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PhD Thesis

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Resumen<br />

Sea A = R/I un anillo regular de funciones de una variedad algebraica<br />

con una singularidad aislada en el punto racional η; donde (R, η) es un anillo<br />

r.l.e.t.f de dimensión m, e I es un ideal de intersección completa. El teorema<br />

de HKR para el álgebra diferencial graduada R ⊗ ∧V nos lleva a expresar<br />

homología cíclica y de Hochschild del álgebra R/I en función de la cohomología<br />

de los complejos Lj y Dj. En el primer capítulo desarrollamos las<br />

herramientas necesarias para poder llegar a este resultado.<br />

En este trabajo suponemos que el anillo R/I tiene sólo una singularidad<br />

aislada en η. En el caso que el ideal I = 〈f〉 sea principal, los módulos de<br />

cohomología de los complejos Lj y Dj fuerón calculados por Hülb en Divided<br />

Powers and Hochschild Homology of Complete Intersections y por Michler<br />

en Torsion of diferentials of hypersurfaces with isolated singularities cuando<br />

R es el anillo de polinomios. La fórmula H m−∗ (Lj) = T or∗(R/I, R/Jf) para<br />

valores j ≥ m se debe a que ht(Jf) = dim(R) = m. Nuestro trabajo se centra<br />

en calcular los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj, cuando el<br />

ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una intersección completa con una<br />

singularidad aislada en η. Los cálculos que se presentan no se encuentran el<br />

la literatura. En este caso se tiene que<br />

ht(JF ) = m − r + 1<br />

para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Notemos que en el caso particular que r = 1<br />

obtenemos ht(Jf) = m. Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈ Jf nos<br />

permiten demostrar uno de los principales resultados originales del trabajo:<br />

el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas. A grandes rasgos<br />

este teorema nos dice que toda icis I = 〈f1, . . . , fr〉 puede ser generado por<br />

elementos g1, . . . , gr, donde cada uno de los gi tiene una singularidad aislada<br />

en η. Este teorema permite generalizar los métodos de cálculos para un sólo<br />

polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado por r polinomios.<br />

En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado por una<br />

secuencia regular de longitud dos. Llegamos a los siguientes resultados :<br />

H i (Lj) = 0, para todo i < m − 1, e i = j. Cuando j = m + k > m − 1<br />

presentamos la secuencia espectral E∗,∗ que converge a la cohomología de el<br />

complejo Lm+k, y colapsa en E 2 . Calculamos los módulos de cohomología


de los complejos Lm+k en nivel m y m − 2, para el término en grado m − 1<br />

hallamos su dimensión. Cuando Lm−1 llegamos a la siguiente igualdad<br />

H m−1−∗ (Lm−1) = T or∗(Jf/Jf,g, R/I).<br />

Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.<br />

En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al caso<br />

de r polinomios.<br />

En el Tercer Capítulo, debido a que los complejos Lj tienen cohomología<br />

cero para todo término menor que m − r, y al saber la imagen de la aplicación<br />

S en la secuencia SBI expresamos los módulos de cohomología de los<br />

complejos Dj para grados menores que m − r − 1 en función de la cohomología<br />

de deRham del álgebra R/I s , para algún s adecuado. Los demás<br />

términos se encuentran en una secuencia exacta corta, y pueden ser calculados<br />

de manera recurrente. En el caso que S = 0 expresamos los módulos de<br />

cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de cohomología<br />

de los complejos Lj. Los complejos que proporcionan la homología cíclica<br />

negativa Ω ≥p para p > 0 se descompone en casi un producto tensorial de<br />

complejos. En el caso r = 2 esto permite tomar un subcomplejo Ω ≥m<br />

f . El<br />

complejo cociente Ω ≥m /Ω ≥m<br />

f<br />

es isomorfo a Ω ≥m<br />

f . Mostramos una secuencia<br />

espectral que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite<br />

presentar una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω ≥m .<br />

El Apéndice esta destinado a presentar las principales definiciones y propiedades<br />

de la teoría de anillos. También es el sustento de las demostración<br />

de propiedades que se usan en el cuerpo de la tesis y son parte fundamental<br />

en el trabajo .


Índice general<br />

Introducción III<br />

1. Homología de Hochschild y Cíclica 1<br />

1.1. Homología de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />

1.2. Homología Cíclica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />

1.3. Método de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

2. Homología de Hochschild para icis 51<br />

2.1. Singularidades Aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

2.2. Homología de Hochschild para I = 〈f, g〉 . . . . . . . . . . . . 67<br />

2.2.1. El Complejo Lj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />

2.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul . . . . . . 79<br />

2.2.3. Cálculo de la Homología de Hochschild . . . . . . . . . 84<br />

2.3. Homología de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉 . . . . . . . . 104<br />

2.3.1. Homología de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />

2.3.2. El Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />

3. Homología Cíclica. 122<br />

3.1. Homología Cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122<br />

3.2. El Caso Quasihomogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />

3.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />

3.3.1. El Número de Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137<br />

3.4. La Homología Cíclica Negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />

3.4.1. El Complejo Ω ≥m<br />

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />

3.4.2. El Complejo M(f, g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />

3.4.3. El Complejo Ω≥m<br />

3.4.4.<br />

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154<br />

M(f,g)<br />

La Cohomología del Complejo M(f, g) . . . . . . . . . 155<br />

i


A. Álgebra Conmutativa 167<br />

A.1. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />

A.2. Complejo Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br />

A.3. El Ideal Jacobiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181<br />

A.4. El Anillo de Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192<br />

ii


Introducción<br />

En la presente tesis desarrollaremos herramientas para calcular la homología<br />

cíclica y la homología de Hochschild para A = R/ 〈f, g〉 ; aquí R<br />

es el anillo local de un punto racional regular de un esquema de tipo finito<br />

sobre un cuerpo k de característica cero. Es decir R = (k[x1, . . . , xs]/I ′ )η y<br />

η = (x1 − a1, . . . , xs − as). El ideal I = 〈f, g〉 es de tipo intersección completa<br />

con una singularidad aislada en (R, η). Este anillo es un caso particular de<br />

un anillo regular local esencialmente de tipo finito (r.l.e.t.f). Los cálculos que<br />

aquí se obtienen generalizan los resultados de Michler, Hülb, Bach, [Mich1],<br />

[BKH], [BACH].<br />

Como R es proyectivo como k−módulo, podemos escribir la homología<br />

de Hochschild como HH∗(R) = T or Re<br />

∗ (R, R). En particular, si el ideal J =<br />

ker(R ⊗ R → R) es localmente generado por una secuencia regular, tenemos<br />

una descripción concreta de la homología de Hochschild : HH∗(R) = Ω ∗ R<br />

(Teorema de Hochschild Kostant Rosenberg). Las álgebras con esta propiedad<br />

se llamarán suaves. En esta dirección, podemos indicar que la homología de<br />

Hochschild caracteriza la suavidad de un anillo regular local e.t.f : Por un<br />

lado si A es suave entonces la homología de Hochschild en grado n se anula<br />

para todo n > m := dim(R), por otro lado tenemos el siguiente resultado de<br />

Avramov-Vigué [AV] y de BACH [BACH1] :<br />

Sea A un álgebra f.g. sobre un cuerpo k tal que la homología de Hochschild<br />

se anule en grados i y j para algún i par y j impar entonces A es suave.<br />

En el caso suave podemos describir a la homología cíclica por medio de la<br />

cohomología de deRham<br />

según [LQ, Teorema 2.9].<br />

HCn(A) = ΩnA dΩ n−1 ⊕ (⊕i≥1H<br />

A<br />

n−2i<br />

DR (A)),<br />

iii


Sea A un álgebra de la forma A = k[x1, . . . , xm]/I donde I es un ideal<br />

de tipo intersección completa. En [BV] se define la homología cíclica y de<br />

Hochschild para álgebras diferenciales graduadas. Sea V un espacio vectorial<br />

graduado concentrado en grado uno. Identificando el álgebra graduada ∧V<br />

con el módulo graduado del complejo Koszul se proporciona un diferencial a<br />

∧V . Esto convierte a (∧V, d) en un álgebra diferencial graduada. Mostrando<br />

una versión graduada del teorema de Hochschild Kostant Rosenberg para<br />

el álgebra (∧V, d) hallan una fórmula explícita, HHn(∧V, d) = ⊕p≥0HH (p)<br />

n ,<br />

HCn(∧V, d) = HCn(k)⊕⊕p≥0HC (p)<br />

n , que cálcula la homología de Hochschild<br />

y cíclica de A (ver [BV]). En [CGG] se usa un método similar para hallar<br />

una fórmula que calcula la homología cíclica y de Hochschild para álgebras<br />

de la forma R/I, donde R es homológicamente regular e I es localmente una<br />

intersección completa. Estas fórmulas (ver Corolario1.107), que en el caso<br />

R regular fueron obtenidas por [FT], expresan la homología de Hochschild<br />

y cíclica en función de los complejos Lj y Dj para j > 0 respectivamente,<br />

definidos de la siguiente manera<br />

y<br />

Lj : 0<br />

Dj : 0<br />

<br />

IjΩ0 R<br />

Ij+1Ω0 R<br />

<br />

Ω0R Ij+1Ω0 R<br />

dDR dDR <br />

I j−1 Ω 1 R<br />

I j Ω 1 R<br />

dDR dDR Ω<br />

<br />

1 R<br />

IjΩ1 R<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

dDR <br />

IΩ<br />

j−1<br />

R<br />

I 2 Ω j−1<br />

R<br />

Ω<br />

j−1<br />

R<br />

I 2 Ω j−1<br />

R<br />

Ω j<br />

dDR R<br />

IΩ j<br />

R<br />

Ω j<br />

dDR R<br />

IΩ j<br />

R<br />

Basados en la fórmula del Corolario 1.107 en adelante nos dedicaremos a<br />

calcular la cohomología de los complejos Lj y de los Dj.<br />

En el caso que el ideal I es principal, para el cálculo de los módulos<br />

de cohomología de los complejos Lj se usa el siguiente método: Primero se<br />

prueba que Lj es quasiisomorfo a K(fx1, · · · , fxm) ⊗R R/I. Si la singularidad<br />

de I en η es aislada y (R, η) es r.l.e.t.f, entonces K(fx1, · · · , fxm) es una<br />

resolución de R/Jf. Aquí Jf es el ideal jacobiano de f, y en general JF<br />

representa el ideal jacobiano de F = (f1, · · · , fr).<br />

Esto nos permite describir la cohomología de Lj mediante la siguiente<br />

fórmula<br />

H ∗ (Lj) = T or R m−∗(H m (K(fx1, . . . , fxm)), R/I) = T or R m−∗(R/Jf, R/I), (1)<br />

iv


para valores j mayores que la dimensión de Krull del anillos R, además se<br />

tiene que T or1(R/I, R/Jf) = I ′ /Jf donde I ′ = (J : f). Este resultado se<br />

encuentra en [BKH] cuando R = k[x1, . . . , xn], y en [LM] en el caso de un<br />

álgebra r.l.e.t.f. Todos ellos se limitan al caso en que I = 〈f〉 .<br />

Nosotros generalizamos estos cálculos al caso en que I = 〈f1, . . . , fr〉 sea<br />

una intersección completa. La generalización natural directa de las fórmulas<br />

anteriores al caso de dos polinomios sería<br />

H ∗ (Lm) = T orm−∗(R/ 〈f, g〉 , R/ 〈Jf, Jg〉).<br />

Sin embargo, esta nueva fórmula no se cumple en general, como se ve en<br />

el Ejemplo 2.34. Allí presentamos un ideal I = 〈f, g〉 , donde f y g es una<br />

secuencia regular con una singularidad aislada en η que cumple<br />

H m−1 (Lm) = T or1(R/ 〈Jf, Jg〉 , R/I) = T or1(H m (L ′ m), R/I).<br />

Aquí L ′ j es un complejo de R−módulos libres que se define de modo que<br />

Lj = L ′ j ⊗R R/I (ver Observación en la Página 74).<br />

La Ecuación (1) se obtuvo gracias al hecho que ht(Jf) = dim(R) = m.<br />

En el caso que I = 〈f, g〉 se tiene que ht(JF ) = m − 1. Cuando el ideal I es<br />

generado por una secuencia regular de r elementos obtenemos que ht(JF ) =<br />

m − r + 1. Esta es la principal obstrucción para seguir el método empleado<br />

para el caso de un solo polinomio. Sin embargo el cálculo de la altura del<br />

ideal jacobiano nos permite brindar información sobre los ideales de tipo<br />

intersección completa con una singularidad aislada (icis por sus siglas en<br />

inglés). Estas propiedades permitirán calcular la homología de Hochschild<br />

y serán descritas más adelante. A continuación describimos los resultados<br />

obtenidos sobre la cohomología de los complejos Lj y L ′ j.<br />

Para el caso en que el ideal esté generado por una secuencia regular de<br />

longitud dos, I = 〈f, g〉 , obtenemos :<br />

Los complejos H i (L ′ j) = 0 para todo i = j.<br />

La prueba se presenta en la Proposición 2.49 y Corolario 2.52 de la tesis.<br />

El significado de esta afirmación cuando j = m−1 se refleja en poder escribir<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf<br />

Jf,g<br />

, R/I);<br />

donde Hm−1 (L ′ m−1) = Jf<br />

. Otra conclusión que se desprende del corolario<br />

Jf,g<br />

anterior es el hecho de tener que los complejos Lj satisfacen que Hi (Lj) = 0<br />

v


para todo i = j para j ≤ m − 2. El hecho que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j<br />

para j < m nos permite escribir<br />

H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I)).<br />

Como los complejos Lj para j ≤ m − 1 son exactos salvo en el último nivel,<br />

T ort(H j (L ′ j), R/I)) = 0 para todo t > 0. Esto significa que f, g forman una<br />

secuencia H j (L ′ j)−regular.<br />

Luego demostramos que los complejos Lj para valores de j mayores o<br />

iguales que la dimensión del anillo R sólo tienen tres términos no nulos en<br />

cohomología. También describimos su último término de cohomología como<br />

una generalización de (1) :<br />

Para todo j ≥ m se cumple : los módulos de cohomología de los complejos<br />

Lj son cero para todo grado menor m − 2. Los términos en grado m − 2 se<br />

expresan como<br />

T or1(H m−1 (L ′≤m−1<br />

j ), R/I).<br />

Aquí L ′≤m−1<br />

j es el complejo truncado en nivel m − 1. Las pruebas se encuentran<br />

en el Teorema 2.54 y Corolario 2.59 . Con respecto a la cohomología<br />

de los complejos Lm+k en grados m y m − 1 mostramos que existe una secuencia<br />

espectral Er p,q que converge a la cohomología de los complejos Lm+k<br />

y colapsa en el segundo término (Teorema 2.62).<br />

Esta información se puede resumir en el siguiente cuadro<br />

H i ⎧<br />

0 si i < min{j, m − 2}.<br />

⎪⎨<br />

df ∧ Ω<br />

(Lj) =<br />

⎪⎩<br />

j<br />

⊗ R/I si i = j y j ≤ m.<br />

df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf<br />

, R/I) si j = m − 1.<br />

Jf,g<br />

T or1(H m−1 (Ck+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,<br />

donde Ck+1 = (L ′ m+k )≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel<br />

m − 1 y m presentamos una secuencia espectral<br />

vi<br />

(2)


E 1 2,0 = T or2(Mk, R<br />

I )<br />

E1 1,0 = T or1(Mk, R<br />

I ) E1 1,1 = T or1(Mk, R<br />

d1 <br />

E1 0,0 = T or0(Mk, R<br />

I )) E1 0,1 = T or0( Jg R , Jf,g I ),<br />

d1 <br />

donde Gr(Mk) = ⊕ k i=0R/Jf (ver Teorema 2.62) y d 1 es el producto exterior<br />

con dg.<br />

En el caso que Jg este contenido en el ideal Jf, se cumple E 1 = E ∞ , lo cual<br />

se demuestra en el Corolario 2.65. Aunque la condición Jg ⊂ Jf simplifica<br />

significativamente los cálculos, esta se da en muchos ejemplos conocidos.<br />

Ello nos permite calcular los módulos de cohomología de los complejos Lm+k<br />

para el caso en que R/I es de dimensión cero y la singularidad es simple<br />

(clasificación de Guisti [G]) [Looj, 7.19], a exepción de Hµ para µ ≥ 7, y<br />

las singularidades simples de curvas inmersas en dimensión tres<br />

(ver Ejemplo 2.67). El cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las<br />

motivaciones originales de este trabajo.<br />

En general, cuando el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es una intersección completa y<br />

tiene una singularidad aislada en η encontramos una secuencia espectral E∗,∗<br />

que converge hacia la cohomología del complejos Lm+k. El primer término<br />

E 1 de la secuencia espectral se expresa en función de ciertos T or (Teorema<br />

2.76).<br />

Usando el mismo argumento dado para el caso de dos polinomios probamos<br />

que H s (Lm+k) = 0 para todo s ≤ m − r − 1.<br />

Este último resultado significa que los complejos Lm+k tienen a lo más<br />

r + 1 términos de cohomología no nulos.<br />

Para poder establecer las propiedades mencionadas anteriormente, en el<br />

camino probamos los siguientes resultados algebraicos, que no se encuentran<br />

en la literatura. Una de las piedras angulares en el trabajo es el Corolario<br />

2.19 que dice que<br />

ht(JF ) = m − r + 1,<br />

cuando I = 〈f1, · · · , fr〉 es una icis en un anillo r.l.e.t.f. (R, η). Notemos<br />

que en el caso r = 1, obtenemos ht(Jf) = m.<br />

En general en una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 pueden existir elementos fi tales<br />

vii<br />

I )<br />

(3)


que la hipersuperficie {fi = 0} sea regular, esto significa que el anillo R/ 〈fi〉<br />

es regular. Por ejemplo los polinomios f = x 2 + xy + z, g = x 2 + y 2 + z,<br />

y h = z en el anillo R = k[x, y, z](x,y,z) nos proporcionan una icis 〈f, g, h〉.<br />

Es evidente que R/ 〈h〉 k[x, y](x,y) es un anillo r.l.e.t.f. Para evitar estos<br />

casos triviales ponemos como condición que ninguna de las hipersuperficies<br />

{fi = 0} sea regular. Ésto equivale a pedir que el ideal Jfi esté contenido<br />

en el maximal η; notemos que esta condición significa, en el caso particular<br />

que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), que el jacobiano evaluado en 0 = (0, . . . , 0)<br />

tiene rango cero. En estos casos puede suceder que el lugar singular de fi<br />

sea más grande que un punto, es decir ht(Jfi ) < m = dim(R). Notemos que<br />

ht(Jf) = m si sólo si la singularidad de fi es aislada. Si embargo nosotros<br />

tenemos el siguiente resultado :<br />

Sea una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 de modo que ninguno de sus generadores es<br />

regular. Entonces se pueden escoger generadores g1, · · · , gr de I de manera<br />

que cada gi tenga una singularidad aislada. (Teorema 2.25)<br />

Esta propiedad nos permite reducir el lugar singular de cada uno de los<br />

generadores de I a un punto. En el Ejemplo 2.27 se muestra un ideal I<br />

generado por una secuencia regular de dos elementos en k[x, y](x,y), que tiene<br />

una singularidad aislada en η, y no podemos hallar un representante que sea<br />

regular. Esto significa que, bajo las hipótesis planteadas anteriormente, no<br />

podemos reducir más el lugar singular de los generadores de una icis.<br />

El resultado anterior también se puede interpretar como un teorema de<br />

clasificación local de las singularidades aisladas de tipo intersección<br />

completa; y nos garantiza que todas ellas se pueden formar a partir de<br />

polinomios con singularidades aisladas. Esta propiedad de clasificación es<br />

uno de los principales resultados de la tesis.<br />

El Teorema 2.25 es consecuencia inmediata de la Proposición 2.24 :<br />

Sea I = 〈f1, · · · , fr〉 una icis. Entonces podemos modificar los generadores<br />

para que los primeros r − 1 generadores formen una icis.<br />

Una versión topológica, en el caso k = C, del Corolario 2.19 y de la<br />

Proposición 2.24 se encuentran en [Looj] y [AGV, Teorema 5.4, página 157].<br />

Las demostraciones se basan en propiedades topológicas del cuerpo C. Esta<br />

version topológica se sigue inmediatamente de nuestros resultados.<br />

viii


En relación a la homología cíclica, en el caso quasihomogéneo, expresamos<br />

los k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj en función de<br />

los módulos de cohomología de los complejos Lj. Para las singularidades<br />

clasificadas en el Ejemplo 2.67 mencionadas líneas atrás hallamos todos los<br />

k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj.<br />

En general obtenemos que Hk (Dj) = Hk DR (R/I) para todo k ≤ m−r −2,<br />

y Hj (Dj) = Ω j<br />

A /d(Ωj A ). Los términos restantes se encuentran envueltos en<br />

secuencias exactas, donde los elementos involucrados son conocidos.<br />

Los complejos Ω≥p definidos en 1.78 proporcionan la homología cíclica<br />

negativa (ver Proposición 1.80). Estos complejos tienen a lo más r+1 términos<br />

de cohomología no nulos. En el caso de dos polinomios presentamos una<br />

secuencia espectral que converge hacia la homología cíclica negativa de R/I<br />

(Proposición 3.34).<br />

A continuación presentamos los resultados principales del trabajo divididos<br />

en capítulos :<br />

En el Primer Capítulo presentamos la definición y principales propiedades<br />

de la homología de Hochschild. Ponemos de manifiesto la estrecha relación<br />

entre esta homología y los diferenciales de Kähler. Esta relación nos permite<br />

describir la suavidad del álgebra R en función de sus diferenciales de Kähler.<br />

Basados en el Corolario 2.2 de [HS] vemos que en un anillo regular local<br />

(R, η) todo elemento f en η cumple que f ∈ Jf (ver Corolario 1.38).<br />

Luego demostramos un resultado clave para el desarrollo del segundo<br />

capítulo, el Corolario 1.41 :<br />

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal primo con<br />

JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces en<br />

T = Q( R<br />

P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no<br />

son algebraicamente independientes sobre k.<br />

La principal información que tomamos del enunciado anterior es la existencia<br />

de un polinomio p(x1, · · · , xr) no nulo para el cual se cumple que<br />

p(f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P . Esta relación algebraica entre los elementos<br />

f1, . . . , fr resulta crucial para demostrar los principales resultados de la tesis.<br />

Luego presentamos la definición y propiedades de la homología cíclica.<br />

A modo de ejemplo calculamos la homología cíclica del álgebra graduada<br />

k[x]/〈x m+1 〉.<br />

ix


En la última sección del primer Capítulo presentamos un bosquejo de la<br />

demostración de la descomposición de Hodge de la homología cíclica y de<br />

Hochschild. Para ello desarrollamos la teoría de homología cíclica y Hochschild<br />

para álgebra diferenciales graduadas. Entre los principales ejemplos de<br />

estas álgebras se encuentran el complejo de Koszul K(a1, · · · , ar). Conocer su<br />

homología es importante en el trabajo. Se sabe que si la secuencia a1, · · · , ar<br />

es regular el complejo K(a1, · · · , ar) es exacto salvo en el útimo nivel.<br />

Un hecho fundamental, que hacemos notar en el primer Capítulo y que<br />

usamos en repetidas ocasiones, es el siguiente :<br />

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Para todo ideal I propio se cumple que la<br />

altura del ideal I es igual que la proundidad de I. Para presentar el resultado<br />

anterior introducimos la principales definiciones del álgebra conmutativa que<br />

se emplean en esta sección. Un pilar importante introducido en este capítulo<br />

se refiere a la definición de ideal jacobiano. Presentamos un interpretación<br />

geométrica de esta definición en el ámbito de la geometría algebraica.<br />

En el Segundo Capítulo con ayuda de las propiedades descritas anteriormente<br />

probamos un resultado fundamental en el trabajo :<br />

ht(JF ) = m − r + 1<br />

para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈<br />

Jf nos permiten demostrar el teorema de clasificación de singularidades<br />

aisladas. Este resultado también se puede obtener usando directamente la<br />

Proposición 2.24. El único requisito que se pide en esta segunda prueba es<br />

que el cuerpo k sea infinito. Este teorema permite generalizar los métodos de<br />

cálculos para un sólo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado<br />

por r polinomios. Otro item importante que presentamos es el Corolario 2.70:<br />

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces para todo<br />

primo P tal que JF P el complejo L ′ j, localizado en P, (L ′ j)P , para todo<br />

1 ≤ j < m satisface que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j y exacto para todo<br />

j ≥ m.<br />

Este corolario nos dice que los módulos de cohomología de los complejos L ′ j<br />

para j > 0 están soportados en los ideales primos que contienen al ideal<br />

jacobiano JF . En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado<br />

por una secuencia regular de longitud dos. El resultado enunciado líneas<br />

x


atra´s nos permiten establecer el cálculo de los módulos de cohomología de<br />

los complejos Lj, que mencionamos anteriormente. También nos permiten<br />

presentar la secuencia espectral (2.15).<br />

Calculamos los módulos de cohomología de los complejos Lm+k en nivel m<br />

y m−2, para el término en grado m−1 hallamos su dimensión. Expresamos los<br />

módulos de cohomología del complejo Lm−1 como T orm−1−∗(Jf/Jf,g, R/I).<br />

Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.<br />

En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al caso<br />

de r polinomios. Presentamos una secuencia espectral E∗,∗ que converge a la<br />

cohomología de los complejos Lm+k y colapsa en E r . Demostramos también<br />

que los complejos Lm+k sólo tienen r + 1 términos de cohomología no nulos.<br />

El Tercer Capítulo esta reservado para presentar los cálculos de los<br />

módulos de cohomología de los complejos Dj. Como sabemos, estos complejos<br />

calculan la homología cíclica. El cálculo de estos módulos de cohomología<br />

se basa en el hecho que los complejos Lj tienen homología nula en grados<br />

menores a m − r; y más aún, cuando j < m − r − 1, el complejo Lj satisface<br />

que H i (Lj) = 0 para todo i diferente de j. Otra información que usamos<br />

es el conocimiento de la imagen del morfismo proyección π ∗ : H j−r (Dj) →<br />

H j−r (Dj−1) (ver Lema 6 de [BACH]). En la sección 3.1 probamos el Teorema<br />

3.1:<br />

Para j ∈ N, se tiene que<br />

H i ⎧<br />

H<br />

⎪⎨<br />

(Dj) =<br />

i DR (R/I) si i < min{m − r − 1, j}.<br />

H m−r−1<br />

DR (R/Ij−m+r+1 ) si i = m − r − 1, j > m − r − 1.<br />

⎪⎩<br />

Ω j<br />

R/I<br />

dΩ j−1<br />

R/I<br />

si i = j<br />

Si j ≥ m − r, para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una secuencia exacta<br />

0<br />

H t (Lj)<br />

<br />

t−1<br />

HDR (R/Ij−t+1 )<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

π ∗<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

t HDR (R/Ij−t )<br />

En la Sección 3.2 vemos el caso quasihomogéneo, donde expresamos los<br />

módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de<br />

xi<br />

<br />

<br />

0<br />

(4)


cohomología de Lj. El Teorema 3.9 nos da la cohomología de los Dj en este<br />

caso :<br />

Sea j ∈ N entonces<br />

⎧<br />

0 si t ≤ min{j − 1, m − r − 1}<br />

Ω j<br />

A<br />

H t ⎪⎨<br />

(Dj) =<br />

dΩ<br />

⎪⎩<br />

j−1<br />

si i = j y j < m − r<br />

A<br />

Hm−r (Dm−r) = Ωm−r<br />

A<br />

dΩ m−r−1 si j = m − r; y t = m − r<br />

A<br />

Hm−r (Dj) = Hm−r (Lj) si j > m − r; y t = m − r.<br />

Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht (Lj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo<br />

j ≥ m − 1.<br />

Notemos que este caso abarca todas las curvas inmersas en dimensión tres<br />

en el cuerpo C de la lista que se presenta en [Looj, 7.22].<br />

En la última sección describimos la homología cíclica negativa que se<br />

calcula a partir de los complejos Ω≥p para p > 0 (ver Definición 1.78). Para<br />

poder emplear los resultados que se plantean en [LM] descomponemos el<br />

complejo Ω≥m en dos complejos; el complejo Ω ≥m<br />

f y Ω ≥m<br />

f y. Ambos complejos<br />

son isomorfos y dependen de f, df y dg. En particular se tiene la secuencia<br />

exacta corta<br />

0<br />

Del subcomplejo Ω ≥m<br />

f<br />

<br />

Ωf<br />

mología del complejo cociente Ω≥m<br />

f<br />

M(f,g)<br />

<br />

≥m Ω<br />

<br />

Ωf[−1]<br />

<br />

0<br />

<br />

0.<br />

(5)<br />

tomamos cierto subcomplejo M(f, g). La coho-<br />

se calcula en el Lema 3.35. Finalmente<br />

descomponemos M(f, g) en dos copias de un complejo Γ, obteniendo una<br />

secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

Γ<br />

<br />

M(f, g)<br />

<br />

Γ[−1]<br />

Aquí las columnas de Γ son los complejos E ′ m+k<br />

Hi (E ′ m+k<br />

(Definición 2.60 ) satisfacen<br />

) = 0 para todo i = m. Su cohomología se calcula en el Lema 3.34<br />

xii<br />

<br />

0.


Otra forma de abordar el estudio de la cohomología del complejo M(f, g)<br />

es la siguiente : Tomamos un subcomplejo F de M(f, g) (ver Definición 3.42).<br />

presentamos una filtración<br />

En el complejo cociente M(f,g)<br />

F<br />

Ip ⊂ · · · ⊂ I1 =<br />

M(f, g)<br />

,<br />

F<br />

y calculamos el E 1 de esta filtración. Para el complejo F presentamos una<br />

filtración<br />

F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ F.<br />

Esta filtración proporciona una secuencia espectral que colapsa en E 1 , sin<br />

embargo, en general no se sabe si converge.<br />

El Apéndice se divide en cuatro partes. En la primera de ellas se presentan<br />

las definiciones y propiedades básicas del álgebra conmutativa. En la<br />

segunda sección presentamos la propiedades que usamos en el trabajo sobre<br />

el complejo de Koszul. En la sección del ideal jacobiano se establece la<br />

definición del ideal jacobiano para ideales en anillos r.l.e.t.f. Esta definición<br />

también generaliza la definición de icis para polinomios. En la última sección<br />

se presenta algunas propiedades básicas del anillo de polinomios k[x1, · · · , xr]<br />

cuando el cuerpo k es infinito.<br />

xiii


Capítulo 1<br />

Homología de Hochschild y<br />

Cíclica<br />

El objetivo será presentar un bosquejo de la demostración de la descompoción<br />

de Hodge de la homología Cíclica y de Hochschild para el caso de<br />

intersecciones completas. Esto nos servirá de pretexto para proporcionar las<br />

definiciones y propiedades a emplearse en el trabajo. Los anillos que aquí presentamos<br />

son álgebras sobre un cuerpo k de característica cero<br />

La homología de Hochschild y su conocida relación con los diferenciales<br />

de Kähler nos sírve para exportar un pilar fundamental en el trabajo : Si<br />

(R, η) es un anillo local de un punto racional regular, f es un elemento en<br />

su ideal maximal y df ∈ J · Ω 1 R<br />

, entonces f se encuentra en la clausura<br />

algebraica de J (Proposición 1.36). Este resultado nos permite probar un<br />

hecho importante: Sean (R, η), f como antes, entonces f pertenece a Jf,<br />

el radical de su ideal jacobiano (ver Corolario 1.38). En el transcurso del<br />

capítulo ponemos de manifiesto la estrecha relación entre el ideal jacobiano<br />

JF de F = (f1, · · · , fr) y la dependencia algebraica de los fi (ver Corolario<br />

1.41). Estos dos Corolarios son las principales propiedades que se usan en el<br />

transcurso del trabajo.<br />

En la segunda sección desarrollamos las principales propiedades de la<br />

homología cíclica. Calculamos la homología cíclica del álgebra k[x]/〈x m+1 〉.<br />

En la última sección presentamos los elementos necesarios para demostrar<br />

el principal teorema de [CGG]. Este se refiere a la descomposición de la homología<br />

cíclica y Hochschild para álgebras diferenciales graduadas homológicamente<br />

regulares.<br />

1


1.1. Homología de Hochschild<br />

En esta parte presentamos las definiciones del complejo y homología de<br />

Hochschild. La homología de Hochschild y los diferenciales de Kähler tienen<br />

una estrecha y conocida relación. Este hecho nos faculta a desarrollar una<br />

teoría con amplia base con respecto a las propiedades de los diferenciales<br />

de Kähler. Presentamos las secuencias exactas cotangente y conormal. También<br />

ponemos de manifiesto las relaciones que guardan los diferenciales de<br />

Kähler y las propiedades de regularidad del anillo. Un ejemplo de ello es la<br />

caracterización de un anillo regular local en función del primer módulo de<br />

los diferenciales de Kähler (ver Teorema 1.28). Un resultado importante de<br />

la teoría de diferenciales que presentamos se encuentra en el Corolario 1.41.<br />

De esta relación depende la mayoría de los resultados de la tesis.<br />

Definición 1.1. Sean A una k−álgebra y M un A−bimódulo. Definamos<br />

los módulos Cn(A, M) = M ⊗ A ⊗n y b : Cn(A, M) −→ Cn−1(A, M) como<br />

b(m ⊗ a0 ⊗ . . . an) =<br />

<br />

(−1) i (m ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ aiai+1 ⊗ . . . ⊗ an)<br />

i=n−1<br />

i=0<br />

Se verifica que b ◦ b = 0 y por lo tanto C(A, M) :<br />

b<br />

b<br />

+ (−1) n (anm ⊗ . . . ⊗ an−1).<br />

0 <br />

C0(A, M) <br />

· · · <br />

Cn(A, M) <br />

Cn+1(A, M) · · ·<br />

es un complejo. Su Homología HH∗(A, M) := H(C(A, M)) es la homología<br />

de Hochschild de A con coeficientes en M.<br />

Cuando M = A denotaremos C(A, A) = C(A) y HHn(A, A) = HHn(A).<br />

Ejemplo 1.2. Sea A = M = k,<br />

Con ello vemos<br />

0<br />

C(k) : 0 <br />

k <br />

· · · <br />

k <br />

k <br />

· · ·<br />

HHn(k) =<br />

1<br />

b<br />

0<br />

<br />

k si n=0.<br />

0 si n = 0.<br />

2<br />

1<br />

b <br />

(1.1)


Teorema 1.3. Si A es una k−álgebra unital, proyectiva como k−módulo,<br />

entonces para todo A−bimódulo M se cumple<br />

H(A, M) = T or Ae<br />

n (M, A)<br />

Prueba. [Lod, Proposición 1.1.13]. <br />

Ejemplo 1.4. Sea k un cuerpo de característica cero y A = k[x]<br />

remos el complejo<br />

C : 0 Ae <br />

Ae <br />

·u <br />

·v . . .<br />

〈x n+1 〉<br />

. Conside-<br />

con u = x⊗1−1⊗x y v = xn ⊗1+x n−1 ⊗x+. . . 1⊗x n . Bajo el isomorfismo<br />

Ae k[x,y]<br />

〈xn+1 ,yn+1 〉 tenemos que u = x−y, v = n i=0 xn−iyi . Es decir, el complejo<br />

C se escribe<br />

C : 0<br />

<br />

k[x,y]<br />

〈x n+1 ,y n+1 〉<br />

k[x,y]<br />

〈xn+1 ,yn+1 <br />

·u<br />

<br />

·v . . .<br />

〉<br />

Es claro que u · v = v · u = 0. Ahora si p(x, y)u ∈ 〈x n+1 , y n+1 〉 , entonces<br />

p(x, y)u = αx n+1 + βy n+1 = αx n+1 − αy n+1 + (β − α)y n+1 .<br />

Como u divide a α(x n+1 −y n+1 ) y no a y n+1 entonces u divide β −α, es decir,<br />

existe δ tal que u · δ = β − α y por lo tanto<br />

p(x, y) = α · v + δ · y n+1 ∈ 〈v〉 + y n+1 .<br />

Esto nos permite afirmar que p ∈ 〈v〉 en Ae y garantiza la exactitud de C<br />

en grados impares. La exactitud de C en grados pares se verifica de manera<br />

similar.<br />

Con esto queda claro que C es una resolución de A como Ae módulo. Si<br />

aplicamos el functor A⊗Ae, obtenemos<br />

0 <br />

A <br />

A <br />

. . . <br />

A <br />

A <br />

. . .<br />

0<br />

(n+1)x n<br />

0<br />

(n+1)x n<br />

Un cálculo directo muestra que HHi(A) = T orAe i (A, A) = A<br />

〈xn si i es impar y<br />

〉<br />

que HHi(A) = (0 : xn ) = Ker(·xn ) si i es par. En grado cero HH0(A) = A.<br />

Se sigue que si n ≥ 1 entonces dimk(HHn(A)) = dimk(HHn+1).<br />

3


Definición 1.5. Sean A una k-álgebra unital y A = A.<br />

Definimos el complejo<br />

k<br />

C(A, M) : 0 <br />

M <br />

b<br />

M ⊗ A <br />

b . . .<br />

. . .<br />

<br />

Proposición 1.6. Sea (D, b) el complejo<br />

D : 0 D0<br />

b<br />

M ⊗ A ⊗n<br />

M ⊗ A ⊗n+1<br />

<br />

b<br />

<br />

. . .<br />

b<br />

b<br />

D1<br />

<br />

<br />

b<br />

Dn<br />

b<br />

Dn+1<br />

<br />

. . .<br />

b . . .<br />

Donde Dn = {(m, a1, . . . , an) : ∃i con ai ∈ k} . Entonces (D, b) es acíclico.<br />

Más aún Cn(A,M)<br />

Dn<br />

= Cn(A, M) y por lo tanto π : C(A, M) → C(A, M) es un<br />

quasi-isomorfismo.<br />

Prueba. [Lod, Proposición 1.1.15]. <br />

Definición 1.7. Una k−derivación de A en M es una aplicación k−lineal<br />

D : A −→ M,<br />

que cumple la regla de Leibniz D(ab) = aD(b) + D(a)b.<br />

Ejemplo 1.8. Sea A = k[x1, . . . xm] entonces ∂<br />

∂xi<br />

i = 1, . . . , m.<br />

es una derivación para todo<br />

Definición 1.9. Sea A una k−álgebra unital y A = A/k. Definamos<br />

Ω 1 A|k<br />

:= A ⊗ A<br />

N ,<br />

donde N es el A−módulo generado por {a0a1 ⊗ a2 − a0 ⊗ a1a2 + a2a0 ⊗ a1} ,<br />

con la estructura de A−módulo obvia y d : A −→ Ω1 , d(a) = [1 ⊗ a].<br />

A|k<br />

Lema 1.10. La derivación d : A → Ω1 es universal : para toda derivación<br />

A|k<br />

D : A → M existe un único morfismo f : Ω1 → M de A−módulos tal que<br />

A|k<br />

el diagrama<br />

conmuta.<br />

A <br />

<br />

d <br />

D <br />

Ω1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∃!f<br />

A<br />

4<br />

M


Prueba. Si definimos f([a ⊗ b]) = aD(b) se prueba que f esta bien definida,<br />

f ◦ d(a) = D(a) y además que f es única. <br />

Corolario 1.11. Si I = Ker(A ⊗ A −→ A) entonces I<br />

I 2 Ω1 A .<br />

Prueba.[Eis, Teorema 16.24].<br />

Corolario 1.12. Si S ⊂ A es un subconjunto multiplicativamente cerrado<br />

entonces Ω 1<br />

S −1 A S−1 A ⊗A Ω 1 A<br />

Prueba. [Eis, Proposición 16.9]. <br />

Entre las secuencias que emplearemos se encuentran las siguientes :<br />

Proposición 1.13. Si A → B → C es una secuencia de anillos entonces<br />

existe una secuencia exacta de B−módulos<br />

C ⊗B Ω 1 B|A → Ω1 C|A → Ω1 C|B<br />

→ 0<br />

donde la aplicación del lado derecho envía dc a la clase de dc, y la aplicación<br />

del lado izquierdo envia c ⊗ db a cdb.<br />

Prueba. [Eis, Proposición 16.2]. <br />

Proposición 1.14. Si π : A → B es un epimorfismo de k−álgebras con<br />

ker(π) = I, entonces existe una secuencia exacta de B−módulos<br />

I<br />

I 2<br />

d <br />

B ⊗A Ω1 A|k<br />

π <br />

Ω1 B|k<br />

donde la aplicación del lado derecho es dado por b ⊗ da ↦→ bda y la del lado<br />

izquierdo envía la clase de f a 1 ⊗ df.<br />

Prueba. [Eis, Proposición 16.3]. <br />

Definición 1.15. Sea k un anillo conmutativo y A una k−álgebra. Un<br />

A−módulo finito universal con derivada finita es un A-módulo finitamente<br />

generado (f.g) ˜ Ω1 A|k y una k−derivada d : A → ˜ Ω1 , con la siguiente propiedad<br />

A|k<br />

universal : Si M es un A−módulo f.g y D : A → M es una k−derivada entonces<br />

existe un único homomorfismo de A−módulos<br />

tal que D = f ◦ d.<br />

f : ˜ Ω 1 A|k<br />

5<br />

→ M<br />

<br />

0,


Observación. Notemos que todas las álgebras con las que trabajamos tienen<br />

derivada universal finita.<br />

Notación. Sea (R, η) un dominio local con derivada universal finita, pongamos<br />

(Ω 1 R) ∗ :=<br />

˜Ω 1 R|k<br />

T ( ˜ Ω 1 R|k ),<br />

donde T ( ˜ Ω 1 R|k ) es el módulo torsión y definamos d∗ : A → (Ω 1 R )∗ por medio<br />

de d ∗ = π ◦ d.<br />

Observación. Usaremos las definiciones de dimensión de Krull, altura, secuencia<br />

regular, profundida, anillo Cohen Macaulay, según se presentan en<br />

[Eis] o [Mats] y se detallan a continuación.<br />

Definición 1.16. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplemente<br />

la dimensión de un anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de las<br />

longitudes de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n si<br />

existe una cadena de ideales primos<br />

P0 P1 · · · Pn<br />

y ninguna cadena es de longitud es mayor. Una Cadena de ideales de longitud<br />

n se define como una secuencia<br />

de ideales dos a dos disjuntos.<br />

I0 I1 · · · In<br />

Definición 1.17. Sea P un ideal primo de R. Definimos la altura ht(P )<br />

como el supremo de la longitud de las cadenas de primos<br />

P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn = P.<br />

Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mínimo de<br />

las alturas de los primos P que contienen a I.<br />

Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej. [Eis]) a la altura del<br />

ideal I la llaman codimensión.<br />

Si el anillo (R, η) es local entonces<br />

dim(R) = ht(η).<br />

Teorema 1.18. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primos<br />

que contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.<br />

6


Prueba. [Eis, Teorema 10.2]. <br />

Definición 1.19. Sea (R, η) un anillo local. La sucesión x1, . . . , xn se denomina<br />

una secuencia de parámetros si sólo si<br />

η k ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,<br />

y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia se llama secuencia<br />

regular de parámetros -Ver [ Eis., Corolario 10.7, pág 242]-.<br />

Definición 1.20. Sea (R, η) un anillo local. Una sucesión {x1, . . . , xn} se denomina<br />

secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación<br />

xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉<br />

definida por a ↦→ xi · a, es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además<br />

〈x1, . . . , xn〉 = R.<br />

Definición 1.21. Sea (R, η) un anillo local, por definición la máxima longitud<br />

de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad del<br />

anillo R y se denota como depth(R).<br />

Definición 1.22. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La máxima longitud de<br />

secuencias regulares de R contenidas en I se define como profundidad(I).<br />

Definición 1.23. Un anillo (R, η) local es llamado Cohen Macaulay si<br />

sólo sí profundidad(R) = dim(R). Ver [Mats.,16.A., Pág 103].<br />

Proposición 1.24. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entonces<br />

para todo ideal I tenemos<br />

ht(I) + dim(R/I) = dim(R). (1.2)<br />

Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)]. <br />

Definición 1.25. Sea k un cuerpo de característica cero. Sea (R, η) un anillo<br />

local de un punto cerrado suave y tal que R/η = k. Es decir<br />

R = (k[x1, . . . , xn]/I)η 1 ⋍ k[x1, . . . , xn]η1/Iη1,<br />

con η1 = (x1 − a1, . . . , xn − an). Este anillo es un ejemplo de un anillo regular<br />

loca esencialmente de tipo finito. (r.l.e.t.f.) Nosotros lo llamaremos r.l.e.t.f.<br />

7


Observación. En esta tesis trabajaremos exclusivamente con los anillos<br />

r.l.e.t.f, y sus cocientes. Notemos la forma especial que exigimos sobre el<br />

maximal η1. En el caso que k sea algebraicamente cerrado esta condición<br />

se da automáticamente. Como sus elementos son imágenes de polinomios<br />

entonces abusando del lenguaje también los llamaremos polinomios.<br />

Ejemplo 1.26. El anillo (R, η) = (k[x1, · · · , xm](x1,...,xm), η) es r.l.e.t.f.<br />

Observación. Una manera de caracterizar los anillos r.l.e.t.f. es la que presentamos<br />

a continuación :<br />

Teorema 1.27. Sea S = k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios sobre un cuerpo<br />

k, sea I ⊂ S un ideal y R = S/I. Sea P un ideal primo de S que contiene a I<br />

cuyo cuerpo residual k(P ) = K(S/P ) es separable sobre k y sea c = ht(IP ) ⊂<br />

SP . RP es regular local si y sólo si Ω1 R/k es localmente libre en P de rango<br />

r − c.<br />

Prueba.[Eis, Corolario 16.21] <br />

Nosotros requerimos la siguiente versión.<br />

Teorema 1.28. Sea (R, η) un anillo local e.t.f. El anillo (R, η) es regular<br />

local sií Ω1 R es libre de rango igual a la dimensión de Krull del anillo R.<br />

Prueba. Se sigue del Teorema 1.27.<br />

Observación. Como el módulo Ω 1 R es libre, usando una base de Ω1 R definiremos<br />

en primer lugar la matriz jacobiana de F = (f1, . . . , fr) y luego su ideal<br />

jacobiano. La independencia de la definición del ideal jacobiano de la base<br />

elegida se demuestra en el Apéndice. La definición de ideal jacobiano que<br />

presentamos en el anillo R depende de los representantes, y del número de<br />

representantes del ideal I (ver Apéndice).<br />

También demostramos que los elementos dx1, . . . , dxm generan una base<br />

de Ω 1 R si x1, . . . , xm forman una secuencia regular de parámetros.<br />

Definición 1.29. Sea R un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉, F = (f1, . . . , fr)<br />

con r > 0 y c = ht(I). Sea e1, . . . , em una base de Ω1 R donde m = dim(R).<br />

Definamos la matriz jacobiana de F en la base e1, . . . , em como Jac(F ) =<br />

8


(fi,j), donde dfj = Σ m i=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano JF es el ideal<br />

generado por los menores c × c de Jac(F )<br />

<br />

= (fi,j).<br />

<br />

En particular, si F = f,<br />

∂f<br />

y R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm) entonces Jf =<br />

.<br />

∂xi<br />

i=1,...,m<br />

Observación. Notemos que de la definición del ideal jacobiano se tiene que<br />

si f ∈ R y df = m<br />

i=1 fiei entonces Jf = 〈f1, . . . , fm〉 . Más aún df ∈ Jf · Ω 1 R .<br />

Observación. Una propiedad que usaremos más adelante es el hecho que<br />

todo menor M de orden r × r de la matriz Jac(F ) esta contenido en el ideal<br />

JF (ver Corolario 1.40). Para demostrar esta afirmación es suficiente notar<br />

que c ≤ r (ver Teorema 1.18), y que los menores de orden r son combinación<br />

lineal de los menores de orden c de (fi,j).<br />

Observación En el caso particular que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), I =<br />

(f1, . . . , ft) y la base elegida sea dx1, . . . , dxm tenemos que la matriz jacobiana<br />

de I coincide con la matriz jacobiana que se define en [Hart.,Cap 1, & 5]. Más<br />

aún, si definimos I(Y ) := {f ∈ k[x1, . . . , xn] : f(x) = 0 para todo x ∈ Y },<br />

como el ideal de Y, donde Y = Z(a), entonces podemos definir :<br />

Definición 1.30. Sea Y una variedad afín y {f1, . . . , ft} generadores de ideal<br />

de Y . La variedad Y es no singular en P ∈ Y si el rango de la matriz ( ∂fi<br />

∂xj )<br />

en P es m − r, donde r es la dimensión de Y. (ver [Hart., & 5]).<br />

Podemos asumir que P es el origen. La condición que la matriz ( ∂fi<br />

∂xj )<br />

tenga rango c := m − r equivale a que al menos un menor de orden c × c sea<br />

unidad en k[x1, . . . , xm](x1,...,xm).<br />

Por lo anterior el punto P = 0 es singular si JF ⊆ η = 〈x1, . . . , xm〉 . Es<br />

decir todo menor de orden c × c de JF al ser evaluado en P = (0, . . . , 0) es<br />

cero.<br />

Ejemplo 1.31. Sea f = x 2 + y 3 + z y g = x 4 z + y en k[x, y, z](x,y,z), entonces<br />

(k[x, y, z]/ 〈f, g〉)(x,y,z) es regular local.<br />

Observación. Los ejemplos anteriores se pueden deducir de un hecho conocido<br />

en geometría algebraica : Sea Y = Z(a) una variedad e I(Y ) el ideal<br />

de esta. Se prueba que I(Y ) = √ a. Sea F = (f1, . . . , ft), donde I(Y ) =<br />

9


〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano de F no se anula en un punto p de Y si sólo si el<br />

anillo de gérmenes de funciones regulares de Y en p<br />

Op,Y := {〈U, f〉 : U es un abierto en Y, f es una función regular}<br />

es un anillo regular local. A continuación presentamos brevemente los elementos<br />

que intervienen en esta afirmación. Por definición una aplicación<br />

f : X → k es regular si para todo punto p ∈ Y existe un abierto U con<br />

p ∈ U ⊂ Y, y polinomios g, h ∈ k[x1, . . . , xn] tal que h es no nulo en U y<br />

f = g<br />

h . Aquí interpretamos los polinomios como funciones de kn a k. Diremos<br />

que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . El elemento 〈U, f〉 es<br />

una clase de equivalencia, donde dos pares (U, f) y (V, g) son equivalentes si<br />

sólo si f = g en U ∩ V. Gracias a [Hart, Teorema I.3.2] se puede identificar<br />

Op,Y con (k[x1, . . . , xn]/I(Y ))P . Por otro lado se prueba que en el anillo<br />

(k[x1, . . . , xn])P se cumple que c = ht(I(Y )), donde dim(Op,Y ) = n − c.<br />

Finalmente presentamos formalmente la afirmación que realizamos al inicio<br />

de la observación :<br />

Teorema 1.32. Sea Y ⊂ k n una variedad afín. Sea p ∈ Y un punto de Y.<br />

Entonces Y es no singular en p si sólo sí el anillo local Op,Y es un anillo<br />

regular local.<br />

Prueba. [Hart, Teorema 5.1]. <br />

Ejemplo 1.33. Usaremos el teorema para verificar que el punto (0, 0) es<br />

singular para f(x, y) = x 2 + y 3 en el anillo (k[x, y](x,y), η). El polinomio f<br />

es irreducible. A partir de aquí se prueba que 〈f〉 = 〈f〉 . Por lo tanto si<br />

tomamos Y = Z(f) entonces I(Y ) = I(Z(f)) = 〈f〉 = 〈f〉 .<br />

La dimensión del anillo (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) es uno. Si evaluamos la matriz<br />

jacobiana de f en el punto (0, 0) obtenemos que el rango de esta es cero.<br />

Por lo tanto usando el Teorema 1.32 obtenemos que (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) no es<br />

regular local.<br />

Ejemplo 1.34. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f. Entonces R es un dominio -ver<br />

Lema A.6 o Corolario 10.14 de [Eis.]- y Ω1 R es un R-módulo libre finitamente<br />

generado por el Teorema 1.28. Entonces Ω1 es un R-módulo finito universal<br />

R|k<br />

con derivada finita, es decir<br />

˜Ω 1 R|k = Ω1 R|k .<br />

10


Como Ω1 R es libre, si x ∈ T (Ω1R ) (el módulo torsión de Ω1R ) entonces<br />

x = (x1, . . . , xm) donde x1, . . . , xm ∈ R, y existe un λ ∈ R no nulo tal que<br />

λ · x = 0.<br />

Esta última igualdad equivale a tener λ·xi = 0 para todo i = 1, . . . , m. Como<br />

R es un dominio y λ es no nulo entonces xi = 0 para todo i = 1, . . . , m y<br />

entonces<br />

(Ω 1 R) ∗ = Ω 1 R,<br />

y d ∗ = d. Notemos también que d cumple la propiedad universal para todo<br />

módulo, en particular la cumple para los módulos finitamente generados.<br />

Observación. A continuación presentaremos una relación entre la clausura<br />

integral de un ideal I, denotada por I, y la derivada universal finita.<br />

Definición 1.35. Un elemento x esta en la clausura integral de un ideal<br />

I si satisface una ecuación x n + a1x n−1 + . . . + an = 0 con al ∈ I l para<br />

l = 1, . . . , n (ver [H-S, & 2.]).<br />

Es obvio de la definición de clausura integral de un ideal que I ⊂ √ I. En<br />

particular J f ⊂ Jf.<br />

Proposición 1.36. Sea (R, η) y k como antes y J ⊂ R un ideal propio de<br />

R. Si r ∈ η verifica que dr ∈ J · Ω1 R , entonces r ∈ J.<br />

Prueba. [HS, Corolario 2.2]. <br />

Corolario 1.37. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, r ∈ η. Si d(r) es un elemento<br />

en J · Ω1 R entonces r ∈ J.<br />

Prueba. En efecto, del Ejemplo 1.34 obtenemos que (Ω 1 R )∗ = Ω 1 , y d ∗ = d.<br />

La Proposición anterior nos da r ∈ J. <br />

Corolario 1.38. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y f ∈ η. Entonces f ∈ Jf.<br />

Prueba. Notemos que<br />

df ∈ Jf · Ω 1 R :=<br />

<br />

finita<br />

λ · ω : ω ∈ Ω 1 R; λ ∈ Jf<br />

11<br />

<br />

.


