Teoría de precios Mapa de ruta

Teoría de precios
MIT 14.126. Otoño 2001
Convexidad y teoría de
precios tradicional
1
3
Mapa de ruta
Doctrina tradicional: basada en la convexidad
Esclarecimiento de tres grandes ideas
Convexidad: precios y dualidad
Orden: estática comparativa, reacciones
positivas, complementos estratégicos
Funciones de valor: diferenciabilidad y
caracterizaciones, teoremas de equivalencia
de incentivos
Convexidad en cada paso
Las condiciones de convexidad locales o globales implican
Existencia de precios
Estática comparativa, uso de condiciones de segundo orden
Representaciones duales, conducentes a…
Lema de Hotelling
Lema de Shephard
Principio de Samuelson-LeChatelier
La convexidad está en la base de la idea sobre
la que descansa el análisis en su totalidad.
2
4

Principio Samuelson-LeChatelier
Idea: la demanda a largo plazo es más elástica que la
demanda a corto plazo.
Formalmente, el enunciado se aplica a las funciones de demanda
uniforme para cambios de precio lo bastante pequeños.
Sea p=(px ,w,r) el vector actual de precios de salida y de
entrada y sea p’ el vector de precio a largo plazo que
determinó la elección actual de una entrada fija, p.ej. capital.
Teorema: si la demanda de trabajo es diferenciable en este
punto, entonces:
L S
l
l
0
w w
,
p p pp Un sólido “contraejemplo”
El conjunto de producción consiste en la envolvente convexa de
estos 3 puntos, con libre disposición:
Capital
0
1
0
Trabajo
0
1
2
Producción
0
1
1
Fije el precio de producción en 9 y el precio de capital en 3, y
suponga que el salario aumenta de w=2 a w=5. Las demandas son:
L S
L
l (2) 2, l
(5,2) 0, l (5) 1
La demanda de trabajo a largo plazo cae menos que la de corto.
Robustez: ajustar los números o uniformizar el conjunto de
producción no altera esta conclusión.
5
7
Prueba de Varian
Definición de las funciones de beneficio a corto y largo plazo:
L
( p) max p f( k, l) wl rk
kl ,
x
S
*
*
( p, p) max p f k ( p), l wl rk
( p)
l
x
Los beneficios a largo plazo son mayores:
L S
L S
( p)
( pp , )
for all pp , and ( p)
( pp , )
Por tanto, la demanda a largo plazo ha de ser más elástica:
2 L
2
w 2 S
2
w
L
l 0 and
w S
l
w
0
p p, pp p p, pp Doctrina alternativa
Esclarecimiento de tres ideas
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8

