Teorica 4

Números complejos.
Los cuaterniones.
El álgebra vectorial.
Las estructuras modernas.
El Algebra
JPP-HdM – p. 1/3

Períodos
• 3000 aC - 1550 dC: N, Q≥0, +, ., √
• 1550-1850: Z, Q, Z[x], n √
• 1850-1930: Grupos (de permutaciones), Anillos
(de polinomios, de enteros gaussianos), Algebras
(de matrices, de cuaterniones, de Lie)
• 1930-?: estructuras a secas (grupos, anillos,
módulos, álgebras,...)
JPP-HdM – p. 2/3

Dieudonné (I)
" (...) el cálculo, una de cuyas repercusiones fue la de
permitir la determinación, en un número finito de
pasos, de las raíces de cualquier ecuación con tantos
decimales como se quiera (pongamos 20). Es un
método estándar que se conoce bien desde Newton y
que, en un ordenador, proporciona el resultado muy
rápidamente, en pocos segundos, cuando antes eran
necesarios tres o cuatro días de trabajo duro. No hay
dudas de que el método era perfecto para los usuarios
y los técnicos. Por qué esos idiotas de los matemáticos
siguieron buscando soluciones por radicales?"
Pensar las matemáticas, Tusquets, 185-186 (1988)
JPP-HdM – p. 3/3

Bourbaki (II)
" (...) la singularidad de este ejemplo (...) restringe
algo su alcance, a pesar, o más bien a causa, de la
formación de una escuela de " cuaternonistas"
fanáticos, extraño fenómeno que se reproduce más
tarde alrededor de la obra de Grassman, y después en
los vulgarizadores que toman de Hamilton y
Grassman lo que se ha llamado " cálculo vectorial"."
Algebra lineal y Algebra multilineal, Elementos de
Historia de las matemáticas, Alianza Ed. (1976) p.93
JPP-HdM – p. 4/3

Elementos de Historia de las
matemáticas, N. Bourbaki
Contras:
• Anacronismos y valoraciones a posteriori
• Excesivamente centrado en el álgebra
• Motivación errónea
Pro: cubre completamente los resultados teóricos del
álgebra a partir del 1800; muy buena bibliografía;
excelente color de la tapa y buen tamaño de letra.
JPP-HdM – p. 5/3

Entonces, qué es el álgebra?
Todo lo que sea objeto de estudio matemático (curvas
y superficies, funciones, simetrías, cristales, mecánica
cuántica y demás) puede ser ’coordenatizado’ o ’medido’.
Sin embargo, para esta coordinatización los
números ’ordinarios’ no siempre son lo adecuado. A
la inversa, cuando encontramos un nuevo tipo de objeto,
estamos forzados a construir o descubrir nuevas
’cantidades’ para coordenatizarlos. La construcción y
el estudio de estas cantidades es lo que caracteriza el
lugar del álgebra en las matemáticas (por supuesto,
muy aproximadamente).
Kostrikin y Shafarevich, Algebra I, EMS Springer
(1987)
JPP-HdM – p. 6/3

Francois Viete (1540-1603)
Introduce tres tipos de análisis:
• Zetético: transformación de un problema en una
ecuación.
• Porístico: explorar una conjetura manipulando
símbolos.
• Exegético: el arte de resolver una ecuación
hallada por el análisis zetético.
JPP-HdM – p. 7/3

Origen del Algebra
• Solución de ecuaciones polinomiales
• Teoría de números
• Problemas físicos y geométricos
JPP-HdM – p. 8/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Algebra babilónica, los hindúes, los árabes, Fiore,
Cardano, Ferrari, Tartaglia, Viete, Descartes
• Babilonia: libro de problemas ’prácticos’
• Solución de cuadráticas y cúbicas de Omar
Khayyam
• Los italianos y la ecuación de 3er grado
• La Geometría de Descartes
JPP-HdM – p. 9/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
JPP-HdM – p. 10/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
JPP-HdM – p. 11/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
• Relaciones entre las raíces
JPP-HdM – p. 12/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Descartes, Euler, Lagrange, D’Alambert, Gauss
• Los números complejos
• Relaciones entre las raíces
• El TFA
JPP-HdM – p. 13/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")
• Solución por radicales
JPP-HdM – p. 14/3