En efecto, como df = Σi=1,...,mfidxi en la base dxi con i = 1, . . . , m y el ideal<br />

jacobiano Jf es generado por fi, entonces df ∈ Jf · Ω 1 R .<br />

Del Corolario 1.37 obtenemos que f ∈ Jf ⊂ Jf. <br />

Proposición 1.39. Sean K ⊂ L cuerpos de característica cero y {xλ} λ∈Λ ⊂<br />

L una colección de elementos. Entonces {dxλ} λ∈Λ es una base de Ω 1 L|K como<br />

un espacio vectorial sobre L si sólo si {xλ} λ∈Λ es una base de transcendencia<br />

de L sobre K.<br />

Prueba. [Eis, Proposición 16.14]. <br />

Una aplicación de la Proposición anterior se manifiesta en el siguiente<br />

Corolario.<br />

Corolario 1.40. Sea (R, η) = (k [x1, . . . , xm] (x1,...,xm) , η), y {f1, . . . , fr} ⊂ R,<br />

P un ideal primo con JF ⊂ P. Supongamos que fi /∈ P para todo i. Entonces<br />

en T = Q( R<br />

P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no<br />

son algebraicamente independientes sobre k.<br />

Prueba. El grado de transcendencia de R es m. Si r > m entonces los<br />

elementos {f1, . . . , fr} en Q(R) no son algebraicamente independientes sobre<br />

k. Por lo tanto los elementos f1, . . . , fr en Q( R)<br />

tampoco son algebraicamente<br />

P<br />

independientes sobre k.<br />

Supongamos que r ≤ m. Sea W = T m y L : W → Ω1 T definido por<br />

L(ej) = dxj. Si ponemos<br />

vj = (∂fj/∂x1, . . . , ∂fj/∂xm)<br />

entonces L(vj) = dfj. También notemos que los vj para j = 1, . . . , r no son<br />

l.i, pues el jacobiano de la matriz de los vectores vj en la base canónica es<br />

siempre cero ya que todo menor M de orden r × r de la matriz (∂fj/∂xi) (de<br />

orden m × r) es un elemento de JF y JF ⊂ P. Es decir M = 0 en R/P ⊂ T.<br />

Por lo tanto existen λj ∈ T tal que λjvj = 0. Si aplicamos L tenemos que<br />

<br />

j λjdfj = 0.<br />

Por la Proposición 1.39 ello significa que los {f1, . . . , fr} no son algebraicamente<br />

independientes sobre k. <br />

Observación. Una generalización del Corolario anterior para álgebras r.l.e.t.f.<br />

se presenta a continuación :<br />

12


Corolario 1.41. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal<br />

primo con JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces<br />

en T = Q( R<br />

P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no<br />

son algebraicamente independientes sobre k.<br />

Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base con la que se definió el ideal jacobiano<br />

y<br />

m<br />

dfj =<br />

i=1<br />

fi,jdxi<br />

la representación de dfj en esta base. Si ponemos vj = (f1,j, . . . , fm,j) y<br />

definimos L : W → Ω 1 T como L(ej) = dxj la demostración del Corolario 1.40<br />

permanece válida. <br />

A continuación mostraremos un ejemplo donde la situación planteada<br />

anteriormente sucede.<br />

Ejemplo 1.42. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η, ) y f = x 2 + y 2 , g = x 2 − y 2 .<br />

Entonces Jf,g = 〈xy〉 ⊂ P = 〈x〉 y el ideal primo P no contiene a f ni a g.<br />

Más aún si tomamos el polinomio Q(w, z) = w + z entonces Q(f, g) = 0 en<br />

T = Q(R/P ) el cuerpo de fracciones de R/P.<br />

Observación. Bajo las hipótesis del Corolario 1.41 hemos obtenido un polinomio<br />

no nulo Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] tal que Q(f1, . . . , fr) = 0 en el<br />

cuerpo T. Como Q(f1, . . . , fr) ∈ R/P de la inclusión natural R/P ↩→ T es<br />

claro que P (f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P. Esta relación, P (f1, . . . , fr) = 0<br />

en el anillo R/P, será una de las más importantes en la que se basará la<br />

mayoría de los resultados que presentaremos en los demás capítulos.<br />

Entre otras estructuras que se le proporcionan al complejo de Hochschild<br />

se encuentra el producto barajado que definimos a continuación.<br />

Definición 1.43. Sea Sn el grupo simétrico. Una (p, q) baraja es σ ∈ Sp+q<br />

tal que σ(1) < . . . < σ(p); σ(p + 1) < . . . < σ(p + q)<br />

Definición 1.44. Definamos el producto barajado<br />

∗ = shp,q : Cp(A) ⊗ Cq(A) → Cp+q(A)<br />

(a0, a1, . . . , ap) ∗ (a ′ 0, ap+1, . . . , ap+q) =<br />

13


σ<br />

<br />

|σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , ap, ap+1, . . . , ap+q) :=<br />

σ<br />

|σ|(a0a ′ 0, a σ −1 (0), . . . , a σ −1 (p), a σ −1 (p+1), . . . , a σ −1 (p+q)),<br />

donde σ recorre sobre las (p, q) barajas, y |σ| es el signo de la permutación,<br />

ver [Lod, Definición 4.2.1].<br />

Definición 1.45. Una k−álgebra se denomina no negativamente graduada si<br />

A = ⊕ ∞ i=0Ai y x·y ∈ Ai+j para x ∈ Ai e y ∈ Aj. Si además x·y = (−1) |x||y| y·x<br />

entonces A se denomina conmutativa graduada.<br />

Proposición 1.46. El borde de Hochschild cumple<br />

b(X ∗ Y ) = b(X) ∗ Y + (−1) |X| X ∗ b(Y )<br />

Prueba. [Lod, Proposición 4.2.2]. <br />

Definición 1.47. Una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G) se define<br />

como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que cumple la<br />

regla de Leibniz<br />

∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)<br />

y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0.<br />

De la definición anterior tenemos la siguiente proposición<br />

Proposición 1.48. Si A es una álgebra conmutativa entonces (C(A), ∗, b)<br />

es un ADG y HH(A) es un álgebra conmutativa en el sentido graduado, es<br />

decir xy = (−1) |x||y| yx<br />

Prueba. [Wei, Proposición 9.4.2]. <br />

Corolario 1.49. Existe un morfismo de anillos graduados<br />

ψ : Λ ∗ Ω 1 −→ HH∗(A),<br />

dado por ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)]. Si Q ⊂ k entonces<br />

la aplicación es inyectiva.<br />

14


Prueba. [Wei, Corolario 9.4.4]. <br />

La siguiente definición nos indica bajo que condiciones el morfismo ψ es<br />

un isomorfismo.<br />

Definición 1.50. Diremos que un álgebra conmutativa unital A es suave si<br />

el ideal I = Ker(µ : A ⊗ A → A) es generado por una secuencia regular en<br />

el anillo local (A ⊗ A) (µ) −1 (η), para todo ideal maximal η en A.<br />

Observación. Como el álgebra A es proyectiva como k−módulo tenemos<br />

(A, A). Si además el álgebra es suave entonces I<br />

que HHn(A) = T orA⊗Aop n<br />

es generado localmente por una secuencia regular. El complejo de Koszul de<br />

esta secuencia es una resolución de A como A ⊗ Aop−módulo. Si usamos esto<br />

dos hechos obtenemos que HH∗(A) = Ω∗ A .<br />

La formalización del comentario anterior se refleja en siguiente teorema.<br />

Teorema 1.51. (Teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg.) Sea<br />

A una álgebra conmutativa e.t.f. sobre un cuerpo k. Si A es suave entonces<br />

ψ : Ω ∗ A → HH∗(A)<br />

es un isomorfismo de álgebras graduadas.<br />

Prueba. Ver [HKR]. <br />

Proposición 1.52. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f entonces R es suave<br />

Prueba. Ver [Apéndice, Proposición A.58]. <br />

Corolario 1.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. entonces<br />

HH∗(R) = Ω ∗ R.<br />

Prueba. Se sigue del Teorema 1.51 y Proposición 1.52 <br />

Proposición 1.54. Sea R un anillo local noetheriano conteniendo un cuerpo<br />

k. Si R es suave sobre k entonces R es un anillo regular local.<br />

Prueba. Ver [Wei, Teorema 9.3.11]. <br />

15


1.2. Homología Cíclica.<br />

Presentamos la definición así como las propiedades básicas de la homología<br />

cíclica. Un hecho que queremos destacar es el cálculo de la homología<br />

cíclica del álgebra graduada k[x]/〈x m+1 〉. En los dos libros básicos [Lod] y<br />

[Wei] que citamos así como en [Vi] se encuentra planteado solamente.<br />

Existen diferentes maneras de definir la homología Cíclica, nosotros partiremos<br />

de un complejo simplificado.<br />

Definición 1.55. Sea A una k álgebra unital. Definimos<br />

B : A ⊗ A ⊗n −→ A ⊗ A ⊗n+1<br />

por medio de B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ ai−1) −<br />

(−1) (i−1)n (ai−1 ⊗ 1 ⊗ ai ⊗ . . . ⊗ an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ . . . ⊗ ai−2).<br />

Se verifica que B ◦ B = 0 y B ◦ b + b ◦ B = 0.<br />

Definición 1.56. Sea el bicomplejo B(A)<br />

.<br />

<br />

A ⊗ A⊗2 <br />

.<br />

<br />

B<br />

A ⊗ A <br />

.<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

b<br />

A ⊗ A<br />

B<br />

A<br />

.<br />

b<br />

<br />

A<br />

Definimos la homología Cíclica de A como HCn(A) = Hn(T ot(B(A), B + b)).<br />

Observación. Es claro que la homología de las columnas de B(A) calculan<br />

la homología de Hochschild de A. Si reemplazamos las columnas del complejo<br />

B(A) por el complejo de Hochschild reducido obtenemos que la homología<br />

16<br />

A


cíclica es isomorfa a la homología del bicomplejo B(A)<br />

B(A) : .<br />

<br />

b<br />

A ⊗ A 2<br />

b<br />

<br />

A ⊗ A<br />

<br />

A<br />

<br />

<br />

B<br />

B<br />

.<br />

b<br />

<br />

A ⊗ A<br />

donde A = A/k y B(a0, . . . , an) = (−1) in (1 ⊗ ai ⊗ . . . an ⊗ a0 ⊗ . . . ai−1).<br />

De manera más precisa tenemos el siguiente Teorema.<br />

Teorema 1.57. Sea A una k−álgebra unital entonces<br />

b<br />

<br />

A,<br />

HCn(A) = Hn(T ot(B(A))).<br />

Prueba. Como el morfismo de álgebras π : A → A se extiende a un morfismo<br />

de bicomplejos π : B(A) → B(A) y las columnas de B(A) y B(A) son<br />

quasi isomorfas entonces las homologías de los complejos B(A) y B(A) son<br />

isomorfas. <br />

Ejemplo 1.58. Si A = k obtenemos HCn(k) es k en grado par y cero en<br />

grado impar. De manera general tenemos<br />

Proposición 1.59. Para toda k−álgebra conmutativa con unidad se cumple<br />

HC1(A) Ω1 A<br />

dA<br />

Prueba. [Lod, Proposición 2.1.14]. <br />

Teorema 1.60. Dado una k−álgebra A existe una secuencia exacta larga<br />

. . . <br />

HCn−1(A)<br />

<br />

HHn(A)<br />

<br />

I <br />

HCn(A)<br />

17<br />

.<br />

b<br />

<br />

A<br />

S <br />

HCn−2(A)<br />

B <br />

. . .


Prueba. Es suficiente tomar la secuencia exacta larga en homología de<br />

0<br />

<br />

(C∗(A), b)<br />

<br />

(CC∗(A), b + B)<br />

<br />

(CC∗−2(A), b + B)<br />

Observación. Es claro que si f : A → A ′ es un morfismo de k−álgebras entonces<br />

este induce un morfismo de complejos CCn(f) : CCn(A) → CCn(A ′ ).<br />

A continuación veremos la homología cíclica en el caso suave<br />

Lema 1.61. Sea A una k−álgebra conmutativa con unidad. Entonces el diagrama<br />

ψ<br />

<br />

HHn(A)<br />

Ω n A/k<br />

d<br />

<br />

Ω n+1<br />

A|k<br />

ψ <br />

B<br />

<br />

HHn+1(A),<br />

donde ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1 ⊗ rn)], es conmutativo.<br />

Prueba. [Wei, Lema 9.8.10]. <br />

Observación. La aplicación (1/n!)π de Loday Quillen induce un morfismo<br />

de bicomplejos.<br />

.<br />

<br />

A ⊗ A 2<br />

b<br />

<br />

A ⊗ A<br />

b<br />

<br />

A<br />

<br />

<br />

B<br />

B<br />

.<br />

<br />

A ⊗ A <br />

B<br />

b<br />

<br />

A<br />

.<br />

<br />

A<br />

(1/n!)π<br />

−→<br />

.<br />

<br />

Ω2 <br />

0<br />

<br />

Ω1 <br />

0<br />

<br />

Ω0<br />

d<br />

d<br />

.<br />

<br />

Ω1 <br />

<br />

Ω0 d<br />

.<br />

<br />

Ω0 <br />

0<br />

<br />

(1.3)<br />

En el caso suave usando el hecho de que ψ en cada columna induce un<br />

isomorfismo Ω n A HHn(A) (ver Teorema 1.51) tenemos :<br />

Teorema 1.62. Si A es un álgebra e.t.f suave sobre k entonces<br />

HCn(A) = Ωn A<br />

dΩ n−1<br />

A<br />

18<br />

⊕ H n−2<br />

DR (A) ⊕ . . .


Prueba. Basta tomar las homologías de los complejos totales en 1.3. <br />

Observación. Para ver algunos ejemplos más analizaremos la definición de<br />

la homología cíclica en el caso graduado.<br />

<br />

De la definición vemos que C(A) y CC(A) se descomponen en C(A) =<br />

i C(A)i y CC(A) = <br />

i CC(A)i, donde<br />

(A ⊗ A n )i = <br />

ij=i<br />

Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Ain.<br />

Lo que si es menos obvio es el Teorema que enunciamos a continuación.<br />

Teorema 1.63. Sea A un álgebra graduada unital sobre k ⊃ Q. Entonces la<br />

secuencia SBI se descompone en<br />

∀i ≥ 1.<br />

0<br />

<br />

HCn−1(A)i<br />

<br />

HHn(A)i<br />

I <br />

HCn(A)i S <br />

0,<br />

Prueba. [Wei, Teorema 9.9.1]. <br />

Continuemos con nuestro ejemplo.<br />

Ejemplo 1.64. Sea A = k[x]<br />

〈xm+1 , entonces por definición tenemos<br />

〉<br />

Ω 1 A =<br />

Ω 1 k[x]<br />

d(x m+1 ) + x m+1 · Ω 1 k[x]<br />

Como d(x m+1 ) = (m + 1)x m dx, usando el isomorfismo Ω 1 k[x]<br />

dad anterior es equivalente a<br />

Ω 1 A =<br />

k [x]<br />

〈x m 〉 ,<br />

.<br />

k [x] , la igual-<br />

y la aplicación d : A → Ω1 A quedaria definida como xk ↦→ kxk−1 . Para todo xk en Ω1 A con k < m podemos tomar (1/(k+1))xk+1 ∈ A no nulo, y tenemos que<br />

d((1/(k +1))xk+1 ) = xk . Entonces d(A) = Ω1 A . Por lo tanto de la Proposición<br />

1.59 obtenemos<br />

HC1(A) = Ω1 A<br />

dA<br />

19<br />

= 0.


Definamos los módulos HHn(A) ˜ := HHn(A)<br />

secuencias exactas<br />

0<br />

0<br />

<br />

HC0(A) ˜<br />

<br />

HH1(A) ˜<br />

<br />

HC1(A) ˜<br />

como HC1(A) = 0 se sigue que<br />

HHn(A0)<br />

y HCn(A) ˜ := HCn(A)<br />

. De las<br />

HCn(A0)<br />

<br />

HC1(A) ˜<br />

<br />

HH2(A) ˜<br />

<br />

HC2(A) ˜<br />

HC0(A) ˜ ˜ HC2(A) ˜ HH2(A) ˜ HH1(A).<br />

Debido que A0 = k entonces HHn(A0) = 0 para todo n > 0. Esto significa<br />

que ˜ HHn(A) = HHn(A) para todo n > 0. Por lo tanto<br />

HC0(A) ˜ ˜ HC2(A)k HH2(A) HH1(A).<br />

El isomorfismo ˜<br />

HC0(A) HH1(A) prueba que HC0(A) = HC(A0)⊕HH1(A).<br />

Debido a que HC0(A0) ⊕ HH1(A) y A = HH0(A) son espacios vectoriales<br />

de igual dimensión entonces HC0(A) HH0(A).<br />

De la secuencia<br />

0<br />

<br />

HC2(A) ˜<br />

<br />

HH3(A)<br />

0 <br />

HC3(A)k<br />

˜<br />

como dimk( ˜ HC2(A)) = dimk(HH2(A)) = dimk(HHn(A)) para todo n > 0<br />

entonces ˜ HC3(A) = 0.<br />

Admitamos como hipótesis inductiva que ˜ HCn(A) HHn(A) para n par<br />

y ˜ HCn+1 = 0. De la secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

HCn+1(A) ˜<br />

0 <br />

HHn+2(A) <br />

HCn+2(A) ˜<br />

como ˜<br />

HCn+1(A) = 0, por hipótesis inductiva, entonces HCn+2(A) HHn+2(A).<br />

Finalmente de la secuencia<br />

0<br />

<br />

HCn+2(A) ˜<br />

<br />

HHn+3(A)<br />

0 <br />

HCn+3(A) ˜<br />

como dimk( ˜ HCn+2(A)) = dimk(HHn+2(A)) = dimk(HHn+3) entonces ˜ HCn+3(A) =<br />

0. Esto finaliza la prueba de inducción. Como HC0(A) = HH0(A) de la<br />

ecuación<br />

HCn(A) = HCn(A0) ⊕ ˜ HCn(A)<br />

20<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

<br />

0,<br />

<br />

0<br />

<br />

0


para n ≥ 1 y el hecho que A0 = k se prueba que<br />

⎧<br />

⎪⎨ HH0(A) si n=0<br />

HCn(A) = HHn(A) ⊕ k si n es par<br />

⎪⎩<br />

0 si n es impar<br />

Definición 1.65. Dada la k−álgebra A, definamos el complejo periódico<br />

CP (A) : . . . . . .<br />

. . .<br />

<br />

<br />

A ⊗ A 2<br />

<br />

. . .<br />

<br />

A ⊗ A <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

. . . B<br />

b+d<br />

A ⊗ A<br />

B<br />

A<br />

<br />

A ⊗ A <br />

b<br />

<br />

A<br />

y la homología cíclica periódica HPn(A) = Hn(CP (A)).<br />

B<br />

b<br />

<br />

A<br />

B<br />

. . .<br />

<br />

A<br />

(1.4)<br />

Definición 1.66. Definamos el complejo periódico negativo, al cual denotaremos<br />

como CN(A), de la siguiente forma<br />

CN(A) : . . . . . .<br />

. . .<br />

<br />

<br />

. . .<br />

A ⊗ A 2<br />

<br />

<br />

B<br />

B A ⊗ A<br />

. . .<br />

<br />

<br />

A ⊗ A <br />

b<br />

<br />

A<br />

B<br />

b<br />

<br />

A ⊗ A<br />

y la homología cíclica negativa como HNn(A) = Hn(CN(A)).<br />

B<br />

21<br />

b<br />

<br />

A<br />

<br />

B<br />

b<br />

<br />

A


Observación. De las definiciones anteriores tenemos las secuencias exactas<br />

cortas<br />

0<br />

0<br />

<br />

CN∗(A)<br />

<br />

CN∗+2(A)<br />

<br />

CP∗(A)<br />

<br />

CN∗(A)<br />

<br />

CC∗−2(A)<br />

<br />

(C(A), b)<br />

las cuales proporcionan una secuencia exacta larga que relacionas sus homologías.<br />

1.3. Método de Cálculo<br />

Desarrollamos la teoría de la homología de Hochschild y cíclica para álgebras<br />

diferenciales graduadas. Este estudio nos lleva a conocer la homología<br />

cíclica y Hochschild para álgebras de la forma R/I, donde R es un anillo<br />

r.l.e.t.f. e I es un ideal de tipo interseción completa. Presentamos la definición<br />

de un álgebra diferencial graduada, y calculamos el primer módulo de diferenciales<br />

de Kähler graduado para álgebras de la forma ∧V, y R ⊗ ∧V donde<br />

V es un espacio vectorial graduado. Finalmente desarrollamos las herramientas<br />

necesarias para poder demostrar una versión graduada del Teorema de<br />

Hochschild Kostant Rosenberg, presentamos un bosquejo de la demostración<br />

de la descomposición de Hodge de la homología de Hochschild y cíclica. Esta<br />

decomposición se realiza de la siguiente manera : El complejo cíclico de R/I<br />

se reemplaza por el complejo cíclico de R ⊗ ∧(V ), que es el complejo cíclico<br />

de (T (R ⊗ ∧(V )), ∂, b, B). Este es quasiisomorfo a un complejo de la forma<br />

(ξ, δ, 0, β). El complejo cíclico y de Hochschild de este se descomponen en<br />

ciertos complejos ξ j<br />

j+k y ξj que son quasiisomorfos a Lj y Dj. De aquí se<br />

sigue que estos complejos calculan la homología cíclica y de hochschild del<br />

álgebra R/I.<br />

Observación. Recordemos que una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G)<br />

se define como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que<br />

cumple la regla de Leibniz<br />

∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b)<br />

y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0. Entre los ejemplos que nos interesa se<br />

encuentra el siguiente<br />

22<br />

<br />

0,<br />

<br />

0,


Ejemplo 1.67. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal. Definamos<br />

N = ⊕ r i=1R · ei y el complejo<br />

K(f1, . . . , fr) = ∧N =<br />

r<br />

∧ p N,<br />

donde d(ei1 ∧ . . . ∧ eik ) = r j=1 (−1)j−1d(eij )ei1 ∧ . . . ∧ eij ∧ . . . ∧ eik , con<br />

d(eij ) = fj. El producto en K(f1, . . . , fr) se define como ω·η := ω∧η. También<br />

se prueba que el diferencial d cumple d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1) |ω| ω ∧ d(η).<br />

Observación. Notemos que si V = ⊕ r i=1k · ei entonces N = R ⊗ V y K ∼ =<br />

R ⊗ ∧V como álgebras graduadas. Más aún K(f1, . . . , fr) = ⊗ r i=1K(fi). A<br />

continuación presentaremos un teorema que será pieza fundamental en las<br />

propiedades que presentamos en el segundo Capítulo. Este Teorema se llama<br />

criterio de exactitud y es enunciado a continuación<br />

Teorema 1.68. Sea A un anillo noetheriano. Un complejo de longitud finita<br />

de módulos libres (de tipo finito)<br />

M : 0 M0<br />

p=0<br />

M1<br />

<br />

Mn<br />

<br />

. . . 0<br />

es exacto excepto posiblemente en el nivel 0 si al localizar en cada primo P<br />

de profundidad(P ) ≤ n − 1, MP es exacto salvo el nivel cero.<br />

Prueba. Corolario 1.4.14 de [BH]. <br />

Corolario 1.69. Sea<br />

M : 0<br />

<br />

0 M <br />

1 M <br />

. . . <br />

m M <br />

. . .<br />

un complejos de módulos libres f.g. y H i (MP ) = 0 para todo P con ht(P ) <<br />

m, entonces H i (M) = 0 para todo i < m<br />

Prueba. Se sigue del teorema anterior. <br />

Para ilustrar su uso presentamos la demostración del siguiente lema.<br />

Lema 1.70. Sea (R; η) es un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 donde<br />

{f1, . . . , fr} es una secuencia regular entonces H i (K(f1, . . . , fr), d) = 0 para<br />

todo i = m y H r (K(f1, . . . , fr)) = R/〈f1, . . . , fr〉.<br />

23


Prueba. La demostración se basa en el Criterio de Exactitud.<br />

Como K(f1, . . . , fr) es un complejo de módulos libres f.g de longitud r<br />

aplicamos el Teorema 1.68 cuando n = r.<br />

Sea P un primo tal que profundidad(P ) ≤ r−1. Como profundidad(I) =<br />

r, entonces P I. Es decir algún fi no esta en Pi. Sin perdida de generalidad<br />

podemos asumir que el elemento fr es unidad en el anillo RP .<br />

Como K(f1, . . . , fr) = r i=1 K(fi) entonces podemos escribir el complejo<br />

K(f1, . . . , fr) de la siguiente manera<br />

· · ·<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))2<br />

<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))1<br />

<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))0<br />

<br />

fr<br />

fr<br />

fr<br />

· · ·<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))2<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))1<br />

<br />

(K(f1, . . . , fr−1))0.<br />

Debido a que el elemento fr es unidad, al calcular los módulos de homología<br />

de las filas del complejo anterior obtenemos cero en todo nivel. Es decir el<br />

complejo K(f1, . . . , fr)P es exacto en RP . Por lo tanto, usando el criterio de<br />

exactitud obtenemos que el complejo H i (K(f1, . . . , fr)) = 0 para todo i = r.<br />

<br />

A continuación definimos la homología de Hochschild y la cíclica para<br />

álgebras diferenciales graduadas.<br />

Definición 1.71. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos<br />

en<br />

Cp,q(A) = (A ⊗ A ⊗p )q = ⊕Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Aip,<br />

donde la suma recorre las (p + 1)−tuplas (i0, . . . , ip) tal que i0 + . . . + ip = q,<br />

los morfismos<br />

n<br />

∂(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) = (−1) i0+...+ij−1ai0 ⊗ . . . ⊗ ∂(aij ) ⊗ . . . ⊗ aip,<br />

b(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) =<br />

j=0<br />

p<br />

j=0<br />

(−1) j ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aijaij+1 ⊗ . . . ⊗ aip+<br />

24


(−1) ip(i0+...+ip−1)+p aipai0 ⊗ . . . ⊗ aip−1.<br />

Observación. Se verifica que ∂ ◦ ∂ = 0, b ◦ b = 0, ∂ ◦ b − b ◦ ∂.<br />

Definición 1.72. Definamos el complejo de Hochschild del A.D.G (A, ∂)<br />

como el complejo total de<br />

<br />

T (A) : C20<br />

.<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

C21<br />

<br />

C22<br />

<br />

· · ·<br />

∂<br />

∂<br />

b<br />

b<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

C10<br />

<br />

C11<br />

C12<br />

<br />

−∂ −∂<br />

b<br />

b<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

C00<br />

<br />

C01<br />

C02. <br />

∂<br />

∂<br />

.<br />

· · ·<br />

· · ·<br />

Acá Cpq := Cp,q(A). La homología de Hochschild del A.D.G (A, ∂) se define<br />

como HHn(A, ∂) := Hn(T ot(T (A))).<br />

Definición 1.73. Definamos B : Cp,q(A) → Cp+1,q(A) como<br />

p<br />

B(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . . ⊗ aip) = (−1) e(j) 1 ⊗ aij ⊗ . . . aip ⊗ ai0 ⊗ . . . ⊗ aij−1 ,<br />

j=0<br />

donde e(j) = jp + p<br />

ih( <br />

ik).<br />

h=j<br />

k=h<br />

Observación. Se verifica que b ◦ B + B ◦ b = B ◦ ∂ − ∂ ◦ B = 0; y B ◦ B = 0.<br />

Definición 1.74. Definamos el complejo cíclico del A.D.G (A, ∂) como<br />

.<br />

<br />

T ot(T (A))2 <br />

b+d<br />

<br />

T ot(T (A))1<br />

b+d<br />

<br />

T ot(T (A))0.<br />

<br />

B<br />

.<br />

<br />

T ot(T (A))1 <br />

<br />

T ot(T (A))0<br />

25<br />

B<br />

.<br />

<br />

T ot(T (A))0


La homología cíclica del A.D.G (A, ∂) es por definición<br />

HCn(A, ∂) := Hn(T ot(T ot(T (A), b + ∂), B)).<br />

Observación. Generalizar la estructura anterior nos lleva a la siguiente<br />

definición.<br />

Definición 1.75. Dado el bicomplejo (Mp,q; b, d)<br />

M : .<br />

<br />

M10<br />

<br />

d<br />

.<br />

<br />

M11<br />

<br />

b<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

M00<br />

<br />

M01<br />

M02<br />

<br />

d<br />

Definimos HHn(M) = Hn(T ot(M), b + d).<br />

.<br />

<br />

M12<br />

<br />

· · ·<br />

· · ·<br />

Definición 1.76. Sean (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, con B ◦ B =<br />

B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo D<br />

.<br />

<br />

M2<br />

<br />

b+d<br />

<br />

B<br />

M1<br />

<br />

b+d<br />

<br />

M0<br />

.<br />

<br />

M1<br />

<br />

<br />

M0<br />

B<br />

.<br />

<br />

M0<br />

donde Mn = <br />

p+q=n Mp,q, B : Mn → Mn+1 y HCn(M) = Hn(T ot(D)).<br />

Observación. Veamos lo que sucede si b = 0. Para dimensiones bajas, el<br />

complejo D se expresa como<br />

26


.<br />

<br />

M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03<br />

<br />

d<br />

<br />

M20 ⊕ M11 ⊕ M02<br />

d<br />

<br />

M10 ⊕ M01<br />

<br />

d<br />

<br />

M00<br />

<br />

B<br />

.<br />

<br />

M20 ⊕ M11 ⊕ M02<br />

<br />

<br />

M10 ⊕ M01<br />

<br />

d<br />

<br />

M00<br />

.<br />

. . <br />

.<br />

<br />

M00<br />

Analizando los morfismos vemos que D se descompone en los complejos E 0 ∗,<br />

E 1 ∗ y E 2 ∗, . . . los cuales son<br />

.<br />

<br />

M02<br />

d<br />

<br />

M01<br />

d<br />

<br />

M00<br />

.<br />

<br />

M12<br />

<br />

<br />

M11<br />

<br />

<br />

M10<br />

<br />

B<br />

.<br />

d<br />

<br />

M02<br />

d<br />

<br />

M01<br />

d<br />

<br />

M00<br />

.<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

M22<br />

<br />

M12<br />

<br />

M02<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

d<br />

M21 M11 M01<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

d<br />

M20<br />

B<br />

M10 M00<br />

.<br />

. . .<br />

respectivamente. De aquí obtenemos que HC0(D) es la homología en nivel<br />

cero del primer complejo, HC1(D) resulta la suma de la homología de grado<br />

uno del primer complejo y cero del segundo complejo. Finalmente HC2(D)<br />

resulta la suma de la homología en grado dos del primer complejo, en grado<br />

uno del segundo y cero del tercer complejo. En general tenemos:<br />

T ot(D)n = <br />

i≥0 Mn−2i = <br />

<br />

i≥0<br />

, y como<br />

<br />

n−2i Mp,q<br />

Mn : Mn,0 ⊕ Mn−1,1 ⊕ Mn−2,2 ⊕ . . . ⊕ M2,n−2 ⊕ M1,n−1 ⊕ M0.n<br />

Mn−2 : 0 ⊕ Mn−2,0 ⊕ Mn−3,1 ⊕ . . . ⊕ M1,n−3 ⊕ M0,n−2 ⊕ 0<br />

Mn−4 : 0 ⊕ 0 ⊕ Mn−4,0 ⊕ . . . ⊕ M0,n−4 ⊕ 0 ⊕ 0<br />

27


entonces T ot(D)n = <br />

p+q=n i≥0 Mp−i,q−i<br />

<br />

. Por lo tanto, si definimos<br />

Ep q := <br />

i≥0 Mp−i,q−i tenemos que (Ep ∗, B + b) es un bicomplejo. En efec-<br />

to si (ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p<br />

q+1 entonces<br />

(B + d)(ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) =<br />

(dap,q+1+Bap−1,q, dap−1,q+Bap−2,q, . . . , dan−k−i,k+1−i+Ban−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p q .<br />

Mas aún T ot(D)n = <br />

p+q=n Ep q y HCn(M) = n p=0 Hn−p(Ep ∗).<br />

La afirmación anterior se refleja en el siguiente diagrama<br />

T otn+1 = E0 n+1⊕ E1 n⊕<br />

⊕ . . . ⊕<br />

<br />

T otn = E0 n⊕<br />

<br />

E1 n−1⊕<br />

E 2 n−1<br />

<br />

E2 n−2<br />

<br />

⊕ . . . ⊕<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

T otn−1 = E0 n−1⊕ E1 n−2 E2 n−3 ⊕ . . . ⊕ 0<br />

el cual en cada sumando se escribe como<br />

E n−k<br />

k+1<br />

: Mn−k,k+1<br />

<br />

Mn−k,k<br />

<br />

Mn−k−1,k<br />

<br />

Mn−k−1,k−1<br />

<br />

Mn−k−2,k−1<br />

<br />

Mn−k−2,k−2. <br />

E n+1<br />

0<br />

Con ello vemos en la definición anterior que si b = 0, la homología cíclica<br />

se descompone en suma de la homología de ciertos complejos (E p ∗, d + B). La<br />

homología de Hochschild tiene una descomposición similar.<br />

Definición 1.77. Dado (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, donde B ◦ B =<br />

B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo negativo CN<br />

28<br />

<br />

0


. . . .<br />

<br />

<br />

. . . <br />

M3<br />

<br />

M2<br />

B B<br />

. . .<br />

<br />

<br />

M1<br />

<br />

d+b<br />

<br />

M0<br />

B<br />

B<br />

d+b<br />

<br />

M2<br />

<br />

B<br />

d+b<br />

<br />

M0<br />

.<br />

d+b<br />

<br />

M0<br />

y la homología como HN∗(M) := H∗(T ot(CN)) como la homología cíclica<br />

negativa.<br />

Definición 1.78. Dado el bicomplejo (Mp,q, b, d) y B como en la Definición<br />

1.76 definamos los complejos Lj de la siguiente manera<br />

Mj,0<br />

<br />

d<br />

Mj,1<br />

d<br />

d<br />

Mj,2<br />

<br />

d<br />

Mj,∗<br />

<br />

y el bicomplejo (Mp,q, d, B) como<br />

<br />

<br />

<br />

. . . B<br />

dd<br />

M2,1<br />

. . . d<br />

· · ·<br />

.<br />

B<br />

.<br />

d<br />

<br />

M1,1<br />

<br />

.<br />

d<br />

<br />

M0,1<br />

d<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B <br />

B<br />

M1,0<br />

<br />

B<br />

M0,0.<br />

. . . M2,0<br />

Finalmente definamos el complejo M ≥p como<br />

<br />

<br />

<br />

. . . B<br />

d<br />

Mp+2,1<br />

.<br />

B<br />

.<br />

B<br />

d<br />

<br />

Mp+1,1<br />

<br />

.<br />

d<br />

<br />

Mp,1<br />

d<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B <br />

B<br />

Mp+1,0<br />

<br />

B<br />

Mp,0.<br />

. . . Mp+2,0<br />

29<br />

B


Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición<br />

1.76. Si b = 0 entonces<br />

y<br />

HHn(M) =<br />

HCn(M) =<br />

n<br />

p=0<br />

n<br />

p=0<br />

Hn−p(Lp),<br />

Hn−p(E p ∗).<br />

Prueba. Se sigue del análisis anterior. <br />

Proposición 1.80. Sea (Mp,q, b, d) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Definición<br />

1.76. Si b = 0 entonces<br />

HNk(M) = <br />

Hk−2p(M p )<br />

p∈Z<br />

Prueba. Similar a la prueba anterior. <br />

Para grados bajos basta analizar la descomposición de la homología del<br />

siguiente complejo<br />

.<br />

· · · <br />

.<br />

<br />

· · · <br />

M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03<br />

<br />

d<br />

<br />

· · · <br />

M20 ⊕ M11 ⊕ M02<br />

<br />

<br />

· · · <br />

M10 ⊕ M01<br />

<br />

<br />

· · · <br />

M00<br />

.<br />

<br />

<br />

B<br />

.<br />

<br />

M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03<br />

<br />

30<br />

d<br />

<br />

M20 ⊕ M11 ⊕ M02<br />

<br />

d<br />

<br />

M10 ⊕ M01<br />

<br />

d<br />

<br />

M00<br />

B<br />

.<br />

<br />

M20 ⊕ M11 ⊕ M02<br />

<br />

M10 ⊕ M01<br />

d<br />

<br />

M00


La definición de la homología cíclica nos permite apreciar de manera<br />

inmediata la siguiente proposición<br />

Proposición 1.81. Dada (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada entonces<br />

existe una secuencia exacta larga<br />

. . . <br />

HHn(A, ∂)<br />

I <br />

HCn(A, ∂)<br />

S <br />

HCn−2(A, ∂) B <br />

. . .<br />

Prueba. Es suficiente tomar homología en la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

T ot(T (A))∗<br />

<br />

T ot(T ot(T (A)), B)∗<br />

<br />

T ot(T ot(T (A)), B)∗−2<br />

Observación. En el teorema que viene a continuación usamos la siguiente<br />

propiedad : si f es un morfismo de bicomplejos el cual restricto a cada columna<br />

o fila es un quasiisomorfismo entonces f induce un quasiisomorfismo de<br />

bicomplejos.<br />

Teorema 1.82. Sea f : (A, ∂) → (B, ∂) un quasiisomorfismo y k un cuerpo<br />

entonces f induce un isomorfismo en la homología de Hochschild y por lo<br />

tanto en la Cíclica.<br />

Prueba. En los complejos de Hochschild T (A), T (B) las filas resultan ser<br />

(A; ∂) ⊗ , (B; ∂) ⊗ , y f : (A, ∂) → (B, ∂) es un quasi isomorfismo. Entonces las<br />

fórmulas de Künneth indican que f : T (A) → T (B) establece un quasiisomorfismo<br />

a nivel de cada fila de los complejos T (A) y T (B). Esto significa<br />

que tenemos un quasiisomorfismo entre los bicomplejos T (A) y T (B) - de<br />

acuerdo a la observación anterior-. De aquí, del mismo modo, se prueba también<br />

que f establece un quasiisomorfismo entre la homología cíclica de A y<br />

B. <br />

A continuación desarrollaremos los conceptos necesarios para presentar<br />

una generalización del Teorema de H.K.R (Teorema 1.51) para el caso graduado.<br />

Definición 1.83. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos<br />

el (A, ∂)−módulo graduado<br />

Ω 1 (A,∂) :=<br />

A ⊗ A[−1]<br />

,<br />

N<br />

31<br />

.<br />

<br />

0


donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a| a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a〉, a, b homogéneos, A[−1] =<br />

⊕nA[−1]n y A[−1]n = An−1.<br />

Definición 1.84. Sea (A, ∂) una k−A.D.G y M un (A, ∂)−módulo graduado.<br />

Diremos que una aplicación k−lineal<br />

es una derivación graduada si<br />

D : (A, ∂) → M<br />

D(a · b) = (−1) |a| a · D(b) + (−1) |a||b| b · D(a).<br />

Ejemplo 1.85. Sea (A, ∂) una k−A.D.G. La aplicación<br />

d : (A, ∂) → Ω 1 (A,∂)<br />

definida como d(a) = 1 ⊗ a cumple la definición anterior. La relación que<br />

guarda ∂ y d es la siguiente : Si en A ⊗ A[−1] definimos el diferencial<br />

∂A⊗A(a ⊗ b) = ∂(a) ⊗ b − (−1) |a| a ⊗ ∂(b),<br />

y denotamos por δ la aplicación ∂ en el Ω(A,∂). Entonces<br />

d ◦ ∂(a) + δ ◦ d(a) = 1 ⊗ ∂(a) + δ(1 ⊗ a) = 1 ⊗ ∂(a) − 1 ⊗ ∂(a) = 0.<br />

Nota. Existen diferentes maneras de definir un derivada para el caso graduado;<br />

una que se encuentra en [Vi] y otra la de [Lod]. En esta parte se analiza<br />

la relación entre ellas; la que presentamos a continuación.<br />

Definición 1.86. Definamos la aplicación µ : A ⊗ A −→ A como µ(a ⊗ b) =<br />

a · b, e I = Ker(µ).<br />

Lema 1.87. Con la estructura de álgebra (a ⊗ b) · (x ⊗ y) = (−1) |b||x| ax ⊗ by,<br />

definida en A ⊗ A el ideal I es generado por a ⊗ 1 − 1 ⊗ a.<br />

Prueba. En efecto si µ( <br />

i ai ⊗ bi) = <br />

i ai · bi = 0, entonces<br />

<br />

(ai ⊗ bi − aibi ⊗ 1) = <br />

(ai ⊗ 1) · (1 ⊗ bi − bi ⊗ 1)<br />

i<br />

i<br />

<br />

A ⊗ A<br />

Lema 1.88. Sea A un A.D.G., entonces<br />

N ′<br />

I<br />

, donde N se define de<br />

I2 la siguiente manera N := 〈1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a〉.<br />

