PhD Thesis

Teorema 1.3. Si A es una k−álgebra unital, proyectiva como k−módulo,
entonces para todo A−bimódulo M se cumple
H(A, M) = T or Ae
n (M, A)
Prueba. [Lod, Proposición 1.1.13].
Ejemplo 1.4. Sea k un cuerpo de característica cero y A = k[x]
remos el complejo
C : 0 Ae
Ae
·u
·v . . .
〈x n+1 〉
. Conside-
con u = x⊗1−1⊗x y v = xn ⊗1+x n−1 ⊗x+. . . 1⊗x n . Bajo el isomorfismo
Ae k[x,y]
〈xn+1 ,yn+1 〉 tenemos que u = x−y, v = n i=0 xn−iyi . Es decir, el complejo
C se escribe
C : 0
k[x,y]
〈x n+1 ,y n+1 〉
k[x,y]
〈xn+1 ,yn+1
·u
·v . . .
〉
Es claro que u · v = v · u = 0. Ahora si p(x, y)u ∈ 〈x n+1 , y n+1 〉 , entonces
p(x, y)u = αx n+1 + βy n+1 = αx n+1 − αy n+1 + (β − α)y n+1 .
Como u divide a α(x n+1 −y n+1 ) y no a y n+1 entonces u divide β −α, es decir,
existe δ tal que u · δ = β − α y por lo tanto
p(x, y) = α · v + δ · y n+1 ∈ 〈v〉 + y n+1 .
Esto nos permite afirmar que p ∈ 〈v〉 en Ae y garantiza la exactitud de C
en grados impares. La exactitud de C en grados pares se verifica de manera
similar.
Con esto queda claro que C es una resolución de A como Ae módulo. Si
aplicamos el functor A⊗Ae, obtenemos
0
A
A
. . .
A
A
. . .
0
(n+1)x n
0
(n+1)x n
Un cálculo directo muestra que HHi(A) = T orAe i (A, A) = A
〈xn si i es impar y
〉
que HHi(A) = (0 : xn ) = Ker(·xn ) si i es par. En grado cero HH0(A) = A.
Se sigue que si n ≥ 1 entonces dimk(HHn(A)) = dimk(HHn+1).
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