Separación de elementos
Convexidad
Prueba de la existencia de precios
Representaciones duales de conjuntos convexos
Representaciones duales de óptimos
Orden
Estática comparativa
Reacciones positivas (LeChatelier principle)
Complementos estratégicos
Envelopes
Útiles con funciones duales
Optimizaciones de varias etapas
Caracterización de las rentas de información
Sólo convexidad
9
11
Cuadro de invariancia
Conclusiones sobre
max xS f( x, t)
Existen precios (“Lagrangian”)
de apoyo
Las elecciones óptimas
aumentan en parámetro
El cambio óptimo a largo plazo
es mayor, misma dirección
Fórmula derivativa de la función
de valor
*
V () t = f2( x (),) t t
Transformaciones de
la variable de elección
Lineal (conserva la
convexidad)
Conserva el orden
Conserva el orden
Uno a uno
Aplicaciones puras de la convexidad
Teorema del hiperplano separador
Existencia de precios
Existencia de probabilidades
Existencia de representaciones duales
Ejemplo: teorema de Bondavera-Shapley
Ejemplo: dualidad de programación lineal
Supuestas aplicaciones de la dualidad
Lema de Hotelling
Lema de Shephard
10
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Teorema del hiperplano separador
Teorema. Sea S un conj. convexo no vacío y cerrado
en RN y xS. Entonces existe pRN tal que
p x > max { p y | y S}
Dem . Sea yS el punto más cercano en S a x. Defina
p = ( xy) / xy
Demuestre que tal punto y existe.
Demuestre que p . x>p . y.
Demuestre que si zS y p . z>p . y, entonces para cierto
positivo pequeño t, tz+(1-t)y está más cerca de x que y.
Convexidad y cuantificación
Las siguientes condiciones en un conjunto
S en RN son equivalentes.
S es convexo
Por cada x en el límite de S, hay un
hiperplano de apoyo para S a través de x.
Por cada función objetiva cóncava f
existe cierto tal que los maximizadores
de f(x) sujetos a xS sean maximizadores
de f(x)+ . x sujeto a xRN .
13
15
Caracterizaciones duales
Corolario. Si S es un conjunto convexo
cerrado, entonces S es la intersección de
los medios espacios cerrados que lo contienen.
Si definimos
( p) = max { px | x
S}
debe ser cierto que
S = N { x | px (
p)
}
pR Orden exclusivamente
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Orden, conceptos y resultados
Definiciones relacionadas con el orden
Problemas de optimización
Estática comparada para objetivos separables
Principio de LeChatelier mejorado
Estática comparada con compensaciones no separables
Equilibrio con complementos estratégicos
Dominancia y equilibrio
Estática comparada
Aprendizaje adaptable
Principio de equilibrio de LeChatelier
Definiciones: malla
Dado un conunto parcialmente ordenado (X,), defina
The " join": x y inf zX| z x, z y.
The " meet ": x y sup z X| z x, z y.
(X,) es una malla si
xy , Xx yx , yX Ejemplo: X=RN ,
x y if xi
yi, i 1,...,
N
( x y) i min( xi,
yi); i 1,...,
N
( x y) max( x , y ); i 1,...,
N
i i i
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Dos aspectos de los complementos
Restricciones
Las actividades son camplementarias si hacer una
permite hacer la otra…
…o al menos no impide hacerla.
Esta condición se describe mediante conj. que son submallas
Pagos
Las actividades son complementarias si al hacer una resulta
un poco más rentable hacer la otra…
Esto se describe mediante pagos supermodulares
…o al menos la actividad no pasa de ser rentable a no
serlo
Esto se describe mediante pagos que satisfacen una condición de cruce única.
Definiciones, 2
(X,) es una malla completa si por cada subconjunto
no vacío S, existe en X un límite inferior mayor inf(S)
y al menos un límite superior sup(S).
Una función f : XR es supermodular si
xy , X f( x) f( y) f( xy) f( xy)
Una función f es submodular si –f es supermodular.
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20

Definiciones, 3
Dados dos subconj. S,TX, “S es tal alto como T,”
expresado ST, significa
[] x S y y T
[] xy S and xy T
Una función x* is "isótona" (o "débilmente creciente") si
* t t * x () t x ( t)
“No decreciente” no se usa porque…
Un conjunto S es una "submalla" si SS.
No submallas
Convexidad, orden y topología son conceptos
independientes. Sin embargo, en R, éstos coinciden
Topología: S= conj. compacto con límite {a,b}
Convexidad: S a(1 ) b|
[0,1]
Orden: S [ a,
b] { x| a x b}
21
23
Submallas de R 2
x
xy
xy
y
Supermodularidad por pares
z
Teorema (Topkis). Sea f :R N R. Los siguientes son
equivalentes:
f es supermodular
Para todo nm y x -nm, la restricción f (.,.,x -nm):R 2 Res
supermodular.
22
24

