
D lím<br />
:<br />
x!x0 x x0<br />
x!x0 x x0<br />
Se multiplica y divi<strong>de</strong> por el número diferente <strong>de</strong> cero g.x/ g.x0/:<br />
<br />
0 f Œg.x/ f Œg.x0/<br />
.x0/ D lím<br />
x!x0<br />
D lím<br />
x!x0<br />
<br />
g.x/ g.x0/<br />
D<br />
x x0 g.x/ g.x0/<br />
<br />
f Œg.x/ f Œg.x0/ g.x/ g.x0/<br />
: (*)<br />
g.x/ g.x0/ x x0<br />
Pero <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivabilidad <strong>de</strong> g en x0 asegura <strong>la</strong> continuidad <strong>de</strong> g en x0.<br />
Luego, cuando x ! x0, suce<strong>de</strong> que g.x/ ! g.x0/; o sea que u ! u0, cuando x ! x0.<br />
Volviendo a . / vemos<br />
<br />
<br />
<br />
0 f Œg.x/ f Œg.x0/ g.x/ g.x0/<br />
.x0/ D lím<br />
lím<br />
D<br />
x!x0 g.x/ g.x0/ x!x0 x x0<br />
<br />
<br />
<br />
f .u/ f .u0/ g.x/ g.x0/<br />
D lím<br />
lím<br />
D<br />
u!u0 u u0 x!x0 x x0<br />
Por lo tanto,<br />
que es lo que se quería <strong>de</strong>mostrar.<br />
D Œf 0 .u0/Œg 0 .x0/ D f 0 Œg.x0/ g 0 .x0/ :<br />
.f ı g/ 0 .x0/ D f 0 Œg.x0/ g 0 .x0/ ;<br />
En general si u D g.x/ es una función <strong>de</strong>rivable en x & y D f .u/ es una función <strong>de</strong>rivable en u,<br />
entonces <strong>la</strong> función y D .f ı g/.x/ es <strong>de</strong>rivable en x. A<strong>de</strong>más<br />
dy<br />
dx<br />
d<br />
d<br />
D .f ı g/.x/ D<br />
dx dx<br />
Esto se acostumbra sintetizar como:<br />
2<br />
d f Œg.x/ d g.x/<br />
f Œg.x/ D<br />
d g.x/ dx<br />
<br />
d d<br />
D f .u/<br />
du dx g.x/<br />
<br />
:<br />
dy<br />
dx D<br />
dy<br />
du<br />
<br />
du<br />
:<br />
dx<br />
D d f .u/<br />
du<br />
du<br />
dx D
6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na 3<br />
Un caso particu<strong>la</strong>r <strong>de</strong> <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na es cuando y D f .u/ D u n con n 2 N & u D g.x/,<br />
situación que se conoce como <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia:<br />
y entonces,<br />
Es <strong>de</strong>cir,<br />
dy<br />
dx D<br />
dy<br />
du<br />
<br />
du d<br />
D<br />
dx du un<br />
y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D Œg.x/ n<br />
<br />
du<br />
dx<br />
D .nu n 1 /<br />
<br />
du<br />
n 1 d<br />
D nŒg.x/<br />
dx<br />
dx g.x/<br />
<br />
:<br />
d<br />
dx Œg.x/n n 1 d g.x/<br />
D nŒg.x/<br />
dx D nŒg.x/n 1 g 0 .x/ :<br />
En pa<strong>la</strong>bras: <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> una potencia <strong>de</strong> una función <strong>de</strong>rivable es el exponente por <strong>la</strong> potencia<br />
una unidad menor <strong>de</strong> <strong>la</strong> función base, por <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> <strong>la</strong> función (“<strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> lo <strong>de</strong> a<strong>de</strong>ntro",<br />
como se <strong>de</strong>cía anteriormente).<br />
Ejemplo 6.2.1 Para g.x/ D 2x 3 C 5 & f .u/ D u 10 .<br />
