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Capítulo 1 Modelado de Robots Manipuladores 

Centro Interdisciplinario de Posgrados 

Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla 

Posgrado en Ingeniería Mecatrónica 

Fernando Reyes Cortés 

Tópicos Especiales de Robótica MEC507 

Primavera 2013

Cinemática directa Cinemática inversa Cinemática diferencial Cinemática diferencial inversa Singularidades Preliminares matemáticos de la cinemática directa Matrices de rotación 

Parte II 

Introudcción 

Contenido 

Cinemáticas. 

Conceptos de cinemática: 

Cinemática directa 

Cinemática inversa 

Cinemática diferencial 

Cinemática diferencial inversa 

Singularidades 

Preliminares matemáticos de la cinemática directa 

Producto punto 

Matrices de rotación 

Matrices de traslación 

Matrices homogéneas 

Fernando Reyes Cortés Posgrado en Ingeniería Mecatrónica 

Capítulo 1 Modelado de Robots Manipuladores Tópicos Especiales de Robótica MEC507 2 / 50



Cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento de sistemas mecánicos, sin tomar en cuenta las fuerzas 

que lo originan. Por lo tanto, no involucra ecuaciones diferenciales como en el caso de modelos dinámicos. 

Al estudio de la cinemática aplicado a los sistemas mecánicos que forman robots manipuladores se le denomina 

cinemática directa; se refiere al estudio analítico del movimiento del robot con respecto a un sistema de referencia 

cartesiano fijo Σ0 x0, y0, z0 relacionando la dependencia que existe entre las coordenadas articulares o generalizadas 

q ∈ IR n con las coordenadas cartesianas x, y, z T ∈ IR 3 y la orientación θ, φ, ψ T ∈ IR 3 del extremo final del 

robot (donde habitualmente se coloca la herramienta de trabajo). 

Esta dependencia se realiza por medio de una función vectorial f R continua y diferenciable en la variable de estado 

articular q. 

Como parte de la estructura matemática de la cinemática directa intervienen los parámetros geométricos (longitudes 

del i-ésimo eslabón li); generalmente, esta función es no lineal. 





Cinemática directa es una función vectorial f R(li, q) que relaciona las coordenadas articulares q ∈ IR n y 

propiedades geométricas del sistema mecánico li con las coordenadas cartesianas x, y, z T ∈ IR 3 del robot y la 

orientación θ, φ, ψ T ∈ IR 3 de la herramienta de trabajo colocada en el extremo final. 

Es decir, la cinemática directa es un mapeo vectorial f R : IR n → IR m tal que: 

⎡ ⎤ 

x 

⎢ 

⎢y 

⎥ 

⎢ 

⎢z 

⎥ 

⎢ 

⎢θ 

⎥ 

⎣φ⎦ 

ψ 

= f R(li, q) (1) 

donde n indica el número de grados de libertad y la dimensión del vector de coordenadas articulares q, m es la 

dimensión conjunta de las coordenadas cartesianas y la orientación de la herramienta de trabajo. 





De manera general, el posicionamiento del extremo final del robot en el espacio tridimensional (pose) requiere 

de 6 coordenadas (m = 6): 3 coordenadas para la posición cartesiana y 3 coordenadas para la orientación de la 

herramienta de trabajo. 

Dependiendo de la aplicación del robot se pueden requerir menos coordenadas de posición y orientación. Por ejemplo, 

un robot para pintura de armaduras automotrices requiere las 6 coordenadas, en contraste con un robot que corta 

figuras de plástico sobre un plano requiere 2 coordenadas cartesianas de posición y ninguna de orientación. 

Cuando n > m se denomina robots redundantes. El empleo de la cinemática directa resulta de utilidad en la 

planificación de trayectorias y en el control cartesiano. El papel fundamental de la cinemática directa, es computar 

la posición y orientación del extremo final del robot manipulador como una función de las variables articulares. 





Un robot manipulador se considera como una serie de eslabones interconectados a través de articulaciones (servomotores) 

rotacionales o prismáticas en forma de cadena cinemática abierta, es decir el extremo final donde se coloca 

la herramienta no se encuentra conectada mecánicamente a la primera articulación (base) del robot. Desde el punto 

de vista topológico, la cadena cinemática se considera abierta cuando los dos extremos de la cadena no se tocan. De 

otra manera la cadena cinemática formaría un lazo si sus dos extremos están mecánicamente unidos. 

La estructura mecánica del robot manipulador se caracteriza por tener un número de grados de libertad, los cuales 

determinan en forma única su configuración. Típicamente, cada grado de libertad está asociado a una articulación 

(variable articular q). 

Figura: 

Figura 1: Cadena en cinemática abierta. 





Dada la posición del extremo final del robot en coordenadas cartesianas [x, y, z] T y la orientación [ψ, θ, φ] T , con 

respecto a un sistema de referencia fijo Σ0(x0, y0, z0), así como los parámetros geométricos li, entonces surge la 

pregunta natural: 

¿Pueden obtenerse las coordenadas articulares del robot q para que el extremo final del robot se posicione en las 

coordenadas cartesianas solicitadas, con la orientación requerida? 

El problema planteado se conoce como cinemática inversa y representa un área de la robótica de mayor complejidad 

que la cinemática directa. Para un robot manipulador siempre es posible encontrar el modelo de cinemática 

directa, mientras que en la cinemática inversa pueden haber varias soluciones e inclusive no existir solución analítica; 

si este es el caso, entonces como posibles formas de solución pueden proponerse redes neuronales, métodos 

numéricos, iterativos, geométricos, etcétera. 