32


Prueba. Sea α : A ⊗ A −→ I<br />

definida como α(a ⊗ b) = a ⊗ b − ab ⊗ 1, de<br />

I2 las igualdades<br />

y<br />

α(c · (a ⊗ b)) = α(ca ⊗ b) = ca ⊗ b − cab ⊗ 1 = c · α(a ⊗ b)<br />

α(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a) =<br />

1 ⊗ ab − ab ⊗ 1 − (a ⊗ b − ab ⊗ 1) − (−1) |a||b| (b ⊗ a − ba ⊗ 1) =<br />

1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 = (1 ⊗ a − a ⊗ 1)(1 ⊗ b − b ⊗ 1),<br />

A ⊗ A<br />

tenemos que α induce una aplicación α :<br />

N ′<br />

I<br />

−→ a la cual también<br />

I2 A ⊗ A<br />

denominaremos α. Ahora tomemos β : A ⊗ A −→<br />

N ′ definida como<br />

β(a ⊗ b) = a ⊗ b. Del hecho<br />

−a ⊗ 1 = 1 ⊗ a · 1 − a ⊗ 1 − (−1) |a||1| 1 ⊗ a<br />

tenemos que β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = 1 ⊗ a. Por otro lado notemos que todo<br />

elemento x ∈ I2 se escribe como<br />

x = <br />

ri(1⊗ai−ai⊗1)r ′ i(1⊗bi−bi⊗1) = <br />

(−1) tirir ′ i(1⊗ai−ai⊗1)(1⊗bi−bi⊗1),<br />

i<br />

(ver Lema 1.87), pues<br />

y como<br />

(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)r ′ i(1 ⊗ bi − bi ⊗ 1) =<br />

(−1) |ai||r ′ i | r ′ i ⊗ aibi − (−1) |ai|(|r ′ i |+|bi|) r ′ ibi ⊗ ai − air ′ i ⊗ bi + air ′ ibi ⊗ 1 =<br />

(−1) |ai||r ′ i | r ′ i(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1)(1 ⊗ ai − ai ⊗ 1),<br />

β((1⊗a−a⊗1)(1⊗b−b⊗1)) = 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a + ab ⊗ 1 ∈ N ′<br />

y β es A lineal. Entonces hemos definido una aplicación β : I A ⊗ A<br />

−→<br />

I2 N ′ .<br />

Ahora como<br />

β ◦ α(a ⊗ b) = β(a ⊗ b − ab ⊗ 1) = a ⊗ b,<br />

y<br />

α ◦ β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = α(1 ⊗ a) = 1 ⊗ a − a ⊗ 1<br />

33<br />

i


concluimos la prueba del lema. <br />

Una de las propiedades que se preservan del caso no graduado es la siguiente<br />

Lema 1.89. El A−módulo Ω1 A tiene la propiedad universal : Dado cualquier<br />

derivación D : A → M existe un único f : Ω1 A → M morfismo de A módulos<br />

que hace que el diagrama<br />

conmute.<br />

A <br />

<br />

d <br />

D <br />

Ω1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∃!f<br />

A<br />

Prueba. Es suficiente definir f(a ⊗ b) = aD(b) <br />

Observación. notemos que el morfismo d1 : A → A⊗A<br />

N ′ definido como d1(a) =<br />

1 ⊗ a verifica la siguiente igualdad<br />

Definamos la aplicación<br />

De la definición tenemos que<br />

M<br />

d1(ab) = ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a).<br />

d ′ (a) = (−1) |a| d1(a).<br />

d ′ (ab) = (−1) |a|+|b| d1(ab) = (−1) |a|+|b| (ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a)) =<br />

(−1) |a| a(−1) b d1(b) + (−1) |b|+|a||b| b(−1) |a| d1(a) =<br />

es decir d ′ es una derivación.<br />

(−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |b|+|a||b| bd ′ (a)<br />

= (−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |a||b| bd ′ (a),<br />

Lema 1.90. La derivada d ′ : A → A⊗A<br />

N ′ cumple la propiedad universal : Para<br />

toda derivación graduada<br />

D : A → M<br />

34


existe un único morfismo f : A⊗A<br />

N ′<br />

conmute.<br />

A<br />

d ′<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

→ M, tal que el diagrama<br />

D <br />

A⊗A<br />

N ′<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∃!f<br />

Prueba. Definamos la aplicación f1 : A ⊗ A → M como f1(a ⊗ b) =<br />

(−1) b aD(b). Sea 1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a un generador de N ′ , entonces<br />

M<br />

f1(1 ⊗ ab − a ⊗ b − (−1) |a||b| b ⊗ a)<br />

= (−1) |a|+|b| D(ab) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) =<br />

(−1) |a|+|b| ((−1) |a| aD(b)+(−1) (|a|+1)|b| bD(a))−(−1) |b| aD(b)−(−1) |a||b|+|a| bD(a)<br />

= (−1) |b| aD(b) + (−1) |a||b|+|a| bD(a) − (−1) |b| aD(b) − (−1) |a||b|+|a| bD(a) = 0.<br />

Por lo tanto f1 induce una aplicación en el cociente<br />

f :<br />

A ⊗ A<br />

N ′<br />

→ M,<br />

más aún notemos que f ◦ d ′ (a) = D(a). Además es claro que f es única. <br />

Corolario 1.91. El módulo Ω 1 (A,∂)<br />

es isomorfo al módulo graduado A⊗A<br />

N ′ .<br />

Prueba. Se sigue directamente de la propiedad universal. <br />

Ejemplo 1.92. Sea V un espacio vectorial graduado y ∧V el álgebra simétrica<br />

libre en el sentido graduado, entonces Ω1 ∧V = ∧V ⊗ V [−1]. En efecto,<br />

definamos la aplicación<br />

como<br />

d(v1 · · · vn) =<br />

d : ∧V −→ ∧V ⊗ V [−1]<br />

n<br />

(−1) |v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)<br />

v1 · · · vi · · · vn ⊗ vi.<br />

i=1<br />

35


Sean x, y elementos en ∧V. Sin perdida de generalidad los podemos suponer<br />

que son de la forma x = v1 · · · vn y y = w1 · · · wn. Entonces<br />

n<br />

(−1) a v1 · · · vi · · · vn · y ⊗ vi +<br />

i=1<br />

d(v1 · · · vn · w1 · · · wn) =<br />

m<br />

(−1) b x · w1 · · · wj · · · wm ⊗ wi,<br />

donde a = |v1| + · · · + |vi−1| + |vi|(|vi+1| + · · · + |vn| + |y|) y b = |x| + |w1| +<br />

· · · + |wi−1| + |wi|(|wi+1| + · · · + |wm|). Como<br />

j=1<br />

v1 · · · vi · · · vn · y = (−1) |w|(|v|−|vi|) y · v1 · · · vi · · · vn,<br />

entonces la igualdad anterior se escribe<br />

(−1) |y||x| y · d(x) + (−1) |x| x · d(y).<br />

Esto indica que la aplicación d es una derivada.<br />

Por otro lado, para toda derivada D : A → M y x = v1 · · · vn elemento<br />

en ∧V se cumple que<br />

D(x) =<br />

n<br />

(−1) |v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)<br />

v1 · · · vi · · · vn · D(vi);<br />

i=1<br />

por lo tanto si definimos<br />

f : ∧V ⊗ V [−1] → M<br />

como f(x ⊗ v) = xD(v) obtenemos que f ◦ d = D. Esto significa que<br />

Ω 1 ∧V = ∧V ⊗ V [−1].<br />

Entre los ejemplos que nos interesa se encuentra el ADG (A ⊗ ∧V, ∂),<br />

en un caso particular, cuando A es un anillo r.l.e.t.f. En general tenemos el<br />

siguiente Lema.<br />

Lema 1.93. Sea A0 ⊗ ∧V un A.D.G., entonces<br />

d : A0 ⊗ ∧V −→ Ω 1 A := Ω 1 A0 ⊗ ∧V ⊕ A0 ⊗ Ω 1 ∧V<br />

dado por d(a ⊗ v) := da ⊗ v + a ⊗ dv es la derivada universal.<br />

36


Prueba. Notemos que Ω 1 A tiene una estructura de A módulo, pues Ω1 A0 y<br />

Ω 1 ∧V tienen estructura de A0 y ∧V módulos respectivamente, donde Ω 1 A0<br />

tiene grado uno. Ahora definamos la siguiente aplicación d : A −→ Ω 1 A como<br />

d(a ⊗ v) = da ⊗ v + a ⊗ dv.Veamos que d sea una derivación. En efecto, de<br />

las igualdades<br />

d(a ⊗ v · b ⊗ w) = dDR(ab) ⊗ vw + ab ⊗ dDR(vw) =<br />

d(a)b ⊗ vw + ad(b) ⊗ vw + ab ⊗ d(v)w + (−1) |v| ab ⊗ vd(w) =<br />

d(a)⊗v·b⊗w+a⊗d(v)·b⊗w+(−1) |v| a⊗v·d(b)⊗w+(−1) |v| a⊗v·b⊗d(w) =<br />

d(a ⊗ v) · b ⊗ w + (−1) |v| a ⊗ v · d(b ⊗ w);<br />

tenemos que d es una derivación según se define en [Vi]. A continuación<br />

veremos que d cumple la propiedad universal. En el diagrama<br />

A0<br />

<br />

D<br />

A<br />

<br />

id⊗1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

d <br />

<br />

<br />

d <br />

<br />

Ω1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∃!f<br />

<br />

1<br />

A0 Ω<br />

id⊗1 A<br />

claramente A0 ↩→ A y Ω1 A0 ↩→ Ω1A (pues k es un cuerpo). Es decir D induce<br />

una derivación d1 = D ◦ (id ⊗ 1) sobre A0 y por la propiedad universal<br />

existe una única aplicación f1 : Ω1 −→ M. El mismo análisis para ∧V nos<br />

A0<br />

proporciona f2 : Ω1 ∧V −→ M. Definamos f : Ω1A −→ M como f(adb ⊗ v) =<br />

f1(bda)v, f(a ⊗ dv) = af2(v), y como f(d(a) ⊗ v + a ⊗ d(v)) = f1d(a)v +<br />

af2d(v) = D(a ⊗ 1)v + aD(1 ⊗ v) = D(a ⊗ v), el diagrama<br />

A <br />

<br />

d <br />

D <br />

Ω1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

∃!f<br />

A<br />

conmuta. La unicidad se sigue del hecho que f restricto a cada uno de los<br />

sumandos es único por la propiedad universal de ΩA0 y Ω 1 ∧V respectivamente.<br />

M<br />

Lema 1.94. En ∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V existe un diferencial<br />

M<br />

δ : ∧V ⊗ ∧ p V ⊗ ∧V −→ ∧V ⊗ ∧ p−1 V ⊗ ∧V,<br />

37


con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el complejo<br />

· · · ∧ V ⊗ ∧pV ⊗ ∧V δ <br />

p−1 ∧V ⊗ ∧ V ⊗ ∧V<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

∧V ⊗ ∧V<br />

donde m(x ⊗ y) = xy, es exacto salvo posiblemente en el último nivel.<br />

Prueba. Sea (∧V, 0) y (∧V ⊗ ∧V, D) donde D(v) = v y D 2 = 0. Veamos<br />

que este último complejo es exacto. Si V = 0 no hay nada que probar. Por<br />

lo tanto podemos asumir que V = 0 y tomar una base (B, ≺) totalmente<br />

ordenada de V ; entonces en elementos de ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) definimos :<br />

Si |w| es impar h(w p ⊗ w) = w p+1 /(p + 1), y h(w p ) = 0. Si |w| es par<br />

h(w ⊗ w p ) = 0 y h(w p ) = w ⊗ w p−1 . De la definición anterior tenemos : Si<br />

|w| es impar,<br />

(hD + Dh)(w p ⊗ w) = Dh(w p ⊗ w) = D(w p+1 /(p + 1)) = w p ⊗ w<br />

pues hD(w p ⊗ w) = w p ⊗ w 2 = 0 (pues w 2 = 0) y<br />

(hD + Dh)(w p ) = hD(w p ) = h(pw p−1 ⊗ w) = w p .<br />

En el caso cuando |w| es par el análisis es similar. Si definimos<br />

A(w1, · · · , wr) = ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) ⊗ · · · ⊗ ∧(k · wr) ⊗ ∧(k · wr),<br />

para una secuencia estrictamente creciente w1 < · · · < wr, h se extiende a<br />

una aplicación<br />

h : ∧ ∗ V ⊗ ∧V −→ ∧ ∗+1 V ⊗ ∧V,<br />

definida como h(x1, · · · , xr) = (−1) |x1|+···+|xr|<br />

x1 ⊗ · · · ⊗ xr−1 ⊗ h(xr), pues<br />

∧ ∗ V ⊗ ∧V = <br />

<br />

<br />

<br />

A(w1, · · · , wr)<br />

De aquí obtenemos<br />

r≥1<br />

w1


(−1) αr−1<br />

r<br />

(−1) αi−1x1⊗· · ·⊗D(xi)⊗· · ·⊗h(xr) = x1⊗· · ·⊗xi⊗· · ·⊗hD(xr)+<br />

i=1<br />

x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ Dh(xr) = x1 ⊗ · · · ⊗ xi ⊗ · · · ⊗ xr;<br />

es decir el complejo (∧V ⊗ ∧V, D) es exacto. Ahora tomando el producto<br />

tensorial con (∧V, 0) obtenemos que (∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V, D) es una resolución<br />

de ∧V como ∧V ⊗ ∧V módulo; aquí denotamos el diferencial del producto<br />

tensorial como D.<br />

[ Definamos la aplicación (1⊗h)(x⊗y) = (−1) |x| x⊗h(y). De la definición<br />

obtenemos :<br />

(D(1⊗h)+(1⊗h)D) = D((−1) |x| x⊗h(y))+(1⊗h)((−1) |x| x⊗D(y)) = x⊗y]<br />

Definamos f : ∧V ⊗∧V ⊗∧V → ∧V ⊗∧V ⊗∧V por f(1⊗v⊗1) = 1⊗v⊗1,<br />

f(1⊗1⊗v) = v ⊗1⊗1−1⊗1⊗v, y f(v ⊗1⊗1) = v ⊗1⊗1; como f ◦f = Id<br />

entonces f establece un isomorfismo. Esto indica que δ = f −1 ◦ D ◦ f es una<br />

derivada. Esta derivada cumple<br />

δ(1 ⊗ v ⊗ 1) = f −1 ◦ D(f(1 ⊗ v ⊗ 1)) = f −1 ◦ D(1 ⊗ v ⊗ 1) =<br />

f −1 (1 ⊗ 1 ⊗ v) = v ⊗ 1 ⊗ 1 − 1 ⊗ 1 ⊗ v<br />

y δ(v ⊗ 1 ⊗ 1) = δ(1 ⊗ 1 ⊗ v) = 0<br />

[ notemos también que todo elemento x ⊗ y ⊗ z = (x ⊗ 1 ⊗ 1)(1 ⊗ y ⊗<br />

1)(1 ⊗ 1 ⊗ z)] <br />

Usando este último resultado podemos demostrar una versión graduada<br />

del teorema H.K.R para el álgebra ∧V. Para la definición del bicomplejo<br />

(ξ(∧V ), δ, β) nos remitimos al Ejemplo 2 de [BV].<br />

Teorema 1.95. Sea (∧V, ∂) una k−álgebra diferencial graduada y k un cuerpo<br />

de característica cero entonces<br />

definida como<br />

θp,q : Tp,q −→ ξp,q<br />

θp,q(a0 ⊗ · · · ⊗ ap) = (−1)i1+i3+···<br />

a0β(a1) · · · β(ap),<br />

p!<br />

donde ξp,q = (∧V ⊗ ∧ p V )p+q verifica :<br />

1)θ ◦ b = 0, θ ◦ ∂ = δ ◦ θ, y θ ◦ B = β ◦ θ.<br />

2)H(θ) : H∗(T ot(Tp,q), b + ∂) −→ H∗(T ot(ξ(A)), δ) es un isomorfismos.<br />

3)H(θ) : H∗(T ot(Tp,q), b + ∂, β) −→ H∗(T ot(ξ(A)), δ, β) es un isomorfismo.<br />

39


Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :<br />

p−1 <br />

θ(<br />

i=0<br />

θ ◦ b(a0 ⊗ a1 · · · ⊗ ap) =<br />

(−1) i (a0 ⊗ · · · ⊗ aiai+1 ⊗ · · · ⊗ ap) + (−1) p+αp apa0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ ap−1) =<br />

1<br />

p! (<br />

p−1 <br />

(−1) i+i1+i3+···<br />

a0 ⊗ β(a1) ⊗ · · · ⊗ β(aiai+1) ⊗ · · · ⊗ β(ap)+<br />

i=0<br />

(−1) p+αp apa0 ⊗ β(a1) ⊗ · · · ⊗ β(ap−1))<br />

donde αp = ip(i0 + · · · + ip−1). Sin perdida de generalidad podemos suponer<br />

que i es par, entonces<br />

((−1) (i−1)+i1+i3+···+ii−1+ii+ii+2+··· a0⊗β(a1)⊗· · ·⊗(β(ai−1)ai+(−1) ii−1 ai−1β(ai))⊗· · ·⊗β(ap))+<br />

((−1) i+i1+i3+···+ii−1+ii+2+··· a0⊗β(a1)⊗· · ·⊗(β(ai)ai+1+(−1) ii aiβ(ai+1))⊗· · ·⊗β(ap))<br />

De aquí se sigue que el primer término de la primera igualdad con el último<br />

término se cancelan consecutivamente. Analizando el caso i = p − 1 e i = p,<br />

obtenemos : Si p es par<br />

· · · + (−1) (p−1)+i1+i3+···+ip−1+ip a0β(a1) · · · (β(ap−1)ap + ap−1β(ap))+<br />

(−1) p+αp+i1+i3+···+ip−1 apa0β(a1) · · · β(ap−1) = 0,<br />

la razón de esta afirmación es que al permutar ap para tener apa0β(a1) · · · β(ap−1)<br />

en el primer sumando generamos el signo αp + ip(p − 1) el cual permite eliminar<br />

el signo de ip (pues p − 1 es impar) y tener un signo opuesto al del último<br />

sumando. El caso cuando p es impar es similar.<br />

Para θ ◦ ∂ = δ ◦ θ obtenemos<br />

θ ◦ ∂(a0 ⊗ · · · ⊗ ap) = θ( <br />

(−1) i0+···+ik−1a0 ⊗ · · · ⊗ ∂(ak) ⊗ · · · ⊗ ap) =<br />

k<br />

aquí analizaremos dos casos (obviando el término 1/p!) : Si k es par obtenemos<br />

la expresión :<br />

(−1) i0+···+ik−1 (−1) i1+i3+··· a0β(a1) · · · β(∂(ak)) · · · β(ap)<br />

40


como k − 1 es impar y β(∂(ak)) = −∂(β(ak)), la última expresión se puede<br />

escribir<br />

(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+··· a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).<br />

Si k es impar obtenemos<br />

(−1) i0+···+ik−1 (−1) i1+i3+···+(ik−1)+··· a0β(a1) · · · β(∂(ak)) · · · β(ap)<br />

como β(∂(ak)) = −∂(β(ak)) y k − 1 es par<br />

(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+···+(ik−1)+···+1 a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).<br />

Del análisis anterior es claro que θ◦∂ = ∂◦β. La última igualdad se demuestra<br />

de manera similar.<br />

A continuación abordamos la segunda parte de la demostración. Establecemos<br />

un quasiisomorfismo entre los bicomplejos (Tp,q, b+∂) y (ξ(A)p,q, 0+δ).<br />

Para ello será suficiente demostrar que θ establece un quasiisomorfismo entre<br />

(Tp,q, b) y (ξ(A)p,q, 0). Aquí nuevamente estamos usando el mismo argumento<br />

que se usó en el Teorema 1.82. Tomando homología en estos últimos complejos<br />

obtenemos el morfismo<br />

como ξ1 = ∧V ⊗ V definamos<br />

como θ ′ 1(x ⊗ v) = x ⊗ v. Notemos que<br />

θ1 : H1(Tp,q, b) −→ ξ1,<br />

θ ′ 1 : ∧V ⊗ V → H1(Tp,q, b)<br />

θ1 ◦ θ ′ 1(x ⊗ v) = θ1(x ⊗ v) = (−1) |v| x ⊗ v<br />

de lo que se concluye que θ es inyectiva. Para sobreyectividad es suficiente<br />

observar el cociente<br />

H1(Tp,q, b) =<br />

∧V ⊗ ∧V<br />

ab ⊗ c − a ⊗ bc + (−1) |c|(|a|+|b|) ca ⊗ b ,<br />

él nos indica que todo elemento x ⊗ y = x ⊗ v1 · · · vl se puede escribir como<br />

(−1) li xi ⊗ vi,<br />

41


indicando con ello que θ ′ 1 es sobreyectiva. Del hecho que ∧V ⊗ ∧V es un<br />

álgebra graduada libre generada por ∧V ⊗ V , tenemos que θ ′ 1 se extiende a<br />

θ ′ k : ∧V ⊗ ∧ k V → Hk(T ot(Tp,q), b)<br />

Como θ ′ 1 es un isomorfismo si probamos que Hk(T ot(Tp,q), b) es una álgebra<br />

libre generada por H1(T ot(Tp,q), b) tendríamos que θ ′ k es un isomorfismo. Para<br />

probar esta última afirmación nos basamos en el cálculo de la homología<br />

del álgebra graduada ∧V como T or∧V ⊗∧V (∧V, ∧V ), (Proposición 2.5 [V.B].)<br />

Tomando la resolución<br />

(∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V, D)<br />

y efectuando el producto tensorial como ∧V ⊗ ∧V módulos, obtenemos que<br />

(Hk(T ot(Tp,q), b)) = (∧V ⊗ ∧ k V ),<br />

que prueba la afirmación. <br />

Observación. La generalización del teorema anterior para ciertas álgebras<br />

de la forma A0 ⊗ ∧V donde V := ⊕i≥1Vi, es un espacio vectorial graduado,<br />

se presenta a continuación.<br />

Definición 1.96. Una k−álgebra A es llamada homológicamente regular si<br />

y sólo si la aplicación ε : (A ⊗ A ∗ , b) −→ (Ω∗ R , 0) definida en [LQ] es un<br />

es flat.<br />

isomorfismo y Ω 1 A<br />

Ejemplo 1.97. Del Teorema 1.28 y Corolario 1.52 tenemos que si el anillo<br />

(R, η) es r.l.e.t.f. entonces Ω∗ R es flat y HH∗(R) Ω∗ R respectivamente. Es<br />

decir (R, η) es un álgebra homológicamente regular.<br />

Definición 1.98. Una k−álgebra diferencial graduada (A, d) se llama homológicamente<br />

regular si A = A0⊗∧V donde A0 es homológicamente regular<br />

y V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · es un espacio vectorial graduado.<br />

Ejemplo 1.99. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Del Ejemplo 1.67 tenemos que<br />

el complejo de Koszul K(f1, . . . , fr), de una secuencia de elementos f1, . . . , fr<br />

en el anillo R, es un A.D.G de la forma R ⊗ ∧V, donde V = V1 = ⊕ r i=1k · ei.<br />

Por otro lado del ejemplo anterior tenemos que el anillo R es un álgebra<br />

homológicamente regular. Por lo tanto el álgebra K(f1, . . . , fr) (descrita en<br />

el Ejemplo 1.67) es una k−A.D.G. homológicamente regular.<br />

42


Definición 1.100. (Ver definición 2.3 y Definición 2.4 de [CGG].) Sea el<br />

complejo Koszul (A0 ⊗ ∧V, d). Definamos el bicomplejo (como se indica en<br />

la Definición 1.76)<br />

ξ = (ξp,q, δ d p,q, 0, βp,q)<br />

donde ξp,q = ⊕ p<br />

i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ∧ V p−i )p+q−i si p ≥ 0 y q ≥ 0, y cero en otro<br />

caso. Ponemos δp,q(w ⊗ x) = (−1) iw ⊗ δ(x), δ|A = d, β como la derivada que<br />

definimos en el Lema 1.93 y sujeta a la condición δ ◦ β + β ◦ δ = 0.<br />

Observación. En algunas ocasiones (ver Sección 3.3) usaremos la siguiente<br />

notación<br />

Ωp,q = ξp,q.<br />

Con esta definición tenemos :<br />

Teorema 1.101. La homología cíclica, (respectivamente la homología de<br />

Hochschild), del A.D.G. A0 ⊗ ∧V es la homología cíclica, (respectivamente<br />

de Hochschild), del bicomplejo ξ.<br />

Prueba. [CGG, Teorema 2.6]. <br />

Notemos que aquí estamos haciendo referencia a la Definición 1.72 y<br />

Definición 1.74 que se dio para A.D.G. Recordemos también que en caso<br />

que b = 0, como este, las homologías antes mencionadas tienen cierta descomposición.<br />

Esto se manifiesta en el siguiente Corolario.<br />

Corolario 1.102. La homología cíclica y Hochschild de (A ⊗ ∧V, b) se descompone<br />

en la suma de las homologías de los complejos (ξj , δ, β) y (ξ j<br />

j+k , δ)k≥0<br />

ξ j <br />

j+2<br />

<br />

δ<br />

ξ j<br />

j+1<br />

<br />

β<br />

β<br />

ξ j−1<br />

j+1<br />

<br />

ξ j−1<br />

j<br />

<br />

. . . ξ1 <br />

3<br />

<br />

. . . ξ1 <br />

2<br />

<br />

<br />

β<br />

ξ 0 2<br />

δ<br />

<br />

ξ0 1<br />

δ<br />

δ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ξ j<br />

j ξ j−1<br />

<br />

<br />

. . .<br />

β j−1<br />

ξ1 <br />

1 ξ0 <br />

β 0<br />

donde ξ j−h<br />

m−2h = j−h<br />

i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−h−i )m−2h−i.<br />

43<br />

<br />

β


Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. <br />

Notemos que<br />

ξp,q = ξ p<br />

p+q.<br />

Observación. A continuación justificaremos, sin demostración, por que la<br />

necesidad de calcular HH(A0 ⊗ ∧V, ∂) y HC(A0 ⊗ ∧V, ∂). Primero debemos<br />

de recordar que el álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂), si V = V1 = ⊕r i=1ei, es el complejo<br />

de Koszul (ver Ejemplo 1.67). Cuando ∂(ei) = fi con i = 1, . . . , r forman<br />

una secuencia regular se prueba que el álgebra (A0 ⊗∧V, ∂) es una resolución<br />

de A0/I, donde I = 〈fi : i = 1, . . . , r〉 (ver Lema 1.70.) De la definición del<br />

bicomplejo T (A0 ⊗ ∧V ) se observa que las filas de este complejo son dadas<br />

por el producto tensorial del complejo (A0 ⊗ ∧V, ∂), sobre el cuerpo k. Por<br />

lo tanto usando las fórmulas de Kunnet se prueba que la filas (A0 ⊗ ∧V, ∂) ⊗∗<br />

son quasisomorfas a (A0/I) ⊗∗ y que por lo tanto el bicomplejo T (A0 ⊗∧V ) es<br />

quasisomorfo al complejo de Hochschild (C(A0/I), b). Siguiendo los mismos<br />

lineamientos se demuestra que la homología cíclica del álgebra (A0 ⊗ ∧V, ∂)<br />

proporciona la homología cíclica del álgebra A0/I. A continuacion describimos<br />

los complejos ξj ∗ y proporcionamos de manera informal cierto quasiisomorfismo<br />

entre el complejo ξ j<br />

k y cierto complejo Lj que luego formalizamos.<br />

En efecto, sea<br />

ξ j δ <br />

δ<br />

· · · ξ j <br />

δ <br />

δ . . .<br />

ξj ∗ : 0 ξ j <br />

j<br />

donde ξ j<br />

k = j<br />

i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−i )k−i. Usando el isomorfismo<br />

ξ j<br />

k <br />

j<br />

i=0<br />

j+1<br />

si definimos t := 2j − i se prueba que<br />

ξ j<br />

k <br />

j+∗<br />

(Ω i A0 ⊗ V j−i ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k+i−2j,<br />

2j <br />

(Ω 2j−t ⊗ V t−j ) ⊗A0 (A0 ⊗ ∧V )k−t.<br />

t=j<br />

Definición 1.103. Definamos el complejo (L ′ j, δ) como<br />

(L ′ j, δ) : Ωj ⊗ ∧V 0 <br />

δ<br />

Ωj−1 ⊗ ∧V 1 <br />

δ<br />

· · · <br />

<br />

0.<br />

44<br />

Ω 0 ⊗ ∧V j<br />

δ


Lema 1.104. Sea j en los naturales entonces ξ j ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 K(f1, . . . , fr)<br />

con I = 〈f1, . . . , fr〉 .<br />

Prueba. Basta formalizar el análisis anterior. <br />

Como lo indicamos líneas atrás bajo de la hipótesis que el ideal I sea<br />

R.<br />

Notemos que aquí es-<br />

intersección completa tenemos que ξj ∗ (L ′ j, δ) ⊗A0 I<br />

tamos proporcionando el quasiisomorfismo entre ξj ∗ y cierto complejo Lj. Este<br />

quasiisomorfismo será fundamental en la prueba de la descomposición de la<br />

homología de Hochschild y cíclica. Para continuar daremos algunas definiciones.<br />

Definición 1.105. Sea A0⊗∧V el complejo de Koszul con ∂(V1) = (f1, . . . , fr)<br />

una secuencia regular, definamos los complejos<br />

y<br />

Lj : 0<br />

Dj : 0<br />

<br />

IjΩo R<br />

Ij+1Ωo R<br />

<br />

Ω0R Ij+1Ω0 R<br />

dDR dDR <br />

I j−1 Ω 1 R<br />

I j Ω 1 R<br />

dDR dDR Ω<br />

<br />

1 R<br />

IjΩ1 R<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

dDR <br />

IΩ<br />

j−1<br />

R<br />

I 2 Ω j−1<br />

R<br />

Ω<br />

j−1<br />

R<br />

I 2 Ω j−1<br />

R<br />

Ω j<br />

dDR R<br />

IΩ j<br />

R<br />

Ω j<br />

dDR R<br />

IΩ j<br />

R<br />

Teorema 1.106. Sea (A0 ⊗ ∧V, ∂) el complejo de Koszul e I = 〈f1, . . . , fr〉<br />

una intersección completa local. Entonces los complejos (ξ j , δ, β) y (ξ j<br />

j+k<br />

son quasisomorfos a L 2j−∗<br />

j<br />

y D 2j−∗<br />

j<br />

, δ)k≥0.<br />

Prueba. Formalicemos el quasi isomorfismo que dimos anteriormente de la<br />

siguiente manera : Definamos<br />

como<br />

ϕ j m(w·x·v1 · · · vj−h−i) =<br />

<br />

ϕ j m−j<br />

m :<br />

h=0<br />

ξ j−h<br />

m−2h −→<br />

Ω2j−m<br />

I m−j+1 Ω 2j−m<br />

<br />

0 si grado(x) ≥ 1<br />

(−1) j−h−i w · x · ∂(v1) . . . ∂(vj−h−i) en otro caso<br />

(1.5)<br />

45


y<br />

ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω 2j−m<br />

I m−j+1 Ω 2j−m<br />

como la restricción. Notemos que esta última aplicación es en esencia el<br />

quasiisomorfismo L ′ j ⊗A0 K(f1, . . . , fr) Lj, que dimos anteriormente. En<br />

nuestro caso grado(vi) = 1. Veamos que ϕ j m es un morfismo de complejos. Es<br />

decir, veamos que el diagrama<br />

ξ j m<br />

δ<br />

<br />

ξ j<br />

m−1<br />

conmute. Para ello evaluemos<br />

ϕ j m <br />

I m−j Ω 2j−m<br />

I m−j+1 Ω 2j−m<br />

ϕ j<br />

m−1 <br />

Im−1−jΩ2j−(m−1) Im−1−j+1Ω2j−(m−1) ϕ j<br />

m−1(δ(w · v1 · · · vj−i)) = (−1) i ϕ j<br />

m−1(w ·<br />

como δ(vk) = −dflk y w ∈ Ωi tenemos<br />

k=1<br />

<br />

d<br />

j−i <br />

δ(vk)v1 · · · vk · · · vj−i) =<br />

k=1<br />

(−1) i<br />

j−i <br />

ϕ j<br />

m−1((−1) i+1 dflk ∧ w · v1 · · · vk · · · vj−i) =<br />

j−i <br />

(−1) 1+j−i−1 fl1 . . . flk . . . flj−idflk ∧ w = d(ϕjm(w · v1 · · · vj−i)).<br />

k=1<br />

Una de las razones de la ultima igualdad se debe a que dDR(w)fl1 . . . flj−i = 0<br />

en el módulo Im−1−j Ω 2j−(m−1)<br />

y<br />

Im−1−j+1 , pues j − i = m − j.<br />

Ω2j−(m−1) Si en w · x · v1 · · · vj−h−i grado(x) ≥ 1 entonces<br />

ϕ j<br />

m−1(δ(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = d(ϕ j<br />

m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = 0<br />

δ(ϕ j<br />

m−1(w · x · v1 · · · vj−h−i)) = δ(0) = 0,<br />

46


por lo tanto<br />

ϕ j<br />

m−1 ◦ δ = δ ◦ ϕ j<br />

m−1<br />

El caso T ot(ξ j , δ, β) es similar. Del diagrama<br />

0<br />

0<br />

<br />

(ξi j+k , δ)k≥0<br />

ϕ j ∗<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Lj <br />

j T ot(ξ , δ, β)<br />

ϕ j ∗<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Dj <br />

j T ot(ξ , δ, β)<br />

ϕ j−1<br />

∗<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Dj−1 al tomar homología y ver que ϕj m es un isomorfismo entre las homologías de<br />

los complejos (ξi j+k , δ)k≥0 y L 2j−∗<br />

j (ver Teorema 3.3 [CGG]) tenemos que ϕj m<br />

es un isomorfismo entre las homología de los complejos T ot(ξj , δ, β) y D 2j−∗<br />

j .<br />

El argumento es el mismo que demuestra que un isomorfismo en homología<br />

de Hochschild produce un isomorfismo en cíclica. La demostración que ϕ j m<br />

es un quasi isomorfismo se presenta en el Teorema 3.3 de [CGG]. <br />

Corolario 1.107. Bajo las hipótesis del Teorema anterior, tenemos<br />

[n/2] <br />

1) HCn(A0/I) = Hn−2i (D∗ n−i)<br />

2) HHn(A0/I) =<br />

i=0<br />

[n/2] <br />

H<br />

i=0<br />

n−2i (L∗ n−i)<br />

donde [s] representa el máximo entero de s y la secuencia exacta larga de<br />

Gysin-Connes es la suma de las secuencias exactas largas de homología asociadas<br />

con la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

L∗ j<br />

<br />

D∗ j<br />

<br />

D∗ j−1<br />

Prueba. [CGG, Corolario 3.4]. <br />

Observación. A continuación describiremos la aplicación θ : T (A) → ξ de<br />

[CGG, Teorema 2.6]. Esta nos permitirá apreciar mejor la descomposición de<br />

la secuencia S.B.I. Que es el motivo por el cual presentamos esta observación.<br />

El primer hecho a tener en cuenta es que θ : Tp,q → ξ p<br />

p+q. En efecto un<br />

elemento z ∈ Tp,q es de la forma z = a0x0 ⊗ a1x1 ⊗ . . . ⊗ apxp; donde ai ∈ A0,<br />

xi ∈ ∧V, y p<br />

i=1 |xi| = q. Entonces se prueba usando la definición de β que<br />

θ(z) esta formado por sumas de elementos de la forma<br />

<br />

0.<br />

a0aj1 . . . ajp−sβ(ai1) . . . β(ais) · xi1 . . . xisxj1 . . . xjp−s,<br />

47<br />

<br />

0.<br />

<br />

0


donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj∗| + 1. De esta descripción se prueba que<br />

θ(z) ∈ Ω is<br />

A0 ⊗(∧V ⊗ ∧V p−s )p+q−s ⊂ ξ p<br />

p+q. Entonces tenemos que θ a demás de<br />

establecer un quasi isomorfismo entre el bicomplejo T (A) y (ξ, δ, 0) (Teorema<br />

1.101) preserva el orden, en el sentido que θ : Tp,q(A) → ξ p<br />

p+q. De la Defini-<br />

ción 1.100 se prueba que ξ p<br />

p+q = ξp,q. Esta descripción nos permite definir<br />

el complejo (ξp,q, δ, 0) y ( ˜ ξ, δ + β) según se presentan en la Definición 1.75 y<br />

Definición 1.76.<br />

Por otro lado de la observación anterior tenemos un quasi isomorfismo π<br />

entre T (A) y (A0/I, b). Entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo<br />

0<br />

0<br />

0<br />

<br />

(C(A0/I))∗ <br />

π<br />

<br />

(T (A))∗<br />

θ<br />

<br />

<br />

(ξ, δ, 0)<br />

<br />

<br />

(CC(A0/I))∗ <br />

π<br />

(T ot(T (A), b + ∂, B)))∗<br />

θ<br />

<br />

<br />

( ξ, ˜ δ + β)<br />

<br />

CC(A0/I)∗−2 <br />

π<br />

<br />

(T ot(T (A), b + ∂, B))∗−2<br />

θ<br />

<br />

<br />

( ξ, ˜ δ + β)∗−2<br />

donde los morfismos verticales son el quasi isomorfismo θ del Teorema 1.101<br />

y el quasi isomorfismo π : (A0⊗∧V, ∂) → A0/I. Para probar que π es un quasi<br />

isomorfismo se usa el mismo argumento que prueba que un quasi isomorfismo<br />

en homología de Hochschild produce un quasi isomorfismo en Cíclica.<br />

Del diagrama anterior observamos que el bicomplejo ( ˜ ξ, δ, β) proporciona<br />

la homología cíclica del álgebra A0/I. De la Definición 1.76 y el análisis que<br />

se hace de su homología tenemos que la homología cíclica se descompone en<br />

la cohomología de los complejos ( ˜ ξ j , δ + β) :<br />

. . .<br />

δ<br />

<br />

ξj,2<br />

<br />

δ<br />

<br />

ξj,1<br />

<br />

β<br />

β<br />

. . .<br />

δ<br />

<br />

ξj−1,2<br />

<br />

ξj−1,1<br />

. . . . . .<br />

<br />

. . . ξ1 <br />

<br />

1,2<br />

<br />

. . . <br />

ξ1,1<br />

<br />

<br />

δ<br />

β<br />

. . .<br />

δ<br />

<br />

ξ0,2<br />

δ<br />

<br />

ξ0,1<br />

δ<br />

δ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ξj,0<br />

<br />

ξj−1,0<br />

<br />

. . . <br />

ξ1,0<br />

<br />

ξ0,0<br />

β<br />

β<br />

Un hecho importante a tener en cuenta, de la descripción anterior, es que<br />

48<br />

<br />

β<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

<br />

0,


las columnas de complejo cíclico ( ˜ ξ, δ + β) (es decir el complejo (ξ, δ, 0))<br />

se descomponen en las primeras columnas de los complejos ( ˜ ξ j , δ + β), (ver<br />

Definición 1.76) y el cociente ( ˜ ξ j , δ +β)/(ξ j , δ) = (( ˜ ξ j−1 , δ +β)) descomponen<br />

al complejo ( ˜ ξ j , δ+β)[−2]. Por lo tanto del diagrama conmutativo establecido<br />

anteriormente se prueba que la secuencia S.B.I se parte en las cohomologías<br />

de los complejos<br />

0<br />

<br />

(ξj,∗, δ, 0)<br />

<br />

( ξ˜ j , δ + β)<br />

<br />

( ξ˜ j−1 , δ + β)<br />

Usando el hecho que ξ p<br />

p+q = ξp,q tenemos que la secuencia S.B.I se descompone<br />

en las secuencias exactas de cohomología de los complejos<br />

0<br />

<br />

j<br />

(ξj+∗ , δ, 0) <br />

j (ξ , δ + β)<br />

<br />

j−1 (ξ , δ + β)<br />

Finalmente, de la prueba Teorema 1.106 se tiene el diagrama conmutativo<br />

0<br />

0<br />

<br />

(ξi j+k , δ)k≥0<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Lj <br />

j T ot(ξ , δ, β)<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Dj <br />

j−1 T ot(ξ , δ, β)<br />

<br />

<br />

2j−∗<br />

Dj−1 donde los morfismos verticales son quasisomorfismos. De aquí tenemos que la<br />

secuencia S.B.I se descompone en las sumas de las secuencias exactas largas<br />

H ∗−1 (Lj)<br />

H ∗ (Lj)<br />

I <br />

∗−1 H (Dj)<br />

<br />

H∗ (Dj)<br />

S <br />

∗−1 H (Dj−1) B <br />

<br />

H∗ (Dj−1)<br />

Recordemos que si el álgebra A = A0/I es graduada del Teorema 1.63 tenemos<br />

que la aplicación S = 0. La situación más relevante, en nuestro caso,<br />

se presenta cuando el ideal I es generado por polinomios f1, . . . , fr quasihomogéneos.<br />

Esta conclusión se enuncia en el siguiente Corolario :<br />

Corolario 1.108. Sea (R, η) = (k[x1, . . . , xn](x1,...,xn), η), I = 〈f1, . . . , fr〉<br />

un ideal generado por polinomios quasihomogéneos. Entonces la aplicación<br />

π ∗ : H ∗ (Dj) → H ∗ (Dj−1) es nula.<br />

Prueba. Como los generadores del ideal I son qusihomogéneos de grado d<br />

entonces por definición podemos proporcionar pesos a las variables x1, . . . , xn<br />

49<br />

<br />

<br />

0.<br />

<br />

0.<br />

<br />

0.<br />

<br />

0,


para convertir a los polinomios f1, . . . , fr en homogéneos de grado d. También<br />

esta graduación convierte al anillo R en graduado. Por lo tanto el álgebra<br />

R/I es un álgebra graduada. Una aplicación del Teorema 1.63 demuestra el<br />

Corolario. <br />

50


Capítulo 2<br />

Homología de Hochschild para<br />

icis<br />

El punto neurálgico en la primera sección es el cálculo de la altura del ideal<br />

jacobiano de un ideal I de intersección completa con una singularidad aislada.<br />

El Corolario 2.19 nos permite develar los módulos de cohomología de los<br />

complejos Lj, presentados en la Definición 1.105. Otra resultado importante<br />

del trabajo es el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas de<br />

Interseción Completa. En la segunda sección revisamos el caso en que el<br />

ideal I este generado por un sólo polinomio y tenga una singularidad aislada.<br />

En este caso demostramos que H∗ (Lj) = T orm−∗(R/Jf, R/I), este resultado<br />

fue demostrado por Michler en [Mich]. Cuando el ideal esté generado por<br />

dos polinomios damos un ejemplo (ver Ejemplo 2.34) que muestra que la<br />

afirmación anterior no se puede generalizar. Cuando el ideal I es generado<br />

por dos polinomios, para cada j ≥ m, presentamos una secuencia espectral<br />

Ep,q que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en E2 .<br />

Cuando j = m − 1 demostramos que H∗ (Lj) = T orm−1−∗(R/I, Jf<br />

) y que en<br />

Jf,g<br />

los demás casos los Lj satisfacen que Hi (Lj) = 0 para todo i = j. En el caso<br />

particular que Jf ⊃ Jg demostramos que E1 = E∞ . Las curvas complejas<br />

inmersas en dimensión tres de la Tabla 2.1 cumplen con esta condición. Este<br />

cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las motivaciones originales<br />

de este trabajo.<br />

En la última sección se generaliza los resultados para r polinomios. Presentamos<br />

una secuencia espectral Ep,q que colapsa en Er (Teorema 2.76).<br />

Finalmente demostramos que los complejos Lj para j ≥ m sólo tienen r+1<br />

51


términos de cohomología no nulos. Para cada m − r < j < m el complejo<br />

Lj sólo tiene j − m − r + 1 términos en cohomología no nulos. En los demás<br />

casos los complejos Lj son exactos salvo en el último nivel. Estas dos últimas<br />

afirmaciones son el punto de partida del Capítulo tres.<br />

2.1. Singularidades Aisladas.<br />

Nuestro objetivo será presentar propiedades técnicas de las singularidades<br />

aisladas. Específicamente calculamos la altura del ideal jacobiano de los generadores<br />

de un ideal I de intersección completa con una singularidad aislada.<br />

Definición 2.1. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., e I = 〈f1, . . . , fr〉 y F =<br />

(f1, . . . , fr). Diremos que el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊂ η tiene una singularidad<br />

aislada en η si<br />

donde F = (f1, . . . , fr).<br />

ht(〈I, JF 〉) = m = dim( η<br />

),<br />

η2 Observación. La definición anterior nace de la siguiente situación : Sea<br />

R = k[x1, . . . , xm]η, e I un ideal propio de R. La condición impuesta en la<br />

definición anterior significa que la única componente irreducible que pasa<br />

por el punto P -que representa el maximal η- de los ceros del ideal 〈Jf + I〉,<br />

Z(JF + I), es el punto P. Si p ∈ C ⊂ Z(Jf + I) y C es una componente<br />

irreducible, entonces C = P. En lenguaje algebraico la afirmación anterior<br />

se escribe de la siguiente manera: Sean η y PC un ideal maximal y primo<br />

respectivamente (que representa el punto P y la componente irreducible C).<br />

Si η ⊃ PC ⊃ 〈JF , I〉 entonces PC = η.<br />

Observemos que la singularidad de I es aislada si 〈I, JF 〉 = η.<br />

Lema 2.2. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Entonces I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊂ η es un<br />

ideal con una singularidad aislada en η si y sólo sí η i ⊂ 〈I, JF 〉 para algún i.<br />

Prueba. Se sigue de la definición.<br />

Lema 2.3. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. El ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es una icis<br />

si sólo si para todo primo P diferente del maximal el anillo (R/I)P es el un<br />

anillo regular local.<br />

52


Prueba. Será suficiente demostrar que en el anillo RP la secuencia f1, . . . , fr<br />

es parte de una secuencia regular de parámetros. Esto último es claro pues<br />

los elementos df1, . . . , dfr tienen como ideal jacobiano la unidad. <br />

Observación. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene una propiedad importante<br />

: Para todo ideal propio I de R se cumple ht(I) = profundidad(I) (ver<br />

Teorema A.20 del Apéndice). Esta propiedad se debe al hecho que un anillo<br />

r.l.e.t.f. es Cohen Macaulay (ver Proposición A.19). Por ello en adelante no<br />

distinguiremos las dos definiciones altura y profundidad de un ideal; teniendo<br />

en cuenta -claro está- que el anillo donde se hace esta identificación sea<br />

Cohen Macaulay.<br />

Cuando el ideal I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada y es generado por<br />

un sólo polinomio tenemos la siguiente caracterización (en el caso particular<br />

que k sea el cuerpo de los números complejos obtenemos la Proposición 1.2<br />

de [Looj]).<br />

Proposición 2.4. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈f〉 ⊂ η un ideal.<br />

Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes<br />

1. 〈f, Jf〉 ⊃ ηj para algún j.<br />

2. Jf ⊃ ηj para algún j.<br />

3. dimk( R ) < ∞.<br />

Jf<br />

4. dimk( R<br />

〈Jf ,f〉<br />

) < ∞.<br />

Observación. Las dimensiones de R/Jf y R/ 〈Jf, f〉 -en las equivalencias 3<br />

y 4- se llaman Número de Milnor y Tjurina respectivamente<br />

Prueba. La equivalencia de 1 y 2 se debe a que f ∈ Jf ( Corolario 1.38.)<br />

Para demostrar que 2 implica 3, si usamos el epimorfismo<br />

R/η j −→ R/Jf,<br />

(que proviene de la hipótesis Jf ⊃ η j ), será suficiente notar que R/η j es un<br />

espacio vectorial de dimensión finita.<br />

Sea R/Jf es un espacio vectorial de dimensión finita. Del epimorfismo<br />

R/Jf −→ R/ 〈Jf, f〉<br />

se sigue que R/ 〈Jf, f〉 es un espacio vectorial de dimensión finita. Es decir,<br />