Demostración de la supermodularidad por pares
Esta dirección se deduce de la definición.
Dado xy, suponga, en aras de la simplicidad notacional, que
max(
xi, yi) for i 1,..., n
xi
min(
xi, yi) for i n1,..., N
Entonces,
n
f( x y) f( y) f( x ,..., x , y ,..., y ) f(
x ,..., x , y ,..., y )
QED
i 1
1 i i 1
N 1 i1 i N
n
[ f( x
1
1,..., xi, y ,... yn, xn 1,...
xN)
i
i 1
f(
x1,..., xi1, yi,... yn, xn1,... xN)]
f( x) f( x y)
Demostración de submallas por pares
Es inmediato que S S.
A la inversa,
ij ,
ij
ij
,
ij ij ij
i i
ij
j j
i ij
j i
suppose x S . Then, z
S z x and z x .
Define z jzS. For all j, zi xj, zi xi.
i
So, z izS satisfies zi QED
xi
for all i.
25
27
Submallas por pares
Teorema (Topkis). Sea Suna submalla de RN . Defina
N
Sij x | zSxi
zi, xj zj
Así, S S.
ij
,
ij
Coment. Por tanto, una submalla se puede expresar
como una colección de restricciones sobre pares de
argumentos. En especial, restricciones no descomponibles como
1 3
nunca pueden describir en una submalla.
1
x x2
x
Complementariedad
Complementariedad/supermodularidad
tienen caracterizaciones equivalentes:
Rendimiento marginal más alto
f( x y) f( x) f( y) f( x y)
Segunda diferencia mezclada
no negativa
f( x y) f( x) f( y) f( x y) 0
Para objetivos homogéneos,
segunda derivada mezclada
no negativa:
2
f
xx 0 for i j
i
j
y
xy
xy
x
26
28

Teorema de monotonicidad
Teorema (Topkis). Sea f :XR R una función
supermodular y defina
*
x ( t) argmax f( x, t).
xS( t)
Si t t’ y S(t )S(t’ ), entonces x * (t)x * (t’ ).
Corolario. Sea f :XR R una función supermodular
y suponga que S(t) es isótono. Entonces, por cada t, S(t) y
x * (t) son submallas.
Dem. del corolario . Trivia., t t, y S(t )S(t )
x * (t)x * (t). QED
Necesidad de objetivos separables
Teorema (Milgrom). Sea f :RNRR una
función supermodular y suponga que S es una submalla.
N
*
Sea xgS , (t ) argmax f( x,) t gn(
xn).
xS n1
Entonces, los siguientes son equivalentes:
fes supermodular
Coment.:
Este es un teorema de “monotonicidad robusta”.
*
P. todo g1... gN
,..., : xg, S t () es isótono.
La funcion gx ( ) gn(
xn)
es "modular":
gx ( ) gy ( ) gx ( y) gx ( y)
.
29
31
Demostración del teorema de monotonicidad
Suponga que f es supermodular
*
y que xx (), t x x ( t), t t.
Ent., ( xx) S( t ),( x x) S()
t
f( x,) t f( x x,)y t f ( x , t) f ( x x,
t).
*
Si algunas de estas desigualdades son estrictas, entonces
sus sumas contradicen la supermodularidad:
f( x, t) f( x, t) f( xx, t) f( x x, t).
QED
Demostración
Se sigue del teorema de Topkis
Basta para demostrar la “supermodularidad de pares.” Por tanto, es
suficiente para demostrar que la supermodularidad es necesaria cuando
N=2. Vemos el caso de dos variables de elección; el tratamiento de una
variable de elección y de un parámetro es similar.
2
Let x, y be unordered: x1
y1, x2 y2
Sea
if zi { xi,
yi}
f(
x y) f( x) if zi xi, i 1
gi( zi)
f(
x y) f( y) if zi y i,
i 2
0
de otro modo
*
If f( x) f( y) f( x y) f( x y), then x { x, y, x y}
*
is not a sublattice, so x () t x (). t QED
*
g
30
32