La cinemática inversa es un problema no lineal que relaciona las coordenadas articulares q ∈ IR 3 en función de 

las coordenadas cartesianas y la orientación de la herramienta del extremo final del robot manipulador 

donde f −1 

R (x, y, z, li, θ, φ, ψ) es función inversa de la ecuación (1). 

q = f −1 

R (x, y, z, li, θ, φ, ψ) (2) 





Cinemática diferencial directa es la derivada con respecto al tiempo de la cinemática directa: 

d 

x 

dt 

y z θ φ 

T ψ = 

 

v 

= 

w 

d 

dt f R(q) (3) 

= ∂f R(q) 

˙q = J (q) ˙q. 

∂q 

x, y, z T = 

La cinemática directa relaciona la velocidad articular ˙q ∈ IR n con la velocidad lineal v = d 

dt 

T 3 d 

T T ˙x, ˙y, ˙z ∈ IR y la velocidad angular ˙w = θ, φ, ψ = ˙θ, ˙ 

dt 

φ, ψ˙ 3 

∈ IR , además el mapeo es descrito en 

términos de una matriz J (q) = ∂f R (q ) 

∂q 

∈ IR6×n denominada jacobiano del robot o jacobiano analítico: 

J (q) = 

 

Jv (q) 

. (4) 

Jw (q) 

Jv (q) ∈ IR 3×n relaciona la velocidad articular ˙q ∈ IR n con la velocidad lineal v ∈ IR 3 , mientras que Jw (q) ∈ 

IR 3×n relaciona la velocidad angular w ∈ IR 3 con la velocidad articular ˙q ∈ IR n , es decir: 

 

 

v 

Jv (q) ˙q 

= J (q) ˙q = . (5) 

w 

Jw (q) ˙q 





El jacobiano del robot representa una importante herramienta en robótica que sirve para caracterizar a un robot manipulador, 

encontrar configuraciones singulares, analizar redundancia, determinar la cinemática diferencial inversa, así 

como describir la relación entre la fuerza aplicada y los pares o torques resultantes del extremo final. Es indispensable 

para el análisis y diseño de algoritmos de control cartesiano. 

Hay varias formas de seleccionar la orientación de la herramienta del robot manipulador: 

De manera particular dicha orientación puede ser representada usando los ángulos de Euler (un sistema de 

referencia asociado al extremo final del robot o a la herramienta de trabajo), entonces la velocidad angular 

w = ˙ θ, ˙ φ, ˙ ψ T ∈ IR 3 relaciona la matriz jacobiano analítico, como se encuentra descrita en la ecuación (3). 

Otra posible forma de modelar la orientación de la herramienta del robot es expresarla directamente en un 

sistema de referencia específico, por ejemplo al origen localizado en la base del robot, entonces a la matriz J (q) 

se le denomina jacobiano geométrico que depende de la configuración del robot manipulador. 

El jacobiano analítico difiere del jacobiano geométrico: básicamente la diferencia se encuentra en cómo modelar 

la orientación de la herramienta de trabajo del robot. 




Cinemática diferencial inversa 

La cinemática diferencial inversa representa la relación entre la velocidad articular ˙q con la velocidad lineal de 

movimiento v y la velocidad angular w, expresada en términos de la matriz inversa del jacobiano del robot: 

˙q = J −1 

v 

(q) 

w 

donde J −1 (q) ∈ IR 6×n es la matriz inversa del jacobiano del robot, la cual existe si es una matriz cuadrada y su 

determinante es diferente a cero. 

. 

Si el determinante del jacobiano del robot J (q) es cero, entonces se dice que no es de rango completo y se presentan 

problemas de singularidades 


Capítulo 1 Modelado de Robots Manipuladores Tópicos Especiales de Robótica MEC507 11 / 50 

(6)


Singularidades 

Singularidad significa que no es posible indicarle un movimiento arbitrario al extremo final del robot, es decir 

para una velocidad lineal v y velocidad angular w finitas puede corresponder una velocidad articular ˙q infinita. 

Puede existir un conjunto infinito de soluciones para la cinemática directa. 

La cinemática inversa diferencial tiene un número infinito de soluciones. 

En control cartesiano la fuerza aplicada al robot puede provocar un par infinito a las articulaciones del robot. 

Dependiendo del tipo de robot, las singularidades pueden generar un número infinito de puntos de equilibrio 

en la ecuación en lazo cerrado, formada por la dinámica del robot y la estructura cartesiana de control. 





El posicionamiento del extremo final del robot en el espacio tridimensional (pose) requiere de 6 coordenadas: 3 

coordenadas para la posición cartesiana y 3 coordenadas para la orientación de la herramienta de trabajo. 

A la relación que existe entre las coordenadas articulares del robot con las coordenadas cartesianas y la orientación 

de la herramienta de trabajo colocada en el extremo final del robot se le denomina cinemática directa. 

Como parte de la representación matemática de la cinemática directa de robots manipuladores se encuentra el 

uso de transformaciones homogéneas para representar orientación y traslación de la herramienta de trabajo, con 

respecto al sistema de referencia fijo Σ(x, y, z) ubicado generalmente en la base del robot. 

Como preámbulo al tema de matrices de transformación homogénea están los conceptos de producto punto o escalar 

entre vectores, así como matrices ortogonales (matrices de rotación). 