Solución de ecuaciones lineales y raíces de
polinomios
Ruffini, Abel, Galois (los " idiotas")
• Solución por radicales
Lagrange, Cauchy, Cayley
• Permutaciones de raíces
• Teoría de grupos
JPP-HdM – p. 15/3

Teoría de números
Diofanto, Fermat, Euler, Gauss, Lagrange, Kummer,
Dedekind...
• Puntos racionales en el círculo
• Escribir un número como suma de 2 o 4
cuadrados
• Zp, enteros gaussianos, factorización única
(Kummer, ideales)
• Fermat
–Andrew Wiles
–Serre - Ribet - Dieulefait - Khare-Wintenberger
JPP-HdM – p. 16/3

Problemas físico-geométricos
• Latitud y longitud (Oresme)
• Coordenadas y geometría analítica (Fermat,
Descartes)
• Curvas algebraicas (Newton, Descartes, Euler,
Bezout)
JPP-HdM – p. 17/3

Problemas físico-geométricos
Problemas clásicos
• Duplicación del cubo
• Trisección del ángulo
• Cuadratura del círculo
(Mucha gente involucrada)
JPP-HdM – p. 18/3

Problemas físico-geométricos
• Espacios vectoriales (Grassman, Hamilton
-quiere liberar a los complejos de la geometría!)
• Rotaciones, Ecuaciones diferenciales, Simetrías
de las leyes físicas (Euler, Lagrange, Cauchy, Lie,
Noether)
• Cálculo vectorial, leyes físicas (Gibbs, Heaviside
y Stokes, "los vulgarizadores que toman de
Hamilton y Grassman lo que se ha llamado
cálculo vectorial", y Thompson -lord Kelvin-,
Green, Tait, y Maxwell, "los cuaternonistas
fanáticos")
JPP-HdM – p. 19/3

Física y Geometría
Maxwell quedó impresionado por los trabajos de Tait
sobre aplicaciones físicas de los cuaterniones y
escribió a Thomson in 1871:
"You should let the world know that the true source of
mathematical methods as applicable to physics is to
be found in the Proceedings of the Royal Society of
Edinburgh. The volume- surface- and line- integrals
of vectors and quaternions and their properties as in
the course of being worked out by Tait is worth all
that is going on in other seats of learning."
JPP-HdM – p. 20/3

Física y Geometría
Tait empezó a estudiar la teoría de nudos, y empezó
con la mezcla de física y cuaterniones re-escribiendo
resultados de Helmholz sobre mecánica de fluídos.
En particular, mostró cómo se podía describir el fluído
separando su movimiento, su rotación y su dilatación.
Reescribió las ecuaciones de Maxwell para el
electromagnetismo vectorialmente:
JPP-HdM – p. 21/3

Ley de Ampere
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂H3
∂y
∂H1
∂z
∂H2
∂x
∂H2 − ∂z = 4π j1 + ∂D1
∂t
∂H3 − ∂x = 4π j2 + ∂D2
∂t
∂H1 − ∂y = 4π j3 + ∂D3
∂t
1 ∂D
∇ × H = j +
4π ∂t
H campo magnético
D densidad de campo eléctrico
j densidad de corriente
JPP-HdM – p. 22/3

Ley de Faraday
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂E3
∂y
∂E1
∂z
∂E2
∂x
− ∂E2
∂z
− ∂E3
∂x
− ∂E1
∂y
= −∂B1
∂t
= −∂B1
∂t
= −∂B1
∂t
∇ × E = − ∂B
∂t
E campo eléctrico
B densidad de campo magnético
JPP-HdM – p. 23/3

Leyes de Gauss
∂D1
∂x
∂B1
∂x
+ ∂D1
∂y
+ ∂B1
∂y
+ ∂D1
∂z
+ ∂B1
∂z
= ρ
= 0
∇ · D = ρ ∇ · B = 0
ρ densidad de carga eléctrica
JPP-HdM – p. 24/3

