Un Algoritmo Genético H´ıbrido Paralelo para Instancias Complejas ...

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Intercambio Ind. Original 1 2 3 4 5 6 7 8 Ind. Mutado 1 2 5 4 3 6 7 8 Inserción Ind. Original 1 2 3 4 5 6 7 8 Ind. Mutado 1 2 3 5 6 7 4 8 Fig. 4. Los operadores de mutación. Inversión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 6 5 4 3 7 8 Dispersión 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 6 7 3 4 5 8 toriamente. En este caso, todos los clientes deben pertenecer a la misma ruta. • Inserción. Consiste en insertar un cliente seleccionado aleatoriamente en otro lugar del cromosoma del individuo también aleatorio, perteneciente a la misma ruta o a otra. • Dispersión. Es similar al operador de inserción, pero aplicado a una sub-ruta (conjunto de clientes) en lugar de un único cliente. Búsqueda Local. El método de búsqueda consiste en aplicar hasta 50 pasos de búsqueda por 1- Intercambio [16], y después se aplican hasta 50 pasos de 2-Opt [17] a cada ruta de la solución obtenida tras el 1-Intercambio. El método de 1-Intercambio consiste en intercambiar un cliente de una ruta por otro perteneciente a otra ruta, o insertar un cliente de una ruta en otra ruta distinta. Por otro lado, 2-Opt trabaja siempre dentro de cada ruta, y consiste en eliminar dos ejes de una ruta y conectar los clientes en la otra forma posible (ver Figura 5). Como estos dos métodos de búsqueda local son deterministas, la búsqueda para en el caso de que no se haya logrado mejorar la solución en un paso del algoritmo. Esto nos permitirá reducir considerablemente el tiempo de ejecución. a b a b d c d c Fig. 5. El operador 2-Opt. IV. Experimentación Recientemente, Li, Golden y Wasil presentaron en [10] un nuevo conjunto de instancias del problema CVRP caracterizado fundamentalmente por el elevado número de clientes de que estaban compuestas. Este conjunto de problemas fue llamado VLSVRP, acrónimo de Very Large Scale VRP, que se puede traducir como VRP de escala muy grande. El tamaño de las instancias propuestas por los autores en VLSVRP oscila entre los 560 y los 1200 clientes, mientras que los conjuntos de instancias más aceptados y utilizados en la comunidad científica hasta entonces estaban formados por instancias de entre 50 y 199 clientes en el caso de CMT [15], o problemas desde 200 a 483 clientes en el caso de las propuestas en [4] por Golden et al. Algunas características importantes adicionales de VLSVRP es que se ha creado utilizando un generador de instancias, por lo que resulta sencillo obtener instancias de mayor tamaño (para más detalles acerca de este generador de instancias, consulte [10]). Además, las instancias generadas son geométricamente simétricas, siguiendo un patrón circular. Esto nos permite sin mucho esfuerzo obtener una estimación visual de la mejor solución al problema. Todas las instancias de VLSVRP incluyen restricciones en la longitud máxima de las rutas. TABLA I Parametrización utilizada en PEGA. Tamaño de Población Islas: 100 Individuos (10 × 10) Total: 400 Individuos (4 islas) Vecindario NEWS Selección de Padres Torneo Binario + Individuo Actual Recombinación generic crossover [12], pc = 1,0 Mutación de Individuos Intercambio (pint = 0,05), Inversión (pinv = 0,1), Inserción (pins = 0,05), y Dispersión (pdisp = 0,15) Reemplazo Reemplazar si es Mejor Búsqueda Local 1-Intercambio + 2-Opt, 50 Pasos de Optimización por Método Frec. de Migración Cada 10 4 Evaluaciones Condición de Parada 500000 Evaluaciones en Cada Isla PEGA ha sido diseñado con la idea de ser utilizado para resolver las instancias que forman VLSVRP. Debido a la dificultad y gran tamaño de estos problemas, decidimos ejecutar PEGA en un entorno grid compuesto por un máximo de 125 ordenadores de diversas características, como por ejemplo PCs o estaciones de trabajo Sun. El algoritmo está codificado utilizando Java y la biblioteca ProActive para gestionar el entorno grid. La parametrización utilizada en nuestro algoritmo para las pruebas realizadas se detalla en la Tabla I. En concreto, como ya se avanzó en la Sección III, hemos descentralizado el algoritmo en 4 islas en anillo, que intercambian sólo un individuo con una única isla vecina cada 10 4 evaluaciones. En cada una de estas islas se ejecuta un cGA como el descrito en la Sección III-A, que trabaja sobre una rejilla de 10 × 10 individuos. Uno de los padres es seleccionado mediante torneo binario dentro del vecindario del individuo actual (que está compuesto por los individuos situados al norte, sur, este, oeste –NEWS). El otro padre es el propio individuo actual. Ambos padres se recombinan con una probabilidad del 100 % usando el operador generic crossover, y el individuo resultante se muta utilizando uno de los operadores de intercambio, inversión, inserción, y dispersión con probabilidades 0.05, 0.1, 0.05, y 0.15, respectivamente [12]. Posteriormente, se le aplica al descendiente un método