El producto punto permite utilizar proyecciones de ortogonalidad de los ejes principales de un sistema de 

referencia Σ1(x1, y1, z1) relativo a otro sistema de referencia Σ0(x0, y0, z0). 

Otro de los temas como prerrequisito es el correspondiente a matrices ortogonales para modelar la orientación 

y traslación de la herramienta de trabajo respecto al sistema fijo del robot Σ(x, y, z). 

Es necesario resaltar las propiedades matemáticas de las matrices ortogonales que facilitan el análisis y descripción 

de movimientos de rotación y traslación. 

En función de las propiedades matemáticas de las matrices ortogonales se generan diferentes reglas de rotación. 

Las matrices homogéneas incluyen estos conceptos para ofrecer una representación compacta de la matriz de rotación, 

que determina la orientación relativa de un sistema de referencia Σ1(x1, y1, z1) con respecto a un sistema de referencia 

fijo Σ0(x0, y0, z0) y del vector de coordenadas o de traslación x 0 = T x0, y0, z0 . 

Con la estructura matemática de las transformaciones homogéneas se desarrollan un conjunto de librerías para 

propósitos de simulación de cinemática directa de robots manipuladores. 





Modelar la orientación de la herramienta de trabajo del robot se encuentra el producto escalar o producto interno, 

también conocido como producto punto (dot product), el cual permite utilizar los conceptos de la geometría euclidiana 

tradicionales como longitudes, ángulos, proyecciones geométricas, ortogonalidad en dos y tres dimensiones de los 

sistemas de referencia asociados al robot y de la herramienta de trabajo. 

Al producto interno x · y es una operación definida sobre dos vectores x, y ∈ IR n de un espacio euclidiano cuyo 

resultado es un número o escalar. 

Considere los siguientes vectores x, y ∈ IR n , el producto interno vectorial se define como: 

x · y = x T y = 

n 

xiyi = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn. (7) 

i=1 





El producto punto se le llama producto escalar debido a que también se puede realizar como: x · y = x T y. 

En un espacio euclidiano real, el producto interno (7) también acepta una definición geométrica dada por: 

x · y = xy cos(θ) (8) 

donde θ es el ángulo que forman los vectores x y y y las normas euclidianas se encuentran definidas por x = 

x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n, y = y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 n, respectivamente. 

Figura: 

Figura 2: Producto interno vectorial x · y. 





Considere x, y, z ∈ IR n , y α ∈ IR; el producto interno tiene las siguientes propiedades: 

Conmutativa: x · y = y · x. 

Distributiva: z · (x + y) = z · x + z · y. 

Asociativa: αx · y = x · αy = x · yα. 

La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo θ existente entre los 

vectores x y y de la siguiente manera: 

cos(θ) = 

x · y 

xy = 

x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn 

 

2 x1 + x 2 2 + · · · + x 2 

2 

n y1 + y 2 2 + · · · + y 2 . 

n 

Vectores ortogonales: x · y = 0 ⇒ x ⊥ y, θ = π rad (90 grados). 

2 

Vectores paralelos o con la misma dirección si el ángulo que forman es 0 rad (0 grados) o π rad (180 grados): 

x · y = xy. 

x · x = 0 ⇐⇒ x = 0 ∈ IR n . 

Si x = 0 ⇒ x · x > 0. 

La norma euclidiana de un vector x se puede expresar como: 

x = √ x · x = √ x T x = n 

i=1 

x 2 

i = x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n. 

MATLAB contiene la función dot(x,y) para realizar la operación producto interno x · y de los vectores x, y ∈ IR n , 

con la siguiente estructura de sintaxis: 





x · y= dot(x,y) 

x · y=dot(x,y,n) 

El producto punto x · y equivale a realizar la operación en MATLAB: x · y=x’*y. 

La norma euclidiana x de un vector x ∈ IR n , también conocida como norma 2, se puede calcular utilizando la 

función norm con la siguiente sintaxis: x=norm(x,2) 





Example 

Sean x, y ∈ IR 2 con las siguientes componentes respectivamente: 

x = 

 

2 

4 

 

8 

y = 

−3 

obtener el producto punto x · y y el ángulo θ que forman entre los vectores x, y. 

Puesto que los vectores x, y ∈ IR 2 están formados por x = 2 4 T y y = 8 −3 T , y tomando en cuenta la 

definición del producto punto se obtiene lo siguiente: 

El ángulo que forman los vectores x y y se obtiene como: 

x · y = x1y1 + x2y2 = 2 (8) − 4 (3) = 16 − 12 = 4. 

cos(θ) = 

x · y 

xy = 

lo que significa que θ =1.465 rad (83.99 grados). 

Observe que evidentemente se cumple: 

= 

x1y1 + x2y2 

 

2 x1 + x 2 

2 

2 y1 + y 2 2 

4 

√ 

22 + 42 82 = 

+ (−3) 2 

4 

(4.4721)(8.544) 

= 0.1046 

x · y = xy cos(θ) = √ 20 √ 73 cos(1.465) = (4.472135)(8.544003)(0.1046) = 4. 