Aplicación: teoría de producción
Problema:
max pf( k, l) L( l, w) K( k, r)
kl ,
Suponga que L es supermodular en el orden natural,
por ejemplo, L(l,w)=wl.
Entonces, -L es supermodular cuando el orden en l se invierte.
l*(w) es no creciente en el orden natural.
Si f es supermodular, k*(w) es también no creciente.
Esto es, capital y trabajo son “complementos de la teoría de precios”
Si f es supermodular con el orden inverso, entonces
trabajo y capital son “sustitutos de la teoría de precios”
Aplicación: teoría de la subasta
33
35
Aplicación: decisiones de fijación de precios
Un monopolio frente a la demanda D(p,t) produce a
un coste de unidad c.
*
p ( t) argmax pc D( p, t)
p
pc
pcDp t
argmaxlog log
( , )
p * (c,t) es siempre isótono en c. Es también isótono en t
si log(D(p,t)) es supermodular en (p,t), lo que es lo mismo
que ser supermodular en (log(p),t), lo que significa que
los aumentos en thacen menos elástica la demanda:
log
Dpt ( , )
no decreciente en t
log(
p)
Demanda a largo plazo frente a corto
El valor de una firma de obtener un artículo al precio p
Anotación. Sea l
es U(p,t), donde t es el tipo de firma. (La pérdida se
normaliza en cero). Una puja p gana con probabilidad F(p).
Pregunta: podemos concluir que p(t) es no decreciente,
sin conocer F?
*
pF( t) argmax U( p, t) F( p)
p
argmaxlog Upt ( , ) log Fp ( )
p
Respuesta: Sí, si y sólo si log(U(p,t)) es supermodular.
S (w,w’ ) la demanda a corto
a corto plazo de trabajo cuando el salario actual
es w y el que determina los ingresos fijos es w’.
Si definimos w =w’ en lSnos da la demanda
a largo plazo.
Principio Samuelson-LeChatelier:
d
0 l1( w, w) l( w, w).
dw
que se puede enunciar de nuevo como:
0 l2( w, w).
34
36

Análisis Milgrom-Roberts
Complementos Sustitutos
Salario
-
Trabajo Salario
-
Trabajo
+ +
- -
Comentarios:
Capital
Capital
Este análisis no presupone nada sobre la convexidad,
la divisibilidad, etc.
Para demandas uniformes, la simetría de la matriz de sustitución
implica que, localmente, se aplica uno de los dos casos anteriores.
Demostración
* *
Por el teorema de Topkis,
y () t y ( t)
Si aplicamos de nuevo el mismo teorema, para todo t,t” >t’
*
*
x ( t, t) maxarg max H( x, y ( t), t)
*
xx|( x, y ( t)) S
*
*
x ( t, t) maxarg max H( x, y ( t), t)
*
xx|( x, y ( t)) S
*
*
x ( t, t) maxarg max H( x, y ( t), t)
*
xx|( x, y ( t)) S
Si definimos t=t” completamos la demostración.
37
39
Principio LeChatelier mejorado
Sea Hxyt ( , ,) supermodular y Suna
submalla.
* *
Sea x ( t), y () t maxargmax H( x, y,) t
( xy , ) S
*
*
Sea x ( t, t) maxarg max H( x, y ( t), t)
*
x x|( x , y ( t )) S
Teorema (Milgrom & Roberts). x * es isótono en ambos
argumentos. Sobre todo, si t >t’ , entonces
* *
* * *
x () t x (,) t t x (, t t) x ( t, t) x ( t)
Demanda a largo plazo frente a corto
Teorema. Sea w>w’. Supongamos que capital y trabajo
son complementos, i.e., f (k,l) es supermodular en el
orden natural. Si la demanda es de valor único en wy w’ , entonces
S S
S
l ( w, w) l ( w, w) l ( w, w)
Teorema. Sea w>w’. Supongamos que capital y trabajo
son sustitutos, i.e., f (k,l) es supermodular cuando se
da al capital su orden inverso. Si la demanda es de valor
único en w y w’ , entonces
S S
S
l ( w, w) l ( w, w) l ( w, w)
38
40