3 implica 4.<br />

Finalmente para demostrar que 4 implica 1 usaremos el hecho que si M<br />

es un R−módulo de k−dimensión finita, entonces existe j en los naturales<br />

53


tal que η j · M = 0. En el caso que M = R/ 〈Jf, f〉 esto significa que existe<br />

algún j tal que η j ⊂ 〈Jf, f〉 .<br />

.<br />

Corolario 2.5. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. El ideal I = 〈f〉 tiene una<br />

singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) = m = dim(R).<br />

Prueba. Del Lema 2.2, las equivalencias 1 y 2 de la Proposición anterior<br />

y la aplicación directa de la definición de altura de un ideal obtenemos que<br />

I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η si sólo si ht(Jf) = ht(〈Jf, f〉) =<br />

m = dim(R). <br />

Corolario 2.6. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada entonces el complejo<br />

de Koszul K(fx1, . . . , fxm) cumple H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo<br />

i < m, y H m (K(fx1, . . . , fxm)) = 0.<br />

Prueba. Del Corolario anterior se tiene que profundidad(Jf) = m. Esto<br />

significa que Jf contiene a alguna secuencia regular de longitud m. Como<br />

Jf = 〈fx1, . . . , fxm〉 donde df = m<br />

i=1 fxi ei, la Proposición A.38 nos dice que<br />

los elementos fx1, . . . , fxr forman una secuencia regular. <br />

La propiedad del corolario anterior sólo se cumple en el caso local (ver<br />

Ejemplo 2.7). Esta propiedad se usa en [Mich], cuando R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm),<br />

para calcular de manera eficiente la homología de Hochschild para álgebras<br />

de la forma R/ 〈f〉 .<br />

Veamos el siguiente ejemplo de Michler :<br />

Ejemplo 2.7. El polinomio f = (c+x)2y2 cx2 x3 + + 2 2 3 en (k [x, y] (x,y) , η), donde<br />

c es un elemento no nulo del cuerpo, tiene una singularidad aislada en el<br />

origen. Sus derivadas parciales { ∂f ∂f<br />

, ∂x ∂x } = {(c + x)(x + y2 ), (c + x) 2y}, no<br />

forman una secuencia regular en k [x, y] , [Mich, Ejemplo 2]. Sin embargo, en<br />

el anillo local (k [x, y] (x,y) , η) si es una secuencia regular.<br />

Interesados en el caso cuando el ideal I este generado por una secuencia<br />

regular, daremos la siguiente definición.<br />

Definición 2.8. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si f1, . . . , fr forman una secuencia<br />

regular entonces diremos que el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es intersección<br />

completa.<br />

54


Definición 2.9. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si el ideal I es una intersección<br />

completa y tiene una singularidad aislada en η, diremos que I tiene una<br />

singularidad aislada de intersección completa (icis, por sus siglas en inglés).<br />

Observación. Cuando el ideal I es generado por una secuencia regular<br />

f1, . . . , fr se cumple ht(I) = r. Entonces el ideal jacobiano JF está generado<br />

por los menores M de orden r × r de la matriz jacobiana Jac(F ) = (fi,j),<br />

donde F = (f1, . . . , fr). En adelante trataremos solamente con icis, y cuando<br />

escribamos I = 〈f1, · · · , fr〉 suponemos que ht(I) = r y que por lo tanto de<br />

la Proposición A.38 f1, · · · , fr es una secuencia regular.<br />

Ejemplo 2.10. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η) e I = 〈x 2 , y 3 〉 . Como el ideal<br />

〈Jf,g, f, g〉 contiene una potencia de η entonces I tiene una singularidad aislada<br />

en η. Más aún, como {x 2 , y 3 } es una secuencia regular, entonces I es<br />

una icis.<br />

Observación. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad<br />

aislada en η se cumple que ht(Jf) = m por Corolario 2.5. Esta propiedad<br />

permite expresar los módulos de cohomología de los complejos Lj de manera<br />

simple (ver Corolario 2.32.) Esta es la razón de nuestro interés en esta sección<br />

de calcular la altura del ideal JF cuando F tiene una singularidad aislada de<br />

intersección completa. En el siguiente ejemplo mostramos que la propiedad<br />

ht(JF ) = m, que se cumple para un polinomio (F = f) ya no se satisface<br />

para el caso en que el ideal I este generado por más de un polinomio.<br />

Ejemplo 2.11. Es claro que f = x 2 + y 2 ∈ (k [x, y] (x,y) , η) presenta una<br />

singularidad aislada en η. Ahora sea f ′ (x, y, z) = f(x, y), y g = z entonces<br />

JF = 〈x, y〉 en (k [x, y, z] (x,y,z) , η). El ideal I = 〈f ′ , g〉 tiene una singularidad<br />

aislada en η pero ht(JF ) < m = 3. En general siempre se puede agregar una<br />

variable z a una icis y se obtiene ht(JF ) < m. Lo mismo sucede si en el ideal<br />

I uno de los generadores es parte de una secuencia regular de parámetros.<br />

Observación. En adelante sólo trataremos con icis I = 〈f1, . . . , fr〉 donde<br />

ninguno de sus generadores es regular.<br />

En el siguiente ejemplo también tenemos que ht(JF ) < m, y no se puede<br />

eliminar ninguno de los generadores pues no son regulares.<br />

55


Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3 〉 , entonces el ideal jacobiano JF = 〈xy 2 〉<br />

cumple ht(JF ) = 1 < 2. El ideal I tiene una singularidad aislada en η.<br />

Más aún tenemos que I = 〈f − g, f + g〉 . Estos nuevos generadores de I,<br />

cada uno de ellos, tiene una singularidad aislada en η = 〈x, y〉 ; sin embargo<br />

ht(JF ′) = ht(JF ) < 2 donde F ′ = (f − g, f + g).<br />

Observación. Cuando el ideal I es generado por más de un polinomio tenemos<br />

ht(JF ) < m. Esta es la principal obstrucción para seguir el camino<br />

trazado en el caso de un polinomio. Para superar esta dificultad calculamos<br />

ht(JF ) (Corolario 2.19). A continuación demostramos tres lemas básicos que<br />

nos ayudarán en la demostración del Lema 2.16.<br />

Lema 2.13. Sean (R, η) un anillo local, z ∈ R, e I un ideal con 〈I, z〉 = R.<br />

Si existe polinomio P ∈ k[x] no nulo tal que P (z) ∈ I entonces z ∈ √ I.<br />

Prueba. Sea P (z) = anz n + . . . + a1z + a0 ∈ I. Afirmamos que a0 = 0. En<br />

efecto si a0 = 0, se prueba que 1 ∈ 〈I, z〉 = R, una contradicción con la<br />

hipótesis. Por lo tanto<br />

P (z) = z k (ak + . . . + anz n−k ) ∈ I,<br />

y ak = 0. Como ak + . . . + anz n−k es unidad en R, se tiene z k ∈ I. Esto<br />

significa que z ∈ √ I. <br />

Lema 2.14. Sean J, 〈J, f1, . . . , fr〉 ideales propios de (R, η) un anillo r.l.e.t.f.<br />

Sea P ideal primo con J ⊂ P, y Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] un polinomio<br />

no nulo tal que Q(f1, . . . , fr) ∈ J. Entonces existen dos posibilidades<br />

1) f1 se encuentra en el ideal 〈P, f2, . . . , fr〉 , o<br />

2) Existe Q1(x2, . . . , xr) ∈ k[x2, . . . , xr] polinomio no nulo, tal que Q1(f2, . . . , fr) ∈<br />

〈P, f1〉 .<br />

Prueba. Sea Q(x1, . . . , xr) = s<br />

j=1 Tj el polinomio no nulo de la hipótesis,<br />

donde Tj son las formas homogéneas de grado j. Para la prueba del Lema<br />

analizaremos dos casos.<br />

Primer caso : Existe algún j tal que x1 no divide a Tj. Entonces el polinomio<br />

Q(x1, . . . , xr) se puede escribir como<br />

Q(x1, . . . , xr) = Q1(x2, . . . , xr) + x1 · α(x1, . . . , xr), (2.1)<br />

56


donde Q1(x2, . . . , xr) = <br />

j:x1∤Tj<br />

Tj es un polinomio no nulo. De la ecuación (2.1)<br />

y el hecho que Q(f1, . . . , fr) ∈ J podemos concluir que<br />

Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈J, f1) ⊂ (P, f1〉 .<br />

El segundo caso sucede si x1 divide Tj para todo j. Entonces<br />

Q(x1, . . . , xr) = x k 1Q(x1, . . . , xr),<br />

donde Q(x1, . . . , xr) = T j, y existe algún T j tal que x1 ∤ T j. Esta última<br />

condición significa que<br />

Q(x1, . . . , xr) = Q1(x2, . . . , xr) + x1 · α(x1, . . . , xr).<br />

Es decir Q(f1, . . . , fr) = f k 1 · Q(f1, . . . , fr), y<br />

Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr). (2.2)<br />

Sea P el ideal primo de la hipótesis. Como J ⊂ P entonces<br />

f k 1 · Q(f1, . . . , fr) ∈ P.<br />

Si f k 1 ∈ P entonces f1 ∈ P, por lo tanto f1 ∈ 〈P, f2, . . . , fr〉 .<br />

Si f k 1 /∈ P entonces Q(f1, . . . , fr) ∈ P. De la ecuación (2.2) tenemos que<br />

Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr) ∈ P<br />

donde Q1(x2, . . . , xr) es un polinomio no nulo. Por lo tanto<br />

Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈P, f1〉 .<br />

Lema 2.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal propio,<br />

r ≥ 1. Sea P ideal primo tal que ht(〈P, I〉) = m = dim(R). Si existe un<br />

polinomio Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] no nulo tal que Q(f1, . . . , fr) ∈ P<br />

entonces ht(P ) ≥ m − r + 1.<br />

Prueba. La prueba será por indución sobre r ≥ 1.<br />

Si r = 1 del Lema 2.13 tenemos que f1 ∈ √ P = P. Por lo tanto 〈P, f1〉 ⊂<br />

P. Esto significa que ht(P ) = ht( √ P ) = ht(〈P, f1〉) = m. Es decir ht(P ) ≥<br />

m.<br />

57


Supongamos que el Lema se cumple para r = s. Veamos que se satisface<br />

para r = s + 1.<br />

Sea r = s + 1. Sea P un ideal primo propio, I = 〈f1, . . . , fs, fs+1〉 un ideal<br />

propio tal que ht(P, I) = m. Sea Q(x1, . . . , xs, xs+1) polinomio no nulo tal<br />

que Q(f1, . . . , fs, fs+1) ∈ P. Del Lema 2.14 con J = P, r = s + 1 tenemos dos<br />

posibilidades :<br />

f1 ∈ 〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉 , o existe Q1(x2, . . . , xs, xs+1) polinomio no nulo<br />

tal que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ 〈P, f1〉 .<br />

En el primer caso tenemos que 〈P, I〉 ⊂ 〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉 . De la hipótesis<br />

ht(〈P, I〉) = m tenemos que ht(〈P, f2, . . . , fs, fs+1〉) = m. De la fórmula<br />

ht(I, a) ≤ ht(I) + 1 se tiene que ht(P ) + s ≥ ht(P, f2, . . . , fs+1) = m. Entonces<br />

ht(P ) ≥ m − (s + 1) + 1.<br />

En el segundo caso existe un polinomio Q1(x2, . . . , xs, xs+1) no nulo tal<br />

que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ 〈P, f1〉 . Sea P1 ideal primo tal que P1 ⊃ 〈P, f1〉 , y<br />

ht(P1) = ht(〈P, f1〉). Notemos que Q1(f2, . . . , fs, fs+1) ∈ P1, y ht(〈P1, I1〉) =<br />

m, donde I1 = 〈f2, . . . , fs, fs+1〉 . Aplicamos el lema para r = s, I = I1, P =<br />

P1, Q = Q1 y obtenemos ht(P1) ≥ m − s + 1. Como ht(P1) = ht(〈P, f1〉) ≤<br />

ht(P ) + 1 entonces<br />

ht(P ) ≥ m − (s + 1) + 1.<br />

Esto finaliza la prueba por inducción y demuestra el Lema.<br />

Lema 2.16. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal con una<br />

icis en η. Entonces ht(JF ) ≥ m − r + 1.<br />

Prueba. Sea P ⊇ JF un ideal primo.<br />

Si fi ∈ P, para algún i = 1, . . . , r, sin pérdida de generalidad podemos<br />

asumir que f1 ∈ P. Sea Q(x1, . . . , xr) = x1 polinomio no nulo entonces<br />

Q(f1, . . . , fr) = f1 ∈ P. Como ht(P, I) = m = dim(R), del Lema 2.15 se<br />

tiene que<br />

ht(P ) ≥ m − r + 1.<br />

Si fi /∈ P para todo i = 1, . . . , r debemos probar que ht(P ) ≥ m − r + 1.<br />

Del Corolario 1.41 tenemos que en K = Q(D), el cuerpo de fracciones de<br />

D = R/P, los elementos f1, . . . , fr no forman un conjunto algebraicamente<br />

independiente sobre k -el cuerpo base- (fi denota también a la clase fi en<br />

R/P ). Es decir, existe un polinomio S(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] no nulo tal<br />

que S(f1, . . . , fr) = 0 en el cuerpo K. Como D es un dominio y D ↩→ K<br />

entonces S(f1, . . . , fr) = 0 en el anillo (D, η). Esta última condición significa<br />

58


que S(f1, . . . , fr) ∈ P. Finalmente, como ht(〈I, JF 〉) = m y P ⊃ JF se tiene<br />

que ht(〈P, I〉) = m. Del Lema 2.15 se sigue que ht(P ) ≥ m − r + 1. <br />

Ejemplo 2.17. En este ejemplo mostramos que sin la hipótesis de singularidad<br />

aislada el lema anterior no se satisface. Sean f = x2 y2 z3 + + , y<br />

2 2 3<br />

g = x2 y2 z2 + + 2 2 2 polinomios en el anillo (k[x, y, z](x,y,z), η). Como 〈f, g, x〉<br />

es un ideal que contiene una potencia del maximal entonces 〈f, g〉 forman<br />

una secuencia regular (ver Proposición A.38 del Apéndice). Más aún, cada<br />

ideal 〈f〉 y 〈g〉 tiene una singularidad aislada en η. Sin embargo debido<br />

a que Jf,g ⊂ 〈z〉 entonces ht(Jf,g) ≤ 1. Como ht(Jf,g) ≥ 1 obtenemos<br />

ht(Jf,g) = 1 < m − r + 1 = 3 − 2 + 1 = 2. Por lo tanto I = 〈f, g〉 no<br />

puede tener una icis, pues de lo contrario se contradice al lema.<br />

Observación. La desigualdad contraria se presenta en el siguiente Teorema<br />

el cual se llama La generalización del P.I.T de Macaulay. Aquí usaremos<br />

la notación It(A) (según se presenta en [Eis1]) para indicar el ideal generado<br />

por los menores t × t de una matriz A de orden p × q.<br />

Teorema 2.18. Si A es una p×q matriz con elementos en un anillo noetheriano<br />

R e It(A) = R entonces<br />

ht(It(A)) (p − t + 1)(q − t + 1)<br />

Prueba. [Eis1, Teorema A.2.54]. <br />

Corolario 2.19. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis.<br />

Entonces<br />

ht(JF ) = m − r + 1.<br />

Prueba. Del Lema 2.16 tenemos la siguiente desigualdad<br />

Por otro lado notemos que<br />

ht(JF ) m − r + 1.<br />

JF = Ir(Jac(F ))<br />

(según la notación establecida líneas atrás), donde Jac(F ) es una matriz de<br />

orden m × r. De la generalización del P.I.T de Macaulay tenemos que<br />

ht(JF ) ≤ (m − r + 1)(r − r + 1) = m − r + 1.<br />

59


De aquí se tiene que ht(JF ) = m − r + 1. <br />

Observación. El siguiente Lema será uno de los pilares de la demostración<br />

del Corolario 2.23, que es un caso particular del Teorema 2.25 de clasificación<br />

de singularidades aisladas.<br />

Lema 2.20. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Definamos<br />

hα := f + α · g y Jα := Jhα para α ∈ k. Si ht(Jα) = m − 1, entonces existe<br />

un primo pi que pertenece a la descomposición primaria del ideal Jf,g tal que<br />

Jα ⊂ pi y ht(pi) = ht(Jα) = m − 1. Más aún, si existe un primo p tal que<br />

〈Jα, Jβ〉 ⊂ p, con α = β entonces ht(p) = dim(R) = m.<br />

Prueba. Notemos que para α = β tenemos<br />

Sea<br />

Jf,g = Jhα,hβ ⊂ Jα. (2.3)<br />

<br />

i=t<br />

Jf,g = (<br />

i=1<br />

qi) j=t<br />

(<br />

′<br />

<br />

la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y<br />

ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Notemos que aquí hemos usado el hecho que<br />

ht(Jf,g) = m − 2 + 1 según el Corolario 2.19.<br />

Sea p un ideal primo tal que p ⊃ Jα y ht(p) = ht(Jα) = m − 1. Como<br />

Jα ⊃ Jf,g (ver ecuación (2.3)) entonces<br />

i=1<br />

j=1<br />

j=1<br />

q ′ j)<br />

i=t<br />

p ⊃ Jf,g = ( qi) j=t<br />

(<br />

′<br />

<br />

q ′ j).<br />

Por lo tanto existe algún i tal que qi ⊆ p, lo cual significa que pi ⊂ p. Como<br />

ht(pi) = ht(p) entonces p = pi. Por lo tanto Jα ⊂ pi.<br />

Finalmente sean α = β ∈ k y p primo tal que 〈Jα, Jβ〉 ⊂ p. Como<br />

hα ∈ √ Jα y hβ ∈ Jβ (Corolario 1.38) entonces<br />

p ⊃ <br />

hα, hβ, Jhβ,hα .<br />

Como 〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 y Jhα,hβ = Jf,g, se tiene que<br />

p ⊃ 〈f, g, Jf,g〉 .<br />

60


Por hipótesis ht(〈f, g, Jf,g〉) = m entonces se tiene que<br />

ht(p) = m.<br />

Corolario 2.21. Conservamos la notación del Lema anterior. Sea<br />

<br />

i=t<br />

Jf,g = (<br />

i=1<br />

qi) j=t<br />

(<br />

′<br />

<br />

la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y<br />

ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Entonces el número de elementos del conjunto<br />

es menor o igual a t.<br />

j=1<br />

q ′ j)<br />

W := {λ ∈ k : ht(Jλ) < m.}<br />

Prueba. De la definición del determinante tenemos que Jf,g = Jhλ,g. De la<br />

inclusión Jhλ,g ⊂ Jλ tenemos que Jf,g ⊂ Jλ. Esta última conclusión implica<br />

la desigualdad ht(Jf,g) ≤ ht(Jλ). Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 (ver Lema 2.16)<br />

entonces ht(Jλ) ≥ m − 1. Por lo tanto suponer que ht(Jλ) < m equivale<br />

asumir que ht(Jλ) = m − 1. Esto significa que<br />

W = {λ : ht(Jλ) = m − 1} .<br />

Del Lema anterior se desprende que cada Jλ con λ ∈ W está contenido en el<br />

primo pi para algún i = 1, . . . , t.<br />

Como cada pi contiene a lo más un Jλ (por que sino ht(pi) = m por el<br />

Lema 2.20), el número de elementos de W es menor igual a t. <br />

Proposición 2.22. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Entonces<br />

existe h ∈ I tal que ht(Jh) = m<br />

Prueba. Como el conjunto W tiene a lo más t elementos y k es un cuerpo<br />

infinito entonces basta tomar h = hα con α /∈ W. <br />

Nota. Del Corolario 2.21 se desprende que la mayoría (salvo tal vez un<br />

número finito) de representantes de la forma f + λg cumple la tesis anterior.<br />

Más aún, la Proposición 2.22 se puede optimizar de la siguiente manera:<br />

Corolario 2.23. Sea (R, η) anillo r.l.e.t.f., I = 〈f, g〉 ideal de intersección<br />

completa con una singularidad aislada en η. Entonces existe hα, hβ ∈ I tal<br />

que ht(Jhα) = ht(Jhβ ) = m e I = 〈hα, hβ〉 .<br />

61


Prueba. Nuevamente como W tiene a lo más t elementos y k es infinito<br />

entonces basta tomar hα y hβ con α y β diferentes en k \ W. La igualdad<br />

〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 finaliza la prueba. <br />

Observación. El Corolario 2.23 también se puede interpretar como un Teorema<br />

de Clasificación de las singularidades aisladas de intersección<br />

completa para dos polinomios. Nos indica que las icis son sólo aquellas que<br />

se pueden formar con las hipersuperficies que tengan una singularidad aislada<br />

de modo que sus respectivos generadores formen una secuencia regular y<br />

una singularidad aislada.<br />

Notemos también que la única hipótesis que se usa respecto al cuerpo<br />

k es que este sea de característica cero.<br />

Este resultado se extiende para icis que estén generadas por r elementos<br />

en el Teorema 2.25.<br />

A continuación veremos que podemos modificar el ideal de intersección<br />

completa generado por r elementos para tener que los primeros r −1 generan<br />

una icis.<br />

Proposición 2.24. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈fi, i = 1, . . . , r〉 una<br />

icis entonces podemos modificar los generadores f1, . . . , fr de I para tener<br />

que los primeros r − 1 sean una icis.<br />

Prueba. Sea JF = (∩t i=1qi) ∩ (∩t′ j=1q ′ j), la descomposición primaria del ideal<br />

jacobiano con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, donde los pi no contienen a ningún fk<br />

para todo k = 1, . . . , r, y los p ′ j contienen al menos un fk. Sea pi un ideal<br />

primo en la descomposición primaria de JF . Entonces existe Pi polinomio<br />

no nulo en k [x1, · · · , xr] , tal que Pi(f1, · · · , fr) = 0 en R<br />

(ver Corolario<br />

1.41). Sea P = t<br />

i=1 Pi entonces<br />

en R<br />

pi<br />

P (f1, · · · , fr) = 0 (2.4)<br />

para todo i = 1, . . . , t. Por otro lado sabemos que para P (x1, · · · , xr)<br />

existen λi ∈ k para i = 1, . . . , r − 1 todos diferentes de cero, tal que<br />

P (λ1xr, · · · , λr−1xr, xr) = 0 (ver Corolario A.62). A partir de las constantes<br />

λ1, · · · , λr−1 definamos gi = fi − λifr, y JG como el jacobiano de los gi para<br />

i = 1, . . . , r − 1.<br />

Los ideales JG y JF guardan la siguiente relación de inclusión : JG ⊇<br />

JF . En efecto es claro que Jg1,··· ,gr−1,fr = JF . Por lo tanto la definición del<br />

determinante y del ideal jacobiano prueban la afirmación.<br />

62<br />

pi


Sea p un ideal primo tal que p ⊇ 〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉 y ht(p) =<br />

ht(〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉). De la relación JG ⊇ JF tenemos que<br />

p ⊇ JG ⊇ JF = (∩ t i=1qi) ∩ (∩ t′<br />

j=1q ′ j), (2.5)<br />

entonces p ⊇ q ′ i o p ⊇ qj.<br />

Primer caso: Si p ⊇ q ′ i, entonces al menos un fk ∈ p pues p ⊇ q ′ i = p′ i. Si<br />

fr ∈ p, como para todo i = 1, . . . , r−1 se cumple que fi = gi +λi ·fr entonces<br />

fi ∈ p para todo i. Si k = r como fr = (fk − gk)/λk tenemos que fr ∈ p y<br />

por lo tanto fj ∈ p para todo j = 1, . . . , r. Recapitulando, por hipótesis<br />

p ⊃ 〈JG, gi, i = 1, . . . , r − 1〉 ,<br />

sabemos que JG ⊃ JF y hemos probado p ⊃ 〈f1, . . . , fr〉 . Entonces p ⊃<br />

〈JF , f1, . . . , fr〉 . De la hipótesis ht(〈JF , f1, . . . , fr〉) = m se sigue que ht(p) =<br />

m.<br />

Segundo caso : Si p ⊇ ql, tomemos P (x1, · · · , xr), el polinomio que definimos<br />

anteriormente. Notemos que en el anillo R/p tenemos fi = λifr y<br />

P (f1, · · · , fr) = 0 (ver Ecuación (2.4)). Entonces P (λ1fr, · · · , λr−1fr, fr) =<br />

0 en el anillo R<br />

p (fi denota la clase de fi en R/p.) Es decir, si definimos<br />

Q(fr) := P (λ1fr, · · · , λr−1fr, fr) tenemos que Q(fr) ∈ p, y el polinomio<br />

Q(xr) = P (λ1xr, · · · , λr−1xr, xr) es no nulo. Por lo tanto del Lema 2.13<br />

tenemos que fr ∈ √ p = p. Como fi = λifr = 0 en el anillo R/p y las<br />

constantes λi son diferentes de cero para todo i = 1, . . . , r − 1 entonces<br />

p ⊇ 〈f1, · · · , fr〉 . Como por hipótesis p ⊃ JF entonces<br />

p ⊇ 〈JF , f1, · · · , fr〉 .<br />

Por lo tanto ht(p) = m.<br />

Si t = 0 no necesitamos definir el polinomio P. Simplemente tomamos<br />

elementos no nulos λi para i = 1, · · · , r−1 en el cuerpo k. Con ellos formamos<br />

los elementos gi = fi − λi · fr y estamos en el primer caso.<br />

En ambos casos obtenemos ht(〈JG, g1, . . . , gr−1〉) = m. Para demostrar<br />

que 〈g1, . . . , gr−1〉 tiene una icis, sólo resta probar que los elementos gi<br />

para i = 1, . . . , r −1 forman una secuencia regular. Para demostrar esta<br />

afirmación será suficiente probar que<br />

profundidad(〈g1, . . . , gr−1〉) = ht(〈g1, . . . , gr−1〉) = r − 1<br />

63


(ver Proposición A.38 del Apéndice). En efecto, como<br />

〈g1, . . . , gr−1, fr〉 = 〈f1, . . . , fr〉<br />

y ht(〈f1, . . . , fr〉) = r, entonces ht(〈g1, . . . , gr−1, fr〉) = r. Por lo tanto de la<br />

desigualdad<br />

ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1; fr〉) ≤ ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) + 1<br />

tenemos que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≥ r − 1. Por otro lado, el P.I.T (Teorema<br />

1.18 del Apéndice) nos indica que ht(〈gi : i = 1, . . . , r − 1〉) ≤ r − 1.<br />

<br />

Observación. A continuación generalizamos el Corolario 2.23. Mostramos<br />

la siguiente propiedad : Si I = 〈fi; i = 1, . . . , r〉 es una icis, podemos elegir<br />

generadores {gi; i = 1, . . . , r} de I de tal forma que cada 〈gi〉 tiene una<br />

singularidad aislada.<br />

Teorema 2.25. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Entonces<br />

existen generadores g1, · · · , gr tal que I = 〈g1, · · · , gr〉 y cada gi tiene<br />

una singularidad aislada en η.<br />

Prueba. El proceso se desarrollará de manera inductiva sobre r ≥ 2 el<br />

número de polinomios. Para dos polinomios es claro que se pueden elegir<br />

representantes con estas características usando el Corolario 2.23.<br />

Supongamos que el teorema se cumple para toda Ir = 〈fi; i = 1, . . . , r〉<br />

icis. Sea Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 una icis. De la Proposición 2.3 podemos<br />

fijar fr+1 y hallar elementos gi con i = 1, . . . , r, generadores de Ir+1 =<br />

〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 de tal forma que Ir+1 = 〈gi, fr+1, i = 1, . . . , r〉 y el ideal<br />

Ir = 〈gi : i = 1, . . . , r〉 sea una icis. De la hipótesis inductiva podemos asumir<br />

que cada gi; i = 1, . . . , r tiene una singularidad aislada. Nuevamente para no<br />

cargar la notación denotemos los gi por fi. Este análisis previo nos permite<br />

afirmar que para Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 , al menos un generador<br />

tiene una singularidad aislada en η; que sin perdida de generalidad podemos<br />

suponer que es fr+1. Si fijamos este último y usamos la Proposición 2.24<br />

podemos hallar nuevos generadores g1, . . . , gr tales que I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 ,<br />

sea una icis e Ir+1 = 〈I ′ r, fr+1〉. De la hipótesis inductiva los generadores<br />

de I ′ r = 〈gi; i = 1, . . . , r〉 , se pueden cambiar, sin cambiar el ideal, por<br />

64


generadores g ′ i para i = 1, . . . , r tales que cada uno tenga una singularidad<br />

aislada en η; a estos los denotaremos nuevamente por {fi; i = 1, . . . , r} .<br />

Con ellos tenemos que Ir+1 tiene generadores {fi; i = 1, . . . , r + 1} , para<br />

los cuales cada 〈fi〉 tiene una singularidad aislada en η. Más aún, como<br />

los nuevos fi hallados cumplen que Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 entonces<br />

r + 1 = ht(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) = profundidad(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) lo que<br />

nos permite afirmar (del Corolario 17.7 de Eisembud) que los nuevos elementos<br />

{fi; i = 1, . . . , r + 1} forman una secuencia regular.<br />

<br />

Observación. A continuación mostramos un ejemplo de como aplicar la<br />

Proposición 2.24 de manera algorítmica en un ideal I que sea una icis.<br />

Ejemplo 2.26. Los polinomios f = x 2 y g = y 2 en el anillo (R, η) =<br />

(k[x, y](x,y), η) generan una icis. El ideal jacobiano Jf,g = 〈xy〉 tiene la siguiente<br />

descomposición primaria<br />

Jf,g = P1 ∩ P2<br />

donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Como f ∈ P1 y g ∈ P2 de la Proposición 2.24 es<br />

suficiente tomar λ no nulo en el cuerpo base k,<br />

g1 = f − λ · g = x 2 − λy 2 ,<br />

y tener que g1 tiene una singularidad aislada en η. Es claro que f := y 2 , g :=<br />

x 2 − λy 2 generan el ideal I, y g tiene una singularidad aislada.<br />

Si aplicamos nuevamente el proceso a los nuevos generadores f, g, (ver<br />

Proposición 2.24) obtenemos que Jf,g = 〈xy〉. La descomposición primaria<br />

de este ideal nuevamente es<br />

Jf,g = P1 ∩ P2,<br />

donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Notemos que en este caso ni f ni g se encuentran<br />

en el primo P1. En el cuerpo K := Q(R/P1) los elementos f, g no son k<br />

algebraicamente independientes. En efecto, para Q(z1, z2) = λ · z1 + z2 ∈<br />

k[z1, z2] tenemos que<br />

Sea z1 = t · z2 entonces<br />

Q(f, g) = λ · y 2 − λ · y 2 = 0.<br />

Q1(t, z2) = Q(t · z2, z2) = (λ · t + 1)z2 ∈ k[t, z2]<br />

65


es un polinomio no nulo (ver Lema A.60). Sea t = β ∈ k − {0} tal que<br />

Q1(β, z2) es no nulo. Es decir, sea β no nulo tal que β = −1/λ. Entonces de<br />

la Proposición 2.24<br />

g1 := f − β · g = y 2 − β(x 2 − λ · y 2 ) = −βx 2 + (1 + βλ)y 2<br />

tiene una singularidad aislada en η. Notemos que en el caso que β = −1/λ<br />

entonces g1 := −βx 2 no tiene una singularidad aislada.<br />

Por lo tanto, g1 = −βx 2 + (1 + βλ)y 2 y g2 = x 2 − λy 2 generan al ideal I<br />

y cada una de ellas tiene una singularidad aislada. La constante λ es no nula<br />

y β es no nula y diferente de −1/λ.<br />

Observación. Hemos demostrado que un elemento f tiene una singularidad<br />

aislada en η sí sólo si ht(Jf) = m. Es decir si ht(Jf) < m, el lugar singular<br />

de f tiene dimensión mayor que cero (más complicada). En el ámbito de<br />

la geometría el lugar singular de f representa el conjunto Z(〈f, Jf〉). En el<br />

álgebra representan los ideales primos P que contienen a 〈f, Jf〉 . Sea I =<br />

〈f1, · · · , fr〉 una icis donde ninguno de sus generadores sea regular. Es decir<br />

ht(Jfi ) ≤ m y puede suceder que ht(Jfi ) < m para todo i. Esta última<br />

condición significa que para cada fi el lugar singular es de dimensión mayor<br />

o igual a cero. En el Teorema 2.25 hemos demostrado que podemos hallar<br />

generadores g1, . . . , gr donde cada uno de ellos tiene una singularidad aislada.<br />

Este resultado se puede interpretar como una reducción de la singularidad<br />

de los representantes f1, . . . , fr. Es decir, los generadores fi tienen un lugar<br />

singular de dimension mayor que un punto (ht(Jfi ) < m), ahora para los<br />

generadores g1, · · · , gr sus respectivos lugares singulares son solo puntos.<br />

Es lícito pensar que podemos hallar generadores h1, · · · , hr donde al<br />

menos uno de ellos sea regular. Es decir proporcionar una reducción total<br />

de la singularidad de por lo menos un generador. En el siguiente ejemplo veremos<br />

que esto no es posible. La hipótesis que el ideal I no tenga generadores<br />

regulares nos indica que I ⊂ η2 . Esto significa que no podemos hallar en el<br />

ideal I un elemento regular.<br />

Ejemplo 2.27. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η), el anillo regular local y f =<br />

x 2 +y 2 , g = xy+y 2 entonces JF = 〈x(2y + x) − y 2 〉 . Se prueba que I = 〈f, g〉<br />

es una icis. Se cumple que I ⊂ η 2 . Si I = 〈f ′ .g ′ 〉 donde al menos f ′ es<br />

regular entonces del Lema A.57 se desprende que Jf ′ = R. Esto significa que<br />

f ′ = P + ax + by, donde P ∈ η2 y a o b es diferente de cero. Esto significa<br />

que f ′ /∈ η2 y por lo tanto I η2 , una contradicción.<br />

66


2.2. Homología de Hochschild para I = 〈f, g〉<br />

Describiremos los complejos Lj de tal manera que nos permita develar<br />

su cohomología. En un primer momento abordamos el caso I = 〈f〉 . Calculamos<br />

la cohomología de los complejos Lj para todo j > m. Finalmente en<br />

el caso I = 〈f, g〉 presentamos un ejemplo que nos demuestra que no podemos<br />

seguir el camino que se planteó para el caso en que I = 〈f〉 , donde<br />

H ∗ (Lj) = T orm−∗(R/ 〈f〉 , R/Jf) (ver [BKH]). En nuestro caso esto sólo<br />

sucede cuando j < m donde se pueden emplear las mismas técnicas. Para<br />

j m mostramos que los complejos Lj sólo tienen tres términos de cohomología<br />

no nulos. En este caso proporcionamos una secuencia espectral E ∗<br />

que converge a la cohomología de Lj y colapsa en el segundo término. Calculamos<br />

de manera conveniente el término E 1 ∗,∗. En el caso particular en que<br />

Jg ⊂ Jf demostramos que E ∞ = E 1 . La mayoría de ejemplos que conocemos<br />

cumplen esta condición, por ejemplo las curvas sobre C inmersas en dimensión<br />

3 clasificadas por ejemplo en [Looj]. En estos ejemplos podemos calcular<br />

entonces los módulos de cohomología de los complejos Lj para j ≥ m.<br />

En el caso general demostramos que los complejos Lj para j < m − 1<br />

cumplen que H t (Lj) = 0 para todo t < j, y H j (Lj) = 0. En general, para<br />

los complejos Lj con j > m − 1 calculamos los módulo de cohomología en los<br />

grados m − 2 y m. El término en grado m − 1 se encuentra en una secuencia<br />

exacta larga donde los términos son conocidos.<br />

2.2.1. El Complejo Lj.<br />

Describimos de manera conveniente el complejo Lj. Bajo la hipótesis de<br />

singularidad aislada calculamos la cohomología de los complejos Lj para j ≥<br />

m en el caso I = 〈f〉 . Mostramos que en el caso I = 〈f1 . . . , fr〉 no se puede<br />

generalizar los calculos que presentamos cuando I = 〈f〉 .<br />

Sea I un ideal generado por una secuencia regular. Del Corolario 1.107 se<br />

desprende que la homología de Hochschild del álgebras R/I se descompone<br />

en los módulos de cohomolgía de los complejos<br />

Lj : 0<br />

<br />

IjΩ0 R<br />

Ij+1Ω0 R<br />

si j ≤ m := dim(R) y<br />

dDR <br />

<br />

Ij−1Ω1 R<br />

IjΩ1 R<br />

dDR <br />

. . .<br />

67<br />

dDR <br />

IΩ<br />

j−1<br />

R<br />

I 2 Ω j−1<br />

R<br />

Ω j<br />

dDR R<br />

IΩ j<br />

R<br />

,


Lj : 0<br />

<br />

IjΩ0 R<br />

Ij+1Ω0 R<br />

dDR <br />

<br />

Ij−1Ω1 R<br />

IjΩ1 R<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

I<br />

j−m+1Ω m−1<br />

R<br />

I j−m+2 Ω m−1<br />

R<br />

dDR <br />

Ij−mΩm R<br />

Ij−m+1Ωm R<br />

si j > m. Vamos a describir a estos complejos Lj de una manera conveniente<br />

en la Proposición 2.28. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene que<br />

IsΩj−s Is+1 Is<br />

<br />

Ωj−s Is+1 ⊗R Ω j−s<br />

pues Ωs es libre (Teorema 1.28).<br />

Debido a que el ideal I es de intersección completa, el R/I−módulo<br />

graduado I<br />

s≥0<br />

s<br />

R<br />

es isomorfo al anillo de polinomios<br />

Is+1 I [y1, . . . , yr] (ver<br />

Proposición A.29) donde ht(I) = r. Denotemos al espacio vectorial de los<br />

polinomios homogéneos de k [y1, . . . , yr] de grado s por ⊕|a|=sy a1<br />

1 · · · y ar<br />

r , donde<br />

a = (a1, . . . , ar) y |a| = a1 + . . . + ar. Con esta notación se prueba que<br />

Is <br />

y<br />

Is+1 |a|=s<br />

a1<br />

1 · · · y ar<br />

r ⊗k<br />

Usando estos isomorfismos veremos que el morfismo borde resulta ser casi la<br />

multiplicación por los dfi. En efecto definamos Ω := Ω ⊗ R/I, el siguiente<br />

diagrama conmutativo define δ<br />

f a1<br />

1 · · · f ar<br />

que<br />

<br />

|a|=s<br />

IsΩ j−s<br />

R<br />

Is+1Ω j−s<br />

<br />

R<br />

<br />

y a1<br />

1 · · · yar r ⊗k Ω j−s<br />

R<br />

I s+1 Ω j−s<br />

R<br />

d <br />

δ ′ <br />

<br />

|a|=s−1<br />

R<br />

I .<br />

Is−1Ω j−s+1<br />

R<br />

IsΩ j−s+1<br />

R<br />

<br />

<br />

y a1<br />

1 · · · y ar<br />

r ⊗k Ω j−s+1<br />

R<br />

donde z = y a1<br />

1 · · · yar r ⊗ ω ∈ <br />

|a|=s ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s<br />

R corresponde a x =<br />

r ω en el módulo IsΩ j−s<br />

R . De la definición del morfismo d se sigue<br />

d(x) =<br />

r<br />

f a1<br />

i=1<br />

1 · · · f ai−1<br />

i<br />

· · · f ar<br />

r · ai · dfi ∧ ω + f a1<br />

1 · · · f ar<br />

r d(ω) =<br />

68<br />

,


f a1<br />

i=1<br />

1 · · · f ai−1<br />

i<br />

· · · f ar<br />

r · ai · dfi ∧ ω.<br />

Por lo tanto d(x) corresponde al elemento r i=1 ya1<br />

en el módulo <br />

|a|=s−1 ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s+1<br />

R<br />

δ ′ (z) =<br />

r<br />

y a1<br />

i=1<br />

1 · · · y ai−1<br />

i<br />

1 · · · y ai−1<br />

i<br />

· · · y ar<br />

r ⊗ai·dfi ∧ ω<br />

. Entonces podemos escribir<br />

· · · y ar<br />

r ⊗ ai · dfi ∧ ω<br />

Notemos que ai puede ser cero.<br />

Como k ⊃ Q podemos reemplazar las potencias f j<br />

j<br />

(j) fi i por f i = j! entonces<br />

el morfismo se define sólo con la multiplicación por dfi, para i = 1, . . . , r. Es<br />

decir el siguiente diagrama<br />

<br />

|a|=s<br />

y (a1)<br />

1<br />

I s Ω j−s<br />

R<br />

I s+1 Ω j−s+1<br />

R<br />

<br />

<br />

· · · y (ar)<br />

r<br />

es conmutativo, donde<br />

⊗k Ω j−s<br />

R<br />

δ(y (a1)<br />

1 . . . y (ar)<br />

r ⊗ ω) =<br />

Por convención y (b)<br />

i<br />

r<br />

i=1<br />

d <br />

<br />

δ <br />

|a|=s−1<br />

y (a1)<br />

1<br />

Is−1Ω j−s+1<br />

R<br />

y (a1)<br />

1<br />

I s Ω j−s+1<br />

R<br />

<br />

<br />

· · · y (ar)<br />

r<br />

⊗k Ω j−s+1<br />

R .<br />

. . . y (ai−1)<br />

i . . . y (ar)<br />

r ⊗ dfi ∧ ω.<br />

= 0 si b < 0, para todo i = 1, . . . , r.<br />

Proposición 2.28. El complejo Lj es isomorfo a<br />

0<br />

<br />

<br />

|a|=j<br />

y (a1)<br />

1 · · · y (ar)<br />

r ⊗k Ω 0<br />

R<br />

<br />

. . . <br />

|a|=1<br />

y (a1)<br />

1 · · · y (ar)<br />

r ⊗k Ω j−1<br />

R<br />

<br />

δ <br />

|a|=j−1<br />

y (a1)<br />

1 · · · y (ar)<br />

r ⊗k Ω 1<br />

R δ <br />

. . .<br />

69<br />

<br />

<br />

y<br />

|a|=0<br />

(a1)<br />

1 · · · y (ar)<br />

r ⊗k Ω j<br />

R,


donde<br />

δ(y (a1)<br />

1 . . . y (ar)<br />

r<br />

y Ω ∗<br />

R = Ω ∗ R ⊗R R/I.<br />

⊗ ω) = y (a1)<br />

1<br />

· · · y (ai−1)<br />

i · · · y (ar)<br />

r ⊗ dfi ∧ ω,<br />

Prueba. Se sigue del análisis anterior. <br />

Observación. Veamos rápidamente el caso en el cual I = 〈f〉 para valores<br />

de j ≥ m = dim(R). En este caso se prueba que el complejo Lj es isomorfo<br />

a<br />

Ω 0<br />

R<br />

df<br />

<br />

1<br />

ΩR df<br />

<br />

. . . df<br />

<br />

m<br />

ΩR (usar Proposición 2.28 y notar que k[x]s ⊗k Ω i Ω i .) Esto se puede escribir<br />

como<br />

(Ω 0 R<br />

df<br />

<br />

1 ΩR df<br />

<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

Ωm R ) ⊗R R/ 〈f〉 .<br />

Es decir Lj = K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R<br />

I , donde df = Σm i=1fxi dxi para cierta base<br />

dx1, . . . , dxm del módulo Ω 1 R .<br />

Observación. Basados en la descripción anterior podemos demostrar, en el<br />

caso particular que I = 〈f〉 , lo siguiente : Sea el anillo R = k[x1, . . . , xn](x1,...,xn).<br />

Si f es regular (es decir Jf = R, ver Lema A.57) entonces HH∗(R/I) = Ω ∗ R/I .<br />

La demostración de esta afirmación se esboza en el siguiente ejemplo.<br />

Ejemplo 2.29. Sea A = ((k[x1, · · · , xm]/ 〈f〉)(x1,··· ,xm), η) un anillo donde f<br />

es un polinomio regular en el punto (0, · · · , 0). Esto significa que la matriz<br />

Jac(f) evaluada en el punto (0, · · · , 0) tiene rango uno. Es claro observar<br />

que esto equivale a tener que el ideal jacobiano Jf es unidad en el anillo<br />

k[x1, · · · , xm](x1,··· ,xm). Entonces algún fxi se encuentra fuera del maximal η.<br />

Por lo tanto se prueba que<br />

T : Ω 1<br />

R −→ Ω 1<br />

R<br />

definido por T (dxj) = dxj para j = i; y T (dxi) = df es un isomorfismo. Este<br />

isomorfismo prueba que el diagrama<br />

∧ ∗ T<br />

Ω ∗ df<br />

<br />

∗+1<br />

<br />

Ω<br />

Ω ∗<br />

<br />

dxi <br />

∗+1<br />

Ω .<br />

70<br />

∧ ∗+1 T −1


es conmutativo. Esto significa que el complejo<br />

Ω 0<br />

R<br />

df<br />

<br />

1<br />

ΩR es quasi isomorfo al complejo exacto<br />

Ω 0<br />

R<br />

dx1 <br />

1<br />

ΩR Del Corolario 1.107 se desprende que<br />

df<br />

<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

m<br />

ΩR dx1 dx1 <br />

. . . <br />

m<br />

ΩR <br />

0,<br />

<br />

0.<br />

HHn(R/ 〈f〉) = H n (Ln) = Ω n /(dx1 ∧ Ω n−1 ) Ω n R/〈f〉,<br />

si n < m. Esto nos indica que HHn(A) = Ωn A , para todo valor de n < m y<br />

cero para valores mayores o iguales a m, donde A = R/ 〈f〉 .<br />

Observación. El Propósito del ejemplo anterior es ilustrar la técnica que en<br />

él se emplea. Una manera directa de calcular HH∗(A) cuando A = R/ 〈f〉 y<br />

f es regular, es usar el Teorema 1.51 (ver Lema A.57).<br />

Observación. Si a la hipótesis de intersección completa impuesta al ideal I<br />

(recordemos que esta hipótesis es la que nos permite usar el Corolario 1.107)<br />

le agregamos la hipótesis de singularidad aislada, es decir<br />

tenemos la siguiente Proposición.<br />

ht(〈Jf, f〉) = dim(R) = m<br />

Proposición 2.30. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f〉 un ideal con una<br />

singularidad aislada. La cohomología de los complejos Lj para j ≥ m cumple<br />

para todo s ≤ m.<br />

Prueba. En efecto, sea<br />

Lj : (Ω 0 R<br />

df<br />

<br />

1 ΩR df<br />

H s (Lj) = T orm−s( R<br />

<br />

. . .<br />

Jf<br />

, R<br />

I )<br />

df<br />

<br />

m ΩR ) ⊗R R<br />

I = K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I,<br />

donde df = m<br />

i=1 dfxi dxi. Como I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η<br />

entonces {fx1, . . . , fxm} forman una secuencia regular. Por lo tanto el complejo<br />

Koszul K(fx1, . . . , fxm) de fx1, . . . , fx1 es una resolución de R/Jf Ω m /df,<br />

71


donde df denota la imagen de df ∧ − : Ω m−1 −→ Ω m (ver Lema 1.70). Es<br />

decir H ∗ (Lj) = T orm−∗( R<br />

I<br />

, R<br />

Jf<br />

). <br />

Ejemplo 2.31. Sea f = x 2 + y 2 + z 2 en (k[x, y, z](x,y,z), η), entonces Jf = η.<br />