Código Fuente 1 crm prodot 

Control de Robots Manipuladores, primavera 2013 

Fernando Reyes Cortés. Posgrado en Automatización, Facultad de Ciencias de la Electrónica BUAP. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

crm prodot.m MATLAB versión 2012a 

clc; 

clear all; 

close all; 

disp(’Producto interno o escalar de vectores’) 

x = [2; 4 ]; %vector columna de dos renglones x ∈ IR2 y = [8; -3]; %vector columna de dos renglones y ∈ IR2 xdoty=dot(x,y) %producto interno x · y usando la función dot 

xdoty m=x’*y %forma matemática del producto interno x · y 

theta=acos(x’*y/(norm(x,2)*norm(y,2))) %ángulo que forman los vectores x, y ∈ IR2 %forma geométrica del producto interno: x · y = xy cos(θ) 

xdoty geometrica=norm(x,2)*norm(y,2)*cos(theta) 





La figura 3muestra dos sistemas de referencia cartesianos, asociados a un cuerpo rígido, representados por 

Σ0 x0, y0, z0 y Σ1 x1, y1, z1 , ambos sistemas comparten el mismo origen. El sistema de referencia Σ1 x1, y1, z1 

 

mantiene una orientación relativa al sistema de referencia fijo Σ0 x0, y0, z0 . 

Figura: 

Figura 3: Sistemas de referencia fijo Σ0 y rotado Σ1. 





Figura: 

Figura 4: Sistemas de referencia fijo Σ0 y rotado Σ1. 

Considérese la figura 4: 

Sea un punto p sobre el cuerpo rígido de la figura 

4. 

 

Con respecto al sistema Σ0 x0y0z0 tiene coordenadas 

p0 = [x0, y0, z0] T . 

El mismo punto p se representa como p1 = 

[x1, y1, z1] T con respecto al sistema de referencia 

Σ1 x1, y1, z1 . 

El problema que se plantea consiste encontrar la relación 

que hay entre las coordenadas de un punto 

p1 en el sistema de referencia Σ1 x1, y1, z1 con 

el vector p0 definido en el sistema de referencia 

x0, y0, z0 . 

Σ0 

Considere vectores bases para cada sistema de referencia 

Σ0 y Σ1. Sean {i 0, j 0, k 0} vectores unitarios 

a lo largo de los ejes x0, y0, z0, respectivamente. 

Es decir, i 0 = 1, 0, 0 T , j 0 = 0, 1, 0 T , 

k 0 = 0, 0, 1 T . Similarmente se definen los vectores 

unitarios {i 1, j 1, k 1} para el sistema Σ1 x1, y1, z1 . 





Un vector que va desde el origen común para ambos sistemas hasta el punto p, puede ser expresado en función de 

cualquiera de las dos bases de vectores unitarios de la siguiente forma: 

p 0 = p0xi0 + p0yj 0 + p0zk 0 con respecto al sistema Σ0 (9) 

p 1 = p1xi1 + p1yj 1 + p1zk 1 con respecto al sistema Σ1 (10) 

Los vectores p 0, p 1 representan al mismo punto p. Tomando en cuenta las ecuaciones (9) y (10) la relación que hay 

entre sus componentes adquiere la siguiente forma: 

p0x = p 0 · i 0 = p 1 · i 0 

= p1xi1 · i 0 + p1yj 1 · i 0 + p1zk 1 · i 0 (11) 

p0y = p 0 · j 0 = p 1 · j 0 

= p1xi1 · j 0 + p1yj 1 · j 0 + p1zk 1 · j 0 (12) 

p0z = p 0 · k 0 = p 1 · k 0 

= p1xi1 · k 0 + p1yj 1 · k 0 + p1zk 1 · k 0. (13) 





Estas ecuaciones pueden ser escritas de manera compacta como: 

p 0 = R 1 0p 1 (14) 

donde R1 0 representa la siguiente matriz 

R 1 ⎡ 

⎤ 

i 1 · i 0 j 1 · i 0 k 1 · i 0 

0 = ⎣i 

1 · j 0 j 1 · j 0 k 1 · j ⎦ 

0 . (15) 

i 1 · k 0 j 1 · k 0 k 1 · k 0 

donde R1 0 ∈ IR 3×3 

es la matriz de transformación de las coordenadas del punto p del sistema de referencia Σ1 x1, y1, z1 

 

hacia las coordenadas del sistema Σ0 x0, y0, z0 . En otras palabras, dado un punto p1 en el sistema Σ1 x1, y1, z1 , 

entonces R1 

0p 1 representa el mismo vector expresado con respecto al sistema de referencia Σ0 x0, y0, z0 . 

Obsérvese que las columnas de R1 0 son los cosenos directores de los ejes coordenados x1, y1, z1 respecto de los ejes 

coordenados x0, y0, z0. Por ejemplo, la primera columna [i1 · i0, i1 · j0, i1 · k0] T especifica la dirección del eje x1 relativa 

al sistema de referencia Σ0. 