Objetivos no separables
Considere un problema de optimización con
“intercambios” entre sus efectos.
xes la variable de elección con valor real
B(x) es la “función de producción de beneficios”
La elección óptima es
*
x ( t) argmax x, B( x), t
B
xX Aplicación: decisiones de ahorro
Ahorrando x, se puede consumir F (x) en periodo 2.
Vw ( ) max Uw xFx , ( )
0xw
*
x ( w) maxargmax U w x, F( x)
F
0xw
Defina: ( x, yt ,) U t xy ,
Análisis . Si MRSxyaumenta con x, los ahorros óptimos son
isótonos en riqueza:
U1
x,
y
*
aumentando en xxF( w)
isótono
U2x,
y
Se trata de la misma condición que la hallada en la teoría de precios,
donde F está restringido para ser lineal. Aquí, F no está restringido.
También se aplica al modelo consumo-ahorro de Koopmans.
41
43
Teorema de la monotonicidad robusta
*
Defina: x ( t) argmax x, B( x), t
B
xX Teorema. Suponga que es continuamente diferenciable
y 2 es 0 en cualquier punto. Entonces:
1(
xyt , , )
xy
, aumenta en t
2(
xyt , , )
*
For all B, xB() t es isótono
1(
xyt , , )
x,
y
es no decreciente en
2(
xyt , , )
Introducción a los
juegos supermodulares
t
42
44

Formulación
N jugadores (se admite infinito)
Los conj. de estrategia Xn son submallas completas
x min X , x max X
n n n n
Las funciones de pago U n(x) son
Continuas
“Supermodulares con diferencias isótonas”
n n, x Xnxn xn Xn
U ( x) U ( x) U ( xx ) U ( x x)
x
n
n n
n n
Duopolio lineal de Cournot
Demanda inversa: Px ( ) Ax1x Un( x) xnP( x) Cn(
xn)
Un
xn
x
m
El duopolio lineal de Cournot (pero no el oligopolio mas
general) es supermodular si el conj. estratégico de un
jugador se da a la inversa de su orden habitual.
2
45
47
Modelos de oligopolio de Bertrand
Oligopolio lineal/supermodular:
Demanda: Q ( x) Aaxn b x
n jn j j
Benef: U ( x) x c Q ( x)
U
x
n
m
n n n n
b ( x c ) que aumenta en x
m n n n
Oligopolio Log-supermodular:
log U ( x) logx c log
Q ( x)
n n n n
2
Unlog ( x)
0
x x log x log
x
2
Qn
0
m n
n m
Análisis de juegos supermodulares
Funciones de mejor réplica extremas
B ( x) max argmax U ( x, x )
n n n n
xn
Xn
b ( x) min argmax U ( x, x )
n n n n
xn
Xn
Según el teorema de Topkis Teorema, son funciones isótonas.
Lema :
xn bn( x) xn is strictly dominated by bn( x) xn
Prueba If x b
( x),entonces
n n
U ( x b ( x), x ) U ( x , x ) U ( b ( x), x ) U ( x b ( x), x ) 0
n n n n n n n
n n n n n n n
46
48

Racionalizabilidad y equilibrio
Teorema (Milgrom y Roberts): Las estrategias racionalizables
más pequeñas para los jugadores vienen dadas por:
k
z lim b ( x)
k
Del mismo modo las estrategias racionalizables más grandes
vienen dadas por:
k
z lim B ( x)
k
Ambos son perfiles de equilibrio Nash.
Estadísticas comparativas
Teorema. (Milgrom y Roberts) Considere una familia de
juegos supermodulares con pagos parameterizados por t.
Suponga que para todo n, x-n, Un(xn,x-n;t) es supermodular
en (xn,t). Entonces
zt (), zt () son isótonos.
Prueba. Según el teorema de Topkis, b t(x) es isótono en t.
Por tanto, si t >t’,
k
k
bt( x) bt( x)
k
k
z() t lim b ( x) lim b ( x) z( t)
t
k k
e igualmente para z . QED
t
49
51
Demostración
Observe que bk (x) es una sucesión isótona acotada,
de modo que su límite z existe.
Por continuidad de pagos, su límite es un punto fijo
de b, y por tanto un equilibrio de Nash.
Una estrategia menor que zn es menor que cierto bk n (x) y
por tanto se borra durante la supresión iterada de
las estrategias dominadas.
QED
Aprendizaje adaptativo
El comportamiento del jugador n se denomina coherente
con el aprendizaje adaptativo si por cada fecha t hay una t’
tras la cual n no juega una estrategia que sea estricta-
mente dominada en el juego en el que otros sólo pueden
jugar las estrategias que hay jugado desde la fecha t.
Teorema (Milgrom y Roberts). En un juego de estrategia
finita, si el comportamiento de cada jugador es coherente
con el aprendizaje adaptativo, al final todos juegan sólo
estrategias racionalizables.
50
52

