PhD Thesis

En relación a la homología cíclica, en el caso quasihomogéneo, expresamos
los k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj en función de
los módulos de cohomología de los complejos Lj. Para las singularidades
clasificadas en el Ejemplo 2.67 mencionadas líneas atrás hallamos todos los
k−espacios vectoriales de cohomología de los complejos Dj.
En general obtenemos que Hk (Dj) = Hk DR (R/I) para todo k ≤ m−r −2,
y Hj (Dj) = Ω j
A /d(Ωj A ). Los términos restantes se encuentran envueltos en
secuencias exactas, donde los elementos involucrados son conocidos.
Los complejos Ω≥p definidos en 1.78 proporcionan la homología cíclica
negativa (ver Proposición 1.80). Estos complejos tienen a lo más r+1 términos
de cohomología no nulos. En el caso de dos polinomios presentamos una
secuencia espectral que converge hacia la homología cíclica negativa de R/I
(Proposición 3.34).
A continuación presentamos los resultados principales del trabajo divididos
en capítulos :
En el Primer Capítulo presentamos la definición y principales propiedades
de la homología de Hochschild. Ponemos de manifiesto la estrecha relación
entre esta homología y los diferenciales de Kähler. Esta relación nos permite
describir la suavidad del álgebra R en función de sus diferenciales de Kähler.
Basados en el Corolario 2.2 de [HS] vemos que en un anillo regular local
(R, η) todo elemento f en η cumple que f ∈ Jf (ver Corolario 1.38).
Luego demostramos un resultado clave para el desarrollo del segundo
capítulo, el Corolario 1.41 :
Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal primo con
JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces en
T = Q( R
P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no
son algebraicamente independientes sobre k.
La principal información que tomamos del enunciado anterior es la existencia
de un polinomio p(x1, · · · , xr) no nulo para el cual se cumple que
p(f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P . Esta relación algebraica entre los elementos
f1, . . . , fr resulta crucial para demostrar los principales resultados de la tesis.
Luego presentamos la definición y propiedades de la homología cíclica.
A modo de ejemplo calculamos la homología cíclica del álgebra graduada
k[x]/〈x m+1 〉.
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