Similarmente se puede obtener el punto p 1 en función del punto p 0: 

p1x = p 1 · i 1 = p 0 · i 1 

= p0xi0 · i 1 + p0yj 0 · i 1 + p0zk 0 · i 1 

p1y = p 1 · j 1 = p 0 · j 1 

= p0xi1 · j 1 + p0yj 1 · j 1 + p0zk 1 · j 1 

p1z = p 1 · k 1 = p 0 · k 1 

= p0xi1 · k 1 + p0yj 1 · k 1 + p0zk 1 · k 1 

p1 = R 0 R 

1p 0 (16) 

0 1 = 

⎡ 

i 0 · i 1 

⎣i 

0 · j 1 

i 0 · k 1 

j 0 · i 1 

j 0 · j 1 

j 0 · k 1 

⎤ 

k 0 · i 1 

k 0 · j ⎦ 

1 . 

k 0 · k 1 

(17) 

La matriz R0 1 ∈ IR 3×3 (17) representa la matriz inversa de la transformación R1 0 (15). Debido a que el producto interno 

de vectores unitarios cumple la propiedad conmutativa, entonces i 1 · j 1 = j 1 · i 1, i 0 · j 0 = j 0 · i 0, etc., por lo que 

resulta: 

R 0 1 = R 1−1 1 T 

0 = R0 La matriz R 1 0 cuya inversa es su transpuesta se denomina matriz ortogonal. La norma de los vectores columna de 

R 1 0 son de magnitud unitaria y mutuamente ortogonales, el determinante de R 1 0 es ±1. Si el sistema de referencia se 

selecciona de acuerdo con la regla de la mano derecha, entonces el determinante de R 1 0 es 1. La matriz R 1 0 se denomina 

matriz de rotación y pertenece a la clase de matrices ortogonales que se denotan como SO(3). 



(18)



Notación 

La matriz R1 

2 

0 representa la orientación del sistema Σ1 x1, y1, z1 respecto al sistema Σ0 x0, y0, z0 

. R1 representa la 

orientación del sistema Σ2 x2, y2, z2 respecto al sistema Σ1 x1, y1, z1 , y así sucesivamente. Mientras que la transformación 

inversa R0 

1 significa la orientación del sistema de referencia Σ0 x0, y0, z0 

relativa al sistema de referen- 

1 cia Σ1 x1, y1, z1 

. De manera análoga, R2 es la transformación inversa de coordenadas del sistema de referencia 

Σ1 x1, y1, z1 hacia el sistema Σ2 x2, y2, z2 . 




Matriz de rotación alrededor del eje z0 

 

Considere que el sistema de referencia Σ1 z1, y1, z1 el cual se encuentra rotado un ángulo θ alrededor del eje z0 del 

1 sistema Σ0 z0, y0, z0 . Obtener la matriz resultante de transformación R0. Como se muestra en la figura 5, los ejes z0 y z1 son paralelos. El signo del ángulo θ está dado por la regla de la 

mano derecha. Por convención, un ángulo positivo es aquel cuyo sentido de rotación es contrario al movimiento de 

las manecillas del reloj. 

Figura: 

Figura 5: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje z. 





De la figura 6 se obtienen las siguientes ecuaciones: 

Figura: 

Figura 6: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje z. 

i 1 · i 0 = cos(θ) j 1 · i 0 = − sen(θ) 

j 1 · j 0 = cos(θ) i 1 · j 0 = sen(θ) 

k 0 · k 1 = 1 





Todos los demás productos punto son cero, puesto que el ángulo que existe entre los vectores unitarios i 0, i 1, j 0, 

y j 1 con k 0 y k 1 es de 90 grados, excepto entre ellos mismos, puesto que k 0 y k 1 forman un ángulo de 0 grados: 

k 1 · i 0 = cos( π 

2 ) = 0, k 1 · j 0 = cos( π 

2 ), i 1 · k 0 = cos( π 

2 ) = 0, y j 1 · k 0 = cos( π) 

= 0. 2 

Notación 

La matriz (22) se conoce como matriz de rotación alrededor del eje z y es representada por Rz(θ). 

⎡ 

cos(θ) − sen(θ) 

⎤ 

0 

Rz(θ) = ⎣ sen(θ) cos(θ) 0⎦ 

. (19) 

0 0 1 





La matriz de rotación Rz(θ) se interpreta como una matriz que especifica la orientación del sistema de referencia 

x1, y1, z1 relativo al sistema de referencia Σ0 x0, y0, z0 . 

Σ1 

⎡ 


⎤ 

0 

p0 = Rz(θ)p 1 = ⎣ sen(θ) 

0 

cos(θ) 

0 

0⎦ 

p1. 1 

(20) 

Por convención considérese que el ángulo θ es positivo en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del 

reloj. 

 

La relación inversa que determina la orientación del sistema Σ0 x0, y0, z0 con respecto al sistema Σ1 x1, y1, z1 está 

dada por: 

p 1 = R T z 

⎡ 

⎤ 

 

cos(θ) sen(θ) 0 

θ p0 = ⎣− 

sen(θ) cos(θ) 0⎦ 

p0. (21) 

0 0 1 

 

Por lo tanto, un punto p0 en el sistema Σ0 x0, y0, z0 es transformado hacia un punto p1 en el sistema Σ1 x1, y1, z1 

incluyendo su orientación relativa. 





 

Otra forma de obtener la matriz Rz θ que relaciona la orientación θ del sistema de referencia Σ1 z1, y1, z1 

con 

respecto al eje z0 del sistema de referencia Σ0 z0, y0, z0 es por medio de una proyección geométrica, es decir, 

analizando la proyección de los ejes x1, y1 sobre los ejes x0, y0 como se ve en la figura 7. 