Principio LeChatelier de equilibrio
Formulación
Considere una familia parametrizada de juegos supermodulares
con pagos parametrizados por t. Suponga que para todo n, x-n, Un(xn,x-n;t) es supermodular en (xn,t). Fijar la estrategia del jugador 1 en z 1(t’) induce un juego
supermodular entre los jugadores restantes. Sea y (t,t’) el
equilibrio de Nash más pequeño en el juego inducido, con
y1(t,t’)=z1(t’). Teorema.
t t, zt ytt zt
Si ( ) (, ) ( ).
If t t, then z() t y(, t t) z( t).
…y una conclusión similar se aplica al equilibrio máximo.
Funciones envelope
Basado en “Envelope Theorems for
Arbitrary Choice Sets” por Paul
Milgrom e Ilya Segal
53
55
Demostración
Observe (ejercicio) que
zt () ytt (,), zt ( ) yt ( ,
t).
Suponga que t>t’.
Según el teorema de estática comparativa, z es isótono, así:
zt () zt ( ).
Por tanto, aplicando de nuevo el teorema anterior, y
es isótono, así que:
ytt (,) ytt (, ) yt ( ,
t).
QED
¿Qué son los teoremas envelope?
Los teoremas envelope tratan de las propiedades
de la función de valor:
Responden a preguntas sobre…
cuando Ves diferenciable, diferenciable
direccionalmente, Lipschitz, o continuo absolutamente.
cuando V satisface la fórmula envelope
Los teoremas envelope tradicionales asumen que
el conjunto Xes convexo y el objetivo f ( . V () t max ( x, t)
xX =
,t) es
cóncavo y diferenciable.
*
f
V () t ft( x,) t for x x ( t)
54
56

Argumento intuitivo
CuandoX={x 1 ,x 2 ,x 3 }…
V es a dcha. e izda.
diferenciable en
todas partes
Si f t(x,t) es constante
en xx*(t), V es
diferenciable en t
las fórmulas envelope
se aplican para
V’ (t )=f t (x* (t ),t )
V’ (t+) and V’ (t-)
Continuidad absoluta
V (t)
t
f (x 1,t)
f (x 2,t)
f (x 3,t)
Teorema 2(A). Supongamos que:
f(x, . )es diferenciable (o sólo
absolutamente continuo) para todo xX con
derivada (o densidad) f t .
existe una función integrable b(t)
tal que |f t (x, . )|b(t) para todo xX y
casi todo t[0,1].
Entonces V es absolutamente continuo
con densidad que satisface |V’(t)| b(t).
57
59
Fórmula derivada envelope
Teorema 1. Tomemos t[0,1] y xx*(t), y supongamos
que f t(x,t) existe.
Si t0 y V’(t-) existen, V’(t-) f t(x,t).
Si t(0,1) y V’(t) existen, V’(t) = f t(x,t).
Demostración:
t
V
f (x,t)
Prueba del teorema 2(A)
Defina
Entonces para t”>t’ :
| Vt ( ) Vt ( )| sup| fxt ( , ) fxt
( , )|
sup f ( x, t) dt sup f ( x, t) dt
btdt () Bt ( ) Bt
( )
t
t
0
Bt () bsds ( )
xX t
t
t
t
xX
xX t
t
t
t
V
f (x,t)
Basta con probar el teorema por intervalos, porque los intervalos
abiertos son una base para los conjuntos abiertos. QED
58
60