H<br />
1. Obtener .f ı g/.x/.<br />
2. Calcu<strong>la</strong>r d<br />
.f ı g/.x/.<br />
dx<br />
1. Calcu<strong>la</strong>mos y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .2x 3 C 5/ D .2x 3 C 5/ 10 .<br />
x u D 2x3 C 5 y D u10 D .2x3 C 5/ 10<br />
g f<br />
Entonces, .f ı g/.x/ D .2x 3 C 5/ 10 .<br />
f ı g<br />
2. d<br />
dy<br />
.f ı g/.x/ D<br />
dx dx D<br />
<br />
dy du<br />
du dx<br />
<br />
d<br />
D<br />
du u10<br />
<br />
d<br />
dx .2x3 <br />
C 5/<br />
D<br />
D .10u 9 /Œ2.3x 2 / C 0 D 10u 9 .6x 2 / D<br />
D 10.2x 3 C 5/ 9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/ 9 :<br />
3
4 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
Lo cual es exactamente lo que se obtiene con <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia:<br />
d<br />
dx .2x3 C 5/ 10 D 10.2x 3 9 d<br />
C 5/<br />
dx .2x2 C 5/ D 10.2x 3 C 5/ 9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/ 9 :<br />
Demostraremos ahora <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> 2 para el caso en que el exponente es un número racional, esto es:<br />
<strong>Reg<strong>la</strong></strong> 2 . Si f .x/ D xn con n D p<br />
q 2 Q . p 2 Z y q 2 N /, entonces f 0 .x/ D nxn 1 .<br />
H<br />
p<br />
q ; elevando ambos miembros a <strong>la</strong> potencia q, tenemos que Œf .x/q D<br />
En efecto, tenemos que f .x/ D x<br />
xp ; ahora <strong>de</strong>rivando con respecto a x ambos miembros <strong>de</strong> esta última igualdad:<br />
d<br />
dx Œf .x/q D d<br />
dx xp q 1 d f .x/<br />
) qŒf .x/<br />
dx D pxp 1 :<br />
Lo primero por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia y lo segundo por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> 2 . De aquí que<br />
d f .x/<br />
dx<br />
D pxp 1<br />
qŒf .x/<br />
1 pxp<br />
D<br />
q 1 p<br />
q<br />
Que es lo que queríamos <strong>de</strong>mostrar.<br />
q<br />
x<br />
q 1 D<br />
pxp 1<br />
p<br />
p<br />
qx q<br />
Ejemplo 6.2.2 Sean u D g.x/ & f .u/ D u r con r 2 Q .<br />
H<br />
4<br />
1. Obtener .f ı g/.x/.<br />
2. Calcu<strong>la</strong>r d<br />
.f ı g/.x/.<br />
dx<br />
1. .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D Œg.x/ r .<br />
D p<br />
p<br />
1 .p<br />
xp q<br />
q / D p<br />
q x<br />
p<br />
q 1 D nx n 1 :<br />
x u D g.x/ y D f.u/ D ur D Œg.x/r g f<br />
f ı g
6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na 5<br />
2.<br />
Entonces, .f ı g/.x/ D Œg.x/ r .<br />
d<br />
dy<br />
.f ı g/.x/ D<br />
dx dx D<br />
dy<br />
du<br />
<br />
du d<br />
D<br />
dx du ur<br />
<br />
d<br />
dx g.x/<br />
<br />
D<br />
D .ru r 1 /g 0 .x/ D rŒg.x/ r 1 g 0 .x/ )<br />
) d<br />
dx .f ı g/.x/ D rŒg.x/r 1 g 0 .x/ )<br />
) d<br />
dx Œg.x/r D rŒg.x/ r 1 g 0 .x/ :<br />
Ejemplo 6.2.3 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> w D p 2t 3 C 4.<br />
H Por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia<br />
dw<br />
dt<br />
d<br />
D<br />