Como H ∗ (Lj) = T orm−∗( R<br />

I<br />

de R/I tenemos que<br />

Por lo tanto<br />

, R<br />

Jf<br />

), si usamos la resolución<br />

K(f) : R f <br />

R<br />

K(f) ⊗R R/η : k 0 <br />

k.<br />

H ∗ ⎧<br />

⎪⎨ k si *=m<br />

(Lj) = k<br />

⎪⎩<br />

0<br />

si *=m-1<br />

en otro caso.<br />

(2.6)<br />

Para el caso de un polinomio el cálculo de los módulos de cohomología<br />

de los complejos Lj fueron realizados por Michler. Presentamos una leve<br />

generalización de su resultado.<br />

Corolario 2.32. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f〉 un ideal con una<br />

singularidad aislada en η entonces<br />

H ∗ ⎧<br />

(Jf ⎨ :f)<br />

si *=m-1<br />

Jf<br />

(Lj) = R<br />

(2.7)<br />

⎩ si *=m<br />

para j ≥ m = dimR.<br />

〈f,Jf〉<br />

Prueba. Será suficiente hallar una resolución de R/ 〈f〉 (ver Proposición<br />

2.30). Como R es un dominio, el complejo<br />

K(f) : R f<br />

es una resolución de R/ 〈f〉 . Por lo tanto el complejo K(f) ⊗ R/Jf se escribe<br />

como<br />

f<br />

K(f) ⊗ R/ 〈Jf〉 : 0 <br />

R/ 〈Jf〉 <br />

R/ 〈Jf〉 .<br />

72<br />

<br />

R


De aquí se sigue que H m−1 (Lj) = (Jf :f)<br />

Jf<br />

, y H m (Lj) = R/ 〈f, Jf〉 . <br />

Observación. Notemos que la dimensión de H m (Lj) (para j ≥ m) es el<br />

número de Tjurina de la singularidad (ver Observación en la Proposición<br />

2.4)<br />

De ahora en adelante, hasta finalizar la sección, veremos solamente el<br />

caso en el que I = 〈f, g〉 sea intersección completa y tenga una singularidad<br />

aislada. Es decir trabajaremos bajo la hipótesis que el ideal I sea intersección<br />

completa y cumpla la siguiente propiedad :<br />

ht(〈f, g, Jf,g〉) = m.<br />

Nuestro estudio se centrará en la cohomología de los complejos Lj para valores<br />

j ≥ dim(R). En adelante para no cargar la notación escribiremos ya i por<br />

y (a)<br />

i . La Proposición 2.28 prueba que los complejos Lm+k se expresan de la<br />

siguiente manera<br />

Lm+p : <br />

|a|=m+p<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω 0 δ <br />

<br />

|a|=m+p−1<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω 1<br />

<br />

. . . δ <br />

|a|=p+1<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω m−1<br />

δ <br />

δ <br />

<br />

|a|=p<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω m ,<br />

donde Ω s = Ω s ⊗R R/I. A partir de aquí usaremos la siguiente notación<br />

Ω m−i<br />

i,l,m+p =<br />

<br />

|α|=i+p;a2=l<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω m−i ,<br />

especialmente cuando escribamos L ′ m+p como un bicomplejo. Cuando no halla<br />

lugar a duda en que complejo Lj estemos trabajando sólo pondremos Ω m−i<br />

i,l .<br />

Notemos que y j<br />

1y i 2Ω s y j<br />

1y i−1<br />

2 Ω s Ω s .<br />

Definición 2.33. Definamos los complejos L ′ m+p de la siguiente manera :<br />

L ′ m+p : m+p <br />

Ω<br />

l=0<br />

0 m,l<br />

δ <br />

m+p−1 <br />

Ω<br />

l=0<br />

1 p<br />

δ <br />

. . . δ <br />

m−1,l<br />

Ω<br />

l=0<br />

m 0,l<br />

y el morfismo borde se define como δ(y a 1y b 2ω) = y a−1<br />

1<br />

donde y a 1 = y a 2 = 0 si a < 0.<br />

73<br />

<br />

0,<br />

yb 2df ∧ ω + ya 1y b−1<br />

2 dg ∧ ω,


Observación. Notemos que Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I y que δ2 = 0. Una idea<br />

natural para generalizar la Proposición 2.30 en el caso de más un polinomio<br />

es intentar probar que H∗ (Lm) = T orm−∗( R<br />

I , R/ 〈Jf, Jg〉) donde L ′ m es una<br />

resolución de R/ 〈Jf, Jg〉 = Hm (L ′ m). El siguiente ejemplo muestra que esto<br />

no es posible :<br />

Ejemplo 2.34. Sea f = x 2 +y 2 +z 2 y g = xy+z 2 en (R, η) = (k[x, y, z](x,y,z), η).<br />

Se prueba que f, g forman una secuencia regular. Un cálculo muestra que<br />

Jf,g = 〈x 2 − y 2 , z(2x − y), z(2y − x)〉 , ht(〈Jf,g, f, g〉) = 3. Es decir el ideal<br />

I = 〈f, g〉 tiene una singularidad aislada de intersección completa en η.<br />

Más aún como Jf = Jg = η entonces ht(Jf) = ht(Jg) = 3 = dimKrull(R).<br />

Del Corolario 2.5 la última conclusión significa que f y g tienen una singularidad<br />

aislada en η. Esto a su vez equivale a tener que los complejos<br />

K(fx1, . . . , fxm) y K(gx1, . . . , gxm), tienen cohomología cero para todo i = m,<br />

donde df = m i=1 fxidxi y dg = m gxi i=1 dxi.<br />

Debido a que el complejo Lm se puede escribir como<br />

Lm : . . .<br />

<br />

Ω m−1<br />

1,1<br />

tenemos la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

Ω m−2<br />

2,1<br />

<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

Ω m−3<br />

3,1<br />

<br />

. . .<br />

<br />

<br />

<br />

df<br />

df<br />

df<br />

Ω m<br />

0,0 Ω m−1<br />

<br />

Ω m−2<br />

<br />

<br />

. . . ,<br />

dg<br />

1,0<br />

<br />

K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I<br />

dg<br />

<br />

Lm<br />

2,0<br />

<br />

Lm−1<br />

donde, en Lm, identificamos la primera columna de la izquierda con el complejo<br />

K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I, y el cociente con Lm−1 (notemos que x j y i Ω s <br />

x j y i−1 Ω s ). Como f tiene una singularidad aislada entonces<br />

H ∗ (K(fx1, . . . , fxm) ⊗ R/I) = T orm−∗( R R<br />

, ).<br />

I Jf,g<br />

Por lo tanto si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología tenemos<br />

74<br />

<br />

0,


T or1( R R , I Jf )<br />

T or0( R R , I Jf )<br />

· · ·<br />

<br />

m−1 H (Lm)<br />

<br />

Ω m<br />

df+dg .<br />

<br />

m−2 H (Lm−1)<br />

<br />

Ω m−1<br />

df+dg<br />

δ1 <br />

δ0 <br />

Sin dificultad se prueba que δ0 = 0 pues Jg ⊂ Jf y entonces δ0([ω]) =<br />

[dg ∧ ω] = 0 ∈ H m (K(fx1, . . . , fxm)⊗R/I) = R/Jf = R/Jg. Veamos qué sucede<br />

con δ1. Sea [(w0, w1)] un elemento en el módulo H m−2 (Lm−1). Entonces para<br />

representantes (w0, w1) en la clase (w0, w1) de (Lm−1)m−2 se cumple<br />

df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η1 + g · η2.<br />

Si efectuamos el producto dg∧ en la igualdad anterior tenemos<br />

dg ∧ (df ∧ w1 + dg ∧ w0) = dg ∧ (f · η1 + g · η2) (2.8)<br />

Como Jf = Jg se tiene dg ∧ η1, dg ∧ η2 ∈ dg ∧ Ω m−1<br />

R<br />

Entonces existen η ′ 1, η ′ 2 ∈ Ω m−1<br />

R<br />

Por lo tanto podemos escribir<br />

Jg = Jf df ∧ Ω m−1<br />

R<br />

.<br />

tal que dg ∧ η1 = df ∧ η ′ 1 y dg ∧ η2 = df ∧ η ′ 2.<br />

(f · dg ∧ η1 + g · dg ∧ η2) = (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2).<br />

De aquí se sigue que la ecuación 2.8 se escribe como<br />

Si factorizamos df∧ obtenemos<br />

dg ∧ df ∧ w1 − (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2) = 0.<br />

df ∧ (dg ∧ w1 + f · η ′ 1 + g · η ′ 2) = 0.<br />

Como df∧ es el diferencial del complejo K(fx1, . . . , fxm) que tiene cohomología<br />

cero en todos los grados salvo en nivel m (pues ht(Jf) = m), tenemos<br />

que dg∧w1+(f ·η ′ 1+g·η ′ 2) = df ∧η2, para algún η2. Es decir dg ∧ ω1 = df ∧ η2<br />

en Ω m−1 y<br />

δ1([(w1, w2)]) = [dg ∧ w1] = [df ∧ η2] = 0<br />

75


en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por lo tanto tenemos la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

T or1( R R , I Jf )<br />

<br />

m−1 H (Lm)<br />

A continuación calculamos el módulo T or1( R<br />

I<br />

<br />

Ωm−1<br />

df + dg<br />

<br />

0. (2.9)<br />

R , ). Si Usamos la hipótesis<br />

Jf<br />

que el ideal I = 〈f, g〉 es intersección completa tenemos que el complejo<br />

es una resolución de R<br />

I<br />

el complejo anterior obtenemos<br />

0<br />

0<br />

(f,g) (−g,f)<br />

<br />

R <br />

R R <br />

R<br />

. Si efectuamos el producto tensorial ⊗R R<br />

Jf = ⊗Rk en<br />

<br />

k<br />

0 <br />

<br />

0<br />

k k <br />

k<br />

Esto significa que T or1( R R , ) = k ⊕ k. Antes de continuar un lema que nos<br />

I Jf<br />

permitirá demostrar que Ωm−1<br />

df+dg<br />

es un módulo no nulo.<br />

Lema 2.35. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, y 〈f〉 un ideal con una singularidad<br />

aislada. La aplicación<br />

df :<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

Ωm−1 df ∧ Ωm−2 m JfΩ Jf<br />

→ <br />

+ dg ∧ Ωm−2 Jf,gΩm Jf,g<br />

definida por w ↦→ df ∧ w es un isomorfismo.<br />

Prueba. Sólo la inyectividad no es clara. Si df ∧ w = 0 entonces df ∧ w =<br />

df ∧dg∧w1, por lo tanto df ∧(w−dg∧w1) = 0. Como H i (K(fx1, · · · , fxm)) = 0<br />

para todo i = m entonces existe w2 ∈ Ω m−2 tal que w = dg ∧ w1 + df ∧ w2,<br />

es decir w = 0. <br />

Notemos que, Ωm−1<br />

df+dg<br />

Jf<br />

Jf,g<br />

⊗R R<br />

I = 0 por que si no M = Jf<br />

Jf,g cumpliría<br />

que M<br />

IM = 0 y por el Lema de Nakayama se tendría M = 0. Pero Jf = η y<br />

Jf,g ⊂ η 2 nos dice que M = 0. Por (2.9), dim(H m−1 (Lm)) > 2 y no puede<br />

ser isomorfo a<br />

Esto finaliza el Ejemplo 2.34.<br />

T or1(R/I, R/ 〈Jf, Jg〉) = T or1(R/I, R/Jf).<br />

76


Corolario 2.36. El complejo L ′ m no es exacto en general.<br />

Prueba. Si no L ′ m sería una resolución de R/ 〈Jf, Jg〉 y<br />

H m−1 (Lm) = T or1(R/I, R/ 〈Jf, Jg〉).<br />

Observación. Con respecto a la cohomología de los complejos Lj podemos<br />

decir es que esta corresponde al Hipertor de L ′ j y R/I; tal como enunciamos<br />

a continuación.<br />

Definición 2.37. Una resolución de Cartan-Eilenberg P∗∗ de un complejo<br />

(C∗, d) es un complejo doble en el semiplano superior de módulos proyectivos<br />

(Ppq = 0 si q < 0), con una aplicación<br />

ɛ : P∗0 → A∗<br />

tal que para todo p se cumple :<br />

Si Cp = 0 la columna Pp∗ es cero. La aplicaciones<br />

y<br />

B(ɛ) : Bp(P, d h ) → Bp(C)<br />

H(ɛ) : Hp(P, d h ) → Hp(C)<br />

son resoluciones proyectivas. El módulo Bp(P, d h ) es el borde horizontal.<br />

Observación. Toda cadena compleja (C, d) tiene una resolución de Cartan-<br />

Eilenberg P∗∗ (ver [Wei, Lema 5.7.2]).<br />

Definición 2.38. Sean (C∗, d) una cadena, B un módulo, y P → (C∗, d) una<br />

resolución de Cartan-Eilenberg. Definimos el Hipertor ( TOR ) de (C∗, d) y<br />

B como<br />

T ORi(C∗, B) = Hi(T ot(P ⊗ B)).<br />

Observación. En el caso que C sea un módulo A concentrado en grado cero<br />

obtenemos la definición de T ori(A, B).<br />

Si el complejo (C, d) es finito entonces<br />

T ORi(C∗, B) = Hi(C∗ ⊗ B)<br />

77


para todo i (ver [Wei, Aplicación 5.7.8]). Como Lj = L ′ j ⊗ R/I entonces<br />

H i (Lj) = T ORm−∗(L ′ j, R/I).<br />

Observación. A continuación veremos cuantos módulos de cohomología nulos<br />

existen en los complejos Lj para todo j ≥ 1 donde I = 〈f1, . . . , fr〉 es una<br />

icis.<br />

Lema 2.39. Sean (R, η) un anillo r.l.e.t.f., e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces<br />

para todo primo P en al anillo R/I se tiene Hi ((Lj)P ) = 0 es exacto<br />

para todo j > m − r + 1 e i ≥ 0.<br />

H i ⎧<br />

⎪⎨ 0 para todo i si j > m − r<br />

((Lj)P ) = 0<br />

⎪⎩<br />

∧<br />

si j ≤ m − r e i = j<br />

jN si i = j ≤ m − r,<br />

(2.10)<br />

donde N = ⊕ m−r+1<br />

i=1 RP · ei<br />

Prueba. Sea P un ideal primo diferente que el maximal en el anillo A := R/I.<br />

Del Lema 2.3 se sigue que el anillo AP es regular local. Esto significa que<br />

R es suave. Por lo tanto, del Teorema de Hochschild Konstant Rosenberg<br />

tenemos que<br />

HHn(AP ) = Ω n AP = Hn (Ln).<br />

Por otro lado sabemos que<br />

[n/2] <br />

HHn(AP ) =<br />

i=0<br />

H n−2i ((Ln−i)P ),<br />

para todo n ≤ m − r + 1. De aquí se sigue que H n ((Ln)P ) = ΩAP y<br />

H i ((Ln−i)P ) = 0 para todo i > 0, y n ≤ m−r +1. Como HHn(AP ) = 0 para<br />

todo n > m − r + 1 obtenemos que H i ((Lj)P ) = 0 para todo j > m − r + 1.<br />

<br />

Corolario 2.40. Sean (R, η) un a.r.l.e.t.f e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces<br />

H i ((Lj)) = 0<br />

para todo i < m − r e i > m si j > m − r; y si j ≤ m − r e i = j.<br />

78


Prueba. Notemos que el anillo A = R/I tiene dimensión m−r. Los complejos<br />

Lj son complejos de A−módulos libres. Sea j > m − r entonces del lema<br />

anterior tenemos que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i. Del Corolario 1.69 se sigue<br />

que H i (Lj) = 0 para todo i < m − r − 1. La longitud del complejo Lj es a lo<br />

más igual a m. Por lo tanto H i (Lj) = 0 para todo i > m.<br />

Sea j ≤ m − r, del lema anterior se tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo<br />

i < j y para todo primo P de altura menor que m−r. El criterio de exactitud<br />

nos indica que H i (Lj) = 0 para todo i < j. <br />

Observación. Interesados en conocer la cohomología de los complejos Lm+p<br />

presentaremos el cálculo de la cohomología de ciertos complejos Lj(x1, . . . , xr)<br />

isomorfos a Lj en cierta localización RP . Ellos se pueden asumir como una<br />

generalización del complejo de Koszul. Por esta razón presentamos la siguiente<br />

subsección :<br />

2.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul<br />

En este item trabajaremos en A una k−álgebra local e.t.f. Entre los principales<br />

ejemplos de estas álgebras se encuentran los anillos (R, η) r.l.e.t.f., sus<br />

localizaciones y los anillos R/I, donde I es un ideal de intersección completa<br />

con una singularidad aislada.<br />

En base a los complejos Lj para j > 0 daremos la siguiente definición :<br />

Definición 2.41. Sea (A, η) un anillo local con una estructura de k−álgebra,<br />

N = ⊕ m i=1A · dxi un A−módulo libre. Denotemos N i := ∧ i N, y N 0 = A. Definamos<br />

los complejos Lj(dx1, . . . , dxr, N) con r ≤ m de la siguiente manera<br />

<br />

|a|=j<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N 0<br />

si j < m, y<br />

δ <br />

. . . δ <br />

<br />

|a|=j<br />

<br />

|a|=j−1<br />

<br />

|a|=1<br />

x a1<br />

1 · · · xar r ⊗k A δ <br />

x a1<br />

1 · · · xar r ⊗k N δ <br />

. . .<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N j−1<br />

<br />

|a|=j−1<br />

79<br />

δ <br />

<br />

|a|=0<br />

x a1<br />

1 · · · xar r ⊗k N δ <br />

. . .<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N j ,


. . .<br />

δ <br />

<br />

|a|=j−m+1<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N m−1<br />

δ <br />

si j ≥ m. Donde δ(x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ω) = r<br />

i=1 xa1<br />

<br />

|a|=j−m<br />

1 · · · x ai−1<br />

i<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N m ,<br />

si b < 0. Donde a = (a1, . . . , ar), y |a| = a1 + . . . + ar = j − s.<br />

· · · x ar<br />

r dxi ∧ ω, y x b i = 0,<br />

Observación. Cuando no haya lugar a confusión escribiremos L(x1, . . . , xr)<br />

por Lj(dx1, . . . , dxr, N). Cuando df1, · · · , dfr es parte de una base en Ω 1 RP es<br />

obvio que L(df1, · · · , dfr, Ω 1 RP ) es isomorfo a L(x1, . . . , xr) sobre un RP −módulo<br />

libre de rango m.<br />

Lema 2.42. El complejo Lj(x1, . . . , xr) esta bien definido<br />

Prueba. Será suficiente demostrar que δ 2 = 0. Sea x = x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ω entonces<br />

y<br />

δ(δ(x)) =<br />

r<br />

(<br />

i=1<br />

δ(x) =<br />

r<br />

x a1<br />

j=1<br />

r<br />

x a1<br />

i=1<br />

1 · · · x aj−1<br />

j<br />

1 · · · x ai−1<br />

i<br />

· · · x ar<br />

1 dxi ∧ ω,<br />

· · · x ai−1<br />

i · · · x ar<br />

r dxj ∧ dxi ∧ ω). (2.11)<br />

Sea l < s ∈ {1, . . . , r} dos indices arbitrarios. Sin perdida de generalidad<br />

podemos asumir que al, as > 0. En efecto si al = 0 o as = 0 entonces el<br />

término x a1<br />

1 · · · xas−1 s · · · x al−1<br />

l · · · xar r dxj ∧ dxi ∧ ω = 0.<br />

Si en la ecuación 2.11 ponemos i = l y j = s obtenemos<br />

z = x a1<br />

1 · · · x as−1<br />

s<br />

Si ponemos i = s y j = l obtenemos<br />

z ′ = x a1<br />

1 · · · x al−1<br />

l<br />

· · · x al−1<br />

l · · · x ar<br />

r dxs ∧ dxl ∧ ω.<br />

· · · x as−1<br />

s · · · x ar<br />

r dxl ∧ dxs ∧ ω.<br />

Como z + z ′ = 0 entonces δ ◦ δ = 0. <br />

Proposición 2.43. Sea j ∈ N, entonces existe una secuencia exacta corta<br />

de complejos<br />

0<br />

<br />

Lj(x1, . . . , xr−1)<br />

<br />

Lj(x1, . . . , xr)<br />

80<br />

ϕ<br />

<br />

Lj−1(x1, . . . , xr)<br />

<br />

0.


Prueba. Supongamos que j ≥ m, es decir j = m+p. Definamos la aplicación<br />

ϕt : <br />

<br />

|α|=m+p−t<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r N t R −→<br />

|α|=m+p−t−1<br />

de la siguiente manera : Sea x = x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r · ω ∈ <br />

Por linealidad ϕ se extiende a todo el módulo<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r N j<br />

|α|=m+p−t<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r N t R ,<br />

ϕt(x) = x a1<br />

1 · · · x ar−1<br />

r · ω. (2.12)<br />

<br />

|α|=m+p−t<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r N t . Notemos<br />

que ϕt define una aplicación ϕ : Lm+p(x1, . . . , xr) −→ Lm+p−1(x1, . . . , xr) de<br />

módulos graduados. Veamos que el siguiente diagrama<br />

<br />

|α|=m+p−t+1<br />

x a1<br />

1 · · · xar r N t−1 ϕj−1<br />

<br />

<br />

|α|=m+p−t<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r N t−1<br />

<br />

<br />

<br />

δ<br />

x<br />

δ<br />

|α|=m+p−t<br />

a1<br />

1 · · · xar r N t <br />

ϕt<br />

<br />

x<br />

|α|=m+p−t−1<br />

a1<br />

1 · · · xar r N t .<br />

conmute. Como ya sabemos que ϕ : Lm+p(x1, . . . , xr) −→ Lm+p−1(x1, . . . , xr).<br />

Sea x un elemento de <br />

|α|=m+p−t+1 xa1 1 · · · xar r N t−1 . Debemos demostrar que<br />

δ ◦ ϕt−1(x) = ϕt ◦ δ(x).<br />

En efecto sin perdida de generalidad podemos asumir que x = x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r · ω,<br />

entonces<br />

ϕt ◦ δ(x) = ϕt(δ(x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ω)) =<br />

Por otro lado tenemos<br />

r<br />

x a1<br />

i=1<br />

δ ◦ ϕt−1(x) = δ(x a1<br />

1 · · · x ai−1<br />

i<br />

1 · · · x ar−1<br />

r<br />

ω) =<br />

r<br />

ϕt(x a1<br />

i=1<br />

1 · · · x ai−1<br />

i<br />

· · · x ar−1<br />

r dxi ∧ ω.<br />

81<br />

r<br />

x a1<br />

i=1<br />

1 · · · x ai−1<br />

i<br />

· · · x ar<br />

r dxi ∧ ω) =<br />

· · · x ar−1<br />

r dxi ∧ ω.


Notemos que puede ocurrir que ai − 1 < 0. De las dos últimas ecuaciones se<br />

desprende que ϕ ◦ δ = δ ◦ ϕ. Es decir ϕ es un morfismo de complejos.<br />

Es claro que ker(ϕ) = Lm+p(x1, . . . , xr−1) esta incluido de manera natural<br />

en Lm+p(x1, . . . , xr).<br />

El caso j < m es similar con un caso particular para ϕj. <br />

Observación. En esta parte abordaremos el cálculo de los módulos de cohomología<br />

de los complejos Lj(x1, . . . , xr) donde A es un álgebra como en la<br />

Definición 2.41. Sean A una k−álgebra, y y1, . . . , ym variables. La A−álgebra<br />

B := A[y1, . . . , ym] es suave sobre A. Por lo tanto del teorema de Hochschild-<br />

Kostant-Rosenberg tenemos que<br />

HH A n (B) = Ω n<br />

B|A =<br />

n [<br />

m<br />

B · dyi]<br />

si n ≤ m y cero en otro término (ver [Wei, Ejercicio 9.1.3]). Es decir, HHn(B)<br />

es un modulo B−libre, más aún la álgebra B es homológicamente regular. El<br />

ideal I = 〈y1, . . . , yr〉 es intersección completa, y C := B/I = A[yr+1, . . . , ym]<br />

es suave sobre A. Por lo tanto tenemos que<br />

HH A n (C) = Ω n C =<br />

n [<br />

i=1<br />

m<br />

i=r+1<br />

C · dyi],<br />

si n < m − r + 1 y cero en los demás casos. Por otro lado, dado que I es<br />

intersección completa, tenemos que<br />

<br />

HH A [n/2]<br />

n (C) = H n−2i (Ln−i),<br />

donde el complejo Lj es de la forma<br />

<br />

x<br />

|a|=j<br />

a1<br />

1 · · · xar r ⊗k N 0<br />

<br />

δ<br />

<br />

x<br />

|a|=j−1<br />

a1<br />

1 · · · xar <br />

r ⊗k N δ . . .<br />

. . . δ <br />

<br />

|a|=1<br />

i=0<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N j−1<br />

δ <br />

<br />

|a|=0<br />

x a1<br />

1 · · · x ar<br />

r ⊗k N j ,<br />

y N = Ω 1<br />

B|A = Ω1 B|A ⊗B C. Notemos que ∧ j N = 0 si j > m y ∧ m N = B.<br />

82


Lema 2.44. Sea n en los naturales. Si<br />

<br />

HH A n (C) = Ω n [n/2]<br />

C = H n−2i (Ln−i),<br />

entonces Hi (Lj) = 0 para todo i = j ≤ m − r, Hj (Lj) = Ω j<br />

C<br />

Hi (Lj) = 0 para todo i si j > m − r.<br />

i=0<br />

si j ≤ m − r y<br />

Prueba. Se sigue de la descomposición de Hogde de la homología de Hochschild<br />

y homologia Cíclica <br />

Observación. En el anillo C la secuencia yr+1, . . . , ym es una secuencia regular,<br />

entonces el complejo Koszul K(yr+1, . . . , ym) es exacto.<br />

Ahora la cohomología que nos interesa es la de los complejos<br />

Lj ⊗C C/〈yr+1, . . . , ym〉 = Lj ⊗C A.<br />

Como K(yr+1, . . . , ym) es una resolución de A de C−módulos libre entonces<br />

H ∗ (Lj ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) = H ∗−j (H j (Lj) ⊗C K(yr+1, . . . , ym)),<br />

y cero si j > m − r + 1 (ver Lema 2.44). El módulo H j (Lj) = Ω j<br />

C<br />

es un<br />

C−módulo libre. Como yr+1, . . . , ym es una secuencia regular en C entonces<br />

K(yr+1, . . . , ym) es una resolución de A, entonces<br />

H ∗ (Lj ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) = H ∗−j (H j (Lj) ⊗C K(yr+1, . . . , ym)) =<br />

H j (Lj) ⊗C A.<br />

Corolario 2.45. Sea j > m − r entonces<br />

H i (Lj ⊗ A) = 0<br />

para todo i ≥ 0. Sea j ≤ m − r entonces<br />

H i <br />

0 si i = j<br />

(Lj ⊗ A) =<br />

Hj (Lj) ⊗C A = Ω j<br />

C ⊗C A si i = j.<br />

(2.13)<br />

Prueba. Se sigue de la observación anterior. <br />

83


2.2.3. Cálculo de la Homología de Hochschild<br />

En esta parte nos encaminamos en dirección al cálculo de los módulos de<br />

cohomología de los complejos Lj. Como sabemos el complejo L ′ m no es exacto<br />

en general. En relación a sus módulos de cohomología podemos precisar lo<br />

siguiente :<br />

Los módulos de cohomología del complejo L ′ m+p están soportados en los primos<br />

P que contienen al ideal Jf,g.<br />

Él es pieza fundamental para demostrar que los complejos Lm+p para k ≥ 0<br />

sólo tienen tres términos de cohomología no nulos. Este Teorema será uno<br />

de los pilares donde se sentara las bases de la siguiente sección. La igualdad<br />

ht(JF ) = m − r + 1 conjuntamente con el resultado anterior nos permitirán<br />

demostrar :<br />

Los complejos Lj para j ≤ m−2 tienen cohomología cero para todo i = j.<br />

Para j = m − 1 llegamos a que H s (Lm−1) = T orm−1−s(Jf/Jf,g, R/I). Finalmente<br />

para j ≥ m presentamos una secuencia espectral Ep,q que converge a<br />

la cohomología de los complejos Lm+p y E 2 = E ∞ .<br />

Los cálculos mencionados líneas atrás se sintetizan en el siguiente Teorema<br />

Teorema 2.46. Sea j ∈ N entonces<br />

H i ⎧<br />

0 si i < min{j, m − 2}.<br />

⎪⎨<br />

df ∧ Ω<br />

(Lj) =<br />

⎪⎩<br />

j<br />

⊗ R/I si i = j y j ≤ m.<br />

df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf<br />

, R/I) si j = m − 1.<br />

Jf,g<br />

T or1(H m−1 (Cp+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,<br />

(2.14)<br />

donde Cp+1 = (L ′ m+p) ≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel<br />

m − 1 y m presentamos una secuencia espectral<br />

E 1 2,0 = T or2(Mp, R<br />

I )<br />

E1 1,0 = T or1(Mp, R<br />

I ) E1 1,1 = T or1(Mp, R<br />

d1 <br />

E1 0,0 = T or0(Mp, R<br />

I )) E1 0,1 = T or0( Jg R , Jf,g I ),<br />

d1 <br />

84<br />

I )<br />

(2.15)


donde Gr(Mp) = ⊕ p<br />

i=0 R/Jf (ver Teorema 2.62) y d 1 es el producto exterior<br />

con dg.<br />

En el caso que Jg este contenido en el ideal Jf, se cumple E 1 = E ∞ , lo cual<br />

se demuestra en el Corolario 2.65. Aunque la condición Jg ⊂ Jf simplifica<br />

significativamente los cálculos, esta se da en muchos ejemplos conocidos.<br />

Ello nos permite calcular los módulos de cohomología de los complejos Lm+p<br />

para el caso en que R/I es de dimensión cero y la singularidad es simple<br />

(clasificación de Guisti [G]) [Looj, 7.19], a exepción de Hµ para µ ≥ 7, y<br />

las singularidades simples de curvas inmersas en dimensión tres<br />

(ver Ejemplo 2.67). El cálculo de estos grupos de cohomología fue una de las<br />

motivaciones originales de este trabajo.<br />

Formalmente tenemos :<br />

Teorema 2.47. Sea P un ideal primo con P Jf,g. Entonces (L ′ j)P <br />

Lj(x1, x2) (con N = Ω 1 RP y A = RP ). En particular los complejos L ′ j localizados<br />

en todo primo P Jf,g son exactos en (RP , ηP ) para todo j ≥ m − 1.<br />

Para j < m − 1 los complejos (L ′ j)P son exactos excepto posiblemente en<br />

grado j.<br />

Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base del módulo libre Ω1 R , y df = m fxi i=1 dxi,<br />

dg = m i=1 gxidxi la representationes de los diferenciales de f y g en dicha<br />

base. Entonces el ideal Jf,g es generado por los elementos fxigxj −fxj gxi . Con<br />

estos lineamientos establecidos iniciemos la prueba del Teorema :<br />

Sea P ideal primo tal que P Jf,g entonces algún<br />

fxigxj − fxjgxi /∈ P<br />

para indices i, j diferentes. Es decir fxi gxj − fxj gxi es unidad en RP .<br />

Afirmación. Sin perdida de generalidad podemos suponer (por un isomorfismo<br />

del módulo libre Ω1 R que reordene la base) que<br />

fx1gx2 − fx2gx1 /∈ P.<br />

Por otro lado como Ω1 Rp = m i=1 RP dxi, definamos N := Ω1 . Esta no-<br />

Rp<br />

tación es sólo para indicar que T establece un isomorfismo entre los complejos<br />

(L ′ j)P y Lj(x1, x2). Definamos la aplicación Rp lineal<br />

T : N −→ Ω 1 Rp<br />

85


como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi = dxi para i ≥ 3. De la representación<br />

matricial de T en la base dx1, . . . , dxm tenemos que |T | = fx1gx2 − fx2gx1<br />

es unidad en RP . Por lo tanto T −1 Adj(T )<br />

= esta bien definido. Esto sig-<br />

|T |<br />

nifica que df1, . . . , dfr forman parte de una base de Ω1 RP . Entonces (L′ j)P =<br />

Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 RP )<br />

El hecho que L ′ j sea exacto para j ≥ m − 1 se sigue del Corolario 2.45.<br />

La conclusión que los Lj para j < m − 1 sean exactos excepto en el último<br />

nivel se sigue también del Corolario 2.45.<br />

<br />

Observación. Si repetimos la demostración anterior ahora para el módulo<br />

Ω ∗<br />

R obtenemos<br />

Teorema 2.48. Los complejos Lj localizados en todo primo P Jf,g son<br />

exactos en ((R/I)P , η P ) para todo j ≥ m − 1. Para j < m − 1 los complejos<br />

(Lj)P son exactos salvo posiblemente en grado j.<br />

Prueba. Es la misma que la demostración anterior con A = (R/I)P y N =<br />

⊕ m i=1Adxi.. <br />

Proposición 2.49. El complejo L ′ m−1 es exacto salvo en nivel m − 1.<br />

Prueba. Es claro que el complejo L ′ m−1 tiene longitud m − 1. Entonces<br />

demostrar que H i (L ′ m−1) = 0 para todo i = m − 1 -usando el criterio de<br />

exactitud- equivale a probar que :<br />

(L ′ m−1)P tiene cohomología cero para todo i = m − 1 para todo primo P tal<br />

que profundidad(P ) = ht(P ) < m − 1.<br />

En efecto sea P primo tal que ht(P ) < m − 1. Del Corolario 2.19 tenemos<br />

ht(JF ) = m − r + 1.<br />

En el caso particular que r = 2 obtenemos ht(Jf,g) = m − 2 + 1, es decir<br />

Jf,g P. Entonces en RP el complejo (L ′ m−1)P es exacto. (ver Teorema 2.47).<br />

Esto finaliza la prueba.<br />

<br />

Corolario 2.50. La cohomología del complejo Lm−1 cumple<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(R/I, Jf<br />

donde I = 〈f, g〉 y el generador 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η.<br />

86<br />

Jf,g<br />

),


Prueba. Por la proposición, reindexando, L ′ m−1 es una resolución de<br />

H m−1 (L ′ m−1) Jf<br />

(Lema 2.35) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I. Entonces<br />

Jf,g<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf<br />

Jf,g<br />

, R/I).<br />

Observación. El corolario anterior es una generalización del Corolario 2.30.<br />

Observación. Hemos expresado los módulos de cohomología del complejo<br />

Lm−1 en función de T or∗(R/I, Jf/Jf,g). A continuación veremos cuantos de<br />

ellos son nulos.<br />

Corolario 2.51. Si i = m − 1, m − 2 entonces H i (Lm−1) = 0.<br />

Prueba. Se sigue del corolario 2.40.<br />

Observación. A continuación veremos que la cohomología de los complejos<br />

L ′ j cumple que H i (L ′ j) = 0 si i = j < m − 1. Existen diferentes maneras de<br />

demostrar esta afirmación (ver Corolario 2.40), nosotros nos basaremos en el<br />

criterio de exactitud.<br />

Corolario 2.52. Los complejos L ′ j son exactos ∀j < m − 1 salvo en grado j.<br />

Prueba. Sea L ′ j con j < m−1 entonces el complejo tienen longitud j. Sea P<br />

un ideal primo tal que ht(P ) < j. Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 entonces P Jf,g.<br />

Del Teorema 2.47 se sigue que (L ′ j)P es exacto salvo posiblemente en grado<br />

j. Una aplicación directa del criterio de exactitud finaliza la prueba.<br />

<br />

Observación. Del argumento del Corolario 2.40 obtenemos que H i (Lj) = 0<br />

si i = j ≤ m − 2. A continuación nosotros presentaremos otra demostración.<br />

Proposición 2.53. Sea j ≤ m − 2 entonces para todo t = j tenemos<br />

H t (Lj) = 0.<br />

87


Prueba. Sea P un ideal primo en el anillo R/I diferente del maximal. Como<br />

siempre obviaremos la notación de clase de equivalencia en el anillo R/I.<br />

Como ht(Jf,g) = m − 2 entonces P Jf,g. Por lo tanto del Teorema 2.48 se<br />

tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i = j. Una aplicación directa del Criterio<br />

de exactitud en el anillo R/I concluye la prueba. <br />

Observación. A continuación demostraremos que los generadores f, g del<br />

ideal I forman una secuencia H j (L ′ j)−regular para j ≤ m−2. Esta propiedad<br />

no se usa en el trabajo pero afianza el manejo de las propiedades del complejo<br />

de Koszul. Como los complejos L ′ j para j ≤ m − 2 tienen cohomología cero<br />

para todo i = j (Corolario 2.52) y Lj = L ′ j ⊗ R/I entonces<br />

H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I).<br />

De la proposición anterior tenemos que T orj−s(H j (L ′ j), R/I) = H s (Lj) = 0,<br />

para todo s < j. De aquí (siguiendo el mismo procedimiento que se presenta<br />

en el Teorema A.33 del Apéndice) se prueba que f, g forman un secuencia<br />

H j (L ′ j)−regular para todo j ≤ m − 2.<br />

Observación. Una de las principales propiedades que usamos en las demostraciones<br />

anteriores y que se manifiesta en el Teorema 2.47 es que los<br />

módulos de cohomología de los complejos L ′ m+p están soportados en los primos<br />

P ⊃ Jf,g. La otra propiedad que hemos usado es que los módulos de<br />

cohomología de los complejos Lm+p están soportados sólo en el ideal maximal<br />

(Proposición 2.53.)<br />

A continuación demostraremos que los complejos Lm+p sólo tienen tres<br />

términos de cohomología no nulos.<br />

Teorema 2.54. Se cumple que H s (Lj) = 0, para todo s ≤ m − 3, s > m y<br />

j ≥ m.<br />

Prueba. Se sigue del Corolario 2.40 para j > m − 2.<br />

Observación. A continuación presentamos el cálculo del módulo de cohomología<br />

Hm−2 (Lm+p) para todo p 0. La primera parte de la prueba se basa<br />

en el Teorema 2.47 y el hecho que ht(Jf,g) ≥ m−1. A continuación usaremos<br />

la siguiente notación<br />

Ω m−i<br />

i,l,m+p =<br />

<br />

|α|=i+p;a2=l<br />

88<br />

y a1<br />

1 y a2<br />

2 Ω m−i ,


establecida líneas atrás<br />

Proposición 2.55. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f entonces el complejo<br />

Cp+1 : m+p <br />

Ω<br />

l=0<br />

0 m,l,m+p<br />

<br />

es exacto salvo en grado m − 1.<br />

δ <br />

m+p−1<br />

Ω<br />

l=0<br />

1 m−1,l,m+p<br />

δ <br />

. . .<br />

<br />

p+1<br />

δ Ω<br />

l=0<br />

m−1<br />

1,l,m+p<br />

Prueba. Notemos que Cp+1 es un complejos de módulos libres de longitud<br />

m − 1 tal que (Cp+1)s = (L ′ m+p)s para todo s ≤ m − 1. A continuación<br />

aplicamos el criterio de exactitud al complejo Cp+1 :<br />

En efecto, sea P primo con ht(P ) < m − 1. Como ht(Jf,g) ≥ m − 1<br />

entonces P Jf,g. Del Teorema 2.47 tenemos que H s ((L ′ m+p)P ) = 0 para<br />

todo s ≤ m. Es decir H s ((Cp+1)P ) = 0 en RP para todo primo P ⊂ η, con<br />

ht(P ) < m − 1, y s ≤ m − 2. Esto significa, si empleamos el criterio de<br />

exactitud, que H i (Cp+1) = 0 para todo i = m − 1 en el anillo local (R, η). <br />

Observación. El siguiente lema tiene como fin calcular el último módulo de<br />

cohomología del complejo Cp+1.<br />

Lema 2.56. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis. El complejo<br />

K(fx1, . . . , fxm) : 0<br />

<br />

0 ΩR df<br />

<br />

1 ΩR df<br />

<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

Ωm R ,<br />

tiene a lo más los dos últimos módulos de cohomología no nulos.<br />

Prueba. Como Jf = (fx1, . . . , fxm) ⊃ Jf,g y ht(Jf,g) = m−1 (Corolario 2.19)<br />

entonces ht(Jf) m − 1. Por lo tanto una aplicación del Corolario A.37 del<br />

Apéndice concluye la demostración del Corolario. <br />

Observación. Si en el complejo L ′ m+p usamos la notación<br />

Ω m−i<br />

i,l,m+p = Ωm−i<br />

i,l = xay l Ω m−i ,<br />

entonces el complejo Cp+1 se escribe de la siguiente manera<br />

89<br />

<br />

0,


Cp+1 : .<br />

<br />

Ω m−2 <br />

2,p+2<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

Ω m−2 <br />

2,p+1<br />

. ..<br />

<br />

<br />

df<br />

. .. Ω m−2<br />

<br />

<br />

dg 2,1<br />

. . .<br />

<br />

<br />

df<br />

Ω m−1<br />

1,0 Ω m−2<br />

<br />

<br />

dg 2,0<br />

. . .<br />

y podemos identificar la primera columna de la izquierda con el complejo K ′<br />

Ω 0<br />

df<br />

<br />

1 Ω<br />

df<br />

<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

m−2 Ω<br />

df<br />

<br />

m−1 Ω .<br />

Del Lema anterior se sigue que K ′ es exacto excepto en el último nivel.<br />

Si describimos el complejo Cp como un bicomplejo se tiene que<br />

Cp ∼ = Cp+1<br />

K ′<br />

(2.16)<br />

identificando Ω j<br />

s,t en Cp+1 con Ω j<br />

s,t−1 en Cp. Notemos que por definición el<br />

complejo Cp es el complejo L ′ m+p−1 cortado en grado m − 1. Por lo tanto<br />

tenemos la siguiente secuencia exacta corta de complejos.<br />

0<br />

<br />

′ K <br />

Cp+1<br />

<br />

Cp<br />

<br />

0. (2.17)<br />

Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología obtenemos la secuencia<br />

exacta<br />

0<br />

Notemos que<br />

<br />

m−1 ′ H (K )<br />

<br />

m−1 H (Cp+1)<br />

<br />

m−1 H (Cp)<br />

<br />

0.<br />

C0 = L ′ m−1. (2.18)<br />

90


Lema 2.57. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y K ′ el complejo<br />

Ω 0<br />

df<br />

<br />

1 Ω<br />

df<br />

<br />

m−2 · · · Ω df<br />

Si f tiene una singularidad aislada en η entonces<br />

y H i (K ′ ) = 0 si i = m − 1.<br />

Prueba. Definamos la aplicación<br />

H m−1 (K ′ ) Jf,<br />

<br />

m−1 Ω .<br />

df : Ωm−1<br />

df ∧ Ω m−2 −→ JfΩ m Jf<br />

de la siguiente manera ω ↦→ df ∧ ω. La buena definición se sigue del hecho<br />

que df ∧df = 0. Si identificamos Ω m con el anillo R entonces df ∧Ω m−1 = Jf.<br />

Por lo tanto la aplicación ω ↦→ df ∧ ω es sobre. Sea df ∧ ω = df ∧ ω = 0.<br />

La hipótesis que f tiene una singularidad aislada en η es equivalente a que<br />

H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m. Por lo tanto si df ∧ω = 0 entonces<br />

ω = df ∧ ω0. Es decir ω = 0. <br />

Observación. A continuación calculamos los módulos de cohomología de<br />

los complejos Cp+1. Dicho cálculo se basa en la filtración por columnas del<br />

complejo Lm+p, secuencia exacta 2.17 y en el isomorfismo 2.18.<br />

Lema 2.58. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis. Si f y g<br />

tienen una singularidad aislada en η entonces<br />

Gr(H m−1 (Cp+1)) = Jf<br />

<br />

p+1 <br />

(Jf)i ,<br />

donde (Jf)i = Jf.<br />

Jf,g<br />

Prueba. La prueba será por inducción sobre k para valores de k 0.<br />

Sea k = 0. Si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología en la<br />

secuencia<br />

obtenemos<br />

0<br />

0<br />

<br />

m−1 ′ H (K )<br />

<br />

′ K <br />

C1<br />

<br />

m−1 H (C1)<br />

91<br />

<br />

C0<br />

i=1<br />

<br />

0<br />

<br />

m−1 H (C0)<br />

<br />

0.


Por lo tanto<br />

Gr(H m−1 (C1)) = H m−1 (K ′ ) ⊕ H m−1 (C0). (2.19)<br />

Como C0 L ′ m−1 entonces H m−1 (C0) = H m−1 (L ′ m−1). Del Lema 2.35 se<br />

sigue que Hm−1 (C0) = Jf<br />

. Si reemplazamos los cálculos obtenidos en el<br />

Jf,g<br />

isomorfismo (2.19) obtenemos<br />

Gr(H m−1 (C1)) = Jf<br />

Jf,g<br />

Jf.<br />

Supongamos que el lema se cumple para p = s. Entonces<br />

Gr(H m−1 (Cs)) = Jf<br />

<br />

s<br />

(Jf)i<br />

Jf,g<br />

Sea p = s + 1. Sea la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

′ K <br />

Cs+1<br />

i=1<br />

<br />

Cs<br />

Si tomamos las secuencia exacta larga en cohomología tenemos<br />

0<br />

Por lo tanto<br />

<br />

m−1 ′ H (K )<br />

<br />

m−1 H (Cs+1)<br />

<br />

0.<br />

<br />

m−1 H (Cs)<br />

Gr(H m−1 (Cs+1)) = H m−1 (Cs+1) H m−1 (K ′ )<br />

El caso p = s y Lema 2.57 finaliza la prueba. <br />

Observación. El módulo graduado del lema anterior anterior se obtiene<br />

filtrando el complejo por columnas. Si filtramos el complejo Cp+1 por filas<br />

obtenemos el siguiente módulo graduado<br />

GrF (H m−1 (Cp+1)) = Jf<br />

<br />

p+1 <br />

(Jf)i ,<br />

donde (Jf)i = Jf. Develado el módulo H m−1 (Cp+1) presentamos uno de los<br />

cálculos al cual se hizo alusión al inicio de la sección.<br />

Jf,g<br />

Corolario 2.59. H m−2 (Lm+p) = T or1(H m−1 (Cp+1), R<br />

I )<br />

92<br />

i=1<br />

<br />

0.


Prueba. Como H i (Cp+1) = 0 para todo i = m − 1 y<br />

para todo s ≤ m − 1 entonces<br />

y<br />

(Lm+p)s = (Cp+1 ⊗R R/I)s<br />

H s (Cp+1 ⊗ R/I) = T orm−1−s(H m−1 (Cp+1), R/I)<br />

H m−2 (Lm+p) = T or1(H m−1 (Cp+1), R<br />

I ).<br />

Observación. Esto es lo más lejos que podemos llegar siguiendo la idea de<br />

la Proposición 2.30 (ver Ejemplo 2.34).<br />

A continuación veremos de que forma podemos calcular H m (Lm+p), y<br />

H m−1 (Lm+p). De manera precisa presentamos una secuencia espectral tal<br />

que E 2 = E ∞ y converge a la cohomología de Lm+p. Se calcula H m−2 (Lm+p)<br />

como H m (Lm+p).<br />

Observación. En estas líneas describiremos brevemente lo que más adelante<br />

formalizaremos. El complejo L ′ m+p se puede escribir de la siguiente manera<br />

L ′ m+p : .<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,p<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,0<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

df<br />

df<br />

<br />

<br />

<br />

. .. Ω m−1<br />

<br />

dg 1,1 Ω m−2<br />

<br />

<br />

dg 2,1<br />

df<br />

<br />

dg<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

Ω m−1<br />

Ω m−2<br />

<br />

<br />

· · ·<br />

Notación. A continuación usaremos la siguiente notación<br />

dg<br />

Bl,i−l := Ω ∗ i,l.<br />

93<br />

1,0<br />

dg<br />

2,0<br />

dg<br />

<br />

(2.20)


Con esta notación el bicomplejo L ′ m+p se escribe<br />

<br />

Bp+1,−p<br />

<br />

dg<br />

df<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

dg<br />

.. .<br />

df<br />

<br />

<br />

.. .<br />

dg<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dg<br />

df<br />

B2,−1<br />

<br />

df<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

B m−2 <br />

2,0<br />

df<br />

<br />

B1,0<br />

<br />

df<br />

<br />

B0,0<br />

<br />

De este complejo vamos a tomar el subcomplejo E ′ p<br />

.<br />

<br />

dg<br />

df<br />

<br />

Bp+1,−p<br />

<br />

δ1<br />

df<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

δ1<br />

. ..<br />

<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dg<br />

δ1<br />

δ1<br />

.<br />

<br />

df<br />

. . <br />

. <br />

df<br />

<br />

· · · <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

. ..<br />

∂<br />

df<br />

B2,−1<br />

df<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

94<br />

dg<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

.<br />

df<br />

. . <br />

.<br />

df<br />

<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

B m−2<br />

2,0<br />

df<br />

<br />

B1,0<br />

df<br />

<br />

B0,0<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

. . .<br />

· · · .