Los ejes z1 y z0 son paralelos entre sí, el plano x1 − y1 se encuentra rotado un ángulo θ con respecto al plano x0 − y0, 

entonces la proyección del punto p 1 = [p1x, p1y, p1z] T sobre los ejes del sistema Σ0 son: 

Figura: 

Figura 7: Rotación θ grados del plano x1 − y1 con respecto al plano x0 − y0. 





p0x = p1x cos(θ) − p1y sen(θ) 

p0y = p1x sen(θ) + p1y cos(θ) 

p0z = p1z 

⎡ 


⎤ 

0 

p0 = Rz(θ)p 1 = ⎣ sen(θ) 

0 

cos(θ) 

0 

0⎦ 

p1. 1 




Propiedades de la matriz de rotación Rz(θ) 

La matriz de rotación Rz(θ) tiene varias propiedades importantes que a continuación se presentan: 

3×3 

Rz 0 = I , I ∈ IR es la matriz identidad. 

 

Rz θ Rz β = Rz β Rz θ = Rz θ + β = Rz β + θ . 

−1 

Rz θ = Rz −θ . 

Rz 

Rz 

T −1. θ = Rz θ 

T T 

θ Rz θ = Rz θ Rz θ = I . 

 

det[Rz θ ] = 1 si el sistema de referencia cartesiano Σ z, y, z es seleccionado por la regla de la mano derecha, en otro 

caso det[Rz θ ] = −1. 




 

Función matriz de rotación Rz θ 

 

La función matriz de rotación Rz θ 

tiene la siguiente sintaxis: 

 

Rz θ = 

⎡ 


⎤ 

0 

⎣ sen(θ) cos(θ) 0⎦ 

0 0 1 

R=Rz(θ) 

donde θ ∈ IR es el ángulo de rotación alrededor del eje z, y representa el argumento de entrada. Retorna la matriz 

de rotación R. 

Para expresiones matemáticas con variables simbólicas, la función simplify resulta importante para obtener un 

resultado matemático compacto, es decir factorizado y reducido. 

Cuando un programa se encuentra combinando cálculos numéricos con variables simbólicas, se recomienda usar la 

función vpa con una precisión de tres dígitos a través de digits(3). 





Código Fuente 2 Función Rz(θ) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

Función Rz(θ).m MATLAB versión 2012a 

function R=Rz(theta) 

dato=whos(’theta’); 

if strcmp(dato.class, ’sym’) %para variables simbólicas then 

R=simplify([cos(theta), -sin(theta), 0; 

sin(theta), cos(theta), 0; 

0, 0, 1]); 

else %cálculos numéricos 

digits(3); 

R=simplify([ double(cos(theta)), double(-sin(theta)), 0; 

double(sin(theta)), double(cos(theta)), 0; 

0, 0, 1]); 

endif 

end 





Figura: 

Figura 8: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje z0. 

Notación 

La matriz R1 0 correspondiente de rotación 

θ alrededor del eje z0 se denota por Rz θ 

con la siguiente estructura matemática: 

⎡ 


⎤ 

0 

Rz(θ) = ⎣ sen(θ) cos(θ) 0⎦ 

. 

0 0 1 

Los ejes z0 y z1 coinciden entre sí, y el plano 

x1 − y1 se desplaza un ángulo θ de derecha 

a izquierda con respecto al plano x0 − y0. 

 

Propiedades de la matriz Rz θ : 

` ´ 

Rz 0 = I , I ∈ IR 3×3 es la matriz identidad. 

` ´ ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ 

Rz θ Rz β = Rz β Rz θ = Rz θ + β = 

` ´ 

Rz β + θ . 

` ´ −1 ` ´ 

Rz θ = Rz −θ . 

` ´ T ` ´ −1. 

Rz θ = Rz θ 

` ´ ` ´ T ` ´ T ` ´ 

Rz θ Rz θ = Rz θ Rz θ = I . 

` ´ 

det[Rz θ ] = 1 si el sistema de referencia cartesiano 

Σ ` z, y, z ´ es seleccionado por la regla de la mano 

` ´ 

derecha, en otro caso det[Rz θ ] = −1. 




Matriz de rotación alrededor del eje x0 

Figura: 

Figura 9: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje x0. 

Notación 

La matriz R1 0 correspondiente de rotación θ 

alrededor del eje x0 se denota por Rx θ con 

la siguiente estructura matemática: 

 

Rx θ = 

⎡ 

1 

⎣0 

0 

cos(θ) 

⎤ 

0 

− sen(θ) ⎦ .(22) 

0 sen(θ) cos(θ) 

Observe que los ejes x0 y x1 coinciden entre 

sí, y el plano z1 − y1 se desplaza un ángulo θ 

de derecha a izquierda con respecto al plano 

z0 − y0. 

Las propiedades de la matriz de rotación 

θ son las mismas para Rz θ . 



Rx


Matriz de rotación alrededor del eje y0 

Figura: 

Figura 10: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje y0. 

Notación 

La matriz de rotación R1 0 que describe la 

orientación relativa del sistema Σ1 z1, y1, z1 

con respecto al sistema de referencia fijo 

Σ0 z0, y0, z0 usando un ángulo de rotación 

alrededor del eje y0 se denota por: 

 

Ry θ = 

⎡ 

⎣ 

cos(θ) 

0 

0 

1 

⎤ 

sen(θ) 

0 ⎦ (23) 

− sen(θ) 0 cos(θ) 

Los ejes y0 y y1 coinciden entre sí, y el plano 

z1 − x1 se desplaza un ángulo θ de derecha a 

izquierda con respecto al plano z0 − x0. 

Las propiedades de la matriz de rotación 

θ son las mismas para Rz θ . 



