PhD Thesis

Más aún, como el complejo L ′ m−1 tiene cohomología cero para todo grado
i = m − 1 (ver Proposición 2.49) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I ,
H i (Lm−1) = H k (L ′ m−1 ⊗ R/I) = T orm−1−i(H m−1 (L ′ m−1), R/I). (3.10)
Como por hipótesis la secuencia f, g es regular y 〈h, g〉 = 〈f, g〉 se prueba que
h y g también forman una secuencia regular. Esto significa que el complejo
K(x, y) : 0
(h,g)
R
R R (−g,h)
R
es una resolución de R/I, ver Apéndice.
Por otro lado, como h tiene una singularidad aislada en η entonces
H m−1 (L ′ m−1) Jh
(ver Lema 2.35). Más aún la cohomología del complejo Lm−1 es isomorfa a la
homología del complejo K(h, g) ⊗R Jh (ver Ecuación (3.10)). Por lo tanto,
Jh,g
del Corolario 2.51, el complejo
K(x, y) ⊗ M : 0
Jh
Jh,g
Jh,g
0
(h,g) Jh Jh
(−g,h) Jh
Jh,g Jh,g Jh,g
tiene sólo dos términos de homología no nulos. De la Ecuación (3.9) se sigue
no nulo tal que x · h = x · g = 0. Es decir x ∈
que existe x ∈ M = Jh
Jh,g
Hm−3 (Lm−1) = 0, una contradicción.
Por lo tanto existe hλ = f + λ · g donde λ ∈ k − {W ∪ α0} tal que la
aplicación
hλ : Jh
−→
Jh,g
Jh
.
Jh,g
es inyectiva.
Para finalizar la demostración es suficiente notar que Jh,g = Jf,g = Jh,hλ .
Esto significa que
hλ : Jh
Jh,hλ → Jh
Jh,hλ
es una aplicación inyectiva y tanto h como hλ tienen una singularidad aislada
en η.
Lema 3.16. El complejo L ′ m−1⊗K(f) tiene cohomología cero para todo grado
i = m , donde f satisface las propiedades del Lema 3.15.
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