Demostraremos que este complejo es exacto salvo en el nivel m. Esta<br />

construcción y la prueba de la afirmación se presentan a continuación.<br />

Definición 2.60. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ p, δ),<br />

de la siguiente manera :<br />

donde i + j + s = m + p.<br />

(E ′ p) m−i := <br />

s+t=i;t≤0<br />

Bs,t,<br />

Observación. Notemos que (E ′ p, δ) esta formado por las primeras p + 1<br />

columnas de la izquierda del complejo L ′ m+p (ver 2.20).<br />

Lema 2.61. Si ht(Jf) = m entonces el complejo E ′ p es exacto salvo en el<br />

nivel cero. Sea Mp := H m (E ′ p) entonces Gr(Mp) = ⊕ p<br />

i=0 (R/Jf)i.<br />

Prueba. La prueba será por inducción sobre p el número de columnas del<br />

complejo E ′ p. Para el caso p = 0 tenemos que E ′ 0 = K(df) el cual tiene<br />

cohomología cero para todo i = m. Más aún H m (E ′ 0) = H m (K(df)) = R/Jf.<br />

De un proceso de inducción y la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

K(df)<br />

<br />

E ′ p+1<br />

<br />

E ′ p<br />

se prueba que H i (Ep+1) = 0 para todo i = m. Si tomamos homología en la<br />

secuencia anterior nos queda la secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

R/Jf<br />

<br />

Hm (Ep+1)<br />

<br />

Hm (Ep)<br />

Esto significa que Gr(Mp) = ⊕ p<br />

i=0 (R/Jf)i. Notemos que la filtración por<br />

columnas es la que que da origen al módulo graduado Gr(Mp).<br />

<br />

Observación. El Lema anterior nos indica que el módulo H m (Ep) es isomor-<br />

fo a ⊕ p<br />

i=0 (R/Jf)i sólo como k−espacios vectoriales. Esto es debido a que no<br />

se encontró un split de R−módulos en la secuencia anterior. En el siguiente<br />

teorema vemos los complejos de cocadenas Ep y Lm−1 como complejos de<br />

cadenas de la siguiente manera (Ep) ∗ = (Ep)m−∗ y (Lm−1) ∗ = (Lm−1)m−1−∗<br />

95<br />

<br />

0<br />

<br />

0.


Teorema 2.62. Existe una secuencia espectral E r p,q que converge a H ∗ (Lm+p),<br />

E 2 = E ∞ y el E 1 es<br />

T or2(Mp, R)<br />

I 0<br />

T or1(Mp, R<br />

I<br />

T or0(Mp, R<br />

I<br />

donde d 1 es el producto exterior por dg.<br />

d 1<br />

Jg<br />

) <br />

T or1(<br />

d 1<br />

Jf,g<br />

Jg<br />

)) <br />

T or0(<br />

Jf,g<br />

, R<br />

I )<br />

, R<br />

I ),<br />

Prueba. La demostración se basa en escribir el complejo Lm+p como<br />

. . .<br />

<br />

<br />

(Ep)3 <br />

<br />

(Ep)2 <br />

<br />

(Ep)1 <br />

<br />

(Ep)0 <br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

(Lm−1)3<br />

<br />

(Lm−1)2<br />

<br />

(Lm−1)1<br />

<br />

(Lm−1)0<br />

donde Ep = E ′ p ⊗ R/I. Como Ep = E ′ p ⊗ R/I entonces del Lema 2.61 se<br />

prueba que<br />

H ∗ (Ep) = T orm−∗(R/I, Mp).<br />

Por lo tanto si calculamos el primer término de la secuencia espectral al<br />

complejo anterior tenemos<br />

96


y E 2 p,q = E ∞ p,q<br />

T or2(Mp, R)<br />

I 0<br />

T or1(Mp, R<br />

I<br />

T or0(Mp, R<br />

I<br />

dg<br />

Jg<br />

) <br />

T or1(<br />

dg<br />

Jf,g<br />

Jg<br />

)) <br />

T or0(<br />

Jf,g<br />

, R<br />

I )<br />

, R<br />

I )<br />

Corolario 2.63. El módulo de cohomología H m (Lm+p) es isomorfo a (<br />

Prueba. Del Lema 2.61 se prueba que<br />

Por otro lado como<br />

tenemos<br />

T or0(Mp, R<br />

I )) = Mp ⊗R R/I.<br />

T or0( R Jg<br />

, ) = (<br />

I Jf,g<br />

Jg<br />

) ⊗<br />

Jf,g<br />

R<br />

I<br />

E 2 0,0 =<br />

T or0(Mp, R<br />

I )<br />

Jg<br />

= Mp ⊗R R<br />

I .<br />

Jg<br />

<br />

R<br />

Mp⊗ I ). Jg<br />

Aquí Jg representa la imagen de la aplicación ∧dg en la secuencia espectral<br />

del Teorema 2.62.<br />

<br />

Observación. Debido al Corolario 2.23 podemos asumir que el generador<br />

g tiene una singularidad aislada en η. Por lo tanto podemos establecer la<br />

existencia de otra secuencia espectral E ′ tal que E ′ −→ Lm+p y E ′∞ = E ′2 .<br />

Para la prueba basta notar que I = 〈g, f〉. Un hecho que consideramos<br />

más interesante es proporcionar un ejemplo donde los términos E 1 y E ′1<br />

son diferentes. Es decir estamos proporcionando información nueva sobre la<br />

cohomología de los complejos Lm+p.<br />

Observación. Existe una secuencia espectral E ′ ∗,∗ que converge a la cohomología<br />

del complejo Lm+p y colapsa en E ′2 . La secuencia se obtiene al<br />

97


intercambiar el rol de f por el de g. A continuación presentaremos el término<br />

E ′1<br />

T or2(Np, R)<br />

I 0<br />

T or1(Np, R<br />

I<br />

T or0(Np, R<br />

I<br />

df<br />

Jf<br />

) <br />

T or1(<br />

df<br />

Jf,g<br />

Jf<br />

)) <br />

T or0(<br />

Jf,g<br />

, R<br />

I )<br />

, R<br />

I )<br />

En el siguiente ejemplo demostramos que E 1 y E ′1 son diferentes.<br />

Ejemplo 2.64. Sea (R, η) = (k[x, y, z](x,y,z), η), f = x 3 +y 2 +z 2 y g = xy+z 2 .<br />

Un cálculo demuestra que Jf = 〈3x 2 − 2y 2 , 6x 2 z − 2yz, 4yz − 2xz〉 y que<br />

I = 〈f, g〉 tiene una singularidad aislada en η. Más aún, f y g tiene una singularidad<br />

aislada en η. Para demostrar que E 1 y E ′1 son diferentes es suficiente<br />

mostrar que la cohomología de K(fx1, . . . , fxm)⊗R/I y K(g x1 , . . . , g xm )⊗R/I<br />

son diferentes. En efecto como f y g tiene una singularidad aislada en η entonces<br />

H ∗ (K(f x1 , . . . , f xm ) ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jf, R/I)<br />

y<br />

Sea<br />

H ∗ (K(g x1 , . . . , g xm ) ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jg, R/I).<br />

0<br />

(f,g) (−g,f)<br />

<br />

R <br />

R ⊕ R <br />

R<br />

una resolución de R/I. Como los elementos f, g pertenecen a los ideales Jf,<br />

y Jg respectivamente entonces se prueba que K(f, g) ⊗ R/Jf :<br />

0<br />

<br />

k[x](x)<br />

〈x2 〉<br />

y que K(f, g) ⊗ R/Jg :<br />

Esto finaliza el ejemplo.<br />

0<br />

0 <br />

k[x](x)<br />

〈x2 k[x](x)<br />

⊕<br />

〉 〈x2 〉<br />

<br />

0<br />

k <br />

k ⊕ k<br />

98<br />

0 <br />

k<br />

<br />

0<br />

0 <br />

k[x](x)<br />

〈x2 〉<br />

<br />

0.<br />

<br />

0,


A continuación veremos un ejemplo donde la secuencia espectral E n ∗∗ del<br />

Teorema 2.62 colapsa en E 1<br />

Corolario 2.65. Si Jg ⊂ Jf entonces la secuencia espectral del Teorema 2.62<br />

cumple que E 1 = E ∞ .<br />

Prueba. Una propiedad que usaremos en repetidas ocasiones en la prueba<br />

del corolario es la que pasamos a demostrar :<br />

Recordemos que en la Sección 2.1 asumimos que ninguno de los generadores<br />

del ideal I es regular, es decir Jf = R. Si Jg ⊂ Jf entonces ht(Jf) = m.<br />

En efecto, como f ∈ Jf, g ∈ Jg se tiene que ht(Jf) = ht( Jf) ≥<br />

ht(〈f, g, Jf,g〉) = m. Esto a su vez significa que H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para<br />

todo i = m (ver Corolario 2.6). Es decir si w ∈ Ω ∗ y df ∧ w = 0 entonces<br />

existe w ′ ∈ Ω ∗−1 tal que w = df ∧ w ′ .<br />

Por otro lado para demostrar el Corolario será suficiente probar que los<br />

morfismos de conexión, dados por ∧dg, de la secuencia exacta larga en cohomología<br />

de la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

Ep<br />

<br />

Lm+p<br />

<br />

Lm−1<br />

son nulos. En efecto, si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología a<br />

la secuencia anterior obtenemos la secuencia<br />

H m−2 (Ep)<br />

H m−1 (Ep)<br />

H m (Ep)<br />

<br />

m−2 H (Lm+p)<br />

<br />

m−1 H (Lm+p)<br />

<br />

Hm (Lm+p)<br />

<br />

0<br />

<br />

m−2 H (Lm−1) δ1 <br />

<br />

m−1 H (Lm−1) δ0 <br />

La condición Jg ⊂ Jf implica que δ0 = 0, y δ1 = 0. Verificaremos sólo que<br />

δ1 = 0, pues el otro caso es similar.<br />

En efecto sea [(w1, w0)] una clase en el módulo H m−2 (Lm−1) con (w1, w0) ∈<br />

Ω m−2 ⊕ Ω m−2 . Entonces<br />

<br />

0.<br />

df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η 1 1 + g · η 2 1 ∈ Ω m−1 .<br />

Si multiplicamos por dg∧ a la igualdad anterior obtenemos<br />

dg ∧ df ∧ w1 = f · dg ∧ η 1 1 + g · dg ∧ η 2 1. (2.21)<br />

99


Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1 ∈ Ω m R R y Jg ⊂ Jf se tiene que existe η 1 2, η 2 2 en Ω m−1<br />

tal que dg ∧ η 1 1 = −df ∧ η 1 2 y dg ∧ η 2 1 = −df ∧ η 2 2. Por lo tanto la ecuación<br />

(2.21) se escribe de la siguiente forma<br />

Si factorizamos df∧ tenemos<br />

dg ∧ df ∧ w1 = −f · df ∧ η 1 2 − g · df ∧ η 2 2.<br />

df ∧ (dg ∧ w1 − fη 1 2 − gη 2 2) = 0.<br />

Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe a1 ∈ Ω m−1 tal<br />

que<br />

dg ∧ w1 = f · η 1 2 + g · η 2 2 + df ∧ a1.<br />

Si k = 0 la prueba terminó pues [dg ∧ w1] = 0 ∈ H m−1 (E0). De lo contrario<br />

definamos a0 := w1 y continuamos la demostración por un proceso inductivo.<br />

Admitamos como hipótesis inductiva que<br />

−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1<br />

(2.22)<br />

con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g. Por el método de la escalera en<br />

el diagrama<br />

as∈Ω m−2<br />

<br />

df<br />

<br />

dg∧as−1∈Ωm−1 <br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

<br />

as−1∈Ωm−2 <br />

dg<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

df<br />

df<br />

<br />

<br />

<br />

Ωm dg∧as−2∈Ωm−1 <br />

<br />

. .. <br />

dg<br />

dg<br />

Ω m . . .<br />

dg<br />

100<br />

<br />

<br />

<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

a1∈Ωm−2 <br />

<br />

df<br />

df<br />

. .. dg∧w1∈Ωm−1 <br />

dg<br />

df<br />

<br />

Ωm


tenemos que existe as tal que ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 . En efecto<br />

de hipótesis inductiva si tiene<br />

−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1<br />

(2.23)<br />

con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g . Si aplicamos dg∧ a (2.23)<br />

tenemos<br />

dg ∧ (ηs + df ∧ as−1) = 0. (2.24)<br />

Como ηs ∈ IΩ m−1 entonces ηs = f · η 1 s + g · η 2 s. Como Jg ⊂ Jf, se tiene que<br />

dg ∧ ηs = df ∧ ηs+1, para algún ηs+1 ∈ IΩ m−1 . Por lo tanto la ecuación (2.24)<br />

se escribe como<br />

df ∧ (ηs+1 − dg ∧ as−1) = 0.<br />

Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe as tal que<br />

ηs+1 = dg ∧ as−1 + df ∧ as ∈ IΩ m−1 .<br />

Esto finaliza la inducción y demuestra que<br />

dg ∧ al−2 + df ∧ al−1 = ηl ∈ IΩ m−1<br />

R<br />

para todo l = 1, . . . , p. Esto significa que<br />

[(0, . . . , dg ∧ w1)] = [(df ∧ ap+1 + dg ∧ ap . . . , df ∧ a2 + dg ∧ a1, df ∧ a1)] = 0.<br />

Observación. A continuación, bajo la hipótesis Jg ⊂ Jf, describiremos los<br />

módulos de cohomología del complejo Ep.<br />

Lema 2.66. Si Jg ⊂ Jf entonces<br />

.<br />

Gr(H ∗ (Ep)) =<br />

p<br />

(T orm−∗(R/I, R/Jf))i<br />

i=0<br />

Prueba. Demostraremos que los morfismos conección de la secuencia exacta<br />

corta<br />

(Ω ∗ , df) <br />

Ep+1<br />

<br />

Ep<br />

101


son cero, para todo p ≥ 1. En efecto si tomamos cohomología a la secuencia<br />

anterior obtenemos la secuencia exacta larga<br />

H m−2 (Ω ∗ , df)<br />

H m−1 (Ω ∗ , df)<br />

H m (Ω ∗ , df)<br />

<br />

m−2 H (Ep+1)<br />

<br />

m−1 H (Ep+1)<br />

<br />

Hm (Ep+1)<br />

<br />

m−2 H (Ep)<br />

<br />

m−1 H (Ep)<br />

<br />

Hm (Ep).<br />

δ1 <br />

δ0 <br />

De la hipótesis Jg ⊂ Jf obtenemos que δ0 = 0. Veamos que δ1 = 0. En efecto,<br />

con el mismo argumento que el Corolario 2.65, sea x = [(ηp, ηp−1, · · · , η1)] un<br />

elemento en H m−2 (Ep) entonces<br />

df ∧ ηp + dg ∧ ηp−1 = f · a + g · b<br />

donde los elementos a, b se encuentran en el módulo Ω m−1 . Si aplicamos dg∧<br />

a la igualdad anterior podemos escribir<br />

dg ∧ df ∧ ηp = f · dg ∧ a + g · dg ∧ b.<br />

Como Jg ⊂ Jf se tiene que dg ∧ a = df ∧ a ′ y dg ∧ b = df ∧ b ′ para algún<br />

a ′ y b ′ en el módulo Ω m−1 . Más aún como dg ∧ df = −df ∧ dg, la igualdad<br />

anterior se puede escribir<br />

−df ∧ dg ∧ ηp = f · df ∧ a ′ + g · df ∧ b ′ .<br />

Además H i (Ω, df) = H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, entonces<br />

dg ∧ ηp = −(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω),<br />

para algún ω ∈ Ω m−1 . Como δ1(x) = [dg ∧ ηp] = [−(f · a ′ + g · b ′ + df ∧ ω)]<br />

entonces δ1(x) = 0.<br />

Ahora, la secuencia<br />

0<br />

<br />

∗<br />

(Ω , df)<br />

<br />

Ep+1<br />

nos da el isomorfismo de espacios vectoriales<br />

<br />

Ep<br />

H ∗ (Ep+1) H ∗ (Ω, df) ⊕ H ∗ (Ep).<br />

102<br />

<br />

0


Como<br />

pues<br />

H ∗ (E0) = H ∗ (Ω, df) T orm−∗(R/I, R/Jf)<br />

(Ω, df) = K(fx1, . . . , fxm) ⊗ R/I<br />

tenemos que Gr(H ∗ (Ep+1)) = p<br />

i=0 (T orm−∗(R/I, R/Jf))i. <br />

Observación. Notemos que la condición Jg ⊂ Jf es natural. En efecto, si<br />

tomamos un generador f ∈ I con una singularidad aislada entonces para<br />

algún s ∈ N tenemos J s g ⊂ Jf. Además, todas las icis clasificadas en [Looj]<br />

salvo Hµ, con µ ≥ 7, cumplen esta condición.<br />

Ejemplo 2.67. En este ejemplo presentaremos las variedades de intersección<br />

completa que cumplen y también las que no satisfacen la propiedad anterior.<br />

Los ejemplos que aquí se presentan son de dimensión cero y dimensión uno<br />

inmersas en el espacio C 3 , según se presentan en [Looj].<br />

Símbolo Fórmula Número de Tjurina<br />

F p,q<br />

p+q+1; 2 p q (xy, x p + y p ) p + q<br />

G5 (x 2 , y 3 ) = (x 2 + y 3 , y 3 ) 7<br />

G7 (x 2 , y 4 ) = (x 2 + y 4 , y 4 ) 10<br />

Hµ; 6 ≤ µ (x 2 + y µ−3 , xy 2 ) µ + 2<br />

Iµ, 7 ≤ µ (x 2 + y 3 , y k ) si µ = 2k − 1 µ + 2<br />

Iµ, 7 ≤ µ (x 2 + y 3 , xy k−1 ) si µ = 2k µ + 2<br />

Símbolo. Fórmula.<br />

Sµ, 5 µ (x 2 + y 2 + z µ+3 , yz)<br />

Tµ; µ = 7, 8, 9 (x2 + y3 + z µ , yz)<br />

U7<br />

(x2 + yz, xy + z3 )<br />

U8<br />

(x2 + yz, xy + xz3 )<br />

U9<br />

(x2 + yz, xy + z4 )<br />

W8<br />

(x2 + yz, y2 + z3 )<br />

W9<br />

(x2 + yz, y2 + xz2 )<br />

Z9<br />

(x2 + y2 + z3 , xy)<br />

Z10<br />

(x2 + yz2 , y2 + z3 )<br />

Tabla 2.1: Singularidades<br />

103


2.3. Homología de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉<br />

Generalizaremos los resultados de la sección anterior para r polinomios.<br />

Demostramos que para j ≥ m los complejos Lj tiene sólo los últimos r +<br />

1 términos de cohomología no nulos. Presentamos una secuencia espectral<br />

que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en E r . Para<br />

los complejos Lj con j < m demostramos que sus módulos de cohomología<br />

H s (Lj) son cero para todo s < min{j, m−r}. Nuevamente el punto clave para<br />

este análisis es el cálculo de la altura ht(JF ) = m − r + 1 y la generalización<br />

del Teorema 2.47.<br />

Recordemos la estructura de los complejos Lm+p. Sea<br />

Lm+p : 0<br />

<br />

Im+pΩ0 R<br />

Im+p+1Ω0 R<br />

dDR <br />

I<br />

<br />

m+s−1Ω1 R<br />

Im+pΩ1 R<br />

dDR <br />

. . .<br />

dDR <br />

I<br />

p+1Ω m−1<br />

R<br />

I p+2 Ω m−1<br />

R<br />

dDR I<br />

<br />

pΩm R<br />

Ip+1Ωm .<br />

R<br />

Sea a = (a1, . . . , ar) y y = (y1, . . . , yr), como I es intersección completa<br />

entonces<br />

I l<br />

I<br />

l+1 = <br />

|a|=l<br />

y a1<br />

1 . . . y ar<br />

Por lo tanto el complejo Lm+s se escribe como<br />

0<br />

<br />

<br />

|a|=m+p<br />

ya ⊗k Ω 0<br />

R<br />

<br />

. . . <br />

|a|=p+1<br />

ya ⊗k Ω m−1<br />

R<br />

r · R/I = <br />

y a · R/I,<br />

|a|=l<br />

<br />

δ <br />

|a|=m+p−1<br />

ya ⊗k Ω 1<br />

R δ <br />

. . .<br />

δ <br />

<br />

|a|=p<br />

y a ⊗k Ω m<br />

R ,<br />

donde ΩR = ΩR ⊗R R/I. El morfismo borde δ se escribe como<br />

δ(y a1<br />

1 · · · y ar<br />

r ⊗ ω) =<br />

r<br />

y a1<br />

i=1<br />

1 · · · y ai−1<br />

1<br />

· · · y ar<br />

r ⊗ dfi ∧ ω,<br />

por definición y ai<br />

i = 0 si ai < 0. También obviamos poner y a ⊗ ω y sólo<br />

colocamos y a ω. Para <br />

|α|=j−s<br />

y a ⊗k Ω p<br />

R sólo ponemos <br />

Definición 2.68. Bajo la notación anterior definamos<br />

104<br />

|α|=j−s<br />

y a Ω p<br />

R


L ′ m+p : 0<br />

<br />

<br />

|a|=m+p<br />

yaΩ0 R<br />

δ <br />

<br />

y<br />

|a|=m+p−1<br />

aΩ1 R<br />

donde el morfismo borde se define como<br />

r<br />

y a1<br />

δ(y a ω) = δ(y a1<br />

1 · · · y ar<br />

r ω) =<br />

i=1<br />

1 · · · y ai−1<br />

1<br />

δ <br />

. . . δ <br />

<br />

· · · y ar<br />

r dfi ∧ ω<br />

y<br />

|a|=p<br />

aΩm R ,<br />

Nota. De esta última definición es claro que Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I.<br />

Observación. De manera similar podemos definir el complejo L ′ j para j < m<br />

de la siguiente manera :<br />

L ′ j : 0<br />

. . . δ <br />

<br />

<br />

|a|=j<br />

<br />

|a|=1<br />

yaΩ0 R<br />

δ <br />

y a Ω j−1<br />

R<br />

El complejo Lj cumple Lj = L ′ j ⊗R R/I.<br />

δ <br />

<br />

y<br />

|a|=j−1<br />

aΩ1 R<br />

<br />

|a|=0<br />

2.3.1. Homología de Hochschild<br />

y a Ω j<br />

R .<br />

δ <br />

. . .<br />

Esta sección es dirigida a presentar una secuencia espectral E∗,∗ que converge<br />

a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en el término r. Cuando<br />

j ≥ m mostramos que los complejos Lj sólo tienen r+1 términos en<br />

cohomología no nulos. Si m − r < j < m entonces los complejos Lj tienen<br />

j−m+r+1 términos de cohomología no nulos. En los demás casos H i (Lj) = 0<br />

para todo i = m.<br />

Teorema 2.69. Sea (R, η) un anillo local, I = 〈f1, . . . , fr〉 una variedad de<br />

intersección completa, f1, . . . , fr una secuencia regular. Entonces para todo<br />

primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P, (L ′ j)P , es quasi<br />

isomorfo a Lj(dx1, · · · , dxr, N), donde N = r<br />

i=1 RP dxi.<br />

Prueba. Sea P JF entonces el determinante de algún menor r × r de la<br />

matriz Jac(F ), al cual denotaremos por M(xi1, . . . , xir), no esta contenido<br />

en P. Nuevamente por un reordenamiento de indices podemos suponer que<br />

105


se trata de M(x1, . . . , xr) el determinante del menor de las primeras r filas<br />

de la matriz jacobiana. Por lo tanto, si definimos la aplicación<br />

T : Ω 1 RP −→ Ω1 RP<br />

por T (ei) = dfi para i = 1, . . . , r y T (ei) = ei para i ≥ r + 1 tenemos que<br />

T es un isomorfismo. En efecto, basta notar que T −1 = adj(T ) · |T | −1 esta<br />

bien definida. Entonces df1, . . . , dfr es parte de una base de Ω1 RP y (L′ j)P =<br />

Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 ). <br />

RP<br />

Corolario 2.70. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis<br />

entonces para todo primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P,<br />

(L ′ j)P , para todo 1 ≤ j < m tiene cohomología cero para todo i = j y es<br />

exacto para todo j ≥ m.<br />

Prueba. Del teorema anterior se sigue que L ′ j es quasi isomorfo a Lj(x1, . . . , xr).<br />

El Corolario 2.45 finaliza la prueba del corolario. <br />

Observación. A continuación presentaremos los ingredientes para poder demostrar<br />

una generalización del Teorema 2.62. Si usamos la notación<br />

el complejo L ′ m+p<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1<br />

dfr<br />

<br />

Ωm <br />

0,p<br />

∂<br />

∂<br />

. ..<br />

dfr<br />

<br />

<br />

. ..<br />

∂<br />

Bl,i−l = Ω ∗ i,l<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dfr<br />

Ω m−1<br />

<br />

<br />

∂ 1,2<br />

<br />

dfr<br />

<br />

Ωm <br />

0,1<br />

106<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

· · ·<br />

dfr<br />

<br />

Ω m−2 <br />

2,2<br />

dfr<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,1<br />

dfr<br />

<br />

Ωm <br />

0,0<br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

. . .<br />

. . .<br />

· · · .


se escribe como un bicomplejo (Bs,t, δ1 + dfr)<br />

<br />

Bp+1,−p<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

δ1<br />

. ..<br />

dfr<br />

<br />

<br />

. ..<br />

δ1<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

. ..<br />

∂<br />

dfr<br />

B2,−1<br />

<br />

dfr<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

· · ·<br />

dfr<br />

<br />

B m−2 <br />

2,0<br />

dfr<br />

<br />

B1,0<br />

<br />

dfr<br />

<br />

B0,0<br />

<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

. . .<br />

· · · .<br />

Lema 2.71. El complejo (Bs,t, δ1 + dfr) está bien definido.<br />

Prueba. Sea x ∈ y a1<br />

1 . . . yar r ω ∈ Bs,t = Ωs+t,s = <br />

|α|=s+t+p;ar=s. yαΩm−s−t ,<br />

entonces<br />

r−1<br />

δ(x) = y a1<br />

v=1<br />

1 · · · y av−1<br />

v<br />

. . . y ar<br />

r dfv ∧ ω + y a1<br />

1 . . . y ar−1<br />

r−1 y ar−1<br />

r<br />

dfr ∧ ω,<br />

a1 + · · · + (av − 1) + · · · + ar = s + (t − 1) + p y dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)+p y<br />

ar = s. Esto significa, por definición, que<br />

El término<br />

r−1<br />

δ1(x) := y a1<br />

v=1<br />

se encuentra en el módulo<br />

<br />

1 · · · y av−1<br />

v<br />

|α|=(s−1)+t+p;ar=s−1<br />

y a1<br />

1 . . . y ar−1<br />

. . . y ar<br />

r dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)<br />

s+(t−1),s = Bs,t−1.<br />

r−1 y ar−1<br />

r<br />

dfr ∧ ω<br />

f α Ω m−(s−1)−t = Ω m−(s−1)−t<br />

s−1+t,s−1 = Bs−1,t.<br />

107


Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L ′ m+p son iguales.<br />

Prueba. Se sigue de la definición de (Bs,t, δ1, dfr).<br />

Observación. Del complejo doble (Bs,t, δ1, dfr) tomamos el sub-complejo<br />

doble E ′ s,t = Bs,t para t ≤ 0.<br />

.<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Bp+1,−p<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

δ1<br />

. ..<br />

<br />

dfr<br />

<br />

<br />

.. .<br />

dfr<br />

<br />

<br />

.. .<br />

<br />

.. <br />

.<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

∂<br />

.<br />

<br />

dfr<br />

. . <br />

. <br />

dfr<br />

<br />

· · · <br />

dfr<br />

<br />

B2,−1<br />

<br />

dfr<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

.<br />

dfr<br />

. . <br />

.<br />

dfr<br />

<br />

· · ·<br />

dfr<br />

<br />

B m−2<br />

2,0<br />

dfr<br />

<br />

B1,0<br />

dfr<br />

<br />

B0,0<br />

Observación. De la definición del bicomplejos (E ′ s,t, δ1, dfr) tenemos que las<br />

columnas son dadas por los complejos<br />

0<br />

<br />

E ′ dfr <br />

m+p,−p · · ·<br />

dfr <br />

E ′ p+1,−p<br />

dfr <br />

E ′ p,−p,<br />

donde el morfismo borde dfr : E ′ i,−p −→ E ′ i−1,−p es definido de la siguiente<br />

manera<br />

dfr :<br />

<br />

|a|=i−p+p;ar=i<br />

y a Ω m−i+p −→<br />

<br />

|a|=i−1−p+p;ar=i−1<br />

dfr(y a1<br />

1 . . . y ar<br />

r ω) = y a1<br />

1 . . . y ar−1<br />

r<br />

108<br />

dfr ∧ ω.<br />

y a Ω m−i+1+p


De aquí se desprende que las columnas del bicomplejo (E ′ s,t, δ1, dfr) son dadas<br />

por los complejos <br />

|a ′ |=i+p−p<br />

y a1<br />

1 · · · y ar−1K(dfr),<br />

donde a = (a1, · · · , ar−1).<br />

A continuación trabajamos con el graduado a la filtración por columnas<br />

del complejo anterior.<br />

Lema 2.73. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f1, · · · , fr〉 una icis. Si fr<br />

tiene una singularidad aislada entonces Hi (E ′ s,t, δ1, dfr) = 0 para todo i = m<br />

y<br />

⎧<br />

⎫<br />

Gr(H m (T ot(E ′ s,t))) =<br />

r<br />

p ⎨ <br />

s=0<br />

⎩<br />

|α ′ |=s<br />

⎬<br />

y a1<br />

1 · · · y ar−1<br />

r−1 (R/Jfr)<br />

⎭ ,<br />

donde el graduado se toma con respecto a la filtración por columnas del complejo<br />

doble anterior.<br />

Prueba. De la Observación anterior las columnas del complejo doble (E ′ s,t, δ1, dfr)<br />

son sumas directas del complejo de Koszul K(dfr). Del Corolario 2.6 se sigue<br />

que<br />

H i (K(dfr)) = 0<br />

para todo i = m. Por lo tanto las columnas de (E ′ s,t, δ1, dfr) son exactas salvo<br />

en el último nivel. Un argumento rutinario de filtraciones por columnas nos<br />

indican que<br />

Gr(H m (E ′ p+∗,−p, δ1, dfr−1)) =<br />

⎧<br />

p ⎨ <br />

y<br />

⎩<br />

a1<br />

1 · · · y ar−1<br />

r H m ⎫<br />

⎬<br />

(K(dfr))<br />

⎭ ,<br />

s=0<br />

notemos que H m (K(dfrr)) = R/Jfr.<br />

|a ′ |=s<br />

Observación. Del bicomplejo (Bs,t, δ1, dfr) :<br />

109


Bp+1,−p<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

δ1<br />

. ..<br />

dfr<br />

<br />

<br />

.. .<br />

<br />

.. <br />

.<br />

δ1<br />

∂<br />

· · ·<br />

<br />

dfr<br />

<br />

B2,−1<br />

<br />

dfr<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

vamos a tomar el subcomplejo (D ′ s,t, δ1, dfr) :<br />

<br />

Bp+1,−p<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Bp,−p<br />

<br />

δ1<br />

. ..<br />

dfr<br />

<br />

<br />

. ..<br />

<br />

.. <br />

.<br />

δ1<br />

∂<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

· · ·<br />

dfr<br />

<br />

B m−2 <br />

2,0<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

B1,0<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

B0,0<br />

<br />

δ1<br />

· · · <br />

· · · <br />

. . . <br />

dfr<br />

<br />

B2,−1<br />

<br />

dfr<br />

<br />

Bm <br />

1,−1<br />

δ1<br />

δ1<br />

110<br />

dfr<br />

<br />

B m−2 <br />

2,0<br />

δ1<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

B1,0<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

. . <br />

. <br />

dfr<br />

. . <br />

. <br />

. . .<br />

. . .<br />

· · ·<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

dfr<br />

<br />

B2,r−1<br />

dfr<br />

<br />

B1,r−1<br />

dfr<br />

dfr<br />

dfr<br />

<br />

<br />

<br />

B0,0<br />

<br />

· · · <br />

B0,r−1<br />

δ1 δ1<br />

δ1


Si denotamos al complejo<br />

( L′ m+p<br />

D ′ , δ)<br />

como (M ′ m+p, δ) entonces el complejo L ′ m+p se escribe como :<br />

· · ·<br />

<br />

δ1<br />

. . .<br />

dfr<br />

<br />

B1,1<br />

<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

<br />

<br />

E ′ <br />

m−2 B2,1<br />

<br />

. . . <br />

dfr<br />

<br />

E ′ <br />

m−1 δ1<br />

dfr<br />

<br />

E ′ <br />

m δ1<br />

δ1<br />

dfr<br />

. . <br />

. <br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

B2,r−1<br />

<br />

dfr<br />

<br />

B1,r−1<br />

<br />

dfr dfr<br />

dfr<br />

<br />

<br />

<br />

B0,1<br />

<br />

B0,r−1<br />

<br />

δ1 δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

(M ′ m+p)m−r−1<br />

δ1<br />

<br />

(M ′ m+p)m−r<br />

<br />

. . . (M ′ m+p)m−r+1<br />

Tal como se presentó en el caso de dos polinomios debemos de probar que<br />

cada columna en el bicomplejo anterior es exacta salvo en el último nivel.<br />

En este caso al tomar cohomología a las columnas de L ′ m+p ⊗ R/I podemos<br />

calcular el primer término en la secuencia espectral E que proporciona el<br />

bicomplejo L ′ m+p ⊗ R/I.<br />

Lema 2.74. Si fr tiene una singularidad aislada en η entonces Hi (B∗,t, dfr) =<br />

0 con 1 ≤ t ≤ r − 1 para todo i = m − t, y<br />

H m−t (B∗,t, dfr) =<br />

<br />

y a1<br />

1 · · · y ar−1<br />

r−1 y t rdfr ∧ Ω t<br />

|α ′ |=m+p−t<br />

Prueba. El complejo (B∗,t, dfr) se define de la siguiente manera<br />

0<br />

El morfismo borde<br />

<br />

Bm−t,t<br />

se define de la siguiente manera<br />

dfr :<br />

<br />

|a|=p+t+s;ar=s<br />

dfr dfr <br />

Bm−t−1,t<br />

<br />

· · ·<br />

dfr : Bs,t −→ Bs−1,t<br />

y a1<br />

1 · · · y ar<br />

r Ω m−s−t −→<br />

111<br />

δ1<br />

<br />

<br />

B1,t<br />

|a|=p+t+s−1;ar=s−1<br />

δ1<br />

y a1<br />

dfr <br />

B0,t.<br />

1 · · · y ar−1<br />

r<br />

Ω m−s−t+1


y a1<br />

1 · · · yar r ω → y a1<br />

1 · · · y ar−1<br />

r−1 yar−1 r<br />

dfr ∧ ω. De aquí se desprende que<br />

(B∗,t, dfr) = <br />

|a|=p+t<br />

y a1<br />

1 · · · y ar−1<br />

r−1 K(dfr) ≤m−t<br />

Como fr tiene una singularidad aislada entonces H i (K(dfr)) = 0 para<br />

todo i = m. De la definición del complejo de Koszul se sigue que<br />

H m−t Ω<br />

(K(dfr)) =<br />

m−t<br />

dfr ∧ Ωm−t−1 Por lo tanto será suficiente demostrar que<br />

dfr ∧ Ω t−1 dfr ∧ Ω t .<br />

En efecto, definamos el morfismo<br />

dfr :<br />

Ω t<br />

Ω t<br />

dfr ∧ Ω t−1 −→ dfr ∧ Ω t .<br />

como ω → dfr∧ω. Es claro que la aplicación es sobre. Veamos la inyectividad.<br />

Si df ∧ ω = 0, como fr tiene una singularidad aislada, entonces ω = df ∧ ω1<br />

Ω (ver Corolario 2.6). Por lo tanto ω = 0 en el módulo<br />

t<br />

dfr∧Ω t−1 . <br />

Lema 2.75. El complejo (M ′ , δ) tiene cohomología cero en todo nivel excepto<br />

en grado m − r + 1.<br />

Prueba. Es claro que M ′ es un complejos de módulos libres de longitud<br />

m − r + 1. Si empleamos el criterio de exactitud debemos demostrar que :<br />

) = 0<br />

para todo primo P tal que ht(P ) < m − r + 1 se tiene que Hi (M ′ P<br />

para todo i = m − r + 1. En efecto sea P un primo con tales características.<br />

Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces P no contiene al ideal jacobiano JF . Por<br />

lo tanto el complejo (L ′ m+p)P es exacto.<br />

Por otro lado como el complejo M ′ se escribe como<br />

. . .<br />

<br />

B2,r<br />

<br />

. . .<br />

<br />

· · ·<br />

∂<br />

dfr dfr<br />

<br />

<br />

B1,r<br />

<br />

. . . <br />

B1,m−1<br />

∂ ∂<br />

dfr dfr<br />

dfr<br />

<br />

<br />

<br />

B0,r<br />

<br />

. . . <br />

B0,m−1<br />

<br />

B0,m<br />

∂ ∂<br />

112<br />

(2.25)


Como sabemos las columnas de este complejos son sumas directas de complejos<br />

Koszul K(dfr) truncados<br />

En el anillo RP se cumple que<br />

(L ′ m+p)P = L ′ m+p(x1, . . . , xr).<br />

Es decir la aplicación ω → dfr ∧ ω y el complejo K((fr)x1, . . . , (fr)xm) se<br />

transforma en ω → dxr ∧ω, y K(dxr). Se prueba que este último complejo es<br />

exacto. Como los complejos E ′ , y (B∗,t, dfr) para t ∈ {0, 1, . . . , m} son sumas<br />

directas del complejo de Koszul K(dxr), y de complejos que se obtienen de<br />

truncar el complejo de Koszul entonces E ′ es exacto y U ′ t es exacto excepto<br />

posiblemente en el último nivel.<br />

Si tomamos cohomología a las columnas del complejo L ′ m+p obtenemos el<br />

siguiente complejo C :<br />

· · · <br />

Hm (E ′ ) Hm−1 <br />

(B∗,1, dfr)<br />

Hm−r (B∗,r, dfr) <br />

H m−r−1 (B∗,r+1, dfr)<br />

. . .<br />

H1 (U ′ <br />

1)<br />

Ω0 <br />

El complejo C es quasi isomorfo al complejo L ′ m+p. Por lo tanto C es exacto.<br />

Esto significa que el complejo M ′′ definido como<br />

Hm−r (B∗,r, dfr) Hm−r−1 <br />

(B∗,r+1, dfr) Hm−r−2 <br />

(B∗,r+2, dfr)<br />

. . . H2 <br />

(B∗,m−2, dfr) H1 <br />

(B∗,m−1, dfr) <br />

B0,m<br />

tiene cohomología cero para todo grado diferente de m−r. Como el complejo<br />

M ′′ se obtiene al tomar cohomología a las columnas del complejo M ′ P (ver<br />

Complejo 2.25) entonces M ′ P y M ′′ son quasi isomorfos. Por lo tanto M ′ P es<br />

exacto salvo en el último nivel.<br />

<br />

Observación. Notemos Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I. Como el complejo Lm+p se<br />

puede escribir como un bicomplejo (ver Página 114), tenemos una secuencia<br />

espectral E r ∗,∗ que converge a la cohomología del complejo Lm+p.<br />

113


Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Si fr<br />

tiene una singularidad aislada en η entonces existe una secuencia espectral<br />

E ∗ p,q tal que E ∞ = E r , y converge a la cohomología del complejo Lm+p.<br />

Prueba. La prueba se basa en escribir el complejo<br />

de la siguiente manera<br />

· · ·<br />

<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

dfr<br />

δ1<br />

Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I<br />

. . .<br />

<br />

<br />

<br />

Em−2<br />

B2,1<br />

<br />

. . . <br />

dfr<br />

<br />

Em−1<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

<br />

Em<br />

<br />

δ1<br />

B1,1<br />

<br />

δ1<br />

dfr<br />

. . <br />

. <br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

B2,r−1<br />

<br />

dfr<br />

B1,r−1<br />

<br />

. . .<br />

(Mm+p)m−r−1<br />

δ1<br />

dfr dfr<br />

dfr<br />

δ1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B0,1<br />

<br />

<br />

B0,r−1<br />

<br />

(Mm+p)m−r+1<br />

δ1<br />

δ1<br />

δ1<br />

. . .<br />

<br />

δ1<br />

<br />

<br />

δ1<br />

(Mm+p)m−r<br />

donde E∗ = E ′ ∗ ⊗R R/I, B∗,∗ = B∗,∗ ⊗R/I y M∗ = M ′ ∗ ⊗R R/I. Las columnas<br />

de L ′ m+p son exactas excepto en el último nivel. Entonces podemos tomar<br />

cohomología a las columnas del bicomplejo L ′ m+p ⊗ R/I y tener<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

<br />

T or2(H m (E ′ ), R/I) T or2(H m−1 <br />

(B∗,1, dfr), R/I) <br />

. . . <br />

∂<br />

∂<br />

dfr<br />

<br />

T or1(H m (E ′ ), R/I) <br />

∂<br />

dfr<br />

dfr<br />

dfr<br />

<br />

<br />

<br />

T or0(H m (E ′ ), R/I) T or0(H m−1 <br />

(B∗,1, dfr), R/I) <br />

. . . <br />

∂<br />

∂<br />

. . .<br />

dfr<br />

<br />

T or1(H m−1 (Hm−1 (B∗,1, dfr)), R/I) <br />

114<br />

∂<br />

. . .<br />

dfr<br />

. . <br />

.


· · ·<br />

. . .<br />

<br />

· · · T or2(H m−r+2 <br />

((B∗,r−2, dfr), R/I) <br />

∂<br />

<br />

· · ·<br />

dfr<br />

T or1(H m−r+2 <br />

<br />

∂<br />

(B∗,r−2, dfr), R/I)<br />

dfr<br />

<br />

· · · T or0(H m−r+2 <br />

((B∗,r−2, dfr)), R/I) <br />

∂<br />

∂<br />

∂<br />

. . .<br />

<br />

T or2(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)<br />

∂<br />

<br />

T or1(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)<br />

T or0(H m−r+1 (M ′ m+p), R/I)<br />

el primer término de la secuencia espectral. De la definición de secuencia<br />

espectral se sigue que E ∞ = E r .<br />

<br />

A continuación damos otra demostración del Corolario 2.40, donde se<br />

refleja la relación que existe entre que un anillo sea regular R/I y que su<br />

ideal jacobiano de I sea unidad.<br />

Proposición 2.77. Sean (R, η) un a.r.l.e.t.f e I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis<br />

entonces<br />

H i ((Lj)) = 0<br />

para todo i < m − r e i > m si j > m − r; y si j ≤ m − r e i = j.<br />

Prueba. Sea P un ideal primo en al anillo R/I diferente del maximal. Entonces<br />

P JF , por lo tanto el complejo (Lj)P es exacto para todo j > m − r<br />

y tiene cohomología cero para todo grado i = j si j < m−r+1. Del Corolario<br />

1.69 se sigue la prueba de la Proposición. <br />

2.3.2. El Algoritmo<br />

Como sabemos los módulos de cohomología de los complejos Lj de una<br />

icis I = 〈f1, . . . , fr〉 generado por una secuencia regular de r elementos son<br />

espacios vectoriales de dimensión finita. A continuación presentamos un algoritmo<br />

para calcular la dimensión de los módulos de cohomología de los<br />

complejos Lj, para todo r ≥ 2, y j > m − r + 1. Dejamos en libertad al<br />

lector para que pueda implementar este algoritmo en algún programa de<br />

matemáticas, como por ejemplo el programa Singular.<br />

115<br />

∂<br />


En el caso que el ideal I = 〈f, g〉 este generado por una secuencia regular<br />

de longitud dos sabemos que<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf<br />

Jf,g<br />

, R/I).<br />

Con este resultado podemos calcular la dimensión de los módulos de cohomología<br />

del complejo Lm−1; pues estos pueden ser calculados por ejemplo<br />

por el programa Singular. También tenemos la secuencia exacta corta de<br />

complejos<br />

0<br />

<br />

K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I<br />

<br />

Lm+s<br />

<br />

Lm+s−1<br />

De la ecuación anterior podemos suponer por inducción que hemos calculado<br />

la dimensión de los módulos de cohomología del complejo Lm+s. Notemos<br />

que H m (Lm+s) es un espacio vectorial de dimensión finita; más aún es el coker<br />

de una aplicación entre R−módulos libres donde el morfismo entre estos<br />

se conoce. Para el término en nivel m − 2 sabemos que<br />

H m−2 (Lm+s) = T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)),<br />

y su dimension es finita. Del teorema de clasificación podemos suponer que<br />

K := K(fx1, . . . , fxm) es una resolución de R/Jf. Nuevamente de esta información<br />

tenemos que<br />

H ∗ (K ⊗ R/I) = T orm−∗(R/Jf, R/I).<br />

La dimensión de todos los módulos anteriormente mencionados pueden ser<br />

calculados por el programa Singular; debido a los resultados precisados líneas<br />

atrás. Del análisis anterior es claro que la dimensión que nos falta calcular es<br />

la del modulo H m−1 (Lm+s).<br />

Proposición 2.78. Sea I = 〈f, g〉 una icis, entonces<br />

dim(H m−1 (Lm+s)) = −dim(H m−2 (K ⊗ R/I))<br />

+dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I))) − dim(H m−2 (Lm+s−1))<br />

+dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s−1))<br />

−dim(H m (K ⊗ R/I)) + dim(H m (Lm+s)) − dim(H m (Lm+s−1)).<br />

116<br />

<br />

0.