Ry


Transformaciones de traslación 

Considere el sistema de referencia cartesiano fijo Σ0 

 

x0, y0, z0 y el sistema de referencia Σ1 x1, y1, z1 , donde sus 

respectivos orígenes son no coincidentes. El origen del sistema de referencia Σ1 se encuentra desplazado una distancia 

d 1 

0 con respecto al origen del sistema Σ0, como se muestra en la figura 11. 

Figura: 

Figura 11: Transformaciones de traslación y rotación del sistema Σ1 con respecto al sistema Σ0. 

El vector d 1 

0 está expresado en coordenadas del sistema Σ0: d 1 

0 = d 1 0x, d 1 0y, d 1 T 0z 

, entonces 

 

cualquier 

 

punto 

 

p tiene 

representación p0 y p1. La relación general entre los sistemas de referencia Σ0 x0, y0, z0 y Σ1 x1, y1, z1 incluyendo 

la matriz de rotación R1 0 y el vector de traslación d 1 

0 es: 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

p0 = d 1 

0 + R 1 d 

0p 1 = ⎣ 

1 0x 

d 1 0y 

d 1 ⎦ + R 

0z 

1 p1x 

⎣ 

0 p1y⎦ 

. 

p1z 

(24) 




Transformaciones de traslación (caso general) 

Figura: 

Figura 12: Traslación y rotación de Σ1 y Σ2 con respecto al sistema Σ0. 

p0 = d 1 

0 + R 1 0p 1 

p1 = d 2 

1 + R 2 1p 2 

p0 = d 1 

0 + R 1 0d 2 

1 + R 1 0R 2 1p 2 

p0 = d 2 

0 + R 2 0p 2 

R 2 0 = R 1 0R 2 1 

d 2 

0 = d 1 

0 + R 1 0d 2 

1 

Regla de transformación: 

p0 = d 2 

0 + R 2 0p 2 

R 2 0 = R 1 0R 2 1 

d 2 

0 = d 1 

0 + R 1 0d 2 

1 




Transformaciones homogéneas 

La notación más común para representar la transformación de traslación y rotación en forma compacta se conoce como 

transformación homogénea. Por ejemplo, para representar el caso de traslación y rotación del sistema Σ1(x1y1z1) 

con respecto al sistema Σ0(x0y0z0) 

Notación 

La matriz correspondiente de rotación θ alrededor 

del eje x0 se denota la transformación homogénea 

se realiza con la siguiente notación: 

H 1 

1 R0 d 

0 = 

1 

0 

0T 

(25) 

1 

⎡ 

⎤ 

= 

⎢ 

Matriz de 

⎢ 

rotación 

⎣ 

. Vector de 

· · · . 

traslación 

· · · 

0T ⎥ 

⎦ 

1 

donde R 1 0 ∈ SO(3) y d 1 

0 ∈ IR 3 . Para propósitos 

de acoplamiento en dimensiones, el vector 0 T y el 

número 1 aparecen en el último renglón. 

p 0 = d 1 

0 + R 1 0p 1 

La representación inversa que relaciona el punto 

p 1 en función del punto p 0 adquiere la siguiente 

forma: 

p1 = −R 1T 1 

0 d 0 + R 1T 0 p0 

la transformación homogénea inversa está 

determinada por: 

H 1 

1T 1T 1 

−1 R 

0 = 0 −R0 d 0 

0T 

1 

(26) 

Las matrices de rotación permiten modelar la 

orientación de la herramienta de trabajo colocada 

en el extremo final del robot, y junto con las transformaciones 

homogéneas dentro de una sola matriz 

incluye la orientación y posición de la herramienta 

de trabajo, formando la estructura del modelo cinemático 

directo. 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de rotación (HRx, HRy, HRz) 

Las matrices de de transformación homogénea de rotación del sistema Σ1(x1y1z1) con respecto al sistema Σ0(x0y0z0) 

tienen la siguiente estructura: 

HRx(θ) = 

HRy(θ) = 

HRz(θ) = 

Notación 

⎡⎡ 

⎤ 

1 0 0 

⎢⎣ 

⎢ 0 cos(θ) − sen(θ) ⎦ 

⎣ 

 

0 sen(θ) cos(θ) 

 

0 0 0 

⎡⎡ 

⎤ 

cos(θ) 0 sen(θ) 

⎢⎣ 

⎢ 0 1 0 ⎦ 

⎣ 

 

− sen(θ) 0 cos(θ) 

 

0 0 0 

⎡⎡ 

⎤ 

cos(θ) − sen(θ) 0 

⎢⎣ 

⎢ sen(θ) cos(θ) 0⎦ 

⎣ 

 

0 0 1 

 

0 0 0 


⎡ ⎤⎤ 

0 

⎣0⎦ 

⎥ 

0 ⎦ 

1 

⎡ ⎤⎤ 

0 

⎣0⎦ 

⎥ 

0 ⎦ 

1 

⎡ ⎤⎤ 

0 

⎣0⎦ 

⎥ 

0 ⎦ 

1 



Librerías MATLAB de transformación homogénea de traslación (HTx, HTy, HTz) 

Las matrices de transformación homogénea de traslación con respecto a los ejes x, y, z respectivamente tienen la 

siguiente estructura: 

HTx(d) = 

HTy(d) = 

HTz(d) = 

Notación 

⎡⎡ 

⎤ 

1 0 0 

⎢⎣ 

⎢ 0 1 0⎦ 

⎣ 

 

0 0 1 

 

0 0 0 

⎡⎡ 

⎤ 

1 0 0 

⎢⎣ 

⎢ 0 1 0⎦ 

⎣ 

 

0 0 1 

 

0 0 0 

⎡⎡ 

⎤ 

1 0 0 

⎢⎣ 

⎢ 0 1 0⎦ 

⎣ 

 

0 0 1 

 

0 0 0 

⎡ 

dx 

⎤⎤ 

⎣ 0 ⎦ ⎥ 

0 ⎦ 

1 

⎡ ⎤⎤ 

0 

⎣dy⎦ 

⎥ 

0 ⎦ 

1 

⎡ ⎤⎤ 

0 

⎣ 0 ⎦ ⎥ 

dz ⎦ 

1 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de rotación HRx 

RHx=HRx(theta) 

donde theta es el ángulo de rotación alrededor del eje x. Retorna la matriz de transformación homogénea RHx. 