de búsqueda local que está compuesto por 50 pasos del algoritmo 1-Intercambio (explora combinaciones de clientes entre diferentes rutas) y tras esto, otros 50 pasos de 2-Opt (para optimizar cada una de las rutas generadas por separado). El recién generado descendiente reemplazará al individuo actual en la población sólo si tiene un valor de fitness mejor. En la implementación propuesta, la migración se realiza cada 10 4 evaluaciones mediante el intercambio del mejor individuo de cada subpoblación con su subpoblación vecina. Cuando una subpoblación recibe un individuo en la migración, éste reemplaza al individuo de la subpoblación local con peor valor de fitness. En la Tabla II presentamos los resultados obtenidos con PEGA para la batería de problemas VLSVRP (el mejor resultado para cada una de las 12 instancias está marcado en negrita). En concreto, se muestra el nombre de las instancias estudiadas, su tamaño (número de clientes a proveer), la mejor solución conocida para cada instancia (MSC), la mejor solución encontrada por nuestro algoritmo, la media de las soluciones reportadas por PEGA y el tiempo medio en horas empleado por el algoritmo. Los valores de la soluciones representan el coste en términos de la distancia global recorrida por los vehículos. Los valores que se muestran en la Tabla II han sido obtenidos tras realizar cuatro ejecuciones para las instancias más pequeñas (VLS21 a VLS25) y dos para el resto. Este bajo número de ejecuciones realizadas es debido al elevado tiempo de cómputo requerido por el algoritmo para resolver el problema, que va desde las 10 horas para las instancias más pequeñas hasta las 72 horas para el caso de VLS32. Estos elevados tiempos de cómputo vienen motivados fundamentalmente por dos aspectos: (i) por un lado, utilizamos una búsqueda local pesada, creciendo casi exponencialmente el tiempo necesario para realizarla con el tamaño de la instancia a resolver; (ii) por otro lado, debido a que no está demostrado que se conozca el óptimo para ninguna de las instancias, la condición de terminación del algoritmo depende únicamente del número de evaluaciones realizadas, y este número debe ser lo suficientemente grande como para que el algoritmo tenga tiempo suficiente para encontrar o incluso superar a la mejor solución conocida. Cabe destacar los buenos resultados obtenidos aún cuando el número de ejecuciones realizadas es tan bajo, ya que PEGA encuentra la mejor solución conocida para 7 de las 12 instancias estudiadas. Incluso mejora la mejor solución conocida hasta ahora para la instancia VLS26, ya que, aunque la diferencia es de únicamente una centésima, representan soluciones bien distintas, como puede observarse en la zona sombreada de la Fig. 6. Además, la mejor solución conocida para todas las instancias excepto VLS22 y VLS27 ha sido estimada visualmente utilizando las propiedades geométricas de los problemas, y ningún Distancia Total Recorrida 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 VLS21 VRTR =1 VRTR =0.6 VRTR =0.4 PEGA VLS22 VLS23 Mejores Soluciones Encontradas VLS24 VLS25 VLS26 VLS27 VLS28 VLS29 VLS30 VLS31 Fig. 7. PEGA vs. el estado del arte para VLSVRP. algoritmo hasta el presente trabajo había sido capaz de encontrarlas. Además, en el caso de VLS22 y VLS27 las soluciones han sido encontradas por distintos algoritmos RTR (Record-to-Record) durante las pruebas realizadas para desarrollar VRTR (una mejora de RTR) en [10] (ORTR significa otros RTR), pero no se facilitan en ese trabajo ni detalles de las implementaciones de estos algoritmos ni referencias en las que se puedan consultar dichos detalles. En la Fig. 7 se muestra una comparación de las mejores soluciones obtenidas por PEGA y los tres algoritmos que conforman el estado del arte para VLSVRP. Estos tres algoritmos son distintas parametrizaciones de VRTR, propuesto en [10]. Como se puede ver, PEGA obtiene mejores resultados que los tres algoritmos comparados para todas las instancias excepto VLS25, VLS27 y VLS32. En la Tabla III mostramos la comparación de los cuatro algoritmos en términos de la diferencia (en porcentaje) entre la solución reportada por los algoritmos para cada problema y la mejor solución conocida para el problema dado (los mejores valores están en negrita). Este valor se puede entender como una medida de la calidad de los resultados obtenidos por los algoritmos. Se puede ver cómo PEGA es notablemente más robusto que los otros tres algoritmos para el conjunto de problemas estudiado, ya que es el algoritmo que más se aproxima, obteniendo los mejores resultados en 9 de los 12 problemas. Además, PEGA encuentra la mejor solución conocida en 7 instancias, soluciones que nunca antes habían sido encontradas por un algoritmo como ya se ha comentado anteriormente. En la última fila de la Tabla III se presenta la media de las diferencias entre las soluciones encontradas por cada algoritmo y las mejores soluciones conocidas para las 12 instancias de VLSVRP. Como puede verse, PEGA consigue el mejor valor de los cuatro algoritmos comparados, siendo este valor la mitad del resultado del mejor de los algoritmos comparados (VRTR con α = 1,0). V. Conclusiones y trabajo futuro Se ha presentado en este trabajo un potente algoritmo para resolver instancias muy duras del problema CVRP. El algoritmo propuesto, PEGA, se trata VLS32
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