Los operadores ∇., ∇× también tienen unidades
cuáles?
JPP-HdM – p. 25/3

La abstracción en
el Algebra
1844 − 1931
JPP-HdM – p. 26/3

1844
• Hamilton, álgebras: On a new Species of
Imaginary Quantities connected with a theory of
Quaternions, Proc. of the Royal Irish Acad. 2
(1844), 424-434, y otros tres papers.
JPP-HdM – p. 27/3

• Hamilton, álgebras.
1844
• Grassman, espacios vectoriales: Die Lineale
Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der
Mathematik (Teoría de la Extensión Lineal, una
nueva rama de las matemáticas) (1844).
JPP-HdM – p. 28/3

• Hamilton, álgebras.
1844
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones: Exercise
d’analyse et de physique mathmatique, 3, Paris
(1844) 151-252. (al año siguiente, C. R., t. XXI,
277-496!)
JPP-HdM – p. 29/3

• Hamilton, álgebras.
1844
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones.
• Kummer, ideales: De numeris complexis, qui
radicibus unitatis et numeris integris realibus
constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur
Jubelfeier der Univ. Königsberg, (1844).
JPP-HdM – p. 30/3

• Hamilton, álgebras.
1844
• Grassman, espacios vectoriales.
• Cauchy, grupos de permutaciones.
• Kummer, ideales.
1931
Van der Waerden, Moderne Algebra, 2 vol., 1er ed.
Springer, Berlin.
JPP-HdM – p. 31/3

Cuál fue la mayor influencia para el álgebra a
principios del s. XX?
La Primera Guerra Mundial
JPP-HdM – p. 32/3

1914-1918
• Marne 1914: comienza la guerra de trincheras
2, 6.10 5 - 2, 5.10 5 (2, 5.10 5 franceses)
• Verdun 1916: uso del gas difosgeno (cloro
-alemán, líquido- y fosgeno -francés, gas a 8 ◦ C)
3, 8.10 5 Francia - 3, 2.10 5
• Somme 1916: debut de los tanques, a 3.2 km/h
4.10 5 ingleses, 2.10 5 franceses, 4.10 5 alemanes
(para distraer a los alemanes de Verdún)
JPP-HdM – p. 33/3

Matemáticos Franceses I
1903 − 1909
Delsarte, Dubreil, Cartan, Ehressman, Possel,
Dubreil-Jacotin, Weil, Dieudonné, Leray, Chevalley
[Kolmogorov, Segre, Church, Hodge, Mahler, Stone,
Wintner, Orlicz, van der Waerden, Littlewood, de
Rham, Sobolev, Lewy, Whitehead, Mac Lane, Quine,
Landau, Feller, Taussky, Tikhonov, Paley, Whitney,
Coxeter, Alfhors, Krein, Carlitz, Keller, Godel,
Mazur, Young, Shnirelmann, Borsuk]
JPP-HdM – p. 34/3

Matemáticos Franceses II
1910 − 1915 : 0
[Erdos, Kac, Eilenberg, Levinson, Kakutani, Doob,
Bers, Dantzig, Gelfand, Kantorovich, Witt, Chern,
Turing, Birkhoff, Jacobson, Turán, Fritz John, S.
Schwarz, Teischmuller, Zuse, Zassenhaus]
1915 − 1919 : Laurent Schwartz
[Hamming, Kodaira, Tukey, Ito, Halmos, Shannon,
Kaplansky, Tutte, Selberg, Kato, Iwasawa, Nicolson,
Fomin, Robinson (x2), Smullyan]
JPP-HdM – p. 35/3

La postguerra
Bourbaki ∼ 1933
JPP-HdM – p. 36/3

Era posible otra clase de álgebra?
Si
• René Gateaux (1889-1914)
• A.-L. Cholesky (1875-31/08/1918)
• Jean Cavailles (1903-1944)
• Albert Lautman (1908-1944)
• Simone Weil (1909-1943)
JPP-HdM – p. 37/3