dt .2t3 C 4/ 1<br />
2 D 1<br />
2 .2t3 C 4/ 1<br />
2<br />
D 1<br />
2 .2t3 C 4/ 1<br />
2.6t 2 / D<br />
Ejemplo 6.2.4 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> u D<br />
H Por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia<br />
du<br />
dy<br />
<br />
d<br />
D<br />
dy<br />
5<br />
<br />
2 y4 .<br />
<br />
5<br />
<br />
3 2 y4 D d<br />
<br />
dy<br />
D 5 d<br />
dy .2 y4 / 1<br />
3 D 5<br />
3<br />
6t 2<br />
2.2t 3 C 4/ 1<br />
2<br />
5<br />
.2 y 4 / 1<br />
3<br />
1<br />
3 .2 y4 / 1<br />
3<br />
D 5<br />
3 .2 y4 / 4<br />
3 . 4y 3 / D 20y3<br />
3<br />
3 1 2x<br />
Ejemplo 6.2.5 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> y D<br />
1 C 2x3 5<br />
1 d<br />
dt .2t3 C 4/ D<br />
<br />
1<br />
.2 y 4 / 4<br />
3<br />
.<br />
D<br />
3t 2<br />
p 2t 3 C 4 :<br />
D d<br />
dy Œ5.2 y4 / 1<br />
3 D<br />
1 d<br />
dy .2 y4 /<br />
D<br />
<br />
D<br />
20y3 3 3 .2 y4 :<br />
/ 4<br />
5
6 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
H Por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia y luego por <strong>la</strong> <strong>de</strong>l cociente<br />
dy<br />
dx<br />
3 d 1 2x<br />
D<br />
dx 1 C 2x3 3 1 2x<br />
D 5<br />
1 C 2x3 3 1 2x<br />
D 5<br />
1 C 2x3 3 1 2x<br />
D 5<br />
1 C 2x3 3 1 2x<br />
D 5<br />
1 C 2x3 5<br />
D<br />
5 1 d<br />
dx<br />
D 5.1 2x3 / 4 . 6x2 /.2/<br />
.1 C 2x3 / 4 .1 C 2x3 D<br />
/ 2<br />
D 60x2 .1 2x3 / 4<br />
.1 C 2x3 / 6<br />
:<br />
3 1 2x<br />
1 C 2x3 <br />
D<br />
4 .1 C 2x3 / d<br />
dx .1 2x3 / .1 2x3 / d<br />
dx .1 C 2x3 /<br />
.1 C 2x3 / 2<br />
4 .1 C 2x 3 /. 6x 2 / .1 2x 3 /.6x 2 /<br />
.1 C 2x3 / 2<br />
4 2 3 3 . 6x /.1 C 2x C 1 2x /<br />
.1 C 2x 3 / 2<br />
Ejemplo 6.2.6 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> z D .u 3 C 1/ 5 .u 3 2/ 8 .<br />
H Por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong>l producto y luego por <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia<br />
dz<br />
du<br />
D d<br />
du Œ.u3 C 1/ 5 .u 3<br />
D .u 3 5 d<br />
C 1/<br />
du .u3<br />
D .u 3 C 1/ 5 8.u 3<br />
D .u 3 C 1/ 5 8.u 3<br />
D 24u 2 .u 3 C 1/ 5 .u 3<br />
Para simplificar, factorizamos<br />
dz<br />
du D 3u2 .u 3 C 1/ 4 .u 3<br />
D 3u 2 .u 3 C 1/ 4 .u 3<br />
D 3u 2 .u 3 C 1/ 4 .u 3<br />
2/ 8 D<br />
2/ 8 C .u 3<br />
8 1 d<br />
2/<br />
du .u3<br />
2/ 7 .3u 2 / C .u 3<br />
2/ 7 C 15u 2 .u 3<br />
D<br />
8 d<br />
2/<br />
du .u3 C 1/ 5 D<br />
2/ C .u 3<br />
2/ 7 Œ8.u 3 C 1/ C 5.u 3<br />
2/ 7 .8u 3 C 8 C 5u 3<br />
2/ 7 .13u 3<br />
2/ :<br />
Ejemplo 6.2.7 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> w D .3t2 4/ 3<br />
6<br />
.2 t 2 /<br />
D<br />
2/ 8 5.u 3 5 1 d<br />
C 1/<br />
2/ 8 5.u 3 C 1/ 4 .3u 2 / D<br />
4 .<br />
2/ 8 .u 3 C 1/ 4 :<br />
2/ D<br />
10/ D<br />
D<br />
du .u3 C 1/ D
6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na 7<br />
H Primero por <strong>la</strong> reg<strong>la</strong> <strong>de</strong>l cociente y luego por <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> potencia<br />