Prueba. De la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I<br />

obtenemos la secuencia exacta larga<br />

H m−2 (K ⊗ R/I)<br />

H m−1 (K ⊗ R/I)<br />

H m (K ⊗ R/I)<br />

<br />

m−2 H (Lm+s)<br />

<br />

m−1 H (Lm+s)<br />

<br />

m H (Lm+s)<br />

<br />

Lm+s<br />

<br />

Lm+s−1<br />

<br />

m−2 H (Lm+s−1)<br />

<br />

m−1 H (Lm+s−1)<br />

<br />

m H (Lm+s−1).<br />

Sabemos que la suma y resta alternada de las dimensiones en la secuencia<br />

anterior es cero, es decir tenemos<br />

dim(H m−2 (K⊗R/I))−dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)))+dim(H m−2 (Lm+s−1))<br />

−dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s)) − dim(H m−1 (Lm+s−1))<br />

+dim(H m (K ⊗ R/I)) − dim(H m (Lm+s)) + dim(H m (Lm+s−1)) = 0.<br />

De aquí es simple hallar la dimensión de H m−1 ((L ′ m+s)).<br />

Más aún recordemos que los complejos Lj para j < m − r + 1 son exactos<br />

(ver Corolario 2.40), en el caso que j = m − r + 1 tenemos el siguiente<br />

resultado.<br />

Lema 2.79. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces<br />

H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r−1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I)<br />

Prueba. Notemos que la longitud del complejo L ′ m−r+1 es m − r + 1, y<br />

ht(JF ) = m − r + 1. Sea P un primo de altura menor que m − r + 1 entonces<br />

P no contiene a JF , el ideal jacobiano de F . De la Corolario 2.70 se sigue<br />

que<br />

H i ((Lm−r+1)P ) = 0<br />

117<br />

<br />

0


para todo i = m − r + 1. Del criterio de exactitud tenemos que el complejo<br />

L ′ m−r+1 es una resolución de H m−r+1 (L ′ m−r+1). De aquí se sigue directamente<br />

que<br />

H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r+1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I).<br />

Observación. El resultado anterior es una generalización del cálculo obtenido<br />

por [Mich]. Supongamos que en I = 〈f, g〉 el generador f tenga una singularidad<br />

aislada. Cuando r = 2 obtenemos<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/I) = T orm−1−∗( Jf<br />

Jf,g<br />

, R/I).<br />

Lema 2.80. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis y s > m−r +1 un entero entonces<br />

H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).<br />

Prueba. El complejo (L ′ s) ≤m−r+1 tiene longitud m − r + 1. Sea P un ideal<br />

primo de altura menor que m − r + 1. Como ht(JF ) = m − r + 1 entonces<br />

P JF . Del Corolario 2.70 esto significa que H i ((L ′ s)P ) = 0 para todo<br />

i = s ≤ m, si s > m entonces Ls es exacto. Como<br />

H t (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = H t ((L ′ s)P ) = 0<br />

para todo t < m − r + 1 entonces el complejo H i (((L ′ s) ≤m−r+1 )P ) = 0<br />

para todo i = m − r + 1. Por lo tanto (L ′ s) ≤m−r+1 es una resolución de<br />

H m−r+1 ((L ′ s) ≤m−r+1 ). Como Ls = L ′ s ⊗ R/I, entonces<br />

H m−r (Ls) = T or1((L ′ s) ≤m−r+1 , R/I).<br />

Observación. A continuación presentamos un algoritmo para calcular la<br />

dimensión de los módulos de cohomología de una icis cuando el ideal I =<br />

〈f1, . . . , fr〉 este generado por una secuencia regular de longitud r. De manera<br />

precisa tenemos el siguiente teorema.<br />

Teorema 2.81. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis, j > m−r+1 y t < j. entonces<br />

dim(H t (Lj(f1, . . . , fr))) = ±(dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr−1)))−<br />

118


dim(H m−r (Lj(f1, . . . , fr))) + dim(H m−r (Lj−1(f1, . . . , fr)))−<br />

· · · + · · ·<br />

dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr−1))) − dim(H t−1 (Lj(f1, . . . , fr)))<br />

dim(H t−1 (Lj−1(f1, . . . , fr))) − dim(ker(i ∗ )),<br />

donde i ∗ : H t ((Lj(f1, . . . , fr−1))) ≤t+1 ) → H(Lj((f1, . . . , fr)) ≤t+1 ), las dimensiones<br />

del lado derecho se conocen, y el signo ± depende con el signo que se<br />

comience la suma y resta alternada.<br />

Prueba. Del Lema anterior conocemos la dimensión de los módulos de cohomología<br />

de los complejos Lj cuando I = 〈f, g〉 es generado por una secuencia<br />

regular de longitud dos. Por lo tanto por inducción podemos suponer que<br />

hemos calculado la dimensión de los módulos de cohomología de los complejos<br />

Lj cuando I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una secuencia regular de<br />

longitud r. Sea I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉 una icis generada por una secuencia<br />

regular de longitud r + 1. Sin perdida de generalidad podemos suponer que<br />

I ′ = 〈f1, . . . , fr〉 genera una icis (ver Proposición 2.24). Del Lema 2.80 tenemos<br />

ya calculado el módulo<br />

para toda icis. Como<br />

H m−r (Lj) = T or1(H m−r+1 (L ′ j) ≤m−r+1 , R/I),<br />

H ∗ (Lm−(r+1)+1) = T orm−(r+1)+1−∗(H(L ′ m−(r+1)+1), R/I)<br />

podemos admitir que hemos calculado la dimensión de los módulos de Lj−1<br />

para la icis I = 〈f1, . . . , fr, fr+1〉, para j ≥ m − (r + 1) − 1.<br />

De la Proposición 2.43 tenemos la secuencia exacta de complejo<br />

0<br />

<br />

Lj(f1, . . . , fr)<br />

<br />

Lj(f1, . . . , fr+1)<br />

<br />

Lj−1(f1, . . . , fr+1)<br />

Si cortamos la secuencia anterior en nivel m − r + 2 tenemos la secuencia<br />

exacta corta de complejos<br />

0<br />

<br />

(Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 <br />

(Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 <br />

(Lj−1(x1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 <br />

0.<br />

119<br />

<br />

0.


En general los módulos de cohomología en nivel m−r+2 de los complejos<br />

en la secuencia anterior son espacios vectoriales de dimensión infinita. Si<br />

tomamos cohomología obtenemos la secuencia exacta<br />

H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )<br />

H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )<br />

H m−r+2 ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )<br />

H m−r+2 ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

i ∗<br />

<br />

m−r H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )<br />

<br />

m−r+1 H ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )<br />

<br />

m−r+1 H ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

<br />

m−r+2 H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )<br />

Los módulos de cohomología de nivel menor que m − r + 1 son espacio vectoriales<br />

de dimension finita, pues son los módulos de cohomología de los<br />

complejos Lj y Lj−1 de una icis generado por una secuencia regular de longitud<br />

r y r + 1. Por lo tanto ker(i ∗ ) es un espacio vectorial de dimensión finita.<br />

El cual es sólo el cociente de la aplicación inclución i; y puede ser calculado<br />

por el programa Singular. Por lo tanto tenemos la siguiente secuencia exacta<br />

H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )<br />

H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )<br />

ker(i ∗ )<br />

<br />

0.<br />

<br />

m−r H ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )<br />

<br />

m−r+1 H ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )<br />

<br />

m−r+1 H ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

En la secuencia anterior la única dimensión que nos falta calcular es<br />

dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1)) ≤m−r+2 )) = dim(H m−r+1 (Lj(f1, . . . , fr+1))).<br />

120<br />

<br />

0.


En la secuencia anterior sabemos que la suma y resta alternada de las dimensiones<br />

de los módulos nos debe dar cero. De aquí es sencillo calcular<br />

dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr+1))) = −dim(H m−r ((Lj(f1, . . . , fr)))<br />

H m−r (Lj(f1, . . . , fr+1)) − H m−r ((Lj−1(f1, . . . , fr+1) ≤m−r+2 )<br />

dim(H m−r+1 ((Lj(f1, . . . , fr)) ≤m−r+2 )) + dim(H m−r+1 (Lj−1(f1, . . . , fr+1))<br />

−dim(ker(i ∗ )).<br />

Un proceso de inducción finaliza la prueba.<br />

121


Capítulo 3<br />

Homología Cíclica.<br />

Los complejos Lj tienen cohomología cero para todo término menor que<br />

m − r. Debido a este hecho y al Lema 3.3 podemos calcular los módulos<br />

de cohomología de los complejos Dj para grados menores que m − r − 1.<br />

Los demás términos se encuentran en una secuencia exacta corta, y pueden<br />

ser calculados de manera recurrente. En el caso que S = 0 expresamos los<br />

módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de<br />

cohomología de los complejos Lj. El complejo que proporciona la homología<br />

cíclica negativa Ω ≥m se descompone en casi un producto tensorial de comple-<br />

jos. En el caso r = 2 esto permite tomar un subcomplejo Ω ≥m<br />

f . El complejo<br />

cociente Ω ≥m /Ω ≥m<br />

f<br />

es isomorfo a Ω ≥m<br />

f . Mostramos una secuencia espectral<br />

que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite presentar<br />

una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω ≥m .<br />

3.1. Homología Cíclica<br />

En esta Sección calculamos los módulos de cohomología de los complejos<br />

Dj para todo j. Vamos a demostrar el siguiente teorema :<br />

Teorema 3.1. Sea A1 = R/〈I〉, y At = R/It . Para j ∈ N se tiene que<br />

H i ⎧<br />

H<br />

⎪⎨<br />

(Dj) =<br />

⎪⎩<br />

i DR (A1)<br />

H<br />

si i < min{m − r − 2, j}.<br />

m−r<br />

DR (Aj−m+r+1)<br />

Ω<br />

si i = m − r − 1, j > m − r − 1.<br />

j<br />

A<br />

si i = j<br />

(3.1)<br />

dΩ j−1<br />

A<br />

122


Si j ≥ m − r para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una secuencia exacta<br />

0<br />

H t (Lj)<br />

<br />

t−1<br />

HDR (Aj−t+1)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

π ∗<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht DR (Aj−t)<br />

Prueba. En lo que sigue de la sección demostraremos los distintos casos del<br />

teorema. <br />

Los resultados se basan en el Corolario 2.40 y Lema 4 de [BACH] que<br />

pasamos a enunciar.<br />

Notación. En este Capítulo usaremos la siguiente notación<br />

Ω i Ar =<br />

Ω i A<br />

I r Ω r A + dIr Ω r A<br />

Lema 3.2. La imagen del morfismo π : H j−r (Dj) −→ H j−r (Dj−1) inducido<br />

por la proyección canónica π ∗ : Dj −→ Dj−1 para todo 1 ≤ r ≤ j es dado por<br />

π ∗ (H j−r (Dj)) = H j−r<br />

DR (Ar)<br />

Prueba. Lema 4 de [BACH]. <br />

Observación. A continuación describimos los módulos de cohomología de<br />

los complejos Dj para grados menores que m−r. El primer paso es demostrar<br />

la siguiente proposición :<br />

Proposición 3.3. Si j < m − r entonces<br />

para todo t ≤ j − 2.<br />

H t (Dj) = H t (Dt+1)<br />

Prueba. Sea j < m − r y t ≤ j − 2 < j. En la secuencia<br />

0<br />

<br />

Lj<br />

<br />

Dj<br />

123<br />

.<br />

π <br />

Dj−1<br />

<br />

0.<br />

<br />

<br />

0


el complejo Lj tiene cohomología cero para todo i = j (Corolario 2.40).<br />

Tomemos la secuencia exacta larga asociada<br />

H t (Lj)<br />

H t+1 (Lj)<br />

· · ·<br />

H j−1 (Lj)<br />

H j (Lj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

<br />

t+1 H (Dj)<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

j−1 H (Dj)<br />

<br />

j H (Dj)<br />

π <br />

Ht (Dj−1)<br />

π <br />

t+1 H (Dj−1)<br />

<br />

· · ·<br />

π <br />

j−1 H (Dj−1)<br />

<br />

0.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

(3.2)<br />

Como H i (Lj) = 0 para todo i = j y t ≤ j−2, se sigue que H i (Dj) = H i (Dj−1)<br />

para todo i ≤ j − 2.<br />

Un proceso inductivo concluye la prueba.<br />

<br />

Proposición 3.4. Sea A1 = R/I y j < m − r entonces<br />

para todo t ≤ j − 1.<br />

H t (Dj) π ∗ (H t (Dj)) = H t DR(A1)<br />

Prueba. Sea t = j − 1. En la secuencia 3.2, H j−1 (Lj) = 0 implica que<br />

es inyectivo. Por el Lema 3.2<br />

π : H j−1 (Dj) −→ H j−1 (Dj−1)<br />

H j−1<br />

DR (A1) = π ∗ (H j−1 (Dj)) H j−1 (Dj). (3.3)<br />

En el caso general, por la Proposición 3.3<br />

La fórmula 3.3 con j = t + 1 nos da<br />

H t (Dj) H t (Dt+1).<br />

H t (Dt+1) = π ∗ (H t (Dt+1)) = HDR(A1).<br />

124


Es decir H t (Dj) H t DR (A1).<br />

Proposición 3.5. Sea j ≥ m − r entonces para todo t ≤ m − r − 2<br />

H t (Dj) = H t (Dt+1).<br />

Prueba. Sea j ≥ m − r y la secuencia<br />

0<br />

<br />

Lj<br />

<br />

Dj<br />

La secuencia exacta larga asociada es<br />

H t (Lj)<br />

· · ·<br />

H m−r−1 (Lj)<br />

· · ·<br />

H j−1 (Lj)<br />

H j (Lj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

m−r−1 H (Dj)<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

j−1 H (Dj)<br />

<br />

j H (Dj)<br />

<br />

Dj−1<br />

<br />

0.<br />

<br />

Ht (Dj−1)<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

m−r−1 H (Dj−1)<br />

<br />

· · ·<br />

<br />

j−1 H (Dj−1)<br />

Como H i (Lj) = 0 para todo i ≤ m − r − 1 por el Corolario 2.40 entonces<br />

H s (Dj) H s (Dj−1) para todo s ≤ m − r − 2. De la hipótesis t ≤ m − r − 2,<br />

entonces<br />

H t (Dj) = H t (Dj−1).<br />

Si t+2 = j la prueba terminó. Notemos que este caso j = m−r, t = m−r−2.<br />

Un proceso inductivo concluye la prueba.<br />

<br />

Proposición 3.6. Sea j ≥ m − r entonces<br />

<br />

0.<br />

H t (Dj) = π ∗ (H t (Dt+1)) = H t DR(A1)<br />

125


para todo t ≤ m − r − 2. Si t = m − r − 1 entonces<br />

H m−r−1 (Dj) = π ∗ (H m−r−1 (Dj)) = H m−r−1<br />

DR<br />

(Aj−m+r+1)<br />

Prueba. Sea j ≥ m − r, del Corolario 2.40 se sigue que H t (Lj) = 0 para<br />

todo t ≤ m − r − 1. Por lo tanto de la secuencia 3.2 tenemos que<br />

π ∗ : H t−1 (Dj) −→ H t−1 (Dj−1)<br />

es un isomorfismo.<br />

Un proceso de inducción finaliza la prueba. Si t = m − r − 1, π ∗ es<br />

inyectivo. Del Lema 3.2 se sigue<br />

H m−r−1 (Dj) = π ∗ (H m−r−1 (Dj)) = H m−r−1<br />

DR<br />

(Aj−m+r+1)<br />

Observación. Presentamos una secuencia exacta que relaciona los módulos<br />

de cohomología de los complejos Dj para grados mayores o iguales que m−r.<br />

y menores que m − 1.<br />

Proposición 3.7. Sea j ≥ m − r para m − r + 1 ≤ t ≤ m − 1 existe una<br />

secuencia exacta<br />

0<br />

H t (Lj)<br />

<br />

t−1<br />

HDR (Aj−t+1)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

Prueba. Para la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

Lj<br />

tenemos la secuencia exacta larga<br />

<br />

Dj<br />

126<br />

π ∗<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht DR (Aj−t)<br />

π <br />

Dj−1<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

0


· · · · · · · · ·<br />

H t−1 (Lj)<br />

H t (Lj)<br />

H t+1 (Lj)<br />

Del Lema 3.2 se sigue que<br />

y<br />

<br />

t−1 H (Dj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

<br />

t+1 H (Dj)<br />

π∗ <br />

t−1 H (Dj−1)<br />

π ∗<br />

<br />

Ht (Dj−1)<br />

π∗ <br />

t+1 H (Dj−1)<br />

· · · · · · · · ·<br />

π ∗ (H t−1 (Dj)) = H t−1<br />

DR (Aj−t+1)<br />

π ∗ (H t (Dj)) = H t DR(Aj−t).<br />

Por lo tanto tenemos la secuencia exacta larga<br />

0<br />

H t (Lj)<br />

<br />

t−1<br />

HDR (Aj−t+1)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

Lema 3.8. Si j < m entonces H j (Dj) = Ωj<br />

A<br />

dΩ j−1<br />

A<br />

π ∗<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht DR (Aj−t)<br />

Prueba. De la definición del complejo Dj tenemos<br />

H j (Dj) =<br />

Ω j<br />

R<br />

I·Ω j<br />

R +dI∧Ωj−1 R<br />

dΩj−1 d(IΩj−1 )+IΩj ∩dΩj−1 127<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

donde A = R/I.<br />

= Ωj<br />

A<br />

dΩ j−1<br />

A<br />

.


3.2. El Caso Quasihomogéneo<br />

En esta parte trabajamos sobre el anillo de polinomios k[x1, . . . , xm]. El<br />

ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos. Por lo<br />

tanto el álgebra R/I es graduada.<br />

Si el ideal I = 〈f1, · · · , fr〉 es generado por polinomios quasihomogéneos<br />

entonces la única singularidad aislada aislada que pueden tener es el cero. Si<br />

existiese otro punto x = (x1, . . . , xm) que fuese singular para los generadores<br />

entonces los puntos λ·x también pertenecen al conjunto de puntos singulares<br />

de f1, · · · , fr. En efecto es suficiente notar que fi(λ · x) = λd · fi(x), donde d<br />

es el grado de quasihomogeneidad.<br />

Sean A = R/I, y ˜ HC(A) = HC(A)/HC(k), en el caso quasihomogéneo<br />

sabemos que<br />

HC(A) = HC(k) ⊕ ˜<br />

HC(A)<br />

Más aún, en la secuencia SBI el morfismo S = 0 es nulo. Debido a esto<br />

tenemos la secuencia exacta corta de k−espacios vectoriales<br />

0<br />

De esta secuencia se sigue que<br />

<br />

HCn(A) ˜<br />

Bn <br />

HHn+1(A) ˜<br />

In+1 <br />

HCn+1(A) ˜<br />

HCn(A) ˜ = ker(Bn+1In+1 : ˜ HHn+1(A) → ˜ HHn+2(A)).<br />

La homología de Hochschild localiza, es decir<br />

HHn(A) ⊗ AT = HHn(AT )<br />

para todo n, donde T es un conjunto multiplicativamente cerrado conteniendo<br />

al uno (ver [Lod, Proposición 1.1.7]). Sea ζ un maximal en el anillo de<br />

polinomios k[x1, . . . , xm] diferente de η el punto singular entonces Aζ es regular<br />

y la homología de Hochschild es conocida para términos mayores que<br />

dim(Aζ) es cero. Si ζ = η entonces La homología de Hochschild es no nula<br />

para todo n > 0. Por lo tanto es suficiente analizar la secuencia anterior en<br />

el anillo local<br />

Aη = k[x1, . . . , xm]η/Iη.<br />

Los resultados se resumen en el siguiente teorema<br />

128<br />

<br />

0.


Teorema 3.9. Sea j ∈ N entonces<br />

⎧<br />

0 si t ≤ min{j − 1, m − r − 1}<br />

Ω j<br />

A<br />

H i ⎪⎨<br />

(Dj) =<br />

dΩ<br />

⎪⎩<br />

j−1<br />

si i = j y j < m − r<br />

A<br />

Hm−r (Dm−r) = Ωm−r<br />

A<br />

dΩ m−r−1 si j = m − r<br />

A<br />

Hm−r (Dj) = Hm−r (Lj) si j > m − r.<br />

Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht (Lj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

<br />

0.<br />

(3.4)<br />

con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo<br />

j ≥ m − 1.<br />

Observación. A continuación veremos para que términos la homología de los<br />

complejos Dj se anula. La herramienta básica será usar el hecho que π ∗ = 0.<br />

Proposición 3.10. Sea j ∈ N entonces<br />

para todo t ≤ min{j − 1, m − r − 1}.<br />

H t (Dj) = 0<br />

Prueba. Del Corolario 1.108 se tiene que π ∗ = 0. La afirmación para j < m−<br />

r se sigue directamente de la Proposición 3.4. La afirmación para j ≥ m − r<br />

se obtiene de la Proposición 3.6.<br />

<br />

Proposición 3.11. Se cumple H m−r (Dj) = H m−r (Lj) para todo j > m − r.<br />

Si j = m − r entonces<br />

Prueba. Para la secuencia<br />

0<br />

H m−r (Dm−r) = Ωm−r<br />

A<br />

dΩ m−r−1<br />

A<br />

<br />

Lj<br />

<br />

Dj<br />

129<br />

π <br />

Dj−1<br />

<br />

0.


tomamos la secuencia exacta larga<br />

· · · · · · · · ·<br />

H m−r−1 (Lj)<br />

H m−r (Lj)<br />

<br />

m−r−1 H (Dj)<br />

<br />

Hm−r (Dj)<br />

π∗ <br />

m−r−1 H (Dj−1)<br />

π ∗<br />

<br />

Hm−r (Dj−1)<br />

· · · · · · · · ·<br />

H j−1 (Lj)<br />

H j (Lj)<br />

<br />

j−1 H (Dj)<br />

<br />

j H (Dj)<br />

π ∗<br />

<br />

j−1 H (Dj−1)<br />

Si j > m − r entonces j − 1 ≥ m − r. De la Proposición 3.10 se sigue que<br />

H m−r−1 (Dj−1) = 0. Sabemos que π ∗ = 0, entonces<br />

Si j = m − r entonces<br />

π ∗<br />

H m−r (Lj) = H m−r (Dj).<br />

H m−r (Dm−r) = Ωm−r<br />

A<br />

dΩ m−r−1<br />

A<br />

Proposición 3.12. Si m − r < t < m entonces existe una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

t−1 H (Dj−1)<br />

<br />

Ht (Lj)<br />

<br />

0<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

con t ≤ j. Si j ≥ m entonces H m (Dj) = 0, y H m−1 (Dj) = H m (Lj) para todo<br />

j ≥ m − 1.<br />

Prueba. Sea la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

Lj<br />

<br />

Dj<br />

130<br />

π <br />

Dj−1<br />

<br />

0.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0. (3.5)


En la secuencia exacta larga asociada<br />

· · ·<br />

H t (Lj)<br />

<br />

t−1 H (Dj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

π∗ <br />

t−1 H (Dj−1)<br />

π ∗<br />

<br />

Ht (Dj−1)<br />

<br />

<br />

· · ·<br />

tenemos que π∗ = 0 (Corolario 1.108). De aquí se desprende la secuencia<br />

exacta<br />

0 <br />

t−1 H (Dj−1) <br />

H t (Lj)<br />

<br />

Ht (Dj)<br />

De la secuencia exacta larga asociada a la secuencia (3.5) para los últimos<br />

niveles obtenemos<br />

H m−1 (Lj)<br />

H m (Lj)<br />

<br />

m−1 H (Dj)<br />

<br />

Hm (Dj)<br />

<br />

0.<br />

π∗ <br />

m−1 H (Dj−1)<br />

π ∗<br />

<br />

Hm (Dj−1)<br />

Como π ∗ = 0 entonces H m (Dj−1) = 0 para todo j ≥ m − 1. Esto significa<br />

que H m (Dj) = 0 para j ≥ m − 2. Por lo tanto<br />

3.3. Ejemplos.<br />

H m−1 (Dj−1) H m (Lj).<br />

Esta sección esta orientada a presentar la cohomología de los complejos Dj<br />

para el caso de curvas complejas inmersas en dimensión 3. Como se observa<br />

en el Ejemplo 2.67 todas ellas son quasihomogéneas. Por lo tanto podemos<br />

aplicar los cálculos de la sección anterior.<br />

Ejemplo 3.13. Este ejemplo recopila los cálculos del capítulo anterior para<br />

el caso r = 2.<br />

131<br />

<br />

<br />

0


Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0 para todo t ≤ j − 1 (Proposición 3.10).<br />

Un cálculo directo muestra que H j (Dj) = Ω j<br />

A /dΩj−1<br />

A .<br />

Si j ≥ m − 2 entonces Ht (Dj) = 0 para todo t ≤ m − 2 − 1 (ver<br />

/dΩm−3<br />

A ,<br />

.<br />

Proposición 3.10). Un cálculo muestra que H m−2 (Dm−2) = Ω m−2<br />

A<br />

y que H m−1 (Dm−1) = Ω m−1<br />

A<br />

/dΩm−2<br />

A<br />

De la Proposición 3.11 tenemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo<br />

j > m − 2, y Hm−2 (Dm−2) = Ω m−2<br />

A<br />

/dΩm−3<br />

A .<br />

Notemos que hemos calculado todos los módulos de cohomología de los<br />

complejos Dj para t ≤ m − 2, y todo j.<br />

Sea j > m − 1. Si m − 2 < t < m entonces t = m − 1. De la Proposición<br />

3.12 se sigue que<br />

H m−1 (Dj) = H m (Lj+1).<br />

De la Proposición 3.12 con t = m − 1 obtenemos<br />

H m−1 (Lj)<br />

0<br />

<br />

m−1 H (Dj)<br />

<br />

m−2 H (Dj−1)<br />

Sabemos que H m−2 (Dj) = H m−2 (Lj) para todo j > m − 2 ( ver Proposición<br />

3.11). Por lo tanto tenemos las siguiente secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

m−2 H (Lj−1)<br />

Como espacio vectorial tenemos<br />

<br />

m−1 H (Lj)<br />

<br />

0.<br />

H m−1 (Dj) Hm−1 (Lj)<br />

H m−2 (Lj−1) .<br />

Si usamos la Proposición 3.12 tenemos que<br />

Como sabemos (Proposición 3.12)<br />

para todo j. Por lo tanto si j < m<br />

H m−1 (Dj) H m (Lj).<br />

H m (Dj) = 0,<br />

132<br />

<br />

<br />

m−1 H (Dj)<br />

<br />

0.


H i (Dj) =<br />

<br />

0 si i < j<br />

Ω j<br />

A /dΩj−1<br />

A<br />

Si j ≥ m − 1 podemos escribir<br />

⎧<br />

0 si i < m − 2,<br />

si i = j.<br />

⎪⎨ Hm−2 (Lj) si i = m − 2,<br />

Ω m−1<br />

/dΩm−2 si i = m − 1 y j = m − 1,<br />

A A<br />

Hm−1 (Lj)<br />

H ⎪⎩<br />

m−2 (Lj) Hm (Lj) si i = m − 1 y j > m − 1,<br />

0 si i ≥ m y j > m − 1.<br />

(3.6)<br />

(3.7)<br />

Ejemplo 3.14. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f, g〉 una icis quasihomogénia<br />

donde Jf = η. Del Corolario 2.65 se desprende que para j > m − 1<br />

H i ⎧<br />

0 si i < m − 2<br />

⎪⎨<br />

T or1(η/Jf,g, R/I)<br />

(Lj) =<br />

⎪⎩<br />

{ j−m+1 t=1 k · xt} si i = m − 2,<br />

T or0(η/Jf,g, R/I) { j−m+1 t=1 k ⊕ k) · xt} si i = m − 1,<br />

j−m+1 t=1 k · xt si i = m.<br />

(3.8)<br />

Observación. A continuación proporcionamos información sobre los módulos<br />

T or0(η/Jf,g, R/I) y T or1(η/Jf,g, R/I). Específicamente demostramos que<br />

si<br />

µ := dim( R<br />

)<br />

I + JF<br />

es por definición el número de Milnor entonces<br />

dim(T or0(η/Jf,g, R/I)) = dim(T or1(η/Jf,g, R/I)) = µ.<br />

La primera igualdad se sigue de la ecuación<br />

H m−1 (Lj)<br />

H m−2 (Lj) Hm (Lj),<br />

y de (3.8).<br />

Para demostrar esta caracterización presentamos el siguiente análisis.<br />

133


Observación. Del Capítulo anterior tenemos que los elementos f + α · g que<br />

cumplen la condición ht(Jα) < m son un número finito. Entonces definamos,<br />

como en el Capítulo 2,<br />

W := {α/ht(Jα) < m} .<br />

Lema 3.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f, g〉 un ideal de intersección<br />

completa con una singularidad aislada en η. Sea h = f + α0 · g generador de<br />

I con una singularidad aislada en η. Entonces existe h ′ generador del ideal I<br />

el cual cumplen las siguientes condiciones :<br />

1) El generador h ′ tienen una singularidad aislada en η, e I = 〈h, h ′ 〉.<br />

2) La aplicación<br />

h ′ : Jh<br />

Jh,h ′<br />

definida como a ↦→ a · h ′ es inyectiva.<br />

−→ Jh<br />

Jh,h ′<br />

Prueba. Sea M = Jh<br />

Jh,g , donde h = f + α0 · g tiene una singularidad aislada<br />

en η. Definamos hλ := f + λ · g ∈ R con λ ∈ k − {W ∪ α0} , y asumamos que<br />

para todo λ ∈ k − W se cumple que la aplicación<br />

hλ : Jh<br />

Jh,g<br />

−→ Jh<br />

Jh,g<br />

definida como a ↦→ a · hλ no es inyectiva. Entonces para cada λ ∈ k − W<br />

existe xλ ∈ M tal que hλ ∈ Ann(xλ).<br />

De la Proposición A.26 podemos decir que cada Ann(xλ) esta contenido<br />

en al menos un ideal primo p ∈ Ass(M). De la Proposición A.27 se sigue que<br />

Ass(M) son un conjunto finito. Los elementos f +λ·g con λ ∈ k −{W ∪ α0}<br />

son infinitos. Por lo tanto podemos afirmar que existe un primo p ∈ Ass(M)<br />

y elementos α = β tal que f + α · g, f + β · g ∈ p = ann(x) y x ∈ M es no<br />

nulo (ver Definición [Mats]). Como α = β se prueba que f · x = g · x = 0. Es<br />

decir<br />

x · hλ = 0 (3.9)<br />

para todo λ ∈ k.<br />

Por otro lado hemos probado que :<br />

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f y I = 〈f, g〉 una variedad con una singularidad<br />

aislada en η entonces el complejo Lm−1 cumple H i (Lm−1) = 0 para todo<br />

i ≤ m − 3 (ver Corolario 2.51)<br />

134


Más aún, como el complejo L ′ m−1 tiene cohomología cero para todo grado<br />

i = m − 1 (ver Proposición 2.49) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I ,<br />

H i (Lm−1) = H k (L ′ m−1 ⊗ R/I) = T orm−1−i(H m−1 (L ′ m−1), R/I). (3.10)<br />

Como por hipótesis la secuencia f, g es regular y 〈h, g〉 = 〈f, g〉 se prueba que<br />

h y g también forman una secuencia regular. Esto significa que el complejo<br />

K(x, y) : 0<br />

(h,g)<br />

<br />

R <br />

R R (−g,h) <br />

R<br />

es una resolución de R/I, ver Apéndice.<br />

Por otro lado, como h tiene una singularidad aislada en η entonces<br />

H m−1 (L ′ m−1) Jh<br />

(ver Lema 2.35). Más aún la cohomología del complejo Lm−1 es isomorfa a la<br />

homología del complejo K(h, g) ⊗R Jh (ver Ecuación (3.10)). Por lo tanto,<br />

Jh,g<br />

del Corolario 2.51, el complejo<br />

K(x, y) ⊗ M : 0<br />

<br />

Jh<br />

Jh,g<br />

Jh,g<br />

<br />

0<br />

(h,g) Jh Jh<br />

(−g,h) Jh<br />

<br />

<br />

Jh,g Jh,g Jh,g<br />

tiene sólo dos términos de homología no nulos. De la Ecuación (3.9) se sigue<br />

no nulo tal que x · h = x · g = 0. Es decir x ∈<br />

que existe x ∈ M = Jh<br />

Jh,g<br />

Hm−3 (Lm−1) = 0, una contradicción.<br />

Por lo tanto existe hλ = f + λ · g donde λ ∈ k − {W ∪ α0} tal que la<br />

aplicación<br />

hλ : Jh<br />

−→<br />

Jh,g<br />

Jh<br />

.<br />

Jh,g<br />

es inyectiva.<br />

Para finalizar la demostración es suficiente notar que Jh,g = Jf,g = Jh,hλ .<br />

Esto significa que<br />

hλ : Jh<br />

Jh,hλ → Jh<br />

Jh,hλ<br />

es una aplicación inyectiva y tanto h como hλ tienen una singularidad aislada<br />

en η. <br />

Lema 3.16. El complejo L ′ m−1⊗K(f) tiene cohomología cero para todo grado<br />

i = m , donde f satisface las propiedades del Lema 3.15.<br />

135<br />

<br />

0


Prueba. El Lema 3.15 nos permite asumir sin perdida de generalidad que<br />

la aplicación<br />

f : Jg<br />

Jf,g<br />

−→ Jg<br />

Jf,g<br />

definida como x ↦→ xf es inyectiva, y f así como g tiene una singularidad<br />

aislada en η.<br />

Por otro lado, como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último<br />

nivel tenemos que<br />

H ∗ (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/ 〈f〉).<br />

Cuando g tiene una singularidad aislada en η se probó que<br />

(ver Lema 2.35). Es claro que<br />

H m−1 (L ′ m−1) Jg<br />

K(f) : 0<br />

f<br />

<br />

R<br />

Jf,g<br />

<br />

R<br />

es una resolución de R/ 〈f〉 . Entonces el complejo K(f) ⊗ Jg<br />

0<br />

<br />

Jg<br />

Jf,g<br />

f<br />

<br />

Jg<br />

.<br />

Jf,g<br />

De Lema anterior tenemos que H m−2 (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = H1(K(f) ⊗ Jf<br />

Corolario 3.17. Existen generadores f, g del ideal I tal que<br />

H m−2 (Lm−1) = T or1( Jg<br />

Jf,g<br />

⊗ R/ 〈f〉 , R/ 〈g〉).<br />

Jf,g<br />

es dado por<br />

Jf,g<br />

) = 0.<br />

Prueba. Como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último nivel entonces<br />

H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jg<br />

, R/ 〈f, g〉).<br />

Jf,g<br />

136


Por lo tanto, para calcular la cohomología del complejo Lm−1 podemos usar<br />

la resolución K(f, g) de R/ 〈f, g〉 . Como<br />

K(f, g) ⊗ Jg<br />

Jf,g<br />

K(g) ⊗ K(f) ⊗ Jg<br />

Jf,g<br />

y como K(g) es una resolución libre de R/〈g〉 y C := K(f) ⊗ Jg<br />

resolución de H0(C) = Jf<br />

Jf,g<br />

⊗ R/〈f〉, entonces<br />

K(f, g) ⊗ Jg<br />

Jf,g<br />

Jf,g<br />

es una<br />

calcula tor(R/〈g〉, H0) <br />

Observación. La conclución anterior también se puede obtener asumiendo<br />

que el ideal 〈Jf,g, f〉 cumplen ht(〈Jf,g, f〉) = m = dim(R). Tal como sucede<br />

en el siguiente ejemplo :<br />

Ejemplo 3.18. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η) el anillo local y g = x 2 + y 3 ,<br />

f = x 2 − y 3 una variedad de intersección completa con una singularidad<br />

aislada en η. Entonces es claro que ht(〈Jf,g, f〉) = dim(R) = 2.<br />

Observación. Notemos que la condición establecida en la observación anterior<br />

no siempre se cumple. Veamos el siguiente ejemplo :<br />

Ejemplo 3.19. Sea (R, η) = (k[x, y](x,y), η), f = x 2 y g = y 3 . Entonces<br />

Jf,g = (xy 2 ) y ht(〈f, Jf,g〉) = ht(〈g, Jf,g〉) = 1 < 2<br />

Observación. El Lema 3.15 se interpreta de la siguiente manera : siempre<br />

se puede elegir un representante f el cual cumpla que ht(〈Jf,g, f〉) = m.<br />

3.3.1. El Número de Milnor.<br />

A continuación estudiamos la dimensión de H m−1 (Lm−1), cuando I =<br />

〈f, g〉 es una icis y Jf = η. También ponemos de manifiesto la relación de la<br />

dimensión de este espacio con el número de Milnor, según se define en [Looj].<br />

Trabajaremos sólo bajo las hipótesis que aquí se presentan.<br />

Definición 3.20. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Sea<br />

As =<br />

R<br />

〈JFs, f1, . . . , fs−1〉 .<br />

137


Definamos el número de Milnor de la singularidad R/I en η como<br />

µ =<br />

r<br />

(−1) r−s As,<br />

s=1<br />

siempre que los sumandos As sean de dimensión finita.<br />

Observación. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis; sin perdida de generalidad podemos<br />

suponer que para todo s el ideal Is = 〈f1, . . . , fs〉 es una icis y que Is−1<br />

es una icis (ver Proposición 2.24). Es decir los elementos fi son los hallados<br />

en la Proposición 2.24. Denotemos al jacobiano de Fs = (f1, . . . , fs) como<br />

JFs.<br />

Lema 3.21. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis como en la observación anterior.<br />

Entonces el anillo R/〈JFs, Is−1〉 tiene dimensión finita para todo 1 ≤ s ≤ r.<br />

Prueba. Será suficiente demostrar que el anillo<br />

R/〈JFr, Ir−1〉<br />

es de dimensión finita. Esta afirmación es equivalente a demostrar que<br />

ht(〈JFr, Ir−1〉) = m.<br />

Esta última demostración es idéntica a la prueba de la Proposición 2.24.<br />

Observación. El lema anterior nos dice que los representantes hallados en la<br />

observación anterior sirven para calcular el número de Milnor según se define<br />

en 5.11.c de [Looj].<br />

Lema 3.22. Sea (R, η) un anillo regular local, I = 〈f, g〉 donde Jf = η.<br />

Entonces existe una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

k<br />

ϕ<br />

<br />

η<br />

Jf,g + g · η<br />

el morfismo ϕ se define como ϕ(1) = g<br />

138<br />

<br />

R<br />

Jf,g + 〈g〉<br />

<br />

k<br />

<br />

0,


Prueba. Se sigue de la definición de ϕ.<br />

Observación. En el caso que Jf = η se tiene que R/Jf = k. Del lema<br />

anterior se sigue que<br />

µ = R/〈Jf,g, g〉 − R/η = T or0(H m−1 (L ′ m−1, R/〈g〉)) − k.<br />

Lema 3.23. Bajo las hipótesis del lema anterior la secuencia<br />

es exacta.<br />

0<br />

ϕ⊗1<br />

<br />

k <br />

η<br />

Jf,g + I · η<br />

ψ<br />

<br />

R<br />

Jf,g + I<br />

Prueba. Notemos que la secuencia anterior surge al efectuar el producto<br />

tensorial de la secuencia<br />

0<br />

<br />

k<br />

ϕ<br />

<br />

η<br />

Jf,g + g · η<br />

<br />

R<br />

Jf,g + 〈g〉<br />

con R/〈f〉. Será suficiente demostrar que la aplicación<br />

ϕ ⊗ 1 : k ⊗ R/〈f〉 −→<br />

es inyectiva. Sea I = 〈f, g〉, entonces<br />

η<br />

⊗ R/〈f〉 <br />

Jf,g + g · η<br />

<br />

k<br />

<br />

k<br />

η<br />

⊗ R/〈f〉<br />

Jf,g + g · η<br />

η<br />

Jf,g + I · η .<br />

Al tensorizar la secuencia anterior por R/〈f〉 tenemos<br />

0<br />

<br />

N<br />

ϕ⊗1<br />

<br />

k <br />

η<br />

Jf,g + I · η<br />

ψ<br />

<br />

R<br />

Jf,g + I<br />

donde N es el núcleo de ϕ⊗1. Notemos que en el módulo<br />

<br />

k<br />

<br />

0.<br />

<br />

0,<br />

<br />

0,<br />

<br />

η<br />

los elementos<br />

Jf,g+I·η<br />

f y g son no nulos a la vez (a lo más uno puede ser nulo). Pues si f = g = 0<br />

139


entonces en el anillo R/Jf,g tendríamos que I = I · η, es decir I = 0. Para<br />

demostrar esto basta usar la inclución<br />

η/Jf,g ↩→ R/Jf,g.<br />

Notemos que f, g ∈ ker(ψ), y al menos uno de ellos es no nulo. Como<br />

dim(k) = 1 concluimos que<br />

ker(ψ) = k.<br />

Por lo tanto ϕ ⊗ 1 es inyectiva. <br />

Corolario 3.24. Sean (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f, g〉 una icis donde<br />

Jf = η, sea<br />

η<br />

χ := dimk<br />

Jf,g + I · η .<br />

Entonces<br />

dimk(T or0(H m−1 (L ′ ), R/I)) = dimk(T or0(R/Jf,g, R/I)) = χ<br />

Prueba. Sabemos que<br />

entonces<br />

H m−1 (L ′ m−1) = Jf<br />

T or0(H m−1 (L ′ m−1), R/I) = Jf<br />

Del lema anterior tenemos la secuencia<br />

0<br />

ϕ⊗1<br />

<br />

k <br />

η<br />

Jf,g + I · η<br />

ψ<br />

Jf,g<br />

<br />

Jf,g<br />

,<br />

⊗ R/I <br />

R<br />

Jf,g + I<br />

Jf<br />

.<br />

Jf,g + I · Jf<br />

Sabemos que la suma alternada de las dimensiones en la secuencia anterior<br />

nos debe dar cero. De aquí se sigue que<br />

dim(T or0(R/Jf,g, R/I)) = χ.<br />

Observación. La única condición que imponemos sobre al menos un representante<br />

f es que Jf = η. Notemos que en el caso que Jf = 〈1〉 entonces<br />

obtenemos R/〈Jg〉.<br />

140<br />

<br />

k<br />

<br />

0.


A continuación presentamos algunos ejemplos que cumplen esta condición<br />

y aparecen en la tabla de la Sección 2.2.<br />

Símbolo. Fórmula.<br />

Sµ, 5 µ (x 2 + y 2 + z µ+3 , yz)<br />

Tµ; µ = 7, 8, 9 (x2 + y3 + z µ , yz)<br />

U7<br />

(x2 + yz, xy + z3 )<br />

U8<br />

(x2 + yz, xy + xz3 )<br />

U9<br />

(x2 + yz, xy + z4 )<br />

W8<br />

(x2 + yz, y2 + z3 )<br />

W9<br />

(x2 + yz, y2 + xz2 )<br />

Z10<br />

(x2 + yz2 , y2 + z3 )<br />

3.4. La Homología Cíclica Negativa.<br />

Según lo establecido en la Proposición 1.80 el complejo cíclico negativo<br />

se descompone como<br />

CN = <br />

Ω ≥p<br />

y por lo tanto<br />

HNk = <br />

donde Ω ≥m y Ω se definen como<br />

y<br />

<br />

<br />

<br />

. . . B<br />

d<br />

Ωm+2,1<br />

.<br />

B<br />

p∈Z<br />

p∈Z<br />

Hk−2p(Ω ≥p ),<br />

.<br />

d<br />

<br />

Ωm+1,1<br />

<br />

.<br />

d<br />

<br />

Ωm,1<br />

d<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B <br />

B<br />

Ωm+1,0<br />

<br />

B<br />

Ωm,0.<br />

. . . Ωm+2,0<br />

141<br />

B


.<br />

<br />

<br />

<br />

. . . B<br />

d<br />

Ω2,1<br />

B<br />

.<br />

d<br />

<br />

Ω1,1<br />

<br />

.<br />

d<br />

<br />

Ω0,1<br />

d<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B <br />

B<br />

Ω1,0<br />

<br />

B<br />

Ω0,0.<br />

. . . Ω2,0<br />

respectivamente (ver Proposición 1.80).<br />

Observación. Dado el complejo Ω ≥p0 definamos los complejos<br />

para todo j ≥ p0. El complejo Dp0 es<br />

.<br />

<br />

(Lp0)p0−1<br />

<br />

(Lp0)p0<br />

<br />

β<br />

<br />

β<br />

B<br />

ˆDj := Ker(Dj −→ Dp0)<br />

. ..<br />

d<br />

<br />

.. .<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

β<br />

β<br />

β<br />

.<br />

d<br />

<br />

<br />

(L1)0<br />

d<br />

<br />

<br />

β<br />

β<br />

d<br />

.<br />

<br />

(L0)−1<br />

d<br />

<br />

.. <br />

. (L1)1 <br />

(L0)0.<br />

y el complejo Dj para j ≥ p0 se define como<br />

142<br />

β


.<br />

<br />

(Lj)j−1<br />

d<br />

<br />

(Lj)j<br />

<br />

β<br />

. ..<br />

d<br />

.<br />

<br />

. ..<br />

d<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

<br />

β<br />

β<br />

β<br />

<br />

.. <br />

. (Lp0)p0−1<br />

<br />

.. <br />

.<br />

(Lp0)p0<br />

<br />

β<br />

d<br />

<br />

.. .<br />

<br />

β<br />

B<br />

d<br />

d<br />

.<br />

<br />

.<br />

<br />

(L0)−1<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

. .. <br />

B<br />

(L0)0.<br />

De aquí se observa que ker(Dj → Dp0) consiste del complejo<br />

.<br />

<br />

(Lj)j+1<br />

d<br />

<br />

(Lj)j<br />

Por lo tanto Ω ≥p0+1 = lím↽<br />

<br />

β<br />

. ..<br />

<br />

d<br />

d<br />

<br />

<br />

β<br />

β<br />

<br />

. .. <br />

(Lp0+1)p0<br />

ˆDj.<br />

β<br />

.<br />

d<br />

<br />

(Lp0+1)p0+1.<br />

Por otro lado, como la proyección ˆ Dj → ˆ Dj−1 es sobre, donde ˆ Dj =<br />

Ker(Dj → Dp0) para j ≥ p0 entonces se satisface la condición de Mitaff-<br />

Leffler. Debido a que dimk(H( ˆ Dj)) < ∞, el sistema inverso (H( ˆ Dj), µ) donde<br />

µ : H( ˆ Dj → H( ˆ Dj−1) cumple la condición de Mittag-Leffler. Por lo tanto se<br />

tiene que lím 1 H∗( ˆ Dj) = 0. Del Teorema 3.5.8 de [Wei] se tiene una secuencia<br />

0<br />

<br />

1<br />

lím Hs+1( ˆ Dj)<br />

<br />

Hs(lím<br />

↽<br />

143<br />

ˆDj)<br />

<br />

lím Hs(<br />

↽ ˆ Dj)<br />

<br />

0.


Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces<br />

H(lím ↽<br />

ˆDj) lím ↽ H∗( ˆ Dj)<br />

Proposición 3.25. Para todo p0 > 0 se tiene que<br />

H s (Ω ≥p0 ) lím↽ H s ( ˆ Dj).<br />

Prueba. Se sigue del desarrollo anterior. <br />

Corolario 3.26. Los complejos Ω ≥p0 con p0 ≥ m sólo tienen tres términos<br />

de cohomología no nulos.<br />

Prueba. Los complejos Lj para j ≥ m sólo tienen los últimos tres términos<br />

de cohomología no nulos. Entonces ˆ Dj tienen a lo más los tres últimos<br />

términos de cohomogía no nulos. Por lo tanto<br />

H s (Ω ≥p0 ) lím↽ H s (Dj) = 0<br />

para todo s < m − 2. Es decir el complejo Ω ≥p0 con p ≥ m sólo tienen<br />

posiblemente los últimos tres términos de cohomología no nulos. <br />

Interesados en emplear los resultados que se plantean en [ML] descomponemos<br />

el complejo Ω≥m en dos complejos; el complejo Ω ≥m<br />

f y Ω ≥m<br />

f y. Ambos<br />

complejos son isomorfos y dependen de f, df, y dg. Esto nos proporciona una<br />

secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

Del subcomplejo Ω ≥m<br />

f<br />

mología de Ω≥m<br />

f<br />

M(f,g)<br />

<br />

≥m Ω (f, g)<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f [−1] <br />

0.<br />

tomamos cierto subcomplejo M(f, g). La coho-<br />

se calcula en el Lema 3.35. Finalmente descomponemos<br />

M(f, g) en dos copias de un complejo Γ, obteniendo una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

Γ<br />

<br />

M(f, g)<br />

<br />

Γ[−1]<br />

Aquí las columnas de Γ son los complejos E ′ m+p (Definición 2.60 ) y son<br />

exacto salvo en el último nivel. Su cohomología se calcula en el Lema 3.34<br />

144<br />

<br />

0


Observación. Otra forma de abordar el estudio de la cohomología del complejo<br />

M(f, g) es la siguiente : Tomamos un subcomplejo F de M(f, g) (ver<br />

presentamos una filtración<br />

Definición 3.42). En el complejo cociente M(f,g)<br />

F<br />

Ip ⊂ · · · ⊂ I1 =<br />

M(f, g)<br />

,<br />

F<br />

y que calculamos en el Lema 3.48. Para el complejo F presentamos una<br />

filtración<br />

F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ F.<br />

Esta filtración proporciona una secuencia espectral que colapsa en E 1 . No se<br />

sabe si E 1 ⇒ H ∗ (F ).<br />

Observación. A continuación presentamos el complejo Ω ≥m , primero para<br />

el caso de un polinomio, y luego para el caso de dos polinomios.<br />

Cuando el ideal I es generado por un sólo polinomio de la definición<br />

Ωp,q = ξp,q =<br />

p<br />

i=0<br />

Ω i ⊗ (∧(V ) ⊗ (∧ p−i V ))p+q−i, (3.11)<br />

(ver Observación después de la Definición 1.100) tenemos que el complejo<br />

Ω ≥m se expresa como<br />

.<br />

<br />

<br />

. . . Ωm−1 · x · x2 ⊕ Ωm−2x3 <br />

Ωm−2 · x · x2 ⊕ Ωm−3x3 <br />

<br />

. . . Ωm · x · x ⊕ Ωm−1x2 <br />

<br />

.<br />

<br />

Ωm−1 · x · x ⊕ Ωm−2x2 δ<br />

<br />

<br />

Ωm · x Ωm · x ⊕ Ωm−1 <br />

x<br />

y una columna en general se representa como<br />

145<br />

δ<br />

<br />

Ωm ,


. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ωm−2xp+3 <br />

<br />

. . . Ωm−1 · x · xp+1 ⊕ Ωm−2xp+2 <br />

<br />

<br />

β<br />

.<br />

<br />

δ<br />

<br />

Ωm · x · xp ⊕ Ωm−1xp+1 <br />

δ<br />

<br />

<br />

. . .<br />

. . .<br />

. . .<br />

Ωm p · x . . . ,<br />

<br />

(3.12)<br />

donde β y δ se presentan en la Definición 1.100 del primer Capítulo. Las<br />

variables x y x tienen grado uno y dos respectivamente. En nuestro caso,<br />

cuando el ideal es generado por dos polinomios, el complejo Ω ≥m quedaría<br />

de la siguiente forma :<br />

. . .<br />

<br />

Ω m (∧(V ))(∧(V ) ⊕ Ω m−1 (∧ 2 V )<br />

δ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

.<br />

<br />

Ω m−1 ∧ 1 (V ) ∧ 2 (V ) ⊕ Ω m−2 (∧ 2 (V ))(∧(V )) ⊕ Ω m−3 ∧ 3 (V )<br />

<br />

Ω m ∧ 2 V ⊕ Ω m−1 (∧V )(∧(V )) ⊕ Ω m−2 (∧ 2 V )<br />

Ωm (∧V ) Ωm (∧(V )) ⊕ Ωm−1 (∧V )<br />

β<br />

<br />

m Ω .<br />

(3.13)<br />

En general, de la ecuación 3.11 tenemos que las columnas del complejos<br />

Ω≥m son el complejo total del producto tensorial de los complejos (L ′ m+p, δ)<br />

y K(f, g) (ver Lema 1.104). La p−ésima columna se puede presentar como<br />

el complejo total del bicomplejo<br />

146<br />

δ


.<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

⊕p+2 l=0 Ωm−2<br />

2,l [⊕p+2 l=0 Ωm−1<br />

2,l ]y [⊕p+2 l=0 Ωm−1<br />

<br />

2,l ]x [⊕p+2 l=0 Ωm−2<br />

<br />

2,l ]xy<br />

<br />

<br />

<br />

⊕p+1 l=0 Ωm−1<br />

1,l [⊕p+1 l=0 Ωm−1<br />

1,l ]y [⊕p+1 l=0 Ωm−1<br />

<br />

1,l ]x [⊕p+1 l=0 Ωm−1<br />

<br />

1,l ]xy<br />

δ<br />

<br />

<br />

<br />

δ<br />

⊕p l=0Ωm0,l [⊕p l=0Ωm0,l ]y [⊕p l=0Ωm0,l ]x<br />

<br />

δ<br />

[⊕p l=0Ωm0,l ]xy<br />

<br />

De manera similar al segundo Capítulo (ver Definición 1.103) definimos<br />

L ′ m+p : 0<br />

<br />

m+p <br />

Ω<br />

l=0<br />

0 m,l<br />

<br />

m+p−1<br />

δ <br />

Ω<br />

l=0<br />

1 m−1,l<br />

δ <br />

. . .<br />

.<br />

δ Ω<br />

l=0<br />

m 0,l .<br />

donde δ se presenta en la Definición 1.100. Notemos que estos últimos complejos<br />

varían salvo signo la definición del morfismo borde de los complejos<br />

L ′ j que se presentarón en el primer capítulo. Sin embargo estos son evidentemente<br />

quasiisomorfos. Para no introducir otra notación simplemente también<br />

los llamamos (L ′ j, δ). En [CGG, Teorema 3.3] se prueba que las columnas del<br />

complejo Ω ≥m son quasisomorfas a Lm+p = (L ′ m+p, df + dg) ⊗R R/I. El complejo<br />

Ω m se puede escribir como :<br />

. . . <br />

. . . <br />

. . . <br />

<br />

. . . (L ′ <br />

m+p+1 ⊗ K(f, g))m−1 <br />

<br />

(L ′ m+p+1 ⊗ K(f, g))m <br />

(L<br />

β<br />

<br />

(L ′ m+p ⊗ K(f, g))m−2 <br />

<br />

′ m+p ⊗ K(f, g))m−1 <br />

147<br />

δ<br />

<br />

(L ′ m+p ⊗ K(f, g))m<br />

<br />

p<br />

β<br />

β<br />

β<br />

β<br />

· · ·<br />

· · ·<br />

· · ·<br />

· · · .<br />

(3.14)


El complejo L ′ m+p se escribe como<br />

L ′ m+p : .<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,p<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p<br />

dg<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dg<br />

. . .<br />

df<br />

df<br />

df<br />

<br />

<br />

<br />

. .. Ω m−1<br />

<br />

dg 1,1 Ω m−2<br />

<br />

<br />

dg 2,1<br />

dg<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

<br />

df<br />

df<br />

df<br />

Ωm 0,0 Ω m−1<br />

<br />

dg 1,0 Ω m−2<br />

<br />

<br />

dg 2,0 dg<br />

· · · ,<br />

donde el morfismo horizontal se define de la siguiente manera<br />

y el vertical como<br />

df ∧ (ωx i y j ) = (−1) |ω|+1 ω ∧ dfx i y j−1<br />

dg ∧ (ωx i y j ) = (−1) |ω|+1 ω ∧ dgx i−1 y j .<br />

Usando el hecho que δ ◦ δ = 0 se prueba que df ∧ dg + dg ∧ df = 0.<br />

3.4.1. El Complejo Ω ≥m<br />

f .<br />

En esta primera parte definiremos un subcomplejo Ω ≥m<br />

f<br />

mostraremos que esta bien definido.<br />

Definición 3.27. Definamos el complejo Ω ≥m<br />

f<br />

148<br />

como<br />

(3.15)<br />

de Ω ≥m y de


. . . . . .<br />

<br />

<br />

. . . [(L ′ m+p+1 )m]y ⊕ [(L ′ m+p+1 )m−1]<br />

<br />

[(L<br />

β<br />

′ m+p)m−1]y ⊕ [(L ′ <br />

β<br />

m+p)m−2] <br />

· · ·<br />

β<br />

<br />

<br />

(L<br />

δ<br />

′ m+p+1 )m<br />

[(L ′ m+p)m]y ⊕ [(L ′ <br />

<br />

β<br />

m+p)m−1]<br />

β<br />

· · ·<br />

Observación Notemos que las columnas de Ω ≥m<br />

f<br />

. . .<br />

δ<br />

<br />

(L ′ <br />

m+p)m<br />

son subcomplejos de las<br />

columnas del complejo Ω≥m . También es claro que el complejo<br />

[L ′ m+p]0<br />

δ <br />

[L ′ m+p]1 δ <br />

. . .<br />

δ [L ′ m+p]m−1<br />

β<br />

δ <br />

[L ′ m+p]m<br />

esta bien definido. Finalmente, se observa que el complejo Cm+p definido<br />

como el complejo total del bicomplejo<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

(L ′ <br />

m+p)m−2<br />

<br />

(L ′ <br />

m+p)m−1<br />

δ<br />

<br />

(L ′ <br />

m+p)m<br />

· · ·<br />

<br />

[(L ′ m+p)m−2]y<br />

<br />

[(L ′ m+p)m−1]y<br />

δ1<br />

<br />

[(L ′ m+p)m]y,<br />

donde δ ∗ (ωy) = (−1) |ω| fω, y δ1(ωx a y b y) = δ(ωx a y b )y esta bien definido.<br />

A continuación veremos que el complejo Ω ≥m<br />

f<br />

δ ∗<br />

esta bien definido. También<br />

notemos que la definición de Ω ≥m depende de f pues existe una construcción<br />

similar para el generador g.<br />

149<br />

. . .<br />

· · ·


Lema 3.28. El morfismo β restricto a (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1 cumple<br />

y β ◦ δ + δ ◦ β = 0.<br />

β((L ′ m+p)∗y ⊕ (L ′ m+p)s−1) ⊂ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s,<br />

Prueba. Sea z ∈ (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1. Si z = ωxayly ∈ (L ′ m+p)sy =<br />

⊕ p+m−s<br />

l=0<br />

Ωsm−s,l,m+py entonces<br />

Por definición<br />

β(z) = dDR(ω)x a y l y + (−1) |ω| x a y l+1 ω.<br />

(L ′ m+p+1)s+1y = ⊕ p+1+m−s−1<br />

l=0 Ω s+1<br />

m−s−1,l,m+p<br />

y = ⊕p+1+m−s−1<br />

l=0<br />

x a y l Ω s+1 y<br />

tal que a + l + s + 1 = m + p + 1. De aquí se sigue que dDR(ω)x a y l y ∈<br />

(L ′ m+p+1)s+1y. De igual modo por definición tenemos que<br />

(L ′ m+p+1)s = ⊕ p+1+m−s<br />

l=0<br />

Ωm−s,l,m+p+1 = ⊕ p+1+m−s<br />

l=0 x a y l Ω s<br />

tal que a + l + s = m + p + 1. Por lo tanto (−1) |ω| x a y l+1 ω ∈ (L ′ m+p+1)s.<br />

De manera similar se prueba que β(z) ∈ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s si z ∈<br />

(L ′ m+p)s−1.<br />

Finalmente la ecuación β ◦ δ + δ ◦ β = 0 se cumple debido al hecho que<br />

esta igualdad se cumple en el complejo Ω ≥m , ver Definición 2.3 de [CGG]. <br />

Por lo tanto existe una secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

<br />

≥m Ω (f, g)<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f [−1] <br />

0.<br />

Observación. Notemos que como módulos graduados los complejos Cm+p<br />

y L ′ m+p ⊗ K(f) son iguales. Sus morfismos borde son iguales salvo signo.<br />

Es decir las cohomología de ambos son iguales. Por este motivo a Cm+p lo<br />

denotaremos como L ′ m+p ⊗ K(f).<br />

3.4.2. El Complejo M(f, g)<br />

Esta parte esta dedicada a demostrar la buena definición de cierto subcomplejo<br />

M(f, g) de Ω ≥m<br />

f .<br />

150


A partir de los complejos L ′ m+p daremos la siguiente definición :<br />

Definición 3.29. Definamos los complejos E ′ m+p(0), con p en los números<br />

naturales, como<br />

(E ′ m+p(0))0<br />

δ <br />

(E ′ m+p(0))1 δ <br />

. . .<br />

donde (E ′ m+p(0))m−s = ⊕ p+s<br />

l=s Ωm−s<br />

s,l,m+p<br />

<br />

δ<br />

(E ′ m+p(0))m−1<br />

δ <br />

(E ′ m+p(0))m<br />

= ⊕p+s<br />

l=s Bl,s−l,m+p = ⊕ −p<br />

t+q=s;q=0Bt,q,m+p.<br />

Cuando sea claro en que complejo Lm+p estemos trabajando sólo pondremos<br />

Bp,q. Notemos que K(f) ⊗ E ′ m+p es un subcomplejo de L ′ m+p ⊗ K(f). Para<br />

ello basta usar que δ(y) = f.<br />

Observación. Los complejos E ′ m+p(0) son subcomplejos de los complejo<br />

L ′ m+p. Notemos que los complejos E ′ m+p(0) coinciden con los complejos E ′ p de<br />

la Definición 2.60.<br />

Lema 3.30. El complejo (E ′ m+p(0), δ) esta bien definido.<br />

Prueba. Se sigue del hecho que L ′ m+p se puede escribir como un bicomplejo.<br />

<br />

Posteriormente generalizaremos esta definición para ciertos complejos E ′ m+p(l)<br />

donde l es un número natural con ciertas restricciones.<br />

Lema 3.31. El morfismo β restricto al módulo (K(f) ⊗ E ′ m+p(0))t cumple<br />

β((K(f) ⊗ E ′ m+p(0))t) ⊂ (K(f) ⊗ E ′ m+p+1(0))t+1<br />

Prueba. En efecto, sea z ∈ (E ′ m+p(0))t ⊕ (E ′ m+p(0))t+1y. Analizaremos dos<br />

casos :<br />

Primer caso, sea z = ωxjy i ∈ (E ′ m+p(0))t = ⊕ p+m−t<br />

l=m−t Ωtm−t,l,m+p Ωt m−t,i,m+p para algún l = i. Por lo tanto<br />

entonces z ∈<br />

β(z) = d(ω)x j y i ∈ Ω t+1<br />

m−(t+1),i,m+p+1 ⊂ (E′ m+p+1(0))t+1 = ⊕ p+1+m−t−1<br />

l=m−t−1<br />

Ωt+1<br />

m−t−1,l,m+p+1 .<br />

Es decir<br />

β(z) = d(ω)x j y i ∈ (E ′ m+p+1(0))t+1 ⊕ (E ′ m+p+1(0))t+2y.<br />

151


Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t+1y = ⊕ m−t−1+p<br />

l=m−t−1 Ωt+1<br />

m−(t+1),l,m+py entonces z =<br />

ωxiyj y ∈ Ω t+1<br />

m−(t+1),j,m+py para algún m − t − 1 ≤ l = j ≤ m − t − 1 + p y<br />

β(z) = d(ω)x i y j y + (−1) |ω| ωx i y j+1 .<br />

Entonces d(ω)xiyj y ∈ Ω t+2<br />

m−(t+2),j,m+p+1y ⊂ ⊕m−t−2+p+1<br />

l=m−t−2<br />

Ωt+2<br />

m−(t+2),m+p+1y =<br />

(E ′ m+p+1(0))t+2y. Por otro lado ωxiyj+1 ∈ Ωm−(t+1),j+1 ⊂ (E ′ m+p+1(0))t+1 =<br />

⊕ m−t−1+p+1<br />

l=m−t−1<br />

Ωm−(t+1),l,m+p+1, pues en el último sumando l puede tomar el<br />

valor de j = m − t − 1 + p.<br />

<br />

Del Lema anterior podemos presentar la siguiente definición<br />

Definición 3.32. Definamos el bicomplejo M(f, g) como<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

. . . <br />

(Em+2(0))m−1 <br />

(Em+1(0))m−2 <br />

(Em(0))m−3<br />

<br />

<br />

. . . <br />

(Em+2(0))m <br />

(Em+1(0))m−1 <br />

β<br />

.<br />

δ<br />

<br />

(Em+1(0))m<br />

<br />

β<br />

.<br />

<br />

(Em(0))m−2<br />

<br />

(Em(0))m−1<br />

δ<br />

<br />

(Em(0))m,<br />

y H∗(M(f, g)) = H∗(T ot(M(f, g))), donde (Em+p(0))s = (E ′ m+p(0)⊗K(f))s.<br />

Observación. Cada columna Em+p(0) del complejo M(f, g) esta formada<br />

por el complejo E ′ m+p(0) ⊗ K(f). De este último complejo vamos a tomar el<br />

subcomplejo E ′ m+p(0). Con él definamos el subcomplejo Γ(f, g) :<br />

152


.<br />

<br />

<br />

<br />

. . . (E ′ <br />

m+2(0))m−1 (E ′ <br />

m+1(0))m−2 (E ′ <br />

m(0))m−3<br />

<br />

<br />

. . . (E ′ <br />

m+2(0))m (E ′ <br />

<br />

β m+1(0))m−1<br />

.<br />

δ<br />

<br />

(E ′ m+1(0))m<br />

<br />

β<br />

.<br />

<br />

(E ′ m(0))m−2<br />

<br />

(E ′ m(0))m−1<br />

δ<br />

<br />

(E ′ m(0))m,<br />

A continuación demostramos que este complejo esta bien definido.<br />

Lema 3.33. El morfismo β cumple<br />

Prueba. Por definición<br />

y<br />

β(E ′ m+p(0)s) ⊂ E ′ m+p+1(0)s+1.<br />

E ′ m+p(0)s = ⊕ p+m−s<br />

l=m−s Ωs m−s,l,m+p,<br />

E ′ m+p+1(0)s+1 = ⊕ p+1+m−s−1<br />

l=m−s−1<br />

Ωs+1<br />

m−s−1,l,m+p+1<br />

Si z ∈ E ′ m+p(0)s entonces β(z) = dDR(w)xay l ∈ ⊕ p+1+m−s−1<br />

l=m−s−1<br />

Ωs+1<br />

m−s−1,l,m+p+1 .<br />

<br />

Observación. De la definición del complejo Γ(f, g) tenemos la secuencia<br />

exacta corta de complejos<br />

0<br />

<br />

Γ(f, g)<br />

<br />

M(f, g)<br />

<br />

Γ(f, g)[−1]<br />

Lema 3.34. Si f tiene una singularidad aislada en η entonces existe una<br />

secuencia exacta<br />

0<br />

H m (Γ(f, g))<br />

<br />

m−1 H (M(f, g))<br />

<br />

m H (M(f, g))<br />

153<br />

<br />

m H (Γ(f, g))y<br />

<br />

0,<br />

<br />

0


Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (Em+p(0)), y Gr(H m (Em+p(0))) = ⊕ p<br />

i=0 (R/Jf)i.<br />

Prueba. Notemos que las columnas del complejo E ′ m+p(0) estan formadas<br />

por el complejo K(df). Como por hipótesis f tiene una singularidad aislada,<br />

K(df) es exacto excepto en el último nivel. Por lo tanto H s (Γ(f, g)) = 0 para<br />

todo s < m. De la secuencia exacta larga en cohomología de la secuencia<br />

0<br />

<br />

Γ(f, g)<br />

obtenemos la secuencia<br />

0<br />

H m (Γ(f, g))<br />

<br />

M(f, g)<br />

<br />

m−1 H (M(f, g))<br />

<br />

m H (M(f, g))<br />

<br />

Γ(f, g)[−1]<br />

<br />

m H (Γ(f, g))y<br />

Como los complejos (E ′ m+p(0), δ) son exactos salvo en el último nivel un<br />

argumento rutinario de filtraciones nos llevan a la igualdad<br />

Gr(H m (Γ(f, g))) = <br />

H m (Em+p(0)).<br />

El hecho que Gr(H m (Em+p(0))) = p<br />

i=0 (R/Jf)i se sigue del Lema 2.61. <br />

3.4.3. El Complejo Ω≥m<br />

M(f,g) .<br />

Ω ≥m<br />

M(f,g)<br />

p≥0<br />

Brindamos información sobre los módulos de cohomología del complejo<br />

. Para ello nos basamos en el Lema 3.15.<br />

Lema 3.35. El complejo<br />

es exacto excepto en el último nivel, y<br />

Ω ≥m<br />

M(f, g)<br />

Gr(H0( Ω≥m<br />

M(f, g) )) = Gr(Hm−1 ( Ω≥m <br />

)) = [(<br />

M(f, g) Jg<br />

) ⊗ R/ 〈f〉]i<br />

154<br />

i>0<br />

<br />

0.<br />

Jf,g<br />

<br />

0


Prueba. En efecto, para ello debemos notar primero que las columnas del<br />

complejo<br />

Ω ≥m<br />

M(f, g)<br />

son isomorfas a L ′ m−1 ⊗ K(f). Estas son exactas excepto en el último nivel<br />

por el Lema 3.15. Por lo tanto el primer término de la secuencia espectral<br />

del Ω≥m<br />

M(f, g)<br />

quedaría de la siguiente manera<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

. . . <br />

0 <br />

0 <br />

0<br />

<br />

<br />

. . . ( Jf <br />

) ⊗ R/ 〈f〉 <br />

0 <br />

Jf,g<br />

Es decir E 1 = E ∞ . Esto significa que<br />

.<br />

.<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

( Jf<br />

Jf,g ) ⊗ R/ 〈f〉 <br />

0<br />

i>0<br />

( Jf<br />

Jf,g<br />

Jf,g<br />

<br />

) ⊗ R/ 〈f〉 ,<br />

Gr(H0( Ω≥m<br />

M(f, g) )) = Gr(Hm−1 ( Ω≥m <br />

)) = [(<br />

M(f, g) Jg<br />

) ⊗ R/ 〈f〉]i<br />

3.4.4. La Cohomología del Complejo M(f, g)<br />

El siguiente paso es estudiar la cohomología del complejo M(f, g). Para<br />

ellos definiremos ciertos complejos E ′ m+p(∗) que serán subcomplejos de las<br />

columnas de M(f, g). Basados en estos complejos definiremos un subcomplejo<br />

155


F y una filtración del mismo. Del complejo L ′ m+p<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1 dg<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,p<br />

dg<br />

. ..<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

tomamos el subcompejo E ′ (l)<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,p+1 dg<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,p<br />

dg<br />

dg<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

. ..<br />

df<br />

Ω m−1<br />

<br />

<br />

dg 1,2<br />

. ..<br />

df<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dg<br />

<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,1<br />

· · ·<br />

<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

<br />

<br />

. ..<br />

dfr<br />

Ω m−1<br />

<br />

<br />

dg 1,l+2<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,l+1<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

· · ·<br />

df<br />

<br />

Ω m−2 <br />

2,2<br />

df<br />

<br />

Ω m−1 <br />

1,1<br />

df<br />

<br />

Ωm <br />

0,0<br />

· · ·<br />

dg<br />

dg<br />

dg<br />

df<br />

<br />

Ω m−2<br />

2,l+2<br />

df<br />

<br />

Ω m−1<br />

1,l+1<br />

df<br />

<br />

Ωm 0,l ,<br />

. . .<br />

. . .<br />

· · · .<br />

donde los morfismo borde df y dg tienen un signo establecido. A continuación<br />

156


definimos estos complejos.<br />

Definición 3.36. Dado el complejo L ′ m+p definamos el subcomplejo (E ′ m+p(l), δ),<br />

para l = 0, . . . , p , de la siguiente manera :<br />

(E ′ m+p(l))s := ⊕ p+m−s<br />

t=l+m−s Ωs m−s,t.<br />

Definición 3.37. El complejo E ′ m+p(l) ⊗ K(f) es por definición<br />

(E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s := ((E ′ m+p(l))s ⊕ (E ′ m+p(l))s+1y, δ)<br />

Lema 3.38. El complejo (E ′ m+p(l) ⊗ K(f), δ) esta bien definido.<br />

Prueba. Similar a las pruebas anteriores. <br />

Lema 3.39. Dado<br />

Ωm <br />

0,l<br />

Ω s m−s,l+m−s<br />

la columna l−ésima de L ′ m+p y<br />

Ωm <br />

0,l+1<br />

Ω m−1<br />

<br />

. . .<br />

df<br />

1,l+1<br />

· · · Ω0 <br />

m,l+m<br />

<br />

df<br />

Ω m−1<br />

<br />

. . .<br />

df<br />

1,l+2<br />

Ω s+1<br />

<br />

<br />

· · ·<br />

df<br />

df<br />

df<br />

m−s−1,l+1+m−s−1<br />

la (l + 1)−ésima columna de L ′ m+p+1. Entonces<br />

Prueba. Sabemos que<br />

donde a + l + m = m + p y<br />

β(Ω s m−s,l+m−s) ⊂ Ω s+1<br />

m−s−1,l+1+m−s−1<br />

Ω s m−s,l+m−s = x a y l+m−s Ω s .<br />

Ω s+1<br />

m−s−1,l+1+m−s−1 = xa y l+1+m−s−1 Ω s+1<br />

y a + l + 1 + m = m + p + 1. Entonces claramente el lema se satisface. <br />

Lema 3.40. El morfismo β restricto al módulo (E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s cumple<br />

β((E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s) ⊂ (E ′ m+p+1(l + 1) ⊗ K(f))s+1<br />

157<br />

df


Prueba. Por definición<br />

(E ′ m+p(l) ⊗ K(f))s = (E ′ m+p(l))s ⊕ (E ′ m+p(l))s+1y.<br />

Del lema anterior se sigue que<br />

Por definición<br />

β(E ′ m+p(l)) ⊂ E ′ m+p+1(l + 1).<br />

Em+p(l)s+1y =<br />

p+m−s−1 <br />

t=l+m−s−1<br />

Ω s+1<br />

m−s−1,ty. (3.16)<br />

Sea z ∈ Em+p(l)s+1y entonces z = xayt′ ωy para algún t ′ tal que<br />

y<br />

Por un lado tenemos<br />

l + m − s − 1 t ′ p + m − s − 1<br />

β(z) = x a y t′<br />

d(ω)y + (−1) |ω| x a y t′ +1<br />

ω.<br />

x a y t′<br />

d(ω)y ∈ β(Em+p(l)s+1)y ⊂ Em+p+1(l+1)s+2y ⊂ (E ′ m+p+1(l+1)⊗K(f))s+1.<br />

De igual forma tenemos que<br />

(−1) |ω| x a y t′ +1 ω ∈ (E ′ m+p+1(l + 1))s+1 = ⊕ p+1+m−s−1<br />

t=l+1+m−s−1 Ωs+1<br />

m−s−1,t<br />

ver ecuación 3.16.<br />

Lema 3.41. El complejo<br />

( E′ m+p(l) ⊗ K(f)<br />

E ′ , δ)<br />

m+p(l + 1) ⊗ K(f)<br />

es isomorfo al complejo L ′ l (f) ⊗ K(f).<br />

Prueba. De la definición de E ′ p(l) tenemos que<br />

( E′ m+p(l) ⊗ K(f)<br />

E ′ m+p(l + 1) ⊗ K(f) )s Ω s <br />

s+1<br />

m−s,l+m−s Ωm−s−1,l+m−s−1y. 158<br />

.


Como δ(x) = 0 podemos eliminar el término x∗ . Por lo tanto el complejo<br />

quedaría<br />

<br />

.<br />

.<br />

<br />

Ωm−2yl+2 <br />

<br />

Ωm−1yl+1 <br />

<br />

Ωm−2yl+2y <br />

Ωm−1yl+1y δ1<br />

<br />

<br />

Ωmyl Ωmyl <br />

y;<br />

f<br />

el cual es isomorfo a la columna l−ésima del complejo Ω ≥m del polinomio f<br />

(ver (3.12)). Este complejo lo denotaremos como Ω ≥m (f). .<br />

Observación. A partir de la definición de los complejos E ′ m+p(l) definiremos<br />

una filtración del complejo M(f, g) y por lo tanto una secuencia espectral.<br />

El primer término de esta secuencia estará conformada por la homología de<br />

los complejos Ω ≥m (f) para un polinomio.<br />

Observación. Notemos que de la definición de los complejos<br />

tenemos que E ′ m+p(l) ⊂ E ′ m+p(l − 1).<br />

(E ′ m+p(l))s.<br />

Nota. En la siguiente definición como en adelante usaremos la siguiente<br />

convención : Em+p(l) := E ′ m+p(l) ⊗ K(f). El complejo<br />

.<br />

<br />

<br />

. . . <br />

(E∗+2(l + 2))m <br />

(E∗+1(l + 1))m−1<br />

<br />

β<br />

β<br />

.<br />

β<br />

<br />

(E∗+1(l + 1))m<br />

159<br />

<br />

β<br />

.<br />

<br />

(E∗(l))m−2<br />

<br />

(E∗(l))m−1<br />

δ<br />

<br />

(E∗(l))m,


se denotará como<br />

β<br />

β<br />

. . . <br />

E∗+3(l + 3) <br />

E∗+2(l + 2) <br />

E∗+1(l + 1) <br />

E∗(l)<br />

donde sólo se indican las columnas que conforman el bicomplejo.<br />

Definición 3.42. Sea p ≫ un número natural. Definamos el complejos F<br />

como<br />

β<br />

β<br />

· · · <br />

Em+p+∗+1(p) <br />

Em+p+∗(p) <br />

· · · <br />

Em+p+1(p) <br />

Em+p(p)<br />

Observación. De la definición de los complejos<br />

β<br />

(E ′ m+p(l ′ ), δ)<br />

tenemos que E ′ m+p(l ′ ) ⊂ E ′ m+p(l ′ − 1). Como<br />

β((E ′ m+p(l))s) ⊂ (E ′ m+p+1(l+1))s+1 ⊂ (E ′ m+p+1(l+1))s+1⊕(E ′ m+p+1(l+1))s+2y,<br />

de la relación de inclusión E ′ m+p(l ′ ) ⊂ E ′ m+p(l ′ − 1), tenemos<br />

β((E ′ m+p(l))s) ⊂ E ′ m+p+1(l)s+1 ⊕ E ′ m+p+1(l)s+2y<br />

y por lo tanto la buena definición del complejo F .<br />

Observación. Cada columna Em+p+∗(p) esta conformada por un bicomplejo<br />

de ∗ + 1 columnas. Cada columna es isomorfa a L ′ q ⊗ K(f) para algún q<br />

adecuado.<br />

Definición 3.43. Para cada i en los números naturales definamos los complejos<br />

Fi de la siguiente forma<br />

y en general<br />

F1 : . . . <br />

Em+p+2(p + 2) <br />

Em+p+1(p + 1) <br />

Em+p(p)<br />

β<br />

β<br />

F2 : . . . <br />

Em+p+2(p + 1) <br />

Em+p+1(p) <br />

Em+p(p)<br />

β<br />

Fi : Em+p+i−1(p) <br />

<br />

Em+p+1(p) <br />

<br />

Em+p+i(p + 1)<br />

β<br />

β<br />

β<br />

. . . Em+p(p)<br />

<br />

Em+p+i+1(p + 2) β<br />

160<br />

<br />

. . .<br />

β<br />

β<br />

β


Fi+1 : Em+p+i(p) <br />

<br />

Em+p+1(p) <br />

β<br />

<br />

Em+p+i+1(p + 1)<br />

. . . Em+p(p)<br />

<br />

Em+p+i+2(p + 2) β<br />

<br />

. . .<br />

Observación. De la definición de los complejos Fi se sigue que<br />

Más aún tenemos que<br />

Fi+1<br />

Fi<br />

: · · ·<br />

<br />

0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fi ⊂ . . . ⊂ F.<br />

Em+p+i+2(p + 2)<br />

Em+p+i+2(p + 3)<br />

<br />

Em+p+i+1(p + 1)<br />

Em+p+i+1(p + 2)<br />

Em+p+i(p)<br />

<br />

<br />

0.<br />

Em+p+i(p + 1)<br />

Del Lema 3.41 y la notación que se refirio anteriormente el complejo Fi+1<br />

Fi<br />

puede escribir como<br />

β<br />

β<br />

. . . <br />

Lm+p+3(f) <br />

Lm+p+2(f) Lm+p+1(f)<br />

<br />

Lm+p(f)<br />

Este es isomorfo al complejo Ω ≥m+p (f). Al emplear la notación Lm+∗(f) nos<br />

referimos al complejo (L ′ m+∗(f) ⊗ K(f), δ). Este módulo quasisomorfismos es<br />

igual al complejo Ω ≥m+p del primer Capítulo para un sólo polinomio.<br />

De [LM, Teorema 3.4.7] tenemos que los complejos Ω ≥m+p (f) son exactos<br />

excepto en el último nivel cuando p + m ≥ m + cr+1, para cierto cr+1. El<br />

análisis anterior es la prueba del siguiente Lema:<br />

Lema 3.44. La secuencia espectral E s asociada a la filtración<br />

colapsa en E 1 .<br />

0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fi ⊂ Fi+1 ⊂ . . .<br />

Prueba. Se sigue del desarrollo anterior. <br />

Lema 3.45. Los complejos Fi para todo i ≥ 0 son exactos excepto en el<br />

último nivel.<br />

161<br />

β<br />

se


Prueba. La demostración será por inducción. Para F1 tenemos que F1 =<br />

Ω ≥m+p (f). Este por hipótesis es exacto excepto en el último nivel pues según<br />

[LM] existe un p para el cual el complejo es exacto excepto en el último nivel.<br />

Supongamos por hipótesis inductiva que Fs es exacto excepto en el último<br />

nivel. Sea Fs+1, de la observación anterior tenemos la siguiente secuencia<br />

exacta corta<br />

0<br />

<br />

Fs<br />

<br />

Fs+1<br />

De la secuencia exacta larga en cohomología<br />

H m−1 (Fs)<br />

H m (Fs)<br />

<br />

m−1 H (Fs+1)<br />

<br />

m H (Fs+1)<br />

<br />

≥m+p Ω (f)<br />

<br />

0.<br />

<br />

m−1 ≥m+p H (Ω (f))<br />

<br />

m ≥m+p H (Ω (f))<br />

tenemos que H m−1 (Fs+1) = 0, pues H m−1 (Fs) = H m−1 (Ω ≥m+p (f)) = 0.<br />

Observación. A continuación estudiamos la cohomología del complejo M(f,g)<br />

. F<br />

Este se puede escribir como<br />

. . .<br />

<br />

Em+p−1(0) <br />

. . . <br />

Em+1(0) <br />

Em(0)<br />

<br />

Em+p+2(0)<br />

Em+p+2(p)<br />

<br />

Em+p(0)<br />

Em+p(p)<br />

Em+p+1(0)<br />

<br />

<br />

Em+p+1(p)<br />

Definición 3.46. Definamos los complejos Ip−i para i = 1, . . . , p de la siguiente<br />

manera :<br />

Ip : Em+p−2(p − 2) <br />

. . . <br />

Em+1(1) <br />

Em(0)<br />

<br />

Em+p−1(p − 1)<br />

<br />

Em+p(p − 1)<br />

Em+p(p)<br />

162<br />

<br />

Em+p+1(p − 1)<br />

Em+p+1(p)<br />

<br />

· · ·


y de manera general<br />

Ip−i : Em+i−1(0) <br />

· · · <br />

Em+1(0) <br />

Em(0)<br />

<br />

Em+i(0)<br />

· · ·<br />

<br />

<br />

Em+i+1(1)<br />

Em+p+1(p − i − 1)<br />

Em+p+1(p)<br />

<br />

· · ·<br />

De la definición tenemos que Ip ⊂ . . . ⊂ I1 = M(f,g)<br />

. F<br />

Lema 3.47. El complejo Ip−i<br />

Ip−i+1<br />

<br />

Em+p−2(p − i − 2)<br />

Em+p(p − i − 1)<br />

<br />

<br />

<br />

Em+p−1(p − i − 1)<br />

Em+p(p)<br />

es isomorfo al complejo<br />

β<br />

Lm+p−i−1<br />

Lm+1<br />

β1<br />

β1<br />

. . . Lm+p−i−1<br />

<br />

· · · <br />

<br />

Lm,<br />

donde los complejos Lm+p K(df) ⊗ K(f) y β1 = 0.<br />

Prueba. De la convención de la notación el complejo Ip−i<br />

como<br />

Em+i(0)<br />

Em+i(1)<br />

<br />

Em+i+1(1)<br />

Em+i+1(2)<br />

Em+i−1(0)<br />

<br />

<br />

· · · <br />

Em+i−1(0)<br />

<br />

· · ·<br />

β1 <br />

Em+p(p − (i + 1))<br />

Em+p(p − i)<br />

Ip−i+1<br />

β<br />

se puede escribir<br />

Em(0)<br />

Em(0)<br />

β2 <br />

Em+p+1(p − (i + 1))<br />

Em+p+1(p − i)<br />

donde β2 = 0 pues β(Em+p(p−(i+1))) ⊂ Em+p(p−i). Por lo tanto del Lema<br />

3.41 obtenemos que el complejo anterior se escribe como<br />

. . . <br />

0<br />

Lm+p−i−1(f) <br />

0<br />

Lm+p−i−1(f) <br />

· · · <br />

Lm+1(f) <br />

Lm(f) <br />

0<br />

Observación. De la notación de [LM] el complejo anterior se escribe como<br />

163<br />

β<br />

β<br />

β


. . . <br />

0<br />

Lm+p−i−1(f) <br />

0<br />

Lm+p−i−1(f) Ωm≤·≤m+p−i−1 <br />

0<br />

(f).<br />

Calculamos la cohomología de los complejos<br />

Ip−i<br />

Ip−i+1<br />

Lema 3.48. Existe dos secuencias exactas cortas<br />

0<br />

<br />

Hj (Lm+p−i(f); δ)<br />

<br />

Hj ( Ip−i+1<br />

)<br />

Ip−i<br />

<br />

j m≤·≤m+p−i−1 H (Ω (f))<br />

para j = m, m − 1. La Cohomología en los demás casos es cero.<br />

Prueba. Tomando la secuencia exacta larga de cohomología de la secuencia<br />

exacta corta<br />

0<br />

tenemos<br />

<br />

(Lm+p−i(f), δ)<br />

0<br />

H m−1 (Ω m≤·≤m+p−i−1 (f))<br />

H m (Ω m≤·≤m+p−i−1 (f))<br />

<br />

Ip−i<br />

Ip−i+1<br />

<br />

Hm−1 (Lm+p−i(f); δ)<br />

0 <br />

Hm (Lm+p−i(f); δ)<br />

<br />

m≤·≤m+p−i−1 Ω (f)<br />

<br />

0<br />

<br />

Hm−1 ( Ip−i+1<br />

)<br />

Ip−i<br />

<br />

Hm ( Ip−i+1<br />

)<br />

Ip−i<br />

Del hecho que el morfismo conección es cero tenemos la prueba del lema.<br />

.<br />

164<br />

<br />

0.<br />

<br />

0


Observación. De la filtración M(f,g)<br />

= I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ip, tenemos una<br />

F<br />

secuencia espectral E∗ convergente cuyo término E1 es dado por el Lema<br />

anterior.<br />

Proposición 3.49. Existe una secuencia exacta<br />

H m−1 (F )<br />

<br />

m−1 H (M(f, g))<br />

<br />

m−1 M(f,g)<br />

H ( ) F<br />

<br />

Hm ( M(f,g)<br />

) H<br />

F m <br />

(M(f, g)) Hm <br />

(F ).<br />

que relaciona los módulos de cohomología del complejo M(f, g).<br />

Prueba. De la secuencia exacta corta<br />

0<br />

<br />

F<br />

<br />

M(f, g)<br />

tomando cohomología tenemos la secuencia :<br />

H m−1 (F )<br />

<br />

m−1 H (M(f, g))<br />

<br />

M(f, g)/F<br />

<br />

0<br />

<br />

m−1 M(f,g)<br />

H ( ) F<br />

<br />

Hm ( M(f,g)<br />

) H<br />

F m <br />

(M(f, g)) Hm <br />

(F ).<br />

Observación. De la definición del complejo L ′ m+p el complejo Ω ≥m (f, g) se<br />

escribe como:<br />

. . . <br />

. . . <br />

. . .<br />

<br />

. . . <br />

(Cm+1)m ⊕ (Cm+1)m−1x <br />

<br />

(Cm+1)m<br />

<br />

165<br />

<br />

(Cm)m−2 ⊕ (Cm)m−1x<br />

<br />

(Cm)m−1 ⊕ (Cm)mx<br />

<br />

(Cm)m.


Como β(x) = x, entonces el morfismo β(x) = 0 en el módulo Ω≥m (f, g)<br />

.<br />

Esto significa que Ω≥m (f, g)<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

secuencia exacta corta de complejos<br />

0<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

Ω ≥m<br />

f [−1]. Por lo tanto, tenemos la siguiente<br />

<br />

≥m Ω (f, g)<br />

Proposición 3.50. Existe una secuencia exacta<br />

0<br />

<br />

m−2 ≥m H (Ω (f, g))<br />

Hm−1 (Ω ≥m<br />

f ) <br />

m−1 ≥m H (Ω (f, g))<br />

Hm (Ω ≥m<br />

f ) <br />

m ≥m H (Ω (f, g))<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f [−1] <br />

0.<br />

<br />

Hm−1 (Ω ≥m<br />

f )<br />

<br />

Hm (Ω ≥m<br />

f )<br />

que relaciona los módulos de cohomología del complejo Ω ≥m (f, g).<br />

Prueba. De la secuencia exacta corta<br />

0<br />

tenemos la secuencia<br />

0<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f<br />

H m−1 (Ω ≥m (f))<br />

H m (Ω ≥m (f))<br />

<br />

≥m Ω (f, g)<br />

<br />

m−2 ≥m H (Ω (f, g))<br />

<br />

m−1 ≥m H (Ω (f, g))<br />

<br />

m ≥m H (Ω (f, g))<br />

166<br />

<br />

0<br />

<br />

Ω ≥m<br />

f [−1] <br />

0.<br />

<br />

m−1 ≥m H (Ω (f))<br />

<br />

m ≥m H (Ω (f))<br />

<br />

0


Apéndice A<br />

Álgebra Conmutativa<br />

Este ápendice esta destinado a presentar las principales definiciones y<br />

propiedades de la teoría de anillos. También será el sustento de las demostración<br />

de propiedades que se usan en el cuerpo de la tesis y son parte<br />

fundamental en el trabajo. Nos referimos en especial a la sección titulada El<br />

Ideal Jacobiano. Aquí se presenta la prueba que la definición de los dos principales<br />

cimientos de la tesis : El Ideal Jacobiano y las singularidades aisladas<br />

de tipo intersección completa no depende de los generadores del ideal I.<br />

A.1. Definiciones y Propiedades<br />

Todos los anillos tratados son noetherianos. Entre las principales definiciones<br />

que usaremos se encuentra la dimensión de Krull.<br />

Definición A.1. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplemente<br />

la dimensión del anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de las longitudes<br />

de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n si existe<br />

una cadena de ideales primos<br />

y ninguna cadena es más grande.<br />

P0 P1 · · · Pn<br />

Definición A.2. Sea I un ideal primo de R. Definimos la altura ht(I) del<br />

ideal I como el supremo de la longitud de las cadenas de primos<br />

P0 P1 · · · I = Pn.<br />

167


que finalizan en I.<br />

Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mínimo<br />

de las alturas de los primos P que contienen a I.<br />

Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej [Eis]) a la altura del<br />

ideal I la llaman codimensión.<br />

Si el anillo (R, η) es local entonces<br />

dim(R) = ht(η).<br />

Teorema A.3. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primos<br />

que contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.<br />

Prueba. [Eis, Teorema 10.2]. <br />

El teorema anterior se llama P.I.T. (según sus siglas en inglés de Principal<br />

Ideal Theorem.)<br />

Corolario A.4. Para todo primo P con ht(P ) = c existe un ideal I generado<br />

por c elementos de modo que P sea minimal entre los primos que contienen<br />

al ideal I.<br />

Prueba. [Eis, Corolario 10.5]. <br />

Definición A.5. Diremos que un anillo local (R, η) es regular si y sólo sí<br />

donde k = R/η.<br />

dimKrull(R) = dimk( η<br />

)<br />

η2 Lema A.6. Si (R, η) es un anillo regular local entonces R es un dominio.<br />

Prueba. [Eis, Corolario 10.14]. <br />

Definición A.7. Sea (R, η) un anillo local. El conjunto x1, . . . , xn se denomina<br />

una secuencia de parámetros si sólo sí<br />

η j ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,<br />

para algún j ∈ N y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia<br />

se llama secuencia regular de parámetros -Ver [Eis, Corolario 10.7], pág<br />

242-.<br />

168


Lema A.8. (R, η) es un anillo regular local si sólo sí η posee una secuencia<br />

regular de parámetros.<br />

Prueba. Sea<br />

dim(R) = dimk(η/η 2 ) = n,<br />

y {x1, . . . , xn} una base del espacio vectorial η/η2 . Tomemos I = 〈x1, . . . , xn〉 ⊂<br />

entonces<br />

η y η/I. Como (η/I) 2 = η2 +I<br />

I<br />

η/I η<br />

=<br />

(η/I) 2 η2 + I .<br />

Por otro lado como I = 〈x1, . . . , xn〉 = η/η 2 entonces<br />

η/η 2<br />

I<br />

= 0<br />

donde I = I+η2<br />

η 2 . Por lo tanto si usamos los isomorfismos<br />

tenemos que<br />

η/η 2<br />

I <br />

η/η2 (I + η2 η<br />

<br />

)/η2 η2 + I<br />

η/I<br />

= 0;<br />

(η/I) 2<br />

y del Lema de Nakayama ([Eis, Corolario 4.8]) obtenemos que η = I. Es decir<br />

dim(R) = n y η = 〈x1, . . . , xn〉 . Por definición esto significa que 〈x1, . . . , xn〉<br />

es una secuencia regular de paramétros.<br />

Para el retorno supondremos que 〈x1, . . . , xn〉 = η es una secuencia regular<br />

de parámetros. Entonces por definición dim(R) = ht(η) = n.<br />

Notemos también que<br />

dim(η/η 2 ) ≤ n,<br />

pues {x1, . . . , xn} generan η/η 2 . Si dim(η/η 2 ) < n a decir<br />

η/η 2 = 〈y 1, . . . , y m〉<br />

con m < n, usando el Lema de Nakayama (de la misma forma que se uso<br />

líneas atrás) tenemos que η = 〈y1, . . . , ym〉 . Esto significaría usando el P.I.T<br />

que ht(η) ≤ m < n, lo cual es una contradicción y prueba el Lema. <br />

169


Definición A.9. Sea (R, η) un anillo local. La colección (x1, . . . , xn) se denomina<br />

secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación<br />

xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉<br />

definida por a ↦→ xi · a es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además<br />

〈x1, . . . , xn〉 = R.<br />

Corolario A.10. Si x1, . . . , xn es un secuencia regular de parámetros en un<br />

anillos regular local entonces x1, . . . , xn es una secuencia regular.<br />

Prueba. [Eis, Corolario 10.15.] <br />

Nota. Del hecho que :<br />

Divcero(R) = <br />

donde Pi son los primos minimales; se prueba que la definición anterior significa<br />

que xi no se encuentra en ningún primo minimal del anillo R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 .<br />

Definición A.11. Sea (R, η) un anillo local. Definamos la filtración I-ádica<br />

como la cadena<br />

R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ,<br />

y su anillo graduado como<br />

gr I (R) = In<br />

.<br />

In+1 Para una definición más general ver [Mats.,10.c].<br />

Observación. El anillo graduado definido anteriormente caracteriza las secuencias<br />

regulares de la siguiente manera :<br />

Teorema A.12. Sea (R, η) un anillo local y a1, . . . , as elementos en η. Definamos<br />

J = 〈a1, . . . , as〉 . Entonces a1, . . . , as es una secuencia regular si y<br />

sólo si<br />

(R/J)[x1, . . . , xs] gr J (R).<br />

Prueba. [Mats, Teorema 33]. <br />

Definición A.13. Sea (R, η) un anillo local, por definición la longitud máxima<br />

de las cadena de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad<br />

del anillo R y se escribe como profundidad(R).<br />

170<br />

i<br />

Pi


Definición A.14. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La longitud de la máxima<br />

cadenas de secuencias regulares de R contenidas en I se define como<br />

profundidad(I).<br />

Observación. Si en la Definición A.9 en lugar