¿Por qué necesitamos b( . )?
Sea X=(0,1] y f(x,t)=g (t/x), donde g es uniforme
y de pico único con el máximo en 1.
V(0)=g(0), V(t)=g (1): Ves discontinuo en 0.
Este ejemplo no tiene cota integrable b(t):
sup f ( x, t) sup 1 t g( ) sup xg( x)
1 t
t t x x t
x(0, ) x (0, ) x(0,
)
g(1)
g(0)
V
f (x,t)
Equi-diferenciabilidad
Definición. Una familia de funciones
{f (x, . )} xX es “equi-diferenciable”
en t(0,1) si
lim sup
f ( x, t) f
( x, t)
f
t ( x, t)
0
t t x t t
Si Xes finito, es lo mismo que la
simple diferenciabilidad.
t
61
63
Fórmula integral envelope
Teorema 2(B). Suponga que, además de las
hipótesis expresadas en 2(A), el conjunto de
optimizadores x*(t) es no vacío para todo t.
Entonces, para cualquier selección x(t)x*(t),
s
V ( s) V (0) f ( x( t), t) dt.
0
Diferenciabilidad direccional
Teorema 3. Si
t
(i) {f (x, . )} xX es equi-diferenciable en 0, t
(ii) x*(t) es no vacío para todo t, y
(iii) supx|ft (x,t0)|

Papel de la “Equi-diferenciabilidad”
La diferenciabilidad simple (en lugar de la equidiferenciabilidad)
no es suficiente para que Vtenga derivadas de izquierda y derecha:
Sea g () t sinlog( t), f ( x, t) g()if t t exp( /22 x),
f ( x, t) t
de otro
Así , V ( t) g() t
1
0.5
0
-0.5
-1
65
Problemas continuos
t f
Contraste a un enfoque tradicional
En algunos enfoques, la diferenciabilidad de x*
se usa en el argumento. Sin embargo,V puede
ser diferenciable incluso cuando x* no lo es, lo
que ocurre a menudo, por ejemplo, en
problemas estrictamente convexos:
X
f
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Teorema 4. Suponga que X , es un espacio compacto no vacío
fes semicontinuo superior en Xy f tes continuo en
(x,t). Entonces,
Ves diferenciable direccionalmente
V ( t) max ( x, t) for t [0,1)
t
xx*( t )
V ( t) min f ( x, t) for t (0,1]
t
xx*( t )
En particular, V ( t) V( t).
Ves diferenciable en t si se mantiene alguno de los enunciados:
Ves cóncavo (porque V’(t+)V’(t-))
tes un máximo de V( . ) (porque V’(t+)V’(t-)
x*(t) es un singleton (porque V’(t+)=V’(t-))
Aplicaciones
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68

Lema de Hotelling
Defina:
( p) maxp
x
xX *
x ( p) argmaxp
x
xX Teorema. Suponga que X es compacto. Entonces, (p)
existe si y sólo si x*(p) es un singleton, y en tal caso (p)
= x*(p).
Maximización de varias etapas
Etapa 1: escoja una inversión t 0.
Etapa 2: escoja un vector de acción xX
Asuma:
f(x,t) es equidiferenciable en t y t*>0
f(x,t) es u.s.c. en x y X es compacto
Conclusión: la función de valor V(t) es
diferenciable en t* y V’(t*)=0.
Demostración: aplicar teorema 4.
69
71
Lema de Shephard
Defina:
C ( y, p) min p x
xX , x1y xX , x1y Comentario: la variable x 1representa “salida” y las
otras variables representan entradas, medidas
como números negativos.
Teorema. Suponga que X es compacto. Entonces, C/p
existe si y sólo si x * (p) es un singleton, y en tal caso
C/p = x * (p).
1
*
x ( p) arg min p x
Diseño de mecanismo
Y=conjunto de resultados
El tipo de agente es t, la utilidad es f (x,t).
M=espacio de mensaje. h:MY es la función de resultado.
X=h(M) es el conj. de “resultados accesibles”
Asuma que cada tipo tiene una elección óptima
xX 1
x() t argmax f ( x,) t
1
1
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72