Código Fuente 3 Función HRx(θ) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

Función HRx(θ).m MATLAB versión 2012a 

function RHx=HRx(theta) 


if strcmp(dato.class, ’sym’) %variables simbólicas then 

RHx=[1, 0, 0, 0; 

0, cos(theta), -sin(theta), 0; 

0, sin(theta), cos(theta), 0; 

0, 0, 0, 1]; 

else digits(3); %cálculos numéricos 

RHx=round([1, 0, 0, 0; 

0, vpa(cos(theta),3), vpa(-sin(theta),3), 0; 

0, vpa(sin(theta),3), vpa(cos(theta),3), 0; 

0, 0, 0, 1]); 

endif 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de rotación RHy 

RHy=HRy(theta) 

donde theta es el ángulo de rotación alrededor del eje y. Retorna la matriz de transformación homogénea RHy. 

Código Fuente 4 Función HRy(θ) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

Función HRy(θ).m MATLAB versión 2012a 

function RHy=HRy(theta) 

dato=whos(’theta’); if strcmp(dato.class, ’sym’) %variables simbólicas then 

RHy=[cos(theta), 0, sin(theta), 0; 

0, 1, 0, 0; 

-sin(theta), 0, cos(theta), 0; 

0, 0, 0, 1]; 


RHy=round([ vpa(cos(theta),3), 0, vpa(sin(theta),3), 0; 

0, 1, 0, 0; 

vpa(-sin(theta),3), 0, vpa(cos(theta),3), 0; 

0, 0, 0, 1]); 

endif 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de rotación HRz 

RHz=HRz(theta) 

donde theta es el ángulo de rotación alrededor del eje z. Retorna la matriz de transformación homogénea RHz. 

Código Fuente 5 Función HRz(θ) 



1 

2 

3 

4 

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6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

13 

14 

Función HRz(θ).m MATLAB versión 2012a 

function RHz=HRz(theta) 


if strcmp(dato.class, ’sym’) %variables simbólicas then 

RHz=[cos(theta), -sin(theta), 0, 0; 

sin(theta), cos(theta), 0, 0; 

0, 0, 1, 0; 

0, 0, 0, 1]; 


RHz=round([ vpa(cos(theta),3), vpa(-sin(theta),3), 0, 0; 

vpa(sin(theta),3), vpa(cos(theta),3), 0, 0; 

0, 0, 1, 0; 

0, 0, 0, 1]); 

endif 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de traslación HTx 

HTx=HTx(d) 

donde d es el desplazamiento lineal sobre el eje x. Retorna la matriz de transformación homogénea Tx. 

Código Fuente 6 Función HTx(d) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

Función HTx(d).m MATLAB versión 2012a 

function Tx=HTx(d) 

Tx=[ 1 0 0 d; 

0 1 0 0; 

0 0 1 0; 

0 0 0 1]; 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de traslación HTy 

HTy=HTy(d) 

donde d es el desplazamiento lineal sobre el eje y. Retorna la matriz de transformación homogénea Ty. 

Código Fuente 7 Función HTy(d) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

Función HTy(d).m MATLAB versión 2012a 

function Tz=HTy(d) 

Tz=[ 1 0 0 0; 

0 1 0 d; 

0 0 1 0; 

0 0 0 1]; 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea de traslación HTz 

HTz=HTz(d) 

donde d es el desplazamiento lineal sobre el eje z. Retorna la matriz de transformación homogénea Tz. 

Código Fuente 8 Función HTz(d) 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

Función HTz(d).m MATLAB versión 2012a 

function Tz=HTz(d) 

Tz=[ 1 0 0 0; 

0 1 0 0; 

0 0 1 d; 

0 0 0 1]; 

end 




Librerías MATLAB de transformación homogénea DH 

La función H_DH(H) extrae de la matriz de transformación homogénea H la matriz de rotación y el vector de coordenadas 

cartesianas: 

[R vect_d vect_cero c]=H_DH(H) 

donde H es la variable de entrada y representa la matriz de transformación homogénea. Retorna la matriz de rotación 

R , el vector de coordenadas cartesianas vect_d, el vector vect_cero=[0, 0, 0] T y la constante unitaria c=1. 

Código Fuente 9 Función H DH 



1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

Función H DH.m MATLAB versión 2012a 

function [R vect d vect cero c]=H DH(H) 

for i=1:3 do 

for j=1:3 do 

R(i,j)=H(i,j); 

endfor 

endfor 

%estructura de la matriz de transformación homogénea 

vect d=[H(1,4); H(2,4); H(3,4)]; 

vect cero=[0;0;0]’; 

c=1; 

end

p17vn3mf4l14s13eqstbtf63o54.pdf

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