dw<br />
dt<br />
D d<br />
dt<br />
D<br />
D<br />
2 .3t 4/ 3<br />
D<br />
.2 t 2 / 4<br />
Para simplificar, factorizamos<br />
.2 t2 4 d<br />
/<br />
dt .3t2 4/ 3 .3t 2 3 d<br />
4/<br />
dt .2 t2 / 4<br />
Œ.2 t2 / 42 .2 t2 / 43.3t 2 d 3 1 4/<br />
dt .3t2 4/ .3t 2 4/ 34.2 t2 d 4 1 /<br />
dt .2 t2 /<br />
.2 t2 / 8<br />
D .2 t2 / 4 3.3t 2 4/ 2 .6t/ .3t 2 4/ 3 4.2 t 2 / 3 . 2t/<br />
.2 t 2 / 8<br />
D 18t.2 t2 / 4 .3t 2 4/ 2 C 8t.3t 2 4/ 3 .2 t 2 / 3<br />
.2 t 2 / 8<br />
dw<br />
dt D 2t.2 t2 / 3 .3t 2 4/ 2Œ9.2 t2 / C 4.3t 2 4/<br />
.2 t2 / 8<br />
D 2t.2 t2 / 3 .3t 2 4/ 2 .18 9t 2 C 12t 2 16/<br />
.2 t 2 / 3 .2 t 2 / 5<br />
D 2t.3t2 4/ 2 .2 C 3t 2 /<br />
.2 t 2 / 5<br />
Ejemplo 6.2.8 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f .x/ D<br />
H Puesto que f .x/ D .1 x/ 2 C .x 1/ 1=2 1=2 :<br />
f 0 .x/ D 1<br />
<br />
.1 x/<br />
2<br />
2 C .x 1/ 1<br />
<br />
2<br />
1<br />
2 <br />
Ejemplo 6.2.9 Calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> y D<br />
:<br />
D<br />
:<br />
D<br />
D<br />
<br />
.1 x/ 2 C p x 1. .<br />
2.1 x/. 1/ C 1<br />
2<br />
D<br />
<br />
1<br />
.x 1/ 2 D<br />
1<br />
2.1 x/ C<br />
2<br />
D<br />
p <br />
x 1<br />
2 .1 x/ 2 C p 4.1 x/<br />
D<br />
x 1<br />
p x 1 C 1<br />
4 p <br />
x 1 .1 x/ 2 C p D<br />
x 1<br />
D<br />
4.x 1/ p x 1 C 1<br />
4 p <br />
x 1 .1 x/ 2 C p :<br />
x 1<br />
<br />
x C x C p x .<br />
D<br />
7
8 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
H<br />
dy<br />
dx<br />
<br />
<br />
d<br />
D x C x C<br />
dx<br />
p <br />
x D d<br />
dx<br />
<br />
x C x C p <br />
x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
d<br />
x C x C<br />
dx<br />
x<br />
p <br />
x D<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
d d<br />
.x/ C x C<br />
dx dx<br />
x<br />
p <br />
x D<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
1 C<br />
x<br />
d p <br />
x C x<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2 D<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
1 C<br />
x<br />
1<br />
2 .x C p x/ 1<br />
2 d p <br />
x C x<br />
dx<br />
<br />
D<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
1<br />
1 C<br />
x 2 x C p <br />
d d 1<br />
.x/ C .x 2/<br />
x dx dx <br />
D<br />
1<br />
D <br />
2 x C x C p <br />
1<br />
1 C<br />
x 2 x C p <br />
1 C<br />
x<br />
1<br />
2 p <br />
x<br />
<br />
:<br />
Ejemplo 6.2.10 Utilizando 3 procedimientos diferentes, obtener <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong><br />
<br />
3x<br />
y D<br />
2 1<br />
3x2 C 1 :<br />
H<br />
8<br />
1. Consi<strong>de</strong>rando que: y D<br />
Pero<br />
d<br />
dx<br />
2 3x 1<br />
3x2 1<br />
2<br />
C 1<br />
dy<br />
dx<br />
2 3x 1<br />
3x2 <br />
D<br />
C 1<br />
D<br />
es potencia <strong>de</strong> una función<br />
2 d 3x 1<br />
D<br />
dx 3x2 1<br />
2<br />
D<br />
C 1<br />
D 1<br />
2 3x 1<br />