Análisis
Corolario 1. Suponga que la función de utilidad del agente
f(x,t) es diferenciable y absolutamente continua en t
para todo xY, y que supxYft(x,t) es integrable en
[0,1]. Entonces la utilidad de equilibrio del agente V en
cualquier mecanismo que implemente una regla de elección
dada x ha de satisfacer la siguiente condición integral.
t
V t
0
V () t (0) f ( x( s), s) ds.
Esto sólo se había demostrado anteriormente con (a veces
“débiles”) condiciones adicionales.
Teorema Green-Laffont
“Unicidad de implementación de estrategia dominante”
Teorema (Variación de Holmstrom). Suponga que
M es un mecanismo directo para implementar el resultado
eficiente en estrategias dominantes.
el espacio de tipo está uniformemente conectado por ruta.
Entonces,
la función de pago para el jugador j en el mecanismo M es igual
a la función de pago del mecanismo de pivote Vickrey-Clarke-Groves
más cierta función gj(v-j) (que depende sólo de los tipos de los
otros jugadores).
73
75
Aplicaciones del diseño de mecanismos
Modelos en los que los pagos son v . p-, así que
Teoremas
Teorema Green-Laffont
Unicidad de mecanismos de estrategia dominante
Teorema Holmstrom-Williams
Equivalencia de ingresos Bayesiana
Teorema Myerson-Satterthwaite
Necesidad de ineficacia de negociación
Teorema Jehiel-Moldovanu
Imposibilidad de eficacia con interdependencia de valores
1
*
Uv ( ) U(0) v p( svds ) .
0
Teorema Green-Laffont
Dado cualquier vector de valor v, sea {v j(t)|t[0,1]} una ruta
uniforme que conecta cierto valor fijo v ja v j=v j(1). Según el
teorema envelope aplicado al parámetro de ruta t ,
j (), (), (),
t
U
j v j,
v jpj v j( s), vj v j(
s) ds
0
j
1
0
fvj Ujv
j vj
U v t v p v t v v X v t v
j j j j j j j j j
X v (1), v f ( v ) p v (1), v v p v ( s), v v(
s) ds
j j j j j j j j j j j j
donde ( ) ,
Así, X jestá completamente determinado por las funciones p y f j.
74
76

Teorema Holmstrom-Williams
Teorema: cualquier mecanismo Bayes-Nash que implemente
resultados eficientes en un espacio tipo uniformemente conectado
por ruta entraña los mismos pagos esperados que el mecanismo
de Vickrey, más cierta constante específica del licitador.
Demo. Sea {v j(s),s[0,1]} una ruta de cierto vector de valor fijo
a cualquier otro vector de valor. Según el teorema envelope,
j j
j
t
0
U v () t p v () t v () t X ( v ()) t
j j j j j
U v (0) p v ( s) v(
s) ds
j j j j
Por tanto, X j(v) está excepcionalmente determinado por U j(0). Es
igual a U j(0) más el pago esperado en el mecanismo de Vickrey.
Teorema Myerson-Sattherthwaite
Los beneficios previstos son:
U B(v)=E[(v-c)1 {v>c}|v], so E[U B(v)]=E[(v-c)1 {v>c}]
U S(c)=E[(v-c)1 {v>c}|s], so E[U S(c)]=E[(v-c)1 {v>c}]
cada licitador espera recibir el superávit social absoluto.
Aplicar el teorema Holmstrom-Williams:
Teorema (Myerson-Satterthwaite). No hay mecanismo
ni equilibrio bayesiano o de Nash tal que el mecanismo
implemente para todo v,c con v>c y
UB(0)=US(1)=0 (“participación voluntaria por tipo peor”)
E[UB(v)]+E[US(c)]E[(v-c)1 {v>c}] (“presupuesto esperado
equilibrado”)
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Negociación de dos personas
Asuma que
hay un comprador con valor v distribuido en [0,1]
hay un vendedor con coste c distribuido en [0,1]
El mecanismo Vickrey-Clarke-Groves
hace que cada parte comunique su valor
supone p*(v,c)=1 si v>c y p*(v,c)=0 de otro modo
los pagos son
Si p*(v,c)=0, no hay pagos
Si p*(v,c)=1, el comprador paga c y el vendedor recibe v
Matices
Tenga en cuenta un modelo en el que:
v c
Pr 1 Pr11 Q: ¿Cómo es que transar al precio p=1
no viola el terorema en este modelo?
A: Porque recomienda la transacción incluso si c>v
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