2 3x2 1<br />
2 d<br />
C 1 dx<br />
2 3x 1<br />
3x2 <br />
: (*)<br />
C 1<br />
.3x2 C 1/ d<br />
dx .3x2 1/ .3x2 1/ d<br />
dx .3x2 C 1/<br />
.3x2 C 1/ 2<br />
D<br />
D .3x2 C 1/.6x/ .3x 2 1/.6x/<br />
.3x 2 C 1/ 2<br />
D 18x3 C 6x 18x 3 C 6x<br />
.3x 2 C 1/ 2<br />
D<br />
D<br />
12x<br />
.3x2 :<br />
C 1/ 2
6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na 9<br />
Entonces, sustituyendo en . /<br />
dy<br />
dx<br />
1<br />
D<br />
2<br />
D<br />
D<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
6x<br />
.3x2 C 1/ 3<br />
2.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
2. Consi<strong>de</strong>rando que y D .3x2 1/ 1<br />
2<br />
Pero<br />
d<br />
dx .3x2<br />
dy<br />
dx<br />
12x<br />
.3x2 C 1/ 2 D 12x.3x2 1/ 1<br />
2<br />
2.3x2 C 1/ 3 D<br />
2<br />
D<br />
6x<br />
.3x 2 C 1/ .3x 2 C 1/.3x 2 1/ D<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
D d<br />
dx<br />
D<br />
<br />
.3x2 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
1/ 1<br />
2 D 1<br />
2 .3x2<br />
6x<br />
.3x 2 C 1/ p 3x 2 C 1 p 3x 2 1 D<br />
6x<br />
.3x 2 C 1/ p 9x 4 1 :<br />
es un cociente <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> funciones:<br />
<br />
D<br />
d<br />
dx .3x2 1/ 1<br />
2 .3x2 1/ 1<br />
2<br />
1/ 1<br />
2<br />
d<br />
dx .3x2 C 1/ 1<br />
2 D 1<br />
2 .3x2 C 1/ 1<br />
2<br />
Entonces, al sustituir en . /<br />
dy<br />
dx D<br />
.3x2 C 1/ 1<br />
2<br />
D<br />
D<br />
D<br />
1<br />
3x2 <br />
C 1<br />
1<br />
3x 2 C 1<br />
1<br />
3x 2 C 1<br />
<br />
d<br />
dx .3x2<br />
Œ.3x2 C 1/ 1<br />
22 1/ D 1<br />
2 .3x2<br />
d<br />
dx .3x2 C 1/ 1<br />
2<br />
1/ 1<br />
26x D<br />
d<br />
dx .3x2 C 1/ D 1<br />
2 .3x2 C 1/ 1<br />
2 6x D<br />
3x<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 C 1/<br />
3x.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
3x.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
3x.3x 2 C 1/ 3x.3x 2 1/<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2 .3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
9x 3 C 3x 9x 3 C 3x<br />
p 3x 2 1 p 3x 2 C 1<br />
<br />
D<br />
3x<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
<br />
D<br />
<br />
D<br />
D<br />
: (**)<br />
3x<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
3x<br />
.3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
6x<br />
.3x 2 C 1/ p 9x 4 1 :<br />
3. Consi<strong>de</strong>rando que y D .3x2 1/ 1<br />
2.3x 2 C 1/ 1<br />
2 es un producto <strong>de</strong> potencias <strong>de</strong> funciones:<br />
dy<br />
dx<br />
D d<br />
dx Œ.3x2<br />
D .3x 2<br />
1/ 1<br />
2<br />
1/ 1<br />
2.3x 2 C 1/ 1<br />
2 D<br />
d<br />
dx .3x2 C 1/ 1<br />
2 C .3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
d<br />
dx .3x2<br />
1/ 1<br />
2 : (***)<br />
:<br />
9
10 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
Pero<br />
d<br />
dx .3x2 C 1/ 1<br />
2 D 1<br />
2 .3x2 C 1/ 3<br />
2 6x D 3x.3x 2 C 1/ 3<br />
2 D<br />
d<br />
dx .3x2<br />
1/ 1<br />
2 D 1<br />
2 .3x2<br />
Entonces, al sustituir en . /<br />
dy<br />
dx<br />
D .3x2<br />
Ejercicios 6.2.1 Soluciones en <strong>la</strong> página 12<br />
1/ 1<br />
26x D<br />
1/ 1<br />
2<br />
D 3x.3x2 1/ 1<br />
2<br />
.3x2 C 1/ 3<br />
2<br />
3x<br />
.3x 2 C 1/ 3<br />
2<br />
C<br />
3x<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
C .3x 2 C 1/ 1<br />
2<br />
3x<br />
.3x2 C 1/ 1<br />
2 .3x2 1/ 1<br />
2<br />
D 3x.3x2 1/ C 3x.3x2 C 1/<br />
.3x2 C 1/ 3<br />
2.3x 2 1/ 1 D<br />
2<br />
D<br />
9x 3 C 3x C 9x 3 C 3x<br />
.3x 2 C 1/ p 3x 2 C 1 p 3x 2 1 D<br />
:<br />
3x<br />
.3x 2 C 1/ 3<br />
2<br />
3x<br />
.3x 2 1/ 1<br />
2<br />
D<br />
D<br />
6x<br />
.3x 2 C 1/ p 9x 4 1 :<br />
Utilizando reg<strong>la</strong>s <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivación, calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones siguientes.<br />
10<br />
1. y D .3x 4 2/ 5 .<br />
2. u D<br />
<br />
t C 1<br />
10 .<br />
t<br />
3. z D 4 1 y 2 .<br />
4. w D<br />
5. x D<br />
6. y D<br />
5<br />
.3u2 .<br />
C 1/ 2<br />
6<br />
<br />
y5 2 .<br />
3<br />
<br />
x C<br />
1<br />
x .<br />
<br />
1<br />
7. f .x/ D<br />
2 3x<br />
.<br />
x<br />
<br />
8. f .z/ D 4z2 C p 27<br />
9. y D<br />
2z .<br />
3<br />
<br />
4t C 1<br />
2 5t .
6.2 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na 11<br />
10. y D x x C p x C 1 .<br />
11. x D 3y2<br />
y 2 C 1 .<br />
1<br />
12. y D<br />
x p x2 1 .<br />
p<br />
z C 1<br />
13. f .z/ D<br />
. p .<br />
z C 3/ 2<br />
p<br />
w C 1 C 3<br />
14. Si f .w/ D<br />
; calcu<strong>la</strong>r f 0 .1/ .<br />
.w 2 C 1/ 3<br />
15. Sean ˆ.s/ D 1 .s/, . 2/ D 3 & 0 . 2/ D 3, calcule ˆ 0 . 2/ .<br />
11
12 Cálculo Diferencial e Integral I<br />
Ejercicios 6.2.1 <strong>Reg<strong>la</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ca<strong>de</strong>na, página 10<br />
12<br />
1. dy<br />
2. du<br />
dt<br />
dx D 60x3 .3x 4 2/ 4 .<br />
3. dz<br />
dy D<br />
D 10<br />
4. dw<br />
du D<br />
5. dx<br />
dy D<br />
6. dy<br />
dx D<br />
<br />
t C 1<br />
9 <br />
1<br />
t<br />
4y<br />
1 y 2 .<br />
60u<br />
.3u2 .<br />
C 1/ 3<br />
10y4 .<br />
3<br />
.y5 2/ 4<br />
⎡<br />
2<br />
<br />
1<br />
x C<br />
1<br />
x<br />
1<br />
t 2<br />
<br />
.<br />
⎢<br />
1<br />
⎣1 C <br />
1<br />
2<br />
x<br />
7. f 0 .x/ D 3x2 C 1<br />
2x2 <br />
x<br />
.<br />
1 3x2 <br />
1<br />
x2 ⎤<br />
<br />
⎥<br />
⎦ .<br />
8. f 0 .z/ D<br />
9. dy<br />
dt D<br />
1<br />
<br />
2 4z2 C p 27 2z<br />
13<br />
3 3 .2 5t/ 4 .<br />
.4t C 1/ 2<br />
10. dy<br />
dx D 6xp x C 1 C 5x C 4<br />
4 p x C 1 x C p x C 1 .<br />
11. dx<br />
dy D 3y.y2 C 2/<br />
.y 2 C 1/ 3 .<br />
12. y 0 D<br />
13. f 0 .z/ D<br />
1<br />
x p x 2 1 x 2 C 1 .<br />
p<br />
z C 1<br />
2 p z. p .<br />
z C 3/ 3<br />
14. f 0 .1/ 1:6111.<br />
15. ˆ 0 . 2/ D 3<br />
4 .<br />
<br />
8z<br />
<br />
1<br />
p :